67556

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

Лекция

Физика

В картине Шредингера затруднительно сразу сказать, что такое сохраняющаяся физическая величина, так как операторы наблюдаемых обычно вообще от времени не зависят. Приходится исхитряться (см. ниже). А в картине Гейзенберга все ясно.

Русский

2014-09-12

488.5 KB

0 чел.

Л Е К Ц И Я  6

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

В картине Шредингера затруднительно сразу сказать, что такое сохраняющаяся физическая величина, так как операторы наблюдаемых обычно вообще от времени не зависят. Приходится исхитряться  (см. ниже). А в картине Гейзенберга все ясно.

Если

 Г(t) = ,    Þ   Г (t) = const,

то - интеграл движения (точнее, интегралом движения является величина, описываемая этим оператором). Из уравнения Гейзенберга сразу следует  необходимое и достаточное условие сохранения наблюдаемой F:

 

Особенно просто все выглядит в наиболее типичном случае, когда

 .

В этом случае сохранение наблюдаемой F равнозначно коммутативности ее оператора с гамильтонианом, причем безразлично, в какой картине:

 : = Û= ,

это условия сохранения.

Кстати, если

 , = ,

то

 .

Важный частный случай:

Если гамильтониан системы не зависит явно от времени, т.е.     = , то энергия сохраняется.

Это очевидно, так как гамильтониан коммутирует сам с собой. Еще один важный результат:

Если гамильтониан не зависит от времени, и величина F сохраняется, то она совместно измерима с энергией.

Это тоже очевидно, так как условие = как раз и равнозначно совместной измеримости наблюдаемых. В такой ситуации можно построить систему общих собственных векторов наблюдаемых H и F. Но собственные векторы  описывают стационарные состояния системы. Значит, стационарные состояния будут квалифицироваться еще и собственными значениями оператора . Идеальной является ситуация, когда мы умудримся построить полный набор сохраняющихся наблюдаемых. Тогда классификация стационарных состояний будет исчерпывающей. В частности, именно так классифицируются стационарные состояния атома водорода. Задаются: главное квантовое число (номер стационарного состояния, определяющий энергию), азимутальное квантовое число (орбитальный момент импульса), магнитное квантовое число (проекция орбитального момента импульса) и спиновое квантовое число (проекция спина). Но об этом подробнее потом, а сейчас так, для понимания важности обсуждаемых проблем.

Итак, в картине Гейзенберга скорость изменения фазовой величины F задает

 Г(t)

А как в картине Шредингера? Ведем здесь новый оператор

,

который не равен , т.е. , ибо чаще всего последняя величина в картине Шредингера есть просто 0. Для выяснения смысла нового оператора найдем скорость изменения среднего значения наблюдаемой F в состоянии y, пользуясь в промежуточных выкладках уравнением Шредингера:

F (t) = (yш(t),   

ш yш(t)) = (yш,шyш) + ( yш,  шy) + (yш, шyш) =

= (1/ii шyш, шyш) + (yш ш yш) + ( yшш 1/ii ш yш) =

= -1/ii(yш, ш ш yш) + ( yш, ш yш) + 1/ii( yш, шш yш) =

= (yш, ш yш)+i/i( yш, Xш  yш).

Таким образом,

F  (t) =

В этом смысле оператор  и описывает скорость изменения величины F - он задает скорость изменения ее среднего значения.

СВЯЗЬ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ С СИММЕТРИЯМИ

Пусть

 

Рассмотрим эрмитов оператор  (  ) такой, что

,   .

Построим однопараметрическое семейство операторов

(a) = eia.

Из эрмитовости  следует унитарность (a):

  = eia e-ia = .

Из коммутативности  с  следует коммутативность с :

(a) = (a),

откуда, умножая слева на   и используя унитарность, найдем

(a)(a) = .

Таким образом, после совершения унитарного преобразования гамильтониан остается неизменным:

= .

Это и означает (собственно по определению), что в системе есть симметрия.

Важно, что все рассуждения можно обратить. Если (a) - унитарное однопараметрическое преобразование, сохраняющее гамильтониан, то существует сохраняющаяся наблюдаемая, оператор которой находится как

 = .

Этот оператор эрмитов и коммутирует с гамильтонианом:

,  .

