67575
Циклические группы
Лекция
Математика и математический анализ
Определение Группа G называется циклической если все ее элементы являются степенями одного элемента. Примеры циклических групп: Группа Z целых чисел с операцией сложения. Группа всех комплексных корней степени n из единицы с операцией умножения. Поскольку группа является циклической и элемент g = образующий.
Русский
2014-09-12
169 KB
9 чел.
Лекция 4
Циклические группы.
Определение
Группа G называется циклической, если все ее элементы являются степенями одного элемента . Этот элемент g называется образующим циклической группы G.
Примеры циклических групп:
Группа Z целых чисел с операцией сложения.
Группа всех комплексных корней степени n из единицы с операцией умножения. Поскольку , группа является циклической и элемент g= -образующий .
Мы видим, что циклические группы могут быть как конечными так и бесконечными.
Пусть (G,*) - произвольная группа и произвольный элемент. Множество является циклической группой с образующим элементом g . Она называется циклической подгруппой, порожденной элементом g, а ее порядок - порядком элемента g. По теореме Лагранжа порядок элемента является делителем порядка группы. Отображение
действующее по формуле: , очевидно является
гомоморфизмом и его образ совпадает с . Отображение сюръективно тогда и только тогда, когда группа G - циклическая и g ее образующий элемент. В этом случае будем называть стандартным гомоморфизмом для циклической группы G c выбранной образующей g .
Применяя в этом случае теорему о гомоморфизме, мы получаем важное свойство циклических групп: всякая циклическая группа является гомоморфным образом группы Z .
Поскольку , всякая циклическая группа коммутативна и мы будем использовать аддитивную запись, так что n-ая степень g будет выглядеть как ng и называться n-кратным элемента g, а нейтральный элемент G мы будем называть нулем и обозначать 0.
Условимся еще о следующем обозначении. Если F произвольная группа, записанная аддитивно, то nF будет обозначать подмножество, элементами которого являются n-кратные элементов из F. Если группа F коммутативна, то nF - подгруппа F поскольку n(x-y)=nx-ny.
Теорема о подгруппах группы Z
Если H -подгруппа группы Z , то H=nZ , где n - некоторое неотрицательное целое число и значит H - циклическая группа с образующим элементом n.
Доказательство:
Если H-тривиальная подгруппа, то теорема верна и n=0. Пусть H нетривиальна. В этом случае в H содержатся ненулевые числа и противоположные к ним, а значит и положительные целые. Обозначим наименьшее из них буквой n. Тогда . Если - любое число, то разделив m на n с остатком, получим: m=kn+r, причем . Но тогда r=m-kn и значит r=0. Поэтому H =nZ , что и требовалось.
Замечание.
Если k 0 - любое целое, то отображение определенное формулой является изоморфизмом и отображает подгруппу на подгруппу , а значит определяет изоморфизм .
Теорема о структуре циклических групп
Всякая бесконечная циклическая группа изоморфна Z . Всякая конечная циклическая группа порядка n изоморфна Z/nZ.
Доказательство.
Как было отмечено выше, всякая циклическая группа G изоморфна Z/H, где H - некоторая подгруппа Z. По предыдущей теореме H=nZ, где . Если n=0, G изоморфна Z и, следовательно, бесконечна. Если n>0, Z разбивается на n смежных классов: nZ, nZ+1, nZ+2, ..., nZ+(n-1) и потому факторгруппа Z/H имеет порядок n.
В дальнейшем группу Z/nZ будем обозначать . В частности, .
Отметим, что в наших обозначениях, - тривиальная группа.
Элементами конечной группы по определению являются смежные классы:
{nZ, nZ+1, ... , nZ+n-1}, которые обозначаются и называются вычетами по модулю n , а операция в - сложением по модулю n.
Теорема о подгруппах группы (n>0).
Если H подгруппа группы , то H= причем n делится на m нацело. Порядок H равен =d , и значит .
Доказательство.
Рассмотрим стандартный гомоморфизм . K= - подгруппа Z и значит K=mZ для некоторого целого m. Отсюда следует, что H= . При этом и потому n=dm где d - целое. По теореме о гомоморфизме .
Из доказанных теорем следует, что всякая подгруппа циклической группы циклична. Мы видим также, что для каждого целого d, делящего порядок n конечной циклической группы имеется и притом ровно одна подгруппа порядка d, то есть для конечных циклических групп справедлива теорема обратная теореме Лагранжа.
Дальнейшее изучение структуры циклических групп опирается на один результат о делимости целых чисел, который мы сейчас и изложим.
Напомним, что для любых целых n и m определен их наибольший общий делитель d=(n,m). Если n 0 и m 0, то d - это наибольшее целое число на которое без остатка делятся n и m. (0,m)=(m,0)=m по определению. Числа, для которых (n,m)=1 называются взаимно простыми.
Основная теорема теории делимости.
Если числа n и m взаимно просты, то можно подобрать два таких целых x и y, что xn+ym=1.
*Доказательство.
Поскольку числа n и m ненулевые, nn+0m= >0. Значит среди чисел вида xn+ym есть положительные. Пусть s=xn+ym - наименьшее положительное число этого вида. Предположим, что s>1. Тогда s> (n,m) и потому либо n либо m (пусть n) не делится на s нацело. Значит n=ks+r, где 0< r<s. В этом случае r=n-ks = n-k(xn+ym)= (1-kx)n+(-ky)m. Это противоречит выбору числа s и значит, s=1.
