67560

ОРБИТАЛЬНЫЙ МОМЕНТ ИМПУЛЬСА

Лекция

Физика

Дальше мы намерены перейти к анализу движения частицы в центральном поле. Как и в классической физике, здесь очень важную роль играет момент импульса. Но в квантовой механике бывает два момента импульса - связанный с движением частицы и имеющий классический аналог, и не связанный с движением частицы...

Русский

2014-09-12

637 KB

6 чел.

Л Е К Ц И Я 10

ОРБИТАЛЬНЫЙ МОМЕНТ ИМПУЛЬСА

Дальше мы намерены перейти к анализу движения частицы в центральном поле. Как и в классической физике, здесь очень важную роль играет момент импульса. Но в квантовой механике бывает два момента импульса - связанный с движением частицы и имеющий классический аналог, и не связанный с движением частицы, собственный момент, не имеющий классического аналога. Первый называется орбитальным, второй - спином. Сейчас будем рассматривать только орбитальный момент импульса.

В классической механике

 L = rp.

Эта формула переносится и в квантовую механику, но для операторов:

 

В декартовых координатах в r-представлении компоненты имеют вид:

 = - = -i

=-= -i

=-= -i.

Это можно записать единообразно:

= i.

Здесь jkl --символ Леви-Чевита: антисимметричен по всем индексам и нормирован условием 123 = +1. Компоненты с разными значками отличны от нуля, а если хотя бы одна пара одинаковых  индексов, то равны 0. При этом

 123 = 312 = 231 = +1,    213 = 321 = 132 = -1.

Используя коммутации

 

легко показать, что

 

т.е.

 

Важную роль играет оператор квадрата момента

=++,

который коммутирует с операторами компонентов момента:

 

Дальнейший анализ удобно проводить в сферических координатах

 x = rcossin, y =rsinsin, z =rcos.

Довольно нудные выкладки по замене переменных дают:

 = i

= -i

= -i.

Особенно важным является последнее соотношение. Проверим его

 

Не менее важен оператор .

В сферических координатах он с точностью до множителя совпадает с угловой частью оператора Лапласа:

= ,2 = -

Напомним, что полный оператор Лапласа есть

 

Все операторы момента содержат только и , но не r. Поэтому их собственные функции могут содержать любую зависимость от r, которая нас не интересует. Считаем поэтому, что все происходит на сфере единичного радиуса, а потому

  = (,).

Ставим задачу на отыскание общих собственных функций взаимно коммутирующих операторов  и :

 (,) = L2(,)

 (,) = Lz(,)

и вводим обозначения

 L2 = , Lz = m,

так что в явном виде уравнения запишутся как

 (,) = 0

-i (,) = m(,).

Решения должны быть: непрерывными, конечными и однозначными. В курсе математической физики доказывается, что решения нашей задачи существуют только при

  = l(l+1), где l = 0,1.2,...

и m =m, где m- целые числа из интервала -l m l.

Таким образом, каждому неотрицательному целому l отвечает 2l+1 независимых решения с разными m.

Они называются сферическими функциями (гармониками) и имеют вид

 lm(,) = Ylm(,) =Plm(cos)eim,

присоединенные полиномы (хотя и не полиномы) Лежандра

 Plm(z) = (1-(z2-1)l, m>0.

и выражаются  через обычные полиномы Лежандра:

 Plm (z) = (1-(z2-1)l.

Сферические гармоники образуют ортонормированную систему функций на сфере единичного радиуса:

 dY lm (,)Ylm(,) = llmm,

где

 d = sindd 

есть элемент телесного угла (или элемент площади сферы с R=1). Кроме того, на этой сфере они образуют базис, так что

 (,) = ClmYlm(,), Clm =dY lm (,)(,).

Сферические функции обладают свойством

  Y lm (,) = (-1)m Y lm (,).

Итак, мы установили, что орбитальный момент квантуется. Квадрат его принимает значения

 L2 = l(l+1), l = 0,1,2,...

