67574

Изоморфизмы и гомоморфизмы

Лекция

Математика и математический анализ

Напомним, что отображение называется инъективным, если оно переводит различные элементы из X в различные элементы Y и сюръективным, если его образ совпадает со всем Y. Например, естественный гомоморфизм группы на подгруппу сюръективен. Из определения сразу следует, что гомоморфизм...

Русский

2014-09-12

290 KB

1 чел.

Лекция 3

Изоморфизмы и гомоморфизмы

Определение

Пусть  и  две группы и  некоторое отображение.  называется изоморфизмом, а группы  и  - изоморфными (однотипными), если

1.  - взаимно однозначно и

2. .

Изоморфизм групп  и  обозначается символом .

Если выполнено только условие 2. , то отображение  называется гомоморфизмом (подобием).

Примеры

1. Пусть группы  и  заданы таблицами умножения:

          

и

      

Отображение  является изоморфизмом. ( При всяком изоморфизме просто меняются обозначения элементов. “Внутренняя структура” группы остается неизменной).

2. Пусть =Z (группа целых чисел с операцией сложения),  - группа из предыдущего примера. Положим: (2n)=p; (2n+1)=q.

Тогда  - гомоморфизм.

3. Пусть H - нормальная подгруппа в G и G/H соответствующая факторгруппа. Напомним, что ее элементами являются всевозможные смежные классы x*H, где  . Определим отображение  формулой: (x)=x*H.  Поскольку смежные классы перемножаются по формуле (x*H)*(y*H)= (x*y)*H, отображение  является гомоморфизмом. Оно называется естественным гомоморфизмом группы на факторгруппу.

Простейшие свойства гомоморфизмов групп.

Пусть  - гомоморфизм. Тогда:

.

Если  -подгруппа, то  -подгруппа в .

Если  - (нормальная) подгруппа, то  - (нормальная) подгруппа в .

Доказательство

Пусть - любой элемент. Тогда  и по признаку нейтрального элемента .

Имеем: . По признаку обратного элемента получаем: .

Применим признак подгруппы:  

Пусть  - подгруппа. - элементы из , то есть  и  входят в К. Тогда  и потому. Значит,  - подгруппа . Пусть теперь К - нормальная подгруппа и  - любой элемент. Тогда  и значит. Аналогично, .  Поскольку , то и , то есть подгруппа  нормальна в .

Замечание

Образ нормальной подгруппы не всегда  нормален.

Из доказанной теоремы следует  в частности, что для всякого гомоморфизма    подгруппа в . Она называется образом гомоморфизма  и обозначается Im . Точно также,  - подгруппа в , причем нормальная, поскольку тривиальная подгруппа {e} нормальна в любой группе. Она называется ядром гомоморфизма  и обозначается Ker .

Инъективные и сюръективные гомоморфизмы.

Напомним, что отображение называется инъективным, если оно переводит различные элементы из X в различные элементы Y и сюръективным, если его образ совпадает со всем Y. Например, естественный гомоморфизм группы на подгруппу сюръективен. Из определения сразу следует, что гомоморфизм   cюръективен тогда и только тогда, когда Im .

Критерий инъективности гомоморфизма групп

Гомоморфизм групп  инъективен тогда и только тогда, когда Ker  ={}.

Доказательство

Поскольку ,  и значит, если  инъективно в ядре не может быть других элементов и таким образом Ker  ={e}. Обратно, пусть ядро  состоит только из нейтрального элемента и x и y - два таких элемента , что . Тогда   и значит   и потому равно  . Отсюда получаем x=y и  инъективно.

Следствие

Если Ker = {e}, то  изоморфно отображает  на подгруппу Im .

Теорема Кэли

Всякая конечная группа порядка n изоморфна подгруппе группы перестановок из n элементов.

Доказательство

Пусть G={}- группа порядка n. Составим для нее таблицу Кэли.  В i-ой строке этой таблицы выписаны элементы , которые только порядком следования отличаются от первоначального набора элементов группы. Обозначим полученную перестановку . Определим отображение  по формуле . Как нам известно, произведению элементов группы G отвечает композиция перестановок, то есть  -гомоморфизм.  Если, то, в частности,  и значит. Таким образом, Ker тривиально и определяет изоморфизм между G и подгруппой Im  в .

Теорема о гомоморфизме для групп 

Пусть  сюръективный гомоморфизм. Тогда факторгруппа  изоморфна . Если эти изоморфные группы отождествить, то  превращается в естественный гомоморфизм .

Доказательство

Обозначим H=ker . Следующим образом определим отображение

. Пусть С произвольный элемент  то есть некоторый смежный класс группы  по ее подгруппе H. Возьмем любой .  Тогда   не зависит от выбора элемента x. В самом деле, если  любой другой элемент, то y=x*h, где  и значит, . Положим: . Используя правило перемножения смежных классов, получаем: Ф((x*H)*(y*H)) =Ф((x*y)*H)=  = Ф(x*H)Ф(y*H), то есть построенное отображение - гомоморфизм. Если  любой элемент, то поскольку  сюръективно, найдется такой  , что . Но тогда Ф(x*H)=. Значит Ф - сюръективно. Если Ф(x*H)= , то ф(x)= ,  и потому x*H=H= . Это доказывает, что Ker Ф=е и значит Ф - инъективно и, следовательно, является изоморфизмом. Поскольку(x)= Ф(x*H), мы видим, что если считать изоморфизм Ф тождественным отображением ( то есть отождествить и G/H), отображение  совпадет с естественным гомоморфизмом, переводящим x в x*H.

