67565

ОСНОВЫ КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ. УРАВНЕНИЕ КЛЕЙНА-ГОРДОНА

Лекция

Физика

Видим, что трудность проистекает из-за того, что в уравнении - вторая производная по времени. Попытаемся получить релятивистское уравнение первого порядка по времени. Но в СТО время и координаты равноправны, поэтому уравнение должно быть первого порядка и по координатам. Общий вид такого уравнения...

Русский

2014-09-12

192 KB

0 чел.

Л Е К Ц И Я  15

ОСНОВЫ КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ

Продолжение

УРАВНЕНИЕ КЛЕЙНА-ГОРДОНА

Делая в этом выражении подстановки

 E  i,      p -i,

получим

- = (-c222 + 2c4) = 0

или

 2 - = 0.

Вводя инвариантный оператор Даламбера

  = ,      

запишем уравнение в явно ковариантной форме

  + ()2 = 0   

К нему можно прийти и из ковариантного соотношения

 p2 = pp = 2c2,

делая в нем подстановки

 p  -i  -i.

Так или иначе, имеем релятивистский аналог уравнения Шредингера, которое называется уравнение Клейна-Гордона.

Умножая  слева на , а сопряженное уравнение слева на и производя вычитание, после элементарных выкладок получим уравнение непрерывности

  + divj = 0,

выражающее некий закон сохранения, в котором

 

и

 .

Можно поступить иначе: умножить  на , а сопряженное уравнение на и вычесть. Тогда получим уравнение непрерывности в ковариантной форме

 j = 0,

где

 j = - .

Расписывая по компонентам, получим те же результаты.

Вектор j получился абсолютно таким же, как в нерелятивистской квантовой механике, а там мы его отождествили с вектором плотности потока вероятности. Но там плотность вероятности была

  = ||2  ,

а здесь для нее получилось другое выражение. Казалось бы, и здесь новое можно интерпретировать как плотность вероятности. Но такая интерпретация не проходит. Уравнение Клейна-Гордона - второго порядка по времени, а потому для него необходимо задать 2 начальных условия - для и . И их всегда можно подобрать так, что будет <0. Мало того, если при t=0 >0, то по истечении времени может быть как >0, так и <0, т.е. плотность вероятности будет индефинитной, тогда как она должна быть всегда по самому смыслу быть положительно определенной.

Видим, что трудность проистекает из-за того, что в уравнении - вторая производная по времени. Попытаемся получить релятивистское уравнение первого порядка по времени. Но в СТО время и координаты равноправны, поэтому уравнение должно быть первого порядка и по координатам. Общий вид такого уравнения

 ,

где  в самом начале поставлено просто для удобства, для сравнения с обычным уравнением. Здесь 1, 2, 3 и - некоторые неизвестные коэффициенты. Ясно, что  не может быть обычной скалярной функцией, ибо при обычном трехмерном вращении левая часть не изменится, а правая преобразуется как вектор. Поэтому считаем многокомпонентной (с дополнительными внутренними степенями свободы):

  = .

Поэтому на самом деле нужно писать не , а (r,t), и отсюда уже почти ясно, что j и должны быть не обычными числами, а матрицами.

Каждый компонент должен подчиняться уравнению Клейна-Гордона

  ,

так как оно выражает лишь релятивистское соотношение между p и Е. Это сейчас позволит нам найти коэффициенты j, . Для этого берем уравнение

 

и действуем на обе его части оператором =:

 ( = ().

Подставляя явное выражение  и производя аккуратно (с учетом возможной некоммутативности j и ) перемножение, получим

 

(по двойным индексам - суммирование от 1 до 3). Чтобы это уравнение совпало с УКГ, необходимо потребовать

 ij + jI = 2ij,    i + I = 0,    2 =1.        ()

Отсюда уже абсолютно ясно, что j, - матрицы, а потому  - матричный (и дифференциальный) оператор. Поскольку  должен быть эрмитовым оператором, то j, -квадратные матрицы, причем порядка NN, где N - число компонентов у . Система уравнений () неразрешима при слишком малых N(=1,2,3). Минимальное N, при котором система перестает быть переопределенной, есть N=4 (вообще можно доказать, что N должно быть четным, мало того, оно должно быть квадратом, так что следующее N есть N=16). Одно из возможных решений таково:

 i  = ,        = ,

где i - матрицы Паули:

 1=,    2=,    3=;    I=.

