67561

МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРОВ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА

Лекция

Физика

Мы хотим найти матрицы спиновых операторов в явном виде. Для этого решим сначала более общую задачу - найдем матрицы операторов момента и, которые удовлетворяют коммутационным соотношениям...

Русский

2014-09-12

738 KB

5 чел.

 

Л Е К Ц И Я  11

МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРОВ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА

Мы хотим найти матрицы спиновых операторов  в явном виде. Для этого решим сначала более общую задачу - найдем матрицы операторов момента  и , которые удовлетворяют коммутационным соотношениям

,=i,   ,=i,    ,=i,    ,=,  (пока =1!).

Пользоваться будем только этими коммутационными соотношениями. Так как  и  коммутируют, то можно искать их общие собственные векторы:

 ,m = J2,m,     ,m = m,m.

Пусть J2 фиксировано. Это означает, что мы рассматриваем подпространство всех векторов состояний, в которых J2 имеет определенное значение, а m изменяется. Векторы ,m образуют в таком подпространстве базис. Ближайшая цель - найти матрицы операторов  в этом базисе, который называется каноническим, и который для краткости обозначим как m.

Для ее решения удобно ввести операторы

 + = 1 + i2,    _ = ++ = 1 - i2,

которые, как легко показать прямой проверкой, удовлетворяют коммутационным соотношениям

 +,_ = 23, _,3 = _,     3,+ = +.

Покажем, что

 +m = mm+1,    _m = mm-1,

где m  и m - некоторые числа, которые без ограничения общности можно считать вещественными. Имеем, используя коммутационное соотношение,

 3(_m) = (_0-_)m = (-m-_)m = (m-1)(_m),

и аналогично

 3(+m) = (m +1)(+m).

Таким образом, _m и +m - собственные векторы оператора с собственными значениями m-1 и m+1 соответственно, что фактически и утверждалось.

Теперь задача отыскания матриц операторов  свелась фактически к нахождению чисел m  и m  и спектра оператора 3. Учитывая, что базисные векторы предполагаются нормированными, имеем:

m++m+1 = mm+1m+1 = m = m_m+1 = m+1 = m+1,

откуда вытекает соотношение между m и m:

 m+1 = m.

Чтобы получить числа m , проделаем следующую выкладку:

+m-1 = m-1m = +_m = (_++23) m =

= (m+1m + 2m)m,

или, с учетом предыдущего равенства,

 2m-1 - 2m = 2m.

Получили рекуррентное соотношение для m. Введем обозначение

 j = max m,

и сложим все предыдущие равенства от m = j до произвольного m + 1:

 2m - 2j = 2j + 2(j - 1) +...+ 2(m +1) = j(j +1) - m(m +1).

Учтем теперь, что j = 0, так j - это максимальное m,

 + j  = j j + 1,

и если бы j  0, то мы получили бы еще большее m, равное j+1. Поэтому

 2m = j(j +1) - m(m +1)

и

 2m = 2m-1 = j(j +1) - m(m - 1).

Таким образом, операторы +, _ и 3 действуют на базисные векторы m по закону

 +m = m+1,

 _m = m-1,

 3m = mm.

Действуя последовательными степенями _ на j, получим набор собственных векторов

 j, j-1, j-2,....

Последним в нем будет вектор -j, так как из второй полученной формулы следует _-j=0. Таким образом, наименьшим собственным значением оператора 3 является число -j:

 min m = -j.

Так как при таком построении число m на каждом этапе уменьшается на 1, то разность j-(-j)=2j должна быть целым числом, откуда j - целое или полуцелое число. Размерность подпространства с фиксированным значением j равна 2j+1 ( именно столько векторов m оно содержит), т.е. она определяется максимальным собственным значением оператора 3.

Докажем теперь, что каждый из векторов m действительно является собственным для оператора  ( ведь мы его так обозначили лишь для краткости, а на самом деле это ,m), и найдем соответствующее собственное значение ( оно должно быть единым, ибо  - фиксировано). Для этого перепишем  в виде

=1 +2 +3 =+_ - 3 +3.

Действуем этим оператором на произвольный базисный орт:

m = (+ 3+3)m = (m-1m-m+m2) m = (2m -m+m2) m.

Подставляя сюда найденное ранее 2m, получим

 m = j(j +1)m.