Следствие.
Для всяких целых n и m можно подобрать такие целые x и y, что xn+ym=(n,m).
В самом деле , если n или m равно 0, то утверждение очевидно. Если же (n,m)>0, то числа и взаимно просты и по доказанной теореме для подходящих x и y имеем: , откуда и следует сформулированный результат.*
Теорема о порядках элементов конечных циклических групп.
Пусть p0 любое целое. Вычет в группе имеет порядок v=n/(n,p).
Доказательство.
Пусть (n,p)=d. Поскольку p/d - целое число, имеем: ===, откуда следует, что порядок не превосходит v. С другой стороны, если порядок равен k, то k=, то есть kp делится на n. По основной теореме теории делимости d=xn+yp и значит kd=kxn+ykp также делится на n. Но если k<v=n/d , то 0<kd<n не может делиться на n.
Следствие.
В группе образующими элементами являются в точности те вычеты, для которых (n,p)=1.
Заметим также, что образующими элементами в Z являются , очевидно, только 1 и -1.
В качестве еще одного применения основной теоремы теории делимости приведем интересный пример конечной группы. Рассмотрим множество тех вычетов по модулю n, для которых (m,n)=1. Проверим, что относительно умножения по модулю n эти вычеты составляют группу, называемую мультипликативной группой вычетов по модулю n. Ассоциативность умножения очевидна. Также очевидно, что вычет является нейтральным элементом. Остается проверить наличие обратного элемента. Пусть . По основной теореме найдутся такие x и y, что xm+yn=1. Переходя к вычетам, находим: = , откуда видно, что .
Группа не всегда циклична. Например, легко проверить, что все 3 нетривиальных элемента группы имеют порядок 2 и потому она не является циклической.
Наконец, отметим один полезный результат непосредственно вытекающий из доказанного выше.
Теорема о структуре групп простого порядка.
Если порядок конечной группы G равен простому числу p, то .
Доказательство.
Пусть - любой элемент, отличный от нейтрального. Поскольку порядок x больше 1 и является делителем p, то он равен p и значит .
А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать | |||
12948. | Анализ воспитательного мероприятия на тему «Кто такой настоящий друг» | 16.88 KB | |
Анализ воспитательного мероприятия. Воспитательное мероприятие на тему Кто такой настоящий друг было проведено мной Силантьевой Екатериной Геннадьевной в 1А классе СОШ №4. Тема классного часа: Кто такой настоящий друг Форма проведения: конкурсная программа с э | |||
12949. | Психолого-педагогический анализ воспитательного дела | 18.14 KB | |
Психологопедагогический анализ воспитательного дела Школа: специализированная школа №43 Класс: 6Б Вид работы: классный час Дата: 16.04.2013 Тема: Вред от сигарет Проведен: Берстнев Д.С. Анализ Тема данного классного часа была включена в план воспитательн... | |||
12950. | Классный час «Навечно памятью дано» | 56.5 KB | |
КЛАССНЫЙ ЧАС НАВЕЧНО ПАМЯТЬЮ ДАНО Классный час Навечно памятью дано устный исторический журнал Цель: патриотическое воспитание школьников. Задачи: воспитывать любовь к Родине патриотизм чувство товарищества гордость за славные боевые традиции стра... | |||
12951. | Классный час «Василий Тёркин» - строки, опалённые войной | 73.5 KB | |
Единый классный час Василий Тёркин строки опалённые войной к 70 летию со дня начала публикации в газете Западного фронта Красноармейская правда поэмы А.Т. Твардовского Василий Тёркин Цели урока: 1 раскрыть гражданское мужество поэта; показать роль по... | |||
12952. | Методика организации и проведения классных часов | 100.5 KB | |
ТЕМА: Методика организации и проведения классных часов. ПЛАН Понятие классный час его задачи. Функции классного часа. Формы проведения классных часов. Подготовка классного часа. Проведение классного часа. Понятие классный... | |||
12953. | Неформалы – путь к себе или от себя. Классный час для школьников 6-го класса | 41.54 KB | |
Классный час для школьников 6го класса Тема: Неформалы путь к себе или от себя НЕФОРМАЛЫ ПУТЬ К СЕБЕ ИЛИ ОТ СЕБЯ Час общения о неформальных движениях Что не развилось в молодости То останется не развитым на всю жизнь Д.И.Писарев Кто в 16 лет не революционе... | |||
12954. | День захисника Вітчизни | 49.5 KB | |
Тема. День захисника Вітчизни Мета: познайомити дітей з видами військ; розвиток памяті уваги організованості самостійності умінь погоджувати інтереси в процесі подолання певним відповідним віковим особливостям труднощів; формування колективу виключення розєдн | |||
12955. | Воспитательные мероприятия. Классный час Человек отражается в своих поступках и другие | 133.5 KB | |
Классный час Человек отражается в своих поступках Цель: развить умение входить в положение других людей лучше понимать их чувства мотивы поведения; научиться прогнозировать и корректировать свое поведение поступки в самых различных жизненных ситуациях... | |||
12956. | Воспитательные мероприятия. Школа самоуважения | 131.28 KB | |
Школа самоуважения В период адаптации при переходе от начальной школы к старшейважной задачей для ребёнка является сохранение самоуважения. Правовой и психологический аспекты этой темы нашли отражение в данном сценарии. Основное содержание классного часа созда | |||