67576

Коммутативные группы с конечным числом образующих

Лекция

Математика и математический анализ

Группа Q рациональных чисел с операцией сложения не является г.к.о. В самом деле, если - любые рациональные числа, записанные в виде отношения целых, то, приводя к общему знаменателю сумму, получим дробь, знаменатель которой не превосходит...

Русский

2014-09-12

181.5 KB

3 чел.

Лекция№5

Коммутативные группы с конечным числом образующих.

Часть первая: общая теория

Определение

Элементы  коммутативной группы G называются ее системой образующих (с.о.) , если каждый элемент можно записать в виде: , где  . Группа, имеющая систему образующих, называется группой с конечным числом образующих (г.к.о.)

Примеры.

Циклическая группа - группа с одной образующей.

Группа   всех n-мерных векторов с целочисленными координатами с операцией сложения имеет стандартную с.о. e= , где - вектор, у которого единственная ненулевая координата - i ая , равная 1.

Отметим, что Z . Будем также считать, что   - тривиальная группа.

Система {3,7} - является с.о. группы Z . Это вытекает из тождества: m= m*7+(-2m)*3 .

Всякая конечная абелева группа является г.к.о. так как за систему образующих можно взять, например, все элементы этой группы.

Группа Q рациональных чисел с операцией сложения не является г.к.о.  В самом деле, если  - любые рациональные числа, записанные в виде отношения целых, то,  приводя к общему знаменателю сумму , получим дробь, знаменатель которой не превосходит N= . Поэтому любая несократимая дробь с большим чем N знаменателем не является целочисленной линейной комбинацией данных рациональных чисел и они не образуют с.о.

Пусть G- группа с с.о. . Определим отображение  формулой: . Очевидно, что   является сюръективным гомоморфизмом. Будем называть стандартным гомоморфизмом для группы G c заданной с.о.. Он отображает стандартную с.о. группы  в заданную с.о. группы G. Из существования стандартного гомоморфизма вытекает, что любая г.к.о. является гомоморфным образом группы  . Отметим еще, что если - сюръективный гомоморфизм, то - с.о. группы K. Поэтому гомоморфный образ г.к.о. является г.к.о.

Теорема о подгруппах г.к.о.

Всякая подгруппа H группы G с с.о.  допускает конечную с.о. , причем .

Доказательство.

Проведем индукцию по числу n образующих группы G . При n=1 G -циклическая группа и для нее теорема верна, так как всякая ее подгруппа циклична. Пусть для групп с (n-1) образующей теорема уже доказана; рассмотрим случай сформулированный в теореме. Определим множество

. Легко проверить, что - подгруппа и потому P=kZ, где . Если k>0 выберем  так, чтобы . Пусть - подмножество G, состоящее из всевозможных линейных комбинаций , где все  . Очевидно, что - подгруппа G с (n-1) образующей. Пусть также - подгруппа . По предположению индукции  допускает конечную с.о. , где . Если k=0, и теорема доказана. Предположим, что k>0. Докажем тогда, что - с.о. подгруппы H. Пусть - произвольный элемент. Тогда h= . Значит,

=и потому=, откуда  и теорема полностью доказана.

Итак, любая подгруппа г.к.о. является г.к.о. Укажем удобный способ задания группы G с заданной с.о.  с помощью матриц. Рассмотрим стандартный гомоморфизм . Тогда H=Ker- подгруппа г.к.о. и потому имеет конечную с.о. . Поскольку  , можно записать: , где . Матрица  с этими элементами полностью описывает подгруппу H, а, следовательно, и группу G.

Примеры.

Пусть G=- циклическая группа с образующей g. Стандартный гомоморфизм  имеет ядро nZ с образующей n. Здесь - (11) матрица (n).

Пусть G=- мультипликативная группа вычетов по модулю 20. Эта группа состоит из 8 элементов: {1, 3,7,9,11,13,17,19} ( для упрощения записи мы не ставим черту над соответствующим вычетом). Циклическая подгруппа Z(3) как нетрудно видеть состоит из элементов 1, 3, 9, 7; циклическая группа Z(13) - из элементов 1, 13, 9,17. Поскольку 3*13=19 и *13=11, мы видим, что каждый элемент из  может быть записан в виде , то есть {3, 13} -с.о. группы G. Стандартный гомоморфизм     

действует по формуле: . Ядро этого гомоморфизма  состоит из таких двумерных векторов , для которых  =1, то есть элементы и должны быть взаимно обратными. Это возможно только когда оба вычета равны 1 или 9, что соответствует значениям n=4p; m=4q или n=4p+2; m=4q+2 (). Отсюда видно, что в качестве образующих  можно выбрать элементы и  . Поэтому получаем: .

Замечание.

