67562

КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

Лекция

Физика

В квантовой механике уравнение Шредингера для сколько-нибудь реалистических систем невозможно решить точно, в квадратурах. Поэтому здесь создано большое количество приближенных методов исследования. Мощнейший из них - теорию возмущений - мы рассмотрим позже.

Русский

2014-09-12

363 KB

2 чел.

Л Е К Ц И Я  12

КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

В квантовой механике уравнение Шредингера для сколько-нибудь реалистических систем невозможно решить точно, в квадратурах. Поэтому здесь создано большое количество приближенных методов исследования. Мощнейший из них - теорию возмущений - мы рассмотрим позже. А сейчас обсудим квазиклассическое приближение, которое представляет и самостоятельный интерес, так как устанавливает связь квантовой механики и классической. Как мы увидим, квазиклассическое приближение (ККП) справедливо в случаях, когда де-бройлевские длины волн частиц малы по сравнению с характерными масштабами системы. Это аналогично тому, что волновая оптика в пределе малых длин волн переходит в геометрическую.

Рассматриваем стационарное одночастичное уравнение Шредингера в координатном представлении:

 2 (r) +V(r) (r) = E(r)

и делаем в нем формальную подстановку (замену функции)

 (r) = A.

Учитывая, что

= (S)A,   2 = (2S)A  (S)2A,

получим для S следующее уравнение:

 (S)2  2S +V  E = 0.

Если отбросить второй член, то получим

 (S)2 +V = E.

Но это есть не что иное, как классическое уравнение Гамильтона - Якоби для функции действия S0 (укороченное). Приближение справедливо при

 S2  2S.

Но в классике S=p, а потому

 p2>>divp(x),

или, в одномерном случае

 p2 >>   1 >>  =  =   ,

где    де-бройлевская длина волны. Таким образом, переход возможен при условии

  << 1,

т.е. когда длина волны де Бройля мало меняется на протяжении системы. Можно сказать и иначе. Учитывая, что

 p(x) =,

получим

 1 >>  =      << 1.

Приближение справедливо, когда сила невелика (потенциальная энергия достаточно плавная функция координат), а импульс не слишком мал. В частности, приближение не работает вблизи точек поворота E =V(x), где p = 0, а = . Это будет важно в дальнейшем.

Последующее рассмотрение проводим для одномерного движения, когда уравнение для функции S(x), входящей в волновую функцию

 (x) = A,

имеет вид

 iS  S2 + 2(E V) = 0.  ()

Решение этого точного уравнения будем искать в виде ряда по :

 S(x) = S0(x) +S1(x) +2S2(x) + ....

Этот ряд сходится плохо, и отыскание поправок высшего порядка малости по  затруднено. К тому же  разложение разумно (т.е. может получать эффективные результаты) только при обсужденном выше условии. Ограничимся поправками, линейными по , т.е. ищем S в виде

 S(x)  S0(x) + S1(x) .

Подставляем в (), отбрасывая члены с 2:

 2(E V)  S02 +(iS0  2S0S1) = 0.

Это должно быть тождеством, а потому должны равняться нулю отдельно члены без  (с 0) и члены с  (1):

 2(E V)  S02 = 0,     iS0   2S0S1 = 0.

Собственно говоря, именно это приближение и называется квазиклассическим. Оно же именуется методом ВКБ (Вентцеля - Крамерса - Бриллюэна).

Уравнение нулевого приближения есть уравнение Гамильтона - Якоби, из которого

 S0 =   = p,

где

 p(x) =   

классический импульс.

Итак, в нулевом приближении

 S0(x) = |p(x)|dx.

Здесь x0 - координата некоторой фиксированной точки на прямой. В качестве нее удобно выбирать классическую точку поворота, где

E =V(x0).

Заметим, что в классически доступной области I импульс вещественен, а в классически недоступной области II он является чисто мнимым.

Уравнение для S1 переписываем в виде

 S1 = i/2(S0’’/S0)  i/2(lgSo).

Интегрируя его, находим

 S1 = i/2lgS0 = i/2(lgp)

(постоянная интегрирования несущественна, и ее опускаем). Таким образом, в приближении ВКБ

 S(x) = pdx+iln,

и

 (x) = .

