67562

КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

Лекция

Физика

В квантовой механике уравнение Шредингера для сколько-нибудь реалистических систем невозможно решить точно, в квадратурах. Поэтому здесь создано большое количество приближенных методов исследования. Мощнейший из них - теорию возмущений - мы рассмотрим позже.

Русский

2014-09-12

363 KB

0 чел.

Л Е К Ц И Я  12

КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

В квантовой механике уравнение Шредингера для сколько-нибудь реалистических систем невозможно решить точно, в квадратурах. Поэтому здесь создано большое количество приближенных методов исследования. Мощнейший из них - теорию возмущений - мы рассмотрим позже. А сейчас обсудим квазиклассическое приближение, которое представляет и самостоятельный интерес, так как устанавливает связь квантовой механики и классической. Как мы увидим, квазиклассическое приближение (ККП) справедливо в случаях, когда де-бройлевские длины волн частиц малы по сравнению с характерными масштабами системы. Это аналогично тому, что волновая оптика в пределе малых длин волн переходит в геометрическую.

Рассматриваем стационарное одночастичное уравнение Шредингера в координатном представлении:

 2 (r) +V(r) (r) = E(r)

и делаем в нем формальную подстановку (замену функции)

 (r) = A.

Учитывая, что

= (S)A,   2 = (2S)A  (S)2A,

получим для S следующее уравнение:

 (S)2  2S +V  E = 0.

Если отбросить второй член, то получим

 (S)2 +V = E.

Но это есть не что иное, как классическое уравнение Гамильтона - Якоби для функции действия S0 (укороченное). Приближение справедливо при

 S2  2S.

Но в классике S=p, а потому

 p2>>divp(x),

или, в одномерном случае

 p2 >>   1 >>  =  =   ,

где    де-бройлевская длина волны. Таким образом, переход возможен при условии

  << 1,

т.е. когда длина волны де Бройля мало меняется на протяжении системы. Можно сказать и иначе. Учитывая, что

 p(x) =,

получим

 1 >>  =      << 1.

Приближение справедливо, когда сила невелика (потенциальная энергия достаточно плавная функция координат), а импульс не слишком мал. В частности, приближение не работает вблизи точек поворота E =V(x), где p = 0, а = . Это будет важно в дальнейшем.

Последующее рассмотрение проводим для одномерного движения, когда уравнение для функции S(x), входящей в волновую функцию

 (x) = A,

имеет вид

 iS  S2 + 2(E V) = 0.  ()

Решение этого точного уравнения будем искать в виде ряда по :

 S(x) = S0(x) +S1(x) +2S2(x) + ....

Этот ряд сходится плохо, и отыскание поправок высшего порядка малости по  затруднено. К тому же  разложение разумно (т.е. может получать эффективные результаты) только при обсужденном выше условии. Ограничимся поправками, линейными по , т.е. ищем S в виде

 S(x)  S0(x) + S1(x) .

Подставляем в (), отбрасывая члены с 2:

 2(E V)  S02 +(iS0  2S0S1) = 0.

Это должно быть тождеством, а потому должны равняться нулю отдельно члены без  (с 0) и члены с  (1):

 2(E V)  S02 = 0,     iS0   2S0S1 = 0.

Собственно говоря, именно это приближение и называется квазиклассическим. Оно же именуется методом ВКБ (Вентцеля - Крамерса - Бриллюэна).

Уравнение нулевого приближения есть уравнение Гамильтона - Якоби, из которого

 S0 =   = p,

где

 p(x) =   

классический импульс.

Итак, в нулевом приближении

 S0(x) = |p(x)|dx.

Здесь x0 - координата некоторой фиксированной точки на прямой. В качестве нее удобно выбирать классическую точку поворота, где

E =V(x0).

Заметим, что в классически доступной области I импульс вещественен, а в классически недоступной области II он является чисто мнимым.

Уравнение для S1 переписываем в виде

 S1 = i/2(S0’’/S0)  i/2(lgSo).

