67556

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

Лекция

Физика

В картине Шредингера затруднительно сразу сказать, что такое сохраняющаяся физическая величина, так как операторы наблюдаемых обычно вообще от времени не зависят. Приходится исхитряться (см. ниже). А в картине Гейзенберга все ясно.

Русский

2014-09-12

488.5 KB

0 чел.

Л Е К Ц И Я  6

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

В картине Шредингера затруднительно сразу сказать, что такое сохраняющаяся физическая величина, так как операторы наблюдаемых обычно вообще от времени не зависят. Приходится исхитряться  (см. ниже). А в картине Гейзенберга все ясно.

Если

 Г(t) = ,    Þ   Г (t) = const,

то - интеграл движения (точнее, интегралом движения является величина, описываемая этим оператором). Из уравнения Гейзенберга сразу следует  необходимое и достаточное условие сохранения наблюдаемой F:

 

Особенно просто все выглядит в наиболее типичном случае, когда

 .

В этом случае сохранение наблюдаемой F равнозначно коммутативности ее оператора с гамильтонианом, причем безразлично, в какой картине:

 : = Û= ,

это условия сохранения.

Кстати, если

 , = ,

то

 .

Важный частный случай:

Если гамильтониан системы не зависит явно от времени, т.е.     = , то энергия сохраняется.

Это очевидно, так как гамильтониан коммутирует сам с собой. Еще один важный результат:

Если гамильтониан не зависит от времени, и величина F сохраняется, то она совместно измерима с энергией.

Это тоже очевидно, так как условие = как раз и равнозначно совместной измеримости наблюдаемых. В такой ситуации можно построить систему общих собственных векторов наблюдаемых H и F. Но собственные векторы  описывают стационарные состояния системы. Значит, стационарные состояния будут квалифицироваться еще и собственными значениями оператора . Идеальной является ситуация, когда мы умудримся построить полный набор сохраняющихся наблюдаемых. Тогда классификация стационарных состояний будет исчерпывающей. В частности, именно так классифицируются стационарные состояния атома водорода. Задаются: главное квантовое число (номер стационарного состояния, определяющий энергию), азимутальное квантовое число (орбитальный момент импульса), магнитное квантовое число (проекция орбитального момента импульса) и спиновое квантовое число (проекция спина). Но об этом подробнее потом, а сейчас так, для понимания важности обсуждаемых проблем.

Итак, в картине Гейзенберга скорость изменения фазовой величины F задает

 Г(t)

А как в картине Шредингера? Ведем здесь новый оператор

,

который не равен , т.е. , ибо чаще всего последняя величина в картине Шредингера есть просто 0. Для выяснения смысла нового оператора найдем скорость изменения среднего значения наблюдаемой F в состоянии y, пользуясь в промежуточных выкладках уравнением Шредингера:

F (t) = (yш(t),   

ш yш(t)) = (yш,шyш) + ( yш,  шy) + (yш, шyш) =

= (1/ii шyш, шyш) + (yш ш yш) + ( yшш 1/ii ш yш) =

= -1/ii(yш, ш ш yш) + ( yш, ш yш) + 1/ii( yш, шш yш) =

= (yш, ш yш)+i/i( yш, Xш  yш).

Таким образом,

F  (t) =

В этом смысле оператор  и описывает скорость изменения величины F - он задает скорость изменения ее среднего значения.

СВЯЗЬ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ С СИММЕТРИЯМИ

Пусть

 

Рассмотрим эрмитов оператор  (  ) такой, что

,   .

Построим однопараметрическое семейство операторов

(a) = eia.

Из эрмитовости  следует унитарность (a):

  = eia e-ia = .

Из коммутативности  с  следует коммутативность с :

(a) = (a),

откуда, умножая слева на   и используя унитарность, найдем

(a)(a) = .

Таким образом, после совершения унитарного преобразования гамильтониан остается неизменным:

= .

Это и означает (собственно по определению), что в системе есть симметрия.

Важно, что все рассуждения можно обратить. Если (a) - унитарное однопараметрическое преобразование, сохраняющее гамильтониан, то существует сохраняющаяся наблюдаемая, оператор которой находится как

 = .

Этот оператор эрмитов и коммутирует с гамильтонианом:

,  .

Пример. Рассмотрим систему с одной степенью свободы      (координата x) и в качестве  возьмем оператор импульса:

  =  = -ii  Þ  (a) = ei/ia = ead/dx.

Посмотрим, как он действует на волновую функцию:

(a)y (x) = ead/dx y() = y(x) = .

Но справа стоит разложение функции y (x+a) в ряд Тейлора по a. Таким образом, оператор (a) есть оператор трансляции на a:

  y (x) = y (x+a).

Очевидно, что оператор +(a) есть оператор трансляции на a:

 +(a) y (x) = y (x-a).

В результате рассматриваемого преобразования операторы  наблюдаемых переходят в

=+(a) (a).

