67574

Изоморфизмы и гомоморфизмы

Лекция

Математика и математический анализ

Напомним, что отображение называется инъективным, если оно переводит различные элементы из X в различные элементы Y и сюръективным, если его образ совпадает со всем Y. Например, естественный гомоморфизм группы на подгруппу сюръективен. Из определения сразу следует, что гомоморфизм...

Русский

2014-09-12

290 KB

4 чел.

Лекция 3

Изоморфизмы и гомоморфизмы

Определение

Пусть  и  две группы и  некоторое отображение.  называется изоморфизмом, а группы  и  - изоморфными (однотипными), если

1.  - взаимно однозначно и

2. .

Изоморфизм групп  и  обозначается символом .

Если выполнено только условие 2. , то отображение  называется гомоморфизмом (подобием).

Примеры

1. Пусть группы  и  заданы таблицами умножения:

          

и

      

Отображение  является изоморфизмом. ( При всяком изоморфизме просто меняются обозначения элементов. “Внутренняя структура” группы остается неизменной).

2. Пусть =Z (группа целых чисел с операцией сложения),  - группа из предыдущего примера. Положим: (2n)=p; (2n+1)=q.

Тогда  - гомоморфизм.

3. Пусть H - нормальная подгруппа в G и G/H соответствующая факторгруппа. Напомним, что ее элементами являются всевозможные смежные классы x*H, где  . Определим отображение  формулой: (x)=x*H.  Поскольку смежные классы перемножаются по формуле (x*H)*(y*H)= (x*y)*H, отображение  является гомоморфизмом. Оно называется естественным гомоморфизмом группы на факторгруппу.

Простейшие свойства гомоморфизмов групп.

Пусть  - гомоморфизм. Тогда:

.

Если  -подгруппа, то  -подгруппа в .

Если  - (нормальная) подгруппа, то  - (нормальная) подгруппа в .

Доказательство

Пусть - любой элемент. Тогда  и по признаку нейтрального элемента .

Имеем: . По признаку обратного элемента получаем: .

Применим признак подгруппы:  

Пусть  - подгруппа. - элементы из , то есть  и  входят в К. Тогда  и потому. Значит,  - подгруппа . Пусть теперь К - нормальная подгруппа и  - любой элемент. Тогда  и значит. Аналогично, .  Поскольку , то и , то есть подгруппа  нормальна в .

Замечание

Образ нормальной подгруппы не всегда  нормален.

Из доказанной теоремы следует  в частности, что для всякого гомоморфизма    подгруппа в . Она называется образом гомоморфизма  и обозначается Im . Точно также,  - подгруппа в , причем нормальная, поскольку тривиальная подгруппа {e} нормальна в любой группе. Она называется ядром гомоморфизма  и обозначается Ker .

Инъективные и сюръективные гомоморфизмы.

Напомним, что отображение называется инъективным, если оно переводит различные элементы из X в различные элементы Y и сюръективным, если его образ совпадает со всем Y. Например, естественный гомоморфизм группы на подгруппу сюръективен. Из определения сразу следует, что гомоморфизм   cюръективен тогда и только тогда, когда Im .

Критерий инъективности гомоморфизма групп

Гомоморфизм групп  инъективен тогда и только тогда, когда Ker  ={}.

Доказательство

Поскольку ,  и значит, если  инъективно в ядре не может быть других элементов и таким образом Ker  ={e}. Обратно, пусть ядро  состоит только из нейтрального элемента и x и y - два таких элемента , что . Тогда   и значит   и потому равно  . Отсюда получаем x=y и  инъективно.

Следствие

Если Ker = {e}, то  изоморфно отображает  на подгруппу Im .

Теорема Кэли

Всякая конечная группа порядка n изоморфна подгруппе группы перестановок из n элементов.

Доказательство

Пусть G={}- группа порядка n. Составим для нее таблицу Кэли.  В i-ой строке этой таблицы выписаны элементы , которые только порядком следования отличаются от первоначального набора элементов группы. Обозначим полученную перестановку . Определим отображение  по формуле . Как нам известно, произведению элементов группы G отвечает композиция перестановок, то есть  -гомоморфизм.  Если, то, в частности,  и значит. Таким образом, Ker тривиально и определяет изоморфизм между G и подгруппой Im  в .

Теорема о гомоморфизме для групп 

Пусть  сюръективный гомоморфизм. Тогда факторгруппа  изоморфна . Если эти изоморфные группы отождествить, то  превращается в естественный гомоморфизм .

Доказательство

Обозначим H=ker . Следующим образом определим отображение

. Пусть С произвольный элемент  то есть некоторый смежный класс группы  по ее подгруппе H. Возьмем любой .  Тогда   не зависит от выбора элемента x. В самом деле, если  любой другой элемент, то y=x*h, где  и значит, . Положим: . Используя правило перемножения смежных классов, получаем: Ф((x*H)*(y*H)) =Ф((x*y)*H)=  = Ф(x*H)Ф(y*H), то есть построенное отображение - гомоморфизм. Если  любой элемент, то поскольку  сюръективно, найдется такой  , что . Но тогда Ф(x*H)=. Значит Ф - сюръективно. Если Ф(x*H)= , то ф(x)= ,  и потому x*H=H= . Это доказывает, что Ker Ф=е и значит Ф - инъективно и, следовательно, является изоморфизмом. Поскольку(x)= Ф(x*H), мы видим, что если считать изоморфизм Ф тождественным отображением ( то есть отождествить и G/H), отображение  совпадет с естественным гомоморфизмом, переводящим x в x*H.

