67557

НОРМИРОВКА В НЕПРЕРЫВНОМ СПЕКТРЕ

Лекция

Физика

Классическому инфинитному движению отвечают состояния с обобщенными волновыми функциями которые нельзя нормировать а энергетический спектр является непрерывным. Возникает проблема нормировки волновых функций непрерывного спектра. Реально же на самом деле спектр всегда является дискретным так как...

Русский

2014-09-12

299 KB

4 чел.

Л Е К Ц И Я   7

НОРМИРОВКА В НЕПРЕРЫВНОМ СПЕКТРЕ

Итак, классическому финитному движению отвечает в квантовой механике состояния с нормируемыми волновыми функциями, которые можно нормировать на 1, а энергетический спектр является дискретным. Классическому инфинитному движению отвечают состояния с обобщенными волновыми функциями, которые нельзя нормировать, а энергетический спектр является непрерывным.

Возникает проблема нормировки волновых функций непрерывного спектра. Раньше мы их нормировали, и обычно так и делают, на дельта- функцию. Однако этот прием достаточно формален. Реально же на самом деле спектр всегда является дискретным, так как размеры области локализации  частицы ограничены хотя бы стенками лаборатории. Правда, часто случается так, что L>>l, где L - размеры лаборатории, а l - размеры физической системы. Влияние стенок оказывается пренебрежимо малым, и энергетические уровни расположены  столь тесно, что спектр невозможно отличить от непрерывного. Ведь в предыдущей задаче  величина L2 входила в знаменатель En, и чем она больше, тем гуще спектр.

Но реальная физическая ситуация делает оправданной так называемую «нормировку в ящике», когда частица считается находящейся в ограниченной области, хотя и больших размеров по сравнению с ее собственными размерами. Итак, все пространство разбивается на ящики и частица сажается в один из них. Так как ящик велик, влияние стенок мало и на них можно поставить любые дополнительные условия - условия Бора - Кармана - условия периодичности: требуется, чтобы волновая частица повторялась в каждом ящике. В одномерном случае это записывается как

 y(x+L) = y(x).

От такой волновой функции и требуется, чтобы

=1

Рассмотрим в качестве примера вновь свободную частицу с уравнением Шредингера

 -i2/2myRR = Ey

с волновыми функциями

 y(x) = Aei/i px ;    E = p2/2m,   ,

(импульс строго определен). Накладываем условие периодичности:

 Aei/i p(x+L) = Aei/i px,

откуда

 ei/i pL = 1   Þ   pL/I = 2pn,   nZ.

Получаем дискретный ряд значений для импульса и для энергии:

 pn = 2pi/Ln,   En = 2p2i2n2/mL2 .

При больших L спектр оказывается практически непрерывным, а нормировочная константа

 A = 

Это получается так же, как в задаче о частице в яме, где нормировочная константа как раз и была равной

 A = 

(двойки теперь нет потому, что немножко другие граничные условия - не нулевые, а периодические).

ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ  В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ

Рассмотрим очень важную для физики твердого тела, а значит и для физики низких температур, задачу о движении частицы в периодическом поле с потенциалом

 V(r+n) = V(r),

где

 n = n1a1 + n2a2 + n3a3

причем a1, a2, a3- тройка некомпланарных векторов, а n1, n2, n3 - произвольная тройка целых чисел. Нас интересуют стационарные состояния и энергетический спектр (общие закономерности), т.е. надо исследовать стационарное уравнение Шредингера

 y(r) = E y(r),

где

 = /2m+,  = -i2Ñ2.

Ранее мы вводили одномерный оператор трансляции

 (a) = ei/i pa,

который действует так:

 (a)y(x) = y(x+a)

и

 -1(a)() (a) = (),   (+ = 1  Þ  += -1).

Его обобщение на трехмерный случай очевидно:

 (n) = ei/ipn,

причем здесь в качестве n выбран уже вектор трансляции, по которому есть периодичность. Для потенциала имеем:

 -1(n) V(r)(n) = V(r-n) =V(r),

откуда

 V(r)(n) = (n)V(r),

т.е. оператор трансляции коммутирует сV(r):

 X(n)V(r)] = .