Построение матрицы  для данной г.к.о. G зависит от выбора с.о. группы G и подгруппы . Существует стандартный способ изменения с.о. - выполнение элементарных преобразований (э.п.). Как известно, имеются 3 типа элементарных преобразований: перестановка образующих, умножение одной из образующих на число p и прибавление к одной образующей кратного другой. Для того, чтобы при этих преобразованиях снова получалась с.о. необходима их обратимость. Поэтому число p может быть равно только 1 или -1. Выполнение  э.п. с.о. G приводит к преобразованиям строк матрицы , а э.п. с.о. H приводят к преобразованиям столбцов той же матрицы. Назовем две целочисленные матрицы эквивалентными, если одна из них получается из другой э.п. строк и столбцов . Из сказанного выше вытекает, что эквивалентные матрицы отвечают одной и той же группе. Отметим еще, что если B- любая , то взяв в качестве -множество всевозможных целочисленных комбинаций столбцов B и образовав факторгруппу G=  мы придем к группе, для которой =B. Таким образом, любая целочисленная матрица определяет некоторую г.к.о.

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

18165. НАБУТТЯ ПРАВА ВЛАСНОСТІ НА ЗЕМЕЛЬНІ ДІЛЯНКИ ЗА ЦИВІЛЬНО - ПРАВОВИМИ УГОДАМИ 81 KB
  Лекція 7. НАБУТТЯ ПРАВА ВЛАСНОСТІ НА ЗЕМЕЛЬНІ ДІЛЯНКИ ЗА ЦИВІЛЬНО ПРАВОВИМИ УГОДАМИ План: 1. Загальні положення. 2. Купівля продаж. 3. Міна. 4. Дарування. 5. Спадкування. 6. Рента. Питання для самоконтролю: Питання для самостійного опрацювання: 1. Загальні ...
18166. ПРИПИНЕННЯ ПРАВА ПРИВАТНОЇ ВЛАСНОСТІ 84 KB
  Лекція 8 ПРИПИНЕННЯ ПРАВА ПРИВАТНОЇ ВЛАСНОСТІ План: Припинення права приватної власності як санкція за вчинене правопорушення. Викуп земельних ділянок приватної власності для суспільних потреб Примусове припинення права власності. Викуп земельних...
18167. ПРАВО ЗЕМЛЕКОРИСТУВАННЯ 95 KB
  Лекція 9. ПРАВО ЗЕМЛЕКОРИСТУВАННЯ План: Поняття права землекористування Особливості підстав виникнення права землекористування Особливості підстав припинення права землекористування Захист права землекористування Питання для самоконтро
18168. ОСОБЛИВОСТІ ОРЕНДНОГО ЗЕМЛЕКОРИСТУВАННЯ 79 KB
  Лекція 10. ОСОБЛИВОСТІ ОРЕНДНОГО ЗЕМЛЕКОРИСТУВАННЯ План: Загальна характеристика оренди землі та договору оренди землі Порядок укладання договорів оренди землі Умови договору оренди землі Зміна припинення поновлення договорів оренди землі Субо
18169. ОБМЕЖЕННЯ ТА ОБТЯЖЕННЯ ПРАВ НА ЗЕМЛЮ 66.5 KB
  Лекція 11. ОБМЕЖЕННЯ ТА ОБТЯЖЕННЯ ПРАВ НА ЗЕМЛЮ План: Поняття обмежень та обтяжень прав на землю Загальна характеристика обмежень прав на землю Загальна характеристика обтяжень прав на землю Питання для самоконтролю: Питання на самостійну підгото
18170. ЗЕМЕЛЬНИЙ СЕРВІТУТ ЯК ОКРЕМИЙ РІЗНОВИД ОБТЯЖЕНЬ ПРАВ НА ЗЕМЛЮ 60.5 KB
  Лекція 12. ЗЕМЕЛЬНИЙ СЕРВІТУТ ЯК ОКРЕМИЙ РІЗНОВИД ОБТЯЖЕНЬ ПРАВ НА ЗЕМЛЮ План: Поняття земельного сервітуту Види земельних сервітутів Встановлення земельних сервітутів: підстави та порядок Підстави та порядок припинення земельних сервітутів П...
18171. Структуры языка ANSI C, операции над структурами 1.07 MB
  Задача лабораторной работы состоит в практическом освоении объявления и работы с структурами, написание приложения по индивидуальному варианту.
18172. ПРАВО НА ЗЕМЕЛЬНУ ЧАСТКУ (ПАЙ) 83.5 KB
  Лекція 13 ПРАВО НА ЗЕМЕЛЬНУ ЧАСТКУ ПАЙ План: Правова природа права на земельну частку пай Право на земельну частку пай у землях що були передані у колективну власність сільськогосподарських підприємств Співвідношення права на земельну частку пай із...
18173. ВИНИКНЕННЯ ТА РЕАЛІЗАЦІЯ ПРАВА НА ЗЕМЕЛЬНУ ЧАСТКУ (ПАЙ), У ЗЕМЛЯХ ПЕРЕДАНИХ У КОЛЕКТИВНУ ВЛАСНІСТЬ 81.5 KB
  Лекція 14 ВИНИКНЕННЯ ТА РЕАЛІЗАЦІЯ ПРАВА НА ЗЕМЕЛЬНУ ЧАСТКУ ПАЙ У ЗЕМЛЯХ ПЕРЕДАНИХ У КОЛЕКТИВНУ ВЛАСНІСТЬ План: Виникнення права на земельну частку пай Виділення земельних часток паївв натурі із земель передану у колективну власність Оренда земельн...