67559

КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ

Лекция

Физика

Доказательство основывается на математическом результате, что всякий эрмитов оператор с конечным следом (такие операторы называются ядерными) имеет чисто дискретный спектр. Ставим задачу на собственные значения...

Русский

2014-09-12

390.5 KB

0 чел.

Л Е К Ц И Я  9

КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ

Продолжение

Чтобы найти волновые функции состояний в координатном представлении, можно умножить обе части последней формулы слева на |x и учесть, что

 x | = (x),  x|n = n(x).

Тогда получим

 (x) = n(x).

Просуммировать этот ряд можно, но хлопотливо. Поэтому будем действовать непосредственно. Ставим задачу на собственные значения оператора  в x -представлении:

 (x) = (x),

или

 (x) = (x),

или, в явном виде

()(x) = (x).

Общее решение уравнения сразу находится разделением переменных:

 (x) =A .

Обозначая Re1, Im2 и определяя обычным способом A из условия нормировки, найдем

 (x) = .

Вводя еще обозначения

,

представим искомые волновые функции в виде

 (x) = ,

где  - волновая функция основного состояния осциллятора.

Состояния , описываемые векторами  (или собственными функциями 0(y) оператора , называются когерентными состояниями. Они обладают рядом замечательных свойств.

1. В состояниях соотношение неопределенностей минимизируется:

.

2. Средние значения координаты ( и импульса ) в когерентных состояниях меняются во времени по классическому закону:

 (t) = xкл(t) =Acos(t+).

3. Связь между средними x,p и E такая же, как в классике:

.

4. «Волновые пакеты», отвечающие когерентным состояниям, не расплываются, т.е. дисперсия координаты (и импульса) остается постоянной.

Можно сказать, что когерентные состояния наиболее близки к классическим. Они были открыты в связи с исследованием свойств когерентности лазерного излучения, а сейчас используются в самых разных разделах современной физики, в том числе и в физике низких температур.

СМЕШАННЫЕ СОСТОЯНИЯ И МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ

До сих пор мы описывали состояния микросистемы векторами гильбертова пространства | и волновыми функциями (q) в каком-то заданном q-представлении. Это есть максимально полное квантовомеханическое описание состояний, и они называются чистыми состояниями. Но бывает и так, что для некоторых состояний мы не располагаем всей информацией, необходимой для сопоставления им векторов | или волновых функций (q). Такие состояния называются смешанными, и их способ описания - иной.

Начнем с достаточно простого случая системы двух частиц 1 и 2. Для системы из одной частицы 1 пусть волновая функция есть (1) (q1), а базисные функции обозначим как n(1)(q1), так что

 (1) (q1) =  n(1)(q1).

Для системы одной частицы 2 аналогично пусть волновая функция (2) (q2), а базис образует m(2)(q2):

 (2) (q2) =  m(2)(q2).

Если в двухчастичной системе 1-2 отдельные частицы не взаимодействуют, то ее волновая функция есть произведение одночастичных:

(q1,q2) = (1) (q1)(2) (q2) = n(1)(q1)m(2)(q2).

Но в общей ситуации, когда частицы взаимодействуют, полную волновую функцию нельзя представить в виде произведения одночастичных. Базис здесь образуют всевозможные произведения n(1)(q1)m(2)(q2), и можно записать разложение

(q1,q2) = n(1)(q1)m(2)(q2).

Однако, коэффициенты Cnm уже нельзя представить в прежней форме

 Cnm  Cn(1)Cm(2).

Введем обозначение

 Cnmm(2)(q2)  (q2)

и представим общее разложение в форме

 (q1,q2) = n(q2)n(1)(q1).

Пусть теперь нас интересуют характеристики частицы 1 в общей двухчастичной системе 1-2. Например, пусть нас интересует среднее значение какой-то наблюдаемой  этой частицы - скажем, ее импульса . Тогда в отсутствие взаимодействия мы получим:

         

=

,

nn Cn(1)Cn’(1).

Видим, что в случае невзаимодействующих частиц среднее значение наблюдаемой частицы 1 определяется только ее волновой функцией, а наличие частицы 2 вообще несущественно. Это и естественно, поскольку частицы не влияют друг на друга.

