67576

Коммутативные группы с конечным числом образующих

Лекция

Математика и математический анализ

Группа Q рациональных чисел с операцией сложения не является г.к.о. В самом деле, если - любые рациональные числа, записанные в виде отношения целых, то, приводя к общему знаменателю сумму, получим дробь, знаменатель которой не превосходит...

Русский

2014-09-12

181.5 KB

4 чел.

Лекция№5

Коммутативные группы с конечным числом образующих.

Часть первая: общая теория

Определение

Элементы  коммутативной группы G называются ее системой образующих (с.о.) , если каждый элемент можно записать в виде: , где  . Группа, имеющая систему образующих, называется группой с конечным числом образующих (г.к.о.)

Примеры.

Циклическая группа - группа с одной образующей.

Группа   всех n-мерных векторов с целочисленными координатами с операцией сложения имеет стандартную с.о. e= , где - вектор, у которого единственная ненулевая координата - i ая , равная 1.

Отметим, что Z . Будем также считать, что   - тривиальная группа.

Система {3,7} - является с.о. группы Z . Это вытекает из тождества: m= m*7+(-2m)*3 .

Всякая конечная абелева группа является г.к.о. так как за систему образующих можно взять, например, все элементы этой группы.

Группа Q рациональных чисел с операцией сложения не является г.к.о.  В самом деле, если  - любые рациональные числа, записанные в виде отношения целых, то,  приводя к общему знаменателю сумму , получим дробь, знаменатель которой не превосходит N= . Поэтому любая несократимая дробь с большим чем N знаменателем не является целочисленной линейной комбинацией данных рациональных чисел и они не образуют с.о.

Пусть G- группа с с.о. . Определим отображение  формулой: . Очевидно, что   является сюръективным гомоморфизмом. Будем называть стандартным гомоморфизмом для группы G c заданной с.о.. Он отображает стандартную с.о. группы  в заданную с.о. группы G. Из существования стандартного гомоморфизма вытекает, что любая г.к.о. является гомоморфным образом группы  . Отметим еще, что если - сюръективный гомоморфизм, то - с.о. группы K. Поэтому гомоморфный образ г.к.о. является г.к.о.

Теорема о подгруппах г.к.о.

Всякая подгруппа H группы G с с.о.  допускает конечную с.о. , причем .

Доказательство.

Проведем индукцию по числу n образующих группы G . При n=1 G -циклическая группа и для нее теорема верна, так как всякая ее подгруппа циклична. Пусть для групп с (n-1) образующей теорема уже доказана; рассмотрим случай сформулированный в теореме. Определим множество

. Легко проверить, что - подгруппа и потому P=kZ, где . Если k>0 выберем  так, чтобы . Пусть - подмножество G, состоящее из всевозможных линейных комбинаций , где все  . Очевидно, что - подгруппа G с (n-1) образующей. Пусть также - подгруппа . По предположению индукции  допускает конечную с.о. , где . Если k=0, и теорема доказана. Предположим, что k>0. Докажем тогда, что - с.о. подгруппы H. Пусть - произвольный элемент. Тогда h= . Значит,

=и потому=, откуда  и теорема полностью доказана.

Итак, любая подгруппа г.к.о. является г.к.о. Укажем удобный способ задания группы G с заданной с.о.  с помощью матриц. Рассмотрим стандартный гомоморфизм . Тогда H=Ker- подгруппа г.к.о. и потому имеет конечную с.о. . Поскольку  , можно записать: , где . Матрица  с этими элементами полностью описывает подгруппу H, а, следовательно, и группу G.

Примеры.

Пусть G=- циклическая группа с образующей g. Стандартный гомоморфизм  имеет ядро nZ с образующей n. Здесь - (11) матрица (n).

Пусть G=- мультипликативная группа вычетов по модулю 20. Эта группа состоит из 8 элементов: {1, 3,7,9,11,13,17,19} ( для упрощения записи мы не ставим черту над соответствующим вычетом). Циклическая подгруппа Z(3) как нетрудно видеть состоит из элементов 1, 3, 9, 7; циклическая группа Z(13) - из элементов 1, 13, 9,17. Поскольку 3*13=19 и *13=11, мы видим, что каждый элемент из  может быть записан в виде , то есть {3, 13} -с.о. группы G. Стандартный гомоморфизм     

действует по формуле: . Ядро этого гомоморфизма  состоит из таких двумерных векторов , для которых  =1, то есть элементы и должны быть взаимно обратными. Это возможно только когда оба вычета равны 1 или 9, что соответствует значениям n=4p; m=4q или n=4p+2; m=4q+2 (). Отсюда видно, что в качестве образующих  можно выбрать элементы и  . Поэтому получаем: .

