67559

КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ

Лекция

Физика

Доказательство основывается на математическом результате, что всякий эрмитов оператор с конечным следом (такие операторы называются ядерными) имеет чисто дискретный спектр. Ставим задачу на собственные значения...

Русский

2014-09-12

390.5 KB

0 чел.

Л Е К Ц И Я  9

КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ

Продолжение

Чтобы найти волновые функции состояний в координатном представлении, можно умножить обе части последней формулы слева на |x и учесть, что

 x | = (x),  x|n = n(x).

Тогда получим

 (x) = n(x).

Просуммировать этот ряд можно, но хлопотливо. Поэтому будем действовать непосредственно. Ставим задачу на собственные значения оператора  в x -представлении:

 (x) = (x),

или

 (x) = (x),

или, в явном виде

()(x) = (x).

Общее решение уравнения сразу находится разделением переменных:

 (x) =A .

Обозначая Re1, Im2 и определяя обычным способом A из условия нормировки, найдем

 (x) = .

Вводя еще обозначения

,

представим искомые волновые функции в виде

 (x) = ,

где  - волновая функция основного состояния осциллятора.

Состояния , описываемые векторами  (или собственными функциями 0(y) оператора , называются когерентными состояниями. Они обладают рядом замечательных свойств.

1. В состояниях соотношение неопределенностей минимизируется:

.

2. Средние значения координаты ( и импульса ) в когерентных состояниях меняются во времени по классическому закону:

 (t) = xкл(t) =Acos(t+).

3. Связь между средними x,p и E такая же, как в классике:

.

4. «Волновые пакеты», отвечающие когерентным состояниям, не расплываются, т.е. дисперсия координаты (и импульса) остается постоянной.

Можно сказать, что когерентные состояния наиболее близки к классическим. Они были открыты в связи с исследованием свойств когерентности лазерного излучения, а сейчас используются в самых разных разделах современной физики, в том числе и в физике низких температур.

СМЕШАННЫЕ СОСТОЯНИЯ И МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ

До сих пор мы описывали состояния микросистемы векторами гильбертова пространства | и волновыми функциями (q) в каком-то заданном q-представлении. Это есть максимально полное квантовомеханическое описание состояний, и они называются чистыми состояниями. Но бывает и так, что для некоторых состояний мы не располагаем всей информацией, необходимой для сопоставления им векторов | или волновых функций (q). Такие состояния называются смешанными, и их способ описания - иной.

Начнем с достаточно простого случая системы двух частиц 1 и 2. Для системы из одной частицы 1 пусть волновая функция есть (1) (q1), а базисные функции обозначим как n(1)(q1), так что

 (1) (q1) =  n(1)(q1).

Для системы одной частицы 2 аналогично пусть волновая функция (2) (q2), а базис образует m(2)(q2):

 (2) (q2) =  m(2)(q2).

Если в двухчастичной системе 1-2 отдельные частицы не взаимодействуют, то ее волновая функция есть произведение одночастичных:

(q1,q2) = (1) (q1)(2) (q2) = n(1)(q1)m(2)(q2).

Но в общей ситуации, когда частицы взаимодействуют, полную волновую функцию нельзя представить в виде произведения одночастичных. Базис здесь образуют всевозможные произведения n(1)(q1)m(2)(q2), и можно записать разложение

(q1,q2) = n(1)(q1)m(2)(q2).

Однако, коэффициенты Cnm уже нельзя представить в прежней форме

 Cnm  Cn(1)Cm(2).

Введем обозначение

 Cnmm(2)(q2)  (q2)

и представим общее разложение в форме

 (q1,q2) = n(q2)n(1)(q1).

Пусть теперь нас интересуют характеристики частицы 1 в общей двухчастичной системе 1-2. Например, пусть нас интересует среднее значение какой-то наблюдаемой  этой частицы - скажем, ее импульса . Тогда в отсутствие взаимодействия мы получим:

         

=

,

nn Cn(1)Cn’(1).

Видим, что в случае невзаимодействующих частиц среднее значение наблюдаемой частицы 1 определяется только ее волновой функцией, а наличие частицы 2 вообще несущественно. Это и естественно, поскольку частицы не влияют друг на друга.

Но пусть теперь взаимодействие присутствует. Тогда

=

.

Здесь введена матрица плотности

 nndq2n(q2)n’(1)(q1).

