67577

Коммутативные группы с конечным числом образующих. Классификация

Лекция

Математика и математический анализ

Для нулевой матрицы теорема очевидно верна. Будем считать, что А0. Выберем из множества ненулевых элементов А любой из наименьших по модулю и назовем его главным элементом А. Абсолютная величина главного элемента будет обозначаться h(A). Таким образом для любого ненулевого элемента этой матрицы.

Русский

2014-09-12

209.5 KB

0 чел.

Лекция№6

Коммутативные группы с конечным числом образующих.

Часть вторая: классификация.

Как было показано на предыдущей лекции, каждая г.к.о. G с n образующими задается  (n m) матрицей , причем эквивалентные матрицы определяют одинаковые группы. Будем называть прямоугольную матрицу А диагональной , если все ее элементы =0 при i j. Последовательно перечисляя ее диагональные элементы, будем записывать такую матрицу в виде: A=diag().

Теорема о приведении матрицы к диагональному виду.

Всякая целочисленная прямоугольная матрица А эквивалентна диагональной матрице  diag(), с положительными , причем все числа  - целые.

Доказательство.

Для нулевой матрицы теорема очевидно верна. Будем считать, что А0. Выберем из множества ненулевых элементов А любой из наименьших по модулю и назовем его главным элементом А. Абсолютная величина главного элемента будет обозначаться  h(A). Таким образом для любого  ненулевого элемента этой матрицы .

Лемма

Существует матрица эквивалентная А, все элементы которой кратны ее главному элементу.

Доказательство леммы.

Выберем среди всех матриц эквивалентных А ту матрицу , у которой h() минимально. Покажем, что эта матрица удовлетворяет условию, указанному в лемме. Проведем доказательство от противного. Пусть  - главный элемент этой матрицы  так что  . Допустим, что некоторый элемент этой матрицы не делится на  нацело и придем к противоречию. Рассмотрим 3 случая. Пусть сначала p=i, то есть выбранные элементы расположены в одной строке. Разделим на с остатком: , где . Вычитая из q-ого столбца  j-ый с коэффициентом s, придем к эквивалентной матрице , у которой h()r<h(), что противоречит выбору матрицы . Если p i, но q=j, то можно произвести аналогичное преобразование строк матрицы, что опять приведет нас к противоречию. Пусть, наконец, все элементы i-ой строки и все элементы j-ого столбца кратны  , но  не делится на главный элемент нацело. Пусть k=. Вычитая из p-ой строки  ее i-ую строку с коэффициентом (k-1) придем к эквивалентной матрице , у которой  и элемент не делится на  нацело. Имеем: h()=h(A). Строгое неравенство приводит к противоречию; если же имеет место равенство, мы получаем первый случай и снова впадаем в противоречие. Лемма доказана.

Доказательство теоремы будем проводить индукцией по n. При n=1 утверждение теоремы очевидно. Пусть теорема уже доказана для матриц с (n-1) строкой. Рассмотрим матрицу А с n строками. Выберем для нее эквивалентную матрицу , удовлетворяющую условиям леммы. Пусть . Переставляя строки и столбцы   и если надо умножая ее строку на -1, приходим к эквивалентной матрице  , у которой . Вычитая теперь из каждой строки ее первую строку с подходящим коэффициентом и проделывая аналогичные операции с ее столбцами, приходим к матрице, у которой все элементы первой строки и первого столбца равны 0 за исключением первого элемента, равного , причем все элементы этой матрицы кратны . Применяя предположение индукции к матрице , полученной вычеркиванием первой строки и первого столбца, мы и завершаем доказательство теоремы.

Пример.

(стрелками обозначены э.п. строк и столбцов)

.

Опишем теперь структуру группы G с  с.о.   , для которой =diag() , причем мы считаем, что  По построению G=, где H- подгруппа с с.о. {}. Пусть -циклическая подгруппа G.  Очевидно, ( при i>r). Каждый элемент  однозначно представляется в виде суммы:  , где 0< при i=1,2,...r и при i>r .

Определение.

Пусть G- абелева группа и - система ее подгрупп. G называется прямой суммой системы подгрупп, если каждый элемент   однозначно представляется в виде суммы , где . Это записывается следующим образом: .

Таким образом, диагональный вид матрицы  означает, что , где количество слагаемых  Z равно n-r . Очевидно, что слагаемые, отвечающие тривиальным группам (d=1) могут быть исключены из этой суммы.

Примеры.

Очевидно, что .

Отметим, что если все подгруппы  имеют конечные порядки  , то порядок  равен .

