67572

Понятие бинарной алгебраической операции

Лекция

Математика и математический анализ

Примерами таких операций могут служить обычные операции сложения вычитания или умножения на множестве всех действительных или комплексных чисел операция умножения на множестве всех квадратных матриц данного порядка операция композиции на множестве всех перестановок из N элементов операция векторного...

Русский

2014-09-12

161 KB

5 чел.

Лекции по общей алгебре

Лекция 1

Понятие бинарной алгебраической операции

Говорят, что на множестве S определена (бинарная) алгебраическая операция  (АО) « *», если для всяких двух его элементов x и y однозначно определен элемент z=x*y называемый композицией или произведением элементов x и y.

Примерами таких операций могут служить обычные операции сложения, вычитания или умножения на множестве всех действительных (или комплексных ) чисел, операция умножения на множестве всех квадратных матриц данного порядка ,операция композиции на множестве всех перестановок из N элементов, операция векторного перемножения на множестве всех векторов трехмерного пространства.

Само по себе понятие АО является слишком общим, чтобы допускать сколько ни будь глубокое изучение. В алгебраических теориях обычно рассматривают операции, обладающие рядом дополнительных свойств. Перечислим некоторые из них.

Свойство ассоциативности  

                                                                                                        (1)

Во всех перечисленных выше примерах АО это свойство выполняется, за исключением операции вычитания и операции векторного произведения.

Из  свойства (1) вытекает, что произведение любого числа сомножителей однозначно определено, так как не зависит от того, как в этом произведении расставлены скобки, например

Разумеется, при этом нельзя нарушать порядок сомножителей.

Наличие свойства ассоциативности позволяет определить степень любого элемента с натуральным показателем. А именно:

                 (n сомножителей).

При этом выполняются обычные правила действий со степенями:

 ,    

Свойство коммутативности

                                                                                    (2)

Это свойство выполняется для сложения и умножения чисел, но нарушается для умножения матриц и композиции перестановок.

Разумеется, из (2) вытекает, что в случае ассоциативной и коммутативной АО мы имеем право переставлять любым способом сомножители в произведении любого их числа.

Кроме того,  в этом случае

Наличие нейтрального элемента

                                                                                (3)

Элемент n в этом случае называется нейтральным для АО (*).

Для операции сложения чисел нейтральным является число ноль, для операции умножения - число единица.  Для умножения матриц нейтральным элементом будет единичная матрица, для композиции перестановок - тождественная перестановка. В случае векторного перемножения векторов нейтральный элемент отсутствует.

Отметим, что в (3) квантор существования предшествует квантору всеобщности, то есть элемент n не зависит от выбора x.

В случае существования единственного нейтрального элемента и ассоциативности операции  можно определить степень с нулевым показателем:

   для всякого элемента x. Упомянутые выше свойства степеней при этом сохраняются.

Наличие обратного элемента

Это понятие имеет смысл в случае наличия нейтрального элемента для операции (*).

Элемент   называется обратным для элемента x, если

                                                                                          (4)

Для сложения чисел обратный элемент существует для любого числа и равен противоположному числу. Для умножения обратный элемент так и называется и существует у любого числа, кроме 0. В случае умножения матриц обратный элемент равен обратной матрице и существует в  том случае, если эта матрица невырождена, то есть ее определитель не равен нулю.

Элементы для которых существует обратный называются обратимыми. Из условия (4) сразу вытекает, что элемент    всегда обратим и обратным для него будет исходный элемент  x. Кроме того в случае ассоциативной операции произведение двух обратимых элементов снова будет обратимым элементом и при этом    . В самом деле:   и аналогично

Если элемент  определен однозначно, можно определить степени x с отрицательным целым показателем, а именно:

  , где m=1,2,... . При этом сохраняются обычные правила действий со степенями.

Замечание

В конкретных алгебраических системах алгебраическая операция чаще всего обозначается либо знаком (+) и называется сложением , либо знаком (.) и называется умножением. В первом случае говорят об аддитивном, а во втором о мультипликативном способе записи операции. Операция записанная аддитивно как правило считается коммутативной. В этом случае вместо термина «обратный» используется термин «противоположный элемент», который, естественно, обозначается (-x), а вместо степени элемента говорят о его кратных (nx).

Понятие группы

Определение

Множество G на котором определена бинарная операция (*) называется группой (G,*), если выполняются условия:

Операция (*) ассоциативна.

Для операции существует нейтральный элемент.

Все элементы G обратимы.

Примеры групп

R - группа действительных чисел с операцией сложения. ( аддитивная группа действительных чисел)

C - аддитивная группа комплексных чисел.

- группа ненулевых действительных чисел с операцией умножения ( мультипликативная группа действительных чисел)

- мультипликативная группа комплексных чисел.

- группа невырожденных матриц порядка n с действительными элементами. (Аналогично, )

- группа перестановок множества 1,2, ..., n.

Во всех этих примерах наличие свойств 1- 3 не вызывает сомнений.

Прежде чем приводить другие примеры групп укажем некоторые простейшие свойства этих алгебраических систем. Во всех последующих формулировках считается, что x, y, z, ... - элементы некоторой группы G.

