67561

МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРОВ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА

Лекция

Физика

Мы хотим найти матрицы спиновых операторов в явном виде. Для этого решим сначала более общую задачу - найдем матрицы операторов момента и, которые удовлетворяют коммутационным соотношениям...

Русский

2014-09-12

738 KB

4 чел.

 

Л Е К Ц И Я  11

МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРОВ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА

Мы хотим найти матрицы спиновых операторов  в явном виде. Для этого решим сначала более общую задачу - найдем матрицы операторов момента  и , которые удовлетворяют коммутационным соотношениям

,=i,   ,=i,    ,=i,    ,=,  (пока =1!).

Пользоваться будем только этими коммутационными соотношениями. Так как  и  коммутируют, то можно искать их общие собственные векторы:

 ,m = J2,m,     ,m = m,m.

Пусть J2 фиксировано. Это означает, что мы рассматриваем подпространство всех векторов состояний, в которых J2 имеет определенное значение, а m изменяется. Векторы ,m образуют в таком подпространстве базис. Ближайшая цель - найти матрицы операторов  в этом базисе, который называется каноническим, и который для краткости обозначим как m.

Для ее решения удобно ввести операторы

 + = 1 + i2,    _ = ++ = 1 - i2,

которые, как легко показать прямой проверкой, удовлетворяют коммутационным соотношениям

 +,_ = 23, _,3 = _,     3,+ = +.

Покажем, что

 +m = mm+1,    _m = mm-1,

где m  и m - некоторые числа, которые без ограничения общности можно считать вещественными. Имеем, используя коммутационное соотношение,

 3(_m) = (_0-_)m = (-m-_)m = (m-1)(_m),

и аналогично

 3(+m) = (m +1)(+m).

Таким образом, _m и +m - собственные векторы оператора с собственными значениями m-1 и m+1 соответственно, что фактически и утверждалось.

Теперь задача отыскания матриц операторов  свелась фактически к нахождению чисел m  и m  и спектра оператора 3. Учитывая, что базисные векторы предполагаются нормированными, имеем:

m++m+1 = mm+1m+1 = m = m_m+1 = m+1 = m+1,

откуда вытекает соотношение между m и m:

 m+1 = m.

Чтобы получить числа m , проделаем следующую выкладку:

+m-1 = m-1m = +_m = (_++23) m =

= (m+1m + 2m)m,

или, с учетом предыдущего равенства,

 2m-1 - 2m = 2m.

Получили рекуррентное соотношение для m. Введем обозначение

 j = max m,

и сложим все предыдущие равенства от m = j до произвольного m + 1:

 2m - 2j = 2j + 2(j - 1) +...+ 2(m +1) = j(j +1) - m(m +1).

Учтем теперь, что j = 0, так j - это максимальное m,

 + j  = j j + 1,

и если бы j  0, то мы получили бы еще большее m, равное j+1. Поэтому

 2m = j(j +1) - m(m +1)

и

 2m = 2m-1 = j(j +1) - m(m - 1).

Таким образом, операторы +, _ и 3 действуют на базисные векторы m по закону

 +m = m+1,

 _m = m-1,

 3m = mm.

Действуя последовательными степенями _ на j, получим набор собственных векторов

 j, j-1, j-2,....

Последним в нем будет вектор -j, так как из второй полученной формулы следует _-j=0. Таким образом, наименьшим собственным значением оператора 3 является число -j:

 min m = -j.

Так как при таком построении число m на каждом этапе уменьшается на 1, то разность j-(-j)=2j должна быть целым числом, откуда j - целое или полуцелое число. Размерность подпространства с фиксированным значением j равна 2j+1 ( именно столько векторов m оно содержит), т.е. она определяется максимальным собственным значением оператора 3.

Докажем теперь, что каждый из векторов m действительно является собственным для оператора  ( ведь мы его так обозначили лишь для краткости, а на самом деле это ,m), и найдем соответствующее собственное значение ( оно должно быть единым, ибо  - фиксировано). Для этого перепишем  в виде

=1 +2 +3 =+_ - 3 +3.

