67574

Изоморфизмы и гомоморфизмы

Лекция

Математика и математический анализ

Напомним, что отображение называется инъективным, если оно переводит различные элементы из X в различные элементы Y и сюръективным, если его образ совпадает со всем Y. Например, естественный гомоморфизм группы на подгруппу сюръективен. Из определения сразу следует, что гомоморфизм...

Русский

2014-09-12

290 KB

4 чел.

Лекция 3

Изоморфизмы и гомоморфизмы

Определение

Пусть  и  две группы и  некоторое отображение.  называется изоморфизмом, а группы  и  - изоморфными (однотипными), если

1.  - взаимно однозначно и

2. .

Изоморфизм групп  и  обозначается символом .

Если выполнено только условие 2. , то отображение  называется гомоморфизмом (подобием).

Примеры

1. Пусть группы  и  заданы таблицами умножения:

          

и

      

Отображение  является изоморфизмом. ( При всяком изоморфизме просто меняются обозначения элементов. “Внутренняя структура” группы остается неизменной).

2. Пусть =Z (группа целых чисел с операцией сложения),  - группа из предыдущего примера. Положим: (2n)=p; (2n+1)=q.

Тогда  - гомоморфизм.

3. Пусть H - нормальная подгруппа в G и G/H соответствующая факторгруппа. Напомним, что ее элементами являются всевозможные смежные классы x*H, где  . Определим отображение  формулой: (x)=x*H.  Поскольку смежные классы перемножаются по формуле (x*H)*(y*H)= (x*y)*H, отображение  является гомоморфизмом. Оно называется естественным гомоморфизмом группы на факторгруппу.

Простейшие свойства гомоморфизмов групп.

Пусть  - гомоморфизм. Тогда:

.

Если  -подгруппа, то  -подгруппа в .

Если  - (нормальная) подгруппа, то  - (нормальная) подгруппа в .

Доказательство

Пусть - любой элемент. Тогда  и по признаку нейтрального элемента .

Имеем: . По признаку обратного элемента получаем: .

Применим признак подгруппы:  

Пусть  - подгруппа. - элементы из , то есть  и  входят в К. Тогда  и потому. Значит,  - подгруппа . Пусть теперь К - нормальная подгруппа и  - любой элемент. Тогда  и значит. Аналогично, .  Поскольку , то и , то есть подгруппа  нормальна в .

Замечание

Образ нормальной подгруппы не всегда  нормален.

Из доказанной теоремы следует  в частности, что для всякого гомоморфизма    подгруппа в . Она называется образом гомоморфизма  и обозначается Im . Точно также,  - подгруппа в , причем нормальная, поскольку тривиальная подгруппа {e} нормальна в любой группе. Она называется ядром гомоморфизма  и обозначается Ker .

Инъективные и сюръективные гомоморфизмы.

Напомним, что отображение называется инъективным, если оно переводит различные элементы из X в различные элементы Y и сюръективным, если его образ совпадает со всем Y. Например, естественный гомоморфизм группы на подгруппу сюръективен. Из определения сразу следует, что гомоморфизм   cюръективен тогда и только тогда, когда Im .

Критерий инъективности гомоморфизма групп

Гомоморфизм групп  инъективен тогда и только тогда, когда Ker  ={}.

Доказательство

Поскольку ,  и значит, если  инъективно в ядре не может быть других элементов и таким образом Ker  ={e}. Обратно, пусть ядро  состоит только из нейтрального элемента и x и y - два таких элемента , что . Тогда   и значит   и потому равно  . Отсюда получаем x=y и  инъективно.

Следствие

Если Ker = {e}, то  изоморфно отображает  на подгруппу Im .

Теорема Кэли

Всякая конечная группа порядка n изоморфна подгруппе группы перестановок из n элементов.

Доказательство

Пусть G={}- группа порядка n. Составим для нее таблицу Кэли.  В i-ой строке этой таблицы выписаны элементы , которые только порядком следования отличаются от первоначального набора элементов группы. Обозначим полученную перестановку . Определим отображение  по формуле . Как нам известно, произведению элементов группы G отвечает композиция перестановок, то есть  -гомоморфизм.  Если, то, в частности,  и значит. Таким образом, Ker тривиально и определяет изоморфизм между G и подгруппой Im  в .

Теорема о гомоморфизме для групп 

Пусть  сюръективный гомоморфизм. Тогда факторгруппа  изоморфна . Если эти изоморфные группы отождествить, то  превращается в естественный гомоморфизм .

Доказательство

Обозначим H=ker . Следующим образом определим отображение

. Пусть С произвольный элемент  то есть некоторый смежный класс группы  по ее подгруппе H. Возьмем любой .  Тогда   не зависит от выбора элемента x. В самом деле, если  любой другой элемент, то y=x*h, где  и значит, . Положим: . Используя правило перемножения смежных классов, получаем: Ф((x*H)*(y*H)) =Ф((x*y)*H)=  = Ф(x*H)Ф(y*H), то есть построенное отображение - гомоморфизм. Если  любой элемент, то поскольку  сюръективно, найдется такой  , что . Но тогда Ф(x*H)=. Значит Ф - сюръективно. Если Ф(x*H)= , то ф(x)= ,  и потому x*H=H= . Это доказывает, что Ker Ф=е и значит Ф - инъективно и, следовательно, является изоморфизмом. Поскольку(x)= Ф(x*H), мы видим, что если считать изоморфизм Ф тождественным отображением ( то есть отождествить и G/H), отображение  совпадет с естественным гомоморфизмом, переводящим x в x*H.

