67574

Изоморфизмы и гомоморфизмы

Лекция

Математика и математический анализ

Напомним, что отображение называется инъективным, если оно переводит различные элементы из X в различные элементы Y и сюръективным, если его образ совпадает со всем Y. Например, естественный гомоморфизм группы на подгруппу сюръективен. Из определения сразу следует, что гомоморфизм...

Русский

2014-09-12

290 KB

4 чел.

Лекция 3

Изоморфизмы и гомоморфизмы

Определение

Пусть  и  две группы и  некоторое отображение.  называется изоморфизмом, а группы  и  - изоморфными (однотипными), если

1.  - взаимно однозначно и

2. .

Изоморфизм групп  и  обозначается символом .

Если выполнено только условие 2. , то отображение  называется гомоморфизмом (подобием).

Примеры

1. Пусть группы  и  заданы таблицами умножения:

          

и

      

Отображение  является изоморфизмом. ( При всяком изоморфизме просто меняются обозначения элементов. “Внутренняя структура” группы остается неизменной).

2. Пусть =Z (группа целых чисел с операцией сложения),  - группа из предыдущего примера. Положим: (2n)=p; (2n+1)=q.

Тогда  - гомоморфизм.

3. Пусть H - нормальная подгруппа в G и G/H соответствующая факторгруппа. Напомним, что ее элементами являются всевозможные смежные классы x*H, где  . Определим отображение  формулой: (x)=x*H.  Поскольку смежные классы перемножаются по формуле (x*H)*(y*H)= (x*y)*H, отображение  является гомоморфизмом. Оно называется естественным гомоморфизмом группы на факторгруппу.

Простейшие свойства гомоморфизмов групп.

Пусть  - гомоморфизм. Тогда:

.

Если  -подгруппа, то  -подгруппа в .

Если  - (нормальная) подгруппа, то  - (нормальная) подгруппа в .

Доказательство

Пусть - любой элемент. Тогда  и по признаку нейтрального элемента .

Имеем: . По признаку обратного элемента получаем: .

Применим признак подгруппы:  

Пусть  - подгруппа. - элементы из , то есть  и  входят в К. Тогда  и потому. Значит,  - подгруппа . Пусть теперь К - нормальная подгруппа и  - любой элемент. Тогда  и значит. Аналогично, .  Поскольку , то и , то есть подгруппа  нормальна в .

Замечание

Образ нормальной подгруппы не всегда  нормален.

Из доказанной теоремы следует  в частности, что для всякого гомоморфизма    подгруппа в . Она называется образом гомоморфизма  и обозначается Im . Точно также,  - подгруппа в , причем нормальная, поскольку тривиальная подгруппа {e} нормальна в любой группе. Она называется ядром гомоморфизма  и обозначается Ker .

Инъективные и сюръективные гомоморфизмы.

Напомним, что отображение называется инъективным, если оно переводит различные элементы из X в различные элементы Y и сюръективным, если его образ совпадает со всем Y. Например, естественный гомоморфизм группы на подгруппу сюръективен. Из определения сразу следует, что гомоморфизм   cюръективен тогда и только тогда, когда Im .

Критерий инъективности гомоморфизма групп

Гомоморфизм групп  инъективен тогда и только тогда, когда Ker  ={}.

Доказательство

Поскольку ,  и значит, если  инъективно в ядре не может быть других элементов и таким образом Ker  ={e}. Обратно, пусть ядро  состоит только из нейтрального элемента и x и y - два таких элемента , что . Тогда   и значит   и потому равно  . Отсюда получаем x=y и  инъективно.

Следствие

Если Ker = {e}, то  изоморфно отображает  на подгруппу Im .

Теорема Кэли

Всякая конечная группа порядка n изоморфна подгруппе группы перестановок из n элементов.

Доказательство

Пусть G={}- группа порядка n. Составим для нее таблицу Кэли.  В i-ой строке этой таблицы выписаны элементы , которые только порядком следования отличаются от первоначального набора элементов группы. Обозначим полученную перестановку . Определим отображение  по формуле . Как нам известно, произведению элементов группы G отвечает композиция перестановок, то есть  -гомоморфизм.  Если, то, в частности,  и значит. Таким образом, Ker тривиально и определяет изоморфизм между G и подгруппой Im  в .

Теорема о гомоморфизме для групп 

Пусть  сюръективный гомоморфизм. Тогда факторгруппа  изоморфна . Если эти изоморфные группы отождествить, то  превращается в естественный гомоморфизм .

Доказательство

Обозначим H=ker . Следующим образом определим отображение

. Пусть С произвольный элемент  то есть некоторый смежный класс группы  по ее подгруппе H. Возьмем любой .  Тогда   не зависит от выбора элемента x. В самом деле, если  любой другой элемент, то y=x*h, где  и значит, . Положим: . Используя правило перемножения смежных классов, получаем: Ф((x*H)*(y*H)) =Ф((x*y)*H)=  = Ф(x*H)Ф(y*H), то есть построенное отображение - гомоморфизм. Если  любой элемент, то поскольку  сюръективно, найдется такой  , что . Но тогда Ф(x*H)=. Значит Ф - сюръективно. Если Ф(x*H)= , то ф(x)= ,  и потому x*H=H= . Это доказывает, что Ker Ф=е и значит Ф - инъективно и, следовательно, является изоморфизмом. Поскольку(x)= Ф(x*H), мы видим, что если считать изоморфизм Ф тождественным отображением ( то есть отождествить и G/H), отображение  совпадет с естественным гомоморфизмом, переводящим x в x*H.

