67576

Коммутативные группы с конечным числом образующих

Лекция

Математика и математический анализ

Группа Q рациональных чисел с операцией сложения не является г.к.о. В самом деле, если - любые рациональные числа, записанные в виде отношения целых, то, приводя к общему знаменателю сумму, получим дробь, знаменатель которой не превосходит...

Русский

2014-09-12

181.5 KB

4 чел.

Лекция№5

Коммутативные группы с конечным числом образующих.

Часть первая: общая теория

Определение

Элементы  коммутативной группы G называются ее системой образующих (с.о.) , если каждый элемент можно записать в виде: , где  . Группа, имеющая систему образующих, называется группой с конечным числом образующих (г.к.о.)

Примеры.

Циклическая группа - группа с одной образующей.

Группа   всех n-мерных векторов с целочисленными координатами с операцией сложения имеет стандартную с.о. e= , где - вектор, у которого единственная ненулевая координата - i ая , равная 1.

Отметим, что Z . Будем также считать, что   - тривиальная группа.

Система {3,7} - является с.о. группы Z . Это вытекает из тождества: m= m*7+(-2m)*3 .

Всякая конечная абелева группа является г.к.о. так как за систему образующих можно взять, например, все элементы этой группы.

Группа Q рациональных чисел с операцией сложения не является г.к.о.  В самом деле, если  - любые рациональные числа, записанные в виде отношения целых, то,  приводя к общему знаменателю сумму , получим дробь, знаменатель которой не превосходит N= . Поэтому любая несократимая дробь с большим чем N знаменателем не является целочисленной линейной комбинацией данных рациональных чисел и они не образуют с.о.

Пусть G- группа с с.о. . Определим отображение  формулой: . Очевидно, что   является сюръективным гомоморфизмом. Будем называть стандартным гомоморфизмом для группы G c заданной с.о.. Он отображает стандартную с.о. группы  в заданную с.о. группы G. Из существования стандартного гомоморфизма вытекает, что любая г.к.о. является гомоморфным образом группы  . Отметим еще, что если - сюръективный гомоморфизм, то - с.о. группы K. Поэтому гомоморфный образ г.к.о. является г.к.о.

Теорема о подгруппах г.к.о.

Всякая подгруппа H группы G с с.о.  допускает конечную с.о. , причем .

Доказательство.

Проведем индукцию по числу n образующих группы G . При n=1 G -циклическая группа и для нее теорема верна, так как всякая ее подгруппа циклична. Пусть для групп с (n-1) образующей теорема уже доказана; рассмотрим случай сформулированный в теореме. Определим множество

. Легко проверить, что - подгруппа и потому P=kZ, где . Если k>0 выберем  так, чтобы . Пусть - подмножество G, состоящее из всевозможных линейных комбинаций , где все  . Очевидно, что - подгруппа G с (n-1) образующей. Пусть также - подгруппа . По предположению индукции  допускает конечную с.о. , где . Если k=0, и теорема доказана. Предположим, что k>0. Докажем тогда, что - с.о. подгруппы H. Пусть - произвольный элемент. Тогда h= . Значит,

=и потому=, откуда  и теорема полностью доказана.

Итак, любая подгруппа г.к.о. является г.к.о. Укажем удобный способ задания группы G с заданной с.о.  с помощью матриц. Рассмотрим стандартный гомоморфизм . Тогда H=Ker- подгруппа г.к.о. и потому имеет конечную с.о. . Поскольку  , можно записать: , где . Матрица  с этими элементами полностью описывает подгруппу H, а, следовательно, и группу G.

Примеры.

Пусть G=- циклическая группа с образующей g. Стандартный гомоморфизм  имеет ядро nZ с образующей n. Здесь - (11) матрица (n).

Пусть G=- мультипликативная группа вычетов по модулю 20. Эта группа состоит из 8 элементов: {1, 3,7,9,11,13,17,19} ( для упрощения записи мы не ставим черту над соответствующим вычетом). Циклическая подгруппа Z(3) как нетрудно видеть состоит из элементов 1, 3, 9, 7; циклическая группа Z(13) - из элементов 1, 13, 9,17. Поскольку 3*13=19 и *13=11, мы видим, что каждый элемент из  может быть записан в виде , то есть {3, 13} -с.о. группы G. Стандартный гомоморфизм     

действует по формуле: . Ядро этого гомоморфизма  состоит из таких двумерных векторов , для которых  =1, то есть элементы и должны быть взаимно обратными. Это возможно только когда оба вычета равны 1 или 9, что соответствует значениям n=4p; m=4q или n=4p+2; m=4q+2 (). Отсюда видно, что в качестве образующих  можно выбрать элементы и  . Поэтому получаем: .

