67575

Циклические группы

Лекция

Математика и математический анализ

Определение Группа G называется циклической если все ее элементы являются степенями одного элемента. Примеры циклических групп: Группа Z целых чисел с операцией сложения. Группа всех комплексных корней степени n из единицы с операцией умножения. Поскольку группа является циклической и элемент g = образующий.

Русский

2014-09-12

169 KB

7 чел.

Лекция 4

Циклические группы.

Определение

Группа G называется циклической, если все ее элементы являются степенями одного элемента . Этот элемент g называется образующим циклической группы G.

Примеры циклических групп:

Группа  Z  целых чисел с операцией сложения.

Группа   всех комплексных корней степени n из единицы с операцией умножения. Поскольку , группа является циклической и элемент g=  -образующий .

Мы видим, что циклические группы могут быть как конечными так и бесконечными.

Пусть (G,*) - произвольная группа и произвольный элемент. Множество   является циклической группой с образующим элементом g . Она называется циклической подгруппой, порожденной элементом g, а ее порядок  - порядком элемента g. По теореме Лагранжа порядок элемента является делителем порядка группы. Отображение

    действующее по формуле: , очевидно является

    гомоморфизмом и его образ совпадает с . Отображение  сюръективно      тогда и только тогда, когда группа G - циклическая и g ее образующий элемент. В этом случае будем называть  стандартным гомоморфизмом для циклической группы G c выбранной образующей g . 

Применяя в этом случае теорему о гомоморфизме,  мы получаем важное свойство циклических групп: всякая циклическая группа является гомоморфным образом группы Z .

Поскольку , всякая циклическая группа коммутативна и мы будем использовать аддитивную запись, так что n-ая степень g будет выглядеть как ng и называться n-кратным элемента g, а нейтральный элемент G мы будем называть нулем и обозначать 0.  

Условимся еще о следующем обозначении. Если F произвольная  группа, записанная аддитивно, то nF будет обозначать подмножество, элементами которого являются n-кратные элементов из F. Если группа F коммутативна, то nF - подгруппа F поскольку  n(x-y)=nx-ny.

Теорема о подгруппах группы Z

Если H -подгруппа группы Z , то H=nZ , где n - некоторое неотрицательное целое число и значит H - циклическая группа с образующим элементом n.

Доказательство:

Если H-тривиальная подгруппа, то теорема верна и n=0. Пусть H нетривиальна. В этом случае в H содержатся ненулевые числа и  противоположные к ним, а значит и положительные целые. Обозначим наименьшее из них буквой n. Тогда . Если  - любое число, то разделив m на n с остатком, получим: m=kn+r, причем . Но тогда r=m-kn и значит r=0. Поэтому H =nZ , что и требовалось. 

Замечание.

Если k 0 - любое целое, то отображение  определенное формулой  является изоморфизмом и отображает подгруппу  на подгруппу  , а значит определяет изоморфизм .

Теорема о структуре циклических групп

Всякая бесконечная циклическая группа изоморфна Z . Всякая конечная циклическая группа порядка n изоморфна Z/nZ.

Доказательство.

Как было отмечено выше, всякая циклическая группа G изоморфна Z/H, где H - некоторая подгруппа Z. По предыдущей теореме H=nZ, где . Если n=0, G изоморфна Z и, следовательно, бесконечна. Если n>0, Z разбивается на n смежных классов: nZ, nZ+1, nZ+2, ..., nZ+(n-1) и потому факторгруппа Z/H имеет порядок n.

В дальнейшем группу Z/nZ будем обозначать . В частности, .

Отметим, что в наших обозначениях,  - тривиальная группа.

Элементами конечной группы  по определению являются смежные классы:

{nZ, nZ+1, ... , nZ+n-1}, которые обозначаются  и называются вычетами по модулю n , а операция в - сложением по модулю n.

Теорема о подгруппах группы (n>0).

Если H подгруппа группы , то H=  причем n делится на m нацело. Порядок H равен  =d , и значит .

Доказательство.

Рассмотрим стандартный гомоморфизм . K= - подгруппа Z и значит K=mZ для некоторого целого m. Отсюда следует, что H= . При этом  и потому n=dm где d -  целое.  По теореме о гомоморфизме  .

