67576

Коммутативные группы с конечным числом образующих

Лекция

Математика и математический анализ

Группа Q рациональных чисел с операцией сложения не является г.к.о. В самом деле, если - любые рациональные числа, записанные в виде отношения целых, то, приводя к общему знаменателю сумму, получим дробь, знаменатель которой не превосходит...

Русский

2014-09-12

181.5 KB

3 чел.

Лекция№5

Коммутативные группы с конечным числом образующих.

Часть первая: общая теория

Определение

Элементы  коммутативной группы G называются ее системой образующих (с.о.) , если каждый элемент можно записать в виде: , где  . Группа, имеющая систему образующих, называется группой с конечным числом образующих (г.к.о.)

Примеры.

Циклическая группа - группа с одной образующей.

Группа   всех n-мерных векторов с целочисленными координатами с операцией сложения имеет стандартную с.о. e= , где - вектор, у которого единственная ненулевая координата - i ая , равная 1.

Отметим, что Z . Будем также считать, что   - тривиальная группа.

Система {3,7} - является с.о. группы Z . Это вытекает из тождества: m= m*7+(-2m)*3 .

Всякая конечная абелева группа является г.к.о. так как за систему образующих можно взять, например, все элементы этой группы.

Группа Q рациональных чисел с операцией сложения не является г.к.о.  В самом деле, если  - любые рациональные числа, записанные в виде отношения целых, то,  приводя к общему знаменателю сумму , получим дробь, знаменатель которой не превосходит N= . Поэтому любая несократимая дробь с большим чем N знаменателем не является целочисленной линейной комбинацией данных рациональных чисел и они не образуют с.о.

Пусть G- группа с с.о. . Определим отображение  формулой: . Очевидно, что   является сюръективным гомоморфизмом. Будем называть стандартным гомоморфизмом для группы G c заданной с.о.. Он отображает стандартную с.о. группы  в заданную с.о. группы G. Из существования стандартного гомоморфизма вытекает, что любая г.к.о. является гомоморфным образом группы  . Отметим еще, что если - сюръективный гомоморфизм, то - с.о. группы K. Поэтому гомоморфный образ г.к.о. является г.к.о.

Теорема о подгруппах г.к.о.

Всякая подгруппа H группы G с с.о.  допускает конечную с.о. , причем .

Доказательство.

Проведем индукцию по числу n образующих группы G . При n=1 G -циклическая группа и для нее теорема верна, так как всякая ее подгруппа циклична. Пусть для групп с (n-1) образующей теорема уже доказана; рассмотрим случай сформулированный в теореме. Определим множество

. Легко проверить, что - подгруппа и потому P=kZ, где . Если k>0 выберем  так, чтобы . Пусть - подмножество G, состоящее из всевозможных линейных комбинаций , где все  . Очевидно, что - подгруппа G с (n-1) образующей. Пусть также - подгруппа . По предположению индукции  допускает конечную с.о. , где . Если k=0, и теорема доказана. Предположим, что k>0. Докажем тогда, что - с.о. подгруппы H. Пусть - произвольный элемент. Тогда h= . Значит,

=и потому=, откуда  и теорема полностью доказана.

Итак, любая подгруппа г.к.о. является г.к.о. Укажем удобный способ задания группы G с заданной с.о.  с помощью матриц. Рассмотрим стандартный гомоморфизм . Тогда H=Ker- подгруппа г.к.о. и потому имеет конечную с.о. . Поскольку  , можно записать: , где . Матрица  с этими элементами полностью описывает подгруппу H, а, следовательно, и группу G.

Примеры.

Пусть G=- циклическая группа с образующей g. Стандартный гомоморфизм  имеет ядро nZ с образующей n. Здесь - (11) матрица (n).

Пусть G=- мультипликативная группа вычетов по модулю 20. Эта группа состоит из 8 элементов: {1, 3,7,9,11,13,17,19} ( для упрощения записи мы не ставим черту над соответствующим вычетом). Циклическая подгруппа Z(3) как нетрудно видеть состоит из элементов 1, 3, 9, 7; циклическая группа Z(13) - из элементов 1, 13, 9,17. Поскольку 3*13=19 и *13=11, мы видим, что каждый элемент из  может быть записан в виде , то есть {3, 13} -с.о. группы G. Стандартный гомоморфизм     

действует по формуле: . Ядро этого гомоморфизма  состоит из таких двумерных векторов , для которых  =1, то есть элементы и должны быть взаимно обратными. Это возможно только когда оба вычета равны 1 или 9, что соответствует значениям n=4p; m=4q или n=4p+2; m=4q+2 (). Отсюда видно, что в качестве образующих  можно выбрать элементы и  . Поэтому получаем: .

