67562

КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

Лекция

Физика

В квантовой механике уравнение Шредингера для сколько-нибудь реалистических систем невозможно решить точно, в квадратурах. Поэтому здесь создано большое количество приближенных методов исследования. Мощнейший из них - теорию возмущений - мы рассмотрим позже.

Русский

2014-09-12

363 KB

0 чел.

Л Е К Ц И Я  12

КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

В квантовой механике уравнение Шредингера для сколько-нибудь реалистических систем невозможно решить точно, в квадратурах. Поэтому здесь создано большое количество приближенных методов исследования. Мощнейший из них - теорию возмущений - мы рассмотрим позже. А сейчас обсудим квазиклассическое приближение, которое представляет и самостоятельный интерес, так как устанавливает связь квантовой механики и классической. Как мы увидим, квазиклассическое приближение (ККП) справедливо в случаях, когда де-бройлевские длины волн частиц малы по сравнению с характерными масштабами системы. Это аналогично тому, что волновая оптика в пределе малых длин волн переходит в геометрическую.

Рассматриваем стационарное одночастичное уравнение Шредингера в координатном представлении:

 2 (r) +V(r) (r) = E(r)

и делаем в нем формальную подстановку (замену функции)

 (r) = A.

Учитывая, что

= (S)A,   2 = (2S)A  (S)2A,

получим для S следующее уравнение:

 (S)2  2S +V  E = 0.

Если отбросить второй член, то получим

 (S)2 +V = E.

Но это есть не что иное, как классическое уравнение Гамильтона - Якоби для функции действия S0 (укороченное). Приближение справедливо при

 S2  2S.

Но в классике S=p, а потому

 p2>>divp(x),

или, в одномерном случае

 p2 >>   1 >>  =  =   ,

где    де-бройлевская длина волны. Таким образом, переход возможен при условии

  << 1,

т.е. когда длина волны де Бройля мало меняется на протяжении системы. Можно сказать и иначе. Учитывая, что

 p(x) =,

получим

 1 >>  =      << 1.

Приближение справедливо, когда сила невелика (потенциальная энергия достаточно плавная функция координат), а импульс не слишком мал. В частности, приближение не работает вблизи точек поворота E =V(x), где p = 0, а = . Это будет важно в дальнейшем.

Последующее рассмотрение проводим для одномерного движения, когда уравнение для функции S(x), входящей в волновую функцию

 (x) = A,

имеет вид

 iS  S2 + 2(E V) = 0.  ()

Решение этого точного уравнения будем искать в виде ряда по :

 S(x) = S0(x) +S1(x) +2S2(x) + ....

Этот ряд сходится плохо, и отыскание поправок высшего порядка малости по  затруднено. К тому же  разложение разумно (т.е. может получать эффективные результаты) только при обсужденном выше условии. Ограничимся поправками, линейными по , т.е. ищем S в виде

 S(x)  S0(x) + S1(x) .

Подставляем в (), отбрасывая члены с 2:

 2(E V)  S02 +(iS0  2S0S1) = 0.

Это должно быть тождеством, а потому должны равняться нулю отдельно члены без  (с 0) и члены с  (1):

 2(E V)  S02 = 0,     iS0   2S0S1 = 0.

Собственно говоря, именно это приближение и называется квазиклассическим. Оно же именуется методом ВКБ (Вентцеля - Крамерса - Бриллюэна).

Уравнение нулевого приближения есть уравнение Гамильтона - Якоби, из которого

 S0 =   = p,

где

 p(x) =   

классический импульс.

Итак, в нулевом приближении

 S0(x) = |p(x)|dx.

Здесь x0 - координата некоторой фиксированной точки на прямой. В качестве нее удобно выбирать классическую точку поворота, где

E =V(x0).

Заметим, что в классически доступной области I импульс вещественен, а в классически недоступной области II он является чисто мнимым.

Уравнение для S1 переписываем в виде

 S1 = i/2(S0’’/S0)  i/2(lgSo).

