67558

ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР

Лекция

Физика

Мы получили, что волновые функции стационарных состояний осциллятора являются или четными или нечетными. Оказывается, этот результат можно было предсказать заранее, не решая задачу. Сделаем в этой связи отступление, которое представляет и значительный самостоятельный интерес.

Русский

2014-09-12

773 KB

2 чел.

Л Е К Ц И Я   8

ГАРМОНИЧЕСКИЙ  ОСЦИЛЛЯТОР

Классический осциллятор.

Пусть частица совершает одномерное движение. Разложим ее потенциальную энергию в ряд Тейлора в окрестности x = 0 до второго порядка:

                 V(x) = V(0) + |x=0x + 1/2 |x2.

Пусть x=0 - положение устойчивого равновесия. Тогда в этой точке V(x) - минимум, а потому

(0) = 0,   (0)  k>0.

Гамильтониан записывается как

 H = p2/2m +kx2/2.

Он приводит к уравнению движения

,

с решением

 x = Acos(wt + j).

Для энергии имеем

 E =  + kx2/2 =

 = mw2A2/2sin2wt + kA2/2cos2 wt = mw2A2/2.

Так как

,

то можно также записать

 E = mw2 x2кл.

Квантовый осциллятор в координатном представлении

Гамильтониан имеет вид

 2/2m + mw2x2/2),

и стационарное уравнение Шредингера записывается как

-i2/2(x) + mw2x2/2y (x) = Еy (x).

К нему нужно добавить единственное граничное условие:

  y (x) < +,  (x   ).

Вводя безразмерные координату y и энергию e:

 y = x, e = 2E/iw,

переписываем уравнение (это тривиально):

 (d2/dy2 -y2+e) y(y) = 0.

Легко показать (отбрасывая член с ey(y)), что асимптотика решения такова:

 y(x)+ B,

причем из граничного условия B=0. Поэтому, чтобы привести уравнение к стандартному виду, делаем замену неизвестной функции:

 y(y) = U(y).

Для функции U(y) получается уравнение

 URR- 2yUR + (e-1)U = 0

с граничным условием

 U(y) 0 ( быстрее, чем возрастает ),.

Выписанное уравнение называется уравнением Эрмита. Так как y=0 - регулярная точка, решение можно искать в виде степенного ряда:

 U(y) = .

Дифференцируем его и подставляем в уравнение:

{ak(k-1)kyk-2-ak(2k+1-)yk} = 0,

или

 { ak+2(k+1)(k+2)-ak(2k+1-)}yk = 0,

откуда

 ak+2(k+1)(k+2)-ak(2k+1-) = 0,

и получаем рекуррентное соотношение для коэффициентов:

 ak+2 = {(2k+1-)/(k+1)(k+2)} ak.

Если ряд бесконечный, то при больших

,

т.е. отношение соседних коэффициентов такое же, как в разложении

.

Это решение не удовлетворяет граничному условию. Поэтому ряд должен где-то оборваться. Тогда он будет конечным полиномом, из-за множителя  функция (y) будет быстро убывать при y  , и она будет квадратично интегрируемой.

Как же добиться того, чтобы U(y) было конечным полиномом?

Пусть

 n = max{k}  an0,an+2 = 0.

Тогда из рекуррентного соотношения

2n+1- = 0.

Но этого еще не достаточно. Нужно еще потребовать, чтобы an+1=0.

Этот коэффициент выражается через an-1:

 an+1 = {2(n-1)+1-/n(n+1)} an-1.

Если бы числитель дроби равнялся нулю, то все было бы хорошо. Но в силу предыдущего

2(n-1)+1- = [2n+1-]-2 = -2  0.

Поэтому нужно потребовать an-1=0, а также an-3=0, и так далее, пока не дойдем до a0=0 или a1=0. Ясно, что при n четном должно быть a1=0, а при n нечетном - a0=0, В любом случае условие обрыва ряда, т.е. превращения его в полином, имеет вид

2n+1- = 0     = 2n +1,

откуда, вспоминая, что

,

получаем энергетический спектр гармонического осциллятора:

 En = i(n+1/2), n = 0,1,2,...

