67557
НОРМИРОВКА В НЕПРЕРЫВНОМ СПЕКТРЕ
Лекция
Физика
Классическому инфинитному движению отвечают состояния с обобщенными волновыми функциями которые нельзя нормировать а энергетический спектр является непрерывным. Возникает проблема нормировки волновых функций непрерывного спектра. Реально же на самом деле спектр всегда является дискретным так как...
Русский
2014-09-12
299 KB
5 чел.
Итак, классическому финитному движению отвечает в квантовой механике состояния с нормируемыми волновыми функциями, которые можно нормировать на 1, а энергетический спектр является дискретным. Классическому инфинитному движению отвечают состояния с обобщенными волновыми функциями, которые нельзя нормировать, а энергетический спектр является непрерывным.
Возникает проблема нормировки волновых функций непрерывного спектра. Раньше мы их нормировали, и обычно так и делают, на дельта- функцию. Однако этот прием достаточно формален. Реально же на самом деле спектр всегда является дискретным, так как размеры области локализации частицы ограничены хотя бы стенками лаборатории. Правда, часто случается так, что L>>l, где L - размеры лаборатории, а l - размеры физической системы. Влияние стенок оказывается пренебрежимо малым, и энергетические уровни расположены столь тесно, что спектр невозможно отличить от непрерывного. Ведь в предыдущей задаче величина L2 входила в знаменатель En, и чем она больше, тем гуще спектр.
Но реальная физическая ситуация делает оправданной так называемую «нормировку в ящике», когда частица считается находящейся в ограниченной области, хотя и больших размеров по сравнению с ее собственными размерами. Итак, все пространство разбивается на ящики и частица сажается в один из них. Так как ящик велик, влияние стенок мало и на них можно поставить любые дополнительные условия - условия Бора - Кармана - условия периодичности: требуется, чтобы волновая частица повторялась в каждом ящике. В одномерном случае это записывается как
y(x+L) = y(x).
От такой волновой функции и требуется, чтобы
=1
Рассмотрим в качестве примера вновь свободную частицу с уравнением Шредингера
-i2/2m yRR = Ey
с волновыми функциями
y(x) = Aei/i px ; E = p2/2m, ,
(импульс строго определен). Накладываем условие периодичности:
Aei/i p(x+L) = Aei/i px,
откуда
ei/i pL = 1 Þ pL/I = 2pn, nZ.
Получаем дискретный ряд значений для импульса и для энергии:
pn = 2pi/Ln, En = 2p2i2n2/mL2 .
При больших L спектр оказывается практически непрерывным, а нормировочная константа
A =
Это получается так же, как в задаче о частице в яме, где нормировочная константа как раз и была равной
A =
(двойки теперь нет потому, что немножко другие граничные условия - не нулевые, а периодические).
Рассмотрим очень важную для физики твердого тела, а значит и для физики низких температур, задачу о движении частицы в периодическом поле с потенциалом
V(r+n) = V(r),
где
n = n1a1 + n2a2 + n3a3
причем a1, a2, a3- тройка некомпланарных векторов, а n1, n2, n3 - произвольная тройка целых чисел. Нас интересуют стационарные состояния и энергетический спектр (общие закономерности), т.е. надо исследовать стационарное уравнение Шредингера
y(r) = E y(r),
где
= /2m+, = -i2Ñ2.
Ранее мы вводили одномерный оператор трансляции
(a) = ei/i pa,
который действует так:
(a)y(x) = y(x+a)
и
-1(a)() (a) = (), (+ = 1 Þ += -1).
Его обобщение на трехмерный случай очевидно:
(n) = ei/ipn,
причем здесь в качестве n выбран уже вектор трансляции, по которому есть периодичность. Для потенциала имеем:
-1(n) V(r)(n) = V(r-n) =V(r),
откуда
V(r)(n) = (n)V(r),
т.е. оператор трансляции коммутирует сV(r):
X(n)V(r)] = .
Кроме того, он коммутирует с (это всегда - см. выше):
= ,
а значит
= ,
и потому оператор порождает интеграл движения.