Таким образом, все m действительно собственные векторы для , причем они обладают одним и тем же собственным значением, как это и должно быть. Это собственное значение равно j(j +1).

Подведем предварительные итоги. По отношению к действию оператора квадрата момента  все пространство разбивается на подпространства, в которых он кратен единичному оператору:

  = j(j +1).

Размерность каждого подпространства равна 2j+1, где j - произвольное (но фиксированное для подпространства) целое или полуцелое число. Канонический базис в каждом подпространстве образует собственные векторы оператора 3, собственные значения которого меняются через 1 в пределах

 -j    m    j.

Эти собственные векторы будем обозначать как jm, куда входит и индекс подпространства j и индекс базисного орта m. Для них

 jm = j(j +1) jm,        3jm = mjm.

Произвольный вектор  гильбертова пространства состояний можно разложить по всем таким базисным ортам:

  = Cjmjm.

Найдем теперь матрицы операторов момента в построенном базисе. Умножая формулы

 +m =m+1,

 _m =m-1,

 3m =mm.

слева на n и, учитывая ортонормированность базиса,

 n m = nm,

получим

 n+(j)m  ( J+(j))nm = n,m+1

 n_(j)  m  (J_(j))nm = n,m-1

 n3(j)  m  (J3(j))nm = mn,m.

Имея в виду, что

 1 = (_++),      2 = (_++)

и восстанавливая теперь , которое мы раньше для простоты записи положили равным 1, придем к следующему окончательному результату:

( J1(j))nm =n,m+1 +n,m-1

(J2(j))nm = -n,m+1 +n,m-1

( J3(j))nm = m n,m

( J2(j))nm = 2j(j+1) n,m.

Здесь перечислены все возможные матрицы операторов момента, которые будут получаться, когда j пробегает значения 0, 12, 1, 32,.... Когда мы рассматривали орбитальный момент, то для него получили только целые значения j , которые обозначились как l. Но оказывается, что полуцелые значения также имеют глубокий смысл - они соответствуют спиновому моменту (разумеется, у некоторых частиц спин может быть и целым, но его природа совсем другая, чем природа орбитального момента).

Ввиду важности для дальнейшего, выпишем матрицы операторов момента для случая j = 12, когда m принимает значения m = +12 и m= -12. Делается это так:

 (J1)11  (J1)+12, +12 = 12,32  + 12,-12 = 0.

 

= .

В итоге получим

J1 =,    J2 = ,    J3 = ,   J2 = 34 2 .

Если ввести матрицы Паули

 1 = ,    2 = ,    3 = ,

то можно будет записать

 Jk = k, J2 = 2.

СПИН

До сих пор мы считали, что всякая квантовая частица имеет три степени свободы. Это подразумевало, что полный набор включает три наблюдаемых - например, x,y,z. Это, в свою очередь, и позволяло описывать состояния частицы в координатном представлении одной волновой функцией

  = (x,y,z)  (r).

Но постепенно выяснилось, что у микрочастиц число степеней свободы больше трех. Об этом свидетельствовали: (а) опыты Штерна-Герлаха, (б) дублетная структура спектров у щелочных металлов - например, наличие в спектре натрия яркого желтого дублета,  (в) аномальный эффект Зеемана - расщепление не на три линии, а на большее количество. После долгих мучений В. Паули ввел представление о «характерной двузначности» электрона, т.е. об удвоении числа его состояний. Но было неясно, что же это такое на самом деле. В 1925 г. Гаудсмит и Улэнбек предположили, что у электрона есть собственный (а не только) орбитальный момент импульса - спин, равный 12. Вскоре Паули построил соответствующий математический аппарат. Не нужно думать, что спин связан с каким-то вращением электрона - эта модель сразу приводит к противоречиям: например, скорость на «экваторе» электрона должна быть больше скорости света. Спин есть специфическая квантовомеханическая величина, не имеющая никаких классических аналогов и только по своим формальным свойствам совпадающий с некоторым моментом импульса. Важно сознавать также, что орбитальный момент - характеристика состояния частицы (грубо говоря, определяется ее движением), а спин не зависит от состояния. Это есть ее внутренняя, врожденная характеристика, подобная массе или электрическому заряду.

