67562

КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

Лекция

Физика

В квантовой механике уравнение Шредингера для сколько-нибудь реалистических систем невозможно решить точно, в квадратурах. Поэтому здесь создано большое количество приближенных методов исследования. Мощнейший из них - теорию возмущений - мы рассмотрим позже.

Русский

2014-09-12

363 KB

2 чел.

Л Е К Ц И Я  12

КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

В квантовой механике уравнение Шредингера для сколько-нибудь реалистических систем невозможно решить точно, в квадратурах. Поэтому здесь создано большое количество приближенных методов исследования. Мощнейший из них - теорию возмущений - мы рассмотрим позже. А сейчас обсудим квазиклассическое приближение, которое представляет и самостоятельный интерес, так как устанавливает связь квантовой механики и классической. Как мы увидим, квазиклассическое приближение (ККП) справедливо в случаях, когда де-бройлевские длины волн частиц малы по сравнению с характерными масштабами системы. Это аналогично тому, что волновая оптика в пределе малых длин волн переходит в геометрическую.

Рассматриваем стационарное одночастичное уравнение Шредингера в координатном представлении:

 2 (r) +V(r) (r) = E(r)

и делаем в нем формальную подстановку (замену функции)

 (r) = A.

Учитывая, что

= (S)A,   2 = (2S)A  (S)2A,

получим для S следующее уравнение:

 (S)2  2S +V  E = 0.

Если отбросить второй член, то получим

 (S)2 +V = E.

Но это есть не что иное, как классическое уравнение Гамильтона - Якоби для функции действия S0 (укороченное). Приближение справедливо при

 S2  2S.

Но в классике S=p, а потому

 p2>>divp(x),

или, в одномерном случае

 p2 >>   1 >>  =  =   ,

где    де-бройлевская длина волны. Таким образом, переход возможен при условии

  << 1,

т.е. когда длина волны де Бройля мало меняется на протяжении системы. Можно сказать и иначе. Учитывая, что

 p(x) =,

получим

 1 >>  =      << 1.

Приближение справедливо, когда сила невелика (потенциальная энергия достаточно плавная функция координат), а импульс не слишком мал. В частности, приближение не работает вблизи точек поворота E =V(x), где p = 0, а = . Это будет важно в дальнейшем.

Последующее рассмотрение проводим для одномерного движения, когда уравнение для функции S(x), входящей в волновую функцию

 (x) = A,

имеет вид

 iS  S2 + 2(E V) = 0.  ()

Решение этого точного уравнения будем искать в виде ряда по :

 S(x) = S0(x) +S1(x) +2S2(x) + ....

Этот ряд сходится плохо, и отыскание поправок высшего порядка малости по  затруднено. К тому же  разложение разумно (т.е. может получать эффективные результаты) только при обсужденном выше условии. Ограничимся поправками, линейными по , т.е. ищем S в виде

 S(x)  S0(x) + S1(x) .

Подставляем в (), отбрасывая члены с 2:

 2(E V)  S02 +(iS0  2S0S1) = 0.

Это должно быть тождеством, а потому должны равняться нулю отдельно члены без  (с 0) и члены с  (1):

 2(E V)  S02 = 0,     iS0   2S0S1 = 0.

Собственно говоря, именно это приближение и называется квазиклассическим. Оно же именуется методом ВКБ (Вентцеля - Крамерса - Бриллюэна).

Уравнение нулевого приближения есть уравнение Гамильтона - Якоби, из которого

 S0 =   = p,

где

 p(x) =   

классический импульс.

Итак, в нулевом приближении

 S0(x) = |p(x)|dx.

Здесь x0 - координата некоторой фиксированной точки на прямой. В качестве нее удобно выбирать классическую точку поворота, где

E =V(x0).

Заметим, что в классически доступной области I импульс вещественен, а в классически недоступной области II он является чисто мнимым.

Уравнение для S1 переписываем в виде

 S1 = i/2(S0’’/S0)  i/2(lgSo).

Интегрируя его, находим

 S1 = i/2lgS0 = i/2(lgp)

(постоянная интегрирования несущественна, и ее опускаем). Таким образом, в приближении ВКБ

 S(x) = pdx+iln,

и

 (x) = .

Обращаясь к картинке, запишем этот результат отдельно в областях I (x<x0, классически доступная) где импульс вещественен, и II (x>x0, классически недоступная), где импульс мнимый:

I.I(x) = ,          p(y) = ,

или

I(x) = a sin (z +) +bcos(z +),        z(x) |p(y)dy|;

II. II(x) = ,      p(y) = = ip(y),

или

II(x) = [Ae-|z|+Be|z|],     |p(y) =,     z  |p(y)|dy.