Замечание.

Построение матрицы  для данной г.к.о. G зависит от выбора с.о. группы G и подгруппы . Существует стандартный способ изменения с.о. - выполнение элементарных преобразований (э.п.). Как известно, имеются 3 типа элементарных преобразований: перестановка образующих, умножение одной из образующих на число p и прибавление к одной образующей кратного другой. Для того, чтобы при этих преобразованиях снова получалась с.о. необходима их обратимость. Поэтому число p может быть равно только 1 или -1. Выполнение  э.п. с.о. G приводит к преобразованиям строк матрицы , а э.п. с.о. H приводят к преобразованиям столбцов той же матрицы. Назовем две целочисленные матрицы эквивалентными, если одна из них получается из другой э.п. строк и столбцов . Из сказанного выше вытекает, что эквивалентные матрицы отвечают одной и той же группе. Отметим еще, что если B- любая , то взяв в качестве -множество всевозможных целочисленных комбинаций столбцов B и образовав факторгруппу G=  мы придем к группе, для которой =B. Таким образом, любая целочисленная матрица определяет некоторую г.к.о.

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32104. Государственный контроль и надзор за соблюдением обяза 32.5 KB
  Проводят госнадзор должностные лица Госстандарта и подведомственных ему центров стандартизации и метрологии получивших статус территориальных органов госнадзора государственные инспекторы. Акт должен быть направлен руководству проверенной организации в РостестМосква который готовит обобщенную информацию о результатах работы госнадзора а если возникла необходимость применения мер воздействия в Госстандарт России где в соответствии с Законом О стандартизации и другими действующими законодательными положениями определяются конкретные...
32107. Правовые основы стандартизации и сертификации в Рф. Характеристика ФЗ Техническом Регулировании, об обеспечении единства измерении,о защите прав потребителей, об основах туристской деятельности в РФ 31.5 KB
  Целями Федерального закона являются: 1 установление правовых основ обеспечения единства измерений в Российской Федерации; 2 защита прав и законных интересов граждан общества и государства от отрицательных последствий недостоверных результатов измерений; 3 обеспечение потребности граждан общества и государства в получении объективных достоверных и сопоставимых результатов измерений используемых в целях защиты жизни и здоровья граждан охраны окружающей среды животного и растительного мира обеспечения обороны и безопасности государства...
32108. Структура ряда динами. Проверка ряда на наличие тренда 97 KB
  Проверка ряда на наличие тренда. Всякий ряд динамики теоретически может быть представлен в виде составляющих: тренд основная тенденция развития динамического ряда к увеличению либо снижению его уровней; циклические периодические колебания в том числе сезонные; случайные колебания. Изучение тренда включает два основных этапа: ряд динамики проверяется на наличие тренда; производится выравнивание временного ряда и непосредственное выделение тренда.
32109. Понятие индекса 289.5 KB
  В экономическом анализе индексы используются не только для сопоставления уровней изучаемого явления но главным образом для определения экономической значимости причин объясняющих абсолютное различие сравниваемых уровней. Далее приведены два наиболее распространенных определения понятия экономический индекс: Индекс это показатель сравнения двух состояний одного и того же явления простого или сложного состоящего из соизмеримых или несоизмеримых величин. Индекс это относительная величина показывающая во сколько раз уровень...
32110. Ряды динамики. Классификация 134.5 KB
  Ряд динамики хронологический ряд динамический ряд временной ряд это последовательность упорядоченных во времени числовых показателей характеризующих уровень развития изучаемого явления. Всякий ряд динамики включает следовательно два обязательных элемента: вопервых время и вовторых конкретное значение показателя или уровень ряда. Интервальный ряд динамики последовательность в которой уровень явления относится к результату накопленному или вновь произведенному за определенный интервал времени.
32111. LA VALEUR STYLISTIQUE DES PRONOMS 12.25 KB
  2)Dans la conversation on emploie le pronom tu pour sadresser а ses proches, aux membres de la famille, aux enfants on use, au contraire, du pronom vous pour aborder les personnes que lon ne connait pas assez bien ou avec qui on ne se permet pas de familiarité.
32112. LADJECTIF ET SES SYNONYMES GRAMMATICAUX 11.47 KB
  L'djectif fit l fonction de differents termes: epithetecompl determintif dhernt directement u nom ttribut determinnt predictif detchee. L vleur expressive de l'djectif dns toutes ces fonctions depend en grnde mesure de s plce dns l phrse. L'djectif designe ses trits prticuliers ses qulités et ses defuts.