Действуем этим оператором на произвольный базисный орт:

m = (+ 3+3)m = (m-1m-m+m2) m = (2m -m+m2) m.

Подставляя сюда найденное ранее 2m, получим

 m = j(j +1)m.

Таким образом, все m действительно собственные векторы для , причем они обладают одним и тем же собственным значением, как это и должно быть. Это собственное значение равно j(j +1).

Подведем предварительные итоги. По отношению к действию оператора квадрата момента  все пространство разбивается на подпространства, в которых он кратен единичному оператору:

  = j(j +1).

Размерность каждого подпространства равна 2j+1, где j - произвольное (но фиксированное для подпространства) целое или полуцелое число. Канонический базис в каждом подпространстве образует собственные векторы оператора 3, собственные значения которого меняются через 1 в пределах

 -j    m    j.

Эти собственные векторы будем обозначать как jm, куда входит и индекс подпространства j и индекс базисного орта m. Для них

 jm = j(j +1) jm,        3jm = mjm.

Произвольный вектор  гильбертова пространства состояний можно разложить по всем таким базисным ортам:

  = Cjmjm.

Найдем теперь матрицы операторов момента в построенном базисе. Умножая формулы

 +m =m+1,

 _m =m-1,

 3m =mm.

слева на n и, учитывая ортонормированность базиса,

 n m = nm,

получим

 n+(j)m  ( J+(j))nm = n,m+1

 n_(j)  m  (J_(j))nm = n,m-1

 n3(j)  m  (J3(j))nm = mn,m.

Имея в виду, что

 1 = (_++),      2 = (_++)

и восстанавливая теперь , которое мы раньше для простоты записи положили равным 1, придем к следующему окончательному результату:

( J1(j))nm =n,m+1 +n,m-1

(J2(j))nm = -n,m+1 +n,m-1

( J3(j))nm = m n,m

( J2(j))nm = 2j(j+1) n,m.

Здесь перечислены все возможные матрицы операторов момента, которые будут получаться, когда j пробегает значения 0, 12, 1, 32,.... Когда мы рассматривали орбитальный момент, то для него получили только целые значения j , которые обозначились как l. Но оказывается, что полуцелые значения также имеют глубокий смысл - они соответствуют спиновому моменту (разумеется, у некоторых частиц спин может быть и целым, но его природа совсем другая, чем природа орбитального момента).

Ввиду важности для дальнейшего, выпишем матрицы операторов момента для случая j = 12, когда m принимает значения m = +12 и m= -12. Делается это так:

 (J1)11  (J1)+12, +12 = 12,32  + 12,-12 = 0.

 

= .

В итоге получим

J1 =,    J2 = ,    J3 = ,   J2 = 34 2 .

Если ввести матрицы Паули

 1 = ,    2 = ,    3 = ,

то можно будет записать

 Jk = k, J2 = 2.

СПИН

До сих пор мы считали, что всякая квантовая частица имеет три степени свободы. Это подразумевало, что полный набор включает три наблюдаемых - например, x,y,z. Это, в свою очередь, и позволяло описывать состояния частицы в координатном представлении одной волновой функцией

  = (x,y,z)  (r).

Но постепенно выяснилось, что у микрочастиц число степеней свободы больше трех. Об этом свидетельствовали: (а) опыты Штерна-Герлаха, (б) дублетная структура спектров у щелочных металлов - например, наличие в спектре натрия яркого желтого дублета,  (в) аномальный эффект Зеемана - расщепление не на три линии, а на большее количество. После долгих мучений В. Паули ввел представление о «характерной двузначности» электрона, т.е. об удвоении числа его состояний. Но было неясно, что же это такое на самом деле. В 1925 г. Гаудсмит и Улэнбек предположили, что у электрона есть собственный (а не только) орбитальный момент импульса - спин, равный 12. Вскоре Паули построил соответствующий математический аппарат. Не нужно думать, что спин связан с каким-то вращением электрона - эта модель сразу приводит к противоречиям: например, скорость на «экваторе» электрона должна быть больше скорости света. Спин есть специфическая квантовомеханическая величина, не имеющая никаких классических аналогов и только по своим формальным свойствам совпадающий с некоторым моментом импульса. Важно сознавать также, что орбитальный момент - характеристика состояния частицы (грубо говоря, определяется ее движением), а спин не зависит от состояния. Это есть ее внутренняя, врожденная характеристика, подобная массе или электрическому заряду.