Следствие

Всякий гомоморфизм   определяет изоморфизм между факторгруппой  и подгруппой Im .

Примеры

Пусть ={1, -1} с операцией умножения. Определим гомоморфизм ), сопоставляя каждой четной перестановке число 1, а нечетной - число (-1). Тогда Ker  - подгруппа четных перестановок. Очевидно, что при n>1  сюръективно. По теореме о гомоморфизме  -нормальная подгруппа в  и .  

Отображение (А)=det(A) является сюръективным гомоморфизмом группы GL(n,R) всех невырожденных матриц порядка n  в группу  не равных нулю чисел с операцией умножения. При этом Ker = SL(n,R) -подгруппа матриц с определителем 1. Значит  эта подгруппа нормальна и GL(n,R) /SL(n,R) .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

27524. Понятие и виды норм права 31.5 KB
  Юридическая норма норма права общеобязательное веление выраженное в виде госновластного предписания и регулирующее обществ. Сосредоточены в Конституции; нормыпринципы з датые предписания выражающие и закрепляющие принципы права; определительноустановочные нормы предписания определяющие цели задачи отделх отраслей права правовых институтов предмет формы и средства правового регулирования закрепляющие целевые установки з датля; нормы дефиниции правовые понятия термины: определение преступления виды сделок; б нормы...
27525. Понятие и виды функций права 34.5 KB
  Понятие и виды функций права. Сегодня нет единого взгляда на проблему функции права. Если синтезировать многочисленные точки зрения по этому вопросу то можно увидеть что в конечном счете под функцией права понимают либо социальное назначение права либо направление правового воздействия на общественные отношения либо и то и другое вместе взятое. Система функций права является сложным многоуровневым явлением.
27526. Понятие и классификация нормативно-правовых актов 28 KB
  НПА предписания субъектов правотворчества содержащие нормы права. Признаки НПА: 1 результат правотворческой деятельности органов и должностных лиц наделенных строго определенной компетенцией; 2 содержат общеобязательные правила поведения и предписания; 3 выражают государственную волю; 4 принимаются в особом порядке; 5 имеют установленную форму указ постановление закон реквизиты порядок вступления в силу и сферу действия; 6 регулируют наиболее типичные массовые отношения рассчитаны на постоянное длительное действие; 7 не...
27527. Понятие и структура правосознания 25 KB
  Выделяют следующие основные черты правосознания: 1 является одной из форм общественного знания; 2 состоит из идей теорий чувств эмоций настроений и других компонентов; 3 носителями компонентов правосознания являются различные субъекты права; 4 обращено не только к настоящему но и к прошлому и к будущему; 5 является формой права в отдельные периоды развития общества; 6 ориентирует субъектов права в социальноправовых ситуациях позволяет им делать соответствующий не всегда правомерный выбор и принимать юридически значимые решения....
27528. Понятие, признаки и виды правомерного поведения 29 KB
  Понятие признаки и виды правомерного поведения Правомерное поведение личности это поведение соответствующее предписаниям юридических норм т. законопослушное социальное поведение облеченное в юридическую форму. Правомерное поведение очень широко по своему диапазону и весьма неоднородно по характеру. Активное правомерное поведение.
27529. Понятие, стадии, способы и типы правового регулирования 31.5 KB
  Понятие стадии способы и типы правового регулирования Правовое регулирование целенаправленное результативное юридическое воздействие права на общественные отношения осуществляющееся при помощи совокупности юридических средств норм права правоотношений и актов реализации составляющих его механизм механизм правового регулирования. Метод правового регулирования представляет собой специфический способ совокупность способов правового воздействия на регулируемые общественные отношения. Он складывается из комбинации следующих способов...
27530. Правовая культура, понятие и структура 26 KB
  Правовая культура понятие и структура. Существует несколько подходов к понятию культуры: 1 антропологические согласно которым культура это совокупность всех благ созданных человеком в отличие от того что создала природа; 2 социологические согласно которым культура это совокупность всех духовных ценностей; 3 философские согласно которым культура это исторически определенный уровень развития общества творческих сил и способностей человека. Таким образом правовая культура это совокупность всех ценностей созданных человеком в...
27531. Правовое отношение: понятие и признаки, состав 25 KB
  Правоотношения это охраняемые государством общественные отношения возникающие как правило вследствие воздействия норм права на поведение людей и характеризующиеся наличием субъективных прав и юридических обязанностей у их участников. Признаки: 1 разновидность отношений общественных; 2 возникают на основе норм права; 3 характеризуются наличием у их участников субъективных прав и юридических обязанностей; 4 волевые отношения это означает что помимо нормы права которая сама по себе уже выражает определенную волю для возникновения...
27532. Преемственность в праве: понятие, виды и значение 28.5 KB
  Преемственность в праве заимствование правом того или иного государства положения прошлых либо современных правовых систем заимствование наилучших моделей элементов конструкций описания механизма правового регулирования с целью совершенствования правовых систем и правовой культуры Правопреемственность это необходимый элемент закона отрицания отрицания. Главным фактором обусловливающим преемственность является необходимость нормативного регулирования ряда общественных отношений вытекающая из потребностей самого общества и...