67558

ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР

Лекция

Физика

Мы получили, что волновые функции стационарных состояний осциллятора являются или четными или нечетными. Оказывается, этот результат можно было предсказать заранее, не решая задачу. Сделаем в этой связи отступление, которое представляет и значительный самостоятельный интерес.

Русский

2014-09-12

773 KB

2 чел.

Л Е К Ц И Я   8

ГАРМОНИЧЕСКИЙ  ОСЦИЛЛЯТОР

Классический осциллятор.

Пусть частица совершает одномерное движение. Разложим ее потенциальную энергию в ряд Тейлора в окрестности x = 0 до второго порядка:

                 V(x) = V(0) + |x=0x + 1/2 |x2.

Пусть x=0 - положение устойчивого равновесия. Тогда в этой точке V(x) - минимум, а потому

(0) = 0,   (0)  k>0.

Гамильтониан записывается как

 H = p2/2m +kx2/2.

Он приводит к уравнению движения

,

с решением

 x = Acos(wt + j).

Для энергии имеем

 E =  + kx2/2 =

 = mw2A2/2sin2wt + kA2/2cos2 wt = mw2A2/2.

Так как

,

то можно также записать

 E = mw2 x2кл.

Квантовый осциллятор в координатном представлении

Гамильтониан имеет вид

 2/2m + mw2x2/2),

и стационарное уравнение Шредингера записывается как

-i2/2(x) + mw2x2/2y (x) = Еy (x).

К нему нужно добавить единственное граничное условие:

  y (x) < +,  (x   ).

Вводя безразмерные координату y и энергию e:

 y = x, e = 2E/iw,

переписываем уравнение (это тривиально):

 (d2/dy2 -y2+e) y(y) = 0.

Легко показать (отбрасывая член с ey(y)), что асимптотика решения такова:

 y(x)+ B,

причем из граничного условия B=0. Поэтому, чтобы привести уравнение к стандартному виду, делаем замену неизвестной функции:

 y(y) = U(y).

Для функции U(y) получается уравнение

 URR- 2yUR + (e-1)U = 0

с граничным условием

 U(y) 0 ( быстрее, чем возрастает ),.

Выписанное уравнение называется уравнением Эрмита. Так как y=0 - регулярная точка, решение можно искать в виде степенного ряда:

 U(y) = .

Дифференцируем его и подставляем в уравнение:

{ak(k-1)kyk-2-ak(2k+1-)yk} = 0,

или

 { ak+2(k+1)(k+2)-ak(2k+1-)}yk = 0,

откуда

 ak+2(k+1)(k+2)-ak(2k+1-) = 0,

и получаем рекуррентное соотношение для коэффициентов:

 ak+2 = {(2k+1-)/(k+1)(k+2)} ak.

Если ряд бесконечный, то при больших

,

т.е. отношение соседних коэффициентов такое же, как в разложении

.

Это решение не удовлетворяет граничному условию. Поэтому ряд должен где-то оборваться. Тогда он будет конечным полиномом, из-за множителя  функция (y) будет быстро убывать при y  , и она будет квадратично интегрируемой.

Как же добиться того, чтобы U(y) было конечным полиномом?

Пусть

 n = max{k}  an0,an+2 = 0.

Тогда из рекуррентного соотношения

2n+1- = 0.

Но этого еще не достаточно. Нужно еще потребовать, чтобы an+1=0.

Этот коэффициент выражается через an-1:

 an+1 = {2(n-1)+1-/n(n+1)} an-1.

Если бы числитель дроби равнялся нулю, то все было бы хорошо. Но в силу предыдущего

2(n-1)+1- = [2n+1-]-2 = -2  0.

Поэтому нужно потребовать an-1=0, а также an-3=0, и так далее, пока не дойдем до a0=0 или a1=0. Ясно, что при n четном должно быть a1=0, а при n нечетном - a0=0, В любом случае условие обрыва ряда, т.е. превращения его в полином, имеет вид

2n+1- = 0     = 2n +1,

откуда, вспоминая, что

,

получаем энергетический спектр гармонического осциллятора:

 En = i(n+1/2), n = 0,1,2,...

Из предыдущего явствует, что если n четно, то a1=0, и все =0, а потому волновая функция - четная:

 2k(-x) = +2k(x).

Если же n-нечетно, то a0=0, все a2k=0, и волновая функция нечетна:

 2k+1(-x) = -2k+1(x).

Если положить a0=1, a1=0 для одного набора решений и a0=0, =1 для другого набора, то получим полиномы Эрмита:

.

Тогда волновые функции стационарных состояний будут функциями Эрмита:

,

где константы An следует определить из условия нормировки

 |(y)|2dy = 1    или     |(x)|2dx = 1.

Второе условие более физично, и оно окончательно дает

.

