67577

Коммутативные группы с конечным числом образующих. Классификация

Лекция

Математика и математический анализ

Для нулевой матрицы теорема очевидно верна. Будем считать, что А0. Выберем из множества ненулевых элементов А любой из наименьших по модулю и назовем его главным элементом А. Абсолютная величина главного элемента будет обозначаться h(A). Таким образом для любого ненулевого элемента этой матрицы.

Русский

2014-09-12

209.5 KB

0 чел.

Лекция№6

Коммутативные группы с конечным числом образующих.

Часть вторая: классификация.

Как было показано на предыдущей лекции, каждая г.к.о. G с n образующими задается  (n m) матрицей , причем эквивалентные матрицы определяют одинаковые группы. Будем называть прямоугольную матрицу А диагональной , если все ее элементы =0 при i j. Последовательно перечисляя ее диагональные элементы, будем записывать такую матрицу в виде: A=diag().

Теорема о приведении матрицы к диагональному виду.

Всякая целочисленная прямоугольная матрица А эквивалентна диагональной матрице  diag(), с положительными , причем все числа  - целые.

Доказательство.

Для нулевой матрицы теорема очевидно верна. Будем считать, что А0. Выберем из множества ненулевых элементов А любой из наименьших по модулю и назовем его главным элементом А. Абсолютная величина главного элемента будет обозначаться  h(A). Таким образом для любого  ненулевого элемента этой матрицы .

Лемма

Существует матрица эквивалентная А, все элементы которой кратны ее главному элементу.

Доказательство леммы.

Выберем среди всех матриц эквивалентных А ту матрицу , у которой h() минимально. Покажем, что эта матрица удовлетворяет условию, указанному в лемме. Проведем доказательство от противного. Пусть  - главный элемент этой матрицы  так что  . Допустим, что некоторый элемент этой матрицы не делится на  нацело и придем к противоречию. Рассмотрим 3 случая. Пусть сначала p=i, то есть выбранные элементы расположены в одной строке. Разделим на с остатком: , где . Вычитая из q-ого столбца  j-ый с коэффициентом s, придем к эквивалентной матрице , у которой h()r<h(), что противоречит выбору матрицы . Если p i, но q=j, то можно произвести аналогичное преобразование строк матрицы, что опять приведет нас к противоречию. Пусть, наконец, все элементы i-ой строки и все элементы j-ого столбца кратны  , но  не делится на главный элемент нацело. Пусть k=. Вычитая из p-ой строки  ее i-ую строку с коэффициентом (k-1) придем к эквивалентной матрице , у которой  и элемент не делится на  нацело. Имеем: h()=h(A). Строгое неравенство приводит к противоречию; если же имеет место равенство, мы получаем первый случай и снова впадаем в противоречие. Лемма доказана.

Доказательство теоремы будем проводить индукцией по n. При n=1 утверждение теоремы очевидно. Пусть теорема уже доказана для матриц с (n-1) строкой. Рассмотрим матрицу А с n строками. Выберем для нее эквивалентную матрицу , удовлетворяющую условиям леммы. Пусть . Переставляя строки и столбцы   и если надо умножая ее строку на -1, приходим к эквивалентной матрице  , у которой . Вычитая теперь из каждой строки ее первую строку с подходящим коэффициентом и проделывая аналогичные операции с ее столбцами, приходим к матрице, у которой все элементы первой строки и первого столбца равны 0 за исключением первого элемента, равного , причем все элементы этой матрицы кратны . Применяя предположение индукции к матрице , полученной вычеркиванием первой строки и первого столбца, мы и завершаем доказательство теоремы.

Пример.

(стрелками обозначены э.п. строк и столбцов)

.

Опишем теперь структуру группы G с  с.о.   , для которой =diag() , причем мы считаем, что  По построению G=, где H- подгруппа с с.о. {}. Пусть -циклическая подгруппа G.  Очевидно, ( при i>r). Каждый элемент  однозначно представляется в виде суммы:  , где 0< при i=1,2,...r и при i>r .

Определение.

Пусть G- абелева группа и - система ее подгрупп. G называется прямой суммой системы подгрупп, если каждый элемент   однозначно представляется в виде суммы , где . Это записывается следующим образом: .

Таким образом, диагональный вид матрицы  означает, что , где количество слагаемых  Z равно n-r . Очевидно, что слагаемые, отвечающие тривиальным группам (d=1) могут быть исключены из этой суммы.

Примеры.

Очевидно, что .

Отметим, что если все подгруппы  имеют конечные порядки  , то порядок  равен .

