67577

Коммутативные группы с конечным числом образующих. Классификация

Лекция

Математика и математический анализ

Для нулевой матрицы теорема очевидно верна. Будем считать, что А0. Выберем из множества ненулевых элементов А любой из наименьших по модулю и назовем его главным элементом А. Абсолютная величина главного элемента будет обозначаться h(A). Таким образом для любого ненулевого элемента этой матрицы.

Русский

2014-09-12

209.5 KB

0 чел.

Лекция№6

Коммутативные группы с конечным числом образующих.

Часть вторая: классификация.

Как было показано на предыдущей лекции, каждая г.к.о. G с n образующими задается  (n m) матрицей , причем эквивалентные матрицы определяют одинаковые группы. Будем называть прямоугольную матрицу А диагональной , если все ее элементы =0 при i j. Последовательно перечисляя ее диагональные элементы, будем записывать такую матрицу в виде: A=diag().

Теорема о приведении матрицы к диагональному виду.

Всякая целочисленная прямоугольная матрица А эквивалентна диагональной матрице  diag(), с положительными , причем все числа  - целые.

Доказательство.

Для нулевой матрицы теорема очевидно верна. Будем считать, что А0. Выберем из множества ненулевых элементов А любой из наименьших по модулю и назовем его главным элементом А. Абсолютная величина главного элемента будет обозначаться  h(A). Таким образом для любого  ненулевого элемента этой матрицы .

Лемма

Существует матрица эквивалентная А, все элементы которой кратны ее главному элементу.

Доказательство леммы.

Выберем среди всех матриц эквивалентных А ту матрицу , у которой h() минимально. Покажем, что эта матрица удовлетворяет условию, указанному в лемме. Проведем доказательство от противного. Пусть  - главный элемент этой матрицы  так что  . Допустим, что некоторый элемент этой матрицы не делится на  нацело и придем к противоречию. Рассмотрим 3 случая. Пусть сначала p=i, то есть выбранные элементы расположены в одной строке. Разделим на с остатком: , где . Вычитая из q-ого столбца  j-ый с коэффициентом s, придем к эквивалентной матрице , у которой h()r<h(), что противоречит выбору матрицы . Если p i, но q=j, то можно произвести аналогичное преобразование строк матрицы, что опять приведет нас к противоречию. Пусть, наконец, все элементы i-ой строки и все элементы j-ого столбца кратны  , но  не делится на главный элемент нацело. Пусть k=. Вычитая из p-ой строки  ее i-ую строку с коэффициентом (k-1) придем к эквивалентной матрице , у которой  и элемент не делится на  нацело. Имеем: h()=h(A). Строгое неравенство приводит к противоречию; если же имеет место равенство, мы получаем первый случай и снова впадаем в противоречие. Лемма доказана.

Доказательство теоремы будем проводить индукцией по n. При n=1 утверждение теоремы очевидно. Пусть теорема уже доказана для матриц с (n-1) строкой. Рассмотрим матрицу А с n строками. Выберем для нее эквивалентную матрицу , удовлетворяющую условиям леммы. Пусть . Переставляя строки и столбцы   и если надо умножая ее строку на -1, приходим к эквивалентной матрице  , у которой . Вычитая теперь из каждой строки ее первую строку с подходящим коэффициентом и проделывая аналогичные операции с ее столбцами, приходим к матрице, у которой все элементы первой строки и первого столбца равны 0 за исключением первого элемента, равного , причем все элементы этой матрицы кратны . Применяя предположение индукции к матрице , полученной вычеркиванием первой строки и первого столбца, мы и завершаем доказательство теоремы.

Пример.

(стрелками обозначены э.п. строк и столбцов)

.

Опишем теперь структуру группы G с  с.о.   , для которой =diag() , причем мы считаем, что  По построению G=, где H- подгруппа с с.о. {}. Пусть -циклическая подгруппа G.  Очевидно, ( при i>r). Каждый элемент  однозначно представляется в виде суммы:  , где 0< при i=1,2,...r и при i>r .

Определение.

Пусть G- абелева группа и - система ее подгрупп. G называется прямой суммой системы подгрупп, если каждый элемент   однозначно представляется в виде суммы , где . Это записывается следующим образом: .

Таким образом, диагональный вид матрицы  означает, что , где количество слагаемых  Z равно n-r . Очевидно, что слагаемые, отвечающие тривиальным группам (d=1) могут быть исключены из этой суммы.

