67574

Изоморфизмы и гомоморфизмы

Лекция

Математика и математический анализ

Напомним, что отображение называется инъективным, если оно переводит различные элементы из X в различные элементы Y и сюръективным, если его образ совпадает со всем Y. Например, естественный гомоморфизм группы на подгруппу сюръективен. Из определения сразу следует, что гомоморфизм...

Русский

2014-09-12

290 KB

4 чел.

Лекция 3

Изоморфизмы и гомоморфизмы

Определение

Пусть  и  две группы и  некоторое отображение.  называется изоморфизмом, а группы  и  - изоморфными (однотипными), если

1.  - взаимно однозначно и

2. .

Изоморфизм групп  и  обозначается символом .

Если выполнено только условие 2. , то отображение  называется гомоморфизмом (подобием).

Примеры

1. Пусть группы  и  заданы таблицами умножения:

          

и

      

Отображение  является изоморфизмом. ( При всяком изоморфизме просто меняются обозначения элементов. “Внутренняя структура” группы остается неизменной).

2. Пусть =Z (группа целых чисел с операцией сложения),  - группа из предыдущего примера. Положим: (2n)=p; (2n+1)=q.

Тогда  - гомоморфизм.

3. Пусть H - нормальная подгруппа в G и G/H соответствующая факторгруппа. Напомним, что ее элементами являются всевозможные смежные классы x*H, где  . Определим отображение  формулой: (x)=x*H.  Поскольку смежные классы перемножаются по формуле (x*H)*(y*H)= (x*y)*H, отображение  является гомоморфизмом. Оно называется естественным гомоморфизмом группы на факторгруппу.

Простейшие свойства гомоморфизмов групп.

Пусть  - гомоморфизм. Тогда:

.

Если  -подгруппа, то  -подгруппа в .

Если  - (нормальная) подгруппа, то  - (нормальная) подгруппа в .

Доказательство

Пусть - любой элемент. Тогда  и по признаку нейтрального элемента .

Имеем: . По признаку обратного элемента получаем: .

Применим признак подгруппы:  

Пусть  - подгруппа. - элементы из , то есть  и  входят в К. Тогда  и потому. Значит,  - подгруппа . Пусть теперь К - нормальная подгруппа и  - любой элемент. Тогда  и значит. Аналогично, .  Поскольку , то и , то есть подгруппа  нормальна в .

Замечание

Образ нормальной подгруппы не всегда  нормален.

Из доказанной теоремы следует  в частности, что для всякого гомоморфизма    подгруппа в . Она называется образом гомоморфизма  и обозначается Im . Точно также,  - подгруппа в , причем нормальная, поскольку тривиальная подгруппа {e} нормальна в любой группе. Она называется ядром гомоморфизма  и обозначается Ker .

Инъективные и сюръективные гомоморфизмы.

Напомним, что отображение называется инъективным, если оно переводит различные элементы из X в различные элементы Y и сюръективным, если его образ совпадает со всем Y. Например, естественный гомоморфизм группы на подгруппу сюръективен. Из определения сразу следует, что гомоморфизм   cюръективен тогда и только тогда, когда Im .

Критерий инъективности гомоморфизма групп

Гомоморфизм групп  инъективен тогда и только тогда, когда Ker  ={}.

Доказательство

Поскольку ,  и значит, если  инъективно в ядре не может быть других элементов и таким образом Ker  ={e}. Обратно, пусть ядро  состоит только из нейтрального элемента и x и y - два таких элемента , что . Тогда   и значит   и потому равно  . Отсюда получаем x=y и  инъективно.

Следствие

Если Ker = {e}, то  изоморфно отображает  на подгруппу Im .

Теорема Кэли

Всякая конечная группа порядка n изоморфна подгруппе группы перестановок из n элементов.

Доказательство

Пусть G={}- группа порядка n. Составим для нее таблицу Кэли.  В i-ой строке этой таблицы выписаны элементы , которые только порядком следования отличаются от первоначального набора элементов группы. Обозначим полученную перестановку . Определим отображение  по формуле . Как нам известно, произведению элементов группы G отвечает композиция перестановок, то есть  -гомоморфизм.  Если, то, в частности,  и значит. Таким образом, Ker тривиально и определяет изоморфизм между G и подгруппой Im  в .

Теорема о гомоморфизме для групп 

Пусть  сюръективный гомоморфизм. Тогда факторгруппа  изоморфна . Если эти изоморфные группы отождествить, то  превращается в естественный гомоморфизм .