Разовьем общий спиновый формализм. Итак, записываем теперь волновую функцию как

  = (r,),

где - новая, спиновая переменная. На нее действуют спиновые операторы

 1, 2, 3    и    2 = 1 2 +22 +32.

В конце прошлой лекции мы видели, что они должны удовлетворять тем же коммутационным соотношениям, что и операторы момента:

 j, = ijkl l ;     j,2 = .

Поскольку спин - внутренняя характеристика частицы (а не характеристика состояния), то волновую функцию ее нужно снабдить соответствующим индексом, записывая

  = S(r,).

Эта функция должна быть собственной для оператора 2(значение спина раз и навсегда фиксировано):

 2S(r,) = 2s(s+1) S(r,),

где S - полуцелое или целое число (значение его определяется типом частицы). В качестве базисных элементов в пространстве спиновых переменных можно выбрать собственные векторы оператора 3 - проекции спина (тем самым, эта наблюдаемая наряду с координатами включается в полный набор):

 3S(r,) =  S (r,)

Значения  меняются через 1 в интервале

-s    s,

и всего имеется 2+1 спиновых независимых состояний.

Волновую функцию любого состояния частицы со спином будем записывать в виде матрицы-столбца из 2s+1 строк:

 S(r,) = .

Если спиновые и пространственные переменные независимы (отсутствует так называемое спин-орбитальное взаимодействие, ответственное за тонкую структуру спектров), то координатная зависимость у волновой функции будет единой, и ее можно вынести:

 S(r,) = (r) (r)s

Матрица - столбец

 s =

называется спиновой волновой функцией. В общем случае условие нормировки волновой функции S записывается как

 |i(r)|2dV = 1.

Смысл каждого слагаемого очевиден: это вероятность обнаружить частицу в данном спиновом состоянии. Если спиновые переменные и координаты расцепляются, то функция (r) нормируется обычным образом:

|(r)|2dV = 1,

а спиновая волновая функция нормируется так:

= 1,

где смысл каждого слагаемого тот же. Это условие нормировки можно записать иначе:

(,) = + = 1,

где + - матрица-строка, транспонированная к матрице-столбцу :

 + = (1,2,...2s+1).

Спиновую волновую функцию можно записать в виде

  =    1е1 +...nen,

где столбики с одной единицей и остальными нулями имеют смысл базисных векторов в спиновом пространстве. Имея в виду, что

 (S3)nm = mnm

(см. выше - в общей теории момента), то матрицей оператора 3 в каноническом базисе является

(S3)nm = .

Легко видеть, что каждый из базисных векторов является собственным вектором для этой матрицы, причем собственное значение для него определяется номером места, на котором стоит 1: у е1 оно равно S, у е2 - S-1,...у е2s+1 - равно -S. Поэтому целесообразнее ввести обозначения

S   S  =  = S,S  + S,S-1 + S,-S  

 S,S S,S  + S,S-1 S,S-1  + ...+ S,-S S,-S ,

где S,mS  - базисные векторы, описывающие состояния со спином S и его проекцией mS, а S,mS  - числа, т.е. коэффициенты разложения спиновой функции S по базисным векторам. Величина S,mS2 есть вероятность обнаружить частицу в состоянии с проекцией спина, равной mS . Базис является ортонормированным:

 S,mS S,mS = ms,ms 

и удовлетворяет условию полноты:

=.

Все прочие операторы спина, как и 3, изображаются матрицами. Их вид был получен при рассмотрении общей теории момента:

(S1)msms = ms,S+1+

 

 +m,ms-1

(S2)msms = -ms,ms+1

 + m,ms-1

(S3) msms = msms,ms, (S2) ms,ms = 2S(S+1) ms,ms.

В важнейшем частном случае спина S = 12 (электрон, протон, нейтрон и многие другие частицы) волновые функции являются столбцами из двух чисел, а спиновые операторы выражаются через матрицы Паули, как это было показано в самом конце общей теории. Отметим следующие свойства матриц Паули:

1. Они эрмитовы

 j+ = j

2. След каждой равен нулю

 Sp(j) = 0,

3. Квадрат каждой матрицы Паули равен единичной матрице

 j2 = ,

4. Разные матрицы Паули антикоммутируют

 jk + kj  = 0,     j  k,

5. Свойства 3 и 4 совместно записываются как

 jk + kj = 2jk ,

6. Матрицы Паули удовлетворяют коммутационным соотношениям

 [j,k] = 2jkll,

7. Произведение двух разных матриц Паули равно (с точностью до множителя) третьей

 12 = i3,    31 = i2,    23 = i1.

СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ

Пусть система состоит из двух частей, которым соответствуют полные моменты (1) и (2). Так как эти операторы действуют только на свои переменные, то они взаимно коммутируют:

 (1), (2) = ,

причем, между собой операторы каждой группы коммутируют обычным способом:

 j(a),k(a) = ijkl l(a),      (a)2,j(a) = .

У полной системы имеются состояния с определенными значениями квадратов моментов (1)2 и (2)2 и их проекций на третью ось 3(1) и 3(2):

(1)2 = 2j1(j1+1),    (2)2 = 2j2(j2+1),   3(1) = m1,    J3(2) = m2.

Эти состояния описываются векторами

 j1m1j2m2 = j1m1j2m2,

являющимися собственными для каждого из операторов  (1)2, (2)2,3(1) и 3(2) с указанными собственными значениями. Эти векторы образуют базис в пространстве состояний полной системы, и по нему можно разложить произвольный вектор ее состояния:

  =j1m1j2m2,   Cm1Cm2 = j1m1j2m2.

Введем оператор полного момента

=(1)+(2).



Для него справедливы обычные коммутационные соотношения

 j,k = ijkl l, 2,j = .

Каждый из введенных базисных векторов будет собственным для оператора

 3 = 3(1) +3(2)

с собственным значением

 

 J3 = (m1+m2)  m.

Действительно,

3j1m1j2m2 =3(1)j1m1j2m2 +3(2)j1m1j2m2 = m1j1m1j2m2 + m2j1m1j2m2.

Оператор квадрата полного момента

 2 = (1)2 + (2)2 + 2(1) (2)

коммутирует с операторами (1)2 и (2)2, а потому он может иметь определенное значение J2 вместе с квадратами моментов каждой из подсистем. Однако, старые векторы не будут собственными для этого оператора из-за наличия в нем третьего слагаемого, которое будет перемешивать состояния с разными m.

Но можно всегда построить новый базис из векторов

 j1j2jm,

которые являются собственными для  2 и 3:

 2j1j2jm = 2j(j +1) j1j2jm,   3j1j2jm = mj1j2jm,

т.е. описывают состояния с определенными j1,j2 (это всегда), а также с определенными j и m. Как уже говорилось, любые векторы, а значит и эти, можно разложить по старому базису:

 j1j2jm =j1m1j2m2, j1m1j2m2j1j2jm.

Возникающие здесь важные числа C......называются коэффициентами Клебша-Гордона, причем фазовые множители у новых базисных векторов всегда можно выбрать так, чтобы эти коэффициенты были вещественными. Для них имеются общие формулы, но они очень сложны. Поэтому существуют специальные таблицы коэффициентов Клебша-Гордона (ККГ).

ККГ задают матрицу преобразования от представления, в котором заданы проекции моментов подсистем (и их моменты) к представлению, в котором задан полный момент и его проекция (и моменты подсистем). Эта матрица осуществляет переход от одного ортонормированного базиса к другому, а потому она унитарна:

 j1m1j2m2jmj1m1j2m2jm = jjmm

или

 j1m1j2m2jmj1m1j2m2jm = m1m1m2m2.

Обратный переход осуществляется обратной матрицей, которая в силу унитарности, равна эрмитово сопряженной матрице, а в силу вещественности - просто транспонированной к исходной матрице:

 j1m1j2m2 = j1j2jm,= j1j2jmj1m1j2m2.

Мы уже установили, что каждый старый вектор j1m1j2m2 является собственным для оператора 3 с собственным значением

 J3 = (m1+m2).

Поэтому

 m = m1+m2

и суммирование в разложении ККГ по одному из индексов носит формальный характер. Так как m2=mm1, то при заданном m суммирование можно вести только по m1. Это отвечает тому, что

 

  m,m1+m2.

Важная задача - определение возможных значений j при заданных j1 и j2. Для ее решения  исследуем возможные значения m. Его максимальное значение есть m=j1+j2 . Оно осуществляется в одном единственном состоянии j1j1j2j2, которое будет иметь

 j = j1 + j2.

