67572

Понятие бинарной алгебраической операции

Лекция

Математика и математический анализ

Примерами таких операций могут служить обычные операции сложения вычитания или умножения на множестве всех действительных или комплексных чисел операция умножения на множестве всех квадратных матриц данного порядка операция композиции на множестве всех перестановок из N элементов операция векторного...

Русский

2014-09-12

161 KB

5 чел.

Лекции по общей алгебре

Лекция 1

Понятие бинарной алгебраической операции

Говорят, что на множестве S определена (бинарная) алгебраическая операция  (АО) « *», если для всяких двух его элементов x и y однозначно определен элемент z=x*y называемый композицией или произведением элементов x и y.

Примерами таких операций могут служить обычные операции сложения, вычитания или умножения на множестве всех действительных (или комплексных ) чисел, операция умножения на множестве всех квадратных матриц данного порядка ,операция композиции на множестве всех перестановок из N элементов, операция векторного перемножения на множестве всех векторов трехмерного пространства.

Само по себе понятие АО является слишком общим, чтобы допускать сколько ни будь глубокое изучение. В алгебраических теориях обычно рассматривают операции, обладающие рядом дополнительных свойств. Перечислим некоторые из них.

Свойство ассоциативности  

                                                                                                        (1)

Во всех перечисленных выше примерах АО это свойство выполняется, за исключением операции вычитания и операции векторного произведения.

Из  свойства (1) вытекает, что произведение любого числа сомножителей однозначно определено, так как не зависит от того, как в этом произведении расставлены скобки, например

Разумеется, при этом нельзя нарушать порядок сомножителей.

Наличие свойства ассоциативности позволяет определить степень любого элемента с натуральным показателем. А именно:

                 (n сомножителей).

При этом выполняются обычные правила действий со степенями:

 ,    

Свойство коммутативности

                                                                                    (2)

Это свойство выполняется для сложения и умножения чисел, но нарушается для умножения матриц и композиции перестановок.

Разумеется, из (2) вытекает, что в случае ассоциативной и коммутативной АО мы имеем право переставлять любым способом сомножители в произведении любого их числа.

Кроме того,  в этом случае

Наличие нейтрального элемента

                                                                                (3)

Элемент n в этом случае называется нейтральным для АО (*).

Для операции сложения чисел нейтральным является число ноль, для операции умножения - число единица.  Для умножения матриц нейтральным элементом будет единичная матрица, для композиции перестановок - тождественная перестановка. В случае векторного перемножения векторов нейтральный элемент отсутствует.

Отметим, что в (3) квантор существования предшествует квантору всеобщности, то есть элемент n не зависит от выбора x.

В случае существования единственного нейтрального элемента и ассоциативности операции  можно определить степень с нулевым показателем:

   для всякого элемента x. Упомянутые выше свойства степеней при этом сохраняются.

Наличие обратного элемента

Это понятие имеет смысл в случае наличия нейтрального элемента для операции (*).

Элемент   называется обратным для элемента x, если

                                                                                          (4)

Для сложения чисел обратный элемент существует для любого числа и равен противоположному числу. Для умножения обратный элемент так и называется и существует у любого числа, кроме 0. В случае умножения матриц обратный элемент равен обратной матрице и существует в  том случае, если эта матрица невырождена, то есть ее определитель не равен нулю.

Элементы для которых существует обратный называются обратимыми. Из условия (4) сразу вытекает, что элемент    всегда обратим и обратным для него будет исходный элемент  x. Кроме того в случае ассоциативной операции произведение двух обратимых элементов снова будет обратимым элементом и при этом    . В самом деле:   и аналогично

Если элемент  определен однозначно, можно определить степени x с отрицательным целым показателем, а именно:

  , где m=1,2,... . При этом сохраняются обычные правила действий со степенями.

Замечание

В конкретных алгебраических системах алгебраическая операция чаще всего обозначается либо знаком (+) и называется сложением , либо знаком (.) и называется умножением. В первом случае говорят об аддитивном, а во втором о мультипликативном способе записи операции. Операция записанная аддитивно как правило считается коммутативной. В этом случае вместо термина «обратный» используется термин «противоположный элемент», который, естественно, обозначается (-x), а вместо степени элемента говорят о его кратных (nx).

Понятие группы

Определение

Множество G на котором определена бинарная операция (*) называется группой (G,*), если выполняются условия:

Операция (*) ассоциативна.

Для операции существует нейтральный элемент.

Все элементы G обратимы.

Примеры групп

R - группа действительных чисел с операцией сложения. ( аддитивная группа действительных чисел)

C - аддитивная группа комплексных чисел.

- группа ненулевых действительных чисел с операцией умножения ( мультипликативная группа действительных чисел)

- мультипликативная группа комплексных чисел.

- группа невырожденных матриц порядка n с действительными элементами. (Аналогично, )

- группа перестановок множества 1,2, ..., n.