Подгруппа   состоит из элементов: , а - из элементов  . Поскольку += и +=, мы видим, что .

В развитие предыдущего примера установим, что, если числа p и q взаимно просты, то. Используем основную теорему теории делимости: существуют целые x и y, такие что 1=xp+yq . Отсюда для любого n получаем, что n=nyq+nxp и значит . Остается заметить, что эти группы имеют одинаковые порядки.    

Как было показано на предыдущей лекции, группа  описывается матрицей . Приводя эту матрицу к диагональному виду, получаем эквивалентную матрицу . Следовательно, . В качестве образующих этих циклических подгрупп можно взять, например, элементы  и .

Подводя итог всему вышесказанному, можно утверждать, что всякая г.к.о. G является прямой суммой своих циклических подгрупп ,                                        (1)

 где порядки  конечных подгрупп удовлетворяют условию: числа - целые. Разложение (1) называется первым каноническим разложением группы G.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

12289. Методы диагностики внимания младших школьников 3.52 MB
  Внимание имеет огромное значение в жизни человека. Оно – необходимое условие выполнения любой деятельности. Именно внимание делает все наши психические процессы полноценными; только внимание дает возможность воспринимать окружающий нас мир
12290. Длина световой волны, ее измерение с помощью бипризмы Френеля. 181.5 KB
  ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1 ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИНЫ СВЕТОВОЙ ВОЛНЫ С ПОМОЩЬЮ БИПРИЗМЫ ФРЕНЕЛЯ 1.Цель: измерить длину световой волны с помощью бипризмы Френеля. 2.Схема: а бипризмы Френеля Sисточник монохроматический б рабочая установка: осветитель 1 щел...
12291. Измерение длины световой волны с помощью бипризмы Френеля. 166 KB
  Отчет по лабораторной работе №1. Измерение длины световой волны с помощью бипризмы Френеля. Цель работы: Измерение длины световой волны с помощью бипризмы Френеля. а бипризмы Френеля Sисточник монохроматический б рабочая установка: осветите
12292. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИНЫ СВЕТОВОЙ ВОЛНЫ С ПОМОЩЬЮ ПРОЗРАЧНОЙ ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЁТКИ 209 KB
  При прохождении света через любую из щелей происходит дифракция (в результате которой волны распространяются от щели по всем направлениях). Идущие от всех щелей волны собираются линзой О на экране Э и интерферируют (складываются).
12293. Банктік менеджментті жетілдіру жолдары 164.5 KB
  Кіріспе Менеджмент – ұйымдастыру және басқарудың оңтайлы жүйесі туралы ғылым. Менеджменттің мағынасы әр түрлі. Менеджмент сөзі тар мағынасында белгілі бір адамдар тобын ұйымдастыру мен басқаруға қатысты болса оны кең мағынасында банктің қызме
12294. Банктік карточкалар бойынша жүргізілетін операциялар есебі 319.5 KB
  Кіріспе. Зерттеу тақырыбының өзектілігі. Қазақстан Республикасының төлем системасының ұйымдастырылуы жетілдіріліп келеді. Төлем системасындағы есеп айырысу операциялары экономикадағы ақша массасы мен оның қозғалысын реттеуге және оған бақылау жасауға ықпал ет...
12295. Бастапқы құжаттарды ұйымдастыру 113.5 KB
  Кіріспе Бухгалтерлік құжат –шаруашылық операцияларын жүзеге асыруға арналған жазбаша өнім немесе осы операцияны іс жүзінде атқаруды растау .Құжаттардағы мәліметтер бухгалтерлік есепте ағымдағы шаруашылық операцияларын көрсетуге негіз болады. Сонымен қа...
12296. ДЕПОЗИТТІК ОПЕРАЦИЯЛАР 111.5 KB
  ДЕПОЗИТТІК ОПЕРАЦИЯЛАР 1. Депозиттік операциялар түрлері Банктер өзінің активті операцияларын жүргізу үшін пассивтi операцияларды өткізу нәтижесінде пайда болатын тартылған қаржыларды қолданады. Коммерциялық банктің пассивтi операциял...
12297. Еңбек нарығы 77.5 KB
  Еңбек нарығы Еңбек нарығында бірнеше ерекшеліктер болады. Осында құратын элементтерге жұмысшы күшін иемденетін адамдар жатады. Бұларға психофизиялогиялық әлуметтік мәдени діни саяси және т.б. адамдық қасиеттер тән болады. Осы ерекшеліктер адамдардың мүдделеріне мо...