67562

КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

Лекция

Физика

В квантовой механике уравнение Шредингера для сколько-нибудь реалистических систем невозможно решить точно, в квадратурах. Поэтому здесь создано большое количество приближенных методов исследования. Мощнейший из них - теорию возмущений - мы рассмотрим позже.

Русский

2014-09-12

363 KB

2 чел.

Л Е К Ц И Я  12

КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

В квантовой механике уравнение Шредингера для сколько-нибудь реалистических систем невозможно решить точно, в квадратурах. Поэтому здесь создано большое количество приближенных методов исследования. Мощнейший из них - теорию возмущений - мы рассмотрим позже. А сейчас обсудим квазиклассическое приближение, которое представляет и самостоятельный интерес, так как устанавливает связь квантовой механики и классической. Как мы увидим, квазиклассическое приближение (ККП) справедливо в случаях, когда де-бройлевские длины волн частиц малы по сравнению с характерными масштабами системы. Это аналогично тому, что волновая оптика в пределе малых длин волн переходит в геометрическую.

Рассматриваем стационарное одночастичное уравнение Шредингера в координатном представлении:

 2 (r) +V(r) (r) = E(r)

и делаем в нем формальную подстановку (замену функции)

 (r) = A.

Учитывая, что

= (S)A,   2 = (2S)A  (S)2A,

получим для S следующее уравнение:

 (S)2  2S +V  E = 0.

Если отбросить второй член, то получим

 (S)2 +V = E.

Но это есть не что иное, как классическое уравнение Гамильтона - Якоби для функции действия S0 (укороченное). Приближение справедливо при

 S2  2S.

Но в классике S=p, а потому

 p2>>divp(x),

или, в одномерном случае

 p2 >>   1 >>  =  =   ,

где    де-бройлевская длина волны. Таким образом, переход возможен при условии

  << 1,

т.е. когда длина волны де Бройля мало меняется на протяжении системы. Можно сказать и иначе. Учитывая, что

 p(x) =,

получим

 1 >>  =      << 1.

Приближение справедливо, когда сила невелика (потенциальная энергия достаточно плавная функция координат), а импульс не слишком мал. В частности, приближение не работает вблизи точек поворота E =V(x), где p = 0, а = . Это будет важно в дальнейшем.

Последующее рассмотрение проводим для одномерного движения, когда уравнение для функции S(x), входящей в волновую функцию

 (x) = A,

имеет вид

 iS  S2 + 2(E V) = 0.  ()

Решение этого точного уравнения будем искать в виде ряда по :

 S(x) = S0(x) +S1(x) +2S2(x) + ....

Этот ряд сходится плохо, и отыскание поправок высшего порядка малости по  затруднено. К тому же  разложение разумно (т.е. может получать эффективные результаты) только при обсужденном выше условии. Ограничимся поправками, линейными по , т.е. ищем S в виде

 S(x)  S0(x) + S1(x) .

Подставляем в (), отбрасывая члены с 2:

 2(E V)  S02 +(iS0  2S0S1) = 0.

Это должно быть тождеством, а потому должны равняться нулю отдельно члены без  (с 0) и члены с  (1):

 2(E V)  S02 = 0,     iS0   2S0S1 = 0.

Собственно говоря, именно это приближение и называется квазиклассическим. Оно же именуется методом ВКБ (Вентцеля - Крамерса - Бриллюэна).

Уравнение нулевого приближения есть уравнение Гамильтона - Якоби, из которого

 S0 =   = p,

где

 p(x) =   

классический импульс.

Итак, в нулевом приближении

 S0(x) = |p(x)|dx.

Здесь x0 - координата некоторой фиксированной точки на прямой. В качестве нее удобно выбирать классическую точку поворота, где

E =V(x0).

Заметим, что в классически доступной области I импульс вещественен, а в классически недоступной области II он является чисто мнимым.

Уравнение для S1 переписываем в виде

 S1 = i/2(S0’’/S0)  i/2(lgSo).

Интегрируя его, находим

 S1 = i/2lgS0 = i/2(lgp)

(постоянная интегрирования несущественна, и ее опускаем). Таким образом, в приближении ВКБ

 S(x) = pdx+iln,

и

 (x) = .

Обращаясь к картинке, запишем этот результат отдельно в областях I (x<x0, классически доступная) где импульс вещественен, и II (x>x0, классически недоступная), где импульс мнимый:

I.I(x) = ,          p(y) = ,

или

I(x) = a sin (z +) +bcos(z +),        z(x) |p(y)dy|;

II. II(x) = ,      p(y) = = ip(y),

или

II(x) = [Ae-|z|+Be|z|],     |p(y) =,     z  |p(y)|dy.

