67560

ОРБИТАЛЬНЫЙ МОМЕНТ ИМПУЛЬСА

Лекция

Физика

Дальше мы намерены перейти к анализу движения частицы в центральном поле. Как и в классической физике, здесь очень важную роль играет момент импульса. Но в квантовой механике бывает два момента импульса - связанный с движением частицы и имеющий классический аналог, и не связанный с движением частицы...

Русский

2014-09-12

637 KB

6 чел.

Л Е К Ц И Я 10

ОРБИТАЛЬНЫЙ МОМЕНТ ИМПУЛЬСА

Дальше мы намерены перейти к анализу движения частицы в центральном поле. Как и в классической физике, здесь очень важную роль играет момент импульса. Но в квантовой механике бывает два момента импульса - связанный с движением частицы и имеющий классический аналог, и не связанный с движением частицы, собственный момент, не имеющий классического аналога. Первый называется орбитальным, второй - спином. Сейчас будем рассматривать только орбитальный момент импульса.

В классической механике

 L = rp.

Эта формула переносится и в квантовую механику, но для операторов:

 

В декартовых координатах в r-представлении компоненты имеют вид:

 = - = -i

=-= -i

=-= -i.

Это можно записать единообразно:

= i.

Здесь jkl --символ Леви-Чевита: антисимметричен по всем индексам и нормирован условием 123 = +1. Компоненты с разными значками отличны от нуля, а если хотя бы одна пара одинаковых  индексов, то равны 0. При этом

 123 = 312 = 231 = +1,    213 = 321 = 132 = -1.

Используя коммутации

 

легко показать, что

 

т.е.

 

Важную роль играет оператор квадрата момента

=++,

который коммутирует с операторами компонентов момента:

 

Дальнейший анализ удобно проводить в сферических координатах

 x = rcossin, y =rsinsin, z =rcos.

Довольно нудные выкладки по замене переменных дают:

 = i

= -i

= -i.

Особенно важным является последнее соотношение. Проверим его

 

Не менее важен оператор .

В сферических координатах он с точностью до множителя совпадает с угловой частью оператора Лапласа:

= ,2 = -

Напомним, что полный оператор Лапласа есть

 

Все операторы момента содержат только и , но не r. Поэтому их собственные функции могут содержать любую зависимость от r, которая нас не интересует. Считаем поэтому, что все происходит на сфере единичного радиуса, а потому

  = (,).

Ставим задачу на отыскание общих собственных функций взаимно коммутирующих операторов  и :

 (,) = L2(,)

 (,) = Lz(,)

и вводим обозначения

 L2 = , Lz = m,

так что в явном виде уравнения запишутся как

 (,) = 0

-i (,) = m(,).

Решения должны быть: непрерывными, конечными и однозначными. В курсе математической физики доказывается, что решения нашей задачи существуют только при

  = l(l+1), где l = 0,1.2,...

и m =m, где m- целые числа из интервала -l m l.

Таким образом, каждому неотрицательному целому l отвечает 2l+1 независимых решения с разными m.

Они называются сферическими функциями (гармониками) и имеют вид

 lm(,) = Ylm(,) =Plm(cos)eim,

присоединенные полиномы (хотя и не полиномы) Лежандра

 Plm(z) = (1-(z2-1)l, m>0.

и выражаются  через обычные полиномы Лежандра:

 Plm (z) = (1-(z2-1)l.

Сферические гармоники образуют ортонормированную систему функций на сфере единичного радиуса:

 dY lm (,)Ylm(,) = llmm,

где

 d = sindd 

есть элемент телесного угла (или элемент площади сферы с R=1). Кроме того, на этой сфере они образуют базис, так что

 (,) = ClmYlm(,), Clm =dY lm (,)(,).

Сферические функции обладают свойством

  Y lm (,) = (-1)m Y lm (,).

Итак, мы установили, что орбитальный момент квантуется. Квадрат его принимает значения

 L2 = l(l+1), l = 0,1,2,...

а проекция на ось z - значения

 Lz = m,   -l  m  l

ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ

Центральное поле - это такое, для которого

 V = V(r),r  r.