Обращаясь к картинке, запишем этот результат отдельно в областях I (x<x0, классически доступная) где импульс вещественен, и II (x>x0, классически недоступная), где импульс мнимый:

I.I(x) = ,          p(y) = ,

или

I(x) = a sin (z +) +bcos(z +),        z(x) |p(y)dy|;

II. II(x) = ,      p(y) = = ip(y),

или

II(x) = [Ae-|z|+Be|z|],     |p(y) =,     z  |p(y)|dy.

В эти решения входят 6 неизвестных вещественных констант: a, b, , , A, B. Свяжем их между собой, сшивая решения для областей I и II.

Но здесь есть значительная трудность. В точке поворота p(x0)=0, и квазиклассическое приближение здесь не работает (см. выше), т.е. выписанные функции не являются решениями задачи даже приближенно. Способ таков: вводим промежуточную область III, в которой решаем уравнение Шредингера точно, и именно это решение его концами сшиваем с соответствующими квазиклассическими решениями. Область III считаем весьма узкой, что позволяет аппроксимировать потенциал V(x) линейной функцией, разлагая его в ряд Тейлора:

V(x) V(x0) + (x  x0)V(x)  E +(xx0),        = V(x).

Тогда точное (в смысле не квазиклассическое) уравнение Шредингера в области III будет записываться как

 (x)   (xx0) (x) = 0.

После замены переменной

  = 13(xx0)

оно примет вид

  -  = 0.

Это есть уравнение Эйри, и оно имеет два независимых решения:

u1() = ,    u2() = .

Теперь будем сшивать решения по границам областей I - III и III - II.

  1.  При x>x0  за счет 2 в знаменателе имеем >>1, и для функций Эйри можно воспользоваться известными из справочников асимптотическими выражениями (кстати, они получаются методом перевала):

 u1  , u2 = .

  1.  При x<x0 по тем же причинам <<-1, и асимптотики таковы:

 u1  ,   u2  .

Первую асимптотику будем сшивать с II(x), а вторую - с I(x).

(а) В области I x=x0  (>0,   0) подставляем в p(x) потенциал

 V(x) = (x0x)

разлагаем в ряд Тейлора и вычисляем

 z = p(y)dy   2/3 3/2.

(б) В области II x=x0+, и аналогичные выкладки дают

 z  2/3 3/2.

Теперь, задавшись решением в I, сшиваем его с асимптотикой (2), находим асимптотику того же решения в (1) и сшиваем с решением II. Решая возникающие алгебраические уравнения, получим

 A = a/2,    B = b,     =  = .

В итоге получим следующее квазиклассическое решение:

 (x) = a1(x) + b2(x),

где

1(x) = ;       2(x) =

При этом константы a и b находятся из общих граничных условий (скажем, ограниченность на бесконечности) и условий нормировки. Полученные решения справедливы, вообще говоря, только вне - окрестности точки поворота. Но если на интервале 2 укладывается много длин волн де Бройля, то выражениями можно пользоваться во всей области.

КОЭФФИЦИЕНТ ПРОХОЖДЕНИЯ

В качестве примера применения метода ВКБ вычислим коэффициент прохождения частицы через барьер произвольной формы (а не прямоугольной). При этом считаются выполненными условия квазиклассичности, т.е. барьер - достаточно плавный. Это значит, помимо всего прочего, что он широкий, и что энергия много меньше высоты барьера. Идея: задаем волновую функцию в области I в виде суперпозиции падающей и отраженной волн, «протягиваем» ее по полученному рецепту в область II, а затем по несколько модифицированному рецепту в область III и требуем, чтобы там не было отраженной волны.

I. I(x) = sin (z +) +cos(z +)

   пад(x) + отр(x).

 z = p(y)dy,     B0 = 1/2(b+ia),     B1 = 1/2(bia)

II. II(x) =

|z| = |p(y)dy|,     ;

  

 II(x) = 

 

III. III (x) = ,

  

Но в области III не должно быть отраженной волны (по постановке задачи - частицы падают из -, частично отражаются, а частично уходят на +). Поэтому

 = 0     = -i;

 ;

 B0=1/2 (b+ia) = (1/4 e-2 +1)

 B1 = 1/2 (b-ia) = (1/4 e-2 - 1).

Таким образом, все коэффициенты выражаются через a, который можно (но в данной задаче не нужно) найти из условия нормировки:

 b =

 

 .

Здесь следует выделить B0 (коэффициент при падающей волне) и  (коэффициент при отраженной волне). Вводим коэффициенты прохождения и отражения

 D = ,      R = ,

где токи выражаются через соответствующие волновые функции:

 j = .

