67556

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

Лекция

Физика

В картине Шредингера затруднительно сразу сказать, что такое сохраняющаяся физическая величина, так как операторы наблюдаемых обычно вообще от времени не зависят. Приходится исхитряться (см. ниже). А в картине Гейзенберга все ясно.

Русский

2014-09-12

488.5 KB

0 чел.

Л Е К Ц И Я  6

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

В картине Шредингера затруднительно сразу сказать, что такое сохраняющаяся физическая величина, так как операторы наблюдаемых обычно вообще от времени не зависят. Приходится исхитряться  (см. ниже). А в картине Гейзенберга все ясно.

Если

 Г(t) = ,    Þ   Г (t) = const,

то - интеграл движения (точнее, интегралом движения является величина, описываемая этим оператором). Из уравнения Гейзенберга сразу следует  необходимое и достаточное условие сохранения наблюдаемой F:

 

Особенно просто все выглядит в наиболее типичном случае, когда

 .

В этом случае сохранение наблюдаемой F равнозначно коммутативности ее оператора с гамильтонианом, причем безразлично, в какой картине:

 : = Û= ,

это условия сохранения.

Кстати, если

 , = ,

то

 .

Важный частный случай:

Если гамильтониан системы не зависит явно от времени, т.е.     = , то энергия сохраняется.

Это очевидно, так как гамильтониан коммутирует сам с собой. Еще один важный результат:

Если гамильтониан не зависит от времени, и величина F сохраняется, то она совместно измерима с энергией.

Это тоже очевидно, так как условие = как раз и равнозначно совместной измеримости наблюдаемых. В такой ситуации можно построить систему общих собственных векторов наблюдаемых H и F. Но собственные векторы  описывают стационарные состояния системы. Значит, стационарные состояния будут квалифицироваться еще и собственными значениями оператора . Идеальной является ситуация, когда мы умудримся построить полный набор сохраняющихся наблюдаемых. Тогда классификация стационарных состояний будет исчерпывающей. В частности, именно так классифицируются стационарные состояния атома водорода. Задаются: главное квантовое число (номер стационарного состояния, определяющий энергию), азимутальное квантовое число (орбитальный момент импульса), магнитное квантовое число (проекция орбитального момента импульса) и спиновое квантовое число (проекция спина). Но об этом подробнее потом, а сейчас так, для понимания важности обсуждаемых проблем.

Итак, в картине Гейзенберга скорость изменения фазовой величины F задает

 Г(t)

А как в картине Шредингера? Ведем здесь новый оператор

,

который не равен , т.е. , ибо чаще всего последняя величина в картине Шредингера есть просто 0. Для выяснения смысла нового оператора найдем скорость изменения среднего значения наблюдаемой F в состоянии y, пользуясь в промежуточных выкладках уравнением Шредингера:

F (t) = (yш(t),   

ш yш(t)) = (yш,шyш) + ( yш,  шy) + (yш, шyш) =

= (1/ii шyш, шyш) + (yш ш yш) + ( yшш 1/ii ш yш) =

= -1/ii(yш, ш ш yш) + ( yш, ш yш) + 1/ii( yш, шш yш) =

= (yш, ш yш)+i/i( yш, Xш  yш).

Таким образом,

F  (t) =

В этом смысле оператор  и описывает скорость изменения величины F - он задает скорость изменения ее среднего значения.

СВЯЗЬ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ С СИММЕТРИЯМИ

Пусть

 

Рассмотрим эрмитов оператор  (  ) такой, что

,   .

Построим однопараметрическое семейство операторов

(a) = eia.

Из эрмитовости  следует унитарность (a):

  = eia e-ia = .

Из коммутативности  с  следует коммутативность с :

(a) = (a),

откуда, умножая слева на   и используя унитарность, найдем

(a)(a) = .

Таким образом, после совершения унитарного преобразования гамильтониан остается неизменным:

= .

Это и означает (собственно по определению), что в системе есть симметрия.

Важно, что все рассуждения можно обратить. Если (a) - унитарное однопараметрическое преобразование, сохраняющее гамильтониан, то существует сохраняющаяся наблюдаемая, оператор которой находится как

 = .

Этот оператор эрмитов и коммутирует с гамильтонианом:

,  .