Гамильтониан

 = 2 +V(r)

записываем в сферических координатах. Учитывая, что

 2 = r2 +2,

и вспоминая, что

 = -2,= -i,

получим

 = +V(r).

Отсюда видно, что

 

поскольку  и  не включают , а потому коммутируют с V(r), и поскольку

.

Таким образом, энергия, квадрат момента импульса и его проекция совместно измеримы. Поэтому они имеют общие собственные функции. Таковые и будем искать. Так как собственные функции  - решения стационарного уравнения Шредингера:

 (r,,) = E(r,,),

то ищем решения с определенными L2 и Lz:

  = E,l,m(r,,),

где l характеризует L2, m характеризует Lz.

Но общие собственные функции  и  нам известны - при фиксированном r (на сфере) это сферические гармоники Y lm (,):

Y lm (,) = l(l+1) Y lm (,),    Y lm (,) = m Y lm (,).

Поэтому ищем решения в виде:

 E,l,m(r,,) = fElm(r) Y lm (,).

Подставляем в уравнение

 E,l,m(r,,) = 0,

учитывая, что вся угловая зависимость входит только в :

 fElm(r) = 0,

(на сферическую функцию сократили). В это уравнение m не входит, а потому радиальные функции от m не зависят:

 fElm(r) = fEl(r).

Логика, которая приводит к данному результату, такова: задача сферически симметрична, отсюда нет выделенных направлений, отсюда волновые функции стационарных состояний фактически не зависят от проекции момента m (точнее, от m не зависит энергия, а значит радиальная часть волновой функции).

Итак, для радиальной волновой функции получаем уравнение

  fEl(r) = 0.

Удобно сделать замену неизвестной функции, вводя

 REl(r) = rfEl(r).

Для функции REl(r) получаем уравнение

+ REl = 0.

По форме оно очень похоже на одномерное уравнение Шредингера

  + [V(x) - E] = 0,

но есть два существенных отличия:

теперь задача ставится на полупрямой (0, +), а не на всей прямой, и граничное условие нужно задавать не только на бесконечности, но и в точке r=0;

потенциальная энергия заменяется на эффективную потенциальную энергию

 Vэфф(r) =   Vl(r),

(сравн. с классической механикой).

ЧЕТНОСТЬ

Ранее мы ввели оператор четности  как такой:

 (r) = (-r).

Так как гамильтониан зависит только от r, то он коммутирует с :

.

Поэтому значения четности (собственные значения ) являются интегралами движения. Кроме того, так как оператор четности коммутирует с  и , то волновые функции E,l,m(r,,) должны обладать и определенной четностью. Найдем ее.

В сферических координатах пространственная инверсия r-r сводится к подстановкам

 r =r,   -,   +.

Поэтому

 E,l,m(r,,) = fEl(r) Y lm (-, +).

Из явного вида сферических гармоник

 Y lm (, ) = AlmeimPlm(cos)

следует

Y lm (-, +) = e im(+)Plm(-cos) = e im e i,

а потому

 E,l,m(r,,) = fEl(r)(-1)l Y lm (, ) = (-1)lE,l,m(r,,).

Таким образом, четность равна

 P = (-1)l.

При четных l волновые функции стационарных состояний четные, а при нечетных l они нечетные.

РЕЗЮМЕ

стационарные состояния частицы в центральном поле характеризуются значениями энергии En, или номерами n - значениями главного квантового числа;

орбитальным (азимутальным) квантовым числом l;

магнитным квантовым числом m.

Это есть полный набор наблюдаемых. Кроме того, каждое стационарное состояние характеризуется четностью P. Но она не дает независимого квантового числа, ибо выражается через l.

ДВИЖЕНИЕ В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ

Рассмотрим движение частицы в кулоновском поле V(r)= -,

для которого эффективный потенциал равен 

                              

(см. рисунок, а также полезно вспомнить классическую механику). Волновые функции стационарных состояний имеют вид (см. выше)

 E,l,m(r,,) = fEl(r) Y lm (, ),

если ввести

 REl(r) = fEl(r) ,

то функция REl подчиняется «одномерному» уравнению:

-E) R = 0.

