67577

Коммутативные группы с конечным числом образующих. Классификация

Лекция

Математика и математический анализ

Для нулевой матрицы теорема очевидно верна. Будем считать, что А0. Выберем из множества ненулевых элементов А любой из наименьших по модулю и назовем его главным элементом А. Абсолютная величина главного элемента будет обозначаться h(A). Таким образом для любого ненулевого элемента этой матрицы.

Русский

2014-09-12

209.5 KB

0 чел.

Лекция№6

Коммутативные группы с конечным числом образующих.

Часть вторая: классификация.

Как было показано на предыдущей лекции, каждая г.к.о. G с n образующими задается  (n m) матрицей , причем эквивалентные матрицы определяют одинаковые группы. Будем называть прямоугольную матрицу А диагональной , если все ее элементы =0 при i j. Последовательно перечисляя ее диагональные элементы, будем записывать такую матрицу в виде: A=diag().

Теорема о приведении матрицы к диагональному виду.

Всякая целочисленная прямоугольная матрица А эквивалентна диагональной матрице  diag(), с положительными , причем все числа  - целые.

Доказательство.

Для нулевой матрицы теорема очевидно верна. Будем считать, что А0. Выберем из множества ненулевых элементов А любой из наименьших по модулю и назовем его главным элементом А. Абсолютная величина главного элемента будет обозначаться  h(A). Таким образом для любого  ненулевого элемента этой матрицы .

Лемма

Существует матрица эквивалентная А, все элементы которой кратны ее главному элементу.

Доказательство леммы.

Выберем среди всех матриц эквивалентных А ту матрицу , у которой h() минимально. Покажем, что эта матрица удовлетворяет условию, указанному в лемме. Проведем доказательство от противного. Пусть  - главный элемент этой матрицы  так что  . Допустим, что некоторый элемент этой матрицы не делится на  нацело и придем к противоречию. Рассмотрим 3 случая. Пусть сначала p=i, то есть выбранные элементы расположены в одной строке. Разделим на с остатком: , где . Вычитая из q-ого столбца  j-ый с коэффициентом s, придем к эквивалентной матрице , у которой h()r<h(), что противоречит выбору матрицы . Если p i, но q=j, то можно произвести аналогичное преобразование строк матрицы, что опять приведет нас к противоречию. Пусть, наконец, все элементы i-ой строки и все элементы j-ого столбца кратны  , но  не делится на главный элемент нацело. Пусть k=. Вычитая из p-ой строки  ее i-ую строку с коэффициентом (k-1) придем к эквивалентной матрице , у которой  и элемент не делится на  нацело. Имеем: h()=h(A). Строгое неравенство приводит к противоречию; если же имеет место равенство, мы получаем первый случай и снова впадаем в противоречие. Лемма доказана.

Доказательство теоремы будем проводить индукцией по n. При n=1 утверждение теоремы очевидно. Пусть теорема уже доказана для матриц с (n-1) строкой. Рассмотрим матрицу А с n строками. Выберем для нее эквивалентную матрицу , удовлетворяющую условиям леммы. Пусть . Переставляя строки и столбцы   и если надо умножая ее строку на -1, приходим к эквивалентной матрице  , у которой . Вычитая теперь из каждой строки ее первую строку с подходящим коэффициентом и проделывая аналогичные операции с ее столбцами, приходим к матрице, у которой все элементы первой строки и первого столбца равны 0 за исключением первого элемента, равного , причем все элементы этой матрицы кратны . Применяя предположение индукции к матрице , полученной вычеркиванием первой строки и первого столбца, мы и завершаем доказательство теоремы.

Пример.

(стрелками обозначены э.п. строк и столбцов)

.

Опишем теперь структуру группы G с  с.о.   , для которой =diag() , причем мы считаем, что  По построению G=, где H- подгруппа с с.о. {}. Пусть -циклическая подгруппа G.  Очевидно, ( при i>r). Каждый элемент  однозначно представляется в виде суммы:  , где 0< при i=1,2,...r и при i>r .

Определение.

Пусть G- абелева группа и - система ее подгрупп. G называется прямой суммой системы подгрупп, если каждый элемент   однозначно представляется в виде суммы , где . Это записывается следующим образом: .

Таким образом, диагональный вид матрицы  означает, что , где количество слагаемых  Z равно n-r . Очевидно, что слагаемые, отвечающие тривиальным группам (d=1) могут быть исключены из этой суммы.

Примеры.

Очевидно, что .

Отметим, что если все подгруппы  имеют конечные порядки  , то порядок  равен .

Подгруппа   состоит из элементов: , а - из элементов  . Поскольку += и +=, мы видим, что .

В развитие предыдущего примера установим, что, если числа p и q взаимно просты, то. Используем основную теорему теории делимости: существуют целые x и y, такие что 1=xp+yq . Отсюда для любого n получаем, что n=nyq+nxp и значит . Остается заметить, что эти группы имеют одинаковые порядки.    

