67575

Циклические группы

Лекция

Математика и математический анализ

Определение Группа G называется циклической если все ее элементы являются степенями одного элемента. Примеры циклических групп: Группа Z целых чисел с операцией сложения. Группа всех комплексных корней степени n из единицы с операцией умножения. Поскольку группа является циклической и элемент g = образующий.

Русский

2014-09-12

169 KB

7 чел.

Лекция 4

Циклические группы.

Определение

Группа G называется циклической, если все ее элементы являются степенями одного элемента . Этот элемент g называется образующим циклической группы G.

Примеры циклических групп:

Группа  Z  целых чисел с операцией сложения.

Группа   всех комплексных корней степени n из единицы с операцией умножения. Поскольку , группа является циклической и элемент g=  -образующий .

Мы видим, что циклические группы могут быть как конечными так и бесконечными.

Пусть (G,*) - произвольная группа и произвольный элемент. Множество   является циклической группой с образующим элементом g . Она называется циклической подгруппой, порожденной элементом g, а ее порядок  - порядком элемента g. По теореме Лагранжа порядок элемента является делителем порядка группы. Отображение

    действующее по формуле: , очевидно является

    гомоморфизмом и его образ совпадает с . Отображение  сюръективно      тогда и только тогда, когда группа G - циклическая и g ее образующий элемент. В этом случае будем называть  стандартным гомоморфизмом для циклической группы G c выбранной образующей g . 

Применяя в этом случае теорему о гомоморфизме,  мы получаем важное свойство циклических групп: всякая циклическая группа является гомоморфным образом группы Z .

Поскольку , всякая циклическая группа коммутативна и мы будем использовать аддитивную запись, так что n-ая степень g будет выглядеть как ng и называться n-кратным элемента g, а нейтральный элемент G мы будем называть нулем и обозначать 0.  

Условимся еще о следующем обозначении. Если F произвольная  группа, записанная аддитивно, то nF будет обозначать подмножество, элементами которого являются n-кратные элементов из F. Если группа F коммутативна, то nF - подгруппа F поскольку  n(x-y)=nx-ny.

Теорема о подгруппах группы Z

Если H -подгруппа группы Z , то H=nZ , где n - некоторое неотрицательное целое число и значит H - циклическая группа с образующим элементом n.

Доказательство:

Если H-тривиальная подгруппа, то теорема верна и n=0. Пусть H нетривиальна. В этом случае в H содержатся ненулевые числа и  противоположные к ним, а значит и положительные целые. Обозначим наименьшее из них буквой n. Тогда . Если  - любое число, то разделив m на n с остатком, получим: m=kn+r, причем . Но тогда r=m-kn и значит r=0. Поэтому H =nZ , что и требовалось. 

Замечание.

Если k 0 - любое целое, то отображение  определенное формулой  является изоморфизмом и отображает подгруппу  на подгруппу  , а значит определяет изоморфизм .

Теорема о структуре циклических групп

Всякая бесконечная циклическая группа изоморфна Z . Всякая конечная циклическая группа порядка n изоморфна Z/nZ.

Доказательство.

Как было отмечено выше, всякая циклическая группа G изоморфна Z/H, где H - некоторая подгруппа Z. По предыдущей теореме H=nZ, где . Если n=0, G изоморфна Z и, следовательно, бесконечна. Если n>0, Z разбивается на n смежных классов: nZ, nZ+1, nZ+2, ..., nZ+(n-1) и потому факторгруппа Z/H имеет порядок n.

В дальнейшем группу Z/nZ будем обозначать . В частности, .

Отметим, что в наших обозначениях,  - тривиальная группа.

Элементами конечной группы  по определению являются смежные классы:

{nZ, nZ+1, ... , nZ+n-1}, которые обозначаются  и называются вычетами по модулю n , а операция в - сложением по модулю n.

Теорема о подгруппах группы (n>0).

Если H подгруппа группы , то H=  причем n делится на m нацело. Порядок H равен  =d , и значит .

Доказательство.

Рассмотрим стандартный гомоморфизм . K= - подгруппа Z и значит K=mZ для некоторого целого m. Отсюда следует, что H= . При этом  и потому n=dm где d -  целое.  По теореме о гомоморфизме  .

Из доказанных теорем следует, что всякая подгруппа циклической группы циклична. Мы видим также, что для каждого целого d, делящего порядок n конечной циклической группы имеется и притом ровно одна подгруппа порядка d, то есть для конечных циклических групп справедлива теорема обратная теореме Лагранжа.

Дальнейшее изучение структуры циклических групп опирается на один результат о делимости целых чисел, который мы сейчас и изложим.

Напомним, что для любых целых n и m определен их наибольший общий делитель d=(n,m). Если n 0 и m 0, то d - это наибольшее целое число на которое без остатка делятся  n и m. (0,m)=(m,0)=m по определению. Числа, для которых (n,m)=1 называются взаимно простыми.

Основная теорема теории делимости.

Если числа n и m взаимно просты, то можно подобрать два таких целых x и y, что  xn+ym=1.

*Доказательство.

Поскольку числа n и m ненулевые, nn+0m= >0. Значит среди чисел вида xn+ym есть положительные. Пусть s=xn+ym - наименьшее положительное число этого вида. Предположим, что s>1. Тогда s> (n,m) и потому либо n либо m (пусть n) не делится на s нацело. Значит n=ks+r, где 0< r<s. В этом случае r=n-ks = n-k(xn+ym)= (1-kx)n+(-ky)m. Это противоречит выбору числа s и значит, s=1.

Следствие.

Для всяких целых n и m можно подобрать такие целые x и y, что xn+ym=(n,m).

