67572

Понятие бинарной алгебраической операции

Лекция

Математика и математический анализ

Примерами таких операций могут служить обычные операции сложения вычитания или умножения на множестве всех действительных или комплексных чисел операция умножения на множестве всех квадратных матриц данного порядка операция композиции на множестве всех перестановок из N элементов операция векторного...

Русский

2014-09-12

161 KB

5 чел.

Лекции по общей алгебре

Лекция 1

Понятие бинарной алгебраической операции

Говорят, что на множестве S определена (бинарная) алгебраическая операция  (АО) « *», если для всяких двух его элементов x и y однозначно определен элемент z=x*y называемый композицией или произведением элементов x и y.

Примерами таких операций могут служить обычные операции сложения, вычитания или умножения на множестве всех действительных (или комплексных ) чисел, операция умножения на множестве всех квадратных матриц данного порядка ,операция композиции на множестве всех перестановок из N элементов, операция векторного перемножения на множестве всех векторов трехмерного пространства.

Само по себе понятие АО является слишком общим, чтобы допускать сколько ни будь глубокое изучение. В алгебраических теориях обычно рассматривают операции, обладающие рядом дополнительных свойств. Перечислим некоторые из них.

Свойство ассоциативности  

                                                                                                        (1)

Во всех перечисленных выше примерах АО это свойство выполняется, за исключением операции вычитания и операции векторного произведения.

Из  свойства (1) вытекает, что произведение любого числа сомножителей однозначно определено, так как не зависит от того, как в этом произведении расставлены скобки, например

Разумеется, при этом нельзя нарушать порядок сомножителей.

Наличие свойства ассоциативности позволяет определить степень любого элемента с натуральным показателем. А именно:

                 (n сомножителей).

При этом выполняются обычные правила действий со степенями:

 ,    

Свойство коммутативности

                                                                                    (2)

Это свойство выполняется для сложения и умножения чисел, но нарушается для умножения матриц и композиции перестановок.

Разумеется, из (2) вытекает, что в случае ассоциативной и коммутативной АО мы имеем право переставлять любым способом сомножители в произведении любого их числа.

Кроме того,  в этом случае

Наличие нейтрального элемента

                                                                                (3)

Элемент n в этом случае называется нейтральным для АО (*).

Для операции сложения чисел нейтральным является число ноль, для операции умножения - число единица.  Для умножения матриц нейтральным элементом будет единичная матрица, для композиции перестановок - тождественная перестановка. В случае векторного перемножения векторов нейтральный элемент отсутствует.

Отметим, что в (3) квантор существования предшествует квантору всеобщности, то есть элемент n не зависит от выбора x.

В случае существования единственного нейтрального элемента и ассоциативности операции  можно определить степень с нулевым показателем:

   для всякого элемента x. Упомянутые выше свойства степеней при этом сохраняются.

Наличие обратного элемента

Это понятие имеет смысл в случае наличия нейтрального элемента для операции (*).

Элемент   называется обратным для элемента x, если

                                                                                          (4)

Для сложения чисел обратный элемент существует для любого числа и равен противоположному числу. Для умножения обратный элемент так и называется и существует у любого числа, кроме 0. В случае умножения матриц обратный элемент равен обратной матрице и существует в  том случае, если эта матрица невырождена, то есть ее определитель не равен нулю.

Элементы для которых существует обратный называются обратимыми. Из условия (4) сразу вытекает, что элемент    всегда обратим и обратным для него будет исходный элемент  x. Кроме того в случае ассоциативной операции произведение двух обратимых элементов снова будет обратимым элементом и при этом    . В самом деле:   и аналогично

Если элемент  определен однозначно, можно определить степени x с отрицательным целым показателем, а именно:

  , где m=1,2,... . При этом сохраняются обычные правила действий со степенями.

Замечание

В конкретных алгебраических системах алгебраическая операция чаще всего обозначается либо знаком (+) и называется сложением , либо знаком (.) и называется умножением. В первом случае говорят об аддитивном, а во втором о мультипликативном способе записи операции. Операция записанная аддитивно как правило считается коммутативной. В этом случае вместо термина «обратный» используется термин «противоположный элемент», который, естественно, обозначается (-x), а вместо степени элемента говорят о его кратных (nx).

Понятие группы

Определение

Множество G на котором определена бинарная операция (*) называется группой (G,*), если выполняются условия:

Операция (*) ассоциативна.

Для операции существует нейтральный элемент.

Все элементы G обратимы.

Примеры групп

R - группа действительных чисел с операцией сложения. ( аддитивная группа действительных чисел)

C - аддитивная группа комплексных чисел.

- группа ненулевых действительных чисел с операцией умножения ( мультипликативная группа действительных чисел)

- мультипликативная группа комплексных чисел.

- группа невырожденных матриц порядка n с действительными элементами. (Аналогично, )

- группа перестановок множества 1,2, ..., n.

Во всех этих примерах наличие свойств 1- 3 не вызывает сомнений.

Прежде чем приводить другие примеры групп укажем некоторые простейшие свойства этих алгебраических систем. Во всех последующих формулировках считается, что x, y, z, ... - элементы некоторой группы G.

Закон сокращения

(левое сокращение)

(правое сокращение)

Докажем, например, первый закон. Используем существование обратного элемента и свойство ассоциативности операции.

y=z.

Единственность нейтрального элемента

В любой группе нейтральный элемент определен однозначно. В самом деле, если  и  оба являются нейтральными, то по определению

  и в то же время , откуда . Единственный нейтральный элемент группы G будет в дальнейшем обозначаться  или просто e.

