67576

Коммутативные группы с конечным числом образующих

Лекция

Математика и математический анализ

Группа Q рациональных чисел с операцией сложения не является г.к.о. В самом деле, если - любые рациональные числа, записанные в виде отношения целых, то, приводя к общему знаменателю сумму, получим дробь, знаменатель которой не превосходит...

Русский

2014-09-12

181.5 KB

3 чел.

Лекция№5

Коммутативные группы с конечным числом образующих.

Часть первая: общая теория

Определение

Элементы  коммутативной группы G называются ее системой образующих (с.о.) , если каждый элемент можно записать в виде: , где  . Группа, имеющая систему образующих, называется группой с конечным числом образующих (г.к.о.)

Примеры.

Циклическая группа - группа с одной образующей.

Группа   всех n-мерных векторов с целочисленными координатами с операцией сложения имеет стандартную с.о. e= , где - вектор, у которого единственная ненулевая координата - i ая , равная 1.

Отметим, что Z . Будем также считать, что   - тривиальная группа.

Система {3,7} - является с.о. группы Z . Это вытекает из тождества: m= m*7+(-2m)*3 .

Всякая конечная абелева группа является г.к.о. так как за систему образующих можно взять, например, все элементы этой группы.

Группа Q рациональных чисел с операцией сложения не является г.к.о.  В самом деле, если  - любые рациональные числа, записанные в виде отношения целых, то,  приводя к общему знаменателю сумму , получим дробь, знаменатель которой не превосходит N= . Поэтому любая несократимая дробь с большим чем N знаменателем не является целочисленной линейной комбинацией данных рациональных чисел и они не образуют с.о.

Пусть G- группа с с.о. . Определим отображение  формулой: . Очевидно, что   является сюръективным гомоморфизмом. Будем называть стандартным гомоморфизмом для группы G c заданной с.о.. Он отображает стандартную с.о. группы  в заданную с.о. группы G. Из существования стандартного гомоморфизма вытекает, что любая г.к.о. является гомоморфным образом группы  . Отметим еще, что если - сюръективный гомоморфизм, то - с.о. группы K. Поэтому гомоморфный образ г.к.о. является г.к.о.

Теорема о подгруппах г.к.о.

Всякая подгруппа H группы G с с.о.  допускает конечную с.о. , причем .

Доказательство.

Проведем индукцию по числу n образующих группы G . При n=1 G -циклическая группа и для нее теорема верна, так как всякая ее подгруппа циклична. Пусть для групп с (n-1) образующей теорема уже доказана; рассмотрим случай сформулированный в теореме. Определим множество

. Легко проверить, что - подгруппа и потому P=kZ, где . Если k>0 выберем  так, чтобы . Пусть - подмножество G, состоящее из всевозможных линейных комбинаций , где все  . Очевидно, что - подгруппа G с (n-1) образующей. Пусть также - подгруппа . По предположению индукции  допускает конечную с.о. , где . Если k=0, и теорема доказана. Предположим, что k>0. Докажем тогда, что - с.о. подгруппы H. Пусть - произвольный элемент. Тогда h= . Значит,

=и потому=, откуда  и теорема полностью доказана.

Итак, любая подгруппа г.к.о. является г.к.о. Укажем удобный способ задания группы G с заданной с.о.  с помощью матриц. Рассмотрим стандартный гомоморфизм . Тогда H=Ker- подгруппа г.к.о. и потому имеет конечную с.о. . Поскольку  , можно записать: , где . Матрица  с этими элементами полностью описывает подгруппу H, а, следовательно, и группу G.

Примеры.

Пусть G=- циклическая группа с образующей g. Стандартный гомоморфизм  имеет ядро nZ с образующей n. Здесь - (11) матрица (n).

Пусть G=- мультипликативная группа вычетов по модулю 20. Эта группа состоит из 8 элементов: {1, 3,7,9,11,13,17,19} ( для упрощения записи мы не ставим черту над соответствующим вычетом). Циклическая подгруппа Z(3) как нетрудно видеть состоит из элементов 1, 3, 9, 7; циклическая группа Z(13) - из элементов 1, 13, 9,17. Поскольку 3*13=19 и *13=11, мы видим, что каждый элемент из  может быть записан в виде , то есть {3, 13} -с.о. группы G. Стандартный гомоморфизм     

действует по формуле: . Ядро этого гомоморфизма  состоит из таких двумерных векторов , для которых  =1, то есть элементы и должны быть взаимно обратными. Это возможно только когда оба вычета равны 1 или 9, что соответствует значениям n=4p; m=4q или n=4p+2; m=4q+2 (). Отсюда видно, что в качестве образующих  можно выбрать элементы и  . Поэтому получаем: .

