67563

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ

Лекция

Физика

Значительный интерес представляет как бы промежуточный случай. Уровни не вырождены (это не случай 2), но они очень близко расположены, так что не выполняется необходимое условие применимости теории возмущений (т.е. это и не случай 1).

Русский

2014-09-12

295.5 KB

6 чел.

Л Е К Ц И Я  13

ТЕОРИЯ  ВОЗМУЩЕНИЙ

Теория возмущений - один из самых мощных приближенных методов в квантовой механике. Применяется, когда гамильтониан можно представить в виде

  = 0+

(считаем систему стационарной, так что = 0), где «невозмущенный» гамильтониан таков, что известны его собственные функции и энергетический спектр, т.е. умеем решать задачу

 

 m = mm,

а  - оператор возмущения, который в каком-то смысле мал по сравнению с 0 (в каком именно, уточним ниже). Собственные функции n  и собственные значения En (энергетический спектр) полного гамильтониана  ищутся в виде разложений в ряды по степеням возмущения. Ниже предполагается, что спектры 0 и  - дискретные. Удобно ввести параметр , т.е. гамильтониан

 () = 0+,     0    1.

Очевидно, что (0)=0 - невозмущенный гамильтониан, а () =  - реальный полный гамильтониан. Следует различать два случая - энергетический спектр невозмущенной задачи m простой (невырожденный) и энергетический спектр m вырожденный. Рассмотрим эти случаи отдельно.

Теория возмущений на невырожденных уровнях

Итак, пусть m - система ортонормированных собственных функций невозмущенного гамильтониана 0 с невырожденными собственными значениями m :

 0m = mm,     n m = mn,

и пусть n - собственная функция оператора () с собственным значением En():

()n() = En()n()        (0+)n() = En()n().

Ищем решения в виде степенных рядов по параметру :

 En() = En(0) + En(1) + 2En(2) + ...

и

 n() = n(0)() + n(1)() + 2n(2)() + ...

Подставляем разложения в точное уравнение Шредингера:

0 + )(n(0)  + n(1)  + 2n(2)  + ...) =

= (En(0) + En(1) + 2 En(2) +...)(n(0)  + n(1)  + 2n(2)  + ...).

Приравнивая члены слева и справа с одинаковыми степенями , получим бесконечную систему зацепляющихся уравнений:

0n(0) = En(0)n(0)          (0)      

 

0n(1)  En(0)n(1)  En(1)n(0) = n(0)    (1)           

0n(2)  En(1)n(2)  En(2)n(0) = En(1)n(1) n(1)    (2)

 . . . . . . . . .

По условию решение нулевой задачи известно, причем функции n(0) образуют ортонормированный базис:

n(0) = n,   En(0) = n;  n m = mn,  = m.

Разлагаем по этому базису искомые поправки к волновым функциям:

n(1) = m      (1);  n(2) =m ;  (2 )

и подставляем разложения в уравнения (1) и (2):

 (m  n)m  En(2)n = n

и

(m  n)m  En(2)n = En(1)m m.

Умножим обе части каждого уравнения скалярно слева на k и учтем ортонормированность волновых функций нулевого приближения:

 (m  n)kn   En(1)kn = k n 

и

(m  n) km  En(2)kn = En(1)km  km.

Суммируя с помощью символа Кронекера и вводя матричные элементы типа

 m n  Fmn  ,

получим

 Cnk(1)(kn) En(1)kn = - Vkn    (1)

и

 Cnk(2)(kn) En(2)kn = En(1)Cnk(1) Vkm.      (2)

Выполняем вычисления в первом порядке теории возмущений. Полагая в (1) k=n, найдем первую поправку к энергии:

 En(1) = Vnn.

Считая теперь kn, получим

 Cnk(1) =   (kn),    ()

т.е. поправка к волновой функции есть

 n(1) = Cnn(1) n +m.