Пример. Рассмотрим систему с одной степенью свободы      (координата x) и в качестве  возьмем оператор импульса:

  =  = -ii  Þ  (a) = ei/ia = ead/dx.

Посмотрим, как он действует на волновую функцию:

(a)y (x) = ead/dx y() = y(x) = .

Но справа стоит разложение функции y (x+a) в ряд Тейлора по a. Таким образом, оператор (a) есть оператор трансляции на a:

  y (x) = y (x+a).

Очевидно, что оператор +(a) есть оператор трансляции на a:

 +(a) y (x) = y (x-a).

В результате рассматриваемого преобразования операторы  наблюдаемых переходят в

=+(a) (a).

Найдем в явном виде, считая, что  = (x). Имеем:

= y (x)(x)  (a) y (x) = +(a)((x) y (x+a)) +(a)j (x) =

= j (x-a) = (x-a) y (x):

+(a)(x)  (a) = (x-a).

Если же  = (), то он коммутирует с (a), а потому не меняется:

 +(a)() (a) =().

Обратные рассуждения (более важные) таковы. Пусть система трансляционно инвариантна. Это значит, что

=+(a)  (a) = .

Так как

(x),

то

= (x-a).

Инвариантность означает, что

 U (x-a) = U (x),

т.е. потенциальная энергия не зависит от x. Она есть константа, которую можно положить равной нулю. Тем самым в данном случае результат получается достаточно тривиальным: трансляционно инвариантной является система, состоящая из одной свободной частицы. Сохраняющейся величиной будет

 =  = ,

что в данном случае приводит к закону сохранения импульса.

СВОБОДНАЯ КВАНТОВАЯ ЧАСТИЦА

Рассмотрим поведение свободной квантовой частицы в координатном представлении, где

 = -iiÑ,   = ,

а гамильтониан имеет вид

 = -i2/2mÑ2 ,

(m - масса частицы). Гамильтониан не меняется при трансляциях (см. пример), а потому

= 0,

и импульс сохраняется. В полный набор можно включить  и  - всего четыре оператора. Но степеней свободы три. Дело просто в том, что не все четыре оператора независимы:  выражается через .

Возьмем в качестве операторов полного набора . Они имеют общие собственные функции

 fp(r) = ei/i pr

Каждая из них является собственной и для гамильтониана:

fp(r)=- i2/2mÑ2ei/i pr= ei/ipr = p2/2m fp(r)

Таким образом, функции fp(r) описывают стационарные состояния частицы со значениями энергии

 E = p2/2m.

Полная собственная функция гамильтониана, т.е. волновая функция стационарного состояния с зависимостью от времени, имеет вид

 y(r,t) = e-i/i Ety(r).

В нашем случае

 yp(r,t) = e-i/i p2t/2m e i /i pr.

Можно взять и другой полный набор:  и (единичный вектор в направлении импульса). Так как   = 1, то у него всего два независимых компонента. Добавляя гамильтониан, получим три оператора, как и должно быть. При таком выборе полного набора полные волновые функции стационарных состояний с учетом |p| =  запишутся как

 yE,n(r,t) = Ce-i/i Et.

Константа C находится из условия нормировки, но в данном случае ее проще найти из условия полноты системы волновых функций.

Проведем эту достаточно утомительную выкладку. В абстрактном гильбертовом пространстве условие полноты записывается как

|E,n.tñ áE,n.t|= .

Перейдем к координатному представлению, умножая это равенство слева на ár,а справа на|rRñ:

 òdE ár|En,tñ áEn,t|rRñ  =  ár |rRñ.

Отсюда получаем:

 =  d(r-rR).

Находим и дифференциалы:

dp = p2dpdn,   |n| = 1;   p2/2m  = E,     dE=|p|dp/2m,    dp=2m/p dE.

dp = p22m/pdEdn = 2mpdEdn = 2mdEdn = (2 m 3/2 )E1/2dEdn;

dEdn = dp/(2m)3/2 E1/2.

Переходим в интеграле к dp и к p в показателе экспоненты и вспоминаем условие нормировки обычных волн де Бройля:

òdp/(2m)3/2E1/2|C|2e-ip(r-rR)/I = d(r-rR) = 1/(2pi)3òe-ip(r-rR)/idp Þ 

C = 2m3E)1/4 /(2pi)3/2 .

