67557

НОРМИРОВКА В НЕПРЕРЫВНОМ СПЕКТРЕ

Лекция

Физика

Классическому инфинитному движению отвечают состояния с обобщенными волновыми функциями которые нельзя нормировать а энергетический спектр является непрерывным. Возникает проблема нормировки волновых функций непрерывного спектра. Реально же на самом деле спектр всегда является дискретным так как...

Русский

2014-09-12

299 KB

4 чел.

Л Е К Ц И Я   7

НОРМИРОВКА В НЕПРЕРЫВНОМ СПЕКТРЕ

Итак, классическому финитному движению отвечает в квантовой механике состояния с нормируемыми волновыми функциями, которые можно нормировать на 1, а энергетический спектр является дискретным. Классическому инфинитному движению отвечают состояния с обобщенными волновыми функциями, которые нельзя нормировать, а энергетический спектр является непрерывным.

Возникает проблема нормировки волновых функций непрерывного спектра. Раньше мы их нормировали, и обычно так и делают, на дельта- функцию. Однако этот прием достаточно формален. Реально же на самом деле спектр всегда является дискретным, так как размеры области локализации  частицы ограничены хотя бы стенками лаборатории. Правда, часто случается так, что L>>l, где L - размеры лаборатории, а l - размеры физической системы. Влияние стенок оказывается пренебрежимо малым, и энергетические уровни расположены  столь тесно, что спектр невозможно отличить от непрерывного. Ведь в предыдущей задаче  величина L2 входила в знаменатель En, и чем она больше, тем гуще спектр.

Но реальная физическая ситуация делает оправданной так называемую «нормировку в ящике», когда частица считается находящейся в ограниченной области, хотя и больших размеров по сравнению с ее собственными размерами. Итак, все пространство разбивается на ящики и частица сажается в один из них. Так как ящик велик, влияние стенок мало и на них можно поставить любые дополнительные условия - условия Бора - Кармана - условия периодичности: требуется, чтобы волновая частица повторялась в каждом ящике. В одномерном случае это записывается как

 y(x+L) = y(x).

От такой волновой функции и требуется, чтобы

=1

Рассмотрим в качестве примера вновь свободную частицу с уравнением Шредингера

 -i2/2myRR = Ey

с волновыми функциями

 y(x) = Aei/i px ;    E = p2/2m,   ,

(импульс строго определен). Накладываем условие периодичности:

 Aei/i p(x+L) = Aei/i px,

откуда

 ei/i pL = 1   Þ   pL/I = 2pn,   nZ.

Получаем дискретный ряд значений для импульса и для энергии:

 pn = 2pi/Ln,   En = 2p2i2n2/mL2 .

При больших L спектр оказывается практически непрерывным, а нормировочная константа

 A = 

Это получается так же, как в задаче о частице в яме, где нормировочная константа как раз и была равной

 A = 

(двойки теперь нет потому, что немножко другие граничные условия - не нулевые, а периодические).

ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ  В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ

Рассмотрим очень важную для физики твердого тела, а значит и для физики низких температур, задачу о движении частицы в периодическом поле с потенциалом

 V(r+n) = V(r),

где

 n = n1a1 + n2a2 + n3a3

причем a1, a2, a3- тройка некомпланарных векторов, а n1, n2, n3 - произвольная тройка целых чисел. Нас интересуют стационарные состояния и энергетический спектр (общие закономерности), т.е. надо исследовать стационарное уравнение Шредингера

 y(r) = E y(r),

где

 = /2m+,  = -i2Ñ2.

Ранее мы вводили одномерный оператор трансляции

 (a) = ei/i pa,

который действует так:

 (a)y(x) = y(x+a)

и

 -1(a)() (a) = (),   (+ = 1  Þ  += -1).

Его обобщение на трехмерный случай очевидно:

 (n) = ei/ipn,

причем здесь в качестве n выбран уже вектор трансляции, по которому есть периодичность. Для потенциала имеем:

 -1(n) V(r)(n) = V(r-n) =V(r),

откуда

 V(r)(n) = (n)V(r),

т.е. оператор трансляции коммутирует сV(r):

 X(n)V(r)] = .

Кроме того, он коммутирует с  (это всегда - см. выше):

  = ,

а значит

  = ,

и потому оператор  порождает интеграл движения.

