67572

Понятие бинарной алгебраической операции

Лекция

Математика и математический анализ

Примерами таких операций могут служить обычные операции сложения вычитания или умножения на множестве всех действительных или комплексных чисел операция умножения на множестве всех квадратных матриц данного порядка операция композиции на множестве всех перестановок из N элементов операция векторного...

Русский

2014-09-12

161 KB

5 чел.

Лекции по общей алгебре

Лекция 1

Понятие бинарной алгебраической операции

Говорят, что на множестве S определена (бинарная) алгебраическая операция  (АО) « *», если для всяких двух его элементов x и y однозначно определен элемент z=x*y называемый композицией или произведением элементов x и y.

Примерами таких операций могут служить обычные операции сложения, вычитания или умножения на множестве всех действительных (или комплексных ) чисел, операция умножения на множестве всех квадратных матриц данного порядка ,операция композиции на множестве всех перестановок из N элементов, операция векторного перемножения на множестве всех векторов трехмерного пространства.

Само по себе понятие АО является слишком общим, чтобы допускать сколько ни будь глубокое изучение. В алгебраических теориях обычно рассматривают операции, обладающие рядом дополнительных свойств. Перечислим некоторые из них.

Свойство ассоциативности  

                                                                                                        (1)

Во всех перечисленных выше примерах АО это свойство выполняется, за исключением операции вычитания и операции векторного произведения.

Из  свойства (1) вытекает, что произведение любого числа сомножителей однозначно определено, так как не зависит от того, как в этом произведении расставлены скобки, например

Разумеется, при этом нельзя нарушать порядок сомножителей.

Наличие свойства ассоциативности позволяет определить степень любого элемента с натуральным показателем. А именно:

                 (n сомножителей).

При этом выполняются обычные правила действий со степенями:

 ,    

Свойство коммутативности

                                                                                    (2)

Это свойство выполняется для сложения и умножения чисел, но нарушается для умножения матриц и композиции перестановок.

Разумеется, из (2) вытекает, что в случае ассоциативной и коммутативной АО мы имеем право переставлять любым способом сомножители в произведении любого их числа.

Кроме того,  в этом случае

Наличие нейтрального элемента

                                                                                (3)

Элемент n в этом случае называется нейтральным для АО (*).

Для операции сложения чисел нейтральным является число ноль, для операции умножения - число единица.  Для умножения матриц нейтральным элементом будет единичная матрица, для композиции перестановок - тождественная перестановка. В случае векторного перемножения векторов нейтральный элемент отсутствует.

Отметим, что в (3) квантор существования предшествует квантору всеобщности, то есть элемент n не зависит от выбора x.

В случае существования единственного нейтрального элемента и ассоциативности операции  можно определить степень с нулевым показателем:

   для всякого элемента x. Упомянутые выше свойства степеней при этом сохраняются.

Наличие обратного элемента

Это понятие имеет смысл в случае наличия нейтрального элемента для операции (*).

Элемент   называется обратным для элемента x, если

                                                                                          (4)

Для сложения чисел обратный элемент существует для любого числа и равен противоположному числу. Для умножения обратный элемент так и называется и существует у любого числа, кроме 0. В случае умножения матриц обратный элемент равен обратной матрице и существует в  том случае, если эта матрица невырождена, то есть ее определитель не равен нулю.

Элементы для которых существует обратный называются обратимыми. Из условия (4) сразу вытекает, что элемент    всегда обратим и обратным для него будет исходный элемент  x. Кроме того в случае ассоциативной операции произведение двух обратимых элементов снова будет обратимым элементом и при этом    . В самом деле:   и аналогично

Если элемент  определен однозначно, можно определить степени x с отрицательным целым показателем, а именно:

  , где m=1,2,... . При этом сохраняются обычные правила действий со степенями.

Замечание

В конкретных алгебраических системах алгебраическая операция чаще всего обозначается либо знаком (+) и называется сложением , либо знаком (.) и называется умножением. В первом случае говорят об аддитивном, а во втором о мультипликативном способе записи операции. Операция записанная аддитивно как правило считается коммутативной. В этом случае вместо термина «обратный» используется термин «противоположный элемент», который, естественно, обозначается (-x), а вместо степени элемента говорят о его кратных (nx).

Понятие группы

Определение

Множество G на котором определена бинарная операция (*) называется группой (G,*), если выполняются условия:

Операция (*) ассоциативна.

Для операции существует нейтральный элемент.

Все элементы G обратимы.

Примеры групп

R - группа действительных чисел с операцией сложения. ( аддитивная группа действительных чисел)

C - аддитивная группа комплексных чисел.

- группа ненулевых действительных чисел с операцией умножения ( мультипликативная группа действительных чисел)

- мультипликативная группа комплексных чисел.

- группа невырожденных матриц порядка n с действительными элементами. (Аналогично, )

- группа перестановок множества 1,2, ..., n.

Во всех этих примерах наличие свойств 1- 3 не вызывает сомнений.

Прежде чем приводить другие примеры групп укажем некоторые простейшие свойства этих алгебраических систем. Во всех последующих формулировках считается, что x, y, z, ... - элементы некоторой группы G.

Закон сокращения

(левое сокращение)

(правое сокращение)

Докажем, например, первый закон. Используем существование обратного элемента и свойство ассоциативности операции.

y=z.

Единственность нейтрального элемента

В любой группе нейтральный элемент определен однозначно. В самом деле, если  и  оба являются нейтральными, то по определению

  и в то же время , откуда . Единственный нейтральный элемент группы G будет в дальнейшем обозначаться  или просто e.