Пример. Рассмотрим систему с одной степенью свободы      (координата x) и в качестве  возьмем оператор импульса:

  =  = -ii  Þ  (a) = ei/ia = ead/dx.

Посмотрим, как он действует на волновую функцию:

(a)y (x) = ead/dx y() = y(x) = .

Но справа стоит разложение функции y (x+a) в ряд Тейлора по a. Таким образом, оператор (a) есть оператор трансляции на a:

  y (x) = y (x+a).

Очевидно, что оператор +(a) есть оператор трансляции на a:

 +(a) y (x) = y (x-a).

В результате рассматриваемого преобразования операторы  наблюдаемых переходят в

=+(a) (a).

Найдем в явном виде, считая, что  = (x). Имеем:

= y (x)(x)  (a) y (x) = +(a)((x) y (x+a)) +(a)j (x) =

= j (x-a) = (x-a) y (x):

+(a)(x)  (a) = (x-a).

Если же  = (), то он коммутирует с (a), а потому не меняется:

 +(a)() (a) =().

Обратные рассуждения (более важные) таковы. Пусть система трансляционно инвариантна. Это значит, что

=+(a)  (a) = .

Так как

(x),

то

= (x-a).

Инвариантность означает, что

 U (x-a) = U (x),

т.е. потенциальная энергия не зависит от x. Она есть константа, которую можно положить равной нулю. Тем самым в данном случае результат получается достаточно тривиальным: трансляционно инвариантной является система, состоящая из одной свободной частицы. Сохраняющейся величиной будет

 =  = ,

что в данном случае приводит к закону сохранения импульса.

СВОБОДНАЯ КВАНТОВАЯ ЧАСТИЦА

Рассмотрим поведение свободной квантовой частицы в координатном представлении, где

 = -iiÑ,   = ,

а гамильтониан имеет вид

 = -i2/2mÑ2 ,

(m - масса частицы). Гамильтониан не меняется при трансляциях (см. пример), а потому

= 0,

и импульс сохраняется. В полный набор можно включить  и  - всего четыре оператора. Но степеней свободы три. Дело просто в том, что не все четыре оператора независимы:  выражается через .

Возьмем в качестве операторов полного набора . Они имеют общие собственные функции

 fp(r) = ei/i pr

Каждая из них является собственной и для гамильтониана:

fp(r)=- i2/2mÑ2ei/i pr= ei/ipr = p2/2m fp(r)

Таким образом, функции fp(r) описывают стационарные состояния частицы со значениями энергии

 E = p2/2m.

Полная собственная функция гамильтониана, т.е. волновая функция стационарного состояния с зависимостью от времени, имеет вид

 y(r,t) = e-i/i Ety(r).

В нашем случае

 yp(r,t) = e-i/i p2t/2m e i /i pr.

Можно взять и другой полный набор:  и (единичный вектор в направлении импульса). Так как   = 1, то у него всего два независимых компонента. Добавляя гамильтониан, получим три оператора, как и должно быть. При таком выборе полного набора полные волновые функции стационарных состояний с учетом |p| =  запишутся как

 yE,n(r,t) = Ce-i/i Et.

Константа C находится из условия нормировки, но в данном случае ее проще найти из условия полноты системы волновых функций.

Проведем эту достаточно утомительную выкладку. В абстрактном гильбертовом пространстве условие полноты записывается как

|E,n.tñ áE,n.t|= .

Перейдем к координатному представлению, умножая это равенство слева на ár,а справа на|rRñ:

 òdE ár|En,tñ áEn,t|rRñ  =  ár |rRñ.

Отсюда получаем:

 =  d(r-rR).

Находим и дифференциалы:

dp = p2dpdn,   |n| = 1;   p2/2m  = E,     dE=|p|dp/2m,    dp=2m/p dE.

dp = p22m/pdEdn = 2mpdEdn = 2mdEdn = (2 m 3/2 )E1/2dEdn;

dEdn = dp/(2m)3/2 E1/2.

Переходим в интеграле к dp и к p в показателе экспоненты и вспоминаем условие нормировки обычных волн де Бройля:

òdp/(2m)3/2E1/2|C|2e-ip(r-rR)/I = d(r-rR) = 1/(2pi)3òe-ip(r-rR)/idp Þ 

C = 2m3E)1/4 /(2pi)3/2 .