Из предыдущего явствует, что если n четно, то a1=0, и все =0, а потому волновая функция - четная:

 2k(-x) = +2k(x).

Если же n-нечетно, то a0=0, все a2k=0, и волновая функция нечетна:

 2k+1(-x) = -2k+1(x).

Если положить a0=1, a1=0 для одного набора решений и a0=0, =1 для другого набора, то получим полиномы Эрмита:

.

Тогда волновые функции стационарных состояний будут функциями Эрмита:

,

где константы An следует определить из условия нормировки

 |(y)|2dy = 1    или     |(x)|2dx = 1.

Второе условие более физично, и оно окончательно дает

.

ЧЕТНОСТЬ

Мы получили, что волновые функции стационарных состояний осциллятора являются или четными или нечетными. Оказывается, этот результат можно было предсказать заранее, не решая задачу. Сделаем в этой связи отступление, которое представляет и значительный самостоятельный интерес.

Рассмотрим преобразование пространственной инверсии системы координат

 r  r’ = -r 

и введем оператор пространственной четности , действующий на волновые функции в координатном представлении по закону

  (r) = (-r).

Рассмотрим теперь функцию

 (r) = (r)  (r)

и подействуем на нее оператором :

(r) = ,

откуда

(r) = (-r).

В частности, если гамильтониан есть четная функция r, а для этого достаточно, чтобы таковой была потенциальная энергия:

 V(-r) =V(r)      (-r) = (r),

то из предыдущего он будет коммутировать с оператором четности:

[,] = 0,

а значит  будет интегралом движения.

Докажем, что оператор  описывает некоторую динамическую переменную (она называется пространственной четностью). Для этого надо доказать, что он эрмитов. Имеем:

                 ((r),(r)) = (r) (r)dV =

                =(r) (-r)dV(-r) (r)dV =

                       ={(r)} (r)dV=(,),

что и утверждалось. Найдем возможные значения этой наблюдаемой, т.е. собственные значения P оператора :

 p = Pp.

Действуем еще раз оператором :

{p (r)} = {Pp()}.

Слева получим

 {p(r)} = p (-r) = p(r),

а справа

 {Pp(r)} = P{p(r)} = P{Pp(r)} = P2p(r).

Таким образом,

 p(r) = P2p (r),

откуда

 P = 1.

Таким образом, у оператора  имеется лишь два собственных значения, которым соответствуют четные и нечетные собственные функции:

 P = +1:   +(-r) = + +(r),

 P = -1:    - (-r) = - -(r).

Эти собственные значения также называются четностью (пространственной, так как в физике элементарных частиц используют и другие четности).

Если четность есть интеграл движения, т.е.

[,] = 0,

(см. выше), то из

 E = EE

следует

 (E) = () E  = ()E  = (E) = ( E)

Таким образом, если E - волновая функция стационарного состояния с энергией , то таковой будет и функция E. Если энергетический спектр простой (невырожденный), т.е. если каждому  отвечает одна (с точностью до множителя) волновая функция, то  и E должны быть пропорциональны друг другу:

 E = PE,

а это значит, что E есть собственная функция оператора , т.е. обладает определенной четностью.

Вывод: если гамильтониан есть четная функция координат, то он коммутирует с оператором , т.е.  - интеграл движения; если к тому же энергетический спектр - простой, то каждое стационарное состояние обладает определенной четностью, т.е. его волновая функция или четна, или нечетна.

Для одномерного гармонического осциллятора все условия выполняются: потенциальная энергия четна, а энергетический спектр - простой (в одномерном случае дискретный спектр всегда простой). Поэтому волновые функции стационарных состояний осциллятора - четные или нечетные.