Единственность обратного элемента

Для каждого элемента x обратный элемент  определен однозначно. В самом деле, если элементы y и z являются обратными для x, то y*x=e и z*x=e, откуда y*x=z*x и по закону сокращения y=z.

Признак нейтрального элемента 

Действительно, поскольку , имеем  , откуда по закону сокращения получаем .

Разрешимость любого уравнения первой степени (существование обратной операции)

. Элемент z  определен однозначно. (Его  можно назвать «частным» от деления y на x).

Имеем:  и значит можно взять . Однозначность следует из закона сокращения: .

Понятие подгруппы

Определение

Группа  называется подгруппой группы , если, во первых

(как подмножество)  и,  во-вторых,

(то есть закон умножения на подмножестве H такой же как и во всем множестве G.)

Тот факт, что   является подгруппой в  обозначается с помощью символа включения:  или просто .

Примеры подгрупп.

Целые числа с операцией сложения (Z) образуют подгруппу в группе R, которая, в свою очередь является подгруппой группы C.

Четные перестановки образуют подгруппу   в группе  всех перестановок.

Матрицы с определителем 1 образуют подгруппу  в группе  всех невырожденных матриц.

Чтобы проверить, будет ли данное подмножество H в G подгруппой надо, очевидно, проверить следующие условия :

.

Оказывается, что вместо трех этих условий достаточно проверить только одно.

Признак подгруппы

Непустое подмножество H в группе G будет подгруппой этой группы тогда и только тогда, когда:

.                                                          (5)

Доказательство.

Условие  (4) очевидно следует из 1 -3. Проверим обратное утверждение. Взяв в  (5) y=x, получим: , то есть выполнено второе условие. Теперь возьмем , тогда получим: и таким образом условие 3. также выполнено. Наконец, взяв в условии (5) , получим  , то есть условие 1.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53234. GRAMMAR SONGS FOR KIDS 941 KB
  Working with kids you must use a wide range of songs. They can be used with specific teaching points in mind or just for fun to motivate children. I use some songs naturally to teach or reinforce grammar points. They may be integrated into lessons with a particular grammar focus and provide much-needed variety, while contributing to the overall aim of a lesson.
53235. In the town of English Grammar 57.5 KB
  Dear boys and girls! Today you will meet really wonderful creatures who live in a large and unusual town called English Grammar. You may ask me where this town is situated. It is far, far away from here in the middle of the Kingdom of His Majesty English Language. So you understand it is rather difficult to find the way to this Kingdom. I consider only magic can help us. First of all, we have to find a very special thing hidden in our classroom.
53237. Дидактичні ігри з навчання грамоти 115.5 KB
  Предметна компетентність: знають що слова складаються зі звуків а звуки на письмі позначаються буквами. Ігрове завдання задум: Треба все уважно слухать І назвати ті слова Де звук почують вуха І ті де його нема. Ігрові правила: вчитель називає слова а діти плескають у долоні тоді коли почують у слові потрібний звук. Розсели слова Обладнання: будиночки зі звуковими схемами слів предметні малюнки.
53238. У пошуках Весни 45 KB
  Хід заняття Діти заходять до ігрової кімнати та здивовано її оглядають.: Діти що сталося Здається ми потрапили до казки. Вихователь читає: Лист до дітей групи ЛАСТІВКА Доброго дня діти.: Діти допоможемо лісовим мешканцям Весну знайти Тоді в путь Діти підходять до казкових воріт країни Граматики та шлях їм перекривають вартові.
53239. Побудова графіків функцій за допомогою геометричних перетворень 105.5 KB
  Що таке область визначення функції Що таке область значень функції Який вигляд має лінійна функція Що таке обернена пропорційність Який вигляд має степенева функція Що є графіком квадратичної функції Який алгоритм побудови графіка квадратичної функції Як знайти координати вершини параболи Яка функція називається зростаючою спадною Яка функція називається парною непарною Для чого досліджують функцію на парність при побудові її графіка Як побудувати графік функції y=fxn маючи графік функції y=fx Як...
53240. Гражданская война 119 KB
  План изучения нового материала: Причины и суть Гражданской войны Два основных противоборствующих лагеря войны Первые вспышки войны Создание Красной армии Интервенция На фронтах Гражданской войны: Восточный фронт Южный фронт Белый Север Белый Крым 7. Создание Красной армии. В ходе боев с Корниловцами стало понятно что залог сохранения режима – создание регулярной армии. Главным организатором Красной армии стал наркомвоенмор Л.
53241. Гражданская война 1918-1921 гг. – урок для XXI века 1.11 MB
  Однако наша Гражданская война была неразрывно связана с войной за независимость России – войной против интервенции Запада. В ходе гражданской войны в России погибло несколько миллионов человек количественные оценки резко различаются. – Гражданская война как война Февраля с Октябрем – продолжение военными средствами противостояния между двумя революционными проектами России означавшими два разных...
53242. Брейн-ринг з елементами театралізації на тему «Стародавня Греція» 1.99 MB
  Про яку країну ми говоритимемо Стародавня Греція Якої мети ми повинні досягти Чого ви очікуєте від цього брейн – рингу Завдання : назвати моря якими омивається Греція за кожну вірну назву І бал Середземне Егейське Іонічне Тірренське Завдання : Із міфа який вам будуть розповідати назвати дійових осіб. ВЕДУЧА: Чим же закінчилась ця історія Ш Завдання: Кожній команді слід за 3040 секунд розповісти кінець...