67577

Коммутативные группы с конечным числом образующих. Классификация

Лекция

Математика и математический анализ

Для нулевой матрицы теорема очевидно верна. Будем считать, что А0. Выберем из множества ненулевых элементов А любой из наименьших по модулю и назовем его главным элементом А. Абсолютная величина главного элемента будет обозначаться h(A). Таким образом для любого ненулевого элемента этой матрицы.

Русский

2014-09-12

209.5 KB

0 чел.

Лекция№6

Коммутативные группы с конечным числом образующих.

Часть вторая: классификация.

Как было показано на предыдущей лекции, каждая г.к.о. G с n образующими задается  (n m) матрицей , причем эквивалентные матрицы определяют одинаковые группы. Будем называть прямоугольную матрицу А диагональной , если все ее элементы =0 при i j. Последовательно перечисляя ее диагональные элементы, будем записывать такую матрицу в виде: A=diag().

Теорема о приведении матрицы к диагональному виду.

Всякая целочисленная прямоугольная матрица А эквивалентна диагональной матрице  diag(), с положительными , причем все числа  - целые.

Доказательство.

Для нулевой матрицы теорема очевидно верна. Будем считать, что А0. Выберем из множества ненулевых элементов А любой из наименьших по модулю и назовем его главным элементом А. Абсолютная величина главного элемента будет обозначаться  h(A). Таким образом для любого  ненулевого элемента этой матрицы .

Лемма

Существует матрица эквивалентная А, все элементы которой кратны ее главному элементу.

Доказательство леммы.

Выберем среди всех матриц эквивалентных А ту матрицу , у которой h() минимально. Покажем, что эта матрица удовлетворяет условию, указанному в лемме. Проведем доказательство от противного. Пусть  - главный элемент этой матрицы  так что  . Допустим, что некоторый элемент этой матрицы не делится на  нацело и придем к противоречию. Рассмотрим 3 случая. Пусть сначала p=i, то есть выбранные элементы расположены в одной строке. Разделим на с остатком: , где . Вычитая из q-ого столбца  j-ый с коэффициентом s, придем к эквивалентной матрице , у которой h()r<h(), что противоречит выбору матрицы . Если p i, но q=j, то можно произвести аналогичное преобразование строк матрицы, что опять приведет нас к противоречию. Пусть, наконец, все элементы i-ой строки и все элементы j-ого столбца кратны  , но  не делится на главный элемент нацело. Пусть k=. Вычитая из p-ой строки  ее i-ую строку с коэффициентом (k-1) придем к эквивалентной матрице , у которой  и элемент не делится на  нацело. Имеем: h()=h(A). Строгое неравенство приводит к противоречию; если же имеет место равенство, мы получаем первый случай и снова впадаем в противоречие. Лемма доказана.

Доказательство теоремы будем проводить индукцией по n. При n=1 утверждение теоремы очевидно. Пусть теорема уже доказана для матриц с (n-1) строкой. Рассмотрим матрицу А с n строками. Выберем для нее эквивалентную матрицу , удовлетворяющую условиям леммы. Пусть . Переставляя строки и столбцы   и если надо умножая ее строку на -1, приходим к эквивалентной матрице  , у которой . Вычитая теперь из каждой строки ее первую строку с подходящим коэффициентом и проделывая аналогичные операции с ее столбцами, приходим к матрице, у которой все элементы первой строки и первого столбца равны 0 за исключением первого элемента, равного , причем все элементы этой матрицы кратны . Применяя предположение индукции к матрице , полученной вычеркиванием первой строки и первого столбца, мы и завершаем доказательство теоремы.

Пример.

(стрелками обозначены э.п. строк и столбцов)

.

Опишем теперь структуру группы G с  с.о.   , для которой =diag() , причем мы считаем, что  По построению G=, где H- подгруппа с с.о. {}. Пусть -циклическая подгруппа G.  Очевидно, ( при i>r). Каждый элемент  однозначно представляется в виде суммы:  , где 0< при i=1,2,...r и при i>r .

Определение.

Пусть G- абелева группа и - система ее подгрупп. G называется прямой суммой системы подгрупп, если каждый элемент   однозначно представляется в виде суммы , где . Это записывается следующим образом: .

Таким образом, диагональный вид матрицы  означает, что , где количество слагаемых  Z равно n-r . Очевидно, что слагаемые, отвечающие тривиальным группам (d=1) могут быть исключены из этой суммы.

Примеры.

Очевидно, что .

Отметим, что если все подгруппы  имеют конечные порядки  , то порядок  равен .

