67577

Коммутативные группы с конечным числом образующих. Классификация

Лекция

Математика и математический анализ

Для нулевой матрицы теорема очевидно верна. Будем считать, что А0. Выберем из множества ненулевых элементов А любой из наименьших по модулю и назовем его главным элементом А. Абсолютная величина главного элемента будет обозначаться h(A). Таким образом для любого ненулевого элемента этой матрицы.

Русский

2014-09-12

209.5 KB

0 чел.

Лекция№6

Коммутативные группы с конечным числом образующих.

Часть вторая: классификация.

Как было показано на предыдущей лекции, каждая г.к.о. G с n образующими задается  (n m) матрицей , причем эквивалентные матрицы определяют одинаковые группы. Будем называть прямоугольную матрицу А диагональной , если все ее элементы =0 при i j. Последовательно перечисляя ее диагональные элементы, будем записывать такую матрицу в виде: A=diag().

Теорема о приведении матрицы к диагональному виду.

Всякая целочисленная прямоугольная матрица А эквивалентна диагональной матрице  diag(), с положительными , причем все числа  - целые.

Доказательство.

Для нулевой матрицы теорема очевидно верна. Будем считать, что А0. Выберем из множества ненулевых элементов А любой из наименьших по модулю и назовем его главным элементом А. Абсолютная величина главного элемента будет обозначаться  h(A). Таким образом для любого  ненулевого элемента этой матрицы .

Лемма

Существует матрица эквивалентная А, все элементы которой кратны ее главному элементу.

Доказательство леммы.

Выберем среди всех матриц эквивалентных А ту матрицу , у которой h() минимально. Покажем, что эта матрица удовлетворяет условию, указанному в лемме. Проведем доказательство от противного. Пусть  - главный элемент этой матрицы  так что  . Допустим, что некоторый элемент этой матрицы не делится на  нацело и придем к противоречию. Рассмотрим 3 случая. Пусть сначала p=i, то есть выбранные элементы расположены в одной строке. Разделим на с остатком: , где . Вычитая из q-ого столбца  j-ый с коэффициентом s, придем к эквивалентной матрице , у которой h()r<h(), что противоречит выбору матрицы . Если p i, но q=j, то можно произвести аналогичное преобразование строк матрицы, что опять приведет нас к противоречию. Пусть, наконец, все элементы i-ой строки и все элементы j-ого столбца кратны  , но  не делится на главный элемент нацело. Пусть k=. Вычитая из p-ой строки  ее i-ую строку с коэффициентом (k-1) придем к эквивалентной матрице , у которой  и элемент не делится на  нацело. Имеем: h()=h(A). Строгое неравенство приводит к противоречию; если же имеет место равенство, мы получаем первый случай и снова впадаем в противоречие. Лемма доказана.

Доказательство теоремы будем проводить индукцией по n. При n=1 утверждение теоремы очевидно. Пусть теорема уже доказана для матриц с (n-1) строкой. Рассмотрим матрицу А с n строками. Выберем для нее эквивалентную матрицу , удовлетворяющую условиям леммы. Пусть . Переставляя строки и столбцы   и если надо умножая ее строку на -1, приходим к эквивалентной матрице  , у которой . Вычитая теперь из каждой строки ее первую строку с подходящим коэффициентом и проделывая аналогичные операции с ее столбцами, приходим к матрице, у которой все элементы первой строки и первого столбца равны 0 за исключением первого элемента, равного , причем все элементы этой матрицы кратны . Применяя предположение индукции к матрице , полученной вычеркиванием первой строки и первого столбца, мы и завершаем доказательство теоремы.

Пример.

(стрелками обозначены э.п. строк и столбцов)

.

Опишем теперь структуру группы G с  с.о.   , для которой =diag() , причем мы считаем, что  По построению G=, где H- подгруппа с с.о. {}. Пусть -циклическая подгруппа G.  Очевидно, ( при i>r). Каждый элемент  однозначно представляется в виде суммы:  , где 0< при i=1,2,...r и при i>r .