Разовьем общий спиновый формализм. Итак, записываем теперь волновую функцию как

  = (r,),

где - новая, спиновая переменная. На нее действуют спиновые операторы

 1, 2, 3    и    2 = 1 2 +22 +32.

В конце прошлой лекции мы видели, что они должны удовлетворять тем же коммутационным соотношениям, что и операторы момента:

 j, = ijkl l ;     j,2 = .

Поскольку спин - внутренняя характеристика частицы (а не характеристика состояния), то волновую функцию ее нужно снабдить соответствующим индексом, записывая

  = S(r,).

Эта функция должна быть собственной для оператора 2(значение спина раз и навсегда фиксировано):

 2S(r,) = 2s(s+1) S(r,),

где S - полуцелое или целое число (значение его определяется типом частицы). В качестве базисных элементов в пространстве спиновых переменных можно выбрать собственные векторы оператора 3 - проекции спина (тем самым, эта наблюдаемая наряду с координатами включается в полный набор):

 3S(r,) =  S (r,)

Значения  меняются через 1 в интервале

-s    s,

и всего имеется 2+1 спиновых независимых состояний.

Волновую функцию любого состояния частицы со спином будем записывать в виде матрицы-столбца из 2s+1 строк:

 S(r,) = .

Если спиновые и пространственные переменные независимы (отсутствует так называемое спин-орбитальное взаимодействие, ответственное за тонкую структуру спектров), то координатная зависимость у волновой функции будет единой, и ее можно вынести:

 S(r,) = (r) (r)s

Матрица - столбец

 s =

называется спиновой волновой функцией. В общем случае условие нормировки волновой функции S записывается как

 |i(r)|2dV = 1.

Смысл каждого слагаемого очевиден: это вероятность обнаружить частицу в данном спиновом состоянии. Если спиновые переменные и координаты расцепляются, то функция (r) нормируется обычным образом:

|(r)|2dV = 1,

а спиновая волновая функция нормируется так:

= 1,

где смысл каждого слагаемого тот же. Это условие нормировки можно записать иначе:

(,) = + = 1,

где + - матрица-строка, транспонированная к матрице-столбцу :

 + = (1,2,...2s+1).

Спиновую волновую функцию можно записать в виде

  =    1е1 +...nen,

где столбики с одной единицей и остальными нулями имеют смысл базисных векторов в спиновом пространстве. Имея в виду, что

 (S3)nm = mnm

(см. выше - в общей теории момента), то матрицей оператора 3 в каноническом базисе является

(S3)nm = .

Легко видеть, что каждый из базисных векторов является собственным вектором для этой матрицы, причем собственное значение для него определяется номером места, на котором стоит 1: у е1 оно равно S, у е2 - S-1,...у е2s+1 - равно -S. Поэтому целесообразнее ввести обозначения

S   S  =  = S,S  + S,S-1 + S,-S  

 S,S S,S  + S,S-1 S,S-1  + ...+ S,-S S,-S ,

где S,mS  - базисные векторы, описывающие состояния со спином S и его проекцией mS, а S,mS  - числа, т.е. коэффициенты разложения спиновой функции S по базисным векторам. Величина S,mS2 есть вероятность обнаружить частицу в состоянии с проекцией спина, равной mS . Базис является ортонормированным:

 S,mS S,mS = ms,ms 

и удовлетворяет условию полноты:

=.