По этой же причине могут быть выбраны общие собственные функции операторов  и , т.е. стационарные состояния будут характеризоваться не только значениями энергии, но и собственными значениями оператора трансляции:

 y(r) = t(n) y(r).

Применим к этому уравнению оператор :

  y(r) = t*(n)t(n) y(r).

Но так как  = , то слева стоит просто y, а потому

|t(n)| = 1,

т.е. t(n) есть некий фазовый множитель (это следствие унитарности ):

 t(n) = ei/iqn.

Величина q называется квазиимпульсом ( по понятным причинам). В отличие от обычного импульса, квазиимпульс определен неоднозначно. Можно сделать замену

 q ® q + q

где

 qn = 2pik,

а k - произвольное целое число.

Удобно перейти к функциям Блоха

 y(r) = ei/iqrUq(r),

которые можно рассматривать как плоские волны (с точностью до сделанного замечания), модулированные функцией Uq(r). Покажем, что функция Uq(r) является периодической с периодом потенциала. Из определения  имеем

  y(r) = y(r+n) = ei/iq(r+n) Uq(r+n).

С другой стороны, так как y(r) - собственная функция , то

y(r) = t(n)y(r) = ei/iqn y(r) = ei/iqr ei/iqn Uq(r) = ei/iq(r+n)Uq(r).

Сравнение дает

 Uq(r+n) = Uq(r),

что и утверждалось. Если в уравнение Шредингера

-i2/2m Ñ2 y(r) +V(r) y(r) = Ey(r)

подставить функцию Блоха, то получим уравнение

 (i2/2m(Ñ + i/iq)2 + E(q) -V(r) )Uq(r) = 0.

                         . - . - . - .-

Пусть имеется бесконечная кубическая кристаллическая решетка, в которой движется электрон, отталкивающийся на гранях. Потенциал - аддитивный:

 V(r) = ,

причем отталкивание моделируется дельта-функциями:

 V(ri) =d(ri-na),

представляющие собой бесконечно высокие бесконечно тонкие потенциальные барьеры. Разделяя переменные, придем к одномерным задачам типа

 -i2/2myRR(x) +V(x)y(x) = Ey(x),

где потенциал V(x) называется «гребенкой Дирака». Внутри одной ячейки, т.е. в интервале 0<x<a, потенциал равен нулю, так что уравнение Шредингера записывается как

 -i2/2myRR(x) = Ey(x),

и имеет решение

 y(x) = Aei/ipx+Be-i/ipx,      E = p2/2m.

Одно граничное условие дает условие периодичности, из которого следует (см. выше)

 y(x+a) = ei/iqay(x).

Получим теперь условия сшивания решений при x<0 и x>0 в точке x=0, для чего запишем в окрестности этой точки уравнение Шредингера

 -i2/2myRR(x) +V0(x)d(x)y(x) = Ey(x).

Интегрируем его по малому интервалу (-e,e) устремляя затем e ®0:

-i2/2m.

Так как y(x) непрерывна, то при e ® 0 член справа стремится к нулю, и

-i2/2m(yR(e)- yR(-e))+V0y(0) = 0,

откуда

 yR(e) - yR(-e) = 2m V0/i2 y (0).

Но из условия периодичности

 yq(a-e) = eiqa/i yq(-e)   Þ    yRq(-e) = e-iqa/i yRq(q-e),

а потому

 yRq(e) - e-iqa/iyRq(a-e) = 2m V0/i2yq(0).

Итак, мы имеем следующую систему граничных условий:

yq(a+e) = eiqa/iyq(e)

yRq(e) - yRq(a-e) e-iqa/i = 2m V0/i2 y q(0).

Для констант A и B, входящих в общее решение, они дают:

Aeipa/i+Be-ipa/I = eiqa/i(A+B)

i/ipA - i/ipB - i/ipAei(p-q)a/i  +

+ i/ipB e-i(p+q)a/i = 2m V0/i2(+).

Для существования нетривиального решения детерминант должен быть равен нулю:

 

 

Легко раскрывая его, получим

 cospa/i + m V0/pi2 sinpa/I = cosqa/i.

Это есть уравнение для отыскания допустимых значений p, а значит E. Оно разрешимо лишь в том случае, если модуль правой части не больше 1:

 cospa/i + m V0/pi2 sinpa/i  1.