СРАВНЕНИЕ КВАНТОВОГО И КЛАССИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРОВ

Вернемся к квантовому осциллятору и сравним его поведение с поведением классического осциллятора.

  1.  Энергия квантового осциллятора квантуется, т.е. принимает дискретный ряд значений

 En = (n+1/2),   n = 0,1,2,...

Энергия классического осциллятора может иметь любое значение

= 1/22A2,

определяемое амплитудой A.

2. Минимальное значение энергии квантового осциллятора больше минимального значения потенциальной энергии:

 Eкв min = E0 = /2>Vmin= 0.

Эта энергия называется энергией нулевых колебаний. Для классического осциллятора минимальная энергия равна нулю, т.е. минимальной потенциальной энергии, - никаких «нулевых колебаний» нет.

Рис. 4

3. Классический осциллятор совершает строго финитное движение между точками а и +а, определяемыми из условия

 E =V(a) = 1/22a2.

Волновая функция квантового осциллятора имеет общий вид

 (y) =u(y).

Здесь существует ненулевая вероятность обнаружить частицу в классически недоступной области. Правда, эта вероятность чрезвычайно быстро (как exp(-y2)) стремится к нулю при возрастании ||, а потому часто говорят, что и движение квантового осциллятора является финитным (точнее, оно есть аналог классического финитного движения).

ДРУГОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О КВАНТОВОМ ОСЦИЛЛЯТОРЕ

Вернемся к квантовому осциллятору с гамильтонианом

+1/222.

Перепишем его, вводя вместо и  новые операторы

,   ,

связанные друг с другом операцией сопряжения:

,      .

Из коммутационного соотношения

[,] =

сразу следует, что

[] = ,

(это проверяется прямой подстановкой). Кроме того, выражая  и  через  и

и подставляя результаты в , получим

 = ).

Отсюда элементарно проверяются коммутационные соотношения

[,] = ;   [,] = -.

Пусть n- собственная функция  с собственным значением :

 n = Enn.

Тогда

 n

или 0, или собственная функция  с собственным значением -. Действительно, используя коммутатор  с , имеем:

             (n) = ()n = (-)n =

= (En-)n = (En- )(n).

Аналогично устанавливается второе утверждение. По этой причине  называется понижающим оператором, а -повышающим оператором.

Но энергетический спектр осциллятора ограничен снизу - есть минимальная энергия E0, которой отвечает собственная функция 0 гамильтониана. Дальше понижать некуда, и должно быть

 0 = 0.

Действуем на эту функцию гамильтонианом:

 0 = ( + )0 = 0 + 0 = 0.

Таким образом,

 E0 = .

Функция 0 есть волновая функция основного состояния (его называют также вакуумным состоянием). Она должна быть нормирована:

(0, 0) = 1.

Действуя на нее последовательно оператором , будем получать волновые функции новых стационарных состояний, повышая энергию каждый раз на . Придем к последовательности энергий

 ,  +,  + 2 ,...

т.е.

 E0 = (n+1/2).

Волновая функция стационарного состояния с En есть

 n = cn(+)n0,

где cn- нормировочные постоянные. Для таких функций

 n = Enn, En = (n+1/2).

Записывая

 n = (+1/2)n = Enn = (n+1/2) n,

Получим

 n = nn,    ,

т.е. спектр оператора  состоит из неотрицательных целых чисел 0,1,...

Терминология и физическая интерпретация таковы. Состояние с функцией n «состоит» из остова (основного состояния) с энергией E0 = 1/2  и из n «квазичастиц» - квантов возбуждения с энергиями  =  у каждого. Оператор (часто обозначается просто ) есть оператор уничтожения, а оператор  (обозначение ) - оператор рождения квантов возбуждения ( квазичастиц ). Оператор  есть оператор числа квазичастиц (числа квантов возбуждения).

Естественные и довольно очевидные обобщения построенной схемы играют фундаментальную роль в статистической физике, физике твердого тела, квантовой теории поля и т.д., так как составляют основу метода вторичного квантования. Поэтому хорошо сформулировать данную схему на более абстрактном языке.