Окончательно для нормированных волновых функций стационарных состояний имеем:

 yE,n(r,t) =

ДВИЖЕНИЕ КВАНТОВОЙ ЧАСТИЦЫ В «АДДИТИВНОМ» ПОЛЕ

Пусть потенциальная энергия имеет вид

V(r) = V1(x) +V2(y) +V3(z) V1(r1) +V2(r2) +V3(r3) =.

Тогда гамильтониан представляется в виде трех слагаемых

  = , = -i2 /22j +Vj(rj).

Так как

  = , j¹k,

то

=  при всех j,k = 1,2,3,

а значит

= .

В полный набор можно включить четыре оператора  и , но они зависимы. Независимых будет всего три интеграла движения. Выберем в качестве операторов полного набора , и будем параметризовать стационарные состояния их собственными значениями Ej.

Стационарное уравнение Шредингера

  yE(r) = EyE(r)

решаем методом разделения переменных:

 yE(r) = y1(r1) y2(r2) y3(r3).

Подстановка дает:

 y2 y31 y1 + y1 y32 y2 + y1 y23 y3 = E y1 y2y3.

Отсюда, в силу независимости переменных rj,

 jyj = E   Þ  1/yjj yj = Ej,

где

= E.

Получаем три отдельных уравнения

 jyj = Ejyj  Þ  -i2/2md2/drjyj(rj) +Vj(rj) yj(rj) = Ejyj(rj).

ЧАСТИЦА В БЕСКОНЕЧНОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ЯМЕ

Рассмотрим поведение квантовой частицы в бесконечной прямоугольной потенциальной яме

V(x) = .

Стационарное уравнение Шредингера

-yRR(x) + V(x)y(x)= E y(x)

имеет в качестве решения y(x) = 0 вне ямы. Поэтому нужно решать задачу на интервале

0 < x < l, где

 -yRR(x) = Ey(x)

с граничными условиями

 y(0) = 0,  y(l) = 0.

Вводя обозначение

2mE/i2 = k2

запишем уравнение Шредингера как

 yRR(x) + k2y(x) = 0.

Общее решение уравнения имеет вид

 y (x) = Aeikx + Be-ikx.

Если E< 0, то k чисто мнимо, и обозначим его как ig. Тогда

 y (x) = Ae -gx  + Be gx.

Граничные условия дают

 A + B = 0,    Ae -gl + Be gl = 0,

откуда

 Ash(gl) =  0.

Отсюда или A=0, и y=0, или g=0, и все равно y=0. Поэтому значения энергии могут быть только положительными.

Пусть это так. Тогда граничные условия дадут

 A + B = 0,    Ae ikl + Be -ikl = 0,

откуда

 Asin(kl) = 0.

Так как A ¹ 0, то sin(kl) = 0, откуда kl = pn, где n = 1, 2, ....   Для энергии

 E = i2 k2 /2m = i2 /2m (pn/l)2,

т.е. получаем дискретный энергетический спектр

 En = p2i2/2ml2  n2.

Волновые функции стационарных состояний теперь запишутся как

 yn(x) = Asinknx,

причем вырождения нет, так как числам n и -n отвечают волновые функции, различающиеся только знаком, а значит описывающие одно состояние. Таким образом, спектр не только дискретный и простой. Константу A находим из условия нормировки:

1 = (yn ,yn) =dx =

= |A|2l/2   Þ   A = (2/l)1/2

и окончательно для нормированных волновых функций стационарных состояний имеем:

 yn(x) = (2/l)1/2sinpn/lx.

Для движения свободной частицы мы имели

 fp(x) = 1/(2pi)1/2ei/i px.

Это есть обобщенная волновая функция. Так как квадрат ее модуля есть константа, то частицу с равной вероятностью можно найти в любой точке прямой. Это соответствует инфинитному движению частицы. В нашем случае получилась обычная волновая функция, равная нулю вне интервала (0,l). Это значит, что мы можем найти ее только внутри ямы, что соответствует финитному движению. В этом принципиальная разница между двумя рассмотренными случаями.

