67575

Циклические группы

Лекция

Математика и математический анализ

Определение Группа G называется циклической если все ее элементы являются степенями одного элемента. Примеры циклических групп: Группа Z целых чисел с операцией сложения. Группа всех комплексных корней степени n из единицы с операцией умножения. Поскольку группа является циклической и элемент g = образующий.

Русский

2014-09-12

169 KB

7 чел.

Лекция 4

Циклические группы.

Определение

Группа G называется циклической, если все ее элементы являются степенями одного элемента . Этот элемент g называется образующим циклической группы G.

Примеры циклических групп:

Группа  Z  целых чисел с операцией сложения.

Группа   всех комплексных корней степени n из единицы с операцией умножения. Поскольку , группа является циклической и элемент g=  -образующий .

Мы видим, что циклические группы могут быть как конечными так и бесконечными.

Пусть (G,*) - произвольная группа и произвольный элемент. Множество   является циклической группой с образующим элементом g . Она называется циклической подгруппой, порожденной элементом g, а ее порядок  - порядком элемента g. По теореме Лагранжа порядок элемента является делителем порядка группы. Отображение

    действующее по формуле: , очевидно является

    гомоморфизмом и его образ совпадает с . Отображение  сюръективно      тогда и только тогда, когда группа G - циклическая и g ее образующий элемент. В этом случае будем называть  стандартным гомоморфизмом для циклической группы G c выбранной образующей g . 

Применяя в этом случае теорему о гомоморфизме,  мы получаем важное свойство циклических групп: всякая циклическая группа является гомоморфным образом группы Z .

Поскольку , всякая циклическая группа коммутативна и мы будем использовать аддитивную запись, так что n-ая степень g будет выглядеть как ng и называться n-кратным элемента g, а нейтральный элемент G мы будем называть нулем и обозначать 0.  

Условимся еще о следующем обозначении. Если F произвольная  группа, записанная аддитивно, то nF будет обозначать подмножество, элементами которого являются n-кратные элементов из F. Если группа F коммутативна, то nF - подгруппа F поскольку  n(x-y)=nx-ny.

Теорема о подгруппах группы Z

Если H -подгруппа группы Z , то H=nZ , где n - некоторое неотрицательное целое число и значит H - циклическая группа с образующим элементом n.

Доказательство:

Если H-тривиальная подгруппа, то теорема верна и n=0. Пусть H нетривиальна. В этом случае в H содержатся ненулевые числа и  противоположные к ним, а значит и положительные целые. Обозначим наименьшее из них буквой n. Тогда . Если  - любое число, то разделив m на n с остатком, получим: m=kn+r, причем . Но тогда r=m-kn и значит r=0. Поэтому H =nZ , что и требовалось. 

Замечание.

Если k 0 - любое целое, то отображение  определенное формулой  является изоморфизмом и отображает подгруппу  на подгруппу  , а значит определяет изоморфизм .

Теорема о структуре циклических групп

Всякая бесконечная циклическая группа изоморфна Z . Всякая конечная циклическая группа порядка n изоморфна Z/nZ.

Доказательство.

Как было отмечено выше, всякая циклическая группа G изоморфна Z/H, где H - некоторая подгруппа Z. По предыдущей теореме H=nZ, где . Если n=0, G изоморфна Z и, следовательно, бесконечна. Если n>0, Z разбивается на n смежных классов: nZ, nZ+1, nZ+2, ..., nZ+(n-1) и потому факторгруппа Z/H имеет порядок n.

В дальнейшем группу Z/nZ будем обозначать . В частности, .

Отметим, что в наших обозначениях,  - тривиальная группа.

Элементами конечной группы  по определению являются смежные классы:

{nZ, nZ+1, ... , nZ+n-1}, которые обозначаются  и называются вычетами по модулю n , а операция в - сложением по модулю n.

Теорема о подгруппах группы (n>0).