Следствие

Всякий гомоморфизм   определяет изоморфизм между факторгруппой  и подгруппой Im .

Примеры

Пусть ={1, -1} с операцией умножения. Определим гомоморфизм ), сопоставляя каждой четной перестановке число 1, а нечетной - число (-1). Тогда Ker  - подгруппа четных перестановок. Очевидно, что при n>1  сюръективно. По теореме о гомоморфизме  -нормальная подгруппа в  и .  

Отображение (А)=det(A) является сюръективным гомоморфизмом группы GL(n,R) всех невырожденных матриц порядка n  в группу  не равных нулю чисел с операцией умножения. При этом Ker = SL(n,R) -подгруппа матриц с определителем 1. Значит  эта подгруппа нормальна и GL(n,R) /SL(n,R) .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81374. Сторони, їх суб’єктивні права та обов’язки у виконавчому провадженні 28.83 KB
  За виконавчим документом про стягнення в дохід держави коштів або про вчинення інших дій на користь чи в інтересах держави від її імені виступає орган, за позовом якого судом винесено відповідне рішення, або орган державної влади (крім суду), який відповідно до закону прийняв таке рішення.
81375. Теория структурного функционализма в социологии и возможность ее применения для анализа социальной работы 37.56 KB
  Структурный функционализм методологический подход в социологии и социокультурной антропологии состоящий в трактовке общества как социальной системы имеющей свою структуру и механизмы взаимодействия структурных элементов каждый из которых выполняет собственную функцию. Базовой идеей структурного функционализма является идея социального порядка то есть имманентное стремление любой системы поддержать собственное равновесие согласовать между собой различные её элементы добиться согласия между ними. Основные положения Общество...
81376. Теории социального конфликта К. Маркса и Л. Козера, их применение для анализа социальной работы 35.67 KB
  Согласно концепции Маркса именно конфликты объясняют социальные процессы и изменения именно они пронизывают жизнь общества во всех его направлениях именно конфликтами объясняется осуществление революций и переход к новому типу общества. Маркс характеризовал конфликт как естественное состояние классового основанного на частной собственности общества присущее изначально его природе. В качестве основного типа конфликта для него выступало взаимодействие между производительными силами и производственными отношениями которые на определенном...
81377. Теория символического интеракционизма при анализе социальной работы 40.33 KB
  Сходное понимание слов жестов других символов облегчает взаимодействие позволяет интерпретировать поведение друг друга. Понимая поведение друг друга люди меняют свое поведение приспосабливая свои поступки к действиям другого координируя свои действия с другими людьми обучаясь видеть себя глазами группы обучаясь учитывать ожидания других людей. Социальные ожидания экспектации влияют на поведение человека он вынужден вести себя так как требуют нормы поведения как ожидают другие люди и общество в целом реализуя те права и...
81378. Феноменологический подход в социологии. Значение положений теории А. Шюца в анализе социальной работы 38.26 KB
  Следовательно необходимо погружение в мир в котором живет человек т. в мир жизни или жизненный мир. Отсюда центральные понятия его феноменологической социологии: жизненный мир повседневный мир повседневность социальный мир. В целом это мир наполненный смыслом который придают ему люди в повседневной жизни.
81379. Познавательные возможности и особенности количественной методологии в социологии при анализе социальной работы 37.93 KB
  Организация наблюдения включает в себя определение характеристик объекта целей и задач наблюдения выбор вида наблюдения разработку программы и процедуры наблюдения установление параметров наблюдения разработку техники выполнения результатов анализ результатов и выводов. добивается максимального взаимодействия с объектом наблюдения не обнаруживая как правило своих исследовательских намерений на практике.
81380. Понятие и виды социологических исследований 34.64 KB
  Качественные методы социологии позволяют социологу понять суть какоголибо социального явления а количественные понять насколько массово часто встречаемо это социальное явление и насколько оно важно для общества. Количественные методы: социологический опрос анкетирование и интервьюирование контентанализ документов наблюдение эксперимент Качественные методы: фокус группа исследование случая кейс стади этнографические исследования неструктурированные интервью.
81381. Измерение эффективности социальной работы и типы шкал. Приведите примеры использования 36.91 KB
  Показатели эффективности социальной работы. В связи с тем что социальная работа направлена на удовлетворение социальных потребностей человека правомерно признать главным критерием эффективности социальной работы как и определяющим критерием гуманности общества полноту удовлетворения интересов отдельного человека или различных сообществ людей во всех сферах жизни. Исходя из этих особенностей следует подходить к определению критериев социальной работы.