67557

НОРМИРОВКА В НЕПРЕРЫВНОМ СПЕКТРЕ

Лекция

Физика

Классическому инфинитному движению отвечают состояния с обобщенными волновыми функциями которые нельзя нормировать а энергетический спектр является непрерывным. Возникает проблема нормировки волновых функций непрерывного спектра. Реально же на самом деле спектр всегда является дискретным так как...

Русский

2014-09-12

299 KB

4 чел.

Л Е К Ц И Я   7

НОРМИРОВКА В НЕПРЕРЫВНОМ СПЕКТРЕ

Итак, классическому финитному движению отвечает в квантовой механике состояния с нормируемыми волновыми функциями, которые можно нормировать на 1, а энергетический спектр является дискретным. Классическому инфинитному движению отвечают состояния с обобщенными волновыми функциями, которые нельзя нормировать, а энергетический спектр является непрерывным.

Возникает проблема нормировки волновых функций непрерывного спектра. Раньше мы их нормировали, и обычно так и делают, на дельта- функцию. Однако этот прием достаточно формален. Реально же на самом деле спектр всегда является дискретным, так как размеры области локализации  частицы ограничены хотя бы стенками лаборатории. Правда, часто случается так, что L>>l, где L - размеры лаборатории, а l - размеры физической системы. Влияние стенок оказывается пренебрежимо малым, и энергетические уровни расположены  столь тесно, что спектр невозможно отличить от непрерывного. Ведь в предыдущей задаче  величина L2 входила в знаменатель En, и чем она больше, тем гуще спектр.

Но реальная физическая ситуация делает оправданной так называемую «нормировку в ящике», когда частица считается находящейся в ограниченной области, хотя и больших размеров по сравнению с ее собственными размерами. Итак, все пространство разбивается на ящики и частица сажается в один из них. Так как ящик велик, влияние стенок мало и на них можно поставить любые дополнительные условия - условия Бора - Кармана - условия периодичности: требуется, чтобы волновая частица повторялась в каждом ящике. В одномерном случае это записывается как

 y(x+L) = y(x).

От такой волновой функции и требуется, чтобы

=1

Рассмотрим в качестве примера вновь свободную частицу с уравнением Шредингера

 -i2/2myRR = Ey

с волновыми функциями

 y(x) = Aei/i px ;    E = p2/2m,   ,

(импульс строго определен). Накладываем условие периодичности:

 Aei/i p(x+L) = Aei/i px,

откуда

 ei/i pL = 1   Þ   pL/I = 2pn,   nZ.

Получаем дискретный ряд значений для импульса и для энергии:

 pn = 2pi/Ln,   En = 2p2i2n2/mL2 .

При больших L спектр оказывается практически непрерывным, а нормировочная константа

 A = 

Это получается так же, как в задаче о частице в яме, где нормировочная константа как раз и была равной

 A = 

(двойки теперь нет потому, что немножко другие граничные условия - не нулевые, а периодические).

ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ  В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ

Рассмотрим очень важную для физики твердого тела, а значит и для физики низких температур, задачу о движении частицы в периодическом поле с потенциалом

 V(r+n) = V(r),

где

 n = n1a1 + n2a2 + n3a3

причем a1, a2, a3- тройка некомпланарных векторов, а n1, n2, n3 - произвольная тройка целых чисел. Нас интересуют стационарные состояния и энергетический спектр (общие закономерности), т.е. надо исследовать стационарное уравнение Шредингера

 y(r) = E y(r),

где

 = /2m+,  = -i2Ñ2.

Ранее мы вводили одномерный оператор трансляции

 (a) = ei/i pa,

который действует так:

 (a)y(x) = y(x+a)

и

 -1(a)() (a) = (),   (+ = 1  Þ  += -1).

Его обобщение на трехмерный случай очевидно:

 (n) = ei/ipn,

причем здесь в качестве n выбран уже вектор трансляции, по которому есть периодичность. Для потенциала имеем:

 -1(n) V(r)(n) = V(r-n) =V(r),

откуда

 V(r)(n) = (n)V(r),

т.е. оператор трансляции коммутирует сV(r):

 X(n)V(r)] = .