ЧЕТНОСТЬ

Мы получили, что волновые функции стационарных состояний осциллятора являются или четными или нечетными. Оказывается, этот результат можно было предсказать заранее, не решая задачу. Сделаем в этой связи отступление, которое представляет и значительный самостоятельный интерес.

Рассмотрим преобразование пространственной инверсии системы координат

 r  r’ = -r 

и введем оператор пространственной четности , действующий на волновые функции в координатном представлении по закону

  (r) = (-r).

Рассмотрим теперь функцию

 (r) = (r)  (r)

и подействуем на нее оператором :

(r) = ,

откуда

(r) = (-r).

В частности, если гамильтониан есть четная функция r, а для этого достаточно, чтобы таковой была потенциальная энергия:

 V(-r) =V(r)      (-r) = (r),

то из предыдущего он будет коммутировать с оператором четности:

[,] = 0,

а значит  будет интегралом движения.

Докажем, что оператор  описывает некоторую динамическую переменную (она называется пространственной четностью). Для этого надо доказать, что он эрмитов. Имеем:

                 ((r),(r)) = (r) (r)dV =

                =(r) (-r)dV(-r) (r)dV =

                       ={(r)} (r)dV=(,),

что и утверждалось. Найдем возможные значения этой наблюдаемой, т.е. собственные значения P оператора :

 p = Pp.

Действуем еще раз оператором :

{p (r)} = {Pp()}.

Слева получим

 {p(r)} = p (-r) = p(r),

а справа

 {Pp(r)} = P{p(r)} = P{Pp(r)} = P2p(r).

Таким образом,

 p(r) = P2p (r),

откуда

 P = 1.

Таким образом, у оператора  имеется лишь два собственных значения, которым соответствуют четные и нечетные собственные функции:

 P = +1:   +(-r) = + +(r),

 P = -1:    - (-r) = - -(r).

Эти собственные значения также называются четностью (пространственной, так как в физике элементарных частиц используют и другие четности).

Если четность есть интеграл движения, т.е.

[,] = 0,

(см. выше), то из

 E = EE

следует

 (E) = () E  = ()E  = (E) = ( E)

Таким образом, если E - волновая функция стационарного состояния с энергией , то таковой будет и функция E. Если энергетический спектр простой (невырожденный), т.е. если каждому  отвечает одна (с точностью до множителя) волновая функция, то  и E должны быть пропорциональны друг другу:

 E = PE,

а это значит, что E есть собственная функция оператора , т.е. обладает определенной четностью.

Вывод: если гамильтониан есть четная функция координат, то он коммутирует с оператором , т.е.  - интеграл движения; если к тому же энергетический спектр - простой, то каждое стационарное состояние обладает определенной четностью, т.е. его волновая функция или четна, или нечетна.

Для одномерного гармонического осциллятора все условия выполняются: потенциальная энергия четна, а энергетический спектр - простой (в одномерном случае дискретный спектр всегда простой). Поэтому волновые функции стационарных состояний осциллятора - четные или нечетные.

СРАВНЕНИЕ КВАНТОВОГО И КЛАССИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРОВ

Вернемся к квантовому осциллятору и сравним его поведение с поведением классического осциллятора.

  1.  Энергия квантового осциллятора квантуется, т.е. принимает дискретный ряд значений

 En = (n+1/2),   n = 0,1,2,...

Энергия классического осциллятора может иметь любое значение

= 1/22A2,

определяемое амплитудой A.

2. Минимальное значение энергии квантового осциллятора больше минимального значения потенциальной энергии:

 Eкв min = E0 = /2>Vmin= 0.

Эта энергия называется энергией нулевых колебаний. Для классического осциллятора минимальная энергия равна нулю, т.е. минимальной потенциальной энергии, - никаких «нулевых колебаний» нет.

Рис. 4

3. Классический осциллятор совершает строго финитное движение между точками а и +а, определяемыми из условия

 E =V(a) = 1/22a2.

Волновая функция квантового осциллятора имеет общий вид

 (y) =u(y).

Здесь существует ненулевая вероятность обнаружить частицу в классически недоступной области. Правда, эта вероятность чрезвычайно быстро (как exp(-y2)) стремится к нулю при возрастании ||, а потому часто говорят, что и движение квантового осциллятора является финитным (точнее, оно есть аналог классического финитного движения).

ДРУГОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О КВАНТОВОМ ОСЦИЛЛЯТОРЕ

Вернемся к квантовому осциллятору с гамильтонианом

+1/222.

Перепишем его, вводя вместо и  новые операторы

,   ,

связанные друг с другом операцией сопряжения:

,      .

Из коммутационного соотношения

[,] =

сразу следует, что

[] = ,

(это проверяется прямой подстановкой). Кроме того, выражая  и  через  и

и подставляя результаты в , получим

 = ).

