67576

Коммутативные группы с конечным числом образующих

Лекция

Математика и математический анализ

Группа Q рациональных чисел с операцией сложения не является г.к.о. В самом деле, если - любые рациональные числа, записанные в виде отношения целых, то, приводя к общему знаменателю сумму, получим дробь, знаменатель которой не превосходит...

Русский

2014-09-12

181.5 KB

3 чел.

Лекция№5

Коммутативные группы с конечным числом образующих.

Часть первая: общая теория

Определение

Элементы  коммутативной группы G называются ее системой образующих (с.о.) , если каждый элемент можно записать в виде: , где  . Группа, имеющая систему образующих, называется группой с конечным числом образующих (г.к.о.)

Примеры.

Циклическая группа - группа с одной образующей.

Группа   всех n-мерных векторов с целочисленными координатами с операцией сложения имеет стандартную с.о. e= , где - вектор, у которого единственная ненулевая координата - i ая , равная 1.

Отметим, что Z . Будем также считать, что   - тривиальная группа.

Система {3,7} - является с.о. группы Z . Это вытекает из тождества: m= m*7+(-2m)*3 .

Всякая конечная абелева группа является г.к.о. так как за систему образующих можно взять, например, все элементы этой группы.

Группа Q рациональных чисел с операцией сложения не является г.к.о.  В самом деле, если  - любые рациональные числа, записанные в виде отношения целых, то,  приводя к общему знаменателю сумму , получим дробь, знаменатель которой не превосходит N= . Поэтому любая несократимая дробь с большим чем N знаменателем не является целочисленной линейной комбинацией данных рациональных чисел и они не образуют с.о.

Пусть G- группа с с.о. . Определим отображение  формулой: . Очевидно, что   является сюръективным гомоморфизмом. Будем называть стандартным гомоморфизмом для группы G c заданной с.о.. Он отображает стандартную с.о. группы  в заданную с.о. группы G. Из существования стандартного гомоморфизма вытекает, что любая г.к.о. является гомоморфным образом группы  . Отметим еще, что если - сюръективный гомоморфизм, то - с.о. группы K. Поэтому гомоморфный образ г.к.о. является г.к.о.

Теорема о подгруппах г.к.о.

Всякая подгруппа H группы G с с.о.  допускает конечную с.о. , причем .

Доказательство.

Проведем индукцию по числу n образующих группы G . При n=1 G -циклическая группа и для нее теорема верна, так как всякая ее подгруппа циклична. Пусть для групп с (n-1) образующей теорема уже доказана; рассмотрим случай сформулированный в теореме. Определим множество

. Легко проверить, что - подгруппа и потому P=kZ, где . Если k>0 выберем  так, чтобы . Пусть - подмножество G, состоящее из всевозможных линейных комбинаций , где все  . Очевидно, что - подгруппа G с (n-1) образующей. Пусть также - подгруппа . По предположению индукции  допускает конечную с.о. , где . Если k=0, и теорема доказана. Предположим, что k>0. Докажем тогда, что - с.о. подгруппы H. Пусть - произвольный элемент. Тогда h= . Значит,

=и потому=, откуда  и теорема полностью доказана.

Итак, любая подгруппа г.к.о. является г.к.о. Укажем удобный способ задания группы G с заданной с.о.  с помощью матриц. Рассмотрим стандартный гомоморфизм . Тогда H=Ker- подгруппа г.к.о. и потому имеет конечную с.о. . Поскольку  , можно записать: , где . Матрица  с этими элементами полностью описывает подгруппу H, а, следовательно, и группу G.

Примеры.

Пусть G=- циклическая группа с образующей g. Стандартный гомоморфизм  имеет ядро nZ с образующей n. Здесь - (11) матрица (n).

Пусть G=- мультипликативная группа вычетов по модулю 20. Эта группа состоит из 8 элементов: {1, 3,7,9,11,13,17,19} ( для упрощения записи мы не ставим черту над соответствующим вычетом). Циклическая подгруппа Z(3) как нетрудно видеть состоит из элементов 1, 3, 9, 7; циклическая группа Z(13) - из элементов 1, 13, 9,17. Поскольку 3*13=19 и *13=11, мы видим, что каждый элемент из  может быть записан в виде , то есть {3, 13} -с.о. группы G. Стандартный гомоморфизм     

действует по формуле: . Ядро этого гомоморфизма  состоит из таких двумерных векторов , для которых  =1, то есть элементы и должны быть взаимно обратными. Это возможно только когда оба вычета равны 1 или 9, что соответствует значениям n=4p; m=4q или n=4p+2; m=4q+2 (). Отсюда видно, что в качестве образующих  можно выбрать элементы и  . Поэтому получаем: .