Вводим боровский радиус

 a    0,53 10-8см

и ридберговскую энергию

 E1  13,55эВ,

играющие роль атомных единиц энергии и длины. Переходим к безразмерным переменным

 

и вводим обозначение

 

поскольку нас интересуют связанные состояния, т.е. состояния с отрицательными энергиями E, а значит и . Тогда придем к уравнению

 R() = 0.

Найдем асимптотическое поведение его решений. При    отбрасываем два последних слагаемых:

 - 2R = 0.

Общее решение этого уравнения есть

 R = A e- + Be,

и чтобы волновая функция была ограниченной, надо положить B=0:

 R e-.

При 0 оставляем самый сингулярный член с l(l+1):

 -l(l+1)R = 0.

Это есть уравнение Эйлера, решение которого ищем в степенном виде и получаем

 R = Cl+1 + D-l .

Так как функция f(r) должна быть нормируемой, то функция R(r)=rf(r) должна обращаться в 0 при r0, а потому должно быть D=0:

 R .

Чтобы привести уравнение к стандартному виду, следует выделить асимптотики, т.е. сделать замену функции:

 R() = l+1e-U(),

после которой уравнение переходит в

  + 2(z--l)U = 0.

Вводя новую переменную

 x = 2,

окончательно получим следующую задачу:

 x- l - 1)U = 0.

 U(x) = 1 + 0(x), x0; U(x) = 0 (),  x  .

Выписанное уравнение есть вырожденное гипергеометрическое уравнение, и его решение ищем в виде ряда:

 U(x) =Ckxk.

Дифференцируя это разложение, подставляя результат в уравнение, приравнивая члены с одинаковыми степенями, придем к рекуррентному соотношению для последовательных коэффициентов (сравн. с осциллятором):

 Ck+1 = C.

Если ряд бесконечный, то при больших k

,

т.е. отношение соседних коэффициентов такое же, как в разложении

 ex = xk.

Это не годится, ибо решение слишком быстро возрастает при x.

Ряд должен обрываться на некотором члене, т.е. коэффициенты Ck, начиная с некоторого номера k = nr, должны обращаться в нуль. Для этого необходимо и достаточно, чтобы  

 = nr+l+1,

где nr - произвольное целое число (включая ноль). Так как nr - неотрицательное  целое число, то nr+l+1 - натуральное число,  которое обозначим как n:

 nr + l + 1  n.

Терминология тут такая: nr - радиальное квантовое число, n - главное квантовое число (только от него и зависит энергия). При фиксированном значении орбитального момента

 n  l +1.

Наоборот, при фиксированном n число l может принимать лишь значения

 l  n-1 :  l = 0, 1, 2,..., n-1.

Итак,

,

и для возможных значений энергии

 En = n E1 = n ,

и окончательно получаем:

 En = -z,   n = 1, 2, 3,....

При заданном n орбитальный момент l принимает значения

 l = 0, 1, ...,n-1.

При заданном l проекция момента m принимает 2l+1 значений. Поэтому данному значению энергии En (данному значению главного квантового числа) отвечает всего состояний

 Kn = (2l+1) = n2.

Это есть кратность вырождения энергетических уровней атома водорода (при учете спина она равна 2n2). Вырождение по m возникает в любом центральном поле - это связано с изотропией пространства: все направления равноправны, и энергия не зависит от значения проекции момента (ему «некуда» проектироваться). Вырождение по l специфично именно для кулоновского поля и называется дополнительным (иногда случайным) кулоновским вырождением.

Волновые функции можно выписать в явном виде:

                   nlm(r,,) = fnl (r) Ylm (),

где

fnl (r)fnl()=,

причем LSk  - обобщенные полиномы Лагерра, которые выражаются  через обычные полиномы Лагерра:

 LSk(x) = Lk(x),

которые сами равны:

 Lk(x) = ex(e-xxk).

Выпишем несколько первых радиальных функций при z = 1:

 f10() = 2e-

 f20( ) =

 f21() = .

Упомянем еще спектроскопическую терминологию. Состояния с l = 0, 1, 2, 3, 4... называются соответственно s-, p-, d-, f-, g- - состояниями (дальше по алфавиту). Происхождение - из серий щелочных металлов, которые именуются последовательно так: sharp, principal, diffusive, fundamental.