В эти решения входят 6 неизвестных вещественных констант: a, b, , , A, B. Свяжем их между собой, сшивая решения для областей I и II.

Но здесь есть значительная трудность. В точке поворота p(x0)=0, и квазиклассическое приближение здесь не работает (см. выше), т.е. выписанные функции не являются решениями задачи даже приближенно. Способ таков: вводим промежуточную область III, в которой решаем уравнение Шредингера точно, и именно это решение его концами сшиваем с соответствующими квазиклассическими решениями. Область III считаем весьма узкой, что позволяет аппроксимировать потенциал V(x) линейной функцией, разлагая его в ряд Тейлора:

V(x) V(x0) + (x  x0)V(x)  E +(xx0),        = V(x).

Тогда точное (в смысле не квазиклассическое) уравнение Шредингера в области III будет записываться как

 (x)   (xx0) (x) = 0.

После замены переменной

  = 13(xx0)

оно примет вид

  -  = 0.

Это есть уравнение Эйри, и оно имеет два независимых решения:

u1() = ,    u2() = .

Теперь будем сшивать решения по границам областей I - III и III - II.

  1.  При x>x0  за счет 2 в знаменателе имеем >>1, и для функций Эйри можно воспользоваться известными из справочников асимптотическими выражениями (кстати, они получаются методом перевала):

 u1  , u2 = .

  1.  При x<x0 по тем же причинам <<-1, и асимптотики таковы:

 u1  ,   u2  .

Первую асимптотику будем сшивать с II(x), а вторую - с I(x).

(а) В области I x=x0  (>0,   0) подставляем в p(x) потенциал

 V(x) = (x0x)

разлагаем в ряд Тейлора и вычисляем

 z = p(y)dy   2/3 3/2.

(б) В области II x=x0+, и аналогичные выкладки дают

 z  2/3 3/2.

Теперь, задавшись решением в I, сшиваем его с асимптотикой (2), находим асимптотику того же решения в (1) и сшиваем с решением II. Решая возникающие алгебраические уравнения, получим

 A = a/2,    B = b,     =  = .

В итоге получим следующее квазиклассическое решение:

 (x) = a1(x) + b2(x),

где

1(x) = ;       2(x) =

При этом константы a и b находятся из общих граничных условий (скажем, ограниченность на бесконечности) и условий нормировки. Полученные решения справедливы, вообще говоря, только вне - окрестности точки поворота. Но если на интервале 2 укладывается много длин волн де Бройля, то выражениями можно пользоваться во всей области.

КОЭФФИЦИЕНТ ПРОХОЖДЕНИЯ

В качестве примера применения метода ВКБ вычислим коэффициент прохождения частицы через барьер произвольной формы (а не прямоугольной). При этом считаются выполненными условия квазиклассичности, т.е. барьер - достаточно плавный. Это значит, помимо всего прочего, что он широкий, и что энергия много меньше высоты барьера. Идея: задаем волновую функцию в области I в виде суперпозиции падающей и отраженной волн, «протягиваем» ее по полученному рецепту в область II, а затем по несколько модифицированному рецепту в область III и требуем, чтобы там не было отраженной волны.

I. I(x) = sin (z +) +cos(z +)

   пад(x) + отр(x).

 z = p(y)dy,     B0 = 1/2(b+ia),     B1 = 1/2(bia)

II. II(x) =

|z| = |p(y)dy|,     ;

  

 II(x) = 

 

III. III (x) = ,

  

Но в области III не должно быть отраженной волны (по постановке задачи - частицы падают из -, частично отражаются, а частично уходят на +). Поэтому

 = 0     = -i;

 ;

 B0=1/2 (b+ia) = (1/4 e-2 +1)

 B1 = 1/2 (b-ia) = (1/4 e-2 - 1).

Таким образом, все коэффициенты выражаются через a, который можно (но в данной задаче не нужно) найти из условия нормировки:

 b =

 

 .

Здесь следует выделить B0 (коэффициент при падающей волне) и  (коэффициент при отраженной волне). Вводим коэффициенты прохождения и отражения

 D = ,      R = ,

где токи выражаются через соответствующие волновые функции:

 j = .

Подставляя найденные коэффициенты получим

 D = ,

 R = 

Но здесь произошло некоторое превышение точности. В частности, D+R1, в противоречии с сохранением вероятности (куда делись частицы?). Однако нужно учесть, что

  = >>1.

Тогда равенство D+R=1 , будет выполняться с точностью до слагаемых типа exp(-2) и exp(-4), которые тем самым нужно отбросить. Их нужно отбросить и в выражении для D, для которого окончательно получаем

 D = e-2 = exp.

