67565

ОСНОВЫ КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ. УРАВНЕНИЕ КЛЕЙНА-ГОРДОНА

Лекция

Физика

Видим, что трудность проистекает из-за того, что в уравнении - вторая производная по времени. Попытаемся получить релятивистское уравнение первого порядка по времени. Но в СТО время и координаты равноправны, поэтому уравнение должно быть первого порядка и по координатам. Общий вид такого уравнения...

Русский

2014-09-12

192 KB

0 чел.

Л Е К Ц И Я  15

ОСНОВЫ КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ

Продолжение

УРАВНЕНИЕ КЛЕЙНА-ГОРДОНА

Делая в этом выражении подстановки

 E  i,      p -i,

получим

- = (-c222 + 2c4) = 0

или

 2 - = 0.

Вводя инвариантный оператор Даламбера

  = ,      

запишем уравнение в явно ковариантной форме

  + ()2 = 0   

К нему можно прийти и из ковариантного соотношения

 p2 = pp = 2c2,

делая в нем подстановки

 p  -i  -i.

Так или иначе, имеем релятивистский аналог уравнения Шредингера, которое называется уравнение Клейна-Гордона.

Умножая  слева на , а сопряженное уравнение слева на и производя вычитание, после элементарных выкладок получим уравнение непрерывности

  + divj = 0,

выражающее некий закон сохранения, в котором

 

и

 .

Можно поступить иначе: умножить  на , а сопряженное уравнение на и вычесть. Тогда получим уравнение непрерывности в ковариантной форме

 j = 0,

где

 j = - .

Расписывая по компонентам, получим те же результаты.

Вектор j получился абсолютно таким же, как в нерелятивистской квантовой механике, а там мы его отождествили с вектором плотности потока вероятности. Но там плотность вероятности была

  = ||2  ,

а здесь для нее получилось другое выражение. Казалось бы, и здесь новое можно интерпретировать как плотность вероятности. Но такая интерпретация не проходит. Уравнение Клейна-Гордона - второго порядка по времени, а потому для него необходимо задать 2 начальных условия - для и . И их всегда можно подобрать так, что будет <0. Мало того, если при t=0 >0, то по истечении времени может быть как >0, так и <0, т.е. плотность вероятности будет индефинитной, тогда как она должна быть всегда по самому смыслу быть положительно определенной.

Видим, что трудность проистекает из-за того, что в уравнении - вторая производная по времени. Попытаемся получить релятивистское уравнение первого порядка по времени. Но в СТО время и координаты равноправны, поэтому уравнение должно быть первого порядка и по координатам. Общий вид такого уравнения

 ,

где  в самом начале поставлено просто для удобства, для сравнения с обычным уравнением. Здесь 1, 2, 3 и - некоторые неизвестные коэффициенты. Ясно, что  не может быть обычной скалярной функцией, ибо при обычном трехмерном вращении левая часть не изменится, а правая преобразуется как вектор. Поэтому считаем многокомпонентной (с дополнительными внутренними степенями свободы):

  = .

Поэтому на самом деле нужно писать не , а (r,t), и отсюда уже почти ясно, что j и должны быть не обычными числами, а матрицами.

Каждый компонент должен подчиняться уравнению Клейна-Гордона

  ,

так как оно выражает лишь релятивистское соотношение между p и Е. Это сейчас позволит нам найти коэффициенты j, . Для этого берем уравнение

 

и действуем на обе его части оператором =:

 ( = ().

Подставляя явное выражение  и производя аккуратно (с учетом возможной некоммутативности j и ) перемножение, получим

 

(по двойным индексам - суммирование от 1 до 3). Чтобы это уравнение совпало с УКГ, необходимо потребовать

 ij + jI = 2ij,    i + I = 0,    2 =1.        ()

Отсюда уже абсолютно ясно, что j, - матрицы, а потому  - матричный (и дифференциальный) оператор. Поскольку  должен быть эрмитовым оператором, то j, -квадратные матрицы, причем порядка NN, где N - число компонентов у . Система уравнений () неразрешима при слишком малых N(=1,2,3). Минимальное N, при котором система перестает быть переопределенной, есть N=4 (вообще можно доказать, что N должно быть четным, мало того, оно должно быть квадратом, так что следующее N есть N=16). Одно из возможных решений таково:

 i  = ,        = ,

где i - матрицы Паули:

 1=,    2=,    3=;    I=.

