67576

Коммутативные группы с конечным числом образующих

Лекция

Математика и математический анализ

Группа Q рациональных чисел с операцией сложения не является г.к.о. В самом деле, если - любые рациональные числа, записанные в виде отношения целых, то, приводя к общему знаменателю сумму, получим дробь, знаменатель которой не превосходит...

Русский

2014-09-12

181.5 KB

3 чел.

Лекция№5

Коммутативные группы с конечным числом образующих.

Часть первая: общая теория

Определение

Элементы  коммутативной группы G называются ее системой образующих (с.о.) , если каждый элемент можно записать в виде: , где  . Группа, имеющая систему образующих, называется группой с конечным числом образующих (г.к.о.)

Примеры.

Циклическая группа - группа с одной образующей.

Группа   всех n-мерных векторов с целочисленными координатами с операцией сложения имеет стандартную с.о. e= , где - вектор, у которого единственная ненулевая координата - i ая , равная 1.

Отметим, что Z . Будем также считать, что   - тривиальная группа.

Система {3,7} - является с.о. группы Z . Это вытекает из тождества: m= m*7+(-2m)*3 .

Всякая конечная абелева группа является г.к.о. так как за систему образующих можно взять, например, все элементы этой группы.

Группа Q рациональных чисел с операцией сложения не является г.к.о.  В самом деле, если  - любые рациональные числа, записанные в виде отношения целых, то,  приводя к общему знаменателю сумму , получим дробь, знаменатель которой не превосходит N= . Поэтому любая несократимая дробь с большим чем N знаменателем не является целочисленной линейной комбинацией данных рациональных чисел и они не образуют с.о.

Пусть G- группа с с.о. . Определим отображение  формулой: . Очевидно, что   является сюръективным гомоморфизмом. Будем называть стандартным гомоморфизмом для группы G c заданной с.о.. Он отображает стандартную с.о. группы  в заданную с.о. группы G. Из существования стандартного гомоморфизма вытекает, что любая г.к.о. является гомоморфным образом группы  . Отметим еще, что если - сюръективный гомоморфизм, то - с.о. группы K. Поэтому гомоморфный образ г.к.о. является г.к.о.

Теорема о подгруппах г.к.о.

Всякая подгруппа H группы G с с.о.  допускает конечную с.о. , причем .

Доказательство.

Проведем индукцию по числу n образующих группы G . При n=1 G -циклическая группа и для нее теорема верна, так как всякая ее подгруппа циклична. Пусть для групп с (n-1) образующей теорема уже доказана; рассмотрим случай сформулированный в теореме. Определим множество

. Легко проверить, что - подгруппа и потому P=kZ, где . Если k>0 выберем  так, чтобы . Пусть - подмножество G, состоящее из всевозможных линейных комбинаций , где все  . Очевидно, что - подгруппа G с (n-1) образующей. Пусть также - подгруппа . По предположению индукции  допускает конечную с.о. , где . Если k=0, и теорема доказана. Предположим, что k>0. Докажем тогда, что - с.о. подгруппы H. Пусть - произвольный элемент. Тогда h= . Значит,

=и потому=, откуда  и теорема полностью доказана.

Итак, любая подгруппа г.к.о. является г.к.о. Укажем удобный способ задания группы G с заданной с.о.  с помощью матриц. Рассмотрим стандартный гомоморфизм . Тогда H=Ker- подгруппа г.к.о. и потому имеет конечную с.о. . Поскольку  , можно записать: , где . Матрица  с этими элементами полностью описывает подгруппу H, а, следовательно, и группу G.

Примеры.

Пусть G=- циклическая группа с образующей g. Стандартный гомоморфизм  имеет ядро nZ с образующей n. Здесь - (11) матрица (n).

Пусть G=- мультипликативная группа вычетов по модулю 20. Эта группа состоит из 8 элементов: {1, 3,7,9,11,13,17,19} ( для упрощения записи мы не ставим черту над соответствующим вычетом). Циклическая подгруппа Z(3) как нетрудно видеть состоит из элементов 1, 3, 9, 7; циклическая группа Z(13) - из элементов 1, 13, 9,17. Поскольку 3*13=19 и *13=11, мы видим, что каждый элемент из  может быть записан в виде , то есть {3, 13} -с.о. группы G. Стандартный гомоморфизм     

действует по формуле: . Ядро этого гомоморфизма  состоит из таких двумерных векторов , для которых  =1, то есть элементы и должны быть взаимно обратными. Это возможно только когда оба вычета равны 1 или 9, что соответствует значениям n=4p; m=4q или n=4p+2; m=4q+2 (). Отсюда видно, что в качестве образующих  можно выбрать элементы и  . Поэтому получаем: .

