67574

Изоморфизмы и гомоморфизмы

Лекция

Математика и математический анализ

Напомним, что отображение называется инъективным, если оно переводит различные элементы из X в различные элементы Y и сюръективным, если его образ совпадает со всем Y. Например, естественный гомоморфизм группы на подгруппу сюръективен. Из определения сразу следует, что гомоморфизм...

Русский

2014-09-12

290 KB

1 чел.

Лекция 3

Изоморфизмы и гомоморфизмы

Определение

Пусть  и  две группы и  некоторое отображение.  называется изоморфизмом, а группы  и  - изоморфными (однотипными), если

1.  - взаимно однозначно и

2. .

Изоморфизм групп  и  обозначается символом .

Если выполнено только условие 2. , то отображение  называется гомоморфизмом (подобием).

Примеры

1. Пусть группы  и  заданы таблицами умножения:

          

и

      

Отображение  является изоморфизмом. ( При всяком изоморфизме просто меняются обозначения элементов. “Внутренняя структура” группы остается неизменной).

2. Пусть =Z (группа целых чисел с операцией сложения),  - группа из предыдущего примера. Положим: (2n)=p; (2n+1)=q.

Тогда  - гомоморфизм.

3. Пусть H - нормальная подгруппа в G и G/H соответствующая факторгруппа. Напомним, что ее элементами являются всевозможные смежные классы x*H, где  . Определим отображение  формулой: (x)=x*H.  Поскольку смежные классы перемножаются по формуле (x*H)*(y*H)= (x*y)*H, отображение  является гомоморфизмом. Оно называется естественным гомоморфизмом группы на факторгруппу.

Простейшие свойства гомоморфизмов групп.

Пусть  - гомоморфизм. Тогда:

.

Если  -подгруппа, то  -подгруппа в .

Если  - (нормальная) подгруппа, то  - (нормальная) подгруппа в .

Доказательство

Пусть - любой элемент. Тогда  и по признаку нейтрального элемента .

Имеем: . По признаку обратного элемента получаем: .

Применим признак подгруппы:  

Пусть  - подгруппа. - элементы из , то есть  и  входят в К. Тогда  и потому. Значит,  - подгруппа . Пусть теперь К - нормальная подгруппа и  - любой элемент. Тогда  и значит. Аналогично, .  Поскольку , то и , то есть подгруппа  нормальна в .

Замечание

Образ нормальной подгруппы не всегда  нормален.

Из доказанной теоремы следует  в частности, что для всякого гомоморфизма    подгруппа в . Она называется образом гомоморфизма  и обозначается Im . Точно также,  - подгруппа в , причем нормальная, поскольку тривиальная подгруппа {e} нормальна в любой группе. Она называется ядром гомоморфизма  и обозначается Ker .

Инъективные и сюръективные гомоморфизмы.

Напомним, что отображение называется инъективным, если оно переводит различные элементы из X в различные элементы Y и сюръективным, если его образ совпадает со всем Y. Например, естественный гомоморфизм группы на подгруппу сюръективен. Из определения сразу следует, что гомоморфизм   cюръективен тогда и только тогда, когда Im .

Критерий инъективности гомоморфизма групп

Гомоморфизм групп  инъективен тогда и только тогда, когда Ker  ={}.

Доказательство

Поскольку ,  и значит, если  инъективно в ядре не может быть других элементов и таким образом Ker  ={e}. Обратно, пусть ядро  состоит только из нейтрального элемента и x и y - два таких элемента , что . Тогда   и значит   и потому равно  . Отсюда получаем x=y и  инъективно.

Следствие

Если Ker = {e}, то  изоморфно отображает  на подгруппу Im .

Теорема Кэли

Всякая конечная группа порядка n изоморфна подгруппе группы перестановок из n элементов.

Доказательство

Пусть G={}- группа порядка n. Составим для нее таблицу Кэли.  В i-ой строке этой таблицы выписаны элементы , которые только порядком следования отличаются от первоначального набора элементов группы. Обозначим полученную перестановку . Определим отображение  по формуле . Как нам известно, произведению элементов группы G отвечает композиция перестановок, то есть  -гомоморфизм.  Если, то, в частности,  и значит. Таким образом, Ker тривиально и определяет изоморфизм между G и подгруппой Im  в .

Теорема о гомоморфизме для групп 

Пусть  сюръективный гомоморфизм. Тогда факторгруппа  изоморфна . Если эти изоморфные группы отождествить, то  превращается в естественный гомоморфизм .