Интегрируя его, находим

 S1 = i/2lgS0 = i/2(lgp)

(постоянная интегрирования несущественна, и ее опускаем). Таким образом, в приближении ВКБ

 S(x) = pdx+iln,

и

 (x) = .

Обращаясь к картинке, запишем этот результат отдельно в областях I (x<x0, классически доступная) где импульс вещественен, и II (x>x0, классически недоступная), где импульс мнимый:

I.I(x) = ,          p(y) = ,

или

I(x) = a sin (z +) +bcos(z +),        z(x) |p(y)dy|;

II. II(x) = ,      p(y) = = ip(y),

или

II(x) = [Ae-|z|+Be|z|],     |p(y) =,     z  |p(y)|dy.

В эти решения входят 6 неизвестных вещественных констант: a, b, , , A, B. Свяжем их между собой, сшивая решения для областей I и II.

Но здесь есть значительная трудность. В точке поворота p(x0)=0, и квазиклассическое приближение здесь не работает (см. выше), т.е. выписанные функции не являются решениями задачи даже приближенно. Способ таков: вводим промежуточную область III, в которой решаем уравнение Шредингера точно, и именно это решение его концами сшиваем с соответствующими квазиклассическими решениями. Область III считаем весьма узкой, что позволяет аппроксимировать потенциал V(x) линейной функцией, разлагая его в ряд Тейлора:

V(x) V(x0) + (x  x0)V(x)  E +(xx0),        = V(x).

Тогда точное (в смысле не квазиклассическое) уравнение Шредингера в области III будет записываться как

 (x)   (xx0) (x) = 0.

После замены переменной

  = 13(xx0)

оно примет вид

  -  = 0.

Это есть уравнение Эйри, и оно имеет два независимых решения:

u1() = ,    u2() = .

Теперь будем сшивать решения по границам областей I - III и III - II.

  1.  При x>x0  за счет 2 в знаменателе имеем >>1, и для функций Эйри можно воспользоваться известными из справочников асимптотическими выражениями (кстати, они получаются методом перевала):

 u1  , u2 = .

  1.  При x<x0 по тем же причинам <<-1, и асимптотики таковы:

 u1  ,   u2  .

Первую асимптотику будем сшивать с II(x), а вторую - с I(x).

(а) В области I x=x0  (>0,   0) подставляем в p(x) потенциал

 V(x) = (x0x)

разлагаем в ряд Тейлора и вычисляем

 z = p(y)dy   2/3 3/2.

(б) В области II x=x0+, и аналогичные выкладки дают

 z  2/3 3/2.

Теперь, задавшись решением в I, сшиваем его с асимптотикой (2), находим асимптотику того же решения в (1) и сшиваем с решением II. Решая возникающие алгебраические уравнения, получим

 A = a/2,    B = b,     =  = .

В итоге получим следующее квазиклассическое решение:

 (x) = a1(x) + b2(x),

где

1(x) = ;       2(x) =

При этом константы a и b находятся из общих граничных условий (скажем, ограниченность на бесконечности) и условий нормировки. Полученные решения справедливы, вообще говоря, только вне - окрестности точки поворота. Но если на интервале 2 укладывается много длин волн де Бройля, то выражениями можно пользоваться во всей области.

КОЭФФИЦИЕНТ ПРОХОЖДЕНИЯ

В качестве примера применения метода ВКБ вычислим коэффициент прохождения частицы через барьер произвольной формы (а не прямоугольной). При этом считаются выполненными условия квазиклассичности, т.е. барьер - достаточно плавный. Это значит, помимо всего прочего, что он широкий, и что энергия много меньше высоты барьера. Идея: задаем волновую функцию в области I в виде суперпозиции падающей и отраженной волн, «протягиваем» ее по полученному рецепту в область II, а затем по несколько модифицированному рецепту в область III и требуем, чтобы там не было отраженной волны.