Примеры.

Очевидно, что .

Отметим, что если все подгруппы  имеют конечные порядки  , то порядок  равен .

Подгруппа   состоит из элементов: , а - из элементов  . Поскольку += и +=, мы видим, что .

В развитие предыдущего примера установим, что, если числа p и q взаимно просты, то. Используем основную теорему теории делимости: существуют целые x и y, такие что 1=xp+yq . Отсюда для любого n получаем, что n=nyq+nxp и значит . Остается заметить, что эти группы имеют одинаковые порядки.    

Как было показано на предыдущей лекции, группа  описывается матрицей . Приводя эту матрицу к диагональному виду, получаем эквивалентную матрицу . Следовательно, . В качестве образующих этих циклических подгрупп можно взять, например, элементы  и .

Подводя итог всему вышесказанному, можно утверждать, что всякая г.к.о. G является прямой суммой своих циклических подгрупп ,                                        (1)

 где порядки  конечных подгрупп удовлетворяют условию: числа - целые. Разложение (1) называется первым каноническим разложением группы G.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

55023. POLITICAL SYSTEMS OF THE WORLD 105 KB
  Good afternoon! I m happy to see you! We have begun our lesson with the national anthem of our country. We are all citizens of Ukraine. In my opinion a man can’t live outside a state. The life of citizens depends on the political system of the state. I’m convinced that every citizen has to know everything about it. That’s why our theme today is Political systems of the world.
55024. Политическая география и геополитика 30.5 KB
  Политическая география и геополитика Ключевые вопросы Каковы основные положения традиционных геополитических теорий Какие принципы лежат в основе современных геополитических моделей Ратцель Фридрих Политическая география наука сравнительно новая. книгу Политическая география. Политическая география включает следующие основные направления: геополитику занимающуюся глобальной системой межгосударственными союзами географическое государствоведение изучающее отдельно взятые государства и территории политическую регионалистику...
55025. Политическая карта мира. Изменение на политической карте мира в новейшее время 158 KB
  Политическая карта мира. Изменение на политической карте мира в новейшее время. Сформулировать представления о разнообразии современного мира вспомнить классификацию стран показать место России в мире.
55026. РОЛЬ УЧИТЕЛЯ УКРАЇНСЬКОЇ МОВИ ТА ЛІТЕРАТУРИ В РЕАЛІЗАЦІЇ ДЕРЖАВНОЇ МОВНОЇ ПОЛІТИКИ 209 KB
  Сьогодні в Україні мовна проблема є однією з найактуальніших. Однак проблема функціонування української мови чомусь досі не зникає. Саме тому статтю присвячено розглядові основних напрямків української мовної політики а саме: основних проблем реалізації Концепції державної мовної політики на сучасному етапі...
55027. Політичний і соціальний устрій Київської Русі. Розвиток господарства 47 KB
  МЕТА: охарактеризувати особливості політичного і соціального устрою Київської Русі; ознайомити учнів з розвитком землеробства ремесел та торгівлі на Русі; розвивати вміння працювати з текстом робити висновки критично мислити. Чому вас народ Київської Русі назвав Мудрим.
55028. Процес політизації українського суспільства 71.5 KB
  Мета. Дати уявлення про умови та методи формування українських політичних партій. Показати на прикладі західноєвропейського та російського суспільно–політичних рухів процес формування українського національно–політичного руху. Розвивати уміння учнів працювати з різними джерелами інформації;
55029. Pollution of the environment 44.5 KB
  We have identified that the world is not only beautiful, but also everything is connected on the Earth. The harmony is the main feature of our life and only if the harmony exists we can live happily. But the situation is not perfect now. Listen to some sayings and tell me what the problem is.
55030. Роль государства в рыночной экономике. Экономические функции государства 20.99 KB
  Государство всегда участвовало и участвует в настоящее время в экономике, поскольку осуществляет важнейшие свои функции путем регулирования деятельности и финансирования ключевых для жизнедеятельности страны институтов, субъектов и объектов
55031. Заповідна краса Полтавщини 105 KB
  А чи є необхідністю для людини зривати букети польових та лісових квітів ламати та палити дерева забруднювати береги річок та галявини лісів і нарешті стріляти в беззахисних птахів на світанні Слід памятати що благословенна земля ця не діталася нам у спадщину від батьків ми взяли її в борг у нащадків.