67576

Коммутативные группы с конечным числом образующих

Лекция

Математика и математический анализ

Группа Q рациональных чисел с операцией сложения не является г.к.о. В самом деле, если - любые рациональные числа, записанные в виде отношения целых, то, приводя к общему знаменателю сумму, получим дробь, знаменатель которой не превосходит...

Русский

2014-09-12

181.5 KB

3 чел.

Лекция№5

Коммутативные группы с конечным числом образующих.

Часть первая: общая теория

Определение

Элементы  коммутативной группы G называются ее системой образующих (с.о.) , если каждый элемент можно записать в виде: , где  . Группа, имеющая систему образующих, называется группой с конечным числом образующих (г.к.о.)

Примеры.

Циклическая группа - группа с одной образующей.

Группа   всех n-мерных векторов с целочисленными координатами с операцией сложения имеет стандартную с.о. e= , где - вектор, у которого единственная ненулевая координата - i ая , равная 1.

Отметим, что Z . Будем также считать, что   - тривиальная группа.

Система {3,7} - является с.о. группы Z . Это вытекает из тождества: m= m*7+(-2m)*3 .

Всякая конечная абелева группа является г.к.о. так как за систему образующих можно взять, например, все элементы этой группы.

Группа Q рациональных чисел с операцией сложения не является г.к.о.  В самом деле, если  - любые рациональные числа, записанные в виде отношения целых, то,  приводя к общему знаменателю сумму , получим дробь, знаменатель которой не превосходит N= . Поэтому любая несократимая дробь с большим чем N знаменателем не является целочисленной линейной комбинацией данных рациональных чисел и они не образуют с.о.

Пусть G- группа с с.о. . Определим отображение  формулой: . Очевидно, что   является сюръективным гомоморфизмом. Будем называть стандартным гомоморфизмом для группы G c заданной с.о.. Он отображает стандартную с.о. группы  в заданную с.о. группы G. Из существования стандартного гомоморфизма вытекает, что любая г.к.о. является гомоморфным образом группы  . Отметим еще, что если - сюръективный гомоморфизм, то - с.о. группы K. Поэтому гомоморфный образ г.к.о. является г.к.о.

Теорема о подгруппах г.к.о.

Всякая подгруппа H группы G с с.о.  допускает конечную с.о. , причем .

Доказательство.

Проведем индукцию по числу n образующих группы G . При n=1 G -циклическая группа и для нее теорема верна, так как всякая ее подгруппа циклична. Пусть для групп с (n-1) образующей теорема уже доказана; рассмотрим случай сформулированный в теореме. Определим множество

. Легко проверить, что - подгруппа и потому P=kZ, где . Если k>0 выберем  так, чтобы . Пусть - подмножество G, состоящее из всевозможных линейных комбинаций , где все  . Очевидно, что - подгруппа G с (n-1) образующей. Пусть также - подгруппа . По предположению индукции  допускает конечную с.о. , где . Если k=0, и теорема доказана. Предположим, что k>0. Докажем тогда, что - с.о. подгруппы H. Пусть - произвольный элемент. Тогда h= . Значит,

=и потому=, откуда  и теорема полностью доказана.

Итак, любая подгруппа г.к.о. является г.к.о. Укажем удобный способ задания группы G с заданной с.о.  с помощью матриц. Рассмотрим стандартный гомоморфизм . Тогда H=Ker- подгруппа г.к.о. и потому имеет конечную с.о. . Поскольку  , можно записать: , где . Матрица  с этими элементами полностью описывает подгруппу H, а, следовательно, и группу G.

Примеры.

Пусть G=- циклическая группа с образующей g. Стандартный гомоморфизм  имеет ядро nZ с образующей n. Здесь - (11) матрица (n).

Пусть G=- мультипликативная группа вычетов по модулю 20. Эта группа состоит из 8 элементов: {1, 3,7,9,11,13,17,19} ( для упрощения записи мы не ставим черту над соответствующим вычетом). Циклическая подгруппа Z(3) как нетрудно видеть состоит из элементов 1, 3, 9, 7; циклическая группа Z(13) - из элементов 1, 13, 9,17. Поскольку 3*13=19 и *13=11, мы видим, что каждый элемент из  может быть записан в виде , то есть {3, 13} -с.о. группы G. Стандартный гомоморфизм     

действует по формуле: . Ядро этого гомоморфизма  состоит из таких двумерных векторов , для которых  =1, то есть элементы и должны быть взаимно обратными. Это возможно только когда оба вычета равны 1 или 9, что соответствует значениям n=4p; m=4q или n=4p+2; m=4q+2 (). Отсюда видно, что в качестве образующих  можно выбрать элементы и  . Поэтому получаем: .