Закон сокращения

(левое сокращение)

(правое сокращение)

Докажем, например, первый закон. Используем существование обратного элемента и свойство ассоциативности операции.

y=z.

Единственность нейтрального элемента

В любой группе нейтральный элемент определен однозначно. В самом деле, если  и  оба являются нейтральными, то по определению

  и в то же время , откуда . Единственный нейтральный элемент группы G будет в дальнейшем обозначаться  или просто e.

Единственность обратного элемента

Для каждого элемента x обратный элемент  определен однозначно. В самом деле, если элементы y и z являются обратными для x, то y*x=e и z*x=e, откуда y*x=z*x и по закону сокращения y=z.

Признак нейтрального элемента 

Действительно, поскольку , имеем  , откуда по закону сокращения получаем .

Разрешимость любого уравнения первой степени (существование обратной операции)

. Элемент z  определен однозначно. (Его  можно назвать «частным» от деления y на x).

Имеем:  и значит можно взять . Однозначность следует из закона сокращения: .

Понятие подгруппы

Определение

Группа  называется подгруппой группы , если, во первых

(как подмножество)  и,  во-вторых,

(то есть закон умножения на подмножестве H такой же как и во всем множестве G.)

Тот факт, что   является подгруппой в  обозначается с помощью символа включения:  или просто .

Примеры подгрупп.

Целые числа с операцией сложения (Z) образуют подгруппу в группе R, которая, в свою очередь является подгруппой группы C.

Четные перестановки образуют подгруппу   в группе  всех перестановок.

Матрицы с определителем 1 образуют подгруппу  в группе  всех невырожденных матриц.

Чтобы проверить, будет ли данное подмножество H в G подгруппой надо, очевидно, проверить следующие условия :

.

Оказывается, что вместо трех этих условий достаточно проверить только одно.

Признак подгруппы

Непустое подмножество H в группе G будет подгруппой этой группы тогда и только тогда, когда:

.                                                          (5)

Доказательство.

Условие  (4) очевидно следует из 1 -3. Проверим обратное утверждение. Взяв в  (5) y=x, получим: , то есть выполнено второе условие. Теперь возьмем , тогда получим: и таким образом условие 3. также выполнено. Наконец, взяв в условии (5) , получим  , то есть условие 1.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

19533. Преобразование Фурье и обобщенные функции 641.26 KB
  2 Лекция 2. Преобразование Фурье и обобщенные функции Вспомогательные утверждения Лемма. Справедлива формула 1 Доказательство. Хотя формула 1 хорошо известна мы приведем ее доказательство поскольку она является основой многих дальнейших выкл...
19534. Восстановление дискретного сигнала 146.5 KB
  Лекция 3 Восстановление дискретного сигнала Наша цель найти необходимые условия при которых сигнал может быть восстановлен по дискретной выборке Прежде всего отметим часто часто используемый факт: Преобразование Фурье от последовательности Пусть имеется сиг...
19535. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) 487.85 KB
  2 Лекция 4. Дискретное преобразование Фурье ДПФ В данной лекции установим свойства дискретного преобразования Фурье аналогичные свойствам непрерывного преобразования. Как обычно преобразования типа почленного интегрирования ряда перестановки порядка с
19536. Цифровые фильтры. Основные понятия 489.7 KB
  2 Лекция 5. Цифровые фильтры. Основные понятия Цифровые фильтры являются частным случаем линейных инвариантных систем. Существенное ограничение связано с физической реализуемостью системы. Определение. Система называется физически реализуемой если сигн...
19537. Z-преобразование. Фильтры первого порядка 192.23 KB
  2 Лекция 6. Zпреобразование. Фильтры первого порядка Zпреобразование Иногда вместо преобразования Фурье используют Zпреобразование. Оно определяется формулой 1 В формуле 1 ряд является формальным если же он сходится то определяет аналитическую ф...
19538. Фильтры второго и высших порядков 452.79 KB
  1 Лекция 7. Фильтры второго и высших порядков Определение фильтра второго порядка Примером фильтра вторго порядка является фильтр . Рассматриваем только вещественный случай. Переходя к Z преобразованию получим: . Найдя корни многочлена в знаменателе пере
19539. Фильтры Баттеруорта 297.97 KB
  2 Лекция 8. Фильтры Баттеруорта Отыскание параметров фильтра В левой и правой частях в знаменателе находятся многочлены от переменной z. Найдем корни этих многочленов. Множество корней по построению инвариантно относительно замены . Для устойчивости фильтр...
19540. Осциллятор. FIR фильтры 500 KB
  3 Лекция 9. Осциллятор. FIR фильтры Полосовой фильтр на основе фильтра низких частот В предыдущей лекции было показано каким образом можно построить различные фильтры. Оказывается любой из таких фильтров можно получить на основе фильтра низких частот с помо...
19541. Квадратурный зеркальный фильтр 372.27 KB
  2 Лекция 10. Квадратурный зеркальный фильтр Проектирование FIR фильтра на основе аппроксимации Рассмотрим симметрический фильтр с передаточной функцией. 1 Пусть задана вещественная передаточная функция. Положим. В результате замены имеем взаимно од