67574

Изоморфизмы и гомоморфизмы

Лекция

Математика и математический анализ

Напомним, что отображение называется инъективным, если оно переводит различные элементы из X в различные элементы Y и сюръективным, если его образ совпадает со всем Y. Например, естественный гомоморфизм группы на подгруппу сюръективен. Из определения сразу следует, что гомоморфизм...

Русский

2014-09-12

290 KB

4 чел.

Лекция 3

Изоморфизмы и гомоморфизмы

Определение

Пусть  и  две группы и  некоторое отображение.  называется изоморфизмом, а группы  и  - изоморфными (однотипными), если

1.  - взаимно однозначно и

2. .

Изоморфизм групп  и  обозначается символом .

Если выполнено только условие 2. , то отображение  называется гомоморфизмом (подобием).

Примеры

1. Пусть группы  и  заданы таблицами умножения:

          

и

      

Отображение  является изоморфизмом. ( При всяком изоморфизме просто меняются обозначения элементов. “Внутренняя структура” группы остается неизменной).

2. Пусть =Z (группа целых чисел с операцией сложения),  - группа из предыдущего примера. Положим: (2n)=p; (2n+1)=q.

Тогда  - гомоморфизм.

3. Пусть H - нормальная подгруппа в G и G/H соответствующая факторгруппа. Напомним, что ее элементами являются всевозможные смежные классы x*H, где  . Определим отображение  формулой: (x)=x*H.  Поскольку смежные классы перемножаются по формуле (x*H)*(y*H)= (x*y)*H, отображение  является гомоморфизмом. Оно называется естественным гомоморфизмом группы на факторгруппу.

Простейшие свойства гомоморфизмов групп.

Пусть  - гомоморфизм. Тогда:

.

Если  -подгруппа, то  -подгруппа в .

Если  - (нормальная) подгруппа, то  - (нормальная) подгруппа в .

Доказательство

Пусть - любой элемент. Тогда  и по признаку нейтрального элемента .

Имеем: . По признаку обратного элемента получаем: .

Применим признак подгруппы:  

Пусть  - подгруппа. - элементы из , то есть  и  входят в К. Тогда  и потому. Значит,  - подгруппа . Пусть теперь К - нормальная подгруппа и  - любой элемент. Тогда  и значит. Аналогично, .  Поскольку , то и , то есть подгруппа  нормальна в .

Замечание

Образ нормальной подгруппы не всегда  нормален.

Из доказанной теоремы следует  в частности, что для всякого гомоморфизма    подгруппа в . Она называется образом гомоморфизма  и обозначается Im . Точно также,  - подгруппа в , причем нормальная, поскольку тривиальная подгруппа {e} нормальна в любой группе. Она называется ядром гомоморфизма  и обозначается Ker .

Инъективные и сюръективные гомоморфизмы.

Напомним, что отображение называется инъективным, если оно переводит различные элементы из X в различные элементы Y и сюръективным, если его образ совпадает со всем Y. Например, естественный гомоморфизм группы на подгруппу сюръективен. Из определения сразу следует, что гомоморфизм   cюръективен тогда и только тогда, когда Im .

Критерий инъективности гомоморфизма групп

Гомоморфизм групп  инъективен тогда и только тогда, когда Ker  ={}.

Доказательство

Поскольку ,  и значит, если  инъективно в ядре не может быть других элементов и таким образом Ker  ={e}. Обратно, пусть ядро  состоит только из нейтрального элемента и x и y - два таких элемента , что . Тогда   и значит   и потому равно  . Отсюда получаем x=y и  инъективно.

Следствие

Если Ker = {e}, то  изоморфно отображает  на подгруппу Im .

Теорема Кэли

Всякая конечная группа порядка n изоморфна подгруппе группы перестановок из n элементов.

Доказательство

Пусть G={}- группа порядка n. Составим для нее таблицу Кэли.  В i-ой строке этой таблицы выписаны элементы , которые только порядком следования отличаются от первоначального набора элементов группы. Обозначим полученную перестановку . Определим отображение  по формуле . Как нам известно, произведению элементов группы G отвечает композиция перестановок, то есть  -гомоморфизм.  Если, то, в частности,  и значит. Таким образом, Ker тривиально и определяет изоморфизм между G и подгруппой Im  в .

Теорема о гомоморфизме для групп 

Пусть  сюръективный гомоморфизм. Тогда факторгруппа  изоморфна . Если эти изоморфные группы отождествить, то  превращается в естественный гомоморфизм .

Доказательство

Обозначим H=ker . Следующим образом определим отображение

. Пусть С произвольный элемент  то есть некоторый смежный класс группы  по ее подгруппе H. Возьмем любой .  Тогда   не зависит от выбора элемента x. В самом деле, если  любой другой элемент, то y=x*h, где  и значит, . Положим: . Используя правило перемножения смежных классов, получаем: Ф((x*H)*(y*H)) =Ф((x*y)*H)=  = Ф(x*H)Ф(y*H), то есть построенное отображение - гомоморфизм. Если  любой элемент, то поскольку  сюръективно, найдется такой  , что . Но тогда Ф(x*H)=. Значит Ф - сюръективно. Если Ф(x*H)= , то ф(x)= ,  и потому x*H=H= . Это доказывает, что Ker Ф=е и значит Ф - инъективно и, следовательно, является изоморфизмом. Поскольку(x)= Ф(x*H), мы видим, что если считать изоморфизм Ф тождественным отображением ( то есть отождествить и G/H), отображение  совпадет с естественным гомоморфизмом, переводящим x в x*H.

