67562

КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

Лекция

Физика

В квантовой механике уравнение Шредингера для сколько-нибудь реалистических систем невозможно решить точно, в квадратурах. Поэтому здесь создано большое количество приближенных методов исследования. Мощнейший из них - теорию возмущений - мы рассмотрим позже.

Русский

2014-09-12

363 KB

2 чел.

Л Е К Ц И Я  12

КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

В квантовой механике уравнение Шредингера для сколько-нибудь реалистических систем невозможно решить точно, в квадратурах. Поэтому здесь создано большое количество приближенных методов исследования. Мощнейший из них - теорию возмущений - мы рассмотрим позже. А сейчас обсудим квазиклассическое приближение, которое представляет и самостоятельный интерес, так как устанавливает связь квантовой механики и классической. Как мы увидим, квазиклассическое приближение (ККП) справедливо в случаях, когда де-бройлевские длины волн частиц малы по сравнению с характерными масштабами системы. Это аналогично тому, что волновая оптика в пределе малых длин волн переходит в геометрическую.

Рассматриваем стационарное одночастичное уравнение Шредингера в координатном представлении:

 2 (r) +V(r) (r) = E(r)

и делаем в нем формальную подстановку (замену функции)

 (r) = A.

Учитывая, что

= (S)A,   2 = (2S)A  (S)2A,

получим для S следующее уравнение:

 (S)2  2S +V  E = 0.

Если отбросить второй член, то получим

 (S)2 +V = E.

Но это есть не что иное, как классическое уравнение Гамильтона - Якоби для функции действия S0 (укороченное). Приближение справедливо при

 S2  2S.

Но в классике S=p, а потому

 p2>>divp(x),

или, в одномерном случае

 p2 >>   1 >>  =  =   ,

где    де-бройлевская длина волны. Таким образом, переход возможен при условии

  << 1,

т.е. когда длина волны де Бройля мало меняется на протяжении системы. Можно сказать и иначе. Учитывая, что

 p(x) =,

получим

 1 >>  =      << 1.

Приближение справедливо, когда сила невелика (потенциальная энергия достаточно плавная функция координат), а импульс не слишком мал. В частности, приближение не работает вблизи точек поворота E =V(x), где p = 0, а = . Это будет важно в дальнейшем.

Последующее рассмотрение проводим для одномерного движения, когда уравнение для функции S(x), входящей в волновую функцию

 (x) = A,

имеет вид

 iS  S2 + 2(E V) = 0.  ()

Решение этого точного уравнения будем искать в виде ряда по :

 S(x) = S0(x) +S1(x) +2S2(x) + ....

Этот ряд сходится плохо, и отыскание поправок высшего порядка малости по  затруднено. К тому же  разложение разумно (т.е. может получать эффективные результаты) только при обсужденном выше условии. Ограничимся поправками, линейными по , т.е. ищем S в виде

 S(x)  S0(x) + S1(x) .

Подставляем в (), отбрасывая члены с 2:

 2(E V)  S02 +(iS0  2S0S1) = 0.

Это должно быть тождеством, а потому должны равняться нулю отдельно члены без  (с 0) и члены с  (1):

 2(E V)  S02 = 0,     iS0   2S0S1 = 0.

Собственно говоря, именно это приближение и называется квазиклассическим. Оно же именуется методом ВКБ (Вентцеля - Крамерса - Бриллюэна).

Уравнение нулевого приближения есть уравнение Гамильтона - Якоби, из которого

 S0 =   = p,

где

 p(x) =   

классический импульс.

Итак, в нулевом приближении

 S0(x) = |p(x)|dx.

Здесь x0 - координата некоторой фиксированной точки на прямой. В качестве нее удобно выбирать классическую точку поворота, где

E =V(x0).

Заметим, что в классически доступной области I импульс вещественен, а в классически недоступной области II он является чисто мнимым.

Уравнение для S1 переписываем в виде

 S1 = i/2(S0’’/S0)  i/2(lgSo).

Интегрируя его, находим

 S1 = i/2lgS0 = i/2(lgp)

(постоянная интегрирования несущественна, и ее опускаем). Таким образом, в приближении ВКБ

 S(x) = pdx+iln,

и

 (x) = .

Обращаясь к картинке, запишем этот результат отдельно в областях I (x<x0, классически доступная) где импульс вещественен, и II (x>x0, классически недоступная), где импульс мнимый:

I.I(x) = ,          p(y) = ,

или

I(x) = a sin (z +) +bcos(z +),        z(x) |p(y)dy|;

II. II(x) = ,      p(y) = = ip(y),

или

II(x) = [Ae-|z|+Be|z|],     |p(y) =,     z  |p(y)|dy.

