67574

Изоморфизмы и гомоморфизмы

Лекция

Математика и математический анализ

Напомним, что отображение называется инъективным, если оно переводит различные элементы из X в различные элементы Y и сюръективным, если его образ совпадает со всем Y. Например, естественный гомоморфизм группы на подгруппу сюръективен. Из определения сразу следует, что гомоморфизм...

Русский

2014-09-12

290 KB

4 чел.

Лекция 3

Изоморфизмы и гомоморфизмы

Определение

Пусть  и  две группы и  некоторое отображение.  называется изоморфизмом, а группы  и  - изоморфными (однотипными), если

1.  - взаимно однозначно и

2. .

Изоморфизм групп  и  обозначается символом .

Если выполнено только условие 2. , то отображение  называется гомоморфизмом (подобием).

Примеры

1. Пусть группы  и  заданы таблицами умножения:

          

и

      

Отображение  является изоморфизмом. ( При всяком изоморфизме просто меняются обозначения элементов. “Внутренняя структура” группы остается неизменной).

2. Пусть =Z (группа целых чисел с операцией сложения),  - группа из предыдущего примера. Положим: (2n)=p; (2n+1)=q.

Тогда  - гомоморфизм.

3. Пусть H - нормальная подгруппа в G и G/H соответствующая факторгруппа. Напомним, что ее элементами являются всевозможные смежные классы x*H, где  . Определим отображение  формулой: (x)=x*H.  Поскольку смежные классы перемножаются по формуле (x*H)*(y*H)= (x*y)*H, отображение  является гомоморфизмом. Оно называется естественным гомоморфизмом группы на факторгруппу.

Простейшие свойства гомоморфизмов групп.

Пусть  - гомоморфизм. Тогда:

.

Если  -подгруппа, то  -подгруппа в .

Если  - (нормальная) подгруппа, то  - (нормальная) подгруппа в .

Доказательство

Пусть - любой элемент. Тогда  и по признаку нейтрального элемента .

Имеем: . По признаку обратного элемента получаем: .

Применим признак подгруппы:  

Пусть  - подгруппа. - элементы из , то есть  и  входят в К. Тогда  и потому. Значит,  - подгруппа . Пусть теперь К - нормальная подгруппа и  - любой элемент. Тогда  и значит. Аналогично, .  Поскольку , то и , то есть подгруппа  нормальна в .

Замечание

Образ нормальной подгруппы не всегда  нормален.

Из доказанной теоремы следует  в частности, что для всякого гомоморфизма    подгруппа в . Она называется образом гомоморфизма  и обозначается Im . Точно также,  - подгруппа в , причем нормальная, поскольку тривиальная подгруппа {e} нормальна в любой группе. Она называется ядром гомоморфизма  и обозначается Ker .

Инъективные и сюръективные гомоморфизмы.

Напомним, что отображение называется инъективным, если оно переводит различные элементы из X в различные элементы Y и сюръективным, если его образ совпадает со всем Y. Например, естественный гомоморфизм группы на подгруппу сюръективен. Из определения сразу следует, что гомоморфизм   cюръективен тогда и только тогда, когда Im .

Критерий инъективности гомоморфизма групп

Гомоморфизм групп  инъективен тогда и только тогда, когда Ker  ={}.

Доказательство

Поскольку ,  и значит, если  инъективно в ядре не может быть других элементов и таким образом Ker  ={e}. Обратно, пусть ядро  состоит только из нейтрального элемента и x и y - два таких элемента , что . Тогда   и значит   и потому равно  . Отсюда получаем x=y и  инъективно.

Следствие

Если Ker = {e}, то  изоморфно отображает  на подгруппу Im .

Теорема Кэли

Всякая конечная группа порядка n изоморфна подгруппе группы перестановок из n элементов.

Доказательство

Пусть G={}- группа порядка n. Составим для нее таблицу Кэли.  В i-ой строке этой таблицы выписаны элементы , которые только порядком следования отличаются от первоначального набора элементов группы. Обозначим полученную перестановку . Определим отображение  по формуле . Как нам известно, произведению элементов группы G отвечает композиция перестановок, то есть  -гомоморфизм.  Если, то, в частности,  и значит. Таким образом, Ker тривиально и определяет изоморфизм между G и подгруппой Im  в .

Теорема о гомоморфизме для групп 

Пусть  сюръективный гомоморфизм. Тогда факторгруппа  изоморфна . Если эти изоморфные группы отождествить, то  превращается в естественный гомоморфизм .

Доказательство

Обозначим H=ker . Следующим образом определим отображение

. Пусть С произвольный элемент  то есть некоторый смежный класс группы  по ее подгруппе H. Возьмем любой .  Тогда   не зависит от выбора элемента x. В самом деле, если  любой другой элемент, то y=x*h, где  и значит, . Положим: . Используя правило перемножения смежных классов, получаем: Ф((x*H)*(y*H)) =Ф((x*y)*H)=  = Ф(x*H)Ф(y*H), то есть построенное отображение - гомоморфизм. Если  любой элемент, то поскольку  сюръективно, найдется такой  , что . Но тогда Ф(x*H)=. Значит Ф - сюръективно. Если Ф(x*H)= , то ф(x)= ,  и потому x*H=H= . Это доказывает, что Ker Ф=е и значит Ф - инъективно и, следовательно, является изоморфизмом. Поскольку(x)= Ф(x*H), мы видим, что если считать изоморфизм Ф тождественным отображением ( то есть отождествить и G/H), отображение  совпадет с естественным гомоморфизмом, переводящим x в x*H.