Замечание.

Построение матрицы  для данной г.к.о. G зависит от выбора с.о. группы G и подгруппы . Существует стандартный способ изменения с.о. - выполнение элементарных преобразований (э.п.). Как известно, имеются 3 типа элементарных преобразований: перестановка образующих, умножение одной из образующих на число p и прибавление к одной образующей кратного другой. Для того, чтобы при этих преобразованиях снова получалась с.о. необходима их обратимость. Поэтому число p может быть равно только 1 или -1. Выполнение  э.п. с.о. G приводит к преобразованиям строк матрицы , а э.п. с.о. H приводят к преобразованиям столбцов той же матрицы. Назовем две целочисленные матрицы эквивалентными, если одна из них получается из другой э.п. строк и столбцов . Из сказанного выше вытекает, что эквивалентные матрицы отвечают одной и той же группе. Отметим еще, что если B- любая , то взяв в качестве -множество всевозможных целочисленных комбинаций столбцов B и образовав факторгруппу G=  мы придем к группе, для которой =B. Таким образом, любая целочисленная матрица определяет некоторую г.к.о.

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

7297. Психологічні особливості підліткового віку 104 KB
  Психологічні особливості підліткового віку Загальна характеристика ситуації та особливостей розвитку підлітків Стосунки з однолітками та дорослими Розвиток пізнавальних процесів Формування особистості підлітка ЗАГАЛЬНА ХАРАК...
7298. Основи правового регулювання працевлаштування і зайнятості населення 141 KB
  Основи правового регулювання працевлаштування і зайнятості населення. Поняття зайнятості населення. Правове регулювання працевлаштування громадян України Вирішення соціальних та економічних проблем, які в сучасних умовах стоять перед Україною, з...
7299. Ділова зустріч. Умови ефективної ділової зустрічі 68 KB
  Тема: Ділова зустріч План Характеристика ділової зустрічі. Протокол ділової зустрічі. Умови ефективної ділової зустрічі. Щоб ефективно провести ділову зустріч, до неї потрібно серйозно підготуватись, продумавши все до дрібниць. Про...
7300. Мікроекономічна модель підприємства. виробнича функція 165.5 KB
  Мікроекономічна модель підприємства. виробнича функція План: Підприємство як виробнича система. Фактори виробництва та їх класифікація. Поняття i параметри виробничої функції Виробництво - це процес використання ресурсів для виготовлення ...
7301. Оздоровлення повітряного середовища 49 KB
  Оздоровлення повітряного середовища Метеорологічні умови в робочій зоні приміщень Робоча зона - це простір висотою 2 м над рівнем робочої поверхні. Метеоумови в робочій зоні приміщення визначаються ГОСТ 12.1.005-88 Общие санитарно-гигиенические...
7302. Технологія приготування напівфабрикатів для тортів та тістечок 77 KB
  Технологія приготування напівфабрикатів для тортів та тістечок Бісквітне тісто Бісквіт Буше Бісквіт основний Бісквіт з наповнювачем Бісквіт для рулету Вихід готової продукції. Види браку бісквітних напівф...
7303. Основні поняття організаційного бизнес-моделювання. Місія компанії, дерево цілей і стратегії їх досягнення 239 KB
  Тема: Основні поняття організаційного бизнес-моделювання. Місія компанії, дерево цілей і стратегії їх досягнення. План: Статичний опис компанії: бізнес-потенціал компанії, функціонал компанії, зони відповідальності менеджменту. Динамічни...
7304. Основи генетики людини. Методи вивчення спадковості. Біологоія індивідуального розвитку. Молекулярно-генетичні механізми онтогенезу. Патологічні порушення онтогенезу людини. 44.5 KB
  Тема: Основи генетики людини. Методи вивчення спадковості. Біологоія індивідуального розвитку. Молекулярно-генетичні механізми онтогенезу. Патологічні порушення онтогенезу людини. План Генетика людини. Сучасні методи генетичних дослі...
7305. Функції мови як поліфункціональної системи 115.5 KB
  Функції мови Комунікативна функція Когнітивна функція Кумулятивна функція. Номінативна. Регулятивна. Фатична. Емотивна. Метамовна. Естетична. Етнічна. Магічна. Мова - поліфункціональна система, що має справу з ін...