а проекция на ось z - значения

 Lz = m,   -l  m  l

ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ

Центральное поле - это такое, для которого

 V = V(r),r  r.

Гамильтониан

 = 2 +V(r)

записываем в сферических координатах. Учитывая, что

 2 = r2 +2,

и вспоминая, что

 = -2,= -i,

получим

 = +V(r).

Отсюда видно, что

 

поскольку  и  не включают , а потому коммутируют с V(r), и поскольку

.

Таким образом, энергия, квадрат момента импульса и его проекция совместно измеримы. Поэтому они имеют общие собственные функции. Таковые и будем искать. Так как собственные функции  - решения стационарного уравнения Шредингера:

 (r,,) = E(r,,),

то ищем решения с определенными L2 и Lz:

  = E,l,m(r,,),

где l характеризует L2, m характеризует Lz.

Но общие собственные функции  и  нам известны - при фиксированном r (на сфере) это сферические гармоники Y lm (,):

Y lm (,) = l(l+1) Y lm (,),    Y lm (,) = m Y lm (,).

Поэтому ищем решения в виде:

 E,l,m(r,,) = fElm(r) Y lm (,).

Подставляем в уравнение

 E,l,m(r,,) = 0,

учитывая, что вся угловая зависимость входит только в :

 fElm(r) = 0,

(на сферическую функцию сократили). В это уравнение m не входит, а потому радиальные функции от m не зависят:

 fElm(r) = fEl(r).

Логика, которая приводит к данному результату, такова: задача сферически симметрична, отсюда нет выделенных направлений, отсюда волновые функции стационарных состояний фактически не зависят от проекции момента m (точнее, от m не зависит энергия, а значит радиальная часть волновой функции).

Итак, для радиальной волновой функции получаем уравнение

  fEl(r) = 0.

Удобно сделать замену неизвестной функции, вводя

 REl(r) = rfEl(r).

Для функции REl(r) получаем уравнение

+ REl = 0.

По форме оно очень похоже на одномерное уравнение Шредингера

  + [V(x) - E] = 0,

но есть два существенных отличия:

теперь задача ставится на полупрямой (0, +), а не на всей прямой, и граничное условие нужно задавать не только на бесконечности, но и в точке r=0;

потенциальная энергия заменяется на эффективную потенциальную энергию

 Vэфф(r) =   Vl(r),

(сравн. с классической механикой).

ЧЕТНОСТЬ

Ранее мы ввели оператор четности  как такой:

 (r) = (-r).

Так как гамильтониан зависит только от r, то он коммутирует с :

.

Поэтому значения четности (собственные значения ) являются интегралами движения. Кроме того, так как оператор четности коммутирует с  и , то волновые функции E,l,m(r,,) должны обладать и определенной четностью. Найдем ее.

В сферических координатах пространственная инверсия r-r сводится к подстановкам

 r =r,   -,   +.

Поэтому

 E,l,m(r,,) = fEl(r) Y lm (-, +).

Из явного вида сферических гармоник

 Y lm (, ) = AlmeimPlm(cos)

следует

Y lm (-, +) = e im(+)Plm(-cos) = e im e i,

а потому

 E,l,m(r,,) = fEl(r)(-1)l Y lm (, ) = (-1)lE,l,m(r,,).

Таким образом, четность равна

 P = (-1)l.

При четных l волновые функции стационарных состояний четные, а при нечетных l они нечетные.

РЕЗЮМЕ

стационарные состояния частицы в центральном поле характеризуются значениями энергии En, или номерами n - значениями главного квантового числа;

орбитальным (азимутальным) квантовым числом l;

магнитным квантовым числом m.

Это есть полный набор наблюдаемых. Кроме того, каждое стационарное состояние характеризуется четностью P. Но она не дает независимого квантового числа, ибо выражается через l.

