67564

ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД

Лекция

Физика

Ищем функции доставляющие функционалу экстремум при дополнительном условии нормировки. Таким образом вместо того чтобы решать уравнение Шредингера можно искать функции которые доставляют экстремум функционалу J. Возьмем собственные функции гамильтониана...

Русский

2014-09-12

239 KB

2 чел.

Л Е К Ц И Я 14

ВАРИАЦИОННЫЙ  МЕТОД

Еще один мощный метод нахождения низших энергетических уровней - вариационный метод. Рассмотрим функционал

 J(,) =  = (x) (x),

где x – весь набор переменных. Функции предполагаются нормированными:

  = (x) (x) = 1.

Решаем задачу на условный экстремум, т.е. ищем функции, доставляющие функционалу экстремум при дополнительном условии нормировки. Используем метод Лагранжа, т.е. требуем

 (x) (x)   (x) (x) = 0,

или

 (  ) + (  ) = 0.

Поскольку  и  считаются независимыми вариациями, то экстремумы достигаются на функциях , удовлетворяющих уравнениям

  = ,     = .

Видим, что условие экстремума есть стационарное уравнение Шредингера, если отождествить = E. Поскольку  - эрмитов оператор, то = , и уравнения для и эквивалентны - получаются друг из друга операцией комплексного сопряжения ( - вещественный оператор). Таким образом, вместо того, чтобы решать уравнение Шредингера, можно искать функции, которые доставляют экстремум функционалу J.

Покажем, что абсолютный минимум функционалу J дает волновая функция основного состояния. Возьмем собственные функции гамильтониана

 n = Enn,         nm = nm,

и разложим по ним произвольную функцию :

  = ann.

Из условия нормировки следует, что

 |an|2 = 1.

Подставляем разложение в функционал:

J =  =anamnm = anam Emnm  = En|an|2.

Пусть E0 - энергия основного состояния, тогда En   E0, и

 J = En|an|2  E0|an|2 = E0       JE0.

Но, если = 0, то

 J = E0.

Таким образом, функционал J имеет минимум, и он достигается именно на функции 0. Это его минимальное значение равно E0 , что и составляет основу вариационного метода при отыскании энергии основного состояния.

На вариационный метод позволяет найти и следующие энергетические уровни. Пусть нашли E0 как минимум функционала, достигаемого на функции =0. Будем искать энергию E1 и функцию 1 из условия минимума функционала при дополнительных ограничениях

  = 1,     0 = 0.

Доказательство почти такое же, как в предыдущем случае. Имеем

 J =  = En|an|2,

где по-прежнему

 |an|2 = 1,

но теперь из условия 0=0 следует a0=0, и потому

 J = En|an|2 E1|an|2 = E1.

Таким образом,

 J  E1,

причем минимум достигается на =1.

Высшие энергетические уровни находятся аналогично. Значение En находится как минимум функционала на функциях, подчиненных условиям

  = 1,   n = 1 = ... = n-1 = 0.

До сих пор рассмотрение было точным, но решение вариационной задачи обычно не проще, а сложнее непосредственного решения уравнения Шредингера. Но есть еще приближенный метод, и очень эффективный, - прямой вариационный метод, или метод Ритца. В этом методе экстремумы ищутся не на всем множестве квадратично интегрируемых функций, а только на пробных функциях, принадлежащих весьма узкому классу. А именно, выбирают функции какого-то заданного вида, но зависящие от некоторого числа параметров:

  = (x, , ...) .

Тогда и функционал

 J =  =(x, , ...) (x, , ...)dx = J(, , ...),

будет функцией этих параметров, и отыскание его экстремума сводится к отысканию экстремума функции нескольких переменных , , ..., а это весьма простая задача из области обычного математического анализа. Если пробные функции заранее нормированы (а это всегда делают), то минимум будет находиться из решения системы обычных уравнений

  = 0,      = 0,...,

откуда получаются значения 0, 0,..., для которых, как следует из строгого рассмотрения, всегда

 J(0,0,...)  E0.

Если класс пробных функций выбран удачно, то можно приближенно положить

 E0 = J(0,0,...),        0 = (x0,0,...).

Главное искусство, таким образом, выбор подходящего класса пробных функций. Здесь нужно использовать всю наличную информацию, дополняя ее интуицией. Следующие уровни находятся, как описано выше. Функция берется из того же класса, но не только нормированной, но и ортогональной к приближенной функции 0 основного состояния, уже найденной. Практически метод используют для нахождения нескольких нижних уровней, так как с ростом номера уровня резко возрастают вычислительные трудности из-за множества дополнительных условий.

Пример. Попробуем найти энергию основного состояния атома водорода с гамильтонианом

  =   .

В основном состоянии l=0, а потому в сферических координатах волновая функция зависит только от r , но не от и :

  = (r).