Имеются целые интервалы значений энергии, удовлетворяющие этому условию, и чередующиеся с ними интервалы, где условие не выполняется. Таким образом, энергетический  спектр состоит не из отдельных уровней, а представляет собой последовательности запрещенных и разрешенных энергетических зон.

Разрешенные энергетические зоны называются зонами Бриллюэна.

Их границы определяются из соотношения

 cosqa/i = 1.

Можно показать, что по мере роста энергии зоны Бриллюэна  расширяются, а зазоры между ними уменьшаются, так что спектр приближается к непрерывному.

 

КВАНТОВЫЕ СКОБКИ ПУАССОНА

Вернемся к картине Гейзенберга, в которой динамические уравнения имеют вид

.

А теперь вспомним классическую механику, в которой из канонических уравнений Гамильтона

,     

следует, что любая динамическая переменная f=f(p,q,t) меняется во времени в соответствии с уравнением

 df/dt =  + {H,f}

где {H,f}есть обычная (классическая ) скобка Пуассона

{g,f} = .

Видим, что у нее есть прямой аналог - квантовая скобка Пуассона:

{H,f}кл  ®  ,

или, вообще,

.

Аналогия простирается достаточно далеко - и там, и тут имеют место свойства:

  1.  Антисимметрия {G,F} = -{F,G};
  2.  Тождество Якоби {G,{F,H}} + {H,{G,F}} + {F,{H,G}} = 0;
  3.  Линейность {G,a1F1+ a2F2} = a1{G,F1} + a2{G,F2};
  4.  «Правило Лейбница» {GH,F} = G{H,F} + {G,F}H.

Дирак поставил такую задачу. Сопоставить классическим величинам f операторы  так, чтобы классическая скобка Пуассона переходила в бинарную комбинацию со всеми формальными свойствами, перечисленными выше. И он показал, что этим условием квантовая скобка Пуассона определяется почти однозначно:

,

где a - некоторая универсальная постоянная, одинаковая для всех пар наблюдаемых. Осталось положить a = 1/i. Собственно говоря, при строгом построении квантовой механики именно здесь впервые и появляется постоянная Планка, и такой способ ее введения может служить просто ее определением.

КАНОНИЧЕСКОЕ КВАНТОВАНИЕ

В классической механике легко получить следующие скобки Пуассона:

{qi,qj} = {pi,pj} = 0; {qi,pj} = -dij.

Постулируем, что для соответствующих им операторов в квантовой механике сохраняются те же соотношения, но с заменой обычных скобок Пуассона квантовыми. Тогда сразу получим

== 0;     = iidij.

Это и есть каноническое квантование. Самое интересное следующее. Можно показать (теорема фон Неймана), что коммутационными соотношениями операторы  и  определяются практически однозначно - с точностью до преобразования унитарной эквивалентности. Значит достаточно предъявить какую-то одну пару (,) - например, шредингеровскую xi,. А все другие наблюдаемые (кроме спецфческих, типа спина) выражаются в квантовой механике через  и  так же, как в классической механике.

ТЕОРЕМА ЭРЕНФЕСТА

Как мы видели, в любой картине, в том числе в шредингеровской, средние значения меняются во времени в соответствии с уравнением

.

Применим его к одномерному движению частицы с гамильтонианом

 = ,

полагая сначала =, а затем =:

,   .

Вычисляем коммутаторы:

 

=

= ;

:

[V(),]y(x)=V()y(x)- V()y(x)=

                  = -V(x)iid y(x)/dx + iid y(x)/d(Vy) =

 = -iiVd y(x)/dx+ii Vd y(x)/dx+iid V/dxy Þ [V(x),] =

 = iidV /dx.

 

Подставляя в уравнения, получим квантовые аналоги уравнений Гамильтона:

     .

Дифференцируя первое уравнение по времени и подставляя из второго, получим квантовый аналог второго закона Ньютона:

.

Итак, средние значения координаты и импульса подчиняются тем же уравнениям, что в классической механике. Это и есть теорема Эренфеста.