Если H подгруппа группы , то H=  причем n делится на m нацело. Порядок H равен  =d , и значит .

Доказательство.

Рассмотрим стандартный гомоморфизм . K= - подгруппа Z и значит K=mZ для некоторого целого m. Отсюда следует, что H= . При этом  и потому n=dm где d -  целое.  По теореме о гомоморфизме  .

Из доказанных теорем следует, что всякая подгруппа циклической группы циклична. Мы видим также, что для каждого целого d, делящего порядок n конечной циклической группы имеется и притом ровно одна подгруппа порядка d, то есть для конечных циклических групп справедлива теорема обратная теореме Лагранжа.

Дальнейшее изучение структуры циклических групп опирается на один результат о делимости целых чисел, который мы сейчас и изложим.

Напомним, что для любых целых n и m определен их наибольший общий делитель d=(n,m). Если n 0 и m 0, то d - это наибольшее целое число на которое без остатка делятся  n и m. (0,m)=(m,0)=m по определению. Числа, для которых (n,m)=1 называются взаимно простыми.

Основная теорема теории делимости.

Если числа n и m взаимно просты, то можно подобрать два таких целых x и y, что  xn+ym=1.

*Доказательство.

Поскольку числа n и m ненулевые, nn+0m= >0. Значит среди чисел вида xn+ym есть положительные. Пусть s=xn+ym - наименьшее положительное число этого вида. Предположим, что s>1. Тогда s> (n,m) и потому либо n либо m (пусть n) не делится на s нацело. Значит n=ks+r, где 0< r<s. В этом случае r=n-ks = n-k(xn+ym)= (1-kx)n+(-ky)m. Это противоречит выбору числа s и значит, s=1.

Следствие.

Для всяких целых n и m можно подобрать такие целые x и y, что xn+ym=(n,m).

В самом деле , если n или m равно 0, то утверждение очевидно. Если же (n,m)>0, то числа  и   взаимно просты и по доказанной теореме для подходящих x и y имеем: , откуда и следует сформулированный результат.*

Теорема о порядках элементов конечных циклических групп.

Пусть p0 любое целое. Вычет в группе  имеет порядок v=n/(n,p).

Доказательство.

Пусть (n,p)=d. Поскольку p/d - целое число, имеем: ===, откуда следует, что порядок не превосходит v. С другой стороны, если порядок  равен k, то k=, то есть kp делится на n. По основной теореме теории делимости d=xn+yp и значит kd=kxn+ykp также делится на n. Но если k<v=n/d , то 0<kd<n не может делиться на n.

Следствие.

В группе  образующими элементами являются в точности те вычеты, для которых (n,p)=1.

Заметим также, что образующими элементами в Z являются , очевидно, только 1 и -1.

В качестве еще одного применения основной теоремы теории делимости приведем интересный пример конечной группы. Рассмотрим множество  тех вычетов  по модулю n, для которых (m,n)=1. Проверим, что относительно умножения по модулю n эти вычеты составляют группу, называемую мультипликативной группой вычетов по модулю n. Ассоциативность умножения очевидна. Также очевидно, что вычет  является нейтральным элементом. Остается проверить наличие обратного элемента. Пусть . По основной теореме найдутся такие x и y, что xm+yn=1. Переходя к вычетам, находим: = , откуда видно, что .

Группа не всегда циклична. Например, легко проверить, что все 3 нетривиальных элемента группы  имеют порядок 2 и потому она не является циклической.

Наконец, отметим один полезный результат непосредственно вытекающий из доказанного выше.

Теорема о структуре групп простого порядка.

Если порядок конечной группы G равен простому числу p, то  .

Доказательство.