Доказательство

Обозначим H=ker . Следующим образом определим отображение

. Пусть С произвольный элемент  то есть некоторый смежный класс группы  по ее подгруппе H. Возьмем любой .  Тогда   не зависит от выбора элемента x. В самом деле, если  любой другой элемент, то y=x*h, где  и значит, . Положим: . Используя правило перемножения смежных классов, получаем: Ф((x*H)*(y*H)) =Ф((x*y)*H)=  = Ф(x*H)Ф(y*H), то есть построенное отображение - гомоморфизм. Если  любой элемент, то поскольку  сюръективно, найдется такой  , что . Но тогда Ф(x*H)=. Значит Ф - сюръективно. Если Ф(x*H)= , то ф(x)= ,  и потому x*H=H= . Это доказывает, что Ker Ф=е и значит Ф - инъективно и, следовательно, является изоморфизмом. Поскольку(x)= Ф(x*H), мы видим, что если считать изоморфизм Ф тождественным отображением ( то есть отождествить и G/H), отображение  совпадет с естественным гомоморфизмом, переводящим x в x*H.

Следствие

Всякий гомоморфизм   определяет изоморфизм между факторгруппой  и подгруппой Im .

Примеры

Пусть ={1, -1} с операцией умножения. Определим гомоморфизм ), сопоставляя каждой четной перестановке число 1, а нечетной - число (-1). Тогда Ker  - подгруппа четных перестановок. Очевидно, что при n>1  сюръективно. По теореме о гомоморфизме  -нормальная подгруппа в  и .  

Отображение (А)=det(A) является сюръективным гомоморфизмом группы GL(n,R) всех невырожденных матриц порядка n  в группу  не равных нулю чисел с операцией умножения. При этом Ker = SL(n,R) -подгруппа матриц с определителем 1. Значит  эта подгруппа нормальна и GL(n,R) /SL(n,R) .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

15694. Право. 10–11 класс. Базовый и углублённый уровни 1.84 MB
  Учебник содержит материал о ключевых вопросах истории и теории права и государства, в нем рассмотрены система и важнейшие отрасли российского права – конституционное, гражданское, семейное, трудовое, уголовное и др. Основной текст учебника дополняют интересные факты, сведения, документы. Развернутый методический аппарат включает вопросы для самоконтроля, темы для проектов, рефератов и обсуждения, рубрики «Это интересно», «Информация к размышлению», «Исследуем документы и материалы».
15695. Символизм как миропонимание 112 KB
  Еще недавно думали мир изучен. Всякая глубина исчезла с горизонта. Простиралась великая плоскость. Не стало вечных ценностей открывавших перспективы. Все обесценилось. Но не исчезло стремление к дальнему в сердцах. Захотелось перспективы. Опять запросило сердце вечны
15696. Публицистская деятельность А. Блока в журнале Золотое руно 37.5 KB
  Публицистская деятельность А. Блока в журнале Золотое руно Блок активно включается в литературную повседневность публикуется во всех символистских журналах Весы Золотое руно; в газетах Слово Речь; в альманахах. Золотое руно ежемесячный художествен...
15697. Красота в природе 215 KB
  Владимир Сергеевич Соловьёв Красота в природе Красота спасет мир. Достоевский Странно кажется возлагать на красоту спасение мира когда приходится спасать саму красоту от художественных и критических опытов старающихся заменить идеальнопрекрас
15698. НАЧИНАЕМ РАБОТУ: ПОДГОТОВКА ДАННЫХ И ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ 82 KB
  Лабораторная работа 1. Начинаем работу: подготовка данных и предварительный анализ Для того чтобы создать таблицу с данными: Запустите программу STATISTICA Создайте свой файл File  New  ОК. Программа создает пустую таблицу содержащую 10 строк и 10 с...
15699. ОПИСАТЕЛЬНАЯ СТАТИСТИКА И ГРАФИКИ 78 KB
  Лабораторная работа 2. описательная статистика и графики Описательные статистики: минимум максимум среднее дисперсия стандартное отклонение медиана квартили мода и т.д. Идея этих статистик очень проста: вместо того чтобы рассматривать...
15700. ЧАСТИЧНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ 49.5 KB
  Лабораторная работа 3. ЧАСТИЧНАЯ Корреляция Задание 3.1: научимся считать частичную корреляцию Коэффициент частичной корреляции можно посчитать так Statistics Basic Statistics/Tables Correlation Matrices Advanced/Plot 3.1.1. Откройте уже знакомый файл Empl_Data.sta в программе STATISTICA 3.1.2....
15701. КОРРЕЛЯЦИЯ И ПРОСТАЯ ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ 109.5 KB
  Лабораторная работа 3. Корреляция и простая линейная регрессия Коэффициент корреляции это показатель степени связи. Он изменяется от 1 до 1. Величина по модулю коэффициента корреляции показывает силу связи чем больше величина тем сильнее с
15702. ТАБЛИЦЫ СОПРЯЖЕННОСТИ 159 KB
  Лабораторная работа 4. таблицы сопряженности Студент пишет дипломную работу на тему Влияние личностных характеристик на поведение в конфликтной ситуации и возможности коррекции этого самого поведения. Он считает что на поведение в конфликтной ситуации могут ока...