В эти решения входят 6 неизвестных вещественных констант: a, b, , , A, B. Свяжем их между собой, сшивая решения для областей I и II.

Но здесь есть значительная трудность. В точке поворота p(x0)=0, и квазиклассическое приближение здесь не работает (см. выше), т.е. выписанные функции не являются решениями задачи даже приближенно. Способ таков: вводим промежуточную область III, в которой решаем уравнение Шредингера точно, и именно это решение его концами сшиваем с соответствующими квазиклассическими решениями. Область III считаем весьма узкой, что позволяет аппроксимировать потенциал V(x) линейной функцией, разлагая его в ряд Тейлора:

V(x) V(x0) + (x  x0)V(x)  E +(xx0),        = V(x).

Тогда точное (в смысле не квазиклассическое) уравнение Шредингера в области III будет записываться как

 (x)   (xx0) (x) = 0.

После замены переменной

  = 13(xx0)

оно примет вид

  -  = 0.

Это есть уравнение Эйри, и оно имеет два независимых решения:

u1() = ,    u2() = .

Теперь будем сшивать решения по границам областей I - III и III - II.

  1.  При x>x0  за счет 2 в знаменателе имеем >>1, и для функций Эйри можно воспользоваться известными из справочников асимптотическими выражениями (кстати, они получаются методом перевала):

 u1  , u2 = .

  1.  При x<x0 по тем же причинам <<-1, и асимптотики таковы:

 u1  ,   u2  .

Первую асимптотику будем сшивать с II(x), а вторую - с I(x).

(а) В области I x=x0  (>0,   0) подставляем в p(x) потенциал

 V(x) = (x0x)

разлагаем в ряд Тейлора и вычисляем

 z = p(y)dy   2/3 3/2.

(б) В области II x=x0+, и аналогичные выкладки дают

 z  2/3 3/2.

Теперь, задавшись решением в I, сшиваем его с асимптотикой (2), находим асимптотику того же решения в (1) и сшиваем с решением II. Решая возникающие алгебраические уравнения, получим

 A = a/2,    B = b,     =  = .

В итоге получим следующее квазиклассическое решение:

 (x) = a1(x) + b2(x),

где

1(x) = ;       2(x) =

При этом константы a и b находятся из общих граничных условий (скажем, ограниченность на бесконечности) и условий нормировки. Полученные решения справедливы, вообще говоря, только вне - окрестности точки поворота. Но если на интервале 2 укладывается много длин волн де Бройля, то выражениями можно пользоваться во всей области.

КОЭФФИЦИЕНТ ПРОХОЖДЕНИЯ

В качестве примера применения метода ВКБ вычислим коэффициент прохождения частицы через барьер произвольной формы (а не прямоугольной). При этом считаются выполненными условия квазиклассичности, т.е. барьер - достаточно плавный. Это значит, помимо всего прочего, что он широкий, и что энергия много меньше высоты барьера. Идея: задаем волновую функцию в области I в виде суперпозиции падающей и отраженной волн, «протягиваем» ее по полученному рецепту в область II, а затем по несколько модифицированному рецепту в область III и требуем, чтобы там не было отраженной волны.

I. I(x) = sin (z +) +cos(z +)

   пад(x) + отр(x).

 z = p(y)dy,     B0 = 1/2(b+ia),     B1 = 1/2(bia)

II. II(x) =

|z| = |p(y)dy|,     ;

  

 II(x) = 

 

III. III (x) = ,

  

Но в области III не должно быть отраженной волны (по постановке задачи - частицы падают из -, частично отражаются, а частично уходят на +). Поэтому

 = 0     = -i;

 ;

 B0=1/2 (b+ia) = (1/4 e-2 +1)

 B1 = 1/2 (b-ia) = (1/4 e-2 - 1).

Таким образом, все коэффициенты выражаются через a, который можно (но в данной задаче не нужно) найти из условия нормировки:

 b =

 

 .

Здесь следует выделить B0 (коэффициент при падающей волне) и  (коэффициент при отраженной волне). Вводим коэффициенты прохождения и отражения

 D = ,      R = ,

где токи выражаются через соответствующие волновые функции:

 j = .

Подставляя найденные коэффициенты получим

 D = ,

 R = 

Но здесь произошло некоторое превышение точности. В частности, D+R1, в противоречии с сохранением вероятности (куда делись частицы?). Однако нужно учесть, что

  = >>1.

Тогда равенство D+R=1 , будет выполняться с точностью до слагаемых типа exp(-2) и exp(-4), которые тем самым нужно отбросить. Их нужно отбросить и в выражении для D, для которого окончательно получаем

 D = e-2 = exp.