Это весьма важная формула, и она часто применяется - например, при анализе альфа-распада ядер, механизм которого, как известно, туннельный.

FILENAME lecture12.doc

-  PAGE 119 -


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

25071. Мифология 36.5 KB
  mutos сказание сказание и logos слово рассказ совокупность мифов созданных какимлибо народом или разными народами; система знаний о мире основанная на вере в сверхъестественное; научная дисциплина изучающая мифы их особенности элементы. Современные мифы вбирают в себя элементы заимствованные из других культурных форм в том числе и из науки. В современной культуре имеют хождение мифы различного вида: Старые мифы дожившие до наших дней преданья старины глубокой рассказы о духах вроде лешего и домового о колдовстве и...
25072. Основні функції культури 32.5 KB
  Адаптаційна дає можливість кожному індивідууму який включається в процес функціонування і розвитку прилаштовуватися до існуючих в суспільстві оцінок і форм поведінки. Аксіологічна ціннісна дає можливість виробити ціннісні орієнтації людини коригувати норми поведінки та ідентифікувати себе у суспільстві. Нормативна відпрацьовування і поширення відповідних норм поведінки які суспільство диктує людині у відповідності з якими формується образ життя людей їх установки й ціннісні орієнтації способи поведінки.
25073. Християнство 52 KB
  Основу християнства становить учення про Боголюдину Ісуса Христа який щоб звільнити людей від первородного гріха прийняв смерть через розп'яття на хресті але воскрес вознісся на небо і обіцяв повернутись на землю вдруге У Судний день для того щоб судити живих і мертвих; за результатами Божого суду одних направити до Раю а інших у пекло; Християнство зародилося на сході Римської імперії території сучасного Ізраїлю в Палестині в I ст. Мудра віра Ісуса привертала до Нього кращих людей ізраїльського народу. завіт договір назва...
25074. Исла́м 51 KB
  Слово ислам переводится как предание себя Богу покорность подчинение законам Аллаха. В арабском языке слово ислам отглагольное существительное образованное от глагола который означает быть благополучным спасаться сохраняться быть свободным. В шариатской терминологии ислам это полное абсолютное единобожие подчинение Аллаху Его приказам и запретам отстранение от многобожия. Приверженцев ислама называют мусульманами.
25075. Регулятив (регулятивний смисл) 37.5 KB
  Наявні в культурі регулятиви визначають прийняті в даній культурі норми поведінки і діяльності тобто вказують якими шляхами та засобами досягнення мети допустиме нормальне і навпаки. Культурні норми досить різноманітні. Норми культури мінливі. Разом з тим норми культури забезпечують надійність передбачуваність і загальнозрозумілість поведінки.
25076. Житейские знания 35.5 KB
  образцы стандарты в соответствии с которыми строятся знания о мире. В культуре сосуществуют три основных типа когнитивных познавательных процедур и соответственно три типа знания житейское мистическое и рациональное. Житейские знания отражают вещи и явления с которыми люди сталкиваются в обычных жизненных условиях. Вера это убеждение в истинности какоголибо знания при отсутствии доказательства его истинности.
25077. Застосування моральних критеріїв 35 KB
  Значні моральні колізії супроводжують і такі винаходи сучасної науки як трансплантація органів генна інженерія клонування. Практика трансплантації органів вийшла сьогодні з вузько експериментальних рамок на рівень звичайної медичної галузі. Проте в сучасній медицині триває процес розширення показань до різних видів пересадок що є одним з об'єктивних підстав того що однією із стійких особливостей сучасного суспільства стає дефіцит донорських органів Стан дефіциту донорських органів це хронічне невідповідність між їх попитом та...
25078. Моральні проблеми 31 KB
  Складними є моральні та правові проблеми зачаття людини. Народжених підстерігають хвороби і моральні випробування у стосунках між ними та медпрацівниками рідними близькими. Моральні проблеми які виникають до народження чи до зародження людини пов'язані з використанням нових репродуктивних технологій: штучної інсемінації екстракорпорального лат.
25079. Біоетика – нормативне знання 56 KB
  Прикладом такого розуміння евтаназії є введення летальної дози препарату термінальному хворому з метою полегшення тяжких страждань. Ще одна відмінність дуже важлива в дискусії з приводу евтаназії. Можливість такої евтаназії розглядається у пацієнтів не здатних приймати самостійні рішення наприклад душевнохворі. Якщо розглядати в сукупності випадки добровільної недобровільної евтаназії з випадками активної пасивної евтаназії можна виділити чотири різновиди евтаназії: 1 добровільна активна; 2 недобровільна активна; 3 добровільна пасивна;...