Кроме того, он коммутирует с  (это всегда - см. выше):

  = ,

а значит

  = ,

и потому оператор  порождает интеграл движения.

По этой же причине могут быть выбраны общие собственные функции операторов  и , т.е. стационарные состояния будут характеризоваться не только значениями энергии, но и собственными значениями оператора трансляции:

 y(r) = t(n) y(r).

Применим к этому уравнению оператор :

  y(r) = t*(n)t(n) y(r).

Но так как  = , то слева стоит просто y, а потому

|t(n)| = 1,

т.е. t(n) есть некий фазовый множитель (это следствие унитарности ):

 t(n) = ei/iqn.

Величина q называется квазиимпульсом ( по понятным причинам). В отличие от обычного импульса, квазиимпульс определен неоднозначно. Можно сделать замену

 q ® q + q

где

 qn = 2pik,

а k - произвольное целое число.

Удобно перейти к функциям Блоха

 y(r) = ei/iqrUq(r),

которые можно рассматривать как плоские волны (с точностью до сделанного замечания), модулированные функцией Uq(r). Покажем, что функция Uq(r) является периодической с периодом потенциала. Из определения  имеем

  y(r) = y(r+n) = ei/iq(r+n) Uq(r+n).

С другой стороны, так как y(r) - собственная функция , то

y(r) = t(n)y(r) = ei/iqn y(r) = ei/iqr ei/iqn Uq(r) = ei/iq(r+n)Uq(r).

Сравнение дает

 Uq(r+n) = Uq(r),

что и утверждалось. Если в уравнение Шредингера

-i2/2m Ñ2 y(r) +V(r) y(r) = Ey(r)

подставить функцию Блоха, то получим уравнение

 (i2/2m(Ñ + i/iq)2 + E(q) -V(r) )Uq(r) = 0.

                         . - . - . - .-

Пусть имеется бесконечная кубическая кристаллическая решетка, в которой движется электрон, отталкивающийся на гранях. Потенциал - аддитивный:

 V(r) = ,

причем отталкивание моделируется дельта-функциями:

 V(ri) =d(ri-na),

представляющие собой бесконечно высокие бесконечно тонкие потенциальные барьеры. Разделяя переменные, придем к одномерным задачам типа

 -i2/2myRR(x) +V(x)y(x) = Ey(x),

где потенциал V(x) называется «гребенкой Дирака». Внутри одной ячейки, т.е. в интервале 0<x<a, потенциал равен нулю, так что уравнение Шредингера записывается как

 -i2/2myRR(x) = Ey(x),

и имеет решение

 y(x) = Aei/ipx+Be-i/ipx,      E = p2/2m.

Одно граничное условие дает условие периодичности, из которого следует (см. выше)

 y(x+a) = ei/iqay(x).

Получим теперь условия сшивания решений при x<0 и x>0 в точке x=0, для чего запишем в окрестности этой точки уравнение Шредингера

 -i2/2myRR(x) +V0(x)d(x)y(x) = Ey(x).

Интегрируем его по малому интервалу (-e,e) устремляя затем e ®0:

-i2/2m.

Так как y(x) непрерывна, то при e ® 0 член справа стремится к нулю, и

-i2/2m(yR(e)- yR(-e))+V0y(0) = 0,

откуда

 yR(e) - yR(-e) = 2m V0/i2 y (0).

Но из условия периодичности

 yq(a-e) = eiqa/i yq(-e)   Þ    yRq(-e) = e-iqa/i yRq(q-e),

а потому

 yRq(e) - e-iqa/iyRq(a-e) = 2m V0/i2yq(0).

Итак, мы имеем следующую систему граничных условий:

yq(a+e) = eiqa/iyq(e)

yRq(e) - yRq(a-e) e-iqa/i = 2m V0/i2 y q(0).