FILENAME lecture06.doc

-  PAGE 51 -


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

33723. Планирование расследования по уголовному делу 29.5 KB
  Планирование расследования по уголовному делу Оно включает в себя следующие этапы:1 Планирование первоначальных следственных действий и розыскных мероприятий. На данном этапе расследования следователь должен: уяснить характер и сущность противоправного деяния; установить лицо его совершившее и организовать розыск преступника и похищенного имущества. Для решения этих задач следователь изучает сообщение о преступлении материалы административного расследования строит общие версии и проводит неотложные следственные и розыскные действия...
33724. Планирование отдельного следственного действия 25.5 KB
  Планирование отдельного следственного действия Следователь планирует не только очередность и сроки производства всех следственных действий по уголовному делу но и проведение каждого в отдельности следственного действия. Чтобы тактически правильно провести следственное действие и полно зафиксировать его ход и результаты следователь на этапе подготовки этого действия планирует предстоящую работу и осуществляет организационные мероприятия необходимые для реализации намеченного плана. Планируя следственное действие следователь определяет: а...
33725. Виды ТО 12.52 KB
  способы программа действий Тактические операции классифицируются по различным основаниям: 1 по характеру следственных ситуаций в условиях которых проводятся тактические операции: а проводимые в простых ситуациях; б проводимые в условиях сложной ситуации; 2 по отношению к предмету доказывания: а способствующие установлению обстоятельств входящих в предмет доказывания; б способствующие установлению вспомогательных фактов; 3 похарактеру и содержанию действий: а состоящие только из следственных действий; б состоящие из различных...
33726. Следственная ситуация 11.77 KB
  Следственная ситуация статикодинамическое состояние процесса раскрытия преступления на определённый момент отражающий своеобразие расследования. уровень и разработанность научных рекомендаций в области расследования. оценка расследуемого события существующая на момент расследования. место время расследования преступления наличие возможности использования в конкретный момент расследования сил средств времени оптимальным образом.
33727. Формы применения специальных знаний при расследовании преступлений 25 KB
  При раскрытии и расследовании преступлений, судебном разбирательстве у следователя или суда возникает необходимость в помощи лиц, обладающих специальными знаниями в различных областях науки, техники, искусства, ремесла. Специальными являются знания, основанные на теоретических познаниях в какой-либо области, а также приобретенные лицом в процессе практической профессиональной деятельности.
33728. Формы участия населения в осуществлении местного самоуправления 62.5 KB
  Формы участия населения в осуществлении местного самоуправления Существуют следующие форму участия населения в осуществлении МСУ согласно закону № 131: 1. Принятое на местном референдуме решение подлежит обязательному исполнению на территории муниципального образования и не нуждается в утверждении какимилибо органами государственной власти их должностными лицами или органами местного самоуправления. Муниципальные выборы: Муниципальные выборы проводятся в целях избрания депутатов членов выборного органа местного самоуправления выборных...
33729. Международное товарищество рабочих 134.79 KB
  Деятельность Маркса и Энгельса в 50-х годах В предвидении нового подъема рабочего движения Маркс и Энгельс приступили к собиранию сил рабочего класса, ослабленных поражениями и преследованиями, и занялись обобщением опыта недавно пройденного революционного пути
33730. Осуществление органами МСУ отдельных государственных полномочий 28 KB
  Порядок наделения органов местного самоуправления отдельными государственными полномочиями: Полномочия органов местного самоуправления установленные федеральными законами и законами субъектов Российской Федерации по вопросам не отнесенным к вопросам местного значения являются отдельными государственными полномочиями передаваемыми для осуществления органам местного самоуправления. Наделение органов местного самоуправления отдельными государственными полномочиями Российской Федерации осуществляется федеральными законами отдельными...
33731. Ответственность органов местного самоуправления и должностных лиц местного самоуправления 36 KB
  Ответственность органов местного самоуправления и должностных лиц местного самоуправления перед государством наступает на основании решения соответствующего суда в случае нарушения ими Конституции Российской Федерации федеральных конституционных законов федеральных законов конституции устава законов субъекта Российской Федерации устава муниципального образования а также в случае ненадлежащего осуществления указанными органами и должностными лицами переданных им отдельных государственных полномочий. В случае если соответствующим судом...