Интегрируя его, находим

 S1 = i/2lgS0 = i/2(lgp)

(постоянная интегрирования несущественна, и ее опускаем). Таким образом, в приближении ВКБ

 S(x) = pdx+iln,

и

 (x) = .

Обращаясь к картинке, запишем этот результат отдельно в областях I (x<x0, классически доступная) где импульс вещественен, и II (x>x0, классически недоступная), где импульс мнимый:

I.I(x) = ,          p(y) = ,

или

I(x) = a sin (z +) +bcos(z +),        z(x) |p(y)dy|;

II. II(x) = ,      p(y) = = ip(y),

или

II(x) = [Ae-|z|+Be|z|],     |p(y) =,     z  |p(y)|dy.

В эти решения входят 6 неизвестных вещественных констант: a, b, , , A, B. Свяжем их между собой, сшивая решения для областей I и II.

Но здесь есть значительная трудность. В точке поворота p(x0)=0, и квазиклассическое приближение здесь не работает (см. выше), т.е. выписанные функции не являются решениями задачи даже приближенно. Способ таков: вводим промежуточную область III, в которой решаем уравнение Шредингера точно, и именно это решение его концами сшиваем с соответствующими квазиклассическими решениями. Область III считаем весьма узкой, что позволяет аппроксимировать потенциал V(x) линейной функцией, разлагая его в ряд Тейлора:

V(x) V(x0) + (x  x0)V(x)  E +(xx0),        = V(x).

Тогда точное (в смысле не квазиклассическое) уравнение Шредингера в области III будет записываться как

 (x)   (xx0) (x) = 0.

После замены переменной

  = 13(xx0)

оно примет вид

  -  = 0.

Это есть уравнение Эйри, и оно имеет два независимых решения:

u1() = ,    u2() = .

Теперь будем сшивать решения по границам областей I - III и III - II.

  1.  При x>x0  за счет 2 в знаменателе имеем >>1, и для функций Эйри можно воспользоваться известными из справочников асимптотическими выражениями (кстати, они получаются методом перевала):

 u1  , u2 = .

  1.  При x<x0 по тем же причинам <<-1, и асимптотики таковы:

 u1  ,   u2  .

Первую асимптотику будем сшивать с II(x), а вторую - с I(x).

(а) В области I x=x0  (>0,   0) подставляем в p(x) потенциал

 V(x) = (x0x)

разлагаем в ряд Тейлора и вычисляем

 z = p(y)dy   2/3 3/2.

(б) В области II x=x0+, и аналогичные выкладки дают

 z  2/3 3/2.

Теперь, задавшись решением в I, сшиваем его с асимптотикой (2), находим асимптотику того же решения в (1) и сшиваем с решением II. Решая возникающие алгебраические уравнения, получим

 A = a/2,    B = b,     =  = .

В итоге получим следующее квазиклассическое решение:

 (x) = a1(x) + b2(x),

где

1(x) = ;       2(x) =

При этом константы a и b находятся из общих граничных условий (скажем, ограниченность на бесконечности) и условий нормировки. Полученные решения справедливы, вообще говоря, только вне - окрестности точки поворота. Но если на интервале 2 укладывается много длин волн де Бройля, то выражениями можно пользоваться во всей области.

КОЭФФИЦИЕНТ ПРОХОЖДЕНИЯ

В качестве примера применения метода ВКБ вычислим коэффициент прохождения частицы через барьер произвольной формы (а не прямоугольной). При этом считаются выполненными условия квазиклассичности, т.е. барьер - достаточно плавный. Это значит, помимо всего прочего, что он широкий, и что энергия много меньше высоты барьера. Идея: задаем волновую функцию в области I в виде суперпозиции падающей и отраженной волн, «протягиваем» ее по полученному рецепту в область II, а затем по несколько модифицированному рецепту в область III и требуем, чтобы там не было отраженной волны.