Замечание.

Построение матрицы  для данной г.к.о. G зависит от выбора с.о. группы G и подгруппы . Существует стандартный способ изменения с.о. - выполнение элементарных преобразований (э.п.). Как известно, имеются 3 типа элементарных преобразований: перестановка образующих, умножение одной из образующих на число p и прибавление к одной образующей кратного другой. Для того, чтобы при этих преобразованиях снова получалась с.о. необходима их обратимость. Поэтому число p может быть равно только 1 или -1. Выполнение  э.п. с.о. G приводит к преобразованиям строк матрицы , а э.п. с.о. H приводят к преобразованиям столбцов той же матрицы. Назовем две целочисленные матрицы эквивалентными, если одна из них получается из другой э.п. строк и столбцов . Из сказанного выше вытекает, что эквивалентные матрицы отвечают одной и той же группе. Отметим еще, что если B- любая , то взяв в качестве -множество всевозможных целочисленных комбинаций столбцов B и образовав факторгруппу G=  мы придем к группе, для которой =B. Таким образом, любая целочисленная матрица определяет некоторую г.к.о.

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22034. Графическая визуализация вычислений 83.54 KB
  В ходе выполнения данной лабораторной работы я освоил визуализацию вычислений средствами указанных функций
22035. Казкотерапія як напрям психолого-педагогічної терапії 132.5 KB
  Озброїти студентів знаннями про сутність казкотерапії та особливості психолого-педагогічої терапії за допомогою казки. Ознайомити з видами казок у казко терапії. Пояснити особливості використання різних форм роботи з казкою у процесі казко терапії. Сформувати поняття про використання різних арттерапевтичних технік та їх поєднання в казкотерапевтичній роботі.
22036. Музикотерапія та особливості її використання 57.5 KB
  Музикотерапія – це контрольоване використання звуків і музикп в лікуванні і реабілітації клієнтів, що являє собою діяльність, яка включає: відтворення, фантазування, імпровізацію за допомогою людського голосу і вибраних музичних інструментів чи прослуховування спеціально підібраних музичних творів.
22037. Математическая обработка данных 21.98 KB
  В ходе выполнения лабораторной работы мною были освоены функции, позволяющие решать нетривиальные математические задачи.
22038. Основные графические возможности 131.8 KB
  Построить график дискретных отсчетов функции. Отразить координатную сетку. Закрасить маркеры. Построить графики в логарифмическом и полулогарифмическом масштабе, используя разбиение графического окна. Построить лестничный график. В этом же графике графическом окне построить плоской график заданной функции.
22039. Общая схема мультиплесирования PDH трибов 180.5 KB
  POH поле размером не более 9 байт двумерного формата 1×n. Пример: 1×9 байт для VC4 или VC32 формат 1×6 байт для VC31. Каждый элемент рамки содержит 1 байт. Порядок передачи байтов во всех структурах одинаков: слева направо и сверху вниз.
22040. Функциональные модули сетей SDH 72.5 KB
  СОПРЯЖЕНИЕ сети SDH с каналами пользователя производится терминальным оборудованием включающим в себя конверторы интерфейсов конверторы скоростей конверторы импедансов и т. Мультиплексоры SDH Поскольку в каждом комплекте оборудования узла связи одновременно производится в одном направлении передача а другом приём то в одном блоке монтируется и мультиплексор и демультиплексор выполняющие взаимообратные функции объединения разъединения расшивки потоков. Мультиплексоры SDH в отличае от мультиплексоров PDH выполняют как функции...
22041. Функции, выполняемые коммутатором 144 KB
  маршрутизация трансляция от точки к точке доступ при test 1 1 2 3 2 3 консолидация сортировка ввод вывод Методы кросскоммутации и взаимодействие сетей SDH. Емкости коммутаторов могут быть разные до 4096 ·40096 соединений Мультиплексоры...
22042. Методы защиты синхронных потоков 113 KB
  Доступа MFS Основной DATA in прием трибов DATA менеджер полезной 3 3 3 нагрузки CLK MFS DATA CLK CLK Блок каналов MFS MFS Агрегатный out доступа...