Она должна очень быстро стремиться к нулю при r  0, а потому можно попытаться положить

  = Pn(r)e r,

где Pn(r) - некоторый полином, а - варьируемый параметр. Но в вариационном исчислении доказывается, что функция, доставляющая минимум функционалу, не может иметь нулей в конечной области (а функция, доставляющая (n+1)- й экстремум, имеет n нулей - это теорема об узлах). Поэтому для волновой функции основного состояния полином Pn  должен быть просто константой, и множество пробных функций есть

 (r) = Аe r,     >0.

Дальше будут полезны интегралы

 In() ,

которые получаются дифференцированием по основного интеграла

 I0() .

Находим константу А из условия нормировки:

1 =dV =r2drd(r) (r) = 4A2r2dre-2r = 4A2I2(2) =

= 4A2= ,

откуда

 А =   (r) = e r.

Вычисляем функционал J(). Учитывая, что

 2 (e r) =  e r + 2e r

получим (элементарные выкладки с использованием In опускаем)

J() =  e r()e r = .

Ищем минимум

 0 =,

где а-радиус Бора. Для приближенной волновой функции основного состояния получаем

 0(r) = .

Энергия основного состояния приближенно вычисляется как J(0):

 E0 = J(0) = ,

т.е.

 E0 = .

На самом деле результаты получились точными. Это потому, что слишком уж хорошую выбрали пробную функцию. Если бы взяли

 (r) = А e r,

то результаты получились бы значительно хуже.

В качестве полезного упражнения предлагается решить аналогичную задачу для одномерного гармонического осциллятора

  = ,

взяв как раз пробные функции вида

 (x) =А e x,    >0.

ОСНОВЫ КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ

Будем искать релятивистские поправки к нерелятивистской квантовой физике. В последовательной релятивистской квантовой теории возможны процессы рождения частиц, которые в рамках нашего курса не могут быть учтены, почему мы и говорим не о релятивистской квантовой теории, а о релятивистских поправках к нерелятивистской квантовой теории, или о квазирелятивистском приближении.

Дальше будет очень полезным следующий эвристический способ «вывода» уравнения Шредингера. Берем классический гамильтониан свободной частицы

 H =

заменяем в нем классические величины по правилу

,         p i

и действуем полученными операторами на волновую функцию:

 i.

Ясно, что это уравнение не обладает свойством релятивистской инвариантности. При переходе к другой системе отсчета энергия и квадрат импульса преобразуются по-разному. В уравнении Шредингера стоит первая производная по времени, но вторые производные по координатам, а время и пространственные координаты в теории относительности должны быть формально равноправны.

Напомним основные положения специальной теории относительности (СТО). Пространство Минковского состоит из 4-векторов

  = (x0,x1,x2,x3),

где

 x0 = ct,    а     x1,x2,x3 = x

есть обычный 3-вектор. Верхние индексы отвечают контравариантным компонентам векторов. Можно перейти к ковариантным векторам и наоборот по правилу

 x = gx ,     x = gx ,

где g - метрический тензор:

 g = g = .

Скалярное произведение в пространстве Минковского вводится как

 () = y0x = gyx = gyx = x0y0 (x,y),

и оно является 4-скаляром, или инвариантом преобразований Лоренца. В частности, скалярный квадрат самого 4-вектора   записывается как

 ()2 = (x0)2  x2.

Преобразования Лоренца есть как раз линейные преобразования, сохраняющие скалярные квадраты 4-векторов:

 x = x, (, ) = (,)

откуда нетрудно получить основное свойство матрицы Лоренца

 gT = g.

Преобразования Лоренца описывают переход от одной инерциальной системы отсчета к другой (вращения и движения, но не трансляции). В частности, если штрихованная система отсчета движется относительно исходной вдоль общей оси x1=x со скоростью V, то матрица Лоренца такова:

  = ,         .

В СТО энергия E и импульс p объединяются в 4-вектор

  = (p0,p1,p2,p3),

где

 p0 = ,     (p1,p2,p3) = p.

При преобразованиях Лоренца

 p p = p.

Квадрат 4-импульса есть инвариант:

 p p = ()2  p2 = 2c2 = inv,

где - масса частицы (в последовательной теории это есть ее определение!). Преобразование Лоренца сохраняет 4-скалярные произведения, в частности

 px = px.

Вернемся к квантовой теории. Начали с подстановок

 H   i,          p  i,

которые теперь можно объединить в ковариантную подстановку

 p  i,        .

В частности, если взять релятивистское выражение для энергии

 E =

и сделать в нем эти подстановки, получим нечто вроде релятивистского обобщения уравнения Шредингера

 i.

Но здесь непонятно, что такое корень из оператора. Правда, его можно попытаться разложить в ряд Тейлора, но тогда возникнут производные сколько угодно высокого порядка - тоже нехорошо. Связь  с (r) не будет локальной, и фактически выписанное уравнение, как можно показать, есть интегральное уравнение. От такого уравнения отказываемся, так как и соответствующая теория пока не построена (формально ее можно построить и некие ее результаты даже используются, но ничего хорошего на этом пути не получается).