Для констант A и B, входящих в общее решение, они дают:

Aeipa/i+Be-ipa/I = eiqa/i(A+B)

i/ipA - i/ipB - i/ipAei(p-q)a/i  +

+ i/ipB e-i(p+q)a/i = 2m V0/i2(+).

Для существования нетривиального решения детерминант должен быть равен нулю:

 

 

Легко раскрывая его, получим

 cospa/i + m V0/pi2 sinpa/I = cosqa/i.

Это есть уравнение для отыскания допустимых значений p, а значит E. Оно разрешимо лишь в том случае, если модуль правой части не больше 1:

 cospa/i + m V0/pi2 sinpa/i  1.

Имеются целые интервалы значений энергии, удовлетворяющие этому условию, и чередующиеся с ними интервалы, где условие не выполняется. Таким образом, энергетический  спектр состоит не из отдельных уровней, а представляет собой последовательности запрещенных и разрешенных энергетических зон.

Разрешенные энергетические зоны называются зонами Бриллюэна.

Их границы определяются из соотношения

 cosqa/i = 1.

Можно показать, что по мере роста энергии зоны Бриллюэна  расширяются, а зазоры между ними уменьшаются, так что спектр приближается к непрерывному.

 

КВАНТОВЫЕ СКОБКИ ПУАССОНА

Вернемся к картине Гейзенберга, в которой динамические уравнения имеют вид

.

А теперь вспомним классическую механику, в которой из канонических уравнений Гамильтона

,     

следует, что любая динамическая переменная f=f(p,q,t) меняется во времени в соответствии с уравнением

 df/dt =  + {H,f}

где {H,f}есть обычная (классическая ) скобка Пуассона

{g,f} = .

Видим, что у нее есть прямой аналог - квантовая скобка Пуассона:

{H,f}кл  ®  ,

или, вообще,

.

Аналогия простирается достаточно далеко - и там, и тут имеют место свойства:

  1.  Антисимметрия {G,F} = -{F,G};
  2.  Тождество Якоби {G,{F,H}} + {H,{G,F}} + {F,{H,G}} = 0;
  3.  Линейность {G,a1F1+ a2F2} = a1{G,F1} + a2{G,F2};
  4.  «Правило Лейбница» {GH,F} = G{H,F} + {G,F}H.

Дирак поставил такую задачу. Сопоставить классическим величинам f операторы  так, чтобы классическая скобка Пуассона переходила в бинарную комбинацию со всеми формальными свойствами, перечисленными выше. И он показал, что этим условием квантовая скобка Пуассона определяется почти однозначно:

,

где a - некоторая универсальная постоянная, одинаковая для всех пар наблюдаемых. Осталось положить a = 1/i. Собственно говоря, при строгом построении квантовой механики именно здесь впервые и появляется постоянная Планка, и такой способ ее введения может служить просто ее определением.

КАНОНИЧЕСКОЕ КВАНТОВАНИЕ

В классической механике легко получить следующие скобки Пуассона:

{qi,qj} = {pi,pj} = 0; {qi,pj} = -dij.

Постулируем, что для соответствующих им операторов в квантовой механике сохраняются те же соотношения, но с заменой обычных скобок Пуассона квантовыми. Тогда сразу получим

== 0;     = iidij.

Это и есть каноническое квантование. Самое интересное следующее. Можно показать (теорема фон Неймана), что коммутационными соотношениями операторы  и  определяются практически однозначно - с точностью до преобразования унитарной эквивалентности. Значит достаточно предъявить какую-то одну пару (,) - например, шредингеровскую xi,. А все другие наблюдаемые (кроме спецфческих, типа спина) выражаются в квантовой механике через  и  так же, как в классической механике.

ТЕОРЕМА ЭРЕНФЕСТА

Как мы видели, в любой картине, в том числе в шредингеровской, средние значения меняются во времени в соответствии с уравнением

.

Применим его к одномерному движению частицы с гамильтонианом

 = ,

полагая сначала =, а затем =:

,   .