Кроме того, он коммутирует с  (это всегда - см. выше):

  = ,

а значит

  = ,

и потому оператор  порождает интеграл движения.

По этой же причине могут быть выбраны общие собственные функции операторов  и , т.е. стационарные состояния будут характеризоваться не только значениями энергии, но и собственными значениями оператора трансляции:

 y(r) = t(n) y(r).

Применим к этому уравнению оператор :

  y(r) = t*(n)t(n) y(r).

Но так как  = , то слева стоит просто y, а потому

|t(n)| = 1,

т.е. t(n) есть некий фазовый множитель (это следствие унитарности ):

 t(n) = ei/iqn.

Величина q называется квазиимпульсом ( по понятным причинам). В отличие от обычного импульса, квазиимпульс определен неоднозначно. Можно сделать замену

 q ® q + q

где

 qn = 2pik,

а k - произвольное целое число.

Удобно перейти к функциям Блоха

 y(r) = ei/iqrUq(r),

которые можно рассматривать как плоские волны (с точностью до сделанного замечания), модулированные функцией Uq(r). Покажем, что функция Uq(r) является периодической с периодом потенциала. Из определения  имеем

  y(r) = y(r+n) = ei/iq(r+n) Uq(r+n).

С другой стороны, так как y(r) - собственная функция , то

y(r) = t(n)y(r) = ei/iqn y(r) = ei/iqr ei/iqn Uq(r) = ei/iq(r+n)Uq(r).

Сравнение дает

 Uq(r+n) = Uq(r),

что и утверждалось. Если в уравнение Шредингера

-i2/2m Ñ2 y(r) +V(r) y(r) = Ey(r)

подставить функцию Блоха, то получим уравнение

 (i2/2m(Ñ + i/iq)2 + E(q) -V(r) )Uq(r) = 0.

                         . - . - . - .-

Пусть имеется бесконечная кубическая кристаллическая решетка, в которой движется электрон, отталкивающийся на гранях. Потенциал - аддитивный:

 V(r) = ,

причем отталкивание моделируется дельта-функциями:

 V(ri) =d(ri-na),

представляющие собой бесконечно высокие бесконечно тонкие потенциальные барьеры. Разделяя переменные, придем к одномерным задачам типа

 -i2/2myRR(x) +V(x)y(x) = Ey(x),

где потенциал V(x) называется «гребенкой Дирака». Внутри одной ячейки, т.е. в интервале 0<x<a, потенциал равен нулю, так что уравнение Шредингера записывается как

 -i2/2myRR(x) = Ey(x),

и имеет решение

 y(x) = Aei/ipx+Be-i/ipx,      E = p2/2m.

Одно граничное условие дает условие периодичности, из которого следует (см. выше)

 y(x+a) = ei/iqay(x).

Получим теперь условия сшивания решений при x<0 и x>0 в точке x=0, для чего запишем в окрестности этой точки уравнение Шредингера

 -i2/2myRR(x) +V0(x)d(x)y(x) = Ey(x).

Интегрируем его по малому интервалу (-e,e) устремляя затем e ®0:

-i2/2m.

Так как y(x) непрерывна, то при e ® 0 член справа стремится к нулю, и

-i2/2m(yR(e)- yR(-e))+V0y(0) = 0,

откуда

 yR(e) - yR(-e) = 2m V0/i2 y (0).

Но из условия периодичности

 yq(a-e) = eiqa/i yq(-e)   Þ    yRq(-e) = e-iqa/i yRq(q-e),

а потому

 yRq(e) - e-iqa/iyRq(a-e) = 2m V0/i2yq(0).

Итак, мы имеем следующую систему граничных условий:

yq(a+e) = eiqa/iyq(e)

yRq(e) - yRq(a-e) e-iqa/i = 2m V0/i2 y q(0).

Для констант A и B, входящих в общее решение, они дают:

Aeipa/i+Be-ipa/I = eiqa/i(A+B)

i/ipA - i/ipB - i/ipAei(p-q)a/i  +

+ i/ipB e-i(p+q)a/i = 2m V0/i2(+).

Для существования нетривиального решения детерминант должен быть равен нулю:

 

 

Легко раскрывая его, получим

 cospa/i + m V0/pi2 sinpa/I = cosqa/i.