Существуют и другие решения, но они не дают новой физики, ибо связаны с предыдущим преобразованием унитарной эквивалентности.

Итак, получаем уравнение Дирака

+c2,

где матрицы Дирака подчиняются соотношениям (), и один из наборов выписан явно выше. Функция на самом деле есть 4-компонентный столбец

 (r,t) = ,

и в более подробной форме записи уравнение Дирака выглядит так:

+c2

На самом деле это система четырех уравнений для четырех функций .

Уравнение Дирака можно записать гораздо более симметрично, если умножить обе его части слева на и ввести новые матрицы 44

 0 = ,    j = j = 0j,

удовлетворяющие антикоммутационным соотношениям

   +  = 2g.

Тогда получим

 i = 0.

Именно в этой форме записи удобнее всего исследовать свойство релятивистской инвариантности.

Введем сопряженную функцию

 + = (1,2,3,4),

которая подчиняется уравнению, сопряженному дираковскому:

 j + c2+.

Умножая уравнение Дирака слева на  +, а сопряженное справа на , найдем

 i+ j + + c2+.

и

  ij  + c2+

Производим вычитание

(+j ).

В итоге получаем уравнение непрерывности

 + divj = 0,

где

  = +,    j = c+    (1, 2, 3).

Величина положительно определена:

  = 12 + 22 + 32 + 42

и может быть интерпретирована как плотность вероятности, чего нельзя было сделать в случае уравнения Клейна-Гордона. Она очень похожа на обычную плотность вероятности, только содержит 4 слагаемых. Но вектор j, интерпретируемый как плотность потока вероятности, теперь существенно изменился; в частности, он не содержит пространственных координат.

Будем искать решение уравнения Дирака в виде

Ep(r,t) = w(E,p); w  .

Подставляя все это в уравнение Дирака и учитывая явный вид матриц j и , получим алгебраическую систему формально двух, на самом деле четырех уравнений

 Eu = c(p)v + c2u

 Ev = c(p)u  c2v ,

где

  = 1, 2, 3,   p = 1p1 + 2p2 + 3p3 = jpj.

Условие нетривиальной разрешимости дает

 = 0

откуда

 Е2  2c4  c2(p)2 = 0.

Раскрываем

(p)2 = (p)( p) = jpj kpk = (jk)(pjpk).

Учитывая, что

 jk = 0 (j k), (j)2 = I,

получим

(p)2 = p2,

и условие разрешимости запишется как

 Е2  2c4  c2p2 = 0.

Таким образом, нетривиальные решения существуют лишь при

 Е =    p,

а это есть релятивистское соотношение между энергией и импульсом (но появились оба знака!).

Так как det=0, то второе уравнение будет следствием первого, и его можно не рассматривать, но лучше бывает оставить второе, а выкинуть первое. При Е=p задает u произвольно, тогда из второго

 v = u.

Но само u содержит две линейно независимые функции:

 u(p) = u01(p) +u02(p) =  .

Поэтому находим при Е=p>0:

 w+ = ,    ( = 1,2).

Вторую пару решений получим при Е = p < 0. Теперь будем считать заданным

 v(p) = v01(p) = v02(p) =

и из первого уравнения системы получим

 u = -v.

Поэтому находим при Е = p < 0:

 w-(p) = .

Таким образом, внутренними переменными, значения которых характеризуют разные решения, являются знак энергии (+ и ), а также величина . Ее значения =1, 2 нумеруют решения внутри верхней пары u и нижней пары v компонентов полной волновой функции.

file:///web/5fan/public_html/www/files/13/5fan_ru_67565_47227ff53b7749144de8811e308cb710.doc

