67577

Коммутативные группы с конечным числом образующих. Классификация

Лекция

Математика и математический анализ

Для нулевой матрицы теорема очевидно верна. Будем считать, что А0. Выберем из множества ненулевых элементов А любой из наименьших по модулю и назовем его главным элементом А. Абсолютная величина главного элемента будет обозначаться h(A). Таким образом для любого ненулевого элемента этой матрицы.

Русский

2014-09-12

209.5 KB

0 чел.

Лекция№6

Коммутативные группы с конечным числом образующих.

Часть вторая: классификация.

Как было показано на предыдущей лекции, каждая г.к.о. G с n образующими задается  (n m) матрицей , причем эквивалентные матрицы определяют одинаковые группы. Будем называть прямоугольную матрицу А диагональной , если все ее элементы =0 при i j. Последовательно перечисляя ее диагональные элементы, будем записывать такую матрицу в виде: A=diag().

Теорема о приведении матрицы к диагональному виду.

Всякая целочисленная прямоугольная матрица А эквивалентна диагональной матрице  diag(), с положительными , причем все числа  - целые.

Доказательство.

Для нулевой матрицы теорема очевидно верна. Будем считать, что А0. Выберем из множества ненулевых элементов А любой из наименьших по модулю и назовем его главным элементом А. Абсолютная величина главного элемента будет обозначаться  h(A). Таким образом для любого  ненулевого элемента этой матрицы .

Лемма

Существует матрица эквивалентная А, все элементы которой кратны ее главному элементу.

Доказательство леммы.

Выберем среди всех матриц эквивалентных А ту матрицу , у которой h() минимально. Покажем, что эта матрица удовлетворяет условию, указанному в лемме. Проведем доказательство от противного. Пусть  - главный элемент этой матрицы  так что  . Допустим, что некоторый элемент этой матрицы не делится на  нацело и придем к противоречию. Рассмотрим 3 случая. Пусть сначала p=i, то есть выбранные элементы расположены в одной строке. Разделим на с остатком: , где . Вычитая из q-ого столбца  j-ый с коэффициентом s, придем к эквивалентной матрице , у которой h()r<h(), что противоречит выбору матрицы . Если p i, но q=j, то можно произвести аналогичное преобразование строк матрицы, что опять приведет нас к противоречию. Пусть, наконец, все элементы i-ой строки и все элементы j-ого столбца кратны  , но  не делится на главный элемент нацело. Пусть k=. Вычитая из p-ой строки  ее i-ую строку с коэффициентом (k-1) придем к эквивалентной матрице , у которой  и элемент не делится на  нацело. Имеем: h()=h(A). Строгое неравенство приводит к противоречию; если же имеет место равенство, мы получаем первый случай и снова впадаем в противоречие. Лемма доказана.

Доказательство теоремы будем проводить индукцией по n. При n=1 утверждение теоремы очевидно. Пусть теорема уже доказана для матриц с (n-1) строкой. Рассмотрим матрицу А с n строками. Выберем для нее эквивалентную матрицу , удовлетворяющую условиям леммы. Пусть . Переставляя строки и столбцы   и если надо умножая ее строку на -1, приходим к эквивалентной матрице  , у которой . Вычитая теперь из каждой строки ее первую строку с подходящим коэффициентом и проделывая аналогичные операции с ее столбцами, приходим к матрице, у которой все элементы первой строки и первого столбца равны 0 за исключением первого элемента, равного , причем все элементы этой матрицы кратны . Применяя предположение индукции к матрице , полученной вычеркиванием первой строки и первого столбца, мы и завершаем доказательство теоремы.

Пример.

(стрелками обозначены э.п. строк и столбцов)

.

Опишем теперь структуру группы G с  с.о.   , для которой =diag() , причем мы считаем, что  По построению G=, где H- подгруппа с с.о. {}. Пусть -циклическая подгруппа G.  Очевидно, ( при i>r). Каждый элемент  однозначно представляется в виде суммы:  , где 0< при i=1,2,...r и при i>r .

Определение.

Пусть G- абелева группа и - система ее подгрупп. G называется прямой суммой системы подгрупп, если каждый элемент   однозначно представляется в виде суммы , где . Это записывается следующим образом: .

Таким образом, диагональный вид матрицы  означает, что , где количество слагаемых  Z равно n-r . Очевидно, что слагаемые, отвечающие тривиальным группам (d=1) могут быть исключены из этой суммы.

Примеры.

Очевидно, что .

Отметим, что если все подгруппы  имеют конечные порядки  , то порядок  равен .