Отсюда элементарно проверяются коммутационные соотношения

[,] = ;   [,] = -.

Пусть n- собственная функция  с собственным значением :

 n = Enn.

Тогда

 n

или 0, или собственная функция  с собственным значением -. Действительно, используя коммутатор  с , имеем:

             (n) = ()n = (-)n =

= (En-)n = (En- )(n).

Аналогично устанавливается второе утверждение. По этой причине  называется понижающим оператором, а -повышающим оператором.

Но энергетический спектр осциллятора ограничен снизу - есть минимальная энергия E0, которой отвечает собственная функция 0 гамильтониана. Дальше понижать некуда, и должно быть

 0 = 0.

Действуем на эту функцию гамильтонианом:

 0 = ( + )0 = 0 + 0 = 0.

Таким образом,

 E0 = .

Функция 0 есть волновая функция основного состояния (его называют также вакуумным состоянием). Она должна быть нормирована:

(0, 0) = 1.

Действуя на нее последовательно оператором , будем получать волновые функции новых стационарных состояний, повышая энергию каждый раз на . Придем к последовательности энергий

 ,  +,  + 2 ,...

т.е.

 E0 = (n+1/2).

Волновая функция стационарного состояния с En есть

 n = cn(+)n0,

где cn- нормировочные постоянные. Для таких функций

 n = Enn, En = (n+1/2).

Записывая

 n = (+1/2)n = Enn = (n+1/2) n,

Получим

 n = nn,    ,

т.е. спектр оператора  состоит из неотрицательных целых чисел 0,1,...

Терминология и физическая интерпретация таковы. Состояние с функцией n «состоит» из остова (основного состояния) с энергией E0 = 1/2  и из n «квазичастиц» - квантов возбуждения с энергиями  =  у каждого. Оператор (часто обозначается просто ) есть оператор уничтожения, а оператор  (обозначение ) - оператор рождения квантов возбуждения ( квазичастиц ). Оператор  есть оператор числа квазичастиц (числа квантов возбуждения).

Естественные и довольно очевидные обобщения построенной схемы играют фундаментальную роль в статистической физике, физике твердого тела, квантовой теории поля и т.д., так как составляют основу метода вторичного квантования. Поэтому хорошо сформулировать данную схему на более абстрактном языке.

Представление чисел заполнения ( - представление, базис Фока)

Отказываемся полностью от координатного представления, вводим через  и  операторы  и  с коммутационным соотношением

[,] = ,

записываем через них гамильтониан осциллятора

  = (+1/2)  (+1/2)

и выбираем в качестве базисных векторы

,

где

|0 = 0,

а каждый |n - собственный вектор гамильтониана:

 |n = En|n,   En = (n +1/2).

Произвольный вектор состояния представляется разложением

| = n|n

и описывается волновой функцией (последовательностью) {n} в n- представлении:

 n = n|.

Смысл ее в том, что |n |2есть вероятность того, что в состоянии мы получим при измерении энергии значение En, т.е. обнаружим в этом состоянии n квантов возбуждения.

Имеют место следующие очень важные соотношения:

 

|n = |n+1

и

|n = .

Первое проверяется непосредственно:

|n = |n+1.

Второе доказываем по индукции. При n=0 оно выполняется в силу определения |0. Допустим, что

|n-1 = |n-2.

Тогда, используя только что доказанное и коммутатор [,] = , имеем:

|n = |n-1 =()|n-1 = ( + )|n-1 =

={|n-1 +|n-1} = {|n-1 +|n-1} =|n-1,

что и требовалось доказать. Теперь легко установить, что {|n} - базис ортонормированный:

 m|n = mn.

Действительно, (mn):

 m|n = 0||n-1 =

=  = mn.

Как и всегда, в заданном представлении операторы представляются некоторыми матрицами - в данном случае

  Fmn = m||n.

Зная действие операторов - и + на |n, сразу находим их матрицы:

 m|-|n = m|n-1 = m,n-1

и

 m|+|n = m|n+1 = m,n+1,

т.е.

                (m)mn = m,n-1,     (+)mn = m,n+1

Еще проще матрица оператора числа квантов возбуждения:

 m||n = nm|n = nm,n.

Как и положено быть матрице оператора в собственном представлении, она диагональна:

 ()mn = nm,n.

В явном виде

, , .

Напомним, что векторы состояний представляются матрицами-столбцами:

...

От n- представления легко перейти в - представление и найти волновые функции в явном виде. Основное условие

 -|0 = 0

в координатном представлении записывается как

)0(x) = 0;     = x,    = ,

или, переходя к безразмерной координате y=x/x0,

(y+)0(y) = 0.

Общее решение этого уравнения очевидно:

 0(y) = C0.