Подгруппа   состоит из элементов: , а - из элементов  . Поскольку += и +=, мы видим, что .

В развитие предыдущего примера установим, что, если числа p и q взаимно просты, то. Используем основную теорему теории делимости: существуют целые x и y, такие что 1=xp+yq . Отсюда для любого n получаем, что n=nyq+nxp и значит . Остается заметить, что эти группы имеют одинаковые порядки.    

Как было показано на предыдущей лекции, группа  описывается матрицей . Приводя эту матрицу к диагональному виду, получаем эквивалентную матрицу . Следовательно, . В качестве образующих этих циклических подгрупп можно взять, например, элементы  и .

Подводя итог всему вышесказанному, можно утверждать, что всякая г.к.о. G является прямой суммой своих циклических подгрупп ,                                        (1)

 где порядки  конечных подгрупп удовлетворяют условию: числа - целые. Разложение (1) называется первым каноническим разложением группы G.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82875. Оценка приспособленности грузовой платформы автомобиля КАМАЗ-4308-А3 (4х2) с прицепом НЕФАЗ-8560-62-02 к перевозке грузов и исследование расчетным методом тягово-скоростных свойств 276.56 KB
  Величину полезной работы можно оценить объемом перевозок т или производительностью ткм поэтому одним из важнейших условий определяющих эффективность эксплуатации АТС является степень приспособленности кузова АТС к превозке наиболее вероятных грузов.
82876. ЭКОНОМИЧЕСКАЯ СУЩНОСТЬ И ЗНАЧЕНИЕ ИНВЕСТИЦИЙ В ЛОГИСТИКЕ 89.13 KB
  Цель данной работы: раскрыть сущность сбережений и инвестиций в рыночной экономике и на основании теоретических данных рассмотреть проблемы превращения сбережений в инвестиции в России. Для достижения указанной цели необходимо решить следующие задачи: проанализировать понятие виды и функции инвестиций...
82877. Теоретические и практические аспекты усовершенствования механизма планирования фонда оплаты труда на предприятии ОАО «Русь» 119.89 KB
  Для осуществления этих целей необходимо выполнить следующие задачи. Во-первых, определить сущность категории заработной платы. Во-вторых, рассмотреть существующие формы и системы оплаты труда, порядок начисления некоторых видов заработной платы и то, как эти формы и системы применяются на обследуемом предприятии.
82878. Разработка основных элементов ППР по благоустройству частного сада 1.81 MB
  Нормативные данные на выполненную единицу работ взяты из СНиП, а состав бригады и количество рабочих - из сборника ЕНИР. Определение объемов работ производится на основании рабочих чертежей проекта участка. Объемы работ по проекту исчислены в соответствии с требованиями определения объемов работ, приведенных в технической части нормативных сборник.
82879. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ГТС НА БАЗЕ ТЕХНОЛОГИИ SDH 1.11 MB
  Прагматическая стратегия предусматривает эксплуатацию аналогового оборудования на сети возможно более длительные сроки, замена на цифровое оборудование производиться только в случае, когда это оправдано технически и экономически.
82880. Расчет привод асинхронного двигателя по заданной схеме 255.29 KB
  Основным материалом зубчатых колес служат термически обрабатываемые стали так как по сравнению с другими материалами они в большей степени обеспечивают высокую контактную и изгибную прочность зубьев. Предварительное межосевое расстояние так как Окружная скорость Назначаем 9 степень точности...
82881. Фильтры нижних частот 2.71 MB
  В общем случае электрический фильтр – это цепь с заданной реакцией на данное воздействие. Под частотным фильтром понимается устройство, пропускающее сигналы одних частот и задерживающее сигналы других частот. Область частот, в которой сигналы пропускаются фильтром, называется полосой пропускания...
82882. Расчет технико-экономических показателей принимаемых решений по созданию нового производства 117.26 KB
  Расчет текущих издержек на производство и реализацию продукции выполнение работ. Для достижения этой цели необходимо произвести расчет потребности в материальных ресурсах потребности в основных средствах и сумму амортизационных отчислений потребности в трудовых ресурсах и средствах на оплату труда текущих издержек на производство и реализацию продукции и выполнение работ потребности в оборотных средствах а также рассчитать основные техникоэкономические показатели. Предприятие является производителем...
82883. Пристрій захисту від перевищення напруги мережі 120.95 KB
  Організація виробництва полягає у координації руху матеріальних і трудових ресурсів для виконання технологічних операцій з закріпленням їх за конкретними робочими місцями, завдяки чому досягається ритмічна робота виробничої дільниці і високі техніко-економічні показники.