Все прочие операторы спина, как и 3, изображаются матрицами. Их вид был получен при рассмотрении общей теории момента:

(S1)msms = ms,S+1+

 

 +m,ms-1

(S2)msms = -ms,ms+1

 + m,ms-1

(S3) msms = msms,ms, (S2) ms,ms = 2S(S+1) ms,ms.

В важнейшем частном случае спина S = 12 (электрон, протон, нейтрон и многие другие частицы) волновые функции являются столбцами из двух чисел, а спиновые операторы выражаются через матрицы Паули, как это было показано в самом конце общей теории. Отметим следующие свойства матриц Паули:

1. Они эрмитовы

 j+ = j

2. След каждой равен нулю

 Sp(j) = 0,

3. Квадрат каждой матрицы Паули равен единичной матрице

 j2 = ,

4. Разные матрицы Паули антикоммутируют

 jk + kj  = 0,     j  k,

5. Свойства 3 и 4 совместно записываются как

 jk + kj = 2jk ,

6. Матрицы Паули удовлетворяют коммутационным соотношениям

 [j,k] = 2jkll,

7. Произведение двух разных матриц Паули равно (с точностью до множителя) третьей

 12 = i3,    31 = i2,    23 = i1.

СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ

Пусть система состоит из двух частей, которым соответствуют полные моменты (1) и (2). Так как эти операторы действуют только на свои переменные, то они взаимно коммутируют:

 (1), (2) = ,

причем, между собой операторы каждой группы коммутируют обычным способом:

 j(a),k(a) = ijkl l(a),      (a)2,j(a) = .

У полной системы имеются состояния с определенными значениями квадратов моментов (1)2 и (2)2 и их проекций на третью ось 3(1) и 3(2):

(1)2 = 2j1(j1+1),    (2)2 = 2j2(j2+1),   3(1) = m1,    J3(2) = m2.

Эти состояния описываются векторами

 j1m1j2m2 = j1m1j2m2,

являющимися собственными для каждого из операторов  (1)2, (2)2,3(1) и 3(2) с указанными собственными значениями. Эти векторы образуют базис в пространстве состояний полной системы, и по нему можно разложить произвольный вектор ее состояния:

  =j1m1j2m2,   Cm1Cm2 = j1m1j2m2.

Введем оператор полного момента

=(1)+(2).



Для него справедливы обычные коммутационные соотношения

 j,k = ijkl l, 2,j = .

Каждый из введенных базисных векторов будет собственным для оператора

 3 = 3(1) +3(2)

с собственным значением

 

 J3 = (m1+m2)  m.

Действительно,

3j1m1j2m2 =3(1)j1m1j2m2 +3(2)j1m1j2m2 = m1j1m1j2m2 + m2j1m1j2m2.

Оператор квадрата полного момента

 2 = (1)2 + (2)2 + 2(1) (2)

коммутирует с операторами (1)2 и (2)2, а потому он может иметь определенное значение J2 вместе с квадратами моментов каждой из подсистем. Однако, старые векторы не будут собственными для этого оператора из-за наличия в нем третьего слагаемого, которое будет перемешивать состояния с разными m.

Но можно всегда построить новый базис из векторов

 j1j2jm,

которые являются собственными для  2 и 3:

 2j1j2jm = 2j(j +1) j1j2jm,   3j1j2jm = mj1j2jm,

т.е. описывают состояния с определенными j1,j2 (это всегда), а также с определенными j и m. Как уже говорилось, любые векторы, а значит и эти, можно разложить по старому базису:

 j1j2jm =j1m1j2m2, j1m1j2m2j1j2jm.

Возникающие здесь важные числа C......называются коэффициентами Клебша-Гордона, причем фазовые множители у новых базисных векторов всегда можно выбрать так, чтобы эти коэффициенты были вещественными. Для них имеются общие формулы, но они очень сложны. Поэтому существуют специальные таблицы коэффициентов Клебша-Гордона (ККГ).