Представление чисел заполнения ( - представление, базис Фока)

Отказываемся полностью от координатного представления, вводим через  и  операторы  и  с коммутационным соотношением

[,] = ,

записываем через них гамильтониан осциллятора

  = (+1/2)  (+1/2)

и выбираем в качестве базисных векторы

,

где

|0 = 0,

а каждый |n - собственный вектор гамильтониана:

 |n = En|n,   En = (n +1/2).

Произвольный вектор состояния представляется разложением

| = n|n

и описывается волновой функцией (последовательностью) {n} в n- представлении:

 n = n|.

Смысл ее в том, что |n |2есть вероятность того, что в состоянии мы получим при измерении энергии значение En, т.е. обнаружим в этом состоянии n квантов возбуждения.

Имеют место следующие очень важные соотношения:

 

|n = |n+1

и

|n = .

Первое проверяется непосредственно:

|n = |n+1.

Второе доказываем по индукции. При n=0 оно выполняется в силу определения |0. Допустим, что

|n-1 = |n-2.

Тогда, используя только что доказанное и коммутатор [,] = , имеем:

|n = |n-1 =()|n-1 = ( + )|n-1 =

={|n-1 +|n-1} = {|n-1 +|n-1} =|n-1,

что и требовалось доказать. Теперь легко установить, что {|n} - базис ортонормированный:

 m|n = mn.

Действительно, (mn):

 m|n = 0||n-1 =

=  = mn.

Как и всегда, в заданном представлении операторы представляются некоторыми матрицами - в данном случае

  Fmn = m||n.

Зная действие операторов - и + на |n, сразу находим их матрицы:

 m|-|n = m|n-1 = m,n-1

и

 m|+|n = m|n+1 = m,n+1,

т.е.

                (m)mn = m,n-1,     (+)mn = m,n+1

Еще проще матрица оператора числа квантов возбуждения:

 m||n = nm|n = nm,n.

Как и положено быть матрице оператора в собственном представлении, она диагональна:

 ()mn = nm,n.

В явном виде

, , .

Напомним, что векторы состояний представляются матрицами-столбцами:

...

От n- представления легко перейти в - представление и найти волновые функции в явном виде. Основное условие

 -|0 = 0

в координатном представлении записывается как

)0(x) = 0;     = x,    = ,

или, переходя к безразмерной координате y=x/x0,

(y+)0(y) = 0.

Общее решение этого уравнения очевидно:

 0(y) = C0.

Константу C0 находим из условия нормировки:

1 = (0, 0) ==

 =C2x0,

так что

 0(y) = .

Для волновой функции n-го стационарного состояния имеем:

Но это и есть функция Эрмита. Действительно, учитывая, что

,

и полагая

 f(y) =,

придем к функциям Эрмита в форме Родрига

,

которые уже были выписаны (но не получены!) в начале лекции.

КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ

Вектор основного состояния |0 - собственный вектор оператора  с собственным значением 0:

|0 = 0  0|0.

Поставим задачу на отыскание всех собственных векторов оператора :

| = |.

Найдем векторы | в n- представлении, для чего разложим их по базису {|n}:

| = n||n,

и определим коэффициенты разложения n|. Для этого умножим уравнение на собственные значения оператора  слева на n:

 n|-| = n|.

Расписываем левую часть:

n|-| = ,

и приходим к рекуррентному соотношению

 n + 1||n|,

решение которого очевидно:

 n + 1|=0||n

В результате искомое разложение принимает вид:

.

Величину 0| находим из условия нормировки:

1 = | = 0|0|,

(m|n = mn).

Откуда, с точностью до произвольного фазового множителя,

 0| = .