- 141 -


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

42320. Базы данных реляционных и объектно-реляционных СУБД 1.19 MB
  Рассмотрим смысл этих понятий на примере отношения таблицы СТУДЕНТЫсодержащего информацию о студентах некоторого вуза табл. Тип данных определяет диапазон значений которые можно сохранить в переменной или столбце таблицы отношения а также набор операций разрешенных для данных этого типа. Например предположим что в БД кроме таблицы СТУДЕНТЫ Табл. Допустим что столбец Имя таблицы СТУДЕНТЫ и столбец ФИО таблицы ПРЕПОДАВАТЕЛИ имеют одинаковые типы данных максимальную длину в обоих столбцах используется кириллица и смысл...
42321. Архитектура баз данных и способы доступа к ним в пакете Delphi 361.5 KB
  Архитектура баз данных Современная система управления базами данных такая как InterBse SQL Server пакета Delphi или Microsoft SQL Server 2000 может поддерживать хранение и обработку множества баз данных к которым одновременно могут обращаться множество пользователей. Прежде чем учиться управлению этими базами данных познакомимся с их структурой то есть с представлением базы данных на логическом и физическом уровнях. При этом будет рассмотрен список объектов поддерживаемых базами данных InterBse SQL Server 6 сокращённо...
42322. Операции с базой данных 238.5 KB
  Операции с базой данных Цель работы Изучить операции с базами данных в целом. Получить навыки использования приложения IBExpert для создания удаления регистрации подключения извлечения метаданных резервного копирования и восстановления базы данных СУБД Firebird. Изучить SQLоператоры для создания подключения и удаления базы данных. Исходные данные Студент получает индивидуальный вариант исходных данных который используется при выполнении всех лабораторных работ.
42323. Домены. SQL-операторы для работы с доменами 135.5 KB
  Домены Цель работы Изучить типы данных Firebird. Исходные данные Вариант исходных данных с кратким описанием предметной области получен студентом при выполнении первой лабораторной работы. Эта модель стала революционным событием в развитии баз данных . Элементы реляционной модели данных и формы их представления приведены в таблице 1.
42324. Таблицы. SQL-операторы для работы с таблицами и индексами 197.5 KB
  Изучить способы создания изменения и удаления таблиц. Теоретические сведения Таблицы Tbles Firebird – реляционная СУБД поэтому все данные в Firebird хранятся в виде двумерных таблиц со строками и столбцами. Основные ограничения которым должны удовлетворять таблицы: Каждый столбец в таблице имеет уникальное имя. Первичный ключ это столбец который выбран для уникальной идентификации записей базы данных строк таблицы.
42325. Технология создания простейшей информационной системы 8.22 MB
  База данных должна содержать две таблицы: Товары и Приход товаров. Таблицы оперативной части ИС предназначены для работы с оперативной информацией значение которой актуально обычно только в течение короткого времени от момента поступления такой информации до момента окончания её обработки. Рабочая структура таблиц приведена ниже: Таблица Товары Название поля Смысл Тип Длина Tovr Наименование товара Строка 20 EdIzm Единица измерения Строка 10 Zen Цена за единицу измерения Целочисленный Таблица Приход товаров Название поля...
42326. Технология создания простейшей информационной системы (часть 2) 1.12 MB
  Например в компоненте DBGrid подчинённой таблицы отображается содержимое только тех строк подчинённой таблицы в которых содержимое поля внешнего ключа подчинённой таблицы ссылается на содержимое поля первичного ключа той строки главной таблицы на которую указывает курсор главной таблицы содержимое других строк подчинённой таблицы остаётся невидимым для пользователя. Для отказа от этого механизма визуализации в окне инспектора объектов компонента набор данных подчинённой таблицы в нашем случае это компонент Tble2 таблица – Prihod...
42327. Ограничения целостности. SQL-операторы для работы с ограничениями 124.5 KB
  Ограничения целостности Цель работы Изучить используемые в Firebird типы ограничений целостности. Изучить SQLоператоры для работы с ограничениями. Теоретические сведения Ограничения целостности данных представляют собой такие ограничения которые вводятся с целью предотвратить помещение в базу противоречивых данных. Ограничения внешнего ключа Foreign keys ссылочная целостность.
42328. Триггеры, генераторы, исключения 133 KB
  Студент получает индивидуальный вариант исходных данных с кратким описанием предметной области, который используется при выполнении всех лабораторных работ. При этом каждая очередная лабораторная работа является продолжением выполненной ранее и поэтому они должны обязательно выполняться последовательно. Варианты заданий к лабораторной работе №5 № варианта Имя пользователя Имя файла БД Имя таблицы Бизнес-правило для поля 1 TEM001 SLRY.FDB Цех Дата_поступления 2 TEM002 STUFF.FDB Собрано День_недели 3 TEM003 STUFFPLUS.FDB Изделия Наименование 4 TEM004 TELEPHONE.