67576

Коммутативные группы с конечным числом образующих

Лекция

Математика и математический анализ

Группа Q рациональных чисел с операцией сложения не является г.к.о. В самом деле, если - любые рациональные числа, записанные в виде отношения целых, то, приводя к общему знаменателю сумму, получим дробь, знаменатель которой не превосходит...

Русский

2014-09-12

181.5 KB

3 чел.

Лекция№5

Коммутативные группы с конечным числом образующих.

Часть первая: общая теория

Определение

Элементы  коммутативной группы G называются ее системой образующих (с.о.) , если каждый элемент можно записать в виде: , где  . Группа, имеющая систему образующих, называется группой с конечным числом образующих (г.к.о.)

Примеры.

Циклическая группа - группа с одной образующей.

Группа   всех n-мерных векторов с целочисленными координатами с операцией сложения имеет стандартную с.о. e= , где - вектор, у которого единственная ненулевая координата - i ая , равная 1.

Отметим, что Z . Будем также считать, что   - тривиальная группа.

Система {3,7} - является с.о. группы Z . Это вытекает из тождества: m= m*7+(-2m)*3 .

Всякая конечная абелева группа является г.к.о. так как за систему образующих можно взять, например, все элементы этой группы.

Группа Q рациональных чисел с операцией сложения не является г.к.о.  В самом деле, если  - любые рациональные числа, записанные в виде отношения целых, то,  приводя к общему знаменателю сумму , получим дробь, знаменатель которой не превосходит N= . Поэтому любая несократимая дробь с большим чем N знаменателем не является целочисленной линейной комбинацией данных рациональных чисел и они не образуют с.о.

Пусть G- группа с с.о. . Определим отображение  формулой: . Очевидно, что   является сюръективным гомоморфизмом. Будем называть стандартным гомоморфизмом для группы G c заданной с.о.. Он отображает стандартную с.о. группы  в заданную с.о. группы G. Из существования стандартного гомоморфизма вытекает, что любая г.к.о. является гомоморфным образом группы  . Отметим еще, что если - сюръективный гомоморфизм, то - с.о. группы K. Поэтому гомоморфный образ г.к.о. является г.к.о.

Теорема о подгруппах г.к.о.

Всякая подгруппа H группы G с с.о.  допускает конечную с.о. , причем .

Доказательство.

Проведем индукцию по числу n образующих группы G . При n=1 G -циклическая группа и для нее теорема верна, так как всякая ее подгруппа циклична. Пусть для групп с (n-1) образующей теорема уже доказана; рассмотрим случай сформулированный в теореме. Определим множество

. Легко проверить, что - подгруппа и потому P=kZ, где . Если k>0 выберем  так, чтобы . Пусть - подмножество G, состоящее из всевозможных линейных комбинаций , где все  . Очевидно, что - подгруппа G с (n-1) образующей. Пусть также - подгруппа . По предположению индукции  допускает конечную с.о. , где . Если k=0, и теорема доказана. Предположим, что k>0. Докажем тогда, что - с.о. подгруппы H. Пусть - произвольный элемент. Тогда h= . Значит,

=и потому=, откуда  и теорема полностью доказана.

Итак, любая подгруппа г.к.о. является г.к.о. Укажем удобный способ задания группы G с заданной с.о.  с помощью матриц. Рассмотрим стандартный гомоморфизм . Тогда H=Ker- подгруппа г.к.о. и потому имеет конечную с.о. . Поскольку  , можно записать: , где . Матрица  с этими элементами полностью описывает подгруппу H, а, следовательно, и группу G.

Примеры.

Пусть G=- циклическая группа с образующей g. Стандартный гомоморфизм  имеет ядро nZ с образующей n. Здесь - (11) матрица (n).

Пусть G=- мультипликативная группа вычетов по модулю 20. Эта группа состоит из 8 элементов: {1, 3,7,9,11,13,17,19} ( для упрощения записи мы не ставим черту над соответствующим вычетом). Циклическая подгруппа Z(3) как нетрудно видеть состоит из элементов 1, 3, 9, 7; циклическая группа Z(13) - из элементов 1, 13, 9,17. Поскольку 3*13=19 и *13=11, мы видим, что каждый элемент из  может быть записан в виде , то есть {3, 13} -с.о. группы G. Стандартный гомоморфизм     

действует по формуле: . Ядро этого гомоморфизма  состоит из таких двумерных векторов , для которых  =1, то есть элементы и должны быть взаимно обратными. Это возможно только когда оба вычета равны 1 или 9, что соответствует значениям n=4p; m=4q или n=4p+2; m=4q+2 (). Отсюда видно, что в качестве образующих  можно выбрать элементы и  . Поэтому получаем: .

Замечание.