Подгруппа   состоит из элементов: , а - из элементов  . Поскольку += и +=, мы видим, что .

В развитие предыдущего примера установим, что, если числа p и q взаимно просты, то. Используем основную теорему теории делимости: существуют целые x и y, такие что 1=xp+yq . Отсюда для любого n получаем, что n=nyq+nxp и значит . Остается заметить, что эти группы имеют одинаковые порядки.    

Как было показано на предыдущей лекции, группа  описывается матрицей . Приводя эту матрицу к диагональному виду, получаем эквивалентную матрицу . Следовательно, . В качестве образующих этих циклических подгрупп можно взять, например, элементы  и .

Подводя итог всему вышесказанному, можно утверждать, что всякая г.к.о. G является прямой суммой своих циклических подгрупп ,                                        (1)

 где порядки  конечных подгрупп удовлетворяют условию: числа - целые. Разложение (1) называется первым каноническим разложением группы G.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

26528. Страны Европы и США в годы I мир. войны 39 KB
  Если Тарле подчеркивал агрессивность только германского империализма то его оппоненты Покровский и его школа перекладывали ответственность на страны Антанты в том числе и на Россию Причинами I мир.вернуть утраченные территории в войне с Германией играть ведущую роль на континенте Англ.сокрушить Герм. Герм.
26529. Итоги первой МВ и Версальско-Вашингтонская система договоров 43 KB
  Создав преимущество германское командование решило перейти в наступление с целью разгрома армии Антанты до того как США смогли бы увеличить своё присутствие в Европе. Победа союзников обусловила главенствующую роль Великобритании Франции и США в выработке условий мирных соглашений на Парижской мирной конференции. проходила за закрытыми дверями США Вильсон Великобритания Ллойд Джордж Фр. этой программой США прикрывали экспансионистскую политику стали претендовать на мировое господство.
26530. Соц.-экономические, культурные и идеологические, П. предпосылки формирования фашизма в Западной Европе. Критерии тоталитаризма и типология тоталитарных систем 62 KB
  существовало 3 основных идеи пангерманистов:1господствующее положение германии в Европе 2 объединение говорящих понемецки народов и нац групп в рамках герм империи 3расшир герм колон владений. немцы призваны господствовать над всем миром. тоталитарный синдром: 1 единственная массовая партия возглавляемая харизматическим лидером и вбирающая небольшую часть населения; организована по олигархическому принципу стоит над бюрократической гос организацией либо переплетена; 2 официальная идеология; 3 монополия на СМИ; 4 на средства...
26531. Особенности раскола раб. движения после 1МВ. и субъективные причины появления Коментерна и РСИ 46 KB
  Лидеры болва соцдем. Политика защиты отечества разделила социалистов стран Антанты и Герм. Левое крыло имелось почти во всех соц. партиях: борцы с капзмом за победу соц.
26532. Сравнительная характеристика социально-экономической П. «нового курса» ФДР и Народного Фронта во Фр 60.5 KB
  Становилось ясно что рыночные отношения должен регулировать единый механизм государство. английский экономист Кейнс разработал широкий комплекс мер государственного регулирования эк. В период кризиса нужно понижать налоги увеличивать гос. расходы а в период инфляции и перепроизводства наоборот налоги повышать а госву расходы сокращать.
26533. ОСНОВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ РАЗВИТИЯ СТРАН ЦЕНТРАЛЬНОЙ И ЮГО-ВОСТОЧНОЙ ЕВРОПЫ В МЕЖВОЕННОЕ ВРЕМЯ (НА ПРИМЕРЕ ПОЛЬШИ И ВЕНГРИИ) 56 KB
  Ачади История венгерского крепостного крестьянства; Трайнин Национальные противоречия в АвстроВенгрии и ее распад. социалистическую партию Венгрии. Советская республика в Венгрии просуществовала 133 дня.
26534. Гражданская война в Испании (1936-1939) 51 KB
  У Испан б неск альтернитив п е воен устройства. Некот совет ист полаг что испан гражд W битва 2х идеологий комлибо подлен демократи фаш.О личности Франко его иконописцы представл святым каудильо благожетелем исп.
26535. Международные отношения в кон. 1930-х гг. Мюнхенский сговор и пакт Молотова – Риббентропа 41.5 KB
  До начала мирового эк. кризиса 1929-33 гг. сохранялась стабильность в отношениях между гос-вами, соблюдались договоры, заключенные в Версале и Вашингтоне. С нач. кризиса проявилась неустойчивость сущ. сис-мы международных отношений, началось ее разрушение.