67576
Коммутативные группы с конечным числом образующих
Лекция
Математика и математический анализ
Группа Q рациональных чисел с операцией сложения не является г.к.о. В самом деле, если - любые рациональные числа, записанные в виде отношения целых, то, приводя к общему знаменателю сумму, получим дробь, знаменатель которой не превосходит...
Русский
2014-09-12
181.5 KB
4 чел.
Лекция№5
Коммутативные группы с конечным числом образующих.
Часть первая: общая теория
Определение
Элементы коммутативной группы G называются ее системой образующих (с.о.) , если каждый элемент можно записать в виде: , где . Группа, имеющая систему образующих, называется группой с конечным числом образующих (г.к.о.)
Примеры.
Циклическая группа - группа с одной образующей.
Группа всех n-мерных векторов с целочисленными координатами с операцией сложения имеет стандартную с.о. e= , где - вектор, у которого единственная ненулевая координата - i ая , равная 1.
Отметим, что Z . Будем также считать, что - тривиальная группа.
Система {3,7} - является с.о. группы Z . Это вытекает из тождества: m= m*7+(-2m)*3 .
Всякая конечная абелева группа является г.к.о. так как за систему образующих можно взять, например, все элементы этой группы.
Группа Q рациональных чисел с операцией сложения не является г.к.о. В самом деле, если - любые рациональные числа, записанные в виде отношения целых, то, приводя к общему знаменателю сумму , получим дробь, знаменатель которой не превосходит N= . Поэтому любая несократимая дробь с большим чем N знаменателем не является целочисленной линейной комбинацией данных рациональных чисел и они не образуют с.о.
Пусть G- группа с с.о. . Определим отображение формулой: . Очевидно, что является сюръективным гомоморфизмом. Будем называть стандартным гомоморфизмом для группы G c заданной с.о.. Он отображает стандартную с.о. группы в заданную с.о. группы G. Из существования стандартного гомоморфизма вытекает, что любая г.к.о. является гомоморфным образом группы . Отметим еще, что если - сюръективный гомоморфизм, то - с.о. группы K. Поэтому гомоморфный образ г.к.о. является г.к.о.
Теорема о подгруппах г.к.о.
Всякая подгруппа H группы G с с.о. допускает конечную с.о. , причем .
Доказательство.
Проведем индукцию по числу n образующих группы G . При n=1 G -циклическая группа и для нее теорема верна, так как всякая ее подгруппа циклична. Пусть для групп с (n-1) образующей теорема уже доказана; рассмотрим случай сформулированный в теореме. Определим множество
. Легко проверить, что - подгруппа и потому P=kZ, где . Если k>0 выберем так, чтобы . Пусть - подмножество G, состоящее из всевозможных линейных комбинаций , где все . Очевидно, что - подгруппа G с (n-1) образующей. Пусть также - подгруппа . По предположению индукции допускает конечную с.о. , где . Если k=0, и теорема доказана. Предположим, что k>0. Докажем тогда, что - с.о. подгруппы H. Пусть - произвольный элемент. Тогда h= . Значит,
=и потому=, откуда и теорема полностью доказана.
Итак, любая подгруппа г.к.о. является г.к.о. Укажем удобный способ задания группы G с заданной с.о. с помощью матриц. Рассмотрим стандартный гомоморфизм . Тогда H=Ker- подгруппа г.к.о. и потому имеет конечную с.о. . Поскольку , можно записать: , где . Матрица с этими элементами полностью описывает подгруппу H, а, следовательно, и группу G.
Примеры.
Пусть G=- циклическая группа с образующей g. Стандартный гомоморфизм имеет ядро nZ с образующей n. Здесь - (11) матрица (n).
Пусть G=- мультипликативная группа вычетов по модулю 20. Эта группа состоит из 8 элементов: {1, 3,7,9,11,13,17,19} ( для упрощения записи мы не ставим черту над соответствующим вычетом). Циклическая подгруппа Z(3) как нетрудно видеть состоит из элементов 1, 3, 9, 7; циклическая группа Z(13) - из элементов 1, 13, 9,17. Поскольку 3*13=19 и *13=11, мы видим, что каждый элемент из может быть записан в виде , то есть {3, 13} -с.о. группы G. Стандартный гомоморфизм
действует по формуле: . Ядро этого гомоморфизма состоит из таких двумерных векторов , для которых =1, то есть элементы и должны быть взаимно обратными. Это возможно только когда оба вычета равны 1 или 9, что соответствует значениям n=4p; m=4q или n=4p+2; m=4q+2 (). Отсюда видно, что в качестве образующих можно выбрать элементы и . Поэтому получаем: .