Построение матрицы  для данной г.к.о. G зависит от выбора с.о. группы G и подгруппы . Существует стандартный способ изменения с.о. - выполнение элементарных преобразований (э.п.). Как известно, имеются 3 типа элементарных преобразований: перестановка образующих, умножение одной из образующих на число p и прибавление к одной образующей кратного другой. Для того, чтобы при этих преобразованиях снова получалась с.о. необходима их обратимость. Поэтому число p может быть равно только 1 или -1. Выполнение  э.п. с.о. G приводит к преобразованиям строк матрицы , а э.п. с.о. H приводят к преобразованиям столбцов той же матрицы. Назовем две целочисленные матрицы эквивалентными, если одна из них получается из другой э.п. строк и столбцов . Из сказанного выше вытекает, что эквивалентные матрицы отвечают одной и той же группе. Отметим еще, что если B- любая , то взяв в качестве -множество всевозможных целочисленных комбинаций столбцов B и образовав факторгруппу G=  мы придем к группе, для которой =B. Таким образом, любая целочисленная матрица определяет некоторую г.к.о.

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

37243. Что такое мультимедиа и мультимедиа-компьютер 32.5 KB
  Мультимедиакомпьютер это компьютер снабженный аппаратными и программными средствами реализующими технологию мультимедиа. Области применения мультимедиа Обучение с использованием компьютерных технологий Специальными исследованиями установлено что из услышанного в памяти остается только четверть из увиденного треть при комбинированном воздействии зрения и слуха 50 а если вовлечь учащегося в активные действия в процессе изучения при помощи мультимедийных приложений 75 [46]. Технологию мультимедиа составляют две основные...
37244. Как возник Интернет 89 KB
  Поэтому многие ошибочно думают будто Всемирная паутина это и есть Internet. С ее появлением и началось триумфальное шествие Internet как средства информации и коммуникации для каждого. С этого времени в Internet начали активно выходить также обычные рядовые пользователи.
37245. Операционная система, ее назначение и функции 423.5 KB
  Вопрос 17 Организация файловой системы Все современные дисковые операционные системы обеспечивают создание файловой системы предназначенной для хранения данных на дисках и обеспечения доступа к ним. Принцип организации файловой системы табличный. Формат служебных данных определяется конкретной файловой системой. Но для дисков большого объема такой подход неэффективен а для некоторых файловых систем и просто невозможен.
37246. Операционные системы. Их назначение и функции 69.5 KB
  Windows Серверные использующиеся в серверах сетей как центральное звено а также в качестве элементов систем управления; основная черта – надежность; представители UNIX Windows NT Специализированные ОС ориентированные на решение узких классов задач с жестким набором требований высокопроизводительные вычисления управление в реальном времени;такие системы неразрывно связаны с аппаратной платформой; представители – специализированные версии UNIX системы собственной разработки; Мобильные ОС – вариант развития настольных ОС на...
37247. Внутренняя память 81.5 KB
  К ним относятся оперативная память постоянная память и энергонезависимая память. Оперативная память RM Rndom ccess Memory Память RM это массив кристаллических ячеек способных сохранять данные. Она используется для оперативного обмена информацией командами и данными между процессором внешней памятью и периферийными системами.
37248. Программное обеспечение. Уровни ПО 74.5 KB
  Оно отвечает за взаимодействие с базовыми аппаратными средствами. Как правило базовые программные средства непосредственно входят в состав базового оборудования и хранятся в специальных микросхемах называемых постоянными запоминающими устройствами ПЗУ Red Only Memory ROM. Эти программные средства называют средствами обеспечения пользовательского интерфейса. Средства сжатия данных архиваторы.
37249. Организация файловой системы 399 KB
  Файловая система определяет где и каким образом на носителе будут записаны файлы и представляет операционной системе доступ к этим файлам. Любая файловая система предназначена для хранения информации о физическом размещении частей файла. От файловой системы требуется четкое выполнение следующих действий: Определение физического расположения частей файла; Определение наличия свободного места и выделение его для вновь создаваемых файлов.
37250. Работа с формулами 410.46 KB
  В Excel в качестве операнда могут выступать константы ссылки на ячейки имена или функции значения которых будут использованы. Пересчет можно провести непосредственно из окна Параметры: кнопка Вычислить F9 вычисление значений для всех открытых листов включая таблицы данных а также обновление всех открытых диаграмм; кнопка Пересчет листа выполнение расчетов по текущему листу а также по связанным с ним диаграммами и таблицами данных Ошибка Если пользователь допустил ошибку в ячейке с формулой появится одно из следующих...
37251. Материнская плата 224 KB
  На заре развития персональной вычислительной техники в общей области оперативной памяти существовала небольшая выделенная экранная область памяти в которую процессор заносил данные об изображении. Специальный контроллер экрана считывал данные о яркости отдельных точек экрана из ячеек памяти этой области и в соответствии с ними управлял разверткой горизонтального луча электронной пушки монитора. С переходом от чернобелых мониторов к цветным и с увеличением разрешения экрана количества точек по вертикали и горизонтали области видеопамяти...