Коэффициент Cnn(1) остается произвольным, но для дальнейшего это несущественно, ибо самое главное - не волновые функции, а уровни энергии, а туда Cnn(1) не войдет и во втором порядке теории возмущений. (Исходя из условия нормировки, можно показать, что Cnn(1) является чисто мнимым. И не ограничивая общности, его можно положить равным нулю).

Вычисляем теперь энергию во втором порядке теории возмущений. Для этого полагаем в (2 ) k=n и подставляем туда ():

 En(2) = En(1)Cnn(1) + Cnn(1)Vnn +Vnm .

Так как En(1)=Vnn, первые два члена взаимно уничтожаются (!), и мы получаем

 En(2) = =.

Отсюда видно, в частности, что во втором порядке теории возмущений поправка к энергии основного состояния всегда отрицательна, так как все m>0. Можно найти и волновую функцию во втором порядке теории возмущений, но как уже говорилось, она обычно интереса не представляет.

Окончательный итог: с точностью до членов второго порядка малости по возмущению энергетический спектр получается таким:

 En = n + Vn +,

где

 Vn = Vnn = n n.

Для обоснования метода теории возмущений нужно доказать сходимoсть получающегося ряда (реально разложение идет не по степеням , а по степеням  - величина есть просто вспомогательный параметр). Как правило, это чрезвычайно сложная задача, и ей посвящены многие математические исследования. Фактически часто проверяют лишь необходимое условие: поправка следующего порядка меньше поправки предыдущего порядка. При этом нередко ряды теории возмущений оказываются асимптотическими: разложение имеет смысл лишь до определенного члена, а учет следующих членов лишь ухудшает результат. Итак. Чтобы был справедлив второй порядок теории возмущений, должно быть

  << Vll.

Обычно считают все матричные элементы одного порядка величины, а поэтому необходимое условие применимости теории возмущений имеет вид

 Vnm << (n  m) .

Конечно, эта оценка грубая (например, все может испортить сумма). Но во всяком случае нарушение данного неравенства заведомо указывает на то, что теория возмущений неприменима.

Теория возмущений при наличии вырождения

Теперь рассмотрим ситуацию, когда энергетические уровни вырождены или расположены очень близко друг к другу. Остальной спектр может быть и непрерывным, и тогда нужно будет просто заменить сумму на интеграл. Но рассматриваемый уровень обязан быть изолированным и удаленным от всех остальных.

Для невозмущенного гамильтониана

 0m = mm.

Пусть нас интересует, что происходит с некоторым вырожденным уровнем с фиксированным номером n. В нулевом приближении ему отвечает S (кратность вырождения) линейно независимых функций, которые всегда можно выбрать ортонормированными:

 0n = nn,     nn = ,    , = 1,2,...,S.

Для точных волновых функций n и энергий En этого уровня имеем задачу

 (0+)n = En n.

Подставляя разложения

 n = n(0) + n(1) + ...

и

 En = n + En(1) + ...

в это уравнение и приравнивая члены при с одинаковыми степенями, получим систему уравнений (0), (1), (2), ..., выписанную выше. Нас будет интересовать первое приближение, т.е. уравнение (1):

 0n(1)  nn(1)  En(1)n(0) = n(0).     (1)

«Правильную» волновую функцию нулевого приближения ищем в виде линейной комбинации S произвольно найденных собственных функций n нулевого гамильтониана:

 n(0) = n.

Поправку n(1) к волновой функции первого порядка разлагаем по собственным функциям нулевого гамильтониана, выделив номер n:

 n(1) = n +m.

Подставляем эти выражения в уравнение (1), учитывая, что

 0n = nn,     0m = nm.

Имеем:

nn +m  nn + mm 

  En(1) n = n.

Умножаем обе части слева на n и учитываем, что

 nn = ,,       nm = 0 (mn).

Получим

 En(1) = nn n,

или

 (Vn  En(1))n = 0.            ()

Это есть система однородных линейных алгебраических уравнений в количестве S для отыскания S неизвестных коэффициентов n. Условие ее разрешимости приводит к секулярному уравнению

 det (n En(1) ) = 0

или, в явном виде .