Следующее значение m=j1+j21 может осуществляться двумя линейными комбинациями векторов

 j1,j11j2,j2    и    j1,j1j2,j21.

Одна из них отвечает уже найденному моменту j=j1+j2 ( вектор торчит несколько «вбок»), а другая  - значению

 j = j1 + j2 1

(вектор направлен по оси). Значению m=j1+j22 будут отвечать три линейные комбинации из трех векторов

 j1,j12j2j2,  j1,j11j2,j21,  j1,j1j2,j22.

Одна отвечает значению j=j1+j2 (еще больше вбок), другая - значению j=j1+j21 (немножко вбок) и третья - значению

 j = j1 + j2 2

(вдоль оси). Продолжая процесс, убедимся, что на каждом этапе, когда m уменьшается на 1, появляется новое значение j до тех пор, пока не дойдем до значений, при которых либо m1=j1, либо m2 =j2. Таким образом, минимальное значение есть

 j = (j1  j2).

Итак, получаем следующее правило сложения моментов импульса: при заданных значениях j1 и j2 квантовое число j может пробегать множество значений через 1 из интервала

 j1j2    j    j1 + j2.

Каждому j отвечает 2j+1 состояний, а потому всего их будет

 = (2j1 + 1)(2j2 + 1)

(сумма арифметической прогрессии). Это совпадает с числом «старых» состояний j1m1j2m2, которое очевидным образом равно (2j1+1)(2j2+1). Конечно, так и должно быть, и совпадение подтверждает правильность найденного правила сложения моментов. Полученные неравенства допускают простую геометрическую интерпретацию - как неравенства для сторон треугольника. Поэтому их называют соотношением треугольника и кратко записывают как (j j1 j2). Числа j, j1, j2 входят в соотношение треугольника симметрично. Если они не выполняются, то ККГ автоматически обращаются в нуль.

В качестве операторов (1) и (2) можно рассматривать операторы орбитального момента и спинового момента - ведь важно лишь то, что разные операторы коммутируют друг с другом, а для  и   это так. В частности, очень важен случай S = 12 (электрон). Если l  0, то полный момент j может принимать два значения:

 l+12  и  l12.

Но в S- состоянии, когда l = 0 , полный момент равен 12, и только. Таким образом, получаем следующие возможные состояния электрона:

 s12; p12; p32; d32; d52;...

Всего таких состояний имеется:

 s-2,    p-2+4 = 6,    d-4+6=10,...

Число же низших состояний таково:

 s-2,    s,   p-8,    s,    p,    d-18,...

Очень похоже на числа заполнения в таблице Менделеева, и недаром. Ведь в атоме при n=2 есть s- и p- состояния, откуда - 8, при n= 3 есть s-, p- и d- состояния, откуда - 18,  т.д.

При сложении орбитального момента электрона с его спином полезно знать соответствующие разложения. Поэтому приведем таблицу ККГ:

ms = +1/2

ms  = -1/2

j = l + 1/2

j = l – 1/2

Запишем также для справок волновые функции электрона в центральном

поле, где сохраняются   и :

s = 12, ms = +12, -12,

l, ml = mms

Разложение волновой функции состояния с определенными значениями энергии, орбитального момента l (спина s), полного момента j и его проекции m по состояниям с определенными значениями , l, ml, s, ms  имеет вид

 Elsjm( r ,) = ,

где - спиновая переменная, а - спиновые функции. Разложение можно записать короче:

 Elsjm( r ,) =

где - сферические функции со спином  (шаровые функции):

;

.