Замечание.

Построение матрицы  для данной г.к.о. G зависит от выбора с.о. группы G и подгруппы . Существует стандартный способ изменения с.о. - выполнение элементарных преобразований (э.п.). Как известно, имеются 3 типа элементарных преобразований: перестановка образующих, умножение одной из образующих на число p и прибавление к одной образующей кратного другой. Для того, чтобы при этих преобразованиях снова получалась с.о. необходима их обратимость. Поэтому число p может быть равно только 1 или -1. Выполнение  э.п. с.о. G приводит к преобразованиям строк матрицы , а э.п. с.о. H приводят к преобразованиям столбцов той же матрицы. Назовем две целочисленные матрицы эквивалентными, если одна из них получается из другой э.п. строк и столбцов . Из сказанного выше вытекает, что эквивалентные матрицы отвечают одной и той же группе. Отметим еще, что если B- любая , то взяв в качестве -множество всевозможных целочисленных комбинаций столбцов B и образовав факторгруппу G=  мы придем к группе, для которой =B. Таким образом, любая целочисленная матрица определяет некоторую г.к.о.

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

3712. Бактериологическое (биологическое) оружие 135.5 KB
  Бактериологическое оружие (биологическое) является средством массового поражения людей, животных и уничтожения сельскохозяйственных культур. Основу его поражающего действия составляют бактериальные средства, к которым относятся болезнетворн...
3713. Current asset management in the enterprise 172.91 KB
  Current asset management in the enterprise The crisis of 2008 still affects business-to-business companies. Many of them have problems with current assets in general and with accounts receivable in particular. In a given paper a field research is co...
3714. Флористическое разнообразие мезмайской котловины (Северо-Западный Кавказ) 258.41 KB
  Флористическое разнообразие мезмайской котловины (Северо-Западный Кавказ) Введение Северо-Западный Кавказ - один из богатейших во флористическом отношении регионов Российской Федерации, насчитывающий около 2500 видов дикорастущих аборигенных растени...
3715. Теоретические основы специальной (коррекционной) педагогики как науки 207 KB
  Теоретические основы специальной (коррекционной) педагогики как науки Тема 1. Введение. Специальная (коррекционная) педагогика как наука Тема 2. Связь специальной (коррекционной) педагогики с другими науками Тема 3. Понимание отклонений в разви...
3716. Позакласна робота зі світової літератури 37.27 KB
  Позакласна робота зі світової літератури План Значення й принципи організації позакласної роботи з літератури. Форми позакласної роботи: систематичні й епізодичні. Посібники для вчителя з проблеми організації позакласної роботи із ...
3717. ДНК-маркеры и их применение в генетике, селекции и растениеводстве кукурузы 123 KB
  ДНК-маркеры и их применение в генетике, селекции и растениеводстве кукурузы Вступление Одним из основных продуктов питания употребляемых мировым обществом являются культурные злаковые растения, среди которых кукуруза находится в списке лидеров по пр...
3718. Міжнародно-правова регламентація залізничних перевезень вантажів згідно Угоди про міжнародне залізничне вантажне сполучення 1951 року (УМВС) 185.5 KB
  Міжнародно-правова регламентація залізничних перевезень вантажів згідно Угоди про міжнародне залізничне вантажне сполучення 1951 року (УМВС). Характеристика Угоди Угода про міжнародне залізничне вантажне сполучення (УМВС) є відомчим міжнародним норм...
3719. Оценка воздействия или влияние на окружающую среду отходов металлургической промышленности 217.5 KB
  Введение На всех стадиях своего развития человек был тесно связан с окружающим миром. Но с тех пор как появилось высокоиндустриальное общество, опасное вмешательство человека в природу резко усилилось, расширился объем этого вмешательства, оно стало...
3720. Электропривод ножниц стана 450 401 KB
  Введение Идея создания второго крупного завода рядом с КМК возникла еще в годы первых пятилеток, но только в 1950 г. появилась возможность вернуться к вопросу о строительстве завода. В 1957г. Совет Министров СССР утвердил проектное задание на строит...