67577

Коммутативные группы с конечным числом образующих. Классификация

Лекция

Математика и математический анализ

Для нулевой матрицы теорема очевидно верна. Будем считать, что А0. Выберем из множества ненулевых элементов А любой из наименьших по модулю и назовем его главным элементом А. Абсолютная величина главного элемента будет обозначаться h(A). Таким образом для любого ненулевого элемента этой матрицы.

Русский

2014-09-12

209.5 KB

0 чел.

Лекция№6

Коммутативные группы с конечным числом образующих.

Часть вторая: классификация.

Как было показано на предыдущей лекции, каждая г.к.о. G с n образующими задается  (n m) матрицей , причем эквивалентные матрицы определяют одинаковые группы. Будем называть прямоугольную матрицу А диагональной , если все ее элементы =0 при i j. Последовательно перечисляя ее диагональные элементы, будем записывать такую матрицу в виде: A=diag().

Теорема о приведении матрицы к диагональному виду.

Всякая целочисленная прямоугольная матрица А эквивалентна диагональной матрице  diag(), с положительными , причем все числа  - целые.

Доказательство.

Для нулевой матрицы теорема очевидно верна. Будем считать, что А0. Выберем из множества ненулевых элементов А любой из наименьших по модулю и назовем его главным элементом А. Абсолютная величина главного элемента будет обозначаться  h(A). Таким образом для любого  ненулевого элемента этой матрицы .

Лемма

Существует матрица эквивалентная А, все элементы которой кратны ее главному элементу.

Доказательство леммы.

Выберем среди всех матриц эквивалентных А ту матрицу , у которой h() минимально. Покажем, что эта матрица удовлетворяет условию, указанному в лемме. Проведем доказательство от противного. Пусть  - главный элемент этой матрицы  так что  . Допустим, что некоторый элемент этой матрицы не делится на  нацело и придем к противоречию. Рассмотрим 3 случая. Пусть сначала p=i, то есть выбранные элементы расположены в одной строке. Разделим на с остатком: , где . Вычитая из q-ого столбца  j-ый с коэффициентом s, придем к эквивалентной матрице , у которой h()r<h(), что противоречит выбору матрицы . Если p i, но q=j, то можно произвести аналогичное преобразование строк матрицы, что опять приведет нас к противоречию. Пусть, наконец, все элементы i-ой строки и все элементы j-ого столбца кратны  , но  не делится на главный элемент нацело. Пусть k=. Вычитая из p-ой строки  ее i-ую строку с коэффициентом (k-1) придем к эквивалентной матрице , у которой  и элемент не делится на  нацело. Имеем: h()=h(A). Строгое неравенство приводит к противоречию; если же имеет место равенство, мы получаем первый случай и снова впадаем в противоречие. Лемма доказана.

Доказательство теоремы будем проводить индукцией по n. При n=1 утверждение теоремы очевидно. Пусть теорема уже доказана для матриц с (n-1) строкой. Рассмотрим матрицу А с n строками. Выберем для нее эквивалентную матрицу , удовлетворяющую условиям леммы. Пусть . Переставляя строки и столбцы   и если надо умножая ее строку на -1, приходим к эквивалентной матрице  , у которой . Вычитая теперь из каждой строки ее первую строку с подходящим коэффициентом и проделывая аналогичные операции с ее столбцами, приходим к матрице, у которой все элементы первой строки и первого столбца равны 0 за исключением первого элемента, равного , причем все элементы этой матрицы кратны . Применяя предположение индукции к матрице , полученной вычеркиванием первой строки и первого столбца, мы и завершаем доказательство теоремы.

Пример.

(стрелками обозначены э.п. строк и столбцов)

.

Опишем теперь структуру группы G с  с.о.   , для которой =diag() , причем мы считаем, что  По построению G=, где H- подгруппа с с.о. {}. Пусть -циклическая подгруппа G.  Очевидно, ( при i>r). Каждый элемент  однозначно представляется в виде суммы:  , где 0< при i=1,2,...r и при i>r .

Определение.

Пусть G- абелева группа и - система ее подгрупп. G называется прямой суммой системы подгрупп, если каждый элемент   однозначно представляется в виде суммы , где . Это записывается следующим образом: .

Таким образом, диагональный вид матрицы  означает, что , где количество слагаемых  Z равно n-r . Очевидно, что слагаемые, отвечающие тривиальным группам (d=1) могут быть исключены из этой суммы.

Примеры.

Очевидно, что .

Отметим, что если все подгруппы  имеют конечные порядки  , то порядок  равен .

Подгруппа   состоит из элементов: , а - из элементов  . Поскольку += и +=, мы видим, что .