Из доказанных теорем следует, что всякая подгруппа циклической группы циклична. Мы видим также, что для каждого целого d, делящего порядок n конечной циклической группы имеется и притом ровно одна подгруппа порядка d, то есть для конечных циклических групп справедлива теорема обратная теореме Лагранжа.

Дальнейшее изучение структуры циклических групп опирается на один результат о делимости целых чисел, который мы сейчас и изложим.

Напомним, что для любых целых n и m определен их наибольший общий делитель d=(n,m). Если n 0 и m 0, то d - это наибольшее целое число на которое без остатка делятся  n и m. (0,m)=(m,0)=m по определению. Числа, для которых (n,m)=1 называются взаимно простыми.

Основная теорема теории делимости.

Если числа n и m взаимно просты, то можно подобрать два таких целых x и y, что  xn+ym=1.

*Доказательство.

Поскольку числа n и m ненулевые, nn+0m= >0. Значит среди чисел вида xn+ym есть положительные. Пусть s=xn+ym - наименьшее положительное число этого вида. Предположим, что s>1. Тогда s> (n,m) и потому либо n либо m (пусть n) не делится на s нацело. Значит n=ks+r, где 0< r<s. В этом случае r=n-ks = n-k(xn+ym)= (1-kx)n+(-ky)m. Это противоречит выбору числа s и значит, s=1.

Следствие.

Для всяких целых n и m можно подобрать такие целые x и y, что xn+ym=(n,m).

В самом деле , если n или m равно 0, то утверждение очевидно. Если же (n,m)>0, то числа  и   взаимно просты и по доказанной теореме для подходящих x и y имеем: , откуда и следует сформулированный результат.*

Теорема о порядках элементов конечных циклических групп.

Пусть p0 любое целое. Вычет в группе  имеет порядок v=n/(n,p).

Доказательство.

Пусть (n,p)=d. Поскольку p/d - целое число, имеем: ===, откуда следует, что порядок не превосходит v. С другой стороны, если порядок  равен k, то k=, то есть kp делится на n. По основной теореме теории делимости d=xn+yp и значит kd=kxn+ykp также делится на n. Но если k<v=n/d , то 0<kd<n не может делиться на n.

Следствие.

В группе  образующими элементами являются в точности те вычеты, для которых (n,p)=1.

Заметим также, что образующими элементами в Z являются , очевидно, только 1 и -1.

В качестве еще одного применения основной теоремы теории делимости приведем интересный пример конечной группы. Рассмотрим множество  тех вычетов  по модулю n, для которых (m,n)=1. Проверим, что относительно умножения по модулю n эти вычеты составляют группу, называемую мультипликативной группой вычетов по модулю n. Ассоциативность умножения очевидна. Также очевидно, что вычет  является нейтральным элементом. Остается проверить наличие обратного элемента. Пусть . По основной теореме найдутся такие x и y, что xm+yn=1. Переходя к вычетам, находим: = , откуда видно, что .

Группа не всегда циклична. Например, легко проверить, что все 3 нетривиальных элемента группы  имеют порядок 2 и потому она не является циклической.

Наконец, отметим один полезный результат непосредственно вытекающий из доказанного выше.

Теорема о структуре групп простого порядка.

Если порядок конечной группы G равен простому числу p, то  .

Доказательство.

Пусть  - любой элемент, отличный от нейтрального. Поскольку порядок x больше 1 и является делителем p, то он равен p и значит .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