Существуют и другие решения, но они не дают новой физики, ибо связаны с предыдущим преобразованием унитарной эквивалентности.

Итак, получаем уравнение Дирака

+c2,

где матрицы Дирака подчиняются соотношениям (), и один из наборов выписан явно выше. Функция на самом деле есть 4-компонентный столбец

 (r,t) = ,

и в более подробной форме записи уравнение Дирака выглядит так:

+c2

На самом деле это система четырех уравнений для четырех функций .

Уравнение Дирака можно записать гораздо более симметрично, если умножить обе его части слева на и ввести новые матрицы 44

 0 = ,    j = j = 0j,

удовлетворяющие антикоммутационным соотношениям

   +  = 2g.

Тогда получим

 i = 0.

Именно в этой форме записи удобнее всего исследовать свойство релятивистской инвариантности.

Введем сопряженную функцию

 + = (1,2,3,4),

которая подчиняется уравнению, сопряженному дираковскому:

 j + c2+.

Умножая уравнение Дирака слева на  +, а сопряженное справа на , найдем

 i+ j + + c2+.

и

  ij  + c2+

Производим вычитание

(+j ).

В итоге получаем уравнение непрерывности

 + divj = 0,

где

  = +,    j = c+    (1, 2, 3).

Величина положительно определена:

  = 12 + 22 + 32 + 42

и может быть интерпретирована как плотность вероятности, чего нельзя было сделать в случае уравнения Клейна-Гордона. Она очень похожа на обычную плотность вероятности, только содержит 4 слагаемых. Но вектор j, интерпретируемый как плотность потока вероятности, теперь существенно изменился; в частности, он не содержит пространственных координат.

Будем искать решение уравнения Дирака в виде

Ep(r,t) = w(E,p); w  .

Подставляя все это в уравнение Дирака и учитывая явный вид матриц j и , получим алгебраическую систему формально двух, на самом деле четырех уравнений

 Eu = c(p)v + c2u

 Ev = c(p)u  c2v ,

где

  = 1, 2, 3,   p = 1p1 + 2p2 + 3p3 = jpj.

Условие нетривиальной разрешимости дает

 = 0

откуда

 Е2  2c4  c2(p)2 = 0.

Раскрываем

(p)2 = (p)( p) = jpj kpk = (jk)(pjpk).

Учитывая, что

 jk = 0 (j k), (j)2 = I,

получим

(p)2 = p2,

и условие разрешимости запишется как

 Е2  2c4  c2p2 = 0.

Таким образом, нетривиальные решения существуют лишь при

 Е =    p,

а это есть релятивистское соотношение между энергией и импульсом (но появились оба знака!).

Так как det=0, то второе уравнение будет следствием первого, и его можно не рассматривать, но лучше бывает оставить второе, а выкинуть первое. При Е=p задает u произвольно, тогда из второго

 v = u.

Но само u содержит две линейно независимые функции:

 u(p) = u01(p) +u02(p) =  .

Поэтому находим при Е=p>0:

 w+ = ,    ( = 1,2).

Вторую пару решений получим при Е = p < 0. Теперь будем считать заданным

 v(p) = v01(p) = v02(p) =

и из первого уравнения системы получим

 u = -v.

Поэтому находим при Е = p < 0:

 w-(p) = .

Таким образом, внутренними переменными, значения которых характеризуют разные решения, являются знак энергии (+ и ), а также величина . Ее значения =1, 2 нумеруют решения внутри верхней пары u и нижней пары v компонентов полной волновой функции.

file:///web/5fan/public_html/www/files/13/5fan_ru_67565_47227ff53b7749144de8811e308cb710.doc

- 141 -


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

42792. Разработка технологического процесса термической обработки для изготовления кузовов и крыльев легковых автомобилей 380.16 KB
  Анализ условий работы кузовов крыльев автомобилей и выбор марки стали .3 Выбор марки стали для горячей штамповки . 35 Приложение 36 РЕФЕРАТ Курсовая работа содержит информацию о разработке технологического процесса термической обработки кузовов и крыльев легковых автомобилей из стали 5ХНМ. Проведен анализ условий работы кузовов и крыльев легковых автомобилей материалов применяемых для производства данной детали на основании чего выбрана марка стали разработан технологический...
42793. Диагностика финансового состояния предприятия на примере ОАО «Электроприбор» 130.25 KB
  Горячкина Факультет заочного образования Кафедра: Финансы и диагностика предприятия КУРСОВАЯ РАБОТА по дисциплине: Анализ финансовохозяйственной деятельности предприятия на тему: Диагностика финансового состояния предприятия на примере ОАО Электроприбор Выполнил: студент 37ЭК3 группы ФЗО Аладьев Н. Анализ имущества и положения...
42794. Технико-экономический расчет для участка распределительной сети 10/0,4 кВ 135.31 KB
  Годовой фонд основной заработной платы одного работника при повременной оплате труда определяется по формуле: ФЗП г о = Бч ∙ Фд ∙ к ∙ Ч руб 4 [ 9 ] где Б ч минимальная часовая ставка оплаты труда минимальный часовой тариф руб час; Фд действ. Минимальная часовая ставка оплаты труда рассчитывается по формуле: Б ч = ЗПм Н руб ч...
42795. ТЯГОВАЯ ПОДСТАНЦИЯ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА 6.73 MB
  Пояснительная записка к курсовому проекту ОТЖТ. 18 сентября 2012 года ЗАДАНИЕ На курсовой проект студента группы ЭХ136III курса Батиенко Максима специальности Электроснабжение по отраслям по дисциплине Электрические подстанции 1 Тема курсового проекта Тяговая подстанция переменного тока.2 Транзитная тяговая подстанция переменного тока электрифицированной железной дороги 220 35 275 кВ 3 Курсовой проект состоит из двух частей.6 1Структурная схема тяговой подстанции переменного тока 220 35 275 кВ.
42796. Организационные и технические мероприятия безопасного проведения работ с электроустановками до 1000 В 1.05 MB
  Электроснабжение является неотъемлемой частью жизни каждого человека. С давних времен основной задачей электроснабжения было обеспечение объектов электрической энергией. С помощью электрической энергии освещаются помещения, осуществляется автоматическое управление производственными процессами, приводятся в движение миллионы станков и механизмов и многое другое.
42797. Электроснабжение узловой распределительной подстанции 325.95 KB
  Потребитель Марка PкВТ IА Об мин Cos φ КПД Компрессора АИР200L6 30 596 980 086 90 Насосы АИР200L6 30 596 980 086 90 Распеделение нагрузок по пунктам питания. В сп1 входят: Компрессорная установка P= 30кВТ Kи=07 cos φ= 08; зарядноподзорядный агрегат АБ типа ВАЗП Р=23кВТ Ки=07 cos φ=08; синхронный компенсатор Р=80кВТ Ки=07 cos φ=07; Насос системы охлаждения АТ Р=226кВТ Ки=07 cos φ=08; Отопление вентиляция и освещение ОПУ Р=9 Ки=06 cos φ=08. Подпись Лист 6 В сп2 входят: электронагреватель для выключателей и приводов...
42798. Разработка микропроцессорной системы на базе КР 580 238.9 KB
  Интерфейсный модуль обеспечивает параллельный ввод вывода информации с 2х УВВ ключи светодиоды с помощью БИС КР580ВВ55 расположенный по адресу 10h. Для того чтобы подключить к МП память и устройство ввода вывода в системе организован 3х шинный доступ: 1 Шина адреса МП подключается с помощью буферных регистров КР580ИР82 2 Шина данных и управления формируется системный контроллер КР580ВК28 Тактированиеформирование импульсов по переключению системы из 1 состояния в другое осуществляется тактовым генератором КР580ГФ24 Изм. Шина адреса...
42799. Метод Флетчера-Ривса 3.14 MB
  Все описываемые градиентные методы основаны на итерационной процедуре реализуемой в соответствии с формулой Где текущее приближение к решению ; параметр характеризующий длину шага; направление поиска управляемых переменных x. Первый называется методом градиентного спуска с постоянным шагом. Где направление движения на каждом шаге совпадает с антиградиентом функции. А длина шага задается пользователем и остается постоянной до тех пор пока функция убывает в точках последовательности .
42800. Анализ информационных потребностей пользователей предметной области «Народное образование области» 684.5 KB
  Вместе с тем информационные потребности пользователей меняются со временем, что должно быть учтено в методике проектирования КИМПО: она должна быть ориентирована не столько на первоначальное создание модели, сколько на интеграцию новой информационной потребности с текущей моделью.