Следствие

Всякий гомоморфизм   определяет изоморфизм между факторгруппой  и подгруппой Im .

Примеры

Пусть ={1, -1} с операцией умножения. Определим гомоморфизм ), сопоставляя каждой четной перестановке число 1, а нечетной - число (-1). Тогда Ker  - подгруппа четных перестановок. Очевидно, что при n>1  сюръективно. По теореме о гомоморфизме  -нормальная подгруппа в  и .  

Отображение (А)=det(A) является сюръективным гомоморфизмом группы GL(n,R) всех невырожденных матриц порядка n  в группу  не равных нулю чисел с операцией умножения. При этом Ker = SL(n,R) -подгруппа матриц с определителем 1. Значит  эта подгруппа нормальна и GL(n,R) /SL(n,R) .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

33391. СУ класса PCNC MSH-PС104. Назначение, состав, структура 31.5 KB
  Конструктивно состоит из двух блоков: управления и пультового. Пульт управления имеет цветной плоскопанельный с активной TFT матрицей дисплей 121 мембранную клавиатуру и Flsh память емкостью 32 64 128 Mb. УЧПУ обеспечивает следующие технологические функции: – токарная фрезерная версия ПО â€œMSHKCNCâ€; – G M T коды параметрическое программирование подпрограммы циклы; – графический интерактивный режим разработки УП; – графический модуль отображения траектории движения инструмента; – измерительные циклы; – компенсация люфтов...
33392. СУ класса PCNC MSH-TURBO-M. Назначение, состав, структура 34 KB
  Основные принципы менеджмента включают в себя: принцип научности важно понимать причины несовпадения целей и результатов видеть противоречия между теорией и практикой знать свойства больших систем и методы работы в них; принцип системности и комплексности важно видеть наиболее значимый комплекс взаимосвязанных и взаимообусловленных подсистем входящих в организацию например как в Японии: подсистема пожизненного найма подсистема подготовки на рабочем месте подсистема ротации кадров подсистема репутаций подсистема...
33393. СУ класса PCNC NC-110. Назначение, состав, структура 32 KB
  УЧПУ является многофункциональной СУ и способна управлять станками всех основных типов: токарными фрезерными расточными копировальными шлифовальными а также кузнечнопрессовым оборудованием системами термической лазерной и гидравлической резки деревообрабатывающим оборудованием. УЧПУ NC110 выполнено на базе промышленного компьютера имеющего набор периферийных модулей для управления оборудованием. Для подготовки УЧПУ к управлению оборудованием необходимо выполнить установку параметров и характеристик аппаратных и программных модулей...
33394. СУ класса PCNC «Микрос-12Т». Назначение, состав, структура 31 KB
  УЧПУ Микрос12Т предназначено для модернизации и комплектации токарных станков. УЧПУ построено по архитектуре промышленного компьютера с использованием собственной операционной системы жесткого реального времени. Конструктивно УЧПУ состоит из двух блоков: управления рис. Блочная конструкция УЧПУ позволяет расположить компактный пульт управления близко к зоне обработки детали.
33395. АЛУ ОМК КР1816ВЕ51 30.5 KB
  АЛУ состоит из регистра аккумулятора двух программнонедоступных регистров Т1 и Т2 предназначенных для временного хранения операндов сумматора дополнительного регистра В регистра слова состояния программы ССП схемы десятичной коррекции и схемы формирования признаков. Важной особенностью АЛУ является его способность оперировать не только байтами но и битами. Таким образом АЛУ может оперировать четырьмя типами информационных объектов: булевскими 1 бит цифровыми 4 бита байтными 8 бит и адресными 16 бит.
33396. Признаки регистра ССП КР1816ВЕ51 38.5 KB
  В таблице приводится перечень флагов ССП даются их символические имена и описываются условия их формирования. Формат регистра слова состояния программы ССП Символ Позиция Наименование и назначение флага C PSW.7 Флаг переноса.6 Флаг вспомогательного переноса.
33397. Граф возможных вариантов пересылки … КР1816ВЕ51 31 KB
  Возможны следующие виды пересылки: пересылка в аккумулятор из регистра и пересылка в регистр из аккумулятор; пересылка в аккумулятор прямоадресуемого байта и пересылка по прямому адресу аккумулятора; пересылка в аккумулятор байта из РДП и пересылка в РДП из аккумулятора; пересылка в регистр прямоадресуемого байта и пересылка по прямому адресу регистра; пересылка прямоадресуемого байта по прямому адресу; пересылка в аккумулятор байта из ВПД и пересылка в ВПД из аккумулятора; пересылка в аккумулятор байта из расширенной ВПД и пересылка в...
33398. Структура РПП и ВПП КР1816ВЕ51 28.5 KB
  Организация памяти в микроконтроллере иллюстрируется рисунке Память программ имеет 16битовую адресную шину ее элементы адресуются с использованием счетчика команд PC или инструкций которые вырабатывают 16разрядные адреса. Память программ доступна только по чтению. ОМЭВМ не имеют команд и управляющих сигналов предназначенных для записи в память программ.
33399. Структура РПД и ВПД КР1816ВЕ51 27.5 KB
  Организация памяти в микроконтроллере иллюстрируется рисунке Память данных делится на внешнюю и внутреннюю каждая из них имеет свое пространство адресов. В архитектуре MК51 пространство адресов внутренней памяти данных объединяет все внутренние программно доступные ресурсы. Это пространство размером 256 байт в свою очередь делится на пространство адресов внутреннего ОЗУ резидентная память данных РПД размером 128 байт и пространство адресов регистров специальных функций.