67575

Циклические группы

Лекция

Математика и математический анализ

Определение Группа G называется циклической если все ее элементы являются степенями одного элемента. Примеры циклических групп: Группа Z целых чисел с операцией сложения. Группа всех комплексных корней степени n из единицы с операцией умножения. Поскольку группа является циклической и элемент g = образующий.

Русский

2014-09-12

169 KB

9 чел.

Лекция 4

Циклические группы.

Определение

Группа G называется циклической, если все ее элементы являются степенями одного элемента . Этот элемент g называется образующим циклической группы G.

Примеры циклических групп:

Группа  Z  целых чисел с операцией сложения.

Группа   всех комплексных корней степени n из единицы с операцией умножения. Поскольку , группа является циклической и элемент g=  -образующий .

Мы видим, что циклические группы могут быть как конечными так и бесконечными.

Пусть (G,*) - произвольная группа и произвольный элемент. Множество   является циклической группой с образующим элементом g . Она называется циклической подгруппой, порожденной элементом g, а ее порядок  - порядком элемента g. По теореме Лагранжа порядок элемента является делителем порядка группы. Отображение

    действующее по формуле: , очевидно является

    гомоморфизмом и его образ совпадает с . Отображение  сюръективно      тогда и только тогда, когда группа G - циклическая и g ее образующий элемент. В этом случае будем называть  стандартным гомоморфизмом для циклической группы G c выбранной образующей g . 

Применяя в этом случае теорему о гомоморфизме,  мы получаем важное свойство циклических групп: всякая циклическая группа является гомоморфным образом группы Z .

Поскольку , всякая циклическая группа коммутативна и мы будем использовать аддитивную запись, так что n-ая степень g будет выглядеть как ng и называться n-кратным элемента g, а нейтральный элемент G мы будем называть нулем и обозначать 0.  

Условимся еще о следующем обозначении. Если F произвольная  группа, записанная аддитивно, то nF будет обозначать подмножество, элементами которого являются n-кратные элементов из F. Если группа F коммутативна, то nF - подгруппа F поскольку  n(x-y)=nx-ny.

Теорема о подгруппах группы Z

Если H -подгруппа группы Z , то H=nZ , где n - некоторое неотрицательное целое число и значит H - циклическая группа с образующим элементом n.

Доказательство:

Если H-тривиальная подгруппа, то теорема верна и n=0. Пусть H нетривиальна. В этом случае в H содержатся ненулевые числа и  противоположные к ним, а значит и положительные целые. Обозначим наименьшее из них буквой n. Тогда . Если  - любое число, то разделив m на n с остатком, получим: m=kn+r, причем . Но тогда r=m-kn и значит r=0. Поэтому H =nZ , что и требовалось. 

Замечание.

Если k 0 - любое целое, то отображение  определенное формулой  является изоморфизмом и отображает подгруппу  на подгруппу  , а значит определяет изоморфизм .

Теорема о структуре циклических групп

Всякая бесконечная циклическая группа изоморфна Z . Всякая конечная циклическая группа порядка n изоморфна Z/nZ.

Доказательство.

Как было отмечено выше, всякая циклическая группа G изоморфна Z/H, где H - некоторая подгруппа Z. По предыдущей теореме H=nZ, где . Если n=0, G изоморфна Z и, следовательно, бесконечна. Если n>0, Z разбивается на n смежных классов: nZ, nZ+1, nZ+2, ..., nZ+(n-1) и потому факторгруппа Z/H имеет порядок n.

В дальнейшем группу Z/nZ будем обозначать . В частности, .

Отметим, что в наших обозначениях,  - тривиальная группа.

Элементами конечной группы  по определению являются смежные классы:

{nZ, nZ+1, ... , nZ+n-1}, которые обозначаются  и называются вычетами по модулю n , а операция в - сложением по модулю n.

Теорема о подгруппах группы (n>0).

Если H подгруппа группы , то H=  причем n делится на m нацело. Порядок H равен  =d , и значит .

Доказательство.

Рассмотрим стандартный гомоморфизм . K= - подгруппа Z и значит K=mZ для некоторого целого m. Отсюда следует, что H= . При этом  и потому n=dm где d -  целое.  По теореме о гомоморфизме  .

Из доказанных теорем следует, что всякая подгруппа циклической группы циклична. Мы видим также, что для каждого целого d, делящего порядок n конечной циклической группы имеется и притом ровно одна подгруппа порядка d, то есть для конечных циклических групп справедлива теорема обратная теореме Лагранжа.

Дальнейшее изучение структуры циклических групп опирается на один результат о делимости целых чисел, который мы сейчас и изложим.

Напомним, что для любых целых n и m определен их наибольший общий делитель d=(n,m). Если n 0 и m 0, то d - это наибольшее целое число на которое без остатка делятся  n и m. (0,m)=(m,0)=m по определению. Числа, для которых (n,m)=1 называются взаимно простыми.

Основная теорема теории делимости.

Если числа n и m взаимно просты, то можно подобрать два таких целых x и y, что  xn+ym=1.

*Доказательство.

Поскольку числа n и m ненулевые, nn+0m= >0. Значит среди чисел вида xn+ym есть положительные. Пусть s=xn+ym - наименьшее положительное число этого вида. Предположим, что s>1. Тогда s> (n,m) и потому либо n либо m (пусть n) не делится на s нацело. Значит n=ks+r, где 0< r<s. В этом случае r=n-ks = n-k(xn+ym)= (1-kx)n+(-ky)m. Это противоречит выбору числа s и значит, s=1.