Следствие

Всякий гомоморфизм   определяет изоморфизм между факторгруппой  и подгруппой Im .

Примеры

Пусть ={1, -1} с операцией умножения. Определим гомоморфизм ), сопоставляя каждой четной перестановке число 1, а нечетной - число (-1). Тогда Ker  - подгруппа четных перестановок. Очевидно, что при n>1  сюръективно. По теореме о гомоморфизме  -нормальная подгруппа в  и .  

Отображение (А)=det(A) является сюръективным гомоморфизмом группы GL(n,R) всех невырожденных матриц порядка n  в группу  не равных нулю чисел с операцией умножения. При этом Ker = SL(n,R) -подгруппа матриц с определителем 1. Значит  эта подгруппа нормальна и GL(n,R) /SL(n,R) .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

25688. Мужские половые клетки 40 KB
  Скорость их движения у человека 3050мкм с Целенаправленному движению способствуют хемотаксис движение к химическому раздражителю или от него и реотаксис движение против тока жидкости. Мужские половые клетки человека сперматозоиды или спермии длиной 70мкм имеют головку и хвост. В ядре сперматозоида человека содержится 23 хромосомы одна из которых является половой X или У остальные аутосомами.
25689. Понятие о системе крови. Эритроциты 47 KB
  Система крови включает в себя кровь органы кроветворения красный костный мозг тимус селезенку лимфатические узлы лимфоидную ткань некроветворных органов. Элементы системы крови имеют общее происхождение из мезенхимы и структурнофункциональные особенности подчиняются общим законам нейрогуморальной регуляции объединены тесным взаимодействием всех звеньев. Так постоянный состав периферической крови поддерживается сбалансированными процессами новообразования гемопоэза и разрушения клеток крови.
25690. МОЧЕВЫДЕЛИТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА 41 KB
  Длина его канальцев до 50мм а всех нефронов в среднем около 100 км. Остальные 15 нефронов располагаются в почке так что их почечные тельца извитые проксимальные и дистальные отделы лежат в корковом веществе на границе с мозговым веществом. Таким образом корковое и мозговое вещества почек образованы различными отделами трех разновидностей нефронов. Корковое вещество составляют почечные тельца извитые проксимальные и дистальные канальцы всех типов нефронов.
25691. Устойчивость работы электропривода 281 KB
  Устойчивое, неустойчивое и безразличное состояния электродвигателей. Статическая устойчивость электропривода Совмещенные механические характеристики электродвигателя и механизмов. Влияние эксплуатационных характеристик электродвигателяышечные клетки. Клетки узла проводящей системы. Формирование импульса происходит в синусном узле центральную часть которого занимают клетки первого типа водители ритма или пейсмекерные клетки Рклетки способные к самопроизвольным сокращениям.
25692. Прямая кишка 31 KB
  В тазовой части прямой кишки ее слизистая оболочка имеет три поперечные складки. В анальной части кишки различают три зоны: столбчатую промежуточную и кожную. Слизистая оболочка прямой кишки состоит из эпителия собственной и мышечной пластинок.
25693. Сердце 42.5 KB
  Стенка сердца состоит из трех оболочек: внутренней эндокарда средней миокарда и наружной эпикарда. Первая закладка сердца появляется в начале 3й недели развития у эмбриона длиной 15 мм в виде парного скопления мезенхимных клеток которые расположены в задней части головного отдела зародышевого щитка по сторонам от средней линии под висцеральным листком мезодермы. К 4му месяцу заканчивается образование всех отделов проводящей системы сердца. Клапаны сердца: предсердножелудочковые и желудочковососудистые развиваются в основном...
25694. Развитие нервной ткани 35.5 KB
  Часть клеток нервной пластинки не входит в состав нервной трубки и эпидермальной эктодермы и образует скопления по бокам от нервной трубки которые сливаются в рыхлый тяж располагающийся между нервной трубкой и эпидермальной эктодермой нервный гребень ганглиозная пластинка. Нервная трубка на ранних стадиях эмбриогенеза представляет собой многорядный нейроэпителий состоящий из вентрикулярных или нейроэпителиальных клеток. Вентрикулярная эпендимная зона состоит из делящихся клеток цилиндрической формы. Клетки делятся и после деления...
25695. НЕРВНАЯ СИСТЕМА. Развитие. Нервы. Узлы. Оболочки 34 KB
  Оболочки. Клетки этой оболочки отличаются овальной формой ядер. На поперечном срезе нерва видны сечения осевых цилиндров нервных волокон и одевающие их глиальные оболочки. Соединительнотканные оболочки нерва содержат кровеносные и лимфатические сосуды и нервные окончания.
25696. Взаимодействия клеток в иммунном ответе 53.5 KB
  Узнавание рецептором Тхклетки комплекса АГ молекула МНС II класса на поверхности Влимфоцита приводит к секреции Тхклеткой интерлейкинов ИЛ2 ИЛ4 ИЛ5 ИЛ6 гаммаИФН гаммаинтерферона под действием которых Вклетка размножается и дифференцируется с образованием плазматических клеток и Вклеток памяти. Так ИЛ4 инициирует активацию Вклетки ИЛ5 стимулирует пролиферацию активированных Вклеток ИЛ6 вызывает созревание активированных Вклеток и превращение их в плазматические клетки секретирующие антитела. Они регулируют...