67565
ОСНОВЫ КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ. УРАВНЕНИЕ КЛЕЙНА-ГОРДОНА
Лекция
Физика
Видим, что трудность проистекает из-за того, что в уравнении - вторая производная по времени. Попытаемся получить релятивистское уравнение первого порядка по времени. Но в СТО время и координаты равноправны, поэтому уравнение должно быть первого порядка и по координатам. Общий вид такого уравнения...
Русский
2014-09-12
192 KB
0 чел.
Делая в этом выражении подстановки
E i, p -i,
получим
- = (-c222 + 2c4) = 0
или
2 - = 0.
Вводя инвариантный оператор Даламбера
= ,
запишем уравнение в явно ковариантной форме
+ ()2 = 0
К нему можно прийти и из ковариантного соотношения
p2 = pp = 2c2,
делая в нем подстановки
p -i -i.
Так или иначе, имеем релятивистский аналог уравнения Шредингера, которое называется уравнение Клейна-Гордона.
Умножая слева на , а сопряженное уравнение слева на и производя вычитание, после элементарных выкладок получим уравнение непрерывности
+ divj = 0,
выражающее некий закон сохранения, в котором
и
.
Можно поступить иначе: умножить на , а сопряженное уравнение на и вычесть. Тогда получим уравнение непрерывности в ковариантной форме
j = 0,
где
j = - .
Расписывая по компонентам, получим те же результаты.
Вектор j получился абсолютно таким же, как в нерелятивистской квантовой механике, а там мы его отождествили с вектором плотности потока вероятности. Но там плотность вероятности была
= ||2 ,
а здесь для нее получилось другое выражение. Казалось бы, и здесь новое можно интерпретировать как плотность вероятности. Но такая интерпретация не проходит. Уравнение Клейна-Гордона - второго порядка по времени, а потому для него необходимо задать 2 начальных условия - для и . И их всегда можно подобрать так, что будет <0. Мало того, если при t=0 >0, то по истечении времени может быть как >0, так и <0, т.е. плотность вероятности будет индефинитной, тогда как она должна быть всегда по самому смыслу быть положительно определенной.
Видим, что трудность проистекает из-за того, что в уравнении - вторая производная по времени. Попытаемся получить релятивистское уравнение первого порядка по времени. Но в СТО время и координаты равноправны, поэтому уравнение должно быть первого порядка и по координатам. Общий вид такого уравнения
,
где в самом начале поставлено просто для удобства, для сравнения с обычным уравнением. Здесь 1, 2, 3 и - некоторые неизвестные коэффициенты. Ясно, что не может быть обычной скалярной функцией, ибо при обычном трехмерном вращении левая часть не изменится, а правая преобразуется как вектор. Поэтому считаем многокомпонентной (с дополнительными внутренними степенями свободы):
= .
Поэтому на самом деле нужно писать не , а (r,t), и отсюда уже почти ясно, что j и должны быть не обычными числами, а матрицами.
Каждый компонент должен подчиняться уравнению Клейна-Гордона
,
так как оно выражает лишь релятивистское соотношение между p и Е. Это сейчас позволит нам найти коэффициенты j, . Для этого берем уравнение
и действуем на обе его части оператором =:
( = ().
Подставляя явное выражение и производя аккуратно (с учетом возможной некоммутативности j и ) перемножение, получим
(по двойным индексам - суммирование от 1 до 3). Чтобы это уравнение совпало с УКГ, необходимо потребовать
ij + jI = 2ij, i + I = 0, 2 =1. ()
Отсюда уже абсолютно ясно, что j, - матрицы, а потому - матричный (и дифференциальный) оператор. Поскольку должен быть эрмитовым оператором, то j, -квадратные матрицы, причем порядка NN, где N - число компонентов у . Система уравнений () неразрешима при слишком малых N(=1,2,3). Минимальное N, при котором система перестает быть переопределенной, есть N=4 (вообще можно доказать, что N должно быть четным, мало того, оно должно быть квадратом, так что следующее N есть N=16). Одно из возможных решений таково:
i = , = ,
где i - матрицы Паули:
1=, 2=, 3=; I=.
Существуют и другие решения, но они не дают новой физики, ибо связаны с предыдущим преобразованием унитарной эквивалентности.
Итак, получаем уравнение Дирака
+c2,
где матрицы Дирака подчиняются соотношениям (), и один из наборов выписан явно выше. Функция на самом деле есть 4-компонентный столбец
(r,t) = ,
и в более подробной форме записи уравнение Дирака выглядит так:
+c2
На самом деле это система четырех уравнений для четырех функций .
Уравнение Дирака можно записать гораздо более симметрично, если умножить обе его части слева на и ввести новые матрицы 44
0 = , j = j = 0j,
удовлетворяющие антикоммутационным соотношениям
+ = 2g.
Тогда получим
i = 0.
Именно в этой форме записи удобнее всего исследовать свойство релятивистской инвариантности.
Введем сопряженную функцию
+ = (1,2,3,4),
которая подчиняется уравнению, сопряженному дираковскому:
j + c2+.
Умножая уравнение Дирака слева на +, а сопряженное справа на , найдем
i+ j + + c2+.
и
ij + c2+
Производим вычитание
(+j ).
В итоге получаем уравнение непрерывности
+ divj = 0,
где
= +, j = c+ (1, 2, 3).
Величина положительно определена:
= 12 + 22 + 32 + 42
и может быть интерпретирована как плотность вероятности, чего нельзя было сделать в случае уравнения Клейна-Гордона. Она очень похожа на обычную плотность вероятности, только содержит 4 слагаемых. Но вектор j, интерпретируемый как плотность потока вероятности, теперь существенно изменился; в частности, он не содержит пространственных координат.