Следствие.

Для всяких целых n и m можно подобрать такие целые x и y, что xn+ym=(n,m).

В самом деле , если n или m равно 0, то утверждение очевидно. Если же (n,m)>0, то числа  и   взаимно просты и по доказанной теореме для подходящих x и y имеем: , откуда и следует сформулированный результат.*

Теорема о порядках элементов конечных циклических групп.

Пусть p0 любое целое. Вычет в группе  имеет порядок v=n/(n,p).

Доказательство.

Пусть (n,p)=d. Поскольку p/d - целое число, имеем: ===, откуда следует, что порядок не превосходит v. С другой стороны, если порядок  равен k, то k=, то есть kp делится на n. По основной теореме теории делимости d=xn+yp и значит kd=kxn+ykp также делится на n. Но если k<v=n/d , то 0<kd<n не может делиться на n.

Следствие.

В группе  образующими элементами являются в точности те вычеты, для которых (n,p)=1.

Заметим также, что образующими элементами в Z являются , очевидно, только 1 и -1.

В качестве еще одного применения основной теоремы теории делимости приведем интересный пример конечной группы. Рассмотрим множество  тех вычетов  по модулю n, для которых (m,n)=1. Проверим, что относительно умножения по модулю n эти вычеты составляют группу, называемую мультипликативной группой вычетов по модулю n. Ассоциативность умножения очевидна. Также очевидно, что вычет  является нейтральным элементом. Остается проверить наличие обратного элемента. Пусть . По основной теореме найдутся такие x и y, что xm+yn=1. Переходя к вычетам, находим: = , откуда видно, что .

Группа не всегда циклична. Например, легко проверить, что все 3 нетривиальных элемента группы  имеют порядок 2 и потому она не является циклической.

Наконец, отметим один полезный результат непосредственно вытекающий из доказанного выше.

Теорема о структуре групп простого порядка.

Если порядок конечной группы G равен простому числу p, то  .

Доказательство.

Пусть  - любой элемент, отличный от нейтрального. Поскольку порядок x больше 1 и является делителем p, то он равен p и значит .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

68930. Посилання, умовний оператор 43 KB
  Неважко здогадатися що виведе програма 66. Краще використовувати жорсткі посилання: хоч би виходячи з того що для них потрібний один оператор. Умовний оператор Проблему вибору можна без докорів совісті віднести до глобальних проблем.
68931. Цикли План. Цикли з передумовою. Цикли з постумовою 58 KB
  Цикл дозволяє повторити певну і навіть не визначене коли робота циклу залежить від умови кількість разів якінебудь оператори. Дані оператори називаються тілом циклу они крутитимуться в циклі. Прохід циклу називається ітерацією. Як і С PHP підтримує три види циклів: Цикл з передумовою while...
68932. Форми в HTML-документах. Елементи форм 109.5 KB
  Форма в HTML-документі реалізується тегом-контейнером FORM, в якому задаються всі елементи, що управляють, — поля введення, кнопки і т.д. Якщо елементи, що управляють, вказані поза вмістом тега FORM, то вони не створюють форму, а використовуються для побудови призначеного для користувача...
68933. Перехоплення всіх виняткових ситуацій 32 KB
  Обробка виняткових ситуацій в мові C++ володіє додатковими властивостями і нюансами, які полегшують її застосування. Ці особливості описуються нижчим. Перехоплення всіх виняткових ситуацій В деяких випадках немає сенсу обробляти окремі типи виняткових ситуацій...
68934. Потоки. Класи потоків С++. Вбудовані потоки C++ 35 KB
  Потоки. Система введення-виводу мови C++, як і її аналог в мові С, оперує потоками. Потік (stream) — це логічний пристрій, одержуючий або передавальний інформацію. Потік пов’язаний з фізичним пристроєм введення-виводу. Всі потоки функціонують однаково, хоча фізичні пристрої
68935. Функції введення-виведення в потік 58.5 KB
  Бібліотека потоків C++ пропонує набір функцій-членів, які є загальними для всіх операцій введення-виводу потокових файлів. У даному розділі представлені ці функції-члени. Функція-член open відкриває потоковий файл для введення, виводу, дописування (у кінець файлу) і введення-виводу.
68936. Форматування за допомогою членів класу ios 105 KB
  Зокрема можна самостійно задавати різні прапори форматування визначені усередині класу ios або викликати різноманітні функціїчлени. Розглянемо спочатку засоби форматованого введеннявиводу за допомогою прапорів і функцій членів класу ios.
68937. Перевантаження операторів „«“ і „»“ 45 KB
  Оператор виведення називається оператором вставки insertion opertor тому що він вставляє символи в потік. Функції що перенавантажують оператори вставки і витягання називаються функціями вставки inserters і витягання extrctors відповідно. Створення власних функцій вставки...
68938. Створення власних маніпуляторів 41.5 KB
  Систему введення-виводу можна удосконалити, створивши свої власні маніпулятори. Ця можливість є важливою по двох причинах. По-перше, можна зосередити декілька операцій введення-виводу в одному маніпуляторі. Наприклад, досить часто в програмах виконується одна і та ж послідовність операцій введення-виводу.