67577

Коммутативные группы с конечным числом образующих. Классификация

Лекция

Математика и математический анализ

Для нулевой матрицы теорема очевидно верна. Будем считать, что А0. Выберем из множества ненулевых элементов А любой из наименьших по модулю и назовем его главным элементом А. Абсолютная величина главного элемента будет обозначаться h(A). Таким образом для любого ненулевого элемента этой матрицы.

Русский

2014-09-12

209.5 KB

0 чел.

Лекция№6

Коммутативные группы с конечным числом образующих.

Часть вторая: классификация.

Как было показано на предыдущей лекции, каждая г.к.о. G с n образующими задается  (n m) матрицей , причем эквивалентные матрицы определяют одинаковые группы. Будем называть прямоугольную матрицу А диагональной , если все ее элементы =0 при i j. Последовательно перечисляя ее диагональные элементы, будем записывать такую матрицу в виде: A=diag().

Теорема о приведении матрицы к диагональному виду.

Всякая целочисленная прямоугольная матрица А эквивалентна диагональной матрице  diag(), с положительными , причем все числа  - целые.

Доказательство.

Для нулевой матрицы теорема очевидно верна. Будем считать, что А0. Выберем из множества ненулевых элементов А любой из наименьших по модулю и назовем его главным элементом А. Абсолютная величина главного элемента будет обозначаться  h(A). Таким образом для любого  ненулевого элемента этой матрицы .

Лемма

Существует матрица эквивалентная А, все элементы которой кратны ее главному элементу.

Доказательство леммы.

Выберем среди всех матриц эквивалентных А ту матрицу , у которой h() минимально. Покажем, что эта матрица удовлетворяет условию, указанному в лемме. Проведем доказательство от противного. Пусть  - главный элемент этой матрицы  так что  . Допустим, что некоторый элемент этой матрицы не делится на  нацело и придем к противоречию. Рассмотрим 3 случая. Пусть сначала p=i, то есть выбранные элементы расположены в одной строке. Разделим на с остатком: , где . Вычитая из q-ого столбца  j-ый с коэффициентом s, придем к эквивалентной матрице , у которой h()r<h(), что противоречит выбору матрицы . Если p i, но q=j, то можно произвести аналогичное преобразование строк матрицы, что опять приведет нас к противоречию. Пусть, наконец, все элементы i-ой строки и все элементы j-ого столбца кратны  , но  не делится на главный элемент нацело. Пусть k=. Вычитая из p-ой строки  ее i-ую строку с коэффициентом (k-1) придем к эквивалентной матрице , у которой  и элемент не делится на  нацело. Имеем: h()=h(A). Строгое неравенство приводит к противоречию; если же имеет место равенство, мы получаем первый случай и снова впадаем в противоречие. Лемма доказана.

Доказательство теоремы будем проводить индукцией по n. При n=1 утверждение теоремы очевидно. Пусть теорема уже доказана для матриц с (n-1) строкой. Рассмотрим матрицу А с n строками. Выберем для нее эквивалентную матрицу , удовлетворяющую условиям леммы. Пусть . Переставляя строки и столбцы   и если надо умножая ее строку на -1, приходим к эквивалентной матрице  , у которой . Вычитая теперь из каждой строки ее первую строку с подходящим коэффициентом и проделывая аналогичные операции с ее столбцами, приходим к матрице, у которой все элементы первой строки и первого столбца равны 0 за исключением первого элемента, равного , причем все элементы этой матрицы кратны . Применяя предположение индукции к матрице , полученной вычеркиванием первой строки и первого столбца, мы и завершаем доказательство теоремы.

Пример.

(стрелками обозначены э.п. строк и столбцов)

.

Опишем теперь структуру группы G с  с.о.   , для которой =diag() , причем мы считаем, что  По построению G=, где H- подгруппа с с.о. {}. Пусть -циклическая подгруппа G.  Очевидно, ( при i>r). Каждый элемент  однозначно представляется в виде суммы:  , где 0< при i=1,2,...r и при i>r .