ККГ задают матрицу преобразования от представления, в котором заданы проекции моментов подсистем (и их моменты) к представлению, в котором задан полный момент и его проекция (и моменты подсистем). Эта матрица осуществляет переход от одного ортонормированного базиса к другому, а потому она унитарна:

 j1m1j2m2jmj1m1j2m2jm = jjmm

или

 j1m1j2m2jmj1m1j2m2jm = m1m1m2m2.

Обратный переход осуществляется обратной матрицей, которая в силу унитарности, равна эрмитово сопряженной матрице, а в силу вещественности - просто транспонированной к исходной матрице:

 j1m1j2m2 = j1j2jm,= j1j2jmj1m1j2m2.

Мы уже установили, что каждый старый вектор j1m1j2m2 является собственным для оператора 3 с собственным значением

 J3 = (m1+m2).

Поэтому

 m = m1+m2

и суммирование в разложении ККГ по одному из индексов носит формальный характер. Так как m2=mm1, то при заданном m суммирование можно вести только по m1. Это отвечает тому, что

 

  m,m1+m2.

Важная задача - определение возможных значений j при заданных j1 и j2. Для ее решения  исследуем возможные значения m. Его максимальное значение есть m=j1+j2 . Оно осуществляется в одном единственном состоянии j1j1j2j2, которое будет иметь

 j = j1 + j2.

Следующее значение m=j1+j21 может осуществляться двумя линейными комбинациями векторов

 j1,j11j2,j2    и    j1,j1j2,j21.

Одна из них отвечает уже найденному моменту j=j1+j2 ( вектор торчит несколько «вбок»), а другая  - значению

 j = j1 + j2 1

(вектор направлен по оси). Значению m=j1+j22 будут отвечать три линейные комбинации из трех векторов

 j1,j12j2j2,  j1,j11j2,j21,  j1,j1j2,j22.

Одна отвечает значению j=j1+j2 (еще больше вбок), другая - значению j=j1+j21 (немножко вбок) и третья - значению

 j = j1 + j2 2

(вдоль оси). Продолжая процесс, убедимся, что на каждом этапе, когда m уменьшается на 1, появляется новое значение j до тех пор, пока не дойдем до значений, при которых либо m1=j1, либо m2 =j2. Таким образом, минимальное значение есть

 j = (j1  j2).

Итак, получаем следующее правило сложения моментов импульса: при заданных значениях j1 и j2 квантовое число j может пробегать множество значений через 1 из интервала

 j1j2    j    j1 + j2.

Каждому j отвечает 2j+1 состояний, а потому всего их будет

 = (2j1 + 1)(2j2 + 1)

(сумма арифметической прогрессии). Это совпадает с числом «старых» состояний j1m1j2m2, которое очевидным образом равно (2j1+1)(2j2+1). Конечно, так и должно быть, и совпадение подтверждает правильность найденного правила сложения моментов. Полученные неравенства допускают простую геометрическую интерпретацию - как неравенства для сторон треугольника. Поэтому их называют соотношением треугольника и кратко записывают как (j j1 j2). Числа j, j1, j2 входят в соотношение треугольника симметрично. Если они не выполняются, то ККГ автоматически обращаются в нуль.

В качестве операторов (1) и (2) можно рассматривать операторы орбитального момента и спинового момента - ведь важно лишь то, что разные операторы коммутируют друг с другом, а для  и   это так. В частности, очень важен случай S = 12 (электрон). Если l  0, то полный момент j может принимать два значения:

 l+12  и  l12.

Но в S- состоянии, когда l = 0 , полный момент равен 12, и только. Таким образом, получаем следующие возможные состояния электрона:

 s12; p12; p32; d32; d52;...

Всего таких состояний имеется:

 s-2,    p-2+4 = 6,    d-4+6=10,...

Число же низших состояний таково:

 s-2,    s,   p-8,    s,    p,    d-18,...

Очень похоже на числа заполнения в таблице Менделеева, и недаром. Ведь в атоме при n=2 есть s- и p- состояния, откуда - 8, при n= 3 есть s-, p- и d- состояния, откуда - 18,  т.д.