FILENAME lecture07.doc

-  PAGE 52 -


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34774. Практика как специфический способ отношения человека к миру. Формы практической деятельности. Специфика медицинской практики 34 KB
  Формы практической деятельности. Интегративные функции практики по отношению к другим формам жизнедеятельности В сфере реального отношения людей к миру к природе к обществу к другим людям формируются исходные стимулы развитии всех форм человеческой культуры. Создаваемые в культуре и в материальном производстве и в регуляции отношений между людьми в обществе и наконец в сфере науки искусства философии способы деятельности возникают но сути своей как ответ па определенные проблемы и задачи связанные с воспроизводством...
34775. Глобальные проблемы современности. Философский анализ и решение. Альтернативы будущего 42.5 KB
  Остановим внимание на названных и в первую очередь на экологической проблеме в силу тех причин что все происходящее на планете Земля с участием человека или без него протекает и в природе. Геосфера поверхность Земли как необитаемая так и пригодная для жизни человека. Ноосфера ноо разум область разумной деятельности человека онрделяемая в конечном счете уровнем человеческого интеллекта и объемом перерабатываемой его мозгом информации. С целью их разгадки все сферы взаимоотношений природы и человека были условно разделены на...
34776. Философия медицины. Антропоцентризм. Духовность и медицина. Проблема человека 42.5 KB
  Это касается и права индивида на свободный личный выбор жизни или смерти. Антропоцентризм предписывает противопоставлять феномен человека всем прочим феноменам жизни и Вселенной вообще. Лежит в основе потребительского отношения к природе оправдания уничтожения и эксплуатации других форм жизни. Понимание основ духовной жизни пациента часто включает в себя и знание его духовного развития.
34777. Этический рационализм Сократа. Учение о душе и добродетели. Переоценка ценностей. Особенности метода субъективной диалектики 30 KB
  Сократ около 470 399 до н. Универсальное основание мироздания по Сократу выступает как его всеобщая объективная родовая сущность которая может быть рациональнологически выражена в определенных закономерностях происходящего. Нравственный лучший тот кто знает что именно есть добродетель ибо по Сократу знающий благо поступает в соответствии с этим знанием.
34778. Принцип системности. Система, элемент, структура. Часть и целое, принцип целостности 45 KB
  Органичные системы проходят в процессе их развитии последовательные этапы усложнения и дифференциации. В зависимости от характера отношений со средой различают такие типы поведения систем как реактивное определяемое преимущественно средой адаптивное определяемое средой и функцией саморегуляции присущей самой системе активное в котором существенную роль играют собствен тле цели системы преобразование среды в соответствии с потребностями системы. Наиболее высокоорганизованными являются самоорганизующиеся системы адаптирующиеся и...
34779. Предмет философии и его особенности. Место и роль философии в системе культуры 36.5 KB
  ФИЛОСОФИЯ И КУЛЬТУРА Культура совокупность проявлений жизни творчества и достижений народа или группы народов. По своему содержанию культура расслаивается на самые разные области и сферы: нравы и обычаи; язык и письменность; характер одежды поселений работы; постановка воспитания; экономика; военное дело; политическое и государственное устройство; наука; техника; искусство; религия; все формы проявления объективного духа. Слово культура как научный термин стало употребляться в эпоху Просвещения со второй половины XVII в. В эпоху...
34780. Структура и основные функции философии. Мировоззренческая и методологическая функция 29.5 KB
  Мировоззренческая и методологическая функция ПРЕДМЕТ ФИЛОСОФИИ Философия от греч. Цель философии увлечь человека высшими идеалами вывести его из сферы обыденности придать его жизни истинный смысл открыть путь к самым совершенным ценностям. историю философии.
34781. Истоки философии мифология, религия, любовь к мудрости, раздумья философов 27.5 KB
  Мифология система преданий сказаний легенд при помощи воображения объясняющая протекание и происхождение природных и социальных процессов. Мифология в своем возникновении была наивной философией и наукой. Мифология являла собой попытку объяснения явлений природы и жизни людей взаимоотношение земного и космического начал.
34782. Специфика философского знания. Содержание метод и цель. Отличие философии от религии и искусства 42.5 KB
  Желаешь познать себя философствуй это справедливо как для отдельного человека так и для любой эпохи. Это та область духовной деятельности человека в основании которой лежит рефлексия над самой этой деятельностью и следовательно над ее смыслом целью и формами и в конечном счете над выяснением сущности самого человека как субъекта культуры то есть сущности отношений человека к миру. Цель философии увлечь человека высшими идеалами вывести его из сферы обыденности придать его жизни истинный смысл открыть путь к самым совершенным...