67574

Изоморфизмы и гомоморфизмы

Лекция

Математика и математический анализ

Напомним, что отображение называется инъективным, если оно переводит различные элементы из X в различные элементы Y и сюръективным, если его образ совпадает со всем Y. Например, естественный гомоморфизм группы на подгруппу сюръективен. Из определения сразу следует, что гомоморфизм...

Русский

2014-09-12

290 KB

1 чел.

Лекция 3

Изоморфизмы и гомоморфизмы

Определение

Пусть  и  две группы и  некоторое отображение.  называется изоморфизмом, а группы  и  - изоморфными (однотипными), если

1.  - взаимно однозначно и

2. .

Изоморфизм групп  и  обозначается символом .

Если выполнено только условие 2. , то отображение  называется гомоморфизмом (подобием).

Примеры

1. Пусть группы  и  заданы таблицами умножения:

          

и

      

Отображение  является изоморфизмом. ( При всяком изоморфизме просто меняются обозначения элементов. “Внутренняя структура” группы остается неизменной).

2. Пусть =Z (группа целых чисел с операцией сложения),  - группа из предыдущего примера. Положим: (2n)=p; (2n+1)=q.

Тогда  - гомоморфизм.

3. Пусть H - нормальная подгруппа в G и G/H соответствующая факторгруппа. Напомним, что ее элементами являются всевозможные смежные классы x*H, где  . Определим отображение  формулой: (x)=x*H.  Поскольку смежные классы перемножаются по формуле (x*H)*(y*H)= (x*y)*H, отображение  является гомоморфизмом. Оно называется естественным гомоморфизмом группы на факторгруппу.

Простейшие свойства гомоморфизмов групп.

Пусть  - гомоморфизм. Тогда:

.

Если  -подгруппа, то  -подгруппа в .

Если  - (нормальная) подгруппа, то  - (нормальная) подгруппа в .

Доказательство

Пусть - любой элемент. Тогда  и по признаку нейтрального элемента .

Имеем: . По признаку обратного элемента получаем: .

Применим признак подгруппы:  

Пусть  - подгруппа. - элементы из , то есть  и  входят в К. Тогда  и потому. Значит,  - подгруппа . Пусть теперь К - нормальная подгруппа и  - любой элемент. Тогда  и значит. Аналогично, .  Поскольку , то и , то есть подгруппа  нормальна в .

Замечание

Образ нормальной подгруппы не всегда  нормален.

Из доказанной теоремы следует  в частности, что для всякого гомоморфизма    подгруппа в . Она называется образом гомоморфизма  и обозначается Im . Точно также,  - подгруппа в , причем нормальная, поскольку тривиальная подгруппа {e} нормальна в любой группе. Она называется ядром гомоморфизма  и обозначается Ker .

Инъективные и сюръективные гомоморфизмы.

Напомним, что отображение называется инъективным, если оно переводит различные элементы из X в различные элементы Y и сюръективным, если его образ совпадает со всем Y. Например, естественный гомоморфизм группы на подгруппу сюръективен. Из определения сразу следует, что гомоморфизм   cюръективен тогда и только тогда, когда Im .

Критерий инъективности гомоморфизма групп

Гомоморфизм групп  инъективен тогда и только тогда, когда Ker  ={}.

Доказательство

Поскольку ,  и значит, если  инъективно в ядре не может быть других элементов и таким образом Ker  ={e}. Обратно, пусть ядро  состоит только из нейтрального элемента и x и y - два таких элемента , что . Тогда   и значит   и потому равно  . Отсюда получаем x=y и  инъективно.

Следствие

Если Ker = {e}, то  изоморфно отображает  на подгруппу Im .

Теорема Кэли

Всякая конечная группа порядка n изоморфна подгруппе группы перестановок из n элементов.

Доказательство

Пусть G={}- группа порядка n. Составим для нее таблицу Кэли.  В i-ой строке этой таблицы выписаны элементы , которые только порядком следования отличаются от первоначального набора элементов группы. Обозначим полученную перестановку . Определим отображение  по формуле . Как нам известно, произведению элементов группы G отвечает композиция перестановок, то есть  -гомоморфизм.  Если, то, в частности,  и значит. Таким образом, Ker тривиально и определяет изоморфизм между G и подгруппой Im  в .

Теорема о гомоморфизме для групп 

Пусть  сюръективный гомоморфизм. Тогда факторгруппа  изоморфна . Если эти изоморфные группы отождествить, то  превращается в естественный гомоморфизм .