ДВИЖЕНИЕ В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ

Рассмотрим движение частицы в кулоновском поле V(r)= -,

для которого эффективный потенциал равен 

                              

(см. рисунок, а также полезно вспомнить классическую механику). Волновые функции стационарных состояний имеют вид (см. выше)

 E,l,m(r,,) = fEl(r) Y lm (, ),

если ввести

 REl(r) = fEl(r) ,

то функция REl подчиняется «одномерному» уравнению:

-E) R = 0.

Вводим боровский радиус

 a    0,53 10-8см

и ридберговскую энергию

 E1  13,55эВ,

играющие роль атомных единиц энергии и длины. Переходим к безразмерным переменным

 

и вводим обозначение

 

поскольку нас интересуют связанные состояния, т.е. состояния с отрицательными энергиями E, а значит и . Тогда придем к уравнению

 R() = 0.

Найдем асимптотическое поведение его решений. При    отбрасываем два последних слагаемых:

 - 2R = 0.

Общее решение этого уравнения есть

 R = A e- + Be,

и чтобы волновая функция была ограниченной, надо положить B=0:

 R e-.

При 0 оставляем самый сингулярный член с l(l+1):

 -l(l+1)R = 0.

Это есть уравнение Эйлера, решение которого ищем в степенном виде и получаем

 R = Cl+1 + D-l .

Так как функция f(r) должна быть нормируемой, то функция R(r)=rf(r) должна обращаться в 0 при r0, а потому должно быть D=0:

 R .

Чтобы привести уравнение к стандартному виду, следует выделить асимптотики, т.е. сделать замену функции:

 R() = l+1e-U(),

после которой уравнение переходит в

  + 2(z--l)U = 0.

Вводя новую переменную

 x = 2,

окончательно получим следующую задачу:

 x- l - 1)U = 0.

 U(x) = 1 + 0(x), x0; U(x) = 0 (),  x  .

Выписанное уравнение есть вырожденное гипергеометрическое уравнение, и его решение ищем в виде ряда:

 U(x) =Ckxk.

Дифференцируя это разложение, подставляя результат в уравнение, приравнивая члены с одинаковыми степенями, придем к рекуррентному соотношению для последовательных коэффициентов (сравн. с осциллятором):

 Ck+1 = C.

Если ряд бесконечный, то при больших k

,

т.е. отношение соседних коэффициентов такое же, как в разложении

 ex = xk.

Это не годится, ибо решение слишком быстро возрастает при x.

Ряд должен обрываться на некотором члене, т.е. коэффициенты Ck, начиная с некоторого номера k = nr, должны обращаться в нуль. Для этого необходимо и достаточно, чтобы  

 = nr+l+1,

где nr - произвольное целое число (включая ноль). Так как nr - неотрицательное  целое число, то nr+l+1 - натуральное число,  которое обозначим как n:

 nr + l + 1  n.

Терминология тут такая: nr - радиальное квантовое число, n - главное квантовое число (только от него и зависит энергия). При фиксированном значении орбитального момента

 n  l +1.

Наоборот, при фиксированном n число l может принимать лишь значения

 l  n-1 :  l = 0, 1, 2,..., n-1.

Итак,

,

и для возможных значений энергии

 En = n E1 = n ,

и окончательно получаем:

 En = -z,   n = 1, 2, 3,....

При заданном n орбитальный момент l принимает значения

 l = 0, 1, ...,n-1.

При заданном l проекция момента m принимает 2l+1 значений. Поэтому данному значению энергии En (данному значению главного квантового числа) отвечает всего состояний

 Kn = (2l+1) = n2.

Это есть кратность вырождения энергетических уровней атома водорода (при учете спина она равна 2n2). Вырождение по m возникает в любом центральном поле - это связано с изотропией пространства: все направления равноправны, и энергия не зависит от значения проекции момента (ему «некуда» проектироваться). Вырождение по l специфично именно для кулоновского поля и называется дополнительным (иногда случайным) кулоновским вырождением.