Единственность обратного элемента

Для каждого элемента x обратный элемент  определен однозначно. В самом деле, если элементы y и z являются обратными для x, то y*x=e и z*x=e, откуда y*x=z*x и по закону сокращения y=z.

Признак нейтрального элемента 

Действительно, поскольку , имеем  , откуда по закону сокращения получаем .

Разрешимость любого уравнения первой степени (существование обратной операции)

. Элемент z  определен однозначно. (Его  можно назвать «частным» от деления y на x).

Имеем:  и значит можно взять . Однозначность следует из закона сокращения: .

Понятие подгруппы

Определение

Группа  называется подгруппой группы , если, во первых

(как подмножество)  и,  во-вторых,

(то есть закон умножения на подмножестве H такой же как и во всем множестве G.)

Тот факт, что   является подгруппой в  обозначается с помощью символа включения:  или просто .

Примеры подгрупп.

Целые числа с операцией сложения (Z) образуют подгруппу в группе R, которая, в свою очередь является подгруппой группы C.

Четные перестановки образуют подгруппу   в группе  всех перестановок.

Матрицы с определителем 1 образуют подгруппу  в группе  всех невырожденных матриц.

Чтобы проверить, будет ли данное подмножество H в G подгруппой надо, очевидно, проверить следующие условия :

.

Оказывается, что вместо трех этих условий достаточно проверить только одно.

Признак подгруппы

Непустое подмножество H в группе G будет подгруппой этой группы тогда и только тогда, когда:

.                                                          (5)

Доказательство.

Условие  (4) очевидно следует из 1 -3. Проверим обратное утверждение. Взяв в  (5) y=x, получим: , то есть выполнено второе условие. Теперь возьмем , тогда получим: и таким образом условие 3. также выполнено. Наконец, взяв в условии (5) , получим  , то есть условие 1.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24740. Линейные списки – стеки, очереди, деки. Набор процедур для работы со связанным стеком, очередью 1.08 MB
  Способы обхода бинарного дерева. Древовидная структура это конечное множество содержащее один или более узлов n такое что: 1 имеется один специально обозначенный узел называемый корнем данного дерева. Линия связи между парой узлов дерева называется обычно ветвью. Те узлы которые не ссылаются ни на какие другие узлы дерева называются листьями или терминальными вершинами рис.
24741. English Speaking Countries 17.49 KB
  The Commonwealth of Australia territories are the continent of Australia the island of Tasmania and number of smaller islands. Australia has an area of nearly eight million square kilometres. The population of Australia is over sixteen million people.
24742. Outstanding people of Russia Federation 16.41 KB
  The names of Russian scientists and writers poets composers and painters are worldfamous Pushkin Lermontov Chehov Levitan. It is almost impossible to name a branch of science in the development of which the Russian scientists haven't played the greatest role. Works of our Russian writes and poets are translated into many languages.
24743. Службы разрешения имен DNS и WINS 15.76 KB
  Для решения этой проблемы Windows XP и Windows Server 2003 обеспечивают возможность сопоставления разрешения IPадреса с именем компьютера. В состав Windows XP и Windows Server 2003 входят также две службы обеспечивающие централизованное хранение информации о соответствии имен компьютеров IPадресам и обслуживание запросов на поиск такого соответствия: служба WINS Windows Internet Name Service обеспечивающая управление именами NetBIOS. Эта служба включена для поддержки клиентских компьютеров управляемых версиями Windows 9x Me NT; ...
24744. Сетевая технология 23.5 KB
  Принципиально эти решения можно разделить на три группы: передача разных типов трафика по отдельным физическим линиям создание двух независимых сетевых инфраструктур; передача различных типов трафика по одной линии; преобразование одного вида трафика в другой с последующей транспортировкой и коммутацией.
24745. Физическая структуризация сетей. Примеры 26.36 KB
  Примеры Для построения простейшей односегментной сети достаточно иметь сетевые адаптеры и кабель подходящего типа. Повторитель улучшает электрические характеристики сигналов и их синхронность и за счет этого появляется возможность увеличивать общую длину кабеля между самыми удаленными в сети станциями. Логический сегмент построенный с использованием концентраторов Появление устройств централизующих соединения между отдельными сетевыми устройствами потенциально позволяет улучшить управляемость сети и ее эксплуатационные характеристики...
24746. Логическая структуризация сети 26 KB
  Логическая структуризация сети Несмотря на появление новых дополнительных возможностей основной функцией концентраторов остается передача пакетов по общей разделяемой среде. Коллективное использование многими компьютерами общей кабельной системы в режиме разделения времени приводит к существенному снижению производительности сети при интенсивном трафике. Общая среда перестает справляться с потоком передаваемых кадров и в сети возникает очередь компьютеров ожидающих доступа. Это явление характерно для всех технологий использующих разделяемые...
24747. Функции маршрутизатора в сети 26.5 KB
  Функции маршрутизатора в сети Маршрутиза́тор сетевое устройство пересылающее пакеты данных между различными сегментами сети и принимающее решения на основании информации о топологии сети и определённых правил заданных администратором. Нередко маршрутизатор используется для обеспечения доступа из локальной сети в глобальную сеть Интернет осуществляя функции трансляции адресов и межсетевого экрана.
24748. Функции шлюза в сети 23.5 KB
  Функции шлюза в сети Сетевой шлюз аппаратный маршрутизатор или программное обеспечение для сопряжения компьютерных сетей использующих разные протоколы например локальной и глобальной. Сетевой шлюз может быть специальным аппаратным роутером или программным обеспечением установленным на обычный сервер или персональный компьютер.