Таким образом, для собственных векторов | оператора  окончательно получаем

| = |n,

где |n - векторы стационарных состояний осциллятора. Нетрудно доказать, что этот ряд сходится при любом С, т.е. спектр оператора  заполняет всю комплексную плоскость, и у него имеется континуум собственных векторов. Удивляться не надо, ибо  - неэрмитов оператор, а спектральные свойства таких операторов могут быть весьма непривычными. Например, у оператора , наоборот, нет ни одного собственного значения и ни одного собственного вектора.

FILENAME lecture08.doc

-  PAGE 61 -


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

19206. Траектории заряженных частиц в однородных электрическом и магнитном полях 603 KB
  Лекция № 2. Траектории заряженных частиц в однородных электрическом и магнитном полях. Отклонение и фокусировка заряженных частиц в постоянном электрическом поле. Фокусировка в плоском и цилиндрическом конденсаторах. Электростатические энергоанализаторы. Фокусиро
19207. Движение в неоднородном магнитном поле 333 KB
  Лекция № 3. Движение в неоднородном магнитном поле. Дрейфовое приближение условия применимости дрейфовая скорость. Дрейфы в неоднородном магнитном поле. Адиабатический инвариант. Движение в скрещенных электрическом и магнитном полях. Общий случай скрещенных поля л...
19208. Аналогия световой и электронной оптики. Электронная оптика параксиальных пучков 735 KB
  Лекция № 4. Аналогия световой и электронной оптики. Электронная оптика параксиальных пучков. Движение заряженных частиц в аксиальносимметричном электрическом поле. Основные типы электростатических линз. IV. Электронная оптика. 4.1. Аналогия световой и электрон
19209. Движение заряженных частиц в аксиально-симметричном магнитном поле. Магнитные линзы 412.5 KB
  Лекция № 5. Движение заряженных частиц в аксиальносимметричном магнитном поле. Магнитные линзы. Фокусировка короткой катушкой. Магнитные квадрупольные линзы жесткая фокусировка. Магнитные электронные микроскопы. Аберрация электронных линз. V. Магнитные линзы. ...
19210. Ограничение тока пространственным зарядом в диоде. Формула Ленгмюра и Богуславского для плоских и цилиндрических электродов 325.5 KB
  Лекция № 6. Ограничение тока пространственным зарядом в диоде. Формула Ленгмюра и Богуславского для плоских и цилиндрических электродов. Учет начальных скоростей частиц. Образование виртуального катода. Предельная плотность тока пучка частиц в пролетном промежутке
19211. Расхождение пучков заряженных частиц под действием собственного объемного заряда 421.5 KB
  Лекция № 7. Расхождение пучков заряженных частиц под действием собственного объемного заряда. Прямолинейные пучки электронных лучей электронные пушки Пирса. VII. Формирование электронных и ионных пучков. 7.1. Расплывание пучков заряженных частиц под действи
19212. Электромагнитные ускорители плазмы. МГД приближение для описания динамики 269 KB
  Лекция 8 VIII. Плазменные ускорители. Электромагнитные ускорители плазмы. МГД приближение для описания динамики. Одножидкостная модель. Магнитное давление. Равновесие плазменной границы. Рельсотрон. 8.1. МГД приближение. Для описания ускорения плазмы магни...
19213. Термоэлектронная эмиссия. Статистический и термодинамические вывод формулы плотности тока термоэлектронной эмиссии 557.5 KB
  Лекция № 9. Термоэлектронная эмиссия. Статистический и термодинамические вывод формулы плотности тока термоэлектронной эмиссии. Влияние внешнего электрического поля Эффект Шоттки. Распределение термоэлектронов по энергиям. Средняя энергия термоэлектронов. Эксп
19214. Влияние поверхностной неоднородности материала катода на термоэмиссию 557 KB
  Лекция № 10. Влияние поверхностной неоднородности материала катода на термоэмиссию. Пленочные катоды. Оксидные катоды. Автоэлектронная эмиссия. Изменение температуры эмиттера при термо и автоэлектронной эмиссии. 9.7. Влияние поверхностной неоднородности материала...