Это весьма важная формула, и она часто применяется - например, при анализе альфа-распада ядер, механизм которого, как известно, туннельный.

FILENAME lecture12.doc

-  PAGE 119 -


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

28567. Система открытого шифрования RSA, атаки на RSA 15.87 KB
  В настоящее время наиболее развитым методом криптографической защиты информации с известным ключом является RSA названный так по начальным буквам фамилий ее изобретателей Rivest Shamir и Adleman и представляющую собой криптосистему стойкость которой основана на сложности решения задачи разложения числа на простые сомножители. Чтобы использовать алгоритм RSA надо сначала сгенерировать открытый и секретный ключи выполнив следующие шаги: выберем два очень больших простых числа p и q; определим n как результат умножения p на q n = p Ч...
28568. Система электронной подписи Эль Гамаля (EGSA - ElGamal Signature Algorithm) 16.07 KB
  Затем выбирается секретное число х и вычисляется открытый ключ для проверки подписи y=gxmod p Далее для подписи сообщения М вычисляется его хэшфункция т = hM. Выбирается случайное целое k:1 k p1 взаимно простое с р1 и вычисляется r=gkmod p. После этого с помощью расширенного алгоритма Евклида решается относительно s уравнение m=xrksmodp1. Получатель подписанного сообщения вычисляет хэшфункцию сообщения m=hM и проверяет выполнение равенства yrrs=gxrgks=gxrks=gmmod p.
28569. Система открытого шифрования Эль Гамаля 58 KB
  Для шифрования сообщения M проводится следующая процедура: Выбирается случайное число k kP1=1 Вычисляется G=AK mod P Вычисляется H=yK M mod P Пара G H является шифрованным сообщением M При расшифровании вычисляется: H GX mod P = yK M AXK mod P = M mod P Преимуществами системы ЭЦП и ОШ Эль Гамаля является простота генерации открытых и секретных ключей а так же то что параметры P и A могут быть общими для всех участников сети связи.
28570. Общая схема электронной подписи на основе дискретной экспоненты 14.29 KB
  Пусть DATA пеpедаваемое Александpом Боpису сообщение. Александp подписывает DATA для Боpиса пpи пеpедаче: Eebnb{Edana{DATA}}. Боpис может читать это подписанное сообщение сначала пpи помощи закpытого ключа Eebnb Боpиса с целью получения Edana{DATA}= Edbnb{ Eebnb{ Edana {DATA}}} и затем откpытого ключа EeAnA Александpа для получения DATA= Eeana{ Edana {DATA}}. Таким обpазом у Боpиса появляется сообщение DATA посланное ему Александpом.
28571. Однонаправленные хеш-функции Понятие хеш-функции 13.67 KB
  Изменения в тексте сообщения приводят к изменению значения хешфункции. На бесключевые хешфункции накладываются определенные условия. однонаправленность устойчивость к коллизиям устойчивость к нахождению второго прообраза Применение ключевых хэшфункций Ключевые хешфункции применяются в случаях когда стороны имеют общий секретный ключ доверяют друг другу.
28572. Примеры хеш-функций 14.18 KB
  Расширение исходного сообщения Собственно хеширование . Расширение исходного битового сообщения M длины L происходит следующим образом. Алгоритм хеширования работает циклами за один цикл обрабатывается блок исходного сообщения длины 512 бит. Цикл состоит из четырех раундов каждый из которых вычисляет новые значения переменных A B C D на основании их предыдущего значения и значения 64битного отрезка хешируемого 512битного блока исходного сообщения.
28573. Примеры хеш-функций Классификация хеш-функций 13.05 KB
  На бесключевые хешфункции накладываются определенные условия. Предполагается что на вход подано сообщение состоящее из байт хеш которого нам предстоит вычислить. Эту операцию называют проверка хеша hashcheck.
28574. Примеры хеш-функций: применение хеш-функций в системах ЭЦП; хеш-функции с ключом 12.72 KB
  Чтобы избежать этого вместе с цифровой подписью используется хешфункция то есть вычисление подписи осуществляется не относительно самого документа а относительно его хеша. В этом случае в результате верификации можно получить только хеш исходного текста следовательно если используемая хешфункция криптографически стойкая то получить исходный текст будет вычислительно сложно а значит атака такого типа становится невозможной. Также существуют другие преимущества использования хешфункций вместе с ЭЦП: Вычислительная сложность.
28575. Примеры хеш-функций sha 12.54 KB
  Для входного сообщения длина которого меньше 264 бит алгоритм SHA1 выдаёт 160битовый результат. Предназначен SHA1 для использования вместе с алгоритмом цифровой подписи DSA. Цифровая подпись формируется на основе дайджеста SHA1 от сообщения что повышает эффективность процесса подписания.