Но пусть теперь взаимодействие присутствует. Тогда

=

.

Здесь введена матрица плотности

 nndq2n(q2)n’(1)(q1).

Формально среднее от вычисляется с ее помощью так же, как в предыдущем случае. Но если там (в отсутствие взаимодействия) матрица плотности (1)nn определялась исключительно поведением частицы 1, то теперь (в общей ситуации) в нее уже входит и поведение частицы 2. Таким образом, при наличии взаимодействия состояние частицы 1 (с точки зрения возможности вычисления средних значений) не может быть описано какой-то волновой функцией вида (q1). Это состояние описывается матрицей плотности, которая включает характеристики не только частицы 1, но и всей системы в целом. Такое состояние частицы 1 (но не всей системы!) и является смешанным. В нашем примере оно возникло потому, что, строго говоря, частица 1 не образует систему - она есть подсистема более широкой системы 1-2. И естественно, что ее описание самой по себе будет неполным.

Теперь мы хотим ввести понятие смешанного состояния и его характеризации в самой общей ситуации. Для этого начнем с чистого состояния , которое описывается вектором | и несколько переформулируем известные нам положения. Интересовать нас будут прежде всего средние значения наблюдаемых в заданных состояниях. В обычном формализме

 = ||.

Введем ортонормированный базис |n и перепишем эту формулу, два раза используя разложение единицы:

= | = .

Величина

 

есть оператор - проектор на вектор |. Назовем его статистическим оператором данного чистого состояния . Величины

 

образуют матрицу статистического оператора. Назовем ее матрицей плотности данного чистого состояния . Величины

 n||n Fnn

образуют матрицу оператора  в заданном базисе. Таким образом,

 = ,

или

 = Sp.

Итак, среднее значение наблюдаемой F в состоянии можно вычислять или задавая вектор состояния |, или задавая статистический оператор  (матрицу плотности). Покажем, что это же справедливо и для вероятностей. Пусть нас интересует вероятность W(f) получить при измерении наблюдаемой F в состоянии значение f. Считая для простоты записи спектр дискретным и простым, получим:

 = ,

где введен оператор проектирования

 

на собственный вектор  оператора , отвечающий интересующему нас собственному значению f . Вычисление вероятности сводится к вычислению среднего значения этого оператора в состоянии , а потому, согласно предыдущему,

 = Sp.

РЕЗЮМЕ

Чистое состояние можно задавать как вектором |, так и статистическим оператором  (матрицей плотности).

Свойства статистического оператора :

  1.  Как и всякий оператор, он есть эрмитов оператор:

= .

2. Статистический оператор - положительный:

.

Действительно,

.

3. Диагональные матричные элементы его лежат в интервале (0,1):

.

Это сразу следует из того, что

 n||n = |n||2  |n|2.

Справа величина неотрицательная, а сумма всех таких величин 1.

4. След статистического оператора равен 1:

 Sp= 1.

Действительно,

 Sp = Sp() = |I| = | = 1.

5. Статистический оператор чистого состояния - идемпотентный:

.

Это следует из того, что двойное проектирование ничего нового не дает.

6. Статистический оператор подчиняется уравнению

 = .

Это следует из его определения и из уравнения Шредингера:

=

=

 

=- = .

Проведенное рассмотрение делает естественным следующее обобщение.

Основной постулат квантовой механики

Произвольное состояние квантовомеханической системы описывается статистическим оператором  общего вида, т.е. некоторым эрмитовым положительным оператором с единичным следом:

 = ,   0,   Sp  =1.

Физический смысл смешанных состояний, т.е. состояний, описываемых статистическими операторами общего вида, устанавливает следующее важнейшее утверждение:

Всякий статистический оператор может быть представлен как

 = ,

где - статистические операторы (проекторы) чистых состояний , а  - числа со свойствами

 a0, = 1.

Доказательство основывается на математическом результате, что всякий эрмитов оператор с конечным следом (такие операторы называются ядерными) имеет чисто дискретный спектр. Ставим задачу на собственные значения

 |a = a |a,

где числа a вещественны ( = ), а векторы |a - ортонормированы

               a|a = aa

и образуют базис:

=.