Подставляя найденные коэффициенты получим

 D = ,

 R = 

Но здесь произошло некоторое превышение точности. В частности, D+R1, в противоречии с сохранением вероятности (куда делись частицы?). Однако нужно учесть, что

  = >>1.

Тогда равенство D+R=1 , будет выполняться с точностью до слагаемых типа exp(-2) и exp(-4), которые тем самым нужно отбросить. Их нужно отбросить и в выражении для D, для которого окончательно получаем

 D = e-2 = exp.

Это весьма важная формула, и она часто применяется - например, при анализе альфа-распада ядер, механизм которого, как известно, туннельный.

FILENAME lecture12.doc

-  PAGE 119 -


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

50451. Базовые инструменты программы Adobe Photoshop 159.5 KB
  Выбор цвета и заливка В блоке инструментов найдите инструмент Foreground color Bckground color Выберите основной цвет Выберите фоновый цвет; он выглядит так: При щелчке по верхнему квадрату раскрывается окно выбора цвета рисующих инструментов: кистей заливок фигур и др. Окна однотипны цвета в них можно выбрать несколькими способами. 2 Нажав кнопку Custom Библиотеки цветов выбрав одну из Библиотек Book а в ней нужный образец цвета.
50452. Создание коллажа из текста и графики, удаление муара 1.08 MB
  В настоящей работе идейной проработки не требуется задача стоит проще: студентам предлагается создать коллаж объединив графические файлы из имеющегося набора и сделав текстовые вставки различного шрифтового начертания. Создайте холст для коллажа в окне File Файл → New Новый установив здесь необходимые параметры. Затем в соответствии с указаниями преподавателя откройте папку Коллаж не в Windows а в Photoshop в списке Тип файлов: поставьте JPEG в окне Вид Эскизы страниц. Откройте файл отсюда надо перенести мяч в наш коллаж.
50453. Дополнительные возможности Adobe Photoshop 109.5 KB
  В этой работе описаны такие опции как создание Gifанимации и работа с векторными контурами. Создание Gifанимации Gifанимация самый простой и исторически первый способ компьютерной анимации она появилась в 1989 году. Суть этого вида анимации в том что формат Gif позволяет помещать в одном файле последовательность отдельных кадров которые можно чередовать на экране через определенное время. Для создания Gifанимации имеется множество программ.
50454. Основные сведения об электрических машинах и аппаратах 1.1 MB
  Обмотка электромагнитного реле контактора магнитного пускателя. обмотка реле тока. обмотка реле напряжения. обмотка статорная обмотка двигателя постоянного тока ДПТ последовательного возбуждения.
50455. Исследование способов пуска асинхронного двигателя 144 KB
  Исследование способов пуска асинхронного двигателя. Цель работы: Исследовать особенности различных способов пуска и использования результатов для практических задач. Пуск асинхронного двигателя является кратковременным до 5 сек. Поэтому снижение токов нагрузки в период пуска при одновременном сохранении механических параметров электродвигателя является крайне желательно особенно для двигателей большей мощности свыше 50 кВТ.
50456. Объектно-ориентированное программирование. Методические указания 298.5 KB
  Возвращаемое значение - объект FormattedString который содержит копию nCount символов, начиная с индекса 0. Возвращаемый объект CString может быть пустым. Параметры nCount - количество символов, подлежащих копированию.
50458. Определение радиуса кривизны линзы с помощью колец Ньютона. Ознакомление с явлением интерференции в тонких прозрачных пластинках 39 KB
  Минимум освещенности темное кольцо 3 Как связаны величины с радиусом линзы R и радиусами колец rk Из рис. видно: Учитывая малость величины R и разлагая в ряд получим: Таким образом оптическая разность хода между двумя интерферирующими лучами равна: 4 Принимая во внимание условие интерференции 3 получим для темных колец Аналогично можно найти и для радиусов светлых колец.
50459. Определение показателя преломления плоско-параллельной пластинки при помощи микроскопа 39.5 KB
  Цель работы: изучение законов геометрической оптики применение закона преломления для определения коэффициента преломления прозрачных объектов. 3 синус угла падения i относится к синусу угла преломления r как скорость света в первой среде относится к скорости света во второй среде Последний закон говорит о том что свет распространяется в различных средах с разной скоростью. Для двух данных сред и для луча данной длины волны отношение скорости света в среде 1 к скорости света в среде 2 или...