Формально среднее от вычисляется с ее помощью так же, как в предыдущем случае. Но если там (в отсутствие взаимодействия) матрица плотности (1)nn определялась исключительно поведением частицы 1, то теперь (в общей ситуации) в нее уже входит и поведение частицы 2. Таким образом, при наличии взаимодействия состояние частицы 1 (с точки зрения возможности вычисления средних значений) не может быть описано какой-то волновой функцией вида (q1). Это состояние описывается матрицей плотности, которая включает характеристики не только частицы 1, но и всей системы в целом. Такое состояние частицы 1 (но не всей системы!) и является смешанным. В нашем примере оно возникло потому, что, строго говоря, частица 1 не образует систему - она есть подсистема более широкой системы 1-2. И естественно, что ее описание самой по себе будет неполным.

Теперь мы хотим ввести понятие смешанного состояния и его характеризации в самой общей ситуации. Для этого начнем с чистого состояния , которое описывается вектором | и несколько переформулируем известные нам положения. Интересовать нас будут прежде всего средние значения наблюдаемых в заданных состояниях. В обычном формализме

 = ||.

Введем ортонормированный базис |n и перепишем эту формулу, два раза используя разложение единицы:

= | = .

Величина

 

есть оператор - проектор на вектор |. Назовем его статистическим оператором данного чистого состояния . Величины

 

образуют матрицу статистического оператора. Назовем ее матрицей плотности данного чистого состояния . Величины

 n||n Fnn

образуют матрицу оператора  в заданном базисе. Таким образом,

 = ,

или

 = Sp.

Итак, среднее значение наблюдаемой F в состоянии можно вычислять или задавая вектор состояния |, или задавая статистический оператор  (матрицу плотности). Покажем, что это же справедливо и для вероятностей. Пусть нас интересует вероятность W(f) получить при измерении наблюдаемой F в состоянии значение f. Считая для простоты записи спектр дискретным и простым, получим:

 = ,

где введен оператор проектирования

 

на собственный вектор  оператора , отвечающий интересующему нас собственному значению f . Вычисление вероятности сводится к вычислению среднего значения этого оператора в состоянии , а потому, согласно предыдущему,

 = Sp.

РЕЗЮМЕ

Чистое состояние можно задавать как вектором |, так и статистическим оператором  (матрицей плотности).

Свойства статистического оператора :

  1.  Как и всякий оператор, он есть эрмитов оператор:

= .

2. Статистический оператор - положительный:

.

Действительно,

.

3. Диагональные матричные элементы его лежат в интервале (0,1):

.

Это сразу следует из того, что

 n||n = |n||2  |n|2.

Справа величина неотрицательная, а сумма всех таких величин 1.

4. След статистического оператора равен 1:

 Sp= 1.

Действительно,

 Sp = Sp() = |I| = | = 1.

5. Статистический оператор чистого состояния - идемпотентный:

.

Это следует из того, что двойное проектирование ничего нового не дает.

6. Статистический оператор подчиняется уравнению

 = .

Это следует из его определения и из уравнения Шредингера:

=

=

 

=- = .

Проведенное рассмотрение делает естественным следующее обобщение.

Основной постулат квантовой механики

Произвольное состояние квантовомеханической системы описывается статистическим оператором  общего вида, т.е. некоторым эрмитовым положительным оператором с единичным следом:

 = ,   0,   Sp  =1.

Физический смысл смешанных состояний, т.е. состояний, описываемых статистическими операторами общего вида, устанавливает следующее важнейшее утверждение:

Всякий статистический оператор может быть представлен как

 = ,

где - статистические операторы (проекторы) чистых состояний , а  - числа со свойствами

 a0, = 1.

Доказательство основывается на математическом результате, что всякий эрмитов оператор с конечным следом (такие операторы называются ядерными) имеет чисто дискретный спектр. Ставим задачу на собственные значения

 |a = a |a,

где числа a вещественны ( = ), а векторы |a - ортонормированы

               a|a = aa

и образуют базис:

=.

Умножаем обе части уравнения справа на a|, суммируем по а и учитываем разложение единицы:

 = .

Для чисел a имеем:

 a  a a|a = a|a|a = a||a  0,

где использовано уравнение на собственные значения и положительность .

Наконец, вводя произвольный ортонормированный базис, найдем:

= ,

и утверждение доказано.

В основной постулат входит, разумеется, тот же способ вычисления средних значений в произвольном состоянии, что и для чистых состояний:

 = Sp().

Преобразуем эту формулу:

= Sp() = Sp= ,

т.е.

  = .

Отсюда проистекает великий смысл смешанных состояний. Они соответствуют ансамблю, т.е. множеству копий одной и той же системы, каждая из которых находится в каком-то квантовом состоянии a, но не известно, в каком именно. Об этом мы можем судить лишь вероятностно, причем вероятность того, что при измерении F мы «наткнемся» на систему в состоянии a равна как раз a. Тогда среднее значение F в смешанном состоянии будет вычисляться как средневзвешенное отдельных средних  с весами a:

              a  0,     a = 1.