Волновые функции можно выписать в явном виде:

                   nlm(r,,) = fnl (r) Ylm (),

где

fnl (r)fnl()=,

причем LSk  - обобщенные полиномы Лагерра, которые выражаются  через обычные полиномы Лагерра:

 LSk(x) = Lk(x),

которые сами равны:

 Lk(x) = ex(e-xxk).

Выпишем несколько первых радиальных функций при z = 1:

 f10() = 2e-

 f20( ) =

 f21() = .

Упомянем еще спектроскопическую терминологию. Состояния с l = 0, 1, 2, 3, 4... называются соответственно s-, p-, d-, f-, g- - состояниями (дальше по алфавиту). Происхождение - из серий щелочных металлов, которые именуются последовательно так: sharp, principal, diffusive, fundamental.

МОМЕНТ ИМПУЛЬСА

Мы уже рассмотрели свойства момента импульса одной частицы, который был связан с ее движением в пространстве и определялся как

 =   

Это есть орбитальный момент. Теперь мы хотим обобщить это понятие, для чего получим его несколько иным способом - из симметрийных соображений.

Рассматриваем систему нескольких частиц с волновой функцией

 (r1,...rN)  (ra).

Произведем вращение системы координат на угол  (вектор ) направлен по оси вращения, а его модуль равен углу поворота). Это означает, что физическая система осталась той же самой, а приборы повернулись на угол . Радиусы- векторы изменятся:

 ra  = ra + ra ,    ra=  ra.

Преобразуются и значения   функции, но так как в «новую» точку ra «придет» «старая» точка ra - ra, то должно быть

 (ra) = (ra-ra).

Разлагая в ряд Тейлора, найдем:

(ra) = (ra-ra) = (ra) -ra a(ra) = (-ra a) (ra)

= (-( ra) a) (ra) = (- ra a) (ra)  

(-ra  (-ia)) (ra) = (- )(ra).

Итак,

 (ra) = (- )(ra),    (),

где

==   ()

В данном случае мы ничего нового не получили. Но важно, что момент импульса можно трактовать двумя способами. Согласно определению (), оператор  описывает преобразование волновой функции при малом вращении, т.е.  является генератором вращения. Согласно определению () оператор  выражается через координаты и импульсы так же, как в классической механике. Еще раз: в данном случае получилось, что это одно и то же. Но в общей ситуации определение () может оказаться более общим. Оператор () действует только на координаты волновой функции. Но у нее могут быть и другие какие-то переменные, на которые () не действует, а () - действует.

И такие дополнительные переменные действительно существуют у многих частиц (прежде всего у электрона). Это - спиновые переменные, являющиеся внутренними, врожденными степенями свободы частицы, никак не связанными с координатами. Обозначая их буквой , запишем волновую функцию одной частицы как

  = (r,),

и в полной аналогии с рассмотренным частным случаем введем по определению оператор полного момента импульса как генератор вращений, т.е. преобразующий волновую функцию по закону

 (r,) = (- )(r,).

Оператор  можно представить в виде двух слагаемых:

 = +.

Оператор  есть рассмотренный ранее оператор орбитального момента, который действует только на координаты. Оператор  есть новый оператор - оператор спина, который действует только на спиновые переменные . Оператор спина можно определить как оператор , действующий в системе покоя частицы. Значит это действительно внутренний, врожденный момент импульса частицы.

Найдем правила коммутации  с операторами других физических величин. Пусть физическая величина F - векторная, и ей соответствует векторный оператор . Установим закон преобразования среднего значения F по произвольному состоянию . С одной стороны имеем:

 F    = -   

 (+)(– )    ,.

С другой стороны, как и для всякой векторной величины,

 F  =   F =   = .

Сравнение дает

 , = i  .

Проектируем на ось 1:

 1,11+22 + 33 = i(23-32).

Сравниваем коэффициенты при 1, а потом при 2 :

 1,1=0, 1,2 = i3.

Остальные случаи получаются проектированием на оси 2 и 3, или циклической перестановкой индексов в выписанных соотношениях:

 j,k = ijkl l.