Пусть  - любой элемент, отличный от нейтрального. Поскольку порядок x больше 1 и является делителем p, то он равен p и значит .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

25051. Мир культуры во всем его разнообразии и богатстве творится человеком 36.5 KB
  Как человек творит культуру так и культура формирует человека обусловливает цели и смысл его бытия развивает его собственную сущность. Существенными определяющими ведущими для человека в целом являются не биологические а общественные закономерности его развития 191. Анализируя соотношение человека и культуры исследователи отмечают его многоаспектный характер. Духовность человека это богатство мыслей сила чувств и убеждений.
25052. Желчнокаменная болезнь 1.23 MB
  Желчнокаменная болезнь (камни в желчном пузыре) известна с глубокой древности. Упоминания о ней встречаются в трудах врачей эпохи Возрождения. Развитие анатомии в ХVI-ХVII веках способствовало изучению заболеваний печени и желчного пузыря.
25053. Методи й принципи культурології 32 KB
  Він становить епістемологію культури епістемологіяце теорія пізнання представлену загальною системою методологічних підходів принципів і методів пізнання систематизації й аналізу світових культурних процесів: Діахронний виклад явищ фактів і подій світової та вітчизняної культури у хронологічній послідовності. Археологічний вивчення загального стану розвитку культури минулих поколінь на підставі матеріальних знахідок. Психологічний вивчення субєктивних механізмів функціонування культури індивідуальних якостей людини та...
25054. Створення контркультури 38 KB
  Поняття контркультура з'явилось в західній літературі у 1960 р. Контркультура об'єднує концепції які утворюють еклектичну суміш з різних понять екзистенціалізму фрейдизму вульгаризованого марксизму руссоїзму анархізму цинізму східної філософії та релігії. Контркультура протиставляла себе тим що ставила на перше місце чуттєвоемоційне переживання буття що знаходиться за рамками умогляднологічних методів пізнання. Контркультура як правило не просто має парадигму відмінну від парадигми домінуючої культури а й явно протиставляє...
25055. Жизнедеятельность общества 38 KB
  Культура играет важную роль в жизни человека и общества которая состоит прежде всего в том что культура выступает средством аккумуляции хранения и передачи человеческого опыта. Именно культура делает человека личностью. Культура личности обычно ассоциируется с развитыми творческими способностями эрудицией пониманием произведений искусства свободным владением родным и иностранными языками аккуратностью вежливостью самообладанием высокой нравственностью и т. Культура сплачивает людей интегрирует их обеспечивает целостность...
25056. Контркультура 40.5 KB
  Она определила функциональное направление и начала выполнять действие определенное законами диалектического процесса развития общества. Культура как олицетворение процесса жизнедеятельности вырабатывала своеобразный комплекс правила игры коллективного сосуществования определяла критерии оценивания тех или других интеллектуальных действий вырабатывала методы и методики передачи информации которое оказывало содействие развитию общества. Соответственно цивилизационный процесс существенно различается у народов каждой исторической эпохи а...
25057. Народная культура 44.5 KB
  Попкультура совокупность произведений различных видов искусства музыки живописи скульптуры прикладного искусства и т. Попкультура ныне включает в себя музыку кинематограф и мультипликацию литературу средства массовой информации включая комиксы и Интернет моду кулинарию рекламу спорт туризм дизайн и множество других элементов. Культура приобретает приставку поп в случае если она превращается в нечто большее чем просто игру разума или творческое рефлексирование некое произведение должно стать широко популярным в обществе....
25058. Мистецтво. Поп-культура 31.5 KB
  Будучи складовою духовної культури мистецтво дає можливості людини виявити художньотворчі здібності утвердитися на рівні самодостатнього субєкта. Мистецтво включає в себе всі види художньої творчості літературу архітектуру скульптуру живопис графіку декоративно прикладне мистецтво музику танок театр кіно та інші види людської діяльності.
25059. Культурологія. Основні завдання культурології 34.5 KB
  Тому важливим завданням теорії культури є пізнання сутності культури і виявлення законів та механізмів функціонування конкретних форм і сторін культури. аналіз культури як системи культурних феноменів; 2. виявлення ментального змісту культури; 3.