При сложении орбитального момента электрона с его спином полезно знать соответствующие разложения. Поэтому приведем таблицу ККГ:

ms = +1/2

ms  = -1/2

j = l + 1/2

j = l – 1/2

Запишем также для справок волновые функции электрона в центральном

поле, где сохраняются   и :

s = 12, ms = +12, -12,

l, ml = mms

Разложение волновой функции состояния с определенными значениями энергии, орбитального момента l (спина s), полного момента j и его проекции m по состояниям с определенными значениями , l, ml, s, ms  имеет вид

 Elsjm( r ,) = ,

где - спиновая переменная, а - спиновые функции. Разложение можно записать короче:

 Elsjm( r ,) =

где - сферические функции со спином  (шаровые функции):

;

.

FILENAME lecture11.doc

-  PAGE 111 -


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

12489. Параллельный комбинационный сумматор 171.5 KB
  Лабораторная работа №1. Параллельный комбинационный сумматор. Закон функционирования параллельного комбинационного сумматора определяется следующей таблицей: В таблице обозначены: аi значение цифры 1го слагаемого; вi значение цифры 2го слагаемого; Рi...
12490. Учебно-методическое пособие по дисциплине «Теория автоматов» 13.21 MB
  Учебно-методическое пособие по дисциплине Теория автоматов Направление 230100 Информатика и вычислительная техника Специальность 230101 Вычислительные машины комплексы системы и сети Учебно-методическое пособие Курс Теория автоматов является базовым при
12491. Выделение первого редукционного тельца. Оплодотворение 81.47 KB
  Препараты к занятию Оплодотворение Вхождение сперматозоида в яйцеклетку совершается у животных на разных стадиях развития яйцеклеток: у аскариды птиц и некоторых млекопитающих оно происходит на стадии ооцита первого порядка т.е. еще до выделения первого редукци
12492. Составить список учебной группы, включающей n человек 657.5 KB
  Отчет по лабораторной работе №3 по дисциплине Языки программирования Задание: Составить список учебной группы включающей n человек. Для каждого учащегося указать фамилию дату рождения день месяц год год поступления в ВУЗ экзаменационные оценки за первые два ...
12493. Динамическая маршрутизация 582.43 KB
  Во время лабораторной работы мы научились строить топологию с настройкой динамической маршрутизации. Научиться строить топологию с настройкой динамической маршрутизации.
12494. Определение увеличения объектива микроскопа и измерение размеров объектов с помощью микроскопа 39 KB
  Определение увеличения объектива микроскопа и измерение размеров объектов с помощью микроскопа: методические указания по выполнению лабораторной работы № 62 по курсу Физика для студентов инженернотехнических специальностей всех форм обучения / ЮгоЗап.. гос. унт; сос...
12495. Определение показателя преломления стекол 89.5 KB
  PAGE 3 Определение показателя преломления стекол: методические указания по выполнению лабораторной работы № 63 по курсу Физика для студентов инженернотехнических специальностей / Курск гос. техн. унт; сост.: Л.А. Желанова А.А. Родионов. Курск 2010. 7 с. Библи...
12496. Определение радиуса кривизны линзы и длины световой волны с помощью колец ньютона 327 KB
  Определение радиуса кривизны линзы и длины световой волны с помощью колец ньютона: методические указания по выполнению лабораторной работы по оптике № 66 по курсу Физика / Курск гос. техн. унт; сост.: Л.А. Желанова А.А. Родионов. Курск 2010. 7 с. Библиогр.: с.7. Содержат све...
12497. Лесное хозяйство 84.5 KB
  Многие важнейшие элементы лесного хозяйства, включая охрану лесов, лесоустройство, учёт и инвентаризацию лесов, лесовосстановление, защитное лесоразведение, профилактическую работу с населением и лесную науку, или уже прекратили своё существование, или неизбежно перестанут существовать в течение одного-двух лет при сохранении существующих тенденций.