Замечание.
Построение матрицы для данной г.к.о. G зависит от выбора с.о. группы G и подгруппы . Существует стандартный способ изменения с.о. - выполнение элементарных преобразований (э.п.). Как известно, имеются 3 типа элементарных преобразований: перестановка образующих, умножение одной из образующих на число p и прибавление к одной образующей кратного другой. Для того, чтобы при этих преобразованиях снова получалась с.о. необходима их обратимость. Поэтому число p может быть равно только 1 или -1. Выполнение э.п. с.о. G приводит к преобразованиям строк матрицы , а э.п. с.о. H приводят к преобразованиям столбцов той же матрицы. Назовем две целочисленные матрицы эквивалентными, если одна из них получается из другой э.п. строк и столбцов . Из сказанного выше вытекает, что эквивалентные матрицы отвечают одной и той же группе. Отметим еще, что если B- любая , то взяв в качестве -множество всевозможных целочисленных комбинаций столбцов B и образовав факторгруппу G= мы придем к группе, для которой =B. Таким образом, любая целочисленная матрица определяет некоторую г.к.о.
А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать | |||
47075. | Уборка винограда. Виды сбора. Механизация процессов уборки. Дайте технологическую характеристику различных типов виноградоуборочных машин | 52.7 KB | |
К игристым свойствам относят способность вина в течение продолжительного времени выделять большое количество мелких пузырьков диоксида углерода. Пенистые свойства характеризуют по продолжительности существования на поверхности вина или у стенок сосуда небольшого слоя мелкоячеистой плотной пены непрерывно возобновляемого за счет пузырьков СО2 выделяющихся из вина. Игристые и пенистые свойства вина взаимосвязаны и обусловлены рядом общих факторов. Они зависят от химического состава вина содержания в нем растворенной и связанной форм диоксида... | |||
47077. | Правовое регулирование финансово-хозяйственной деятельности коммерческих и некоммерческих организаций книжного бизнеса | 53 KB | |
В связи с тем что в настоящее время отменен региональный налог с продаж к сфере книжного бизнеса относятся только следующие федеральные налоги: налог на добавленную стоимость НДС налог на прибыль организаций НПО единый социальный налог ЕСН а также налог на доходы физических лиц НДФЛ последний мы не рассматриваем. Налогоплательщиками являются российские организации и иностранные организации осуществляющие свою деятельность в РФ через постоянные представительства и или получающие доходы от источников в РФ ст. К доходам для... | |||
47078. | Информационные издания | 53 KB | |
В зависимости от характера включаемой информации и целевого назначения ИИ подразделяются на: библиографические издания которые включают только библиографические сведения о документах а также в отдельных случаях краткую аннотацию текущие рекомендательные ретроспективные библиографические указатели реферативные В реферативных изданиях наряду с библиографическими сведениями дается краткое изложение содержания документа реферативные журналы реферативные сборники экспресс-информации и информационные листки обзорные Обзорное... | |||
47079. | Инвестиции и инвестиционная деятельность | 53.22 KB | |
Назовите величины связывающие уравнение линейной регрессии в данной модели: дисперсии случайных ошибок акций портфеля @доходности конкретной акции портфеля и доходности рыночного портфеля ожидаемой доходности портфеля и дисперсии портфеля доходности рыночного портфеля и дисперсию доходностей рыночного портфеля Если коэффициент корреляции равен 1 то: @значения переменных движутся в точно противоположных направлениях переменные никак не соотносятся друг с другом значения 2х переменных изменяются абсолютно синхронно Кривые безразличия... | |||
47081. | Натюрморт в зарубежной и русской живописи | 54 KB | |
и имевшие у современников ошеломляющий успех открыли дорогу жанру натюрморта в искусстве многих стран. Радость и полнота восприятия жизни родоначальников жанра натюрморта продолжает восхищать почитателей искусства. Венецианов понимая значение натюрморта в учебном процессе настоятельно советовал своему бывшему ученику А. Графику натюрморта невозможно рассматривать без связей с живописью натюрморта. | |||
47082. | Структура и особенности философского знания | 54 KB | |
Важной структурной характеристикой философии является ее иерархичность которая представлена по крайней мере тремя структурными уровнями: 1 формы бытия философии 2 дисциплинарное строение форм бытия философии 3 логическая структура философского знания. Рассмотрим последовательно каждый из этих структурных уровней философии. Первый структурный уровень философии представлен ее формами бытия среди которых выделяют художественную религиозную и научную. В научнотеоретической форме философия выступает в позитивизме и диалектическом... | |||