Как было показано на предыдущей лекции, группа  описывается матрицей . Приводя эту матрицу к диагональному виду, получаем эквивалентную матрицу . Следовательно, . В качестве образующих этих циклических подгрупп можно взять, например, элементы  и .

Подводя итог всему вышесказанному, можно утверждать, что всякая г.к.о. G является прямой суммой своих циклических подгрупп ,                                        (1)

 где порядки  конечных подгрупп удовлетворяют условию: числа - целые. Разложение (1) называется первым каноническим разложением группы G.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

65554. Комплексна оцінка успішності інтродукції видів роду PICEA Dietr. в умовах Сходу України 317 KB
  На Сході України ялини є інтродукованими видами. Уперше для умов Сходу України: визначено особливості росту якісні показники селекційну структуру стан формове різноманіття та репродуктивну спроможність ялин; визначено перспективність застосування видів ялин для створення насаджень...
65555. УДОСКОНАЛЕННЯ АНАЛОГО-ЦИФРОВОЇ СИСТЕМИ СИНХРОННОГО СТЕРЕОФОНІЧНОГО РАДІОМОВЛЕННЯ З ПІЛОТ-ТОНОМ 467.5 KB
  Стереофонічний ефект і його якість є основою системи стереофонічного радіомовлення, тому має місце нагальна необхідність проведення подальших досліджень з встановлення необхідних захисних відношень за радіочастотою, що забезпечували би високу якість стереофонічного радіоприймання.
65556. Експериментально–розрахунковий аналіз деформацій циліндричних оболонок в зоні удару 1.99 MB
  Циліндричні оболонки можуть служити моделлю для ряду елементів конструкцій на які діють ударні навантаження. При розробці математичної моделі напружено-деформованого стану було використано систему рівнянь коливання оболонки типу С.
65557. СТРУКТУРА ТА РЕЖИМИ ФУНКЦІОНУВАННЯ ТЯГОВОГО ЕЛЕКТРОТЕХНІЧНОГО КОМПЛЕКСУ ПОСТІЙНОГО СТРУМУ ДВОХОСЬОВИХ ЕЛЕКТРОВОЗІВ 646 KB
  Існуючі типи вітчизняних електровозів з зчіпними масами названими вище обладнані тяговими електротехнічними комплексами ТЕТК з неефективними контактно-резисторними системами керування частотою обертання тягових електродвигунів ТЕД постійного струму.
65558. Розробка технології автоматичного зварювання та наплавлення під флюсом конструкційних сталей струмом малої густини 1.02 MB
  Автоматичне дугове зварювання та наплавлення під флюсом один із провідних процесів при виробництві й ремонті сталевих конструкцій та деталей машин. Технологічна собівартість одної тонни наплавленого металу в якій 71 займають...
65559. ЕЛЕКТРОМЕХАНІЧНА СИСТЕМА ПРИВОДА З ЛІНІЙНИМ ДВИГУНОМ ДЛЯ НАХИЛУ КУЗОВІВ ШВИДКІСНОГО РУХОМОГО СКЛАДУ 759.17 KB
  Оскільки найбільші обмеження швидкості наявні у кривих доцільно або прокласти нові швидкісні магістралі позбавлені кривих ділянок малого радіусу або упровадити системи для нахилу кузовів залишити в експлуатації існуючу мережу залізниць...
65560. ПІДВИЩЕННЯ ЕНЕРГОЕФЕКТИВНОСТІ ЕЛЕКТРОДУГОВИХ ПЕЧЕЙ 1.32 MB
  Оптимізація технологічних процесів в дугових печах з метою скорочення енергоспоживання і тривалості плавлення є важливою і актуальною задачею. Процес плавлення металошихти в електродугових печах відбувається на протязі значної долі всієї плавки до 80 від...
65561. МЕТОДИКА ІНТЕРАКТИВОГО НАВЧАННЯ ГРАФІЧНИХ ДИСЦИПЛІН У ВИЩИХ ТЕХНІЧНИХ НАВЧАЛЬНИХ ЗАКЛАДАХ 287 KB
  Входження системи вищої освіти України у Європейський освітній простір передбачає відповідні зміни у професійній підготовці фахівців, зокрема інженерних кадрів з високим рівнем інтелектуально-творчих здібностей.
65562. ПРАВОВИЙ СТАТУС РОБОТОДАВЦЯ У ВІДНОСИНАХ З СОЦІАЛЬНОГО ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ ПРАЦІВНИКІВ 170 KB
  Правовий механізм соціального забезпечення працівників є відображенням певної системи економічних політичних соціальних відносин спрямованих на забезпечення інтересів конкретної особи та суспільства в цілому. Перехід до нових форм ведення господарської діяльності виникнення...