Это есть уравнение для отыскания допустимых значений p, а значит E. Оно разрешимо лишь в том случае, если модуль правой части не больше 1:

 cospa/i + m V0/pi2 sinpa/i  1.

Имеются целые интервалы значений энергии, удовлетворяющие этому условию, и чередующиеся с ними интервалы, где условие не выполняется. Таким образом, энергетический  спектр состоит не из отдельных уровней, а представляет собой последовательности запрещенных и разрешенных энергетических зон.

Разрешенные энергетические зоны называются зонами Бриллюэна.

Их границы определяются из соотношения

 cosqa/i = 1.

Можно показать, что по мере роста энергии зоны Бриллюэна  расширяются, а зазоры между ними уменьшаются, так что спектр приближается к непрерывному.

 

КВАНТОВЫЕ СКОБКИ ПУАССОНА

Вернемся к картине Гейзенберга, в которой динамические уравнения имеют вид

.

А теперь вспомним классическую механику, в которой из канонических уравнений Гамильтона

,     

следует, что любая динамическая переменная f=f(p,q,t) меняется во времени в соответствии с уравнением

 df/dt =  + {H,f}

где {H,f}есть обычная (классическая ) скобка Пуассона

{g,f} = .

Видим, что у нее есть прямой аналог - квантовая скобка Пуассона:

{H,f}кл  ®  ,

или, вообще,

.

Аналогия простирается достаточно далеко - и там, и тут имеют место свойства:

  1.  Антисимметрия {G,F} = -{F,G};
  2.  Тождество Якоби {G,{F,H}} + {H,{G,F}} + {F,{H,G}} = 0;
  3.  Линейность {G,a1F1+ a2F2} = a1{G,F1} + a2{G,F2};
  4.  «Правило Лейбница» {GH,F} = G{H,F} + {G,F}H.

Дирак поставил такую задачу. Сопоставить классическим величинам f операторы  так, чтобы классическая скобка Пуассона переходила в бинарную комбинацию со всеми формальными свойствами, перечисленными выше. И он показал, что этим условием квантовая скобка Пуассона определяется почти однозначно:

,

где a - некоторая универсальная постоянная, одинаковая для всех пар наблюдаемых. Осталось положить a = 1/i. Собственно говоря, при строгом построении квантовой механики именно здесь впервые и появляется постоянная Планка, и такой способ ее введения может служить просто ее определением.

КАНОНИЧЕСКОЕ КВАНТОВАНИЕ

В классической механике легко получить следующие скобки Пуассона:

{qi,qj} = {pi,pj} = 0; {qi,pj} = -dij.

Постулируем, что для соответствующих им операторов в квантовой механике сохраняются те же соотношения, но с заменой обычных скобок Пуассона квантовыми. Тогда сразу получим

== 0;     = iidij.

Это и есть каноническое квантование. Самое интересное следующее. Можно показать (теорема фон Неймана), что коммутационными соотношениями операторы  и  определяются практически однозначно - с точностью до преобразования унитарной эквивалентности. Значит достаточно предъявить какую-то одну пару (,) - например, шредингеровскую xi,. А все другие наблюдаемые (кроме спецфческих, типа спина) выражаются в квантовой механике через  и  так же, как в классической механике.

ТЕОРЕМА ЭРЕНФЕСТА

Как мы видели, в любой картине, в том числе в шредингеровской, средние значения меняются во времени в соответствии с уравнением

.

Применим его к одномерному движению частицы с гамильтонианом

 = ,

полагая сначала =, а затем =:

,   .

Вычисляем коммутаторы:

 

=

= ;

:

[V(),]y(x)=V()y(x)- V()y(x)=

                  = -V(x)iid y(x)/dx + iid y(x)/d(Vy) =

 = -iiVd y(x)/dx+ii Vd y(x)/dx+iid V/dxy Þ [V(x),] =

 = iidV /dx.

 

Подставляя в уравнения, получим квантовые аналоги уравнений Гамильтона:

     .

Дифференцируя первое уравнение по времени и подставляя из второго, получим квантовый аналог второго закона Ньютона:

.

Итак, средние значения координаты и импульса подчиняются тем же уравнениям, что в классической механике. Это и есть теорема Эренфеста.