Замечание.

Построение матрицы  для данной г.к.о. G зависит от выбора с.о. группы G и подгруппы . Существует стандартный способ изменения с.о. - выполнение элементарных преобразований (э.п.). Как известно, имеются 3 типа элементарных преобразований: перестановка образующих, умножение одной из образующих на число p и прибавление к одной образующей кратного другой. Для того, чтобы при этих преобразованиях снова получалась с.о. необходима их обратимость. Поэтому число p может быть равно только 1 или -1. Выполнение  э.п. с.о. G приводит к преобразованиям строк матрицы , а э.п. с.о. H приводят к преобразованиям столбцов той же матрицы. Назовем две целочисленные матрицы эквивалентными, если одна из них получается из другой э.п. строк и столбцов . Из сказанного выше вытекает, что эквивалентные матрицы отвечают одной и той же группе. Отметим еще, что если B- любая , то взяв в качестве -множество всевозможных целочисленных комбинаций столбцов B и образовав факторгруппу G=  мы придем к группе, для которой =B. Таким образом, любая целочисленная матрица определяет некоторую г.к.о.

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

11213. Стилистическое использование интонации. Академический стиль 135.5 KB
  ЛЕКЦИЯ 16. Стилистическое использование интонации. Академический стиль. Фоностилисты описывают этот стиль одновременно как информативный и волеизъявительный. Он определяется целью коммуникации поскольку в задачи говорящего входит и привлечение внимания слуша...
11214. Структура слога 95.5 KB
  ЛЕКЦИЯ 8 Структура слога. Проблема слога. Фонетические характеристики английского слога в английском языке. Слог как фонетическая и фонологическая единица. Различные трактовки слога. Теории слогообразования. Структура слога. Слогообразующие звуки в анг...
11215. Учение о фонеме. Различные трактовки понятия фонемы фонологическими школами 120.5 KB
  ЛЕКЦИЯ 5. Учение о фонеме. Различные трактовки понятия фонемы фонологическими школами. Генеративная фонология. Английская фонетическая школа. Московская фонологическая школа. Копенгагенский структурализм. Ленинградская фонетическая фонологическ
11216. Учение о фонеме. Основные направления в рамках учения о фонеме 100.5 KB
  ЛЕКЦИЯ 4 Учение о фонеме. Основные направления в рамках учения о фонеме психологическое функциональное абстрактное физикалистское. Различные трактовки понятия фонемы фонологическими школами пражский структурализм американский структурализм. Ос
11217. Фонетика и фонология изучаемого языка. учение о фонеме 57.5 KB
  ЛЕКЦИЯ 3. Фонетика и фонология изучаемого языка. учение о фонеме Теория фонемы. Абстрактный материальный и смыслоразличительный аспекты фонемы. Фонема и аллофоны. Функции фонемы. 1.Теория фонемы. Основные направления в рамках учения о фонеме.
11218. Фонемный состав английского языка. Гласные 131 KB
  ЛЕКЦИЯ 7 Фонемный состав английского языка. Гласные. Релевантные и нерелевантные признаки в системе английских гласных фонем. Система фонологических оппозиций и принципы классификации английских гласных фонем. Фонологический статус английских дифтонго...
11219. Фонемный состав английского языка. Согласные 130 KB
  ЛЕКЦИЯ 6 Фонемный состав английского языка. Согласные: Релевантные и нерелевантные признаки в системе английских согласных фонем. Принципы классификации английских согласных фонем. Система английских согласных фонем. Различные трактовки английских аффр
11221. Фонетическое слово, синтагма, фраза, фоноабзац, текст. СЛОГ 93.5 KB
  Лекция 9 Фонетическое слово синтагма фраза фоноабзац текст. СЛОГ На предыдущей лекции мы выяснили что слог представляет собой симбиозную фонетикофонологическую единицу. Просодические единицы такие как например ударение и тон влияют в большей степени на сло