Доказательство

Обозначим H=ker . Следующим образом определим отображение

. Пусть С произвольный элемент  то есть некоторый смежный класс группы  по ее подгруппе H. Возьмем любой .  Тогда   не зависит от выбора элемента x. В самом деле, если  любой другой элемент, то y=x*h, где  и значит, . Положим: . Используя правило перемножения смежных классов, получаем: Ф((x*H)*(y*H)) =Ф((x*y)*H)=  = Ф(x*H)Ф(y*H), то есть построенное отображение - гомоморфизм. Если  любой элемент, то поскольку  сюръективно, найдется такой  , что . Но тогда Ф(x*H)=. Значит Ф - сюръективно. Если Ф(x*H)= , то ф(x)= ,  и потому x*H=H= . Это доказывает, что Ker Ф=е и значит Ф - инъективно и, следовательно, является изоморфизмом. Поскольку(x)= Ф(x*H), мы видим, что если считать изоморфизм Ф тождественным отображением ( то есть отождествить и G/H), отображение  совпадет с естественным гомоморфизмом, переводящим x в x*H.

Следствие

Всякий гомоморфизм   определяет изоморфизм между факторгруппой  и подгруппой Im .

Примеры

Пусть ={1, -1} с операцией умножения. Определим гомоморфизм ), сопоставляя каждой четной перестановке число 1, а нечетной - число (-1). Тогда Ker  - подгруппа четных перестановок. Очевидно, что при n>1  сюръективно. По теореме о гомоморфизме  -нормальная подгруппа в  и .  

Отображение (А)=det(A) является сюръективным гомоморфизмом группы GL(n,R) всех невырожденных матриц порядка n  в группу  не равных нулю чисел с операцией умножения. При этом Ker = SL(n,R) -подгруппа матриц с определителем 1. Значит  эта подгруппа нормальна и GL(n,R) /SL(n,R) .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

74126. Структура SCADA – систем 18.32 KB
  Специфика каждой конкретной системы управления определяется используемой на каждом уровне программно аппаратной платформой. Датчики поставляют информацию контроллерам которые могут выполнять следующие функции:с бор и обработка информации о параметрах технологического процесса; управление электроприводами и другими исполнительными механизмами; решение задач автоматического логического управления и др...
74129. Операционные системы реального времени 16.47 KB
  Система называется системой реального времени СРВ если правильность её функционирования зависит не только от логической корректности вычислений но и от времени за которое эти вычисления производятся. Говорят что система работает в реальном времени если ее быстродействие адекватно скорости протекания физических процессов на объектах контроля или управления. Здесь имеются в виду процессы непосредственно связанные с функциями выполняемыми конкретной системой реального времени.
74130. Классификация систем реального времени 16.9 KB
  Принято различать системы жёсткого и мягкого реального времени. Системой жёсткого реального времени называется система где неспособность обеспечить реакцию на какие-либо события в заданное время является отказом и ведёт к невозможности решения поставленной задачи. В качестве условной временной границы допустимого времени реакции обычно принимают 100 мкс.
74131. Функции ядра операционной системы реального времени 19.07 KB
  Ядра предоставляют пользователю такие базовые функции как планирование синхронизация задач межзадачная коммуникация управление памятью и т. В дополнение к сервисам ядра многие ОСРВ предлагают линейки дополнительных компонентов для организации таких высокоуровневых понятий как файловая система сетевое взаимодействие управление сетью управление базой данных графический пользовательский интерфейс и т. Многие но не все ядра ОСРВ поддерживают эту группу сервисов.
74132. Внутренняя архитектура операционных систем реального времени 47.63 KB
  Определяется как набор модулей взаимодействующих между собой внутри ядра системы и предоставляющих прикладному программному обеспечению входные интерфейсы для обращений к аппаратуре. Переход из пользовательского режима в режим ядра осуществляется через системные вызовы интерфейс ядра операционной системы. Альтернативой является построение операционной системы на основе микроядра рис. Тогда как функции операционной системы более высокого уровня выполняют специализированные компоненты серверы работающие в пользовательском режиме.
74133. АСКУЭ Энергия+ 17.54 KB
  Комплекс с целью привязки всех данных к точному астрономическому времени оснащён системой обеспечения единого времени. Программируемое управление АСКУЭ Энергия обеспечивается центром сбора и обработки данных ЦСОД в составе: специализированного вычислительного комплекса СВК системы обеспечения единого времени СЕВ; технических средств организации каналов связи выделенных и или коммутируемых. Основные характеристики Основные характеристики определяющие предельные возможности базового программного обеспечения БПО: Характеристика...
74134. Формы осуществления исполнительной власти 15.84 KB
  Различают следующие формы исполнительной власти: правовые связаны с изданием правовых актов которые влекут изменения или превращения административных правоотношений. Правовые формы осуществления исполнительной власти: правотворческая и правоприменительная деятельность. Правоприменительная деятельность органов и должностных лиц исполнительной власти разрешение вопросов управления на основе собственных правовых норм т.