Следствие

Всякий гомоморфизм   определяет изоморфизм между факторгруппой  и подгруппой Im .

Примеры

Пусть ={1, -1} с операцией умножения. Определим гомоморфизм ), сопоставляя каждой четной перестановке число 1, а нечетной - число (-1). Тогда Ker  - подгруппа четных перестановок. Очевидно, что при n>1  сюръективно. По теореме о гомоморфизме  -нормальная подгруппа в  и .  

Отображение (А)=det(A) является сюръективным гомоморфизмом группы GL(n,R) всех невырожденных матриц порядка n  в группу  не равных нулю чисел с операцией умножения. При этом Ker = SL(n,R) -подгруппа матриц с определителем 1. Значит  эта подгруппа нормальна и GL(n,R) /SL(n,R) .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

25069. Елітарна культура 33 KB
  Для масової культури характерним є загальнодоступність легкість сприйняття спрощеність розважальність.
25070. Основные культурологические школы 43.5 KB
  Малиновский; Ее главная черта стремление подчеркнуть биологическую обусловленность культуры значительно преувеличивая ее.Парсонс; Она объединяет тех ученых которые ищут истоки и объяснение культуры не в истории и самопроизвольном божественном развитии человеческого духа не в психике и не в биологической предыстории человечества а в его общественной природе и организации. Веселовский объясняла сходство материальной и духовной культуры. Основные культурологические концепции: Философия Гегеля как теория культуры...
25071. Мифология 36.5 KB
  mutos сказание сказание и logos слово рассказ совокупность мифов созданных какимлибо народом или разными народами; система знаний о мире основанная на вере в сверхъестественное; научная дисциплина изучающая мифы их особенности элементы. Современные мифы вбирают в себя элементы заимствованные из других культурных форм в том числе и из науки. В современной культуре имеют хождение мифы различного вида: Старые мифы дожившие до наших дней преданья старины глубокой рассказы о духах вроде лешего и домового о колдовстве и...
25072. Основні функції культури 32.5 KB
  Адаптаційна дає можливість кожному індивідууму який включається в процес функціонування і розвитку прилаштовуватися до існуючих в суспільстві оцінок і форм поведінки. Аксіологічна ціннісна дає можливість виробити ціннісні орієнтації людини коригувати норми поведінки та ідентифікувати себе у суспільстві. Нормативна відпрацьовування і поширення відповідних норм поведінки які суспільство диктує людині у відповідності з якими формується образ життя людей їх установки й ціннісні орієнтації способи поведінки.
25073. Християнство 52 KB
  Основу християнства становить учення про Боголюдину Ісуса Христа який щоб звільнити людей від первородного гріха прийняв смерть через розп'яття на хресті але воскрес вознісся на небо і обіцяв повернутись на землю вдруге У Судний день для того щоб судити живих і мертвих; за результатами Божого суду одних направити до Раю а інших у пекло; Християнство зародилося на сході Римської імперії території сучасного Ізраїлю в Палестині в I ст. Мудра віра Ісуса привертала до Нього кращих людей ізраїльського народу. завіт договір назва...
25074. Исла́м 51 KB
  Слово ислам переводится как предание себя Богу покорность подчинение законам Аллаха. В арабском языке слово ислам отглагольное существительное образованное от глагола который означает быть благополучным спасаться сохраняться быть свободным. В шариатской терминологии ислам это полное абсолютное единобожие подчинение Аллаху Его приказам и запретам отстранение от многобожия. Приверженцев ислама называют мусульманами.
25075. Регулятив (регулятивний смисл) 37.5 KB
  Наявні в культурі регулятиви визначають прийняті в даній культурі норми поведінки і діяльності тобто вказують якими шляхами та засобами досягнення мети допустиме нормальне і навпаки. Культурні норми досить різноманітні. Норми культури мінливі. Разом з тим норми культури забезпечують надійність передбачуваність і загальнозрозумілість поведінки.
25076. Житейские знания 35.5 KB
  образцы стандарты в соответствии с которыми строятся знания о мире. В культуре сосуществуют три основных типа когнитивных познавательных процедур и соответственно три типа знания житейское мистическое и рациональное. Житейские знания отражают вещи и явления с которыми люди сталкиваются в обычных жизненных условиях. Вера это убеждение в истинности какоголибо знания при отсутствии доказательства его истинности.
25077. Застосування моральних критеріїв 35 KB
  Значні моральні колізії супроводжують і такі винаходи сучасної науки як трансплантація органів генна інженерія клонування. Практика трансплантації органів вийшла сьогодні з вузько експериментальних рамок на рівень звичайної медичної галузі. Проте в сучасній медицині триває процес розширення показань до різних видів пересадок що є одним з об'єктивних підстав того що однією із стійких особливостей сучасного суспільства стає дефіцит донорських органів Стан дефіциту донорських органів це хронічне невідповідність між їх попитом та...