Замечание.

Построение матрицы  для данной г.к.о. G зависит от выбора с.о. группы G и подгруппы . Существует стандартный способ изменения с.о. - выполнение элементарных преобразований (э.п.). Как известно, имеются 3 типа элементарных преобразований: перестановка образующих, умножение одной из образующих на число p и прибавление к одной образующей кратного другой. Для того, чтобы при этих преобразованиях снова получалась с.о. необходима их обратимость. Поэтому число p может быть равно только 1 или -1. Выполнение  э.п. с.о. G приводит к преобразованиям строк матрицы , а э.п. с.о. H приводят к преобразованиям столбцов той же матрицы. Назовем две целочисленные матрицы эквивалентными, если одна из них получается из другой э.п. строк и столбцов . Из сказанного выше вытекает, что эквивалентные матрицы отвечают одной и той же группе. Отметим еще, что если B- любая , то взяв в качестве -множество всевозможных целочисленных комбинаций столбцов B и образовав факторгруппу G=  мы придем к группе, для которой =B. Таким образом, любая целочисленная матрица определяет некоторую г.к.о.

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

31531. Классификация рисков, которые возникают при проведении международных расчетов 285 KB
  В связи со стратегическим планом развития бизнеса руководством ООО «Экросс» принято решение о выходе предприятия на внешний рынок. Основными направлениями оказания услуг являются: обеспечение навигации иностранных судов и снабжение иностранных судов продовольствием и т.п.
31532. Процесс ремонта автосцепного устройства вагона 1.7 MB
  Цель технологической практики - закрепление теоретических знаний, организация и технология сборки, полученных при изучении общеинженерных дисциплин, ознакомление с технологией и организацией производства при ремонте вагона и его частей, изучение технологии ремонта вагонов в депо и освоение передового производственного опыта; приобретение навыков рабочих профессий.
31533. Использование портативных компьютеров в современных информационных технологиях 72.5 KB
  Успех современного бизнеса во многом зависит от того, как оперативно можно получать и анализировать критичные данные. И не случайно в последнее время стали популярными различные электронные “помощники” - пейджеры, сотовые телефоны, переносные компьютеры. Причем именно работа с помощью переносных компьютеров (мобильные вычисления-mobile computing) стала одним из важных критериев успеха в постоянно изменяющемся мире.
31534. Колізійна норма 158 KB
  В міжнародному приватному праві (далі – МПрП) виникають так звані колізії, для їх характеристики застосовуються критерії розбіжності, протиріччя, зіткнення, конфлікту, відміни, різниці, неоднаковості.
31535. ОТНОШЕНИЕ СОВРЕМЕННИКОВ К МИРУ ДЕТСТВА В XIX ВЕКЕ 373 KB
  «Мир детства» - понятие, включающее в себя осознанную педагогами и родителями специфику детской психологии и вещей, окружающих ребенка. Именно в XIX веке детей перестали считать просто маленькими взрослыми. Педагоги, родители и предприниматели активно стали создавать ориентированные на ребенка определенного возраста костюмы...
31536. Технология производства семян на семенных посевах 192 KB
  Рапс — единственная коммерчески значимая масличная культура в Беларуси, если оценивать его с точки зрения приспособленности к почвенно-климатическим условиям. При этом важно использовать только семена двунулевых сортов, поскольку только они обладают спросом на мировом рынке и служат сырьем для получения высококачественных продуктов
31537. Интерфейсы DTE-DCE 141 KB
  Глобальные сети обычно создаются крупными телекоммуникационными компаниями для оказания платных услуг абонентам. Такие сети называют публичными или общественными. Существуют также такие понятия, как оператор сети и поставщик услуг сети.
31538. Б. Рассел о материи и идеализме. Ф. Энгельс об основном вопросе философии и этапах развития материализма 184.5 KB
  Существует ли в мире знание столь достоверное, что никакой разумный человек не мог бы подвергнуть его сомнению? Поначалу этот вопрос может показаться весьма легким, но на самом деле это один из самых трудных вопросов, которые только можно вообразить. Когда мы осознаем трудности, которые встают на пути прямого и убедительного ответа на этот вопрос
31539. Исследование тригеров их типы и свойства в системе элементов 3.08 MB
  Триггеры как цифровые автоматы. Триггером называют логическую схему с положительной обратной связью, имеющую два устойчивых состояния. Триггер содержит элемент памяти (собственно триггер) и схему управления, выполненную, как правило, с помощью КС.