I. I(x) = sin (z +) +cos(z +)

   пад(x) + отр(x).

 z = p(y)dy,     B0 = 1/2(b+ia),     B1 = 1/2(bia)

II. II(x) =

|z| = |p(y)dy|,     ;

  

 II(x) = 

 

III. III (x) = ,

  

Но в области III не должно быть отраженной волны (по постановке задачи - частицы падают из -, частично отражаются, а частично уходят на +). Поэтому

 = 0     = -i;

 ;

 B0=1/2 (b+ia) = (1/4 e-2 +1)

 B1 = 1/2 (b-ia) = (1/4 e-2 - 1).

Таким образом, все коэффициенты выражаются через a, который можно (но в данной задаче не нужно) найти из условия нормировки:

 b =

 

 .

Здесь следует выделить B0 (коэффициент при падающей волне) и  (коэффициент при отраженной волне). Вводим коэффициенты прохождения и отражения

 D = ,      R = ,

где токи выражаются через соответствующие волновые функции:

 j = .

Подставляя найденные коэффициенты получим

 D = ,

 R = 

Но здесь произошло некоторое превышение точности. В частности, D+R1, в противоречии с сохранением вероятности (куда делись частицы?). Однако нужно учесть, что

  = >>1.

Тогда равенство D+R=1 , будет выполняться с точностью до слагаемых типа exp(-2) и exp(-4), которые тем самым нужно отбросить. Их нужно отбросить и в выражении для D, для которого окончательно получаем

 D = e-2 = exp.

Это весьма важная формула, и она часто применяется - например, при анализе альфа-распада ядер, механизм которого, как известно, туннельный.

FILENAME lecture12.doc

-  PAGE 119 -


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

35674. Тихий Океан. Творчий проект 3.55 MB
  2 Донні осідання 5 Клімат 6 Гідрологічний режим 7 Крига 8 Флора і фауна 9 Економіка 10 Дослідження океану 10. Раніше акваторія Тихого океану частіше підрозділялася на три частини: північну центральну і південну межами між якими служили Північний і Південний тропіки. Окремі ділянки океану розташовані між островами або виступами суші мають свої назви. У західній і південнозахідній частинах Тихого океану численні крупні острови відокремлюють від основної акваторії безліч міжострівних морів таких як Тасманове море на південний схід...
35676. Скринька для ключів. Творчий проект 2.29 MB
  Мотивація вибору форми виробу. Мотивація вибору форми виробу Людина щоб облаштувати своє житло здавна навчилася виготовляти різні речі з каменю дерева а пізніше з металу. Через те коли виникла необхідність виготовити річ для зберігання ключів я й вибрав деревину як матеріал для свого майбутнього виробу. Чому Вважаю що майстер не завжди повинен дотримуватися якихось обмежених рамок у виготовленні того чи іншого виробу.
35678. Изучение аппаратного и программного обеспечения персонального компьютера 477.9 KB
  Запоминающее устройство - носитель информации, предназначенный для записи и хранения данных. В основе работы запоминающего устройства может лежать любой физический эффект, обеспечивающий приведение системы к двум или более устойчивым состояниям.
35680. Моя професійна кар’єра. Творчий проект 1.75 MB
  План роботи над проектом: Моє професійне самовизначення Додаток : Топ 20 найперспективніших Загальні відомості про дану професію: Завдання та обовязки; Вимоги до робітника; Особистості якості робітника. І найголовніше: людина повинна отримувати задоволення від своєї роботи Серед усіх пяти основних типів професій найбільше мені підходять людинатехніка до цього типу належать професії: водій машиністи потягів оператори верстатів з програмованим управлінням інженери слюсарі тощо. Умови роботи: Повна...
35682. Інформаційно-пошуковий проект «Олександр Матросов. 70 років подвигу» 36.14 KB
  Обґрунтування актуальності проекту Сучасна школа спрямована на забезпечення всебічного розвитку особистості шляхом навчання та виховання які ґрунтуються на загальнолюдських цінностях та принципах науковості інтегрованості єдності навчання і виховання на засадах гуманізму демократії громадянської свідомості взаємоповаги в інтересах людини родини суспільства держави. І саме тому я запропонувала своїм учням залучитися до реалізації цільового творчого проекту з громадянськопатріотичного виховання Олександр Матросов 70 років подвигу ....