Будем искать решение уравнения Дирака в виде
Ep(r,t) = w(E,p); w .
Подставляя все это в уравнение Дирака и учитывая явный вид матриц j и , получим алгебраическую систему формально двух, на самом деле четырех уравнений
Eu = c(p)v + c2u
Ev = c(p)u c2v ,
где
= 1, 2, 3, p = 1p1 + 2p2 + 3p3 = jpj.
Условие нетривиальной разрешимости дает
= 0
откуда
Е2 2c4 c2(p)2 = 0.
Раскрываем
(p)2 = (p)( p) = jpj kpk = (jk)(pjpk).
Учитывая, что
jk = 0 (j k), (j)2 = I,
получим
(p)2 = p2,
и условие разрешимости запишется как
Е2 2c4 c2p2 = 0.
Таким образом, нетривиальные решения существуют лишь при
Е = p,
а это есть релятивистское соотношение между энергией и импульсом (но появились оба знака!).
Так как det=0, то второе уравнение будет следствием первого, и его можно не рассматривать, но лучше бывает оставить второе, а выкинуть первое. При Е=p задает u произвольно, тогда из второго
v = u.
Но само u содержит две линейно независимые функции:
u(p) = u01(p) +u02(p) = .
Поэтому находим при Е=p>0:
w+ = , ( = 1,2).
Вторую пару решений получим при Е = p < 0. Теперь будем считать заданным
v(p) = v01(p) = v02(p) =
и из первого уравнения системы получим
u = -v.
Поэтому находим при Е = p < 0:
w-(p) = .
Таким образом, внутренними переменными, значения которых характеризуют разные решения, являются знак энергии (+ и ), а также величина . Ее значения =1, 2 нумеруют решения внутри верхней пары u и нижней пары v компонентов полной волновой функции.
file:///web/5fan/public_html/www/files/13/5fan_ru_67565_47227ff53b7749144de8811e308cb710.doc
- 141 -
А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать | |||
49029. | Выбор профессии финансового аналитика | 1.52 MB | |
Нейросети в банковском деле Нейросети в маркетинге В данной работе я попытаюсь показать возможно ли применение нейросети при выборе профессии и насколько это будет эффективно. Ими были получены следующие результаты: разработана модель нейрона как простейшего процессорного элемента выполняющего вычисление переходной функции от скалярного произведения вектора входных сигналов и вектора весовых коэффициентов; предложена конструкция сети таких элементов для выполнения логических... | |||
49030. | Создание и обработка баз данных в Excel и Access | 943 KB | |
Для представления данных в удобном виде используют таблицы. Особенность электронных таблиц заключается в возможности применения формул для описания связи между значениями различных ячеек, расчет по ним выполняется автоматически. Изменение значения в одной ячейки приводит к пересчету во всех остальных, которые связаны с нею формульными отношениями, а тем самым к обновлению всей таблицы. | |||
49031. | Цифровая система передачи непрерывных сообщений | 539.5 KB | |
Кодирование отсчетов сигнала bti: kразрядный равномерный двоичный код с добавлением одного бита проверки на четность. Канал связи с постоянными параметрами и аддитивной помехой имеет полосу пропускания ΔFk значительно большую чем ширина спектра модулированного сигнала ΔFU. Смесь сигнала и шума на выходе канала zt=stnt где st= ut∙Kпк сигнал на выходе канала nt аддитивный гауссовский шум с равномерным энергетическим спектром белый... | |||
49032. | Разработка технологического процесса изготовления детали по чертежу | 1.51 MB | |
Технология изготовления заготовки Возможные способы изготовления заготовки. Технологический процесс изготовления заготовки. Технология изготовления детали Технологический процесс стр... | |||
49034. | Разработка технологии изготовления заготовки и детали с выбором оборудования и инструмента | 271.5 KB | |
Задание по курсовой работе Целью и заданием данной курсовой работы является разработка технологии изготовления заготовки и детали. Технологический процесс изготовления заготовки Данную заготовку получаем в литейной форме продольный разрез которой показан на рисунке. | |||
49035. | Технологический процесс изготовления заготовки опоры | 735.17 KB | |
При литье в кокиль отливки получают путем заливки расплавленного металла в металлические формы – кокили. Полости в отливках оформляют песчаными, оболочковыми или металлическими стержнями. Кокили с песчаными или оболочковыми стержнями используют для получения отливок сложной конфигурации. | |||
49036. | СИСТЕМА АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ ЧАСТОТЫ ВРАЩЕНИЯ ДВИГАТЕЛЯ ПОСТОЯННОГО ТОКА | 2 MB | |
Анализ действующих на систему возмущающих воздействия и их влияние на статические характеристики САР Принцип работы системы Классификация САР Позвенное аналитическое описание процессов в САУ. Получим дифференциальные уравнения и передаточные функции звеньев САУ Разработка структурной схемы САР Уравнения динамики замкнутой САР Анализ на структурную устойчивость САР Расчёт требуемого коэффициента усиления в разомкнутом состоянии... | |||
49037. | Экономическая теория. Особенности экономических процессов | 957.34 KB | |
Экономика – одна из древнейших наук, которая всегда привлекала внимание ученых и образованных людей. Объясняется это тем, что изучение экономической теории – это реализация объективной необходимости познания мотивов, действий людей в хозяйственной деятельности, законов хозяйствования во все времена. | |||