Подгруппа   состоит из элементов: , а - из элементов  . Поскольку += и +=, мы видим, что .

В развитие предыдущего примера установим, что, если числа p и q взаимно просты, то. Используем основную теорему теории делимости: существуют целые x и y, такие что 1=xp+yq . Отсюда для любого n получаем, что n=nyq+nxp и значит . Остается заметить, что эти группы имеют одинаковые порядки.    

Как было показано на предыдущей лекции, группа  описывается матрицей . Приводя эту матрицу к диагональному виду, получаем эквивалентную матрицу . Следовательно, . В качестве образующих этих циклических подгрупп можно взять, например, элементы  и .

Подводя итог всему вышесказанному, можно утверждать, что всякая г.к.о. G является прямой суммой своих циклических подгрупп ,                                        (1)

 где порядки  конечных подгрупп удовлетворяют условию: числа - целые. Разложение (1) называется первым каноническим разложением группы G.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

67003. Буква Щ, щ, позначення нею звукосполучення «шч». Бесіда на тему «Наша Батьківщина» 64.5 KB
  Ознайомити учнів з буквою «ща», яка позначає не один звук, а звукосполучення [шч], удосконалювати вміння виконувати звуко-буквений аналіз слів: вчити читати склади і слова з буквою «ща», збагачувати словник словами з цією буквою виховувати любов до рідного краю, своєї Батьківщини.
67004. Звуки «з'» «з». Буква З з (с использованием заданий на развитие логического мышления) 122 KB
  Цели: 1. Познакомить учащихся со звуками [ з'] [ з ], буквами З з ; 2. Продолжить работу над звуковым анализом слов; 3. Учить читать слоги, слова с буквой "зэ"; 4. Развивать фонематический слух, речь, мышление, обогащать словарный запас, прививать любовь и уважение к родной природе.
67005. Письмо великої букви С, складів та слів із нею. Складання і записування речень 33 KB
  Оголошення теми і мети уроку Перегляд уривка мультфільму Вкрадений місяць Чи сподобався вам мультфільм Хто бачив цей мультфільм Що таке місяць Навіщо він потрібний На що або на кого схожий місяць Інтерактивна технологія Мікрофон Які ще предмети схожі на букву С Якы предмети можна перетворити на букву С Як Доведіть думку.
67006. Гриби 296.5 KB
  Формувати уявлення про різноманітність грибів у природі про значення грибів у природі і цінність для людей їх охорону; формувати поняття їстівні гриби отруйні гриби; вміння розрізняти їстівні та отруйні гриби узагальнювати висловлювати судження і перевіряти їх правильність...
67007. Подорож картою України 52 KB
  Мета: продовжити формувати уявлення учнів про географічне розміщення України її кордони сусідство з іншими країнами; ознайомити з найбільшими містами України горами водоймами тваринами рослинами; детальніше познайомити із столицею України містом Києвом; викликати позитивні емоції виховувати почуття любові...
67008. Правила поведения в экстремальной ситуации 63.5 KB
  Вводная часть: актуализация опорных знаний. - Что на свете всего дороже. - Как понимаете это слово. Что с ним связано? Что влияет на наше здоровье? (Питание, спорт, профилактика вредных привычек соблюдение правил безопасности, правильный отдых) - Что такое опасная ситуация? - Какое отношение имеют эти слова к здоровью?
67009. Текст. Признаки текста. Виды связи в тексте. Цепная связь. Способы передачи цепной связи. Параллельная связь. Присоединительная связь 102.5 KB
  Текст можно определить как объединенную смысловой и грамматической связью последовательность речевых единиц: высказываний, сложных синтаксических целых, фрагментов, разделов и.т.д. Основными признаками текста являются: 1) завершённость, смысловая законченность, которая проявляется в полном...
67010. Тема текста. Содержание текста. Коммуникативная задача текста. Части текста. Микротемы текста 38.5 KB
  Цели: 1. Углубить понятие о смысловом делении текста. 2. Продолжить работу над синтаксическими конструкциями для выражения характера, образа действия. 3. Добиться осознания студентами тесной взаимосвязи языка и общества, основных функций языка в обществе, которые будут способствовать правильному стилистическому использованию изученных конструкций в речи.
67011. Функционально-смысловые типы монологической речи. Описание 47 KB
  Цели: 1. Углубить понятие о типах монологической речи. 2. Продолжить работу над пунктуационными, синтаксическими, орфографическими и иными ошибками изложений (над наиболее типичными коллективно, над остальными – индивидуально. 3. Добиться осознания студентами тесной взаимосвязи языка и общества...