Секулярное уравнение есть алгебраическое уравнение степени S для первой поправки к энергии n. Таким образом, эти поправки находятся как корни секулярного уравнения. Подставляя каждый из них в систему уравнений (), найдем соответствующий набор коэффициентов n, т.е. определим соответствующую волновую функцию нулевого приближения.

Если все корни En(1) секулярного уравнения разные, то единый ранее вырожденный уровень n расщепится на S подуровней, т.е. вырождение полностью снимется. Если среди корней имеются кратные, то вырождение снимется частично - среди подуровней некоторые будут вырождены, но степень вырождения каждого будет уже меньше S (если только секулярное уравнение не имеет всего один S-кратный корень). Возможно, вырождение снимется в  следующих порядках теории возмущений, но их не рассматриваем.

Близко расположенные уровни

Значительный интерес представляет как бы промежуточный случай. Уровни не вырождены (это не случай 2), но они очень близко расположены, так что не выполняется необходимое условие применимости теории возмущений (т.е. это и не случай 1). Здесь также можно развить теорию возмущений, причем делается это методом, близким к случаю 2. Допустим, что имеется два близких уровня 1 и 2 с волновыми функциями 1 и 2:

 01,2 = 121,2.

Волновую функцию нулевого приближения ищем в виде линейной комбинации

 (0) = 11 + 22.

Подставляя ее в точное уравнение Шредингера

  = E         (0 +  E) = 0,

получим

 (0 +  E)(11 + 22) = 0.

Умножая слева сначала на 1, потом на 2, придем к системе уравнений

 (11 +V11  E)1 +V12 2 = 0

 V211 + (2 +V22  E)2 = 0.

Условие разрешимости дает

 .

Решая это квадратное уравнение, найдем два значения энергии

E = 12(1 + 2 +V11 +V22) 12 .

Если уровни далекие, т.е.

 12 >> V12,

то получим результаты обычной теории возмущений (п.1):

 E+ = 1 +V11 +

 E= 2 +V22+.

Сейчас более интересен противоположный случай близких уровней

 12 << V12.

Тогда будем иметь

 E = 12(1 + 2 +V11 +V22) .

Из системы уравнений для 1 и 2 видно, что их отношение равно

 .

Подставляя сюда значения E+ и E и вводя обозначение

 ,

получим соответственно

   ctg ,       tg.

Таким образом, нормированные волновые функции состояний с энергиями E+ и E имеют вид

+ = cos1 + sin2,         = sin1 + cos2.

Если уровни далекие, то   0, и

 +  1,           2,

что вполне естественно (+, - функции нулевого порядка). Если же уровни близкие, то   2, и исходные волновые функции входят в «правильные» с равными весами:

 + = (1 + 2),      _ = (1  2).

 