МОМЕНТ ИМПУЛЬСА

Мы уже рассмотрели свойства момента импульса одной частицы, который был связан с ее движением в пространстве и определялся как

 =   

Это есть орбитальный момент. Теперь мы хотим обобщить это понятие, для чего получим его несколько иным способом - из симметрийных соображений.

Рассматриваем систему нескольких частиц с волновой функцией

 (r1,...rN)  (ra).

Произведем вращение системы координат на угол  (вектор ) направлен по оси вращения, а его модуль равен углу поворота). Это означает, что физическая система осталась той же самой, а приборы повернулись на угол . Радиусы- векторы изменятся:

 ra  = ra + ra ,    ra=  ra.

Преобразуются и значения   функции, но так как в «новую» точку ra «придет» «старая» точка ra - ra, то должно быть

 (ra) = (ra-ra).

Разлагая в ряд Тейлора, найдем:

(ra) = (ra-ra) = (ra) -ra a(ra) = (-ra a) (ra)

= (-( ra) a) (ra) = (- ra a) (ra)  

(-ra  (-ia)) (ra) = (- )(ra).

Итак,

 (ra) = (- )(ra),    (),

где

==   ()

В данном случае мы ничего нового не получили. Но важно, что момент импульса можно трактовать двумя способами. Согласно определению (), оператор  описывает преобразование волновой функции при малом вращении, т.е.  является генератором вращения. Согласно определению () оператор  выражается через координаты и импульсы так же, как в классической механике. Еще раз: в данном случае получилось, что это одно и то же. Но в общей ситуации определение () может оказаться более общим. Оператор () действует только на координаты волновой функции. Но у нее могут быть и другие какие-то переменные, на которые () не действует, а () - действует.

И такие дополнительные переменные действительно существуют у многих частиц (прежде всего у электрона). Это - спиновые переменные, являющиеся внутренними, врожденными степенями свободы частицы, никак не связанными с координатами. Обозначая их буквой , запишем волновую функцию одной частицы как

  = (r,),

и в полной аналогии с рассмотренным частным случаем введем по определению оператор полного момента импульса как генератор вращений, т.е. преобразующий волновую функцию по закону

 (r,) = (- )(r,).

Оператор  можно представить в виде двух слагаемых:

 = +.

Оператор  есть рассмотренный ранее оператор орбитального момента, который действует только на координаты. Оператор  есть новый оператор - оператор спина, который действует только на спиновые переменные . Оператор спина можно определить как оператор , действующий в системе покоя частицы. Значит это действительно внутренний, врожденный момент импульса частицы.

Найдем правила коммутации  с операторами других физических величин. Пусть физическая величина F - векторная, и ей соответствует векторный оператор . Установим закон преобразования среднего значения F по произвольному состоянию . С одной стороны имеем:

 F    = -   

 (+)(– )    ,.

С другой стороны, как и для всякой векторной величины,

 F  =   F =   = .

Сравнение дает

 , = i  .

Проектируем на ось 1:

 1,11+22 + 33 = i(23-32).

Сравниваем коэффициенты при 1, а потом при 2 :

 1,1=0, 1,2 = i3.

Остальные случаи получаются проектированием на оси 2 и 3, или циклической перестановкой индексов в выписанных соотношениях:

 j,k = ijkl l.

В частности, полагая =, получим коммутационные соотношения для компонентов самого момента:

 j,k = ijkll.

Так как =+, ,= (действуют на разные переменные) и

 j, k = ijkll

то для спиновых операторов получаем те же коммутационные соотношения, что и для орбитальных:

 j, k = ijkll.

Если оператор F-скалярный, то абсолютно аналогичные рассуждения, основывающиеся на том, что при вращении F = 0, дают

 , k = .