Замечание.

Построение матрицы  для данной г.к.о. G зависит от выбора с.о. группы G и подгруппы . Существует стандартный способ изменения с.о. - выполнение элементарных преобразований (э.п.). Как известно, имеются 3 типа элементарных преобразований: перестановка образующих, умножение одной из образующих на число p и прибавление к одной образующей кратного другой. Для того, чтобы при этих преобразованиях снова получалась с.о. необходима их обратимость. Поэтому число p может быть равно только 1 или -1. Выполнение  э.п. с.о. G приводит к преобразованиям строк матрицы , а э.п. с.о. H приводят к преобразованиям столбцов той же матрицы. Назовем две целочисленные матрицы эквивалентными, если одна из них получается из другой э.п. строк и столбцов . Из сказанного выше вытекает, что эквивалентные матрицы отвечают одной и той же группе. Отметим еще, что если B- любая , то взяв в качестве -множество всевозможных целочисленных комбинаций столбцов B и образовав факторгруппу G=  мы придем к группе, для которой =B. Таким образом, любая целочисленная матрица определяет некоторую г.к.о.

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

64224. Общая характеристика эволюции психики 29.5 KB
  Исходя из этого следует что движение являлось решающим фактором эволюции психики. Леонтьев рассматривая эволюцию психики анализировал наиболее глубокие и качественные изменения которые претерпела психика в процессе эволюции животного мира.
64225. Элементарная сенсорная психика. Низший уровень психического развития. Характеристика сенсомоторной активности простейших 30 KB
  На низшем уровне психического развития находится довольно большая группа животных. Движения простейших отличаются большим разнообразием. Локомоция простейших осуществляется в виде кинезов элементарных инстинктивных движений.
64226. Общая характеристика психической активности простейших 27.5 KB
  Наряду с этим у простейших встречаются и элементы допсихического отражения простая раздражимость характерная для растений. У простейших встречаются разнообразные формы передвижения в водной среде но только на самом примитивном уровне инстинктивного поведения кинезов.
64227. Высший уровень развития элементарной сенсорной психики. Нервная система как фактор усложнения психической деятельности животных 26 KB
  Усложнение структуры организма обусловило возникновение нервной системы которая осуществляет координацию деятельности этих многоклеточных образований.
64228. Органы чувств и сенсорные способности низших многоклеточных беспозвоночных 28 KB
  Предполагается что первичные органы чувств вообще обладали лишь общей присущей всей живой материи чувствительностью но в повышенной степени. Согласно приведённой гипотезе все органы чувств многоклеточных животных развились из наименее дифференцированных осязательных рецепторов.
64229. Общая характеристика моторной активности низших многоклеточных беспозвоночных 25.5 KB
  Большинство же червей ползают и роются в придонном иле проглатывая его вместе с органическими остатками или собирают с поверхности дна мелких животных и мёртвые организмы. У кольчатых червей впервые в эволюции животного мира появляются настоящие парные конечности...
64230. Таксисы у низших беспозвоночных 26 KB
  Кюн выделил следующие категории высших таксисов которые в полной мере развиты лишь у высших животных: тропотаксисы телотаксисы менотаксисы и мнемотаксисы. Низшим беспозвоночным свойственны в разной степени только первые три формы высших таксисов. Особенно значимы эти два вида таксисов для хищников.
64231. Характеристика моторной активности животных с низшим уровнем развития перцептивной психики (на примере насекомых) 24 KB
  Членистоногие являются первыми наземными животными в истории Земли. Переход на сушу был сопряжён с развитием особых органов передвижения – конечностей в виде сложных рычагов, состоящих из отдельных, соединённых суставами, члеников.
64232. Характеристика сенсорной активности животных с низшим уровнем развития перцептивной психики (на примере насекомых) 28 KB
  Дело в том что зрительные рецепторы у насекомых очень лабильны и за единицу времени у них формируется больше последовательных образов чем у позвоночных. Таким образом характеризуя способности насекомых также как и головоногих моллюсков к оптическому...