В эти решения входят 6 неизвестных вещественных констант: a, b, , , A, B. Свяжем их между собой, сшивая решения для областей I и II.

Но здесь есть значительная трудность. В точке поворота p(x0)=0, и квазиклассическое приближение здесь не работает (см. выше), т.е. выписанные функции не являются решениями задачи даже приближенно. Способ таков: вводим промежуточную область III, в которой решаем уравнение Шредингера точно, и именно это решение его концами сшиваем с соответствующими квазиклассическими решениями. Область III считаем весьма узкой, что позволяет аппроксимировать потенциал V(x) линейной функцией, разлагая его в ряд Тейлора:

V(x) V(x0) + (x  x0)V(x)  E +(xx0),        = V(x).

Тогда точное (в смысле не квазиклассическое) уравнение Шредингера в области III будет записываться как

 (x)   (xx0) (x) = 0.

После замены переменной

  = 13(xx0)

оно примет вид

  -  = 0.

Это есть уравнение Эйри, и оно имеет два независимых решения:

u1() = ,    u2() = .

Теперь будем сшивать решения по границам областей I - III и III - II.

  1.  При x>x0  за счет 2 в знаменателе имеем >>1, и для функций Эйри можно воспользоваться известными из справочников асимптотическими выражениями (кстати, они получаются методом перевала):

 u1  , u2 = .

  1.  При x<x0 по тем же причинам <<-1, и асимптотики таковы:

 u1  ,   u2  .

Первую асимптотику будем сшивать с II(x), а вторую - с I(x).

(а) В области I x=x0  (>0,   0) подставляем в p(x) потенциал

 V(x) = (x0x)

разлагаем в ряд Тейлора и вычисляем

 z = p(y)dy   2/3 3/2.

(б) В области II x=x0+, и аналогичные выкладки дают

 z  2/3 3/2.

Теперь, задавшись решением в I, сшиваем его с асимптотикой (2), находим асимптотику того же решения в (1) и сшиваем с решением II. Решая возникающие алгебраические уравнения, получим

 A = a/2,    B = b,     =  = .

В итоге получим следующее квазиклассическое решение:

 (x) = a1(x) + b2(x),

где

1(x) = ;       2(x) =

При этом константы a и b находятся из общих граничных условий (скажем, ограниченность на бесконечности) и условий нормировки. Полученные решения справедливы, вообще говоря, только вне - окрестности точки поворота. Но если на интервале 2 укладывается много длин волн де Бройля, то выражениями можно пользоваться во всей области.

КОЭФФИЦИЕНТ ПРОХОЖДЕНИЯ

В качестве примера применения метода ВКБ вычислим коэффициент прохождения частицы через барьер произвольной формы (а не прямоугольной). При этом считаются выполненными условия квазиклассичности, т.е. барьер - достаточно плавный. Это значит, помимо всего прочего, что он широкий, и что энергия много меньше высоты барьера. Идея: задаем волновую функцию в области I в виде суперпозиции падающей и отраженной волн, «протягиваем» ее по полученному рецепту в область II, а затем по несколько модифицированному рецепту в область III и требуем, чтобы там не было отраженной волны.

I. I(x) = sin (z +) +cos(z +)

   пад(x) + отр(x).

 z = p(y)dy,     B0 = 1/2(b+ia),     B1 = 1/2(bia)

II. II(x) =

|z| = |p(y)dy|,     ;

  

 II(x) = 

 

III. III (x) = ,

  

Но в области III не должно быть отраженной волны (по постановке задачи - частицы падают из -, частично отражаются, а частично уходят на +). Поэтому

 = 0     = -i;

 ;

 B0=1/2 (b+ia) = (1/4 e-2 +1)

 B1 = 1/2 (b-ia) = (1/4 e-2 - 1).

Таким образом, все коэффициенты выражаются через a, который можно (но в данной задаче не нужно) найти из условия нормировки:

 b =

 

 .

Здесь следует выделить B0 (коэффициент при падающей волне) и  (коэффициент при отраженной волне). Вводим коэффициенты прохождения и отражения

 D = ,      R = ,

где токи выражаются через соответствующие волновые функции:

 j = .

Подставляя найденные коэффициенты получим

 D = ,

 R = 

Но здесь произошло некоторое превышение точности. В частности, D+R1, в противоречии с сохранением вероятности (куда делись частицы?). Однако нужно учесть, что

  = >>1.

Тогда равенство D+R=1 , будет выполняться с точностью до слагаемых типа exp(-2) и exp(-4), которые тем самым нужно отбросить. Их нужно отбросить и в выражении для D, для которого окончательно получаем

 D = e-2 = exp.