Найдем в явном виде, считая, что  = (x). Имеем:

= y (x)(x)  (a) y (x) = +(a)((x) y (x+a)) +(a)j (x) =

= j (x-a) = (x-a) y (x):

+(a)(x)  (a) = (x-a).

Если же  = (), то он коммутирует с (a), а потому не меняется:

 +(a)() (a) =().

Обратные рассуждения (более важные) таковы. Пусть система трансляционно инвариантна. Это значит, что

=+(a)  (a) = .

Так как

(x),

то

= (x-a).

Инвариантность означает, что

 U (x-a) = U (x),

т.е. потенциальная энергия не зависит от x. Она есть константа, которую можно положить равной нулю. Тем самым в данном случае результат получается достаточно тривиальным: трансляционно инвариантной является система, состоящая из одной свободной частицы. Сохраняющейся величиной будет

 =  = ,

что в данном случае приводит к закону сохранения импульса.

СВОБОДНАЯ КВАНТОВАЯ ЧАСТИЦА

Рассмотрим поведение свободной квантовой частицы в координатном представлении, где

 = -iiÑ,   = ,

а гамильтониан имеет вид

 = -i2/2mÑ2 ,

(m - масса частицы). Гамильтониан не меняется при трансляциях (см. пример), а потому

= 0,

и импульс сохраняется. В полный набор можно включить  и  - всего четыре оператора. Но степеней свободы три. Дело просто в том, что не все четыре оператора независимы:  выражается через .

Возьмем в качестве операторов полного набора . Они имеют общие собственные функции

 fp(r) = ei/i pr

Каждая из них является собственной и для гамильтониана:

fp(r)=- i2/2mÑ2ei/i pr= ei/ipr = p2/2m fp(r)

Таким образом, функции fp(r) описывают стационарные состояния частицы со значениями энергии

 E = p2/2m.

Полная собственная функция гамильтониана, т.е. волновая функция стационарного состояния с зависимостью от времени, имеет вид

 y(r,t) = e-i/i Ety(r).

В нашем случае

 yp(r,t) = e-i/i p2t/2m e i /i pr.

Можно взять и другой полный набор:  и (единичный вектор в направлении импульса). Так как   = 1, то у него всего два независимых компонента. Добавляя гамильтониан, получим три оператора, как и должно быть. При таком выборе полного набора полные волновые функции стационарных состояний с учетом |p| =  запишутся как

 yE,n(r,t) = Ce-i/i Et.

Константа C находится из условия нормировки, но в данном случае ее проще найти из условия полноты системы волновых функций.

Проведем эту достаточно утомительную выкладку. В абстрактном гильбертовом пространстве условие полноты записывается как

|E,n.tñ áE,n.t|= .

Перейдем к координатному представлению, умножая это равенство слева на ár,а справа на|rRñ:

 òdE ár|En,tñ áEn,t|rRñ  =  ár |rRñ.

Отсюда получаем:

 =  d(r-rR).

Находим и дифференциалы:

dp = p2dpdn,   |n| = 1;   p2/2m  = E,     dE=|p|dp/2m,    dp=2m/p dE.

dp = p22m/pdEdn = 2mpdEdn = 2mdEdn = (2 m 3/2 )E1/2dEdn;

dEdn = dp/(2m)3/2 E1/2.

Переходим в интеграле к dp и к p в показателе экспоненты и вспоминаем условие нормировки обычных волн де Бройля:

òdp/(2m)3/2E1/2|C|2e-ip(r-rR)/I = d(r-rR) = 1/(2pi)3òe-ip(r-rR)/idp Þ 

C = 2m3E)1/4 /(2pi)3/2 .

Окончательно для нормированных волновых функций стационарных состояний имеем:

 yE,n(r,t) =

ДВИЖЕНИЕ КВАНТОВОЙ ЧАСТИЦЫ В «АДДИТИВНОМ» ПОЛЕ

Пусть потенциальная энергия имеет вид

V(r) = V1(x) +V2(y) +V3(z) V1(r1) +V2(r2) +V3(r3) =.

Тогда гамильтониан представляется в виде трех слагаемых

  = , = -i2 /22j +Vj(rj).

Так как

  = , j¹k,

то

=  при всех j,k = 1,2,3,

а значит

= .

В полный набор можно включить четыре оператора  и , но они зависимы. Независимых будет всего три интеграла движения. Выберем в качестве операторов полного набора , и будем параметризовать стационарные состояния их собственными значениями Ej.

Стационарное уравнение Шредингера

  yE(r) = EyE(r)

решаем методом разделения переменных:

 yE(r) = y1(r1) y2(r2) y3(r3).

Подстановка дает:

 y2 y31 y1 + y1 y32 y2 + y1 y23 y3 = E y1 y2y3.

Отсюда, в силу независимости переменных rj,

 jyj = E   Þ  1/yjj yj = Ej,

где

= E.

Получаем три отдельных уравнения

 jyj = Ejyj  Þ  -i2/2md2/drjyj(rj) +Vj(rj) yj(rj) = Ejyj(rj).