I. I(x) = sin (z +) +cos(z +)

   пад(x) + отр(x).

 z = p(y)dy,     B0 = 1/2(b+ia),     B1 = 1/2(bia)

II. II(x) =

|z| = |p(y)dy|,     ;

  

 II(x) = 

 

III. III (x) = ,

  

Но в области III не должно быть отраженной волны (по постановке задачи - частицы падают из -, частично отражаются, а частично уходят на +). Поэтому

 = 0     = -i;

 ;

 B0=1/2 (b+ia) = (1/4 e-2 +1)

 B1 = 1/2 (b-ia) = (1/4 e-2 - 1).

Таким образом, все коэффициенты выражаются через a, который можно (но в данной задаче не нужно) найти из условия нормировки:

 b =

 

 .

Здесь следует выделить B0 (коэффициент при падающей волне) и  (коэффициент при отраженной волне). Вводим коэффициенты прохождения и отражения

 D = ,      R = ,

где токи выражаются через соответствующие волновые функции:

 j = .

Подставляя найденные коэффициенты получим

 D = ,

 R = 

Но здесь произошло некоторое превышение точности. В частности, D+R1, в противоречии с сохранением вероятности (куда делись частицы?). Однако нужно учесть, что

  = >>1.

Тогда равенство D+R=1 , будет выполняться с точностью до слагаемых типа exp(-2) и exp(-4), которые тем самым нужно отбросить. Их нужно отбросить и в выражении для D, для которого окончательно получаем

 D = e-2 = exp.

Это весьма важная формула, и она часто применяется - например, при анализе альфа-распада ядер, механизм которого, как известно, туннельный.