Это весьма важная формула, и она часто применяется - например, при анализе альфа-распада ядер, механизм которого, как известно, туннельный.

FILENAME lecture12.doc

-  PAGE 119 -


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

27003. Содержание правоотношения. Субъективное право и юридическая обязанность 6.28 KB
  ПРАВООТНОШЕНИЕохраняемые государством и урегулированные нормами права общественные отношениявозникающие вследствие воздействия норм права на поведение людей и характеризующиеся наличием субъективных прав и юридических обязанностей для их участников. СОДЕРЖАНИЕ правоотношения составляют субъективные права и юридические обязанности. ЮРИДИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕэто возможность определенных действийуправомоченным лицомдолжностнымнеобходимость выполнения тех или иных действий обязанным лицома также необходимость соблюдения запретовустановленных...
27004. Объекты правоотношений их виды 5.99 KB
  их виды ПРАВООТНОШЕНИЕохраняемые государством и урегулированные нормами права общественные отношениявозникающие вследствие воздействия норм права на поведение людей и характеризующиеся наличием субъективных прав и юридических обязанностей для их участников. ПРИЗНАКИ: 1 Это разновидность социальных отношений в обществе 2 возникаютпрекращаются или изменяютсякак правилона основе норм права в случае наступления предусмотренных нормой фактов. 3 Сторонами правоотношения могут быть лицаобладающие качествами субъекта права правосубъектностью...
27005. Понятие и признаки правонарушений 3.82 KB
  Правонарушениевиновное поведение праводееспособного индивидакоторе противоречит предписаниям норм правапричиняет вред другим лицам и влечет за собой юридическую ответственность. строго определенные признакипозволяющие отличить правонарушение от нарушений других нормобщественного приличия: 1 такое поведение человекакоторое выражается в ДЕЙСТВИИ или БЕЗДЕЙСТВИИдолжен был совершить определенные действияпредусмотренные нормой правано не совершил их. 2 такое поведение человекакоторое противоречит предписаниям ПРАВАПРОТИВОПРАВНОЕ...
27006. Построение концептуальной модели данных 111.5 KB
  Построение концептуальной модели данных. Цель работы: приобретение практических навыков анализа предметной области информационных задач и построения концептуальной модели базы данных. Общие положения Проектирование базы данных БД одна из наиболее сложных и ответственных задач связанных с созданием информационной системы ИС. В результате её решения должны быть определены содержание БД эффективный для всех её будущих пользователей способ организации данных и инструментальные средства управления данными.
27007. Логическое проектирование базы данных 41 KB
  Логическое проектирование базы данных. Цель работы: приобретение практических навыков создания логической модели базы данных. Решение этой задачи существенно зависит от модели данных поддерживаемой выбранной СУБД. Будем рассматривать логическое проектирование БД для реляционной модели данных так как современные СУБД реляционные.
27008. Физическое проектирование базы данных 28 KB
  Физическое проектирование базы данных. Цель работы: приобретение практических навыков создания физической модели базы данных. Создание физической модели базы данных: внутренняя схема это этап на котором на основании логической модели базы данных создается физическая структура базы данных зависимая от ее реализации. На этом этапе выполняется преобразование отношений логической модели реляционной базы данных в команды создания объектов физической базы данных в результате чего создается так называемая внутренняя схема базы данных.
27009. Создание базы данных в СУБД SQL Server 61.5 KB
  Servic Manager. Для каждой логической базы даниых SQL Server создает две файла: один для объектов, а другой для журнала транзакций (операций). Создание новой базы данных. Новую базу данных можно создать с помощью команды New Database из контекстного меню папки Databases. Также можно воспользоваться мастером Create Database Wizard (Tools\Wizards\Database\).
27010. Реляционные языки 95.5 KB
  Например составьте список все студентов со средним баллом превышающим 4 σSRBAL 4STUDENT Проекция операция над одним отношением. Например создать список среднего балла студентов с указанием атрибутов FIO NGR SRBAL ПFIONGRSRBALSTUDENT.Получить список номеров читателей которые в срок не сдали книги 6.Получить список книг которые ни разу не брали читатели 8.
27011. Построение запросов с использованием обобщающих функций 86 KB
  Таблица 3: onum номер заявки amt сумма заявкиodate дата cnum номер покупателя snun номер продавца Чтобы найти сумму на которую сделаны заявки: SELECT SUMamt FROM Orders; Подсчитать число продавцов имеющих заказы: SELECT COUNTDISTINCT snum FROM Orders; Результат: 5. Подсчитать количество читателей имеющих отчество Иванович Подсчитать количество книг которое числится за каждым читателем Отыскать читателя который взял максимальное число книг. Подсчитать общее число экземпляров книг издательства Мир Подсчитать...