Следствие

Всякий гомоморфизм   определяет изоморфизм между факторгруппой  и подгруппой Im .

Примеры

Пусть ={1, -1} с операцией умножения. Определим гомоморфизм ), сопоставляя каждой четной перестановке число 1, а нечетной - число (-1). Тогда Ker  - подгруппа четных перестановок. Очевидно, что при n>1  сюръективно. По теореме о гомоморфизме  -нормальная подгруппа в  и .  

Отображение (А)=det(A) является сюръективным гомоморфизмом группы GL(n,R) всех невырожденных матриц порядка n  в группу  не равных нулю чисел с операцией умножения. При этом Ker = SL(n,R) -подгруппа матриц с определителем 1. Значит  эта подгруппа нормальна и GL(n,R) /SL(n,R) .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

45454. Комплексные программные средства разработки приложений РВ. Инструменты разработки систем автоматизации. IPC@Chip. Организация приложений на базе промышленного Ethernet 109 KB
  На текущий момент существует 3 различные системы обеспечивающие интеграцию АСУП и АСУТП. WizFctory Fctory Suile TFctory Данные системы объединяют уровень производственной информации т. Система позволяет строить диаграммы линейной логики и диаграммы функционирования системы. Гибкость и универсальность подхода создания любой системы автоматизации любой сложности 2.
45455. Устойчивость систем управления 57.5 KB
  В соответствии с классическим методом решение дифференциального уравнения ищется в виде: yt = yвынt yсвt. Здесь yсвt общее решение однородного дифференциального уравнения то есть уравнения с нулевой правой частью: oyn 1yn1 . Поэтому решение данного уравнения называется свободной составляющей общего решения. yвынt частное решение неоднородного дифференциального уравнения под которым понимается уравнение с ненулевой правой частью.
45456. Математические модели объектов управления в системах управления 1.07 MB
  Применять интегральный закон регулирования нельзя так как это приводит к повышению порядка астатизма системы второй порядок ибо сам объект является интегрирующим звеном. Системы с астатизмом второго порядка построить можно но требуется сложное корректирующее звено обладающее дифференцирующими свойствами. Часто системы с регуляторами рассматриваются как системы с встречнопараллельными корректирующими цепями. не учитывать некоторые особенности характеристик исследуемых элементов а также не учитывать отдельные связи если они не...
45457. Системы управления и регулирования. Использование структурных схем. Законы управления. Принципы управления, качество 83 KB
  И интегральный регулятор : Преимуществом данного регулятора является лучшая по сравнению с Прегулятором точность установки режима а недостатками худшие по сравнению с Прегулятором показатели качества а именно большая колебательность и меньшее быстродействие. ПИ регулятор : Объединяет два регулятора П и И следовательно обладает наилучшими свойствами по сравнению с вышеописанными регуляторами а именно за счет Псоставляющей улучшается показательные качества в переходном процессе а за счет Исоставляющей уменьшается...
45458. Системы управления при случайных воздействиях. Преобразование стационарного случайного сигнала стационарной линейной динамической системой 265.5 KB
  Системы управления при случайных воздействиях. Если задающее воздействие gt является случайным процессом то выходная координата системы yt и ошибка воспроизведения xt = gt yt представляют собой также случайные процессы. Следовательно при случайных воздействиях речь может идти об определении не мгновенных а лишь некоторых средних значений выходной переменной системы и ошибки. Такими средними значениями являются среднее значение квадрата выходной переменной системы 9.
45459. Основные задачи анализа систем с минимальной средней квадратичной ошибкой: задача фильтрации, задача экстраполяции, задача дифференцирования и др 265.5 KB
  Если задающее воздействие gt является случайным процессом то выходная координата системы yt и ошибка воспроизведения xt = gt yt представляют собой также случайные процессы. Следовательно при случайных воздействиях речь может идти об определении не мгновенных а лишь некоторых средних значений выходной переменной системы и ошибки. Такими средними значениями являются среднее значение квадрата выходной переменной системы 9.23 Следовательно для исследования статистической точности автоматических систем необходимо вычисление...
45460. Двойственность в ЛП, построение моделей двойственных задач 139 KB
  Любой задаче ЛП можно поставить в соответствие другую задачу сопряженная или двойственная то есть задачи существуют парами. Коэффициенты критерия двойственной задачи образуются из компонентов вектора ограничений прямой задачи. Компоненты вектора ограничений двойственной задачи образуются из коэффициентов линейной формы критерия прямой задачи. Матрица условий двойственной задачи образуется транспонированием матрицы условий прямой задачи.
45461. Структура файловой системы. Механизм доступа к файлам 344 KB
  Механизм доступа к файлам. Поэтому принято хранить данные на внешних носителях обычно это диски в единицах называемых файлами. Историческим шагом явился переход к использованию централизованных систем управления файлами. Система управления файлами берет на себя распределение внешней памяти отображение имен файлов в адреса внешней памяти и обеспечение доступа к данным.
45462. Математические методы проведения экспертизы при оценке решений 120.5 KB
  Из определений и высказываний об искусственном интеллекте можно вывести три основных заключения: а термин искусственный интеллект употребляется в двух различных смыслах: как обозначение определенного исследовательского направления и как название для систем на разработку которых это направление нацелено; б среди ученых существуют разногласия относительно возможностей как принципиальных так и реальных искусственного интеллекта как исследовательского направления; в для...