Константу C0 находим из условия нормировки:

1 = (0, 0) ==

 =C2x0,

так что

 0(y) = .

Для волновой функции n-го стационарного состояния имеем:

Но это и есть функция Эрмита. Действительно, учитывая, что

,

и полагая

 f(y) =,

придем к функциям Эрмита в форме Родрига

,

которые уже были выписаны (но не получены!) в начале лекции.

КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ

Вектор основного состояния |0 - собственный вектор оператора  с собственным значением 0:

|0 = 0  0|0.

Поставим задачу на отыскание всех собственных векторов оператора :

| = |.

Найдем векторы | в n- представлении, для чего разложим их по базису {|n}:

| = n||n,

и определим коэффициенты разложения n|. Для этого умножим уравнение на собственные значения оператора  слева на n:

 n|-| = n|.

Расписываем левую часть:

n|-| = ,

и приходим к рекуррентному соотношению

 n + 1||n|,

решение которого очевидно:

 n + 1|=0||n

В результате искомое разложение принимает вид:

.

Величину 0| находим из условия нормировки:

1 = | = 0|0|,

(m|n = mn).

Откуда, с точностью до произвольного фазового множителя,

 0| = .

Таким образом, для собственных векторов | оператора  окончательно получаем

| = |n,

где |n - векторы стационарных состояний осциллятора. Нетрудно доказать, что этот ряд сходится при любом С, т.е. спектр оператора  заполняет всю комплексную плоскость, и у него имеется континуум собственных векторов. Удивляться не надо, ибо  - неэрмитов оператор, а спектральные свойства таких операторов могут быть весьма непривычными. Например, у оператора , наоборот, нет ни одного собственного значения и ни одного собственного вектора.

FILENAME lecture08.doc

-  PAGE 61 -


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

6957. Дільниця технічного обслуговування та поточного ремонту автомобілів КАВЗ-3270 ТА ПАЗ-32054 549 KB
  Важливі науково-технічні відкриття привели до корінних змін у структурі світової економіки, індустріалізації побуту включили у сферу виробництва і збуту нові моделі машин, устаткування, нові матеріали і технології змінили організацію вир...
6958. Визначення зусилля і питоме зусилля об’ємного осаджування циліндричної заготовки d=200мм і висотою h=300мм, інженерним методом розрахунків 147.5 KB
  Теоретичні відомості Осадкою називають технологічну операцію, за допомогою якої зменшують висоту заготівки з одночасним збільшенням її поперечних розмірів. У технологічних процесах кування осадка застосовуємся, як основна так і попередня операція...
6959. Економіка праці та соціально-трудових відносин 703 KB
  Тема1 Ринок праці в економічній системі План лекції: 1.Поняття ринку праці, його елементи і функції 2.Структура, типи і сегменти ринків праці 3.Теоретичні основи аналізу ринку праці Рекомендована література до теми: 1. Богиня Д. П. Основи економік...
6960. Проектирование винтового горизонтального конвейера 248 KB
  Задание Спроектировать винтовой горизонтальный конвейер со следующими параметрами: Производительность Q = 4 т/ч Длина конвейера L = 15 м Транспортируемый материал– зола сухая. Рис.1 Схема винтового конвейера...
6961. Экономика предприятия. Учебный курс 1.58 MB
  В учебном пособии Экономика предприятий дается представление о производственном предприятии как целостной организационно-экономической и социальной системе. Подробно рассмотрены темы, касающиеся обоснования потребности предприятия в основных ресурса...
6962. Назначение режима резания при сверлении, зенкеровании и развертывании 143 KB
  Назначение режима резания при сверлении, зенкеровании и развертывании Цель работы: изучить методику назначения режимов резания по таблицам нормативов. Ознакомиться и приобрести навыки работы с нормативами. Задание: На вертикально-сверлильном станке ...
6963. Серебренный век в русском искусстве 1.4 MB
  Введения Тема меня заинтересовала сразу, потому что считал серебренный век одна из важнейших частей нашей культурной истории России. Задача как можно больше рассказать и пояснить о особенностях серебренного века. Описать каждую из отраслей серебренн...
6964. Учет изменений, вызванных развитием застроенных территорий населенного пункта в государственном кадастре недвижимости (на примере г. Сухой Лог) 1 MB
  В связи с постоянным развитием и перепланировкой городских территорий, изменением социальных, технических требований возникает необходимость проведения реконструкции. Это вызвано и экономической важностью более эффективного использования...
6965. Исследование деятельности ОАО Банка Петрокоммерц 1.34 MB
  Глава 1. Правовые и экономические основы деятельности ОАО Банка Петрокоммерц. Правовое положение Открытое акционерное общество Коммерческий банк Петрокоммерц, именуемое в дальнейшем Банк, является кредитной организацией, созданной по решению внеочер...