В самом деле , если n или m равно 0, то утверждение очевидно. Если же (n,m)>0, то числа  и   взаимно просты и по доказанной теореме для подходящих x и y имеем: , откуда и следует сформулированный результат.*

Теорема о порядках элементов конечных циклических групп.

Пусть p0 любое целое. Вычет в группе  имеет порядок v=n/(n,p).

Доказательство.

Пусть (n,p)=d. Поскольку p/d - целое число, имеем: ===, откуда следует, что порядок не превосходит v. С другой стороны, если порядок  равен k, то k=, то есть kp делится на n. По основной теореме теории делимости d=xn+yp и значит kd=kxn+ykp также делится на n. Но если k<v=n/d , то 0<kd<n не может делиться на n.

Следствие.

В группе  образующими элементами являются в точности те вычеты, для которых (n,p)=1.

Заметим также, что образующими элементами в Z являются , очевидно, только 1 и -1.

В качестве еще одного применения основной теоремы теории делимости приведем интересный пример конечной группы. Рассмотрим множество  тех вычетов  по модулю n, для которых (m,n)=1. Проверим, что относительно умножения по модулю n эти вычеты составляют группу, называемую мультипликативной группой вычетов по модулю n. Ассоциативность умножения очевидна. Также очевидно, что вычет  является нейтральным элементом. Остается проверить наличие обратного элемента. Пусть . По основной теореме найдутся такие x и y, что xm+yn=1. Переходя к вычетам, находим: = , откуда видно, что .

Группа не всегда циклична. Например, легко проверить, что все 3 нетривиальных элемента группы  имеют порядок 2 и потому она не является циклической.

Наконец, отметим один полезный результат непосредственно вытекающий из доказанного выше.

Теорема о структуре групп простого порядка.

Если порядок конечной группы G равен простому числу p, то  .

Доказательство.

Пусть  - любой элемент, отличный от нейтрального. Поскольку порядок x больше 1 и является делителем p, то он равен p и значит .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

31004. История возникновения и развития Веб 106.09 KB
  История возникновения и развития Веб 1. Была запущена первая вебслужба электронной почты – HoTMaiL. Появился iPhone который почти полностью отвечает за повышенный интерес к мобильным вебприложениям. Логическая модель Всемирная паутина World Wide Web Веб [20] – распределенная система предоставляющая доступ к связанным между собой документам расположенным на различных компьютерах подключенных к Интернету.
31005. Лабораторная диагностика микоплазмозов 210 KB
  Животных вакцинированных против хламидийного аборта серологически не исследуют в течение одного года после вакцинации. Молекулярногенетический метод Метод предназначен для выявления ДНК хламидий с помощью полимеразной цепной реакции ПЦР в патологическом материале от животных. При получении нарастания титра антител в парных пробах сыворотки крови больных или переболевших животных в РДСК РНСК РНГА ИФА в два и более раз диагноз считают предварительным а окончательным после получения положительного результата любого прямого метода...
31006. ОСНОВЫ ИНФОРМАТИЗАЦИИ ОБЩЕГО СРЕДНЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 8.94 MB
  Переход от разрозненного использования средств ИКТ к системной информатизации образования. Средства информатизации образования Информационные и коммуникационные технологии ИКТ с каждым днем все больше проникают в различные сферы образовательной деятельности. В большинстве случаев использование средств информатизации оказывает реальное положительное влияние на интенсификацию труда учителей школ а также на эффективность обучения школьников. В основе средств ИКТ используемых в сфере общего среднего образования находится персональный...
31007. Информатика. Строение ПК 161.5 KB
  Процессор – это мозг ПК (ЦБУ), он выполняет вычисления и обработку внутреннего и внешнего оборудования. Процессор должен соответствовать материнке. В настоящее время на рынке процессоров доминируют две компании – Intel и AMD
31008. Социология права УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ 1.49 MB
  Социологию права можно определить как отрасль общей социологии — подобно экономической социологии, социологии образования, религии и т.д. Это частносоциологическая дисциплина, предмет изучения которой составляют правовые явления. Однако граница между правом и обычаем, между юридической и общей социологией всегда остается прозрачной.
31009. ПСИХОЛОГІЯ ВЗАЄМОДІЇ ЛЮДЕЙ В СОЦІАЛЬНИХ ГРУПАХ 46.95 KB
  Поняття про групи колектив їх типологія характеристика. Людина живе і діє не сама по собі а в групі і формується як особа під впливом групи оточення. Більш того все життя людини можна уявити як життя в тих чи інших групах з їх внутрішньо груповими зв’язками відносинами субординацією очікуваннями і соціальними ролями запропонованими кожному члену групи. Суб’єктивні фактори формування групи без соціальної характеристики: 1.
31010. Методы лабораторной диагностики болезней пчел и рыб 78.5 KB
  Диагноз на американский гнилец ставят на основании эпизоотологических данных характерных признаков поражения расплода и результатов лабораторного исследования. Для исследования в лабораторию направляют образцы сотов размером 10 х 15 см с больными и погибшими личинками. Заплесневевший материал для исследования непригоден. ПЕРВЫЙ ДЕНЬ ИССЛЕДОВАНИЯ: Готовят мазки из массы разложившихся личинок или сухих корочек.
31012. Вопросы к экзамену по менеджменту 1.53 MB
  Необходимость управления возникает в результате совместного труда направлено на повышение его эффективности. Потребность в управлении усиливается под влиянием следующих факторов: Развитие производства; увеличение количества людей занятых в совместной деятельности развитие машинного производства возрастание требований к управлению Возникновение большого количества субъектов рыночной экономики усиление рыночных связей Обострение конкуренции и неустойчивость рыночной экономики которые обуславливают необходимость профессионального...