Определение.

Пусть G- абелева группа и - система ее подгрупп. G называется прямой суммой системы подгрупп, если каждый элемент   однозначно представляется в виде суммы , где . Это записывается следующим образом: .

Таким образом, диагональный вид матрицы  означает, что , где количество слагаемых  Z равно n-r . Очевидно, что слагаемые, отвечающие тривиальным группам (d=1) могут быть исключены из этой суммы.

Примеры.

Очевидно, что .

Отметим, что если все подгруппы  имеют конечные порядки  , то порядок  равен .

Подгруппа   состоит из элементов: , а - из элементов  . Поскольку += и +=, мы видим, что .

В развитие предыдущего примера установим, что, если числа p и q взаимно просты, то. Используем основную теорему теории делимости: существуют целые x и y, такие что 1=xp+yq . Отсюда для любого n получаем, что n=nyq+nxp и значит . Остается заметить, что эти группы имеют одинаковые порядки.    

Как было показано на предыдущей лекции, группа  описывается матрицей . Приводя эту матрицу к диагональному виду, получаем эквивалентную матрицу . Следовательно, . В качестве образующих этих циклических подгрупп можно взять, например, элементы  и .

Подводя итог всему вышесказанному, можно утверждать, что всякая г.к.о. G является прямой суммой своих циклических подгрупп ,                                        (1)

 где порядки  конечных подгрупп удовлетворяют условию: числа - целые. Разложение (1) называется первым каноническим разложением группы G.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30307. Проблема автора в литературоведении. Формы выражения авторского сознания в драматургическом тексте 25 KB
  Проблема автора в литературоведении. Большинство ученых разделяют автора в первом значении его еще принято называть реальным или биографическим автором и автора во втором значении. Это пользуясь другой терминологией автор как эстетическая категория или образ автора. Иногда говорят здесь же о голосе автора считая такое определение более правомерным и определенным чем образ автора.
30308. Проблема романа в современном литературоведении 37 KB
  Проблема романа в современном литературоведении РОМАН франц . Роман эпос Нового времени; в отличие от народного эпоса где индивид и народная душа нераздельны в романе жизнь личности и общественная жизнь предстают как относительно самостоятельные; но частная внутренняя жизнь индивида раскрывается в нем эпопейно т. Типичная романная ситуация столкновение в герое нравственного и человеческого личностного с природной и социальной необходимостью. Поскольку роман развивается в новое время где характер взаимоотношений человека и общества...
30313. Проблема связи и отношения между компонентами синтаксических единиц. Типы связи в традиционном и современном понимании 47 KB
  Проблема связи и отношения между компонентами синтаксических единиц. Синтаксические отношения самое глобальное понятие в синтаксисе. Синтаксические отношения есть абстракция от смысловых отношений. Все смысловые отношения различны но везде речь идет о действии лица и переходе действия на объект.
30314. Понятие о словосочетании. Разное понимание словосочетания в современной лингвистике. Типология словосочетаний 35 KB
  Непредикативное Интонационно не оформленное Коммуникационно не законченное ССЧ являясь синтаксической едцой может быть описано в 3х аспектах: Формальный Содержательный Коммуникативный Ссч строится по определенной структурной схеме. Ссч обладает смысловой устроенностью. ГЗ ссч это выраженные синтаксической связью синтаксические отношения между его компонентами рассматриваемые вне конкретного лексического наполнения. Ссч выполняет строительную функцию для предложения употребляется в качестве названия или заголовка составной...
30315. Предложение как синтаксическая единица. Его признаки и свойства. Понятие структурной схемы и парадигмы предложения 35.5 KB
  Понятие структурной схемы и парадигмы предложения. Универсальный признак предложения предикативность вслед за Шахматовым и Пешковским сформулировал Виноградов соотнесенность содержания предложения с действительностью. Существует широкое предикативность присуща всем предложениям и узкое понимание только те предложения в которых есть предикат предикативности. Универсальное свойство предложения позволяющее совокупности словоформ стать предложением интонационная оформленность.