Обычная терминология здесь такая. Если у статистического оператора  есть хотя бы два различных собственных значения , то состояние называется смешанным. Если же у него есть только одно собственное значение (тогда оно равно 1), то состояние - чистое. Последнее естественно, ибо тогда  сводится к , а мы видели, что задание  - один из возможных способов описания обычных (чистых) состояний.

Если состояние смешанное, то при вычислении средних приходится проводить двоякое усреднение. Первое из них (слагаемые в последней формуле) - специфическое квантовомеханическое усреднение, от которого никуда не денешься. Оно присуще уже чистым состояниям и не имеет классического аналога. Второе усреднение  (суммирование по а с весами a) проводится по ансамблю и связано лишь с неполнотой описания. Мы с ним встретились в изначальном примере, когда искусственно выщепили одну частицу из единой двухчастичной системы. Такое усреднение не является специфическим для квантовой механики. Оно присуще уже классической физике и составляет основу любого статистического подхода. Поэтому в квантовой механике главенствующая роль принадлежит именно чистым состояниям. А смешанные состояния широко используются в квантовой статистике, а также при описании поляризационных свойств пучков частиц (например, фотонов при наличии у света частичной поляризации).

И в заключение одно замечание технического характера. Найдем квадрат статистического оператора:

= ,   т.е.

.

Шпур находим сразу, учитывая, что Sp() = 1:

 Sp .

А теперь вспомним, что

= 1.

Если состояние чистое, то отлично от нуля только одно , причем оно есть 1. Поэтому для чистого состояния

 Sp чист = 1.

Для смешанного состояния есть несколько ненулевых . Каждое из них меньше 1, а потому . Это значит, что

= 1,

т.е. для смешанного состояния

 Sp.

В итоге получен критерий, позволяющий определить, не решая задачу на собственные значения оператора , описывает ли он чистое состояние, или смешанное.

file:///web/5fan/public_html/www/files/13/5fan_ru_67559_4b6235f87706826301cc4d3cb9914b11.doc

- ? -


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

8678. Філософія середньовіччя та ренесансу 150 KB
  Філософія середньовіччя та ренесансу. Патристика раннього християнства. Середньовічна схоластика. Філософська думка пізнього Середньовіччя. Новий погляд на людину у філософії Ренесансу. Патристика. Загальна характеристика пат...
8679. Філософія нового часу. Емпіризм та раціоналізм. 114.5 KB
  Філософія нового часу. Емпіризм та раціоналізм. Філософія Просвітництва. Марксистська філософія. Новим часом називають епоху, яка розпочалася буржуазними революціями в Західній Європі (наприкінці XVI- на початку XVII...
8680. Німецька класична філософія 153 KB
  Іммануїл Кант народився в 1724 р. у сімї ремісника в Кенігсберзі. Тут Кант вчився, вчителював, став професором, ректором університету. У Кенігсберзі він написав усі свої твори, тут він і помер у 1804...
8682. Сучасна світова філософія: школи і напрямки 96.5 KB
  Сучасна світова філософія: школи і напрямки. Філософія науки: позитивізм і неопозитивізм діалектичний матеріалізм фрейдизм і неофрейдизм. Філософія ірраціоналізму: світський екзистенціалізм релігійний...
8683. Філософська думка України 116 KB
  Філософська думка України. Філософська думка у давніх словян і в Київській Русі. Середньовічна українська філософія. Києво-Могилянська філософська школа. Українські просвітники. Філософія - явище загальнолюдське. Вона д...
8684. Філософська думка України. Українська філософія діаспори 207.5 KB
  Філософська думка України Філософія київського кола. Філософська думка під час культурно-історичного підйому 20-х років. Філософське обґрунтування національного радикалізму. Філософія українських шестидесятників...
8685. Філософське розуміння світу. Проблема буття 93 KB
  Філософське розуміння світу. Проблема буття. Філософський зміст проблеми буття. Особливості розуміння проблеми буття. Форми буття. Буття. Субстанція і матерія. Дух. З самого початку західно-європейського мислення і до сьогоднішньог...
8686. Діалектика. Антиподи діалектики: софістика, метафізика 177 KB
  Діалектика Діалектика як вчення про розвиток і універсальні зв’язки. Принципи діалектики. Категорії діалектики. Закони діалектики, їхнє методологічне та світоглядне значення. Антиподи діалектики: софістика, метафізика.  ...