41215. СИНТАКСИЧЕСКАЯ И СЕМАНТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА ФРАЗЫ 104.5 KB
  Чем определяется переход от отдельных слов к фразам которые составляют основную единицу целого высказывания Мы уже сказали о том что если изолированное слово обозначает предмет действие или качество и обобщает его т. Однако подобные предположения лишь подчеркивают своеобразие тех процессов которые обеспечивают порождение фразы. Потребовалось длительное время чтобы понять процесс порождения целой фразы этой единицы речевого сообщения.
41216. РАЗВЕРНУТОЕ РЕЧЕВОЕ СООБЩЕНИЕ И ЕГО ПОРОЖДЕНИЕ 95.5 KB
  С одной стороны мы рассмотрим психологический путь формирования речевого высказывания от мысли через внутреннюю схему высказывания и внутреннюю речь к развернутой внешней речи из которой и состоит речевая коммуникация. С другой стороны мы остановимся на анализе того как протекает процесс восприятия и понимания речевого высказывания который начинается с восприятия развернутой речи собеседника и через ряд ступеней переходит к выделению существенной мысли а затем и всего смысла воспринимаемого высказывания. Таким образом предметом...
41217. ОСНОВНЫЕ ФОРМЫ РЕЧЕВОГО ВЫСКАЗЫВАНИЯ 82 KB
  Мы посвятили прошлую лекцию анализу основных этапов формирования речевого высказывания или что то же самое психологическому анализу процесса порождения развернутой внешней речи. Как известно существуют две формы развернутой внешней речи: это устная речь с одной стороны и письменная речь с другой. Центральным вопросом психологического исследования структуры этих видов речи будет вопрос о том как в каждой из них соотносятся языковые синсемантические и внеязыковые...
41218. ПОНИМАНИЕ КОМПОНЕНТОВ РЕЧЕВОГО ВЫСКАЗЫВАНИЯ. СЛОВО И ПРЕДЛОЖЕНИЕ 109 KB
  Теперь мы остановимся на психологическом анализе понимания высказывания т. Анализ процесса понимания речевого сообщения составляет одну из наиболее трудных и как это ни странно одну из наименее разработанных глав научной психологии. ПРОБЛЕМА Психологи неодинаково подходили к анализу процесса понимания смысла речевого сообщения или процесса декодирования воспринимаемого речевого высказывания. Одни авторы предполагали что для понимания смысла речевого сообщения достаточно иметь прочный и широкий словарь т.
41219. ПОНИМАНИЕ СМЫСЛА СЛОЖНОГО СООБЩЕНИЯ 92.5 KB
  Приступая к обсуждению этого вопроса мы тем самым переходим от анализа понимания системы внешних значений речевого высказывания к пониманию его внутреннего смысла от проблем понимания слова фразы и даже внешнего значения текста к пониманию подтекста смысла и в конечном счете к пониманию мотива который стоит за текстом. В проблемах понимания литературного произведения понимание подтекста смысла и в конечном итоге мотива пожалуй является основным. Глубина прочтения текста или обнаружение его подтекста его внутреннего смысла может...
41220. ЯЗЫК И ДИСКУРСИВНОЕ МЫШЛЕНИЕ. ОПЕРАЦИЯ ВЫВОДА 91 KB
  Это свойство языка создает возможность сложнейших форм дискурсивного индуктивного и дедуктивного мышления которые являются основными формами продуктивной интеллектуальной деятельности человека. Сложившийся в течение многих тысяч лет общественной истории аппарат логического сочетания нескольких высказываний образует основную систему средств лежащих в основе логического мышления человека. Моделью логического мышления осуществляющегося с помощью речи может являться силлогизм. Таким образом силлогизм как аппарат логического мышления...
41221. МОЗГОВАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ РЕЧЕВОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ. ПАТОЛОГИЯ РЕЧЕВОГО ВЫСКАЗЫВАНИЯ 144.5 KB
  Выше мы подробно осветили основные вопросы психологии речевой деятельности. Мы остановились на структуре слова и фразы на происхождении этих основных составных единиц языка на порождении целого речевого высказывания на анализе того пути от мысли к развернутому речевому сообщению который проделывает человек формулируя свое речевое высказывание. Мы остановились на этапах декодирования или понимания речевого сообщения начинающегося с восприятия обращенной к человеку речи проходящего стадии...
41222. МОЗГОВАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ ПРОЦЕССОВ ДЕКОДИРОВАНИЯ (ПОНИМАНИЯ) РЕЧЕВОГО СООБЩЕНИЯ 95 KB
  Этот этап порождения речевого высказывания обеспечивается передними отделами мозга; их поражение как мы видели ведет к своеобразному нару шению речевой деятельности в виде распада синтагматической организации связного речевого сообщения. Вторым этапом речевого высказывания является этап включения высказывания в коды языка. В этих случаях нарушается парадигматическая организация речевого высказывания при сохранности ее синтагматической структуры.
41223. История возникновения и перспективы применения штрихового кодирования 1.42 MB
  История возникновения и перспективы применения штрихового кода Вид и размер штрихового кода EN13.5 Определение размера штрихового кода.2 Плотность штрихового кода.