Окончательно для нормированных волновых функций стационарных состояний имеем:

 yE,n(r,t) =

ДВИЖЕНИЕ КВАНТОВОЙ ЧАСТИЦЫ В «АДДИТИВНОМ» ПОЛЕ

Пусть потенциальная энергия имеет вид

V(r) = V1(x) +V2(y) +V3(z) V1(r1) +V2(r2) +V3(r3) =.

Тогда гамильтониан представляется в виде трех слагаемых

  = , = -i2 /22j +Vj(rj).

Так как

  = , j¹k,

то

=  при всех j,k = 1,2,3,

а значит

= .

В полный набор можно включить четыре оператора  и , но они зависимы. Независимых будет всего три интеграла движения. Выберем в качестве операторов полного набора , и будем параметризовать стационарные состояния их собственными значениями Ej.

Стационарное уравнение Шредингера

  yE(r) = EyE(r)

решаем методом разделения переменных:

 yE(r) = y1(r1) y2(r2) y3(r3).

Подстановка дает:

 y2 y31 y1 + y1 y32 y2 + y1 y23 y3 = E y1 y2y3.

Отсюда, в силу независимости переменных rj,

 jyj = E   Þ  1/yjj yj = Ej,

где

= E.

Получаем три отдельных уравнения

 jyj = Ejyj  Þ  -i2/2md2/drjyj(rj) +Vj(rj) yj(rj) = Ejyj(rj).

ЧАСТИЦА В БЕСКОНЕЧНОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ЯМЕ

Рассмотрим поведение квантовой частицы в бесконечной прямоугольной потенциальной яме

V(x) = .

Стационарное уравнение Шредингера

-yRR(x) + V(x)y(x)= E y(x)

имеет в качестве решения y(x) = 0 вне ямы. Поэтому нужно решать задачу на интервале

0 < x < l, где

 -yRR(x) = Ey(x)

с граничными условиями

 y(0) = 0,  y(l) = 0.

Вводя обозначение

2mE/i2 = k2

запишем уравнение Шредингера как

 yRR(x) + k2y(x) = 0.

Общее решение уравнения имеет вид

 y (x) = Aeikx + Be-ikx.

Если E< 0, то k чисто мнимо, и обозначим его как ig. Тогда

 y (x) = Ae -gx  + Be gx.

Граничные условия дают

 A + B = 0,    Ae -gl + Be gl = 0,

откуда

 Ash(gl) =  0.

Отсюда или A=0, и y=0, или g=0, и все равно y=0. Поэтому значения энергии могут быть только положительными.

Пусть это так. Тогда граничные условия дадут

 A + B = 0,    Ae ikl + Be -ikl = 0,

откуда

 Asin(kl) = 0.

Так как A ¹ 0, то sin(kl) = 0, откуда kl = pn, где n = 1, 2, ....   Для энергии

 E = i2 k2 /2m = i2 /2m (pn/l)2,

т.е. получаем дискретный энергетический спектр

 En = p2i2/2ml2  n2.

Волновые функции стационарных состояний теперь запишутся как

 yn(x) = Asinknx,

причем вырождения нет, так как числам n и -n отвечают волновые функции, различающиеся только знаком, а значит описывающие одно состояние. Таким образом, спектр не только дискретный и простой. Константу A находим из условия нормировки:

1 = (yn ,yn) =dx =

= |A|2l/2   Þ   A = (2/l)1/2

и окончательно для нормированных волновых функций стационарных состояний имеем:

 yn(x) = (2/l)1/2sinpn/lx.

Для движения свободной частицы мы имели

 fp(x) = 1/(2pi)1/2ei/i px.

Это есть обобщенная волновая функция. Так как квадрат ее модуля есть константа, то частицу с равной вероятностью можно найти в любой точке прямой. Это соответствует инфинитному движению частицы. В нашем случае получилась обычная волновая функция, равная нулю вне интервала (0,l). Это значит, что мы можем найти ее только внутри ямы, что соответствует финитному движению. В этом принципиальная разница между двумя рассмотренными случаями.

FILENAME lecture06.doc

-  PAGE 51 -