Вычисляем коммутаторы:

 

=

= ;

:

[V(),]y(x)=V()y(x)- V()y(x)=

                  = -V(x)iid y(x)/dx + iid y(x)/d(Vy) =

 = -iiVd y(x)/dx+ii Vd y(x)/dx+iid V/dxy Þ [V(x),] =

 = iidV /dx.

 

Подставляя в уравнения, получим квантовые аналоги уравнений Гамильтона:

     .

Дифференцируя первое уравнение по времени и подставляя из второго, получим квантовый аналог второго закона Ньютона:

.

Итак, средние значения координаты и импульса подчиняются тем же уравнениям, что в классической механике. Это и есть теорема Эренфеста.

FILENAME lecture07.doc

-  PAGE 52 -


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

50492. Электрические и электронные аппараты. Лабораторные работы 1.32 MB
  Не включать установку без разрешения преподавателя ведущего занятия В случае обнаружения внештатной ситуации появление напряжения на стенде запах горения появление дыма искрение и др. Стенд имеет источники регулируемого постоянного и переменного напряжения а так же оперативное питание 15 В 30 В 5 В 15 В для питания всех устройств блока лабораторной работы микросхем систем управления обмоток реле и др. Справа от ряда предохранителей находится розетка однофазного напряжения 220 В 50 Гц для подключения осциллографа и другого...
50493. Изучение принципов работы бесконтактных датчиков и датчиков температуры 1.65 MB
  Бесконтактным выключателем (ВБ) называется выключатель, приводимый в действие внешним объектом без механического контакта выключателя и объекта. Коммутация нагрузки производится полупроводниковыми элементами. Все это обеспечивает высокую надёжность работы бесконтактных выключателей. В системах управления они, как правило, выполняют функцию датчиков обратной связи, сигнализируя о завершении выполнения конкретным элементом оборудования команды на перемещение. Но этим их применение не ограничивается.
50494. Проектирование 4-разрядного сумматора 116 KB
  Открыть VHDL файл и записать в него прогр. Сохранить файл под именем dd1 и установить его старшим в иерархии проекта. Список файлов открывается средней клавишей Files. VHDL файлы относятся файлам образующим проект.
50495. Процеси та потоки 134.5 KB
  Крім адресного простору процесу належать такі ресурси як файли динамічні області памяті і потоки. Ресурси створювані за життя процесу обовязково знищуються при його завершенні. Потік thred описує послідовність виконання коду усередині процесу. Первинний потік процесу створюється системою автоматично під час створення процесу.
50496. Взаємодія між потоками 90 KB
  Мета: Засвоїти поняття паралельного виконання «потоків» та освоїти засоби їх синхронізації. Здобути навики синхронізації «потоків» при обробці спільних даних та доступу до ресурсів в операційній системі Windows.
50497. Расчет переходных процессов в линейных цепях 623 KB
  Расчет тока i1 классическим методом. 1)Записываем уравнения Кирхгофа для послекоммутационной цепи: 2) Рассмотрим установившийся режим...
50499. Создание типизованных файлов с использование элементов управления Edit, Button, GroupBox, RadioButton, CheckBox, ListBox 72 KB
  Цель работы Приобретение навыков работы с типизованными файлами использование в работе элементов управления Edit Button GroupBox RdioButton CheckBox ListBox и других для создания форм. Методические указания по самостоятельной работе студентов Типизованный файл это последовательность данных одинакового типа которая предназначена для долгосрочного хранения на внешних носителях. В C создание типизованных файлов осуществляется путём записи в файл блоков информации одинаковой длины.
50500. Моделирование работы программ в виртуальной памяти и исследование эффективности их выполнения 86.5 KB
  Имитационная модель страничных прерываний Программа моделирует процесс обработки страничных прерываний и выполнение алгоритмов замещения страниц при их отсутствии в физической памяти. Модель реализована в классе VM который сохраняет последовательность обращений к памяти исследуемого алгоритма трассировка и моделирует по ней страничные прерывания и алгоритмы замещения собирая при этом статистику. Для моделирования обращения к памяти используется метод VM::ccessint ddr int write который получает адрес обращения обычно это индекс в...