ЧАСТИЦА В БЕСКОНЕЧНОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ЯМЕ

Рассмотрим поведение квантовой частицы в бесконечной прямоугольной потенциальной яме

V(x) = .

Стационарное уравнение Шредингера

-yRR(x) + V(x)y(x)= E y(x)

имеет в качестве решения y(x) = 0 вне ямы. Поэтому нужно решать задачу на интервале

0 < x < l, где

 -yRR(x) = Ey(x)

с граничными условиями

 y(0) = 0,  y(l) = 0.

Вводя обозначение

2mE/i2 = k2

запишем уравнение Шредингера как

 yRR(x) + k2y(x) = 0.

Общее решение уравнения имеет вид

 y (x) = Aeikx + Be-ikx.

Если E< 0, то k чисто мнимо, и обозначим его как ig. Тогда

 y (x) = Ae -gx  + Be gx.

Граничные условия дают

 A + B = 0,    Ae -gl + Be gl = 0,

откуда

 Ash(gl) =  0.

Отсюда или A=0, и y=0, или g=0, и все равно y=0. Поэтому значения энергии могут быть только положительными.

Пусть это так. Тогда граничные условия дадут

 A + B = 0,    Ae ikl + Be -ikl = 0,

откуда

 Asin(kl) = 0.

Так как A ¹ 0, то sin(kl) = 0, откуда kl = pn, где n = 1, 2, ....   Для энергии

 E = i2 k2 /2m = i2 /2m (pn/l)2,

т.е. получаем дискретный энергетический спектр

 En = p2i2/2ml2  n2.

Волновые функции стационарных состояний теперь запишутся как

 yn(x) = Asinknx,

причем вырождения нет, так как числам n и -n отвечают волновые функции, различающиеся только знаком, а значит описывающие одно состояние. Таким образом, спектр не только дискретный и простой. Константу A находим из условия нормировки:

1 = (yn ,yn) =dx =

= |A|2l/2   Þ   A = (2/l)1/2

и окончательно для нормированных волновых функций стационарных состояний имеем:

 yn(x) = (2/l)1/2sinpn/lx.

Для движения свободной частицы мы имели

 fp(x) = 1/(2pi)1/2ei/i px.

Это есть обобщенная волновая функция. Так как квадрат ее модуля есть константа, то частицу с равной вероятностью можно найти в любой точке прямой. Это соответствует инфинитному движению частицы. В нашем случае получилась обычная волновая функция, равная нулю вне интервала (0,l). Это значит, что мы можем найти ее только внутри ямы, что соответствует финитному движению. В этом принципиальная разница между двумя рассмотренными случаями.

FILENAME lecture06.doc

-  PAGE 51 -


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

76198. Мінливий образ великого гетьмана: Б. Хмельницький у історіографічній спадщині 71.96 KB
  Керівник Хмельниччини — повстання проти панування шляхти в Україні, котре, переросло у загальну, очолену козацтвом, визвольну війну проти Речі Посполитої. Перший з козацьких ватажків, котрому офіційно було надано титул гетьмана.
76199. Історичні передумови виникнення християнства 135.5 KB
  Слово завіт означає договір союз Бога з обраним народом і всім людством. Відповідно ту частину в якій ідеться про союз Бога з іудейським народом називають Старим Завітом іудеї Танахом. У Новому Завіті йдеться про союз Бога з усім людством.
76200. Демократичні принципи правової організації та функціонування Верховної Ради України в системі органів державної влади 40 KB
  E тезах досліджуються принципи роботи Верховної Ради України, проблеми представництва інтересів громадян та порушення регламенту роботи парламенту, можливі способи відновлення довіри до ВРУ.
76202. Оптимизация системы полноценного кормления высокопродуктивных молочных коров 79.78 KB
  Рубцовое пищеварение - из всех сельскохозяйственных животных желудок у жвачных самый сложный. Он многокамерный и состоит из четырех отделов: рубца, сетки, книжки и сычуга. Первые три отдела служат преджелудками и лишь последний — сычуг — выполняет роль истинного желудка.
76203. Косвенный иск: понятие и общая характеристика 134.5 KB
  Нарушение интересов общества может выражаться в причинении обществу убытков в результате сделок заключенных единоличным исполнительным органом самостоятельно или по указанию контролирующего участника.
76204. Биологические ритмы и работоспособность 79.44 KB
  Целью являлось рассмотрение динамики работоспособности человека. Биологические ритмы или биоритмы -– это более или менее регулярные изменения характера и интенсивности биологических процессов.
76205. Стандартизація 33.72 KB
  Різко зростають вимоги до сировини матеріалів комплектуючих виробів і готової продукції. У виконанні народногосподарських завдань підвищенні ефективності суспільного виробництва і поліпшенні якості продукції стандартизація відіграє суттєву роль адже вона акумулює найновіші досягнення науки...
76206. Период оттепели 83.09 KB
  СССР был воплощением новой общественно-экономической формации. Сталина и политический кризис в СССР Кризис сталинского правительства начался ещё до того как скончался И. Противники объединившиеся против СССР в мощную коалицию были многочисленны и сильны.