FILENAME lecture07.doc

-  PAGE 52 -


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24211. Исследование Логических элементов 111 KB
  Выбор двоичной системы счисления диктовался требованиями простоты технической реализации самых сложных задач с использованием всего одного базового элемента ключа который имеет два состояния: включен замкнут или выключен разомкнут. В цифровой технике практические аналоги рассмотренных схем принято называть логическими элементами. Графические обозначения буферного логического элемента а элементов И ANDб ИЛИ OR в Исключающее ИЛИ XOR г и их инверсные варианты во втором ряду NOT NAND NOR XNOR соответственно.
24212. Исследование Мультиплексоров и демультиплексоров 40.5 KB
  У мультиплексора может быть например 16 входов и 1 выход. В силу этого мультиплексоры часто называют селекторами или селекторамимультиплексорами. 1 приведена схема двухканального мультиплексора состоящего из элементов ИЛИ НЕ и двух элементов И. Схема двухканального мультиплексора.
24213. Исследование оперативного запоминающего устройства 354.5 KB
  Матрица состоит из 16 ячеек памяти mem_i схема которой приведена на рис. Каждая ячейка памяти адресуется по входам XY путём выбора дешифраторами адресных линий по строкам Ах0Ах3 и по столбцам Ау0Ау3 см. При этом в выбранной ячейке памяти срабатывает двухвходовой элемент И U1 подготавливая цепи чтениязаписи информации на входных D10D13 или выходных DO0DO3 разрядных шинах. При записи в ячейку памяти см.
24214. Общая характеристика анализа финансово-хозяйственной деятельности предприятия 71.5 KB
  В исследовании экономических процессов применяется метод расчленения объекта изучения на компоненты экономический анализ. Таким образом экономический анализ это способ познания предметов и явлений окружающей экономической среды основанный на расчленение целого на составные части и изучение их во всем многообразии связей и зависимостей. Экономический анализ использует абстрактно логический метод исследования экономических явлений так как здесь эти явления не носят материального характера и их исследование заменяет сила абстракции...
24215. Товарная форма хозяйства, объективные предпосылки его возникновения. Экономические основы товарно-денежных отношений 63 KB
  Исходными экономическими категориями товарного производства а следовательно и рынка является товар и деньги. Деньги это всеобщий эквивалент товар на который обмениваются другие товары это всеобщее средство измерения стоимости всех других товаров. Деньги возникли в результате развития обмена углубления и преодоления противоречий товарного хозяйства. Поскольку сами деньги золото являются общепризнанным воплощением стоимости то они выступают своего рода эталономизмерителем стоимости всех товаров стало быть мерилом затрат...
24216. Платежи за природные ресурсы 117.5 KB
  Сборы за право пользования объектами животного мира и водных биологических ресурсов. Платежи за природные ресурсы установлены с целью экономического регулирования природопользования стимулирования рационального и комплексного использования различных видов природных ресурсов и охраны окружающей среды формирования денежных средств для охраны и воспроизводства природных ресурсов в условиях рыночной экономики. Они призваны оказать стимулирующее влияние на повышение эффективности использования и охраны земель лесов водных объектов и недр...
24217. Важнейшие факторы экономического роста предприятия 44 KB
  Сущность и основные факторы экономического роста предприятия; 2. Показатели эффективности деятельности предприятия и методика их расчета; 3. Экономический рост тенденция изменения совокупных показателей развития предприятия за определенный промежуток времени обычно за год.
24218. Трудовые ресурсы и производительность труда. Организация, нормирование и оплата труда 66 KB
  Отличие трудовых ресурсов от других видов ресурсов в том, что каждый наемный работник может отказаться от предложенных ему условий и потребовать изменения условий труда, переобучения, уволиться по собственному желанию.
24219. Экономическая сущность основных фондов 72.5 KB
  Кроме основных производственных фондов в состав основных фондов промышленности входят и основные непроизводственные фонды. В практике учета и планирования воспроизводства основных фондов промышленности используются как денежные так и натуральные показатели поскольку основные фонды в производственном процессе выступают не только как носители стоимости но и как совокупность определенных средств труда. Денежная оценка основных фондов необходима для учета их динамики планирования расширенного воспроизводства установления снашиваемости...