Определение.

Пусть G- абелева группа и - система ее подгрупп. G называется прямой суммой системы подгрупп, если каждый элемент   однозначно представляется в виде суммы , где . Это записывается следующим образом: .

Таким образом, диагональный вид матрицы  означает, что , где количество слагаемых  Z равно n-r . Очевидно, что слагаемые, отвечающие тривиальным группам (d=1) могут быть исключены из этой суммы.

Примеры.

Очевидно, что .

Отметим, что если все подгруппы  имеют конечные порядки  , то порядок  равен .

Подгруппа   состоит из элементов: , а - из элементов  . Поскольку += и +=, мы видим, что .

В развитие предыдущего примера установим, что, если числа p и q взаимно просты, то. Используем основную теорему теории делимости: существуют целые x и y, такие что 1=xp+yq . Отсюда для любого n получаем, что n=nyq+nxp и значит . Остается заметить, что эти группы имеют одинаковые порядки.    

Как было показано на предыдущей лекции, группа  описывается матрицей . Приводя эту матрицу к диагональному виду, получаем эквивалентную матрицу . Следовательно, . В качестве образующих этих циклических подгрупп можно взять, например, элементы  и .

Подводя итог всему вышесказанному, можно утверждать, что всякая г.к.о. G является прямой суммой своих циклических подгрупп ,                                        (1)

 где порядки  конечных подгрупп удовлетворяют условию: числа - целые. Разложение (1) называется первым каноническим разложением группы G.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

73907. Українська школа марженалізму на межі 18-20 століття. М. І. Туган-Барановський, О. Білімович, р. Орженецький, М. Ковалевський, Є. Слуцький, А. Антонович 46 KB
  Він детально викладає теорію цінності Менгера підтримує критику австрійською школою трудової теорії вартості і особливо теорії вартості К. Білимович бачить заслугу австрійської школи саме в тім що вона виступила проти трудової теорії вартості завдяки чому всі теоретичні розробки Маркса положення про двоїстий характер праці робочу силу як товар додаткову вартість як і вся теорія експлуатації зависла у повітрі1. Сприйняття і пропаганду суб\'єктивнопсихологічної теорії цінності австрійської школи в Росії й Україні було доповнено...
73908. Революційно-демократичний напрям економічної думки в Україні. АС. Подолинський, І. Франко, О. Терлецький, В Навроцький 61 KB
  Франко О. Франко та інші. Франко 1856 1916 великий український письменник мислитель історик філософ літературознавець. Франко дослідженню економіки Галичини становищу селянства й робітничого класу.
73909. Ліберальні напрями економічної думки в Україні в 19 столітті. М. Зібер, М. Драгоманов, М. Довнар-Запольський 33 KB
  Драгоманов М. Михайло Петрович Драгоманов 1841 1895 видатний український мислитель історик публіцист етнограф літературний критик. Драгоманова як політично неблагонадійного було звільнено з посади викладача. Драгоманова в розвитку української і національної ідеї.
73910. Сучасний монетаризм М. Фрідмен 57.5 KB
  Монетаризм являє собою одну з найвпливовіших шкіл сучасної економічної науки, що належать до некласичного напряму. Він розглядає явища господарського життя крізь призму процесів, що відбуваються у сфері грошового обігу...
73911. Економічна думка країн Давнього Сходу й Передньої Азії. Давньоєгипетські джерела. Закони Ешнунни. Ліпіт Іштара. Хаммурапі 28.5 KB
  До нашої доби дійшли Повчання гераклеопольського царя своєму синові Мерікара Проречення Іпусера Пророцтво Неферті Повчання Ахтоя сина Дуауфа своєму синові Піопі різні адміністративногосподарські та юридичні документи. Так наприклад Повчання гераклеопольського царя своєму синові Мерікара XXII ст. Тоді вони працюватимуть задля царя як один загін і не буде серