67565

ОСНОВЫ КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ. УРАВНЕНИЕ КЛЕЙНА-ГОРДОНА

Лекция

Физика

Видим, что трудность проистекает из-за того, что в уравнении - вторая производная по времени. Попытаемся получить релятивистское уравнение первого порядка по времени. Но в СТО время и координаты равноправны, поэтому уравнение должно быть первого порядка и по координатам. Общий вид такого уравнения...

Русский

2014-09-12

192 KB

1 чел.

Л Е К Ц И Я  15

ОСНОВЫ КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ

Продолжение

УРАВНЕНИЕ КЛЕЙНА-ГОРДОНА

Делая в этом выражении подстановки

 E  i,      p -i,

получим

- = (-c222 + 2c4) = 0

или

 2 - = 0.

Вводя инвариантный оператор Даламбера

  = ,      

запишем уравнение в явно ковариантной форме

  + ()2 = 0   

К нему можно прийти и из ковариантного соотношения

 p2 = pp = 2c2,

делая в нем подстановки

 p  -i  -i.

Так или иначе, имеем релятивистский аналог уравнения Шредингера, которое называется уравнение Клейна-Гордона.

Умножая  слева на , а сопряженное уравнение слева на и производя вычитание, после элементарных выкладок получим уравнение непрерывности

  + divj = 0,

выражающее некий закон сохранения, в котором

 

и

 .

Можно поступить иначе: умножить  на , а сопряженное уравнение на и вычесть. Тогда получим уравнение непрерывности в ковариантной форме

 j = 0,

где

 j = - .

Расписывая по компонентам, получим те же результаты.

Вектор j получился абсолютно таким же, как в нерелятивистской квантовой механике, а там мы его отождествили с вектором плотности потока вероятности. Но там плотность вероятности была

  = ||2  ,

а здесь для нее получилось другое выражение. Казалось бы, и здесь новое можно интерпретировать как плотность вероятности. Но такая интерпретация не проходит. Уравнение Клейна-Гордона - второго порядка по времени, а потому для него необходимо задать 2 начальных условия - для и . И их всегда можно подобрать так, что будет <0. Мало того, если при t=0 >0, то по истечении времени может быть как >0, так и <0, т.е. плотность вероятности будет индефинитной, тогда как она должна быть всегда по самому смыслу быть положительно определенной.

Видим, что трудность проистекает из-за того, что в уравнении - вторая производная по времени. Попытаемся получить релятивистское уравнение первого порядка по времени. Но в СТО время и координаты равноправны, поэтому уравнение должно быть первого порядка и по координатам. Общий вид такого уравнения

 ,

где  в самом начале поставлено просто для удобства, для сравнения с обычным уравнением. Здесь 1, 2, 3 и - некоторые неизвестные коэффициенты. Ясно, что  не может быть обычной скалярной функцией, ибо при обычном трехмерном вращении левая часть не изменится, а правая преобразуется как вектор. Поэтому считаем многокомпонентной (с дополнительными внутренними степенями свободы):

  = .

Поэтому на самом деле нужно писать не , а (r,t), и отсюда уже почти ясно, что j и должны быть не обычными числами, а матрицами.

Каждый компонент должен подчиняться уравнению Клейна-Гордона

  ,

так как оно выражает лишь релятивистское соотношение между p и Е. Это сейчас позволит нам найти коэффициенты j, . Для этого берем уравнение

 

и действуем на обе его части оператором =:

 ( = ().

Подставляя явное выражение  и производя аккуратно (с учетом возможной некоммутативности j и ) перемножение, получим

 

(по двойным индексам - суммирование от 1 до 3). Чтобы это уравнение совпало с УКГ, необходимо потребовать

 ij + jI = 2ij,    i + I = 0,    2 =1.        ()

Отсюда уже абсолютно ясно, что j, - матрицы, а потому  - матричный (и дифференциальный) оператор. Поскольку  должен быть эрмитовым оператором, то j, -квадратные матрицы, причем порядка NN, где N - число компонентов у . Система уравнений () неразрешима при слишком малых N(=1,2,3). Минимальное N, при котором система перестает быть переопределенной, есть N=4 (вообще можно доказать, что N должно быть четным, мало того, оно должно быть квадратом, так что следующее N есть N=16). Одно из возможных решений таково:

 i  = ,        = ,

где i - матрицы Паули:

 1=,    2=,    3=;    I=.

Существуют и другие решения, но они не дают новой физики, ибо связаны с предыдущим преобразованием унитарной эквивалентности.

Итак, получаем уравнение Дирака

+c2,

где матрицы Дирака подчиняются соотношениям (), и один из наборов выписан явно выше. Функция на самом деле есть 4-компонентный столбец

 (r,t) = ,

и в более подробной форме записи уравнение Дирака выглядит так:

+c2

На самом деле это система четырех уравнений для четырех функций .

Уравнение Дирака можно записать гораздо более симметрично, если умножить обе его части слева на и ввести новые матрицы 44

 0 = ,    j = j = 0j,

удовлетворяющие антикоммутационным соотношениям

   +  = 2g.

Тогда получим

 i = 0.

Именно в этой форме записи удобнее всего исследовать свойство релятивистской инвариантности.

Введем сопряженную функцию

 + = (1,2,3,4),

которая подчиняется уравнению, сопряженному дираковскому:

 j + c2+.

Умножая уравнение Дирака слева на  +, а сопряженное справа на , найдем

 i+ j + + c2+.

и

  ij  + c2+

Производим вычитание

(+j ).

В итоге получаем уравнение непрерывности

 + divj = 0,

где

  = +,    j = c+    (1, 2, 3).

Величина положительно определена:

  = 12 + 22 + 32 + 42

и может быть интерпретирована как плотность вероятности, чего нельзя было сделать в случае уравнения Клейна-Гордона. Она очень похожа на обычную плотность вероятности, только содержит 4 слагаемых. Но вектор j, интерпретируемый как плотность потока вероятности, теперь существенно изменился; в частности, он не содержит пространственных координат.

Будем искать решение уравнения Дирака в виде

Ep(r,t) = w(E,p); w  .

Подставляя все это в уравнение Дирака и учитывая явный вид матриц j и , получим алгебраическую систему формально двух, на самом деле четырех уравнений

 Eu = c(p)v + c2u

 Ev = c(p)u  c2v ,

где

  = 1, 2, 3,   p = 1p1 + 2p2 + 3p3 = jpj.

Условие нетривиальной разрешимости дает

 = 0

откуда

 Е2  2c4  c2(p)2 = 0.

Раскрываем

(p)2 = (p)( p) = jpj kpk = (jk)(pjpk).

Учитывая, что

 jk = 0 (j k), (j)2 = I,

получим

(p)2 = p2,

и условие разрешимости запишется как

 Е2  2c4  c2p2 = 0.

Таким образом, нетривиальные решения существуют лишь при

 Е =    p,

а это есть релятивистское соотношение между энергией и импульсом (но появились оба знака!).

Так как det=0, то второе уравнение будет следствием первого, и его можно не рассматривать, но лучше бывает оставить второе, а выкинуть первое. При Е=p задает u произвольно, тогда из второго

 v = u.

Но само u содержит две линейно независимые функции:

 u(p) = u01(p) +u02(p) =  .

Поэтому находим при Е=p>0:

 w+ = ,    ( = 1,2).

Вторую пару решений получим при Е = p < 0. Теперь будем считать заданным

 v(p) = v01(p) = v02(p) =

и из первого уравнения системы получим

 u = -v.

Поэтому находим при Е = p < 0:

 w-(p) = .

Таким образом, внутренними переменными, значения которых характеризуют разные решения, являются знак энергии (+ и ), а также величина . Ее значения =1, 2 нумеруют решения внутри верхней пары u и нижней пары v компонентов полной волновой функции.

file:///web/5fan/public_html/www/files/13/5fan_ru_67565_47227ff53b7749144de8811e308cb710.doc

- 141 -


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

41706. Программная реализация алгоритмов линейной структуры на языке программирования Turbo Pascal 153.86 KB
  Описание объявление данных содержит упоминание всех объектов используемых в программе и включает в себя: раздел подключаемых библиотек модулей определяется служебным словом USES и содержит имена подключаемых модулей: uses CRT Grph; раздел описания меток: любой оператор в программе может быть помечен меткой. Типы данных. Под типом данных понимается множество допустимых значений этих данных а также совокупность операций над ними. Тип определяет также и формат внутреннего представления данных в памяти компьютера.
41707. Знакомство и приемы работы в интегрированной среде языка Турбо-Паскаль 52.4 KB
  на экране монитора ПК могут формироваться следующие видимые компоненты среды: меню окна диалоговые окна и строка состояния. Меню называется прямоугольный участок экрана содержащий ряд ключевых слов и предназначенный для выбора одного из предлагаемых вариантов работы. Содержащиеся в меню ключевые слова обозначают возможные альтернативы называемые в дальнейшем опциями option выбор. Интегрированная среда Турбо-Паскаля обеспечивает иерархическую систему меню.
41708. ИССЛЕДОВАНИЕ ТИПОВЫХ ЗВЕНЬЕВ ЛИНЕЙНЫХ АСР 165.27 KB
  Переходная характеристика Время сек Импульсная характеристика Время сек Рисунок 1 Переходная и импульсная характеристика звена W1 Переходная характеристика Время сек Импульсная характеристика Время сек Рисунок 2 Переходная и импульсная характеристика звена W2 Переходная характеристика Время сек Импульсная характеристика Время сек Рисунок 3 Переходная и импульсная характеристика звена W3 Переходная характеристика Время сек Импульсная характеристика Время сек Рисунок 4 Переходная и импульсная характеристика звена W4...
41709. Расчет поперечной рамы стального каркаса одноэтажного здания на действие постоянной нагрузки 702.68 KB
  Поперечное сечение в виде 2х уголков с параметрами уголка 160×100×10 Высота низа колонн 8 м Поперечное сечение в виде трубы с параметрами 720×12 Высота верха колонн 6 м Поперечное сечение в виде трубы с параметрами 720×8 q = 24 кН м P = 32 кН ℓ = 32 м Цели лабораторной работы: Произвести расчет поперечной рамы стального каркаса одноэтажного здания с помощью ПК ЛИРА Определить для основных сечений колонн и ригеля максимальные значения нормальных и касательных напряжений Сделать вывод о работе конструкции Ход работы: Создание расчетной...
41710. Команды MSDOS 251.68 KB
  Название команды Синтаксис команды Создание файла с консоли copycon имя файла Удаление файла del имя файла Переименование файла ren имя файла 1 имя файла 2 Редактирование файла edit имя файла Переход на диск имя диска Переход в каталог cd путь Создание каталога md имя каталога Удаление каталога rd имя каталога Очистка экрана Cls Вывод содержимого файла на экран type имя файла Копирование файла copy путь 1 что копируется путь 2 куда копируется Поиск файла filefind имя файла Работа с командной строкой Prompt Информация о команде команда ...
41711. Индекс FTSE 100 109.84 KB
  Индекс начал рассчитываться с 3 января 1984 года с уровня 1000 пунктов. Компании чьи акции учитываются в расчете индекса FTSE 100 должны удовлетворять условиям выставляемым FTSE Group: а должны входить в список Лондонской фондовой биржи; б стоимость акций индекса FTSE 100 выражается в фунтах или евро;в пройти тест на принадлежность к определенному государству;г акции FTSE 100 должны быть в свободном обращении и быть легко ликвидными. Индекс FTSE 100 включает 100 компаний британской экономики хотя на самом деле список состоит из...
41712. Основы работы в ГИС ArcView 1.75 MB
  Интерфейс пользователя rcView Окно программ Окно приветствия Строка меню Строка кнопок Строка инструментов Окно вида Меню работы с файлами Меню редактирования Меню вид Меню тема Меню графика Меню окно Строка кнопок:
41713. Классы. Основные понятия 260.14 KB
  Основные понятия Цель работы: Познакомиться с понятием класса. Продемонстрировать работу с классом создание экземпляра класса изменение значений полей вызов перегруженных методов Выполнить требования к лабораторным работам см. Контрольные вопросы: Что такое метод Что такое возвращаемый тип каким он может быть Что значит void Что такое параметры метода какие параметры бывают Что такое перегрузка методов и для чего она нужна Что такое класс Какие члены класс может содержать Что такое конструктор для чего служит...