Умножаем обе части уравнения справа на a|, суммируем по а и учитываем разложение единицы:

 = .

Для чисел a имеем:

 a  a a|a = a|a|a = a||a  0,

где использовано уравнение на собственные значения и положительность .

Наконец, вводя произвольный ортонормированный базис, найдем:

= ,

и утверждение доказано.

В основной постулат входит, разумеется, тот же способ вычисления средних значений в произвольном состоянии, что и для чистых состояний:

 = Sp().

Преобразуем эту формулу:

= Sp() = Sp= ,

т.е.

  = .

Отсюда проистекает великий смысл смешанных состояний. Они соответствуют ансамблю, т.е. множеству копий одной и той же системы, каждая из которых находится в каком-то квантовом состоянии a, но не известно, в каком именно. Об этом мы можем судить лишь вероятностно, причем вероятность того, что при измерении F мы «наткнемся» на систему в состоянии a равна как раз a. Тогда среднее значение F в смешанном состоянии будет вычисляться как средневзвешенное отдельных средних  с весами a:

              a  0,     a = 1.

Обычная терминология здесь такая. Если у статистического оператора  есть хотя бы два различных собственных значения , то состояние называется смешанным. Если же у него есть только одно собственное значение (тогда оно равно 1), то состояние - чистое. Последнее естественно, ибо тогда  сводится к , а мы видели, что задание  - один из возможных способов описания обычных (чистых) состояний.

Если состояние смешанное, то при вычислении средних приходится проводить двоякое усреднение. Первое из них (слагаемые в последней формуле) - специфическое квантовомеханическое усреднение, от которого никуда не денешься. Оно присуще уже чистым состояниям и не имеет классического аналога. Второе усреднение  (суммирование по а с весами a) проводится по ансамблю и связано лишь с неполнотой описания. Мы с ним встретились в изначальном примере, когда искусственно выщепили одну частицу из единой двухчастичной системы. Такое усреднение не является специфическим для квантовой механики. Оно присуще уже классической физике и составляет основу любого статистического подхода. Поэтому в квантовой механике главенствующая роль принадлежит именно чистым состояниям. А смешанные состояния широко используются в квантовой статистике, а также при описании поляризационных свойств пучков частиц (например, фотонов при наличии у света частичной поляризации).

И в заключение одно замечание технического характера. Найдем квадрат статистического оператора:

= ,   т.е.

.

Шпур находим сразу, учитывая, что Sp() = 1:

 Sp .

А теперь вспомним, что

= 1.

Если состояние чистое, то отлично от нуля только одно , причем оно есть 1. Поэтому для чистого состояния

 Sp чист = 1.

Для смешанного состояния есть несколько ненулевых . Каждое из них меньше 1, а потому . Это значит, что

= 1,

т.е. для смешанного состояния

 Sp.

В итоге получен критерий, позволяющий определить, не решая задачу на собственные значения оператора , описывает ли он чистое состояние, или смешанное.

file:///web/5fan/public_html/www/files/13/5fan_ru_67559_4b6235f87706826301cc4d3cb9914b11.doc

- ? -


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53495. Алгоритм вставки вершины AVL дерево. Случай одного (левого) поворота 129.41 KB
  Следовать по пути поиска, пока не окажется, что узла нет в дереве. Включить новый узел и определить показатель сбалансированности. Пройти обратно по пути поиска, определяя сбалансированность.
53496. Каким должен быть урок русского языка и литературы? 26 KB
  Учители русского языка и литературы играют важную роль в жизни человека. Так же важную роль в этом играет урок русского языка. В этом нам помогают учители русского языка.
53497. ГЕОИНФОРМАТИКА. В.С.Тикунова 28.88 MB
  В учебнике освещены общие вопросы геоинформатики, функциональные возможности географических информационных систем (ГИС), принципы проектирования, интеграции данных и технологий, особенности интеллектуализации ГИС и систем поддержки принятия решений. Вместе с учебным пособием «Сборник задач и упражнений по геоинформатике», дополненным компакт-диском, составляет учебный комплект.