По этой же причине могут быть выбраны общие собственные функции операторов и , т.е. стационарные состояния будут характеризоваться не только значениями энергии, но и собственными значениями оператора трансляции:
y(r) = t(n) y(r).
Применим к этому уравнению оператор :
y(r) = t*(n)t(n) y(r).
Но так как = , то слева стоит просто y, а потому
|t(n)| = 1,
т.е. t(n) есть некий фазовый множитель (это следствие унитарности ):
t(n) = ei/iqn.
Величина q называется квазиимпульсом ( по понятным причинам). В отличие от обычного импульса, квазиимпульс определен неоднозначно. Можно сделать замену
q ® q + q
где
qn = 2pik,
а k - произвольное целое число.
Удобно перейти к функциям Блоха
y(r) = ei/iqrUq(r),
которые можно рассматривать как плоские волны (с точностью до сделанного замечания), модулированные функцией Uq(r). Покажем, что функция Uq(r) является периодической с периодом потенциала. Из определения имеем
y(r) = y(r+n) = ei/iq(r+n) Uq(r+n).
С другой стороны, так как y(r) - собственная функция , то
y(r) = t(n)y(r) = ei/iqn y(r) = ei/iqr ei/iqn Uq(r) = ei/iq(r+n)Uq(r).
Сравнение дает
Uq(r+n) = Uq(r),
что и утверждалось. Если в уравнение Шредингера
-i2/2m Ñ2 y(r) +V(r) y(r) = Ey(r)
подставить функцию Блоха, то получим уравнение
(i2/2m(Ñ + i/iq)2 + E(q) -V(r) )Uq(r) = 0.
. - . - . - .-
Пусть имеется бесконечная кубическая кристаллическая решетка, в которой движется электрон, отталкивающийся на гранях. Потенциал - аддитивный:
V(r) = ,
причем отталкивание моделируется дельта-функциями:
V(ri) =d(ri-na),
представляющие собой бесконечно высокие бесконечно тонкие потенциальные барьеры. Разделяя переменные, придем к одномерным задачам типа
-i2/2myRR(x) +V(x)y(x) = Ey(x),
где потенциал V(x) называется «гребенкой Дирака». Внутри одной ячейки, т.е. в интервале 0<x<a, потенциал равен нулю, так что уравнение Шредингера записывается как
-i2/2myRR(x) = Ey(x),
и имеет решение
y(x) = Aei/ipx+Be-i/ipx, E = p2/2m.
Одно граничное условие дает условие периодичности, из которого следует (см. выше)
y(x+a) = ei/iqay(x).
Получим теперь условия сшивания решений при x<0 и x>0 в точке x=0, для чего запишем в окрестности этой точки уравнение Шредингера
-i2/2myRR(x) +V0(x)d(x)y(x) = Ey(x).
Интегрируем его по малому интервалу (-e,e) устремляя затем e ®0:
-i2/2m.
Так как y(x) непрерывна, то при e ® 0 член справа стремится к нулю, и
-i2/2m(yR(e)- yR(-e))+V0y(0) = 0,
откуда
yR(e) - yR(-e) = 2m V0/i2 y (0).
Но из условия периодичности
yq(a-e) = eiqa/i yq(-e) Þ yRq(-e) = e-iqa/i yRq(q-e),
а потому
yRq(e) - e-iqa/iyRq(a-e) = 2m V0/i2yq(0).
Итак, мы имеем следующую систему граничных условий:
yq(a+e) = eiqa/iyq(e)
yRq(e) - yRq(a-e) e-iqa/i = 2m V0/i2 y q(0).
Для констант A и B, входящих в общее решение, они дают:
Aeipa/i+Be-ipa/I = eiqa/i(A+B)
i/ipA - i/ipB - i/ipAei(p-q)a/i +
+ i/ipB e-i(p+q)a/i = 2m V0/i2(+).
Для существования нетривиального решения детерминант должен быть равен нулю:
Легко раскрывая его, получим
cospa/i + m V0/pi2 sinpa/I = cosqa/i.
Это есть уравнение для отыскания допустимых значений p, а значит E. Оно разрешимо лишь в том случае, если модуль правой части не больше 1:
cospa/i + m V0/pi2 sinpa/i 1.