FILENAME lecture13.doc

-  PAGE 127 -


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78988. Социологический дискурс научного знания. Институциональные формы научной деятельности: история и перспективы развития 80 KB
  В конгломерате объединенном общим наименованием социология сосуществуют наука и идеология логика и риторика высокая абстракция и житейский опыт. Одни социологии основаны на умении убеждать и агитировать другие стремятся доказывать свои истины третьи ставят единственной целью сбор и обобщение данных. Джонатан Тернер вероятно высказался слишком безоговорочно когда предположил что социологическая теория представляет собой словесный...
78989. Научное сообщество, его типология и историческая эволюция. Научная школа как информациогенная среда. Особенности научного сообщества в постиндустриальную эпоху 49.5 KB
  Исторические типы научных сообществ: Философские школы школа Эпикура Сад школа Аристотеля Лицей школа Платона Академия Стоики Александрийская школа сосредоточены все виды наук; богословские школы монастырские школы; республика ученых начало XVII века научные сообщества эпохи дисциплинарно организационной науки XVIII XIX в.; междисциплинарные сообщества деятелей науки XX век; научные школы сообщества единомышленников в решении одних и тех же проблем; научные направления; научные коллективы...
78990. Культурологический дискурс науки. Гуманитарные аспекты развития научного знания. Научная рациональность и проблема диалога культур 39 KB
  Научная рациональность и проблема диалога культур Наука является одной из определяющих особенностей современной культуры и возможно самым динамичным ее компонентом. Научная рациональность один из типов рациональности как таковой. Рациональность от лат. Научная рациональность абсолютизирует роль логикометодологических процедур в познании отделяет познавательные акты от ценностных ориентаций сознания и в целом любых проявлений человеческой неразумности иррациональности.
78991. Этические аспекты научной деятельности. Понятие научного этоса и проблема его современного расширения 28.5 KB
  Этика науки изучает нравственные основы научной деятельности совокупность ценностных принципов принятых в научном сообществе и концентрирует в себе социальный и гуманистический аспекты науки. Этические проблемы современной науки являются чрезвычайно актуальными и значимыми. На страже этических принципов стоит институт ссылок как академическая составляющая науки. Этос науки правило деятельности ученого отвечает следующим требованиям: 1 универсализм неличностный характер научного знания его объективность деятельность в области...
78992. Аксиологические проблемы научной деятельности. Научные ценности в их соотношении с социальными. Проблема идеологизированной науки 35.5 KB
  Проблема идеологизированной науки. Оно должно исключать ценностные аспекты характерно для классической и неклассической науки. Весь XX век в философии науки шла дискуссия о роли ценностей в науке: являются ли они необходимой движущей силой для развития науки или условием успешной деятельности ученых служит их освобождение от всех возможных ценностных ориентиров Возможно ли полностью исключить из суждений о фактах ценностные предпочтения и познать объект как таковой сам по себе Необходимо ли и возможно ли противопоставление фактичности...
78993. Эстетические аспекты научной деятельности, их функция и роль в формировании идеала науки. Наука и искусство в их соотношении 19.76 KB
  Наука и искусство в их соотношении. В современной философской литературе понятия эстетики отнесены главным образом к искусству эстетическое содержание научного творчества и других видов человеческой деятельности не связанных с искусством практически не рассматривается. В 1931 голу была опубликована книга моего отца драматурга и искусствоведа В. Наука сближается с искусством то есть с эстетикой и высшее эстетическое значение имеет простая и ясная картина мира.
78994. Космологический дискурс научного знания. Наука как часть ноосферы. Проблемы современной экологической этики 23.12 KB
  Понятие экологической этики Подъем этики окружающей среды был в первый День Земли в 1970 году когда сторонники защиты окружающей среды вынудили философов которые работали в области окружающей среды сгруппироваться чтобы сделать некоторые замечания об этике окружающей среды. Дискуссия началась в 1974 когда австралиец именуемый John Pssmore опубликовал книгу пол названием Ответственность человека за природу: экологические проблемы и западные традиции в которой он аргументировал точку зрения что сохранение окружающей среды и ее...
78995. Наука в контексте традиционалистского и техногенного цивилизационного развития. Футурологические аспекты научного знания 16.91 KB
  Понятие цивилизации впервые возникло в 18 веке во Франции для обозначения общества в котором господствует свобода равенство и братство. Традиционные цивилизации. Техногенные цивилизации. Особенности техногенной цивилизации: Ориентация на совершенствование техники производства.
78996. Научное знание в контексте глобальных проблем. Особенности развития науки в глобализующемся мире. Роль науки в преодолении современного кризиса 14.1 KB
  К глобальным проблемам современности относят экологические демографические проблемы войны и мира проблемы кризиса культуры проблемы терроризма. Это включает в себя медикобиологические проблемы указывающие риски для здоровья современного человека сокращение ареалов нищеты и бедности комплекс минеральносырьевых проблем проблемы энергетического кризиса проблемы прекращения гонки вооружения и предотвращения использования средств массового уничтожения. Глобальные экологические проблемы требуют от ученых и предпринимателей повышения...