FILENAME lecture12.doc

-  PAGE 119 -


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

26626. САН. ОЦЕНКА МЯСА ПРИ ИСТОЩЕНИИ, ЖЕЛТУШНОСТИ, ГИДРЕМИИ, БЛЕДНОЙ ОКРАСКЕ 8.29 KB
  При наличии дистрофических изменений в мускулатуре тушу вместе с органами направляют на утилизацию. При наличии дегенеративных изменений в мускулатуре тушу со всеми органами направляют на утилизацию. При положительном результате внутренние органы направляют на утилизацию а тушу на проварку. Если возбудителей токеиксинфекций не выделено то тушу и непораженные внутренние органы направляют на промышленную переработку.
26627. САНИТАРНАЯ ОЦЕНКА МЯСА ПРИ ОБНАРУЖЕНИИ В НЕМ САЛЬМОНЕЛЛ 4.92 KB
  САНИТАРНАЯ ОЦЕНКА МЯСА ПРИ ОБНАРУЖЕНИИ В НЕМ САЛЬМОНЕЛЛ. ПРОФИЛАКТИКА: избегать обсеменения мяса в процессе убоя и переработки; не допускать к убою утомленных животных а также подвергшихся перед убоем длительному голоданию – свыше 24 часов перегреванию или переохлаждению; больных животных и сальмонеллоносителей следует убивать на санитарной бойне; осуществлять грамотный ветсан контроль при заготовках транспортировке убое скота переработке и хранении мясных туш; получении и переработке молока. при отсутствии патологических изменений...
26628. САНИТАРНАЯ ОЦЕНКА МЯСА ПРИ ПИРОПЛАЗМИДОЗАХ 4.32 KB
  Паразитируют в эритроцитах бабезии анаплазмы пироплазмы франсиеллы нутталии или в эритроцитах и клетках ретикулоэндотелиальной системы лимфоузлов печени селезенки костного мозга тейлерии а иногда в лейкоцитах и плазме крови. Характерны общая анемичность и желтушность увеличение печени и селезенки кровоизлияния на слизистых и серозных оболочках жидкая светлая кровь. При тейлериозе в лимфоузлах почках и печени обнаруживают небольшие бугорки плотные на ощупь с кровоизлияниями. Окончательный диагноз ставят на основании...
26629. САНИТАРНАЯ ОЦЕНКА ПРИ ОБНАРУЖЕНИИ ПЛЕРОЦЕРКОИДА ШИРОКОГО ЛЕНТЕЦА 4.09 KB
  Дефинитивные хозяева человек собака кошка; первый промежуточный хозяин рачокциклоп а второй рыбы щука окунь ерш налим. Человек и домашние плотоядные животные заболевают при поедании плохо проваренной рыбы зараженной плероцеркоидами лентеца широкого. В теле циклопа корацидий развивается в процеркоида а у рыбы проглотившей зараженного рачка в плероцеркоида. Другими видами лентецов являются лентецы малый и узкий Дефинитивные хозяева человек плотоядные животные и рыбоядные птицы; промежуточные хозяева ...
26630. САНИТАРНАЯ ОЦЕНКА РЫБЫ ПРИ ОБНАРУЖЕНИИ МЕТАЦЕРКАРИЕВ КОШАЧЬЕЙ ДВУУСТКИ 7.28 KB
  САНИТАРНАЯ ОЦЕНКА РЫБЫ ПРИ ОБНАРУЖЕНИИ МЕТАЦЕРКАРИЕВ КОШАЧЬЕЙ ДВУУСТКИ. Человек заражается при поедании сырой вяленой слабо соленой и недостаточно проваренной рыбы пораженной личинками гельминтов. Поэтому проводят санитарную экспертизу свежевыловленной а в отдельных случаях и замороженной рыбы. Исследование соленой копченой вяленой сушеной и маринованной рыбы не дает объективных результатов.
26631. САНОЦЕНКА ТУШ И ОРГАНОВ ПРИ ПАРАТУБЕРКУЛЕЗЕ КРС 3.81 KB
  Кроме общих признаков недомогания наблюдают профузный понос отеки в межчелюстной области в области подгрудка и в нижней части живота отекают веки появляется шилозадость. При наличии патологоанатомических изменений в кишечнике в брыжеечных лимфоузлах гортани отеке межчелюстной области головы измененные внутренние органы и кишечник с брыжейкой направляют на утилизацию а тушу и другие продукты убоя выпускают без ограничения.
26632. САНИТАРНАЯ ОЦЕНКА ТУШ И ОРГАНОВ ПРИ ПАСТЕРЕЛЛЕЗЕ 3.17 KB
  При сверхостром и остром: повыш t угнетение конъюнктивит в области головы и шеи отеки опухание языка; у свиней – затрудненное дыхание красные пятна на коже живота за ушами не бледнеющие при надавливании. В области головы и шеи студенистые инфильтраты в п к при разрезе прозрачная янтарная жидкость.
26633. САНИТАРНАЯ ОЦЕНКА ТУШ И ОРГАНОВ ПРИ ПОВАЛЬНОМ ВОСПАЛЕНИИ ЛЕГКИХ И ЗЛОКАЧЕСТВЕННОЙ КАТАРАЛЬНОЙ ГОРЯЧКЕ. 3ЛОКАЧЕСТВЕННАЯ КАТАРАЛЬНАЯ ГОРЯЧКА 17.24 KB
  САНИТАРНАЯ ОЦЕНКА ТУШ И ОРГАНОВ ПРИ ПОВАЛЬНОМ ВОСПАЛЕНИИ ЛЕГКИХ И ЗЛОКАЧЕСТВЕННОЙ КАТАРАЛЬНОЙ ГОРЯЧКЕ. В легких иногда находят лобулярную катаральногнойную пневмонию. Контагиозное заболевание характеризующееся крупозной пневмонией и плевритом с последующим развитием анемических некрозов секвестров в легких. При сверхостром течении болезни резко выражены признаки поражения плевры экссудативный плеврит или легких.
26634. САНИТАРНАЯ ОЦЕНКА ТУШ О ОРГАНОВ ПРИ ТУЛЯРЕМИИ И ЛЕЙКОЗЕ. ТУЛЯРЕМИЯ 6.47 KB
  ПРЕДУБОЙНАЯ ДИАГНОСТИКА: крс – увеличение л у маститы параличи конечностей бессимптомно. ПОСЛЕУБОЙНАЯ ДИАГНОСТИКА: у овец – на внут. ПРЕДУБОЙНАЯ ДИАГНОСТИКА: протекает скрытно. ПОСЛЕУБОЙНАЯ ДИАГНОСТИКА: резко увеличенные л у повть разреза набухшая саловидная серобел с очагов кровоизл казеозными очагами некроза.