Доказательство

Обозначим H=ker . Следующим образом определим отображение

. Пусть С произвольный элемент  то есть некоторый смежный класс группы  по ее подгруппе H. Возьмем любой .  Тогда   не зависит от выбора элемента x. В самом деле, если  любой другой элемент, то y=x*h, где  и значит, . Положим: . Используя правило перемножения смежных классов, получаем: Ф((x*H)*(y*H)) =Ф((x*y)*H)=  = Ф(x*H)Ф(y*H), то есть построенное отображение - гомоморфизм. Если  любой элемент, то поскольку  сюръективно, найдется такой  , что . Но тогда Ф(x*H)=. Значит Ф - сюръективно. Если Ф(x*H)= , то ф(x)= ,  и потому x*H=H= . Это доказывает, что Ker Ф=е и значит Ф - инъективно и, следовательно, является изоморфизмом. Поскольку(x)= Ф(x*H), мы видим, что если считать изоморфизм Ф тождественным отображением ( то есть отождествить и G/H), отображение  совпадет с естественным гомоморфизмом, переводящим x в x*H.

Следствие

Всякий гомоморфизм   определяет изоморфизм между факторгруппой  и подгруппой Im .

Примеры

Пусть ={1, -1} с операцией умножения. Определим гомоморфизм ), сопоставляя каждой четной перестановке число 1, а нечетной - число (-1). Тогда Ker  - подгруппа четных перестановок. Очевидно, что при n>1  сюръективно. По теореме о гомоморфизме  -нормальная подгруппа в  и .  

Отображение (А)=det(A) является сюръективным гомоморфизмом группы GL(n,R) всех невырожденных матриц порядка n  в группу  не равных нулю чисел с операцией умножения. При этом Ker = SL(n,R) -подгруппа матриц с определителем 1. Значит  эта подгруппа нормальна и GL(n,R) /SL(n,R) .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80035. Океанология. Физические явления и процессы в океане 14.3 MB
  Показан исторический опыт и современный уровень представлений о районировании и классификации подразделений Мирового океана. Приводятся основные сведения о физических явлениях и процессах в океане: рассматриваются вопросы перемешивания и устойчивости вод термики оптики акустики океана...
80036. Океанология. Динамические явления и процессы в океане 5.52 MB
  Свободная поверхность Мирового океана, не возмущенная динамическими факторами (приливы, течения и др.), определяет фигуру, называемую геоидом. Но наблюдения над уровнем моря в любой точке Мирового океана показывают, что его действительная поверхность не остается в покое, а находится в непрерывном...
80037. Навчальний проект з виявлення, дослідження та впорядкування джерел рідного краю «До чистих джерел» 69.5 KB
  «Не можна двічі увійти в одну і ту ж річку», — сказав знаменитий грецький філософ дві тисячі років тому. У наш час ми розуміємо глибокий зміст цього висловлювання не тільки як метафори, розуміємо буквально — води, що нас оточують, дійсно змінюються прямо на очах, у результаті антропогенного впливу.
80038. Формування інформаційної компетентності особистості в шкільній бібліотеці 72 KB
  Сьогодні шкільна бібліотека володіє значними можливостями щодо вдосконалення освітнього процесу. Нові навчальні програми, нові концепції, різноманітність навчальних курсів, зростаючий інтелектуальний рівень читачів висувають нові вимоги до якості інформаційного забезпечення навчально–виховного процесу.
80039. Школа Успіху, або формуємо компетентності 68.5 KB
  Завдання проекту Виявлення ключових проблем які гальмують підвищення якості освіти та надання рекомендацій щодо розвязання основних проблем змісту освіти. Створення системи моніторингу формування ключових компетентностей на всіх ступенях освіти дітей.
80040. Довкілля – казка чарівна! 55 KB
  Мета: вчити оцінювати негативне і бездумне ставлення до природи; формувати інтерес до навколишнього середовища; поглиблювати знання про довкілля рідного краю; розвивати комунікативні, творчі здібності, вміння робити висновки, відстоювати свою, думку, презентувати свої дослідження...
80041. Край, у якому ти живеш. Україна – наша Батьківщина 417.5 KB
  Мета: збагачувати знання учнів про Україну, а також активний словниковий запас учнів; пробудити інтерес до вивчання рідного краю; розширити знання народні, історичні та культурні символи українського народу; сприяти формування національної свідомості, осмисленню себе як частини...
80042. Н.В.Гоголь и Т.Г.Шевченко: две судьбы, две личности, два пути великих сыновей украинского народа 134.5 KB
  В своих исследованиях, представленных на конференции по заявленной теме, учащиеся проследили, как среда и время определили разницу в судьбах и литературных путях двух великих украинцев Н.Гоголя и Т.Шевченко. Прилагается электронная презентация темы в формате Pover Point.
80043. Декоративна таця 473 KB
  Необхідність таці люди зрозуміли дуже давно, саме тому її почали використовувати як столове приладдя вже в стародавні часи. Перші таці були зроблені не з каменя, як можна було припустити, а з обпаленої глини, оскільки їм не була потрібна міцність. Представляла вона собою напівкулю.