В частности, полагая =, получим коммутационные соотношения для компонентов самого момента:

 j,k = ijkll.

Так как =+, ,= (действуют на разные переменные) и

 j, k = ijkll

то для спиновых операторов получаем те же коммутационные соотношения, что и для орбитальных:

 j, k = ijkll.

Если оператор F-скалярный, то абсолютно аналогичные рассуждения, основывающиеся на том, что при вращении F = 0, дают

 , k = .

В частности, для квадратов полного момента и спина получаем

 k =   2,k=

FILENAME lecture10.doc

-  PAGE 97 -


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

14472. Становление ОВПБ 21.06 KB
  Становление ОВПБ Первая попытка интеграции была предпринята в начале 1952 года Франция ФРГ Италия и Бельгия Нидерланды Люксембург подписали договор об учреждении Европейского Оборонительного сообщества ЕОС. Однако парламент Франции заблокировал создание ЕОС. Интег...
14473. Реформа внешнеполитической деятельности ЕС по Лиссабонскому договору 17.07 KB
  Реформа внешнеполитической деятельности ЕС по Лиссабонскому договору Лиссабонский договор был подписан в декабре 2007 г. и вступил в силу в декабре 2009 г. В соответствии с этим договором проводится модернизация внешней политики Европейского Союза. Договор вводит должн
14474. Структура и деятельность Европейского внешнеполитического ведомства. Основные проблемы внешнеполитической деятельности ЕС на современном этапе 17.67 KB
  Структура и деятельность Европейского внешнеполитического ведомства. Основные проблемы внешнеполитической деятельности ЕС на современном этапе. Европейское внешнеполитическое ведомство EEAS: European External Action Service отдел ЕС который был создан после вступления в силу Лис...
14475. Основные финансовые инструменты внешней политики ЕС 17.89 KB
  Основные финансовые инструменты внешней политики ЕС Внешняя политика ЕС развивается в рамках чётко определённых региональных и тематических инструментов. Финансирование внешней политики имеет как бюджетную так и внебюджетную природу. Инструменты внешней политики ...
14476. Международные санкции как инструмент внешней политики ЕС и США 23.56 KB
  Международные санкции как инструмент внешней политики ЕС и США. Впервые санкции были использованы в Версальском мирном договоре. Санкции как политический инструмент использовались еще с 19 века. Как инструмент были оформлены в уставе Лиги Наций 1920г ст 16 Устав предо
14477. Миротворчество во внешней политике США и ЕС 20.67 KB
  Миротворчество во внешней политике США и ЕС Военнополитическое руководство Соединенных Штатов учитывая возрастание значения миротворческих операций для продвижения американских интересов в быстро меняющейся международной обстановке стремится принимать в них акт
14478. Участие ЕС и США в неформальных институтах глобального управления 16.85 KB
  Участие ЕС и США в неформальных институтах глобального управления Этот билет не полный. Он только про ЕС. Надо еще про США но я не знаю что писать. Сегодня ЕС стремится сформировать новую позицию. Главной задачей ЕС ставит проявить сябя в качестве глобального политичес...
14479. Американская стратегия реформирования ООН 23.02 KB
  Американская стратегия реформирования ООН Дискуссия о реформировании ООН началась ещё до официального открытия этой организации и продолжается до сих пор. ОСНОВНЫЕ ВЕКТОРЫ АМЕРИКАНСКОГО РЕФОРМИРОВАНИЯ ООН: Административная реформа Создание Совета ООН по права...
14480. «Мягкая сила» ЕС. Проблемы использования военной силы во внешней политике ЕС. Стратегия безопасности ЕС 24.11 KB
  Мягкая сила ЕС. Проблемы использования военной силы во внешней политике ЕС. Стратегия безопасности ЕС. Мягкая сила Одной из ключевых концепций наряду с концепцией глобальных общественных благ способствующих изучению динамики взаимоотношений ЕС и других стран