Во всех этих примерах наличие свойств 1- 3 не вызывает сомнений.

Прежде чем приводить другие примеры групп укажем некоторые простейшие свойства этих алгебраических систем. Во всех последующих формулировках считается, что x, y, z, ... - элементы некоторой группы G.

Закон сокращения

(левое сокращение)

(правое сокращение)

Докажем, например, первый закон. Используем существование обратного элемента и свойство ассоциативности операции.

y=z.

Единственность нейтрального элемента

В любой группе нейтральный элемент определен однозначно. В самом деле, если  и  оба являются нейтральными, то по определению

  и в то же время , откуда . Единственный нейтральный элемент группы G будет в дальнейшем обозначаться  или просто e.

Единственность обратного элемента

Для каждого элемента x обратный элемент  определен однозначно. В самом деле, если элементы y и z являются обратными для x, то y*x=e и z*x=e, откуда y*x=z*x и по закону сокращения y=z.

Признак нейтрального элемента 

Действительно, поскольку , имеем  , откуда по закону сокращения получаем .

Разрешимость любого уравнения первой степени (существование обратной операции)

. Элемент z  определен однозначно. (Его  можно назвать «частным» от деления y на x).

Имеем:  и значит можно взять . Однозначность следует из закона сокращения: .

Понятие подгруппы

Определение

Группа  называется подгруппой группы , если, во первых

(как подмножество)  и,  во-вторых,

(то есть закон умножения на подмножестве H такой же как и во всем множестве G.)

Тот факт, что   является подгруппой в  обозначается с помощью символа включения:  или просто .

Примеры подгрупп.

Целые числа с операцией сложения (Z) образуют подгруппу в группе R, которая, в свою очередь является подгруппой группы C.

Четные перестановки образуют подгруппу   в группе  всех перестановок.

Матрицы с определителем 1 образуют подгруппу  в группе  всех невырожденных матриц.

Чтобы проверить, будет ли данное подмножество H в G подгруппой надо, очевидно, проверить следующие условия :

.

Оказывается, что вместо трех этих условий достаточно проверить только одно.

Признак подгруппы

Непустое подмножество H в группе G будет подгруппой этой группы тогда и только тогда, когда:

.                                                          (5)

Доказательство.

Условие  (4) очевидно следует из 1 -3. Проверим обратное утверждение. Взяв в  (5) y=x, получим: , то есть выполнено второе условие. Теперь возьмем , тогда получим: и таким образом условие 3. также выполнено. Наконец, взяв в условии (5) , получим  , то есть условие 1.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75053. Формирование желаемого поведения (на примере кошки) 92 KB
  Цель моей работы - изучение теории подкрепления и её практическое применение в воспитании домашней кошки Василисы. Мной поставлены задачи: познакомиться с теорией подкрепления желаемого поведения, изучить законы подкрепления, применить принципы подкрепления на практике.
75054. Памятники 63 KB
  Памятники - это не только архитектурные сооружения со своими композиционными особенностями но это прежде всего история. А история нашего города - это памятники которые могут о многом поведать: и смутные годы гражданской войны и героические страницы Великой Отечественной и давно забытый...
75055. Каспий. Карты прошлого и настоящего 970.5 KB
  Свое название море получило от имени древних племен - каспиев, населявших среднее и юго-восточное Закавказье во втором тысячелетии до нашей эры. В первом тысячелетии до нашей эры соседние племена оттеснили каспиев в юго-западную часть побережья, которое получило название Каспиана.
75056. Диета и ее последствия 656.5 KB
  Цель работы: Определить позитивные и негативные стороны диет. Гипотеза: Не каждая диета является подходящей для любого организма. Задачи: Проследить историю диет. Изучить виды диет. Опросить девушек разных возрастных групп Провести анкетирование среди девушек нашей школы «Как я отношусь к диетам»
75057. Особенности почв участка Кожуховского затона 334 KB
  Существенным и неотъемлемым качеством почвы является её плодородие. Плодородие почвы называют её способность обеспечивать растения необходимым количеством питательных элементов воды и воздуха.
75058. Абак. Реконструкция римского абака 348 KB
  Первыми приспособлениями для вычислений были вероятно всем известные счётные палочки которые и сегодня используются в начальных классах многих школ для обучения счёту. Абак - счётная доска применявшаяся для арифметических вычислений приблизительно с IV века до н.
75059. Инновации и информационные технологии в образовании 873.89 KB
  Одаренность - системное развивающееся в течение жизни качество психики которое определяет возможность достижения человеком более высоких результатов в одном или нескольких видах деятельности по сравнению с другими людьми.
75060. Виды транспорта 169 KB
  Основная часть История транспорта; Виды транспорта; Что называют транспортом Для чего нужен транспорт. Потом появились первые сельскохозяйственные орудия первое колесо различные транспортные средства.