В частности, для квадратов полного момента и спина получаем

 k =   2,k=

FILENAME lecture10.doc

-  PAGE 97 -


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

42189. ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ С НЕСИНУСОИДАЛЬНЫМИ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ТОКАМИ 185 KB
  Разложение несинусоидальной кривой графо-аналитическим способом в ряд Фурье и определение коэффициентов характеризующих несинусоидальную кривую. Определение влияния характера цепи R; RL; RC на форму кривой несинусоидального тока при подключении ее к источнику несинусоидального напряжения. Определение ординат несинусоидальной кривой в m дискретных точках.10 Затем находят соответствующие ординаты кривой f1ωt; f2ωt; f3ωt и заменяют интегралы...
42191. Принцип работы волоконно-оптического датчика (ВОД) магнитного поля и электрического тока 862 KB
  Однако применение различных ВОД электромагнитных полей сдерживается наличием у них относительно высокой чувствительности коэффициента преобразования датчика к температуре обусловленной температурным дрейфом характеристик вещества чувствительного элемента. Чувствительность ВОД к магнитному полю и электрическому току определяется коэффициентом преобразования чувствительного элемента ЧЭ который пропорционален углу Фарадея . Однако увеличение L в Bi12SiO20 может привести к проявлению влияния ряда нелинейных эффектов на магнитооптическую...
42192. Моделирование процесса измерения основных параметров волоконно-оптических трасс по рефлектометрическим данным 291.5 KB
  Если среда в которой распространяется импульс в данном случае оптическое волокно содержит неоднородности то на рефлектограмме появятся изломы и всплески. Как было сказано выше если неоднородности в волокне отсутствуют то рефлектограмма будет представлять из себя прямую с некоторым наклоном. Ступеньки говорит о наличии неоднородности на которой происходит поглощение мощности светового импульса1. Обычно такие неоднородности наблюдаются в местах сварки оптических волокон.
42193. Электрическая цепь с одним источником питания и смешанным соединением элементов 130 KB
  Основные теоретические положения Основными элементами любой электрической цепи являются: а источники электрической энергии электромашинные генераторы аккумуляторные батареи термоэлементы и т. С помощью закона Ома описывается связь между током напряжением и сопротивлением заданного участка цепи . Согласно 1му закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов сходящихся в любом узле цепи равна нулю т. Так как при параллельном соединении все элементы находятся под одним и тем же напряжением то используя закон Ома это уравнение можно...
42194. Вимірювання опорів на постійному струмі 115 KB
  Ознайомлення з основними видами та методами вимірювання активних електричних опорів на постійному струмі. Дослідження методичних похибок основних методів вимірювання опорів та шляхи їх усунення. Завдання на вимірювання опорів кожен студент одержує від викладача.
42195. Калібрування і повірка засобів вимірювання тиску 86 KB
  1 Мета роботи Ознайомитись з будовою і принципом дії технічних засобів для вимірювання тиску. Набути практичних навиків при повірці і калібруванні систем вимірювання тиску.2 Програма роботи Під час заняття студент повинен самостійно ознайомитись з будовою і принципом дії технічних засобів які використовуються в системах для вимірювання тиску.
42196. Обробка результатів прямих багаторазових вимірювань 263.5 KB
  Вивчення методів і набуття практичних навиків в обробці результатів багаторазових вимірювань які містять випадкові похибки. Програма роботи Під час роботи студенти вимірюють активні опори за допомогою універсального цифрового вимірювача Ф 480 так щоб досягти при цьому одержання найбільш точних результатів шляхом визначення і виключення систематичних і випадкових похибок вимірювань параметра з рівноточними значеннями відліку. З цією метою використовується методика багатократного вимірювання однієї і тієї ж величини з...
42197. Вивчення будови, принципу дії амперметрів та вольтметрів. Визначення їх метрологічних характеристик 93 KB
  Якщо статична характеристика лінійна у=кх то коефіцієнт к називається чутливістю вимірювального приладу; ціна поділки ЗВ ; ціна одиниці найменшого розряду числа в показах цифрового приладу ; 2 похибки ЗВ: Абсолютна відносна приведена похибки ЗВ; Похибки поділяються на статичні які виникають при вимірюванні постійних величин динамічні які виникають при вимірюванні змінних величин. До числа характеристик похибок відноситься також варіація вихідного сигналу або варіація показів вимірювального приладу.8485]: метод порівняння з...