В развитие предыдущего примера установим, что, если числа p и q взаимно просты, то. Используем основную теорему теории делимости: существуют целые x и y, такие что 1=xp+yq . Отсюда для любого n получаем, что n=nyq+nxp и значит . Остается заметить, что эти группы имеют одинаковые порядки.    

Как было показано на предыдущей лекции, группа  описывается матрицей . Приводя эту матрицу к диагональному виду, получаем эквивалентную матрицу . Следовательно, . В качестве образующих этих циклических подгрупп можно взять, например, элементы  и .

Подводя итог всему вышесказанному, можно утверждать, что всякая г.к.о. G является прямой суммой своих циклических подгрупп ,                                        (1)

 где порядки  конечных подгрупп удовлетворяют условию: числа - целые. Разложение (1) называется первым каноническим разложением группы G.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

45844. Стимулирование сбыта в системе маркетинговых коммуникаций 16.81 KB
  Стимули́рование сбы́та стимулирование продаж англ. Sles promotion читается как сэ́йлз промо́ушн продвижение продаж это вид маркетинговых коммуникаций обозначающий комплекс мероприятий по продвижению продаж по всему маршруту движения товара от изготовителя через каналы сбыта до потребителя с целью ускорения сбыта товаров. В основе данных мероприятий краткосрочное увеличение продаж путем предоставления покупателю как конечному потребителю так и розничному продавцу определенной выгоды. Виды стимулирования сбыта Стимулирование...
45845. Литьё под давлением 49 KB
  Сплавов на основе Zn l Cu. сплавов: Из l сплавов литьём под давлением изготавливаются: батареи отопления корпуса лодочных моторов и мотоциклов. Из Zn сплавов: карбюраторы мебельная фурнитура корпуса фильтров. Из Mg сплавов: детали бинокля фото и киноаппарата корпуса бензо и электропил.
45846. Модельный комплект 18.2 KB
  Конструкция модели должна обеспечивать быстрое удаление модели из формы без разрушения. величина усадки сплава выраженная в процентах серый чугун – 1 цветные сплавы – 15 углеродная сталь – 2 ; формовочные уклоны на поверхностях перпендикулярных плоскости разъёма по ГОСТ 3212 для удобства извлечения модели из плоскости формы без разрушения; галтели скругления в местах сопряжения стенок и ребер величина которых зависит от толщины сопрягаемых стенок; знаковые части модели которые не участвуют в создании конфигурации отливки...
45847. Центробежное литьё (технология) 26.5 KB
  Этот способ применяют в настоящее время преимущественно для изготовления отливок представляющих собой тела вращения втулки трубы шестерни биметаллические втулки и т.За счёт вращения изложницы достигается высокая плотность отливки. возможно изготовление тел вращения а также изза ликвации { неоднородное старение }. Центробежное литьё получается на машинах с вертикальной и горизонтальной осью вращения.
45848. Сущность процесса ГОШ, оборудование, преимущества и недостатки, область применения 12.73 KB
  После калибровки точность поковок такая же как при мех. при штамповке увеличивается производительность труда до 800 поковок в смену. в противном случае размеры поковок выходят за требования чертежа. Процесс изготовления штамповых поковок: резка проката на мерные заготовки делается на прессножницах хладноломах пилами электромеханическая и газопламенная резка.
45849. Свободная ковка 156.88 KB
  Свободной ковкой можно получать поковки от самых малых размеров до самых крупных массой до 250–300 т. Этим способом изготавливают поковки простой формы. Осадку применяют для увеличения площади поперечного сечения поковки. Раскаткой изготовляют поковки колец а протяжкой на оправке поковки сосудов высокого давления стволов орудий и др.
45850. Этапы проектирования штампованных поковок, получаемых ГОШ вдоль оси заготовок на молотах и КГШП 17.44 KB
  Автоматизированное рабочее место АРМ или в зарубежной терминологии рабочая станция worksttion представляет собой место пользователяспециалиста той или иной профессии оборудованное средствами необходимыми для автоматизации выполнения им определенных функций. Автоматизированное рабочее место АРМ определяется как правило совокупностью технических средств и программных средств. В качестве технических средств преимущественно используется ПК дополняемый по мере необходимости другими вспомогательными электронными устройствами:...
45851. Холодная штамповка. Операция вытяжка в листовой штамповке 42.56 KB
  Холодная штамповка имеет ряд преимуществ: отсутствует операция нагрева металла; поверхностный слой металла не окисляется отсутствует окалина; изделия получаются более точными по размерам и с меньшей шероховатостью поверхности. По сравнению с обработкой резанием холодная штамповка позволяет значительно сократить расход металла уменьшить трудоемкость изготовления изделий повысить производительность. Изготавливаемая вытяжкой деталь в зависимости от ее глубины и пластических свойств металла может быть изготовлена одной вытяжной...