FILENAME lecture11.doc

-  PAGE 111 -


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

31280. ОСНОВИ АВТОМАТИЗОВАНОГО ПРОЕКТУВАННЯ ЕЛЕКТРОТЕХНІЧНИХ ПРИСТРОЇВ І ЕЛЕКТРОМЕХАНІЧНИХ СИСТЕМ 4.6 MB
  Методичні вказівки щодо виконання лабораторних робіт з навчальної дисципліни „Основи автоматизованого проектування електротехнічних пристроїв і електромеханічних систем” для студентів денної та заочної форм навчання зі спеціальності 6.092200 – „Електромеханічні системи автоматизації та електропривод” (у тому числі скорочений термін навчання)
31281. ОСНОВИ СИЛОВОЇ ПЕРЕТВОРЮВАЛЬНОЇ ТЕХНІКИ 8.41 MB
  Курс Основи силової перетворювальної техніки розрахований на вивчення протягом двох семестрів і складається з трьох основних частин: перетворення змінного струму в постійний струм випрямлячі; імпульсне регулювання постійного і змінного напруги імпульсні перетворювачі; регулювання частоти напруги або струму перетворювачі частоти. Перед тим як приступити до виконання лабораторних робіт необхідно ознайомитися із джерелом живлення в лабораторії щоб зясувати наявність у ньому небезпечної для життя людини напруги. Наявність...
31283. СИЛОВІ ПЕРЕТВОРЮВАЧІ АВТОМАТИЗОВАНИХ ЕЛЕКТРОПРИВОДІВ 408.5 KB
  Лабораторна робота №1 Моделювання та дослідження часових діаграм однофазного однополуперіодного випрямляча програма схемотехнічного моделювання NI Circuit DesignSuite Лабораторна робота №2 Моделювання дослідження характеристик та часових діаграм роботи різноманітних видів однофазних мостових випрямлячів в системи NI Circuit Design Suite Лабораторна робота №3 Дослідження характеристик та часових діаграм роботи силової частини тиристорного перетворювача БУ 3609 з однофазною мостовою схемою...
31284. СПЕЦІАЛЬНІ СИСТЕМИ ЕЛЕКТРОПРИВОДУ 713 KB
  Перелік лабораторних робіт 4 Лабораторна робота № 1 Дослідження характеристик та регулювальних властивостей виконавчого приводу постійного струму з якірним та полюсним керуванням. Лабораторна робота № 2 Дослідження характеристик та регулювальних властивостей виконавчого приводу постійного струму з полюсним керуванням. Дослідженння характеристик виконавчих електроприводів з двигунами постійного струму з якірним та полюсним керуванням. Змоделювати якірне та полюсне керування двигуном постійного струму структурна схема...
31285. СПЕЦІАЛЬНІ СИСТЕМИ ЕЛЕКТРОПРИВОДУ. Методичні вказівки щодо практичних занять 2.08 MB
  5 Практичне заняття № 1 Розрахунок характеристик виконавчих електроприводів з двигунами постійного струму з якірним та полюсним керуванням. Статичний момент приведений до валу двигуна при підйомі Мс=42кГм а при спуску він являється активним и дорівнює 34кГм. Приведений до валу двигуна момент інерції механізму Jмех=00815 кГм∙сек2. Момент інерції ротора двигуна Jд= 04 кГм∙сек2.
31286. Основи моделювання аналогових та цифрових вузлів систем управління в пакеті програм Electronics Workbench 475.5 KB
  ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ Пакет Electronics Workbench призначений для перевірки роботи електронних схем цифрових та аналогових методом математичного моделювання. Для моделювання роботи схем застосовуються численні методи МонтеКарло. 2 ПОРЯДОК ВИКОНАННЯ РОБОТИ 1.
31287. Дослідження низькочастотних генераторів сигналів різної форми в пакеті Electronics Workbench 1.39 MB
  Розглянемо ряд найпоширеніших генераторів сигналів синусоїдальної прямокутної і трикутної форм із регульованими параметрами частота амплітуда тривалість імпульсів та з різними методами стабілізації параметрів вихідних коливань. Генератори синусоїдальних коливань Принцип роботи генераторів синусоїдальних коливань заснований на використанні в ланцюгах зворотного звязку ЗЗ фазозсуваючих чи резонансних елементів: моста Віна подвійного Т образного моста що зсуває RC ланцюгів і ін. Тому при використанні високоякісних RC елементів...
31288. Дослідження схем активних випрямлячів в пакеті Electronics Workbench 1.11 MB
  Робота подібних випрямлячів як правило заснована на тому що при одній полярності вхідна напруга з деяким масштабним коефіцієнтом подається на вихід а при іншій вихідна напруга підтримується рівною нулю однонапівперіодний випрямляч чи інвертованій вхідній напрузі двонапівперіодний випрямляч. Побудувати схеми випрямлячів в пакеті Electronics Workbench для контролю за вихідними параметрами необхідно до виходів випрямлячів підключити вольтметр та осцилограф. Для кожного з побудованих випрямлячів визначити його тип.