Имеются целые интервалы значений энергии, удовлетворяющие этому условию, и чередующиеся с ними интервалы, где условие не выполняется. Таким образом, энергетический спектр состоит не из отдельных уровней, а представляет собой последовательности запрещенных и разрешенных энергетических зон.
Разрешенные энергетические зоны называются зонами Бриллюэна.
cosqa/i = 1.
Можно показать, что по мере роста энергии зоны Бриллюэна расширяются, а зазоры между ними уменьшаются, так что спектр приближается к непрерывному.
Вернемся к картине Гейзенберга, в которой динамические уравнения имеют вид
.
А теперь вспомним классическую механику, в которой из канонических уравнений Гамильтона
,
следует, что любая динамическая переменная f=f(p,q,t) меняется во времени в соответствии с уравнением
df/dt = + {H,f}
где {H,f}есть обычная (классическая ) скобка Пуассона
{g,f} = .
Видим, что у нее есть прямой аналог - квантовая скобка Пуассона:
{H,f}кл ® ,
или, вообще,
.
Аналогия простирается достаточно далеко - и там, и тут имеют место свойства:
Дирак поставил такую задачу. Сопоставить классическим величинам f операторы так, чтобы классическая скобка Пуассона переходила в бинарную комбинацию со всеми формальными свойствами, перечисленными выше. И он показал, что этим условием квантовая скобка Пуассона определяется почти однозначно:
,
где a - некоторая универсальная постоянная, одинаковая для всех пар наблюдаемых. Осталось положить a = 1/i. Собственно говоря, при строгом построении квантовой механики именно здесь впервые и появляется постоянная Планка, и такой способ ее введения может служить просто ее определением.
В классической механике легко получить следующие скобки Пуассона:
{qi,qj} = {pi,pj} = 0; {qi,pj} = -dij.
Постулируем, что для соответствующих им операторов в квантовой механике сохраняются те же соотношения, но с заменой обычных скобок Пуассона квантовыми. Тогда сразу получим
== 0; = iidij.
Это и есть каноническое квантование. Самое интересное следующее. Можно показать (теорема фон Неймана), что коммутационными соотношениями операторы и определяются практически однозначно - с точностью до преобразования унитарной эквивалентности. Значит достаточно предъявить какую-то одну пару (,) - например, шредингеровскую xi,. А все другие наблюдаемые (кроме спецфческих, типа спина) выражаются в квантовой механике через и так же, как в классической механике.
Как мы видели, в любой картине, в том числе в шредингеровской, средние значения меняются во времени в соответствии с уравнением
.
Применим его к одномерному движению частицы с гамильтонианом
= ,
полагая сначала =, а затем =:
, .
Вычисляем коммутаторы:
=
= ;
:
[V(),]y(x)=V()y(x)- V()y(x)=
= -V(x)iid y(x)/dx + iid y(x)/d(Vy) =
= -iiVd y(x)/dx+ii Vd y(x)/dx+iid V/dxy Þ [V(x),] =
= iidV /dx.
Подставляя в уравнения, получим квантовые аналоги уравнений Гамильтона:
.
Дифференцируя первое уравнение по времени и подставляя из второго, получим квантовый аналог второго закона Ньютона:
.
Итак, средние значения координаты и импульса подчиняются тем же уравнениям, что в классической механике. Это и есть теорема Эренфеста.
FILENAME lecture07.doc
- PAGE 52 -
А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать | |||
62287. | Словарная работа на уроках русского языка в начальной школе | 26.47 KB | |
Овладение словарным составом литературного языка является необходимым условием освоения учащимися родного языка: его орфоэпии орфографии грамматики правильного словоупотребления и наконец связной речи вообще. | |||
62291. | Содержание и структура урока физической культуры в общеобразовательной школе | 25.72 KB | |
В практике работы общеобразовательных школ довольно часто говорят о содержании урока. Вместе с тем в работах посвященных теории урока данное понятие не выделено в качестве аспекта заслуживающего специального внимания и анализа. | |||