Будем действовать по другому, исходя из выражения не для самой энергии, а для ее квадрата:

 E2 = p2c2 + 2c4.

file:///web/5fan/public_html/www/files/13/5fan_ru_67564_38cb56c06ec51b6c3368efd3395594b0.doc

- ? -


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34070. Система и полномочия органов управления земельными ресурсами 24 KB
  Система и полномочия органов управления земельными ресурсами. Каждый вышестоящий уровень координирует действия нижестоящих а каждый иерархический уровень управления содержит все функции организации субъекта управления. Субъект управления на вышестоящем уровне осуществляет координирование организации субъектов управления на нижестоящих уровнях исходя из принятых для конкретного административнотерриториального образования критериев эффективности рационального использования земель. Система органов государственного управления земельными...
34071. Государственный земельный кадастр: понятие, структура, порядок ведения 38 KB
  Государственный кадастр недвижимости. âО государственном кадастре недвижимостиâ вступил в силу с 01. Государственный кадастровый учёт это действия уполномоченного органа по внесению в Государственный кадастр недвижимости сведений о недвижимом имуществе которые подтверждают существование такой недвижимости как индивидуальноопределённой вещи подтверждают прекращение существования такой недвижимости а также иные сведения предусмотренные ФЗ âОâ государственном кадастре недвижимостиâ. Государственный кадастр недвижимости ...
34072. Землеустройство: назначение, содержание, организация и порядок ведения 39 KB
  Землеустройство это мероприятие по изучению состояния земель планированию и организации рационального использования земель и их охраны по описанию местоположения и или установлению на местности границ объектов землеустройства организации рационального использования земельных участков для сельскохозяйственного производства; организации территорий используемых общинами коренных малочисленных народов Севера Сибири и Дальнего Востока и лицами относящимся к коренным малочисленным народам для обеспечения их традиционного образа жизни....
34073. Возмещение убытков по положениям земельного законодательства 26 KB
  Гражданское законодательство предусматривает при возмещении вреда взыскание убытков которые уже понес потерпевший к моменту предъявления иска в суде. При возмещении вреда причиненного земле речь идет о взыскании в основном будущих расходов на проведение восстановительных работ. определяет размер вреда причиненного окружающей среде в результате нарушения законодательства в области охраны окружающей среды исходя из фактических затрат на восстановление нарушенного состояния окружающей среды с учетом понесенных убытков в том числе упущенной...
34074. Инвентаризация земель в Российской Федерации 23 KB
  Впервые об инвентаризации земель был принят Указ Президента в 1993 г. Процедура порядок инвентаризации. Для инвентаризации земель создаётся специальная комиссия в состав которой включаются представители Росреестра природоохранных органов архитектурноградостроительных и санитарноэпидемиологических органов органов сельского лесного хозяйства представители органов местного самоуправления собственников землевладельцев землепользователей и арендаторов. В результате инвентаризации на каждый земельный участок устанавливается...
34075. Порядок предоставления земельных участков для целей не связанных со строительством 32.5 KB
  С точки зрения процессуальной предоставление земельных участков для целей не связанныхсо строительством не выходит за рамки тех действий которые установлены законодательством для случаев предоставления земель для строительства и которые были изложены выше: подача заявки в компетентный орган формирование земельного участкапринятие решения о его предоставлении государственный кадастровый учет и государственная регистрация прав на земельный участок. 34 ЗК РФ жестко устанавливают обязательные рамки процедуры формирования...
34076. Понятие и содержание управления земельными ресурсами 27.5 KB
  Понятие и содержание управления земельными ресурсами. Управление земельными ресурсами землями это организующая деятельность компетентных органов исполнительной власти по обеспечению рационального использования и охраны земель всеми субъектами земельных отношений. Общее управление земельными ресурсами осуществляется органами общей и специальной компетенции и имеет территориальный характер т. Ведомственное отраслевое управление земельными ресурсами осуществляется государственными комитетами федеральными агентствами федеральными службами...
34077. Порядок предоставления земельных участков для строительства 28.5 KB
  Предоставление земельного участка для строительства без предварительного согласования места размещения объекта осуществляется в следующем порядке: проведение работ по формированию земельного участка подготовка проекта границ земельного участка и установление его границ на местности; определение разрешенного использования земельного участка; определение технических условий подключения объектов к сетям инженернотехнического обеспечения; принятие решения о проведении торгов конкурсов аукционов или предоставлении земельных участков без...
34078. Особенности предоставления земельных участков для жилищного строительства 30 KB
  Все другие условия предоставления земельного участка и развития застроенной территории определяются договором о развитии застроенной территории который заключается между лицом подавшим заявление о предоставлении участка и соответствующим органом местного самоуправления. Согласованный и подписанный сторонами договор является основанием для принятия органом местного самоуправления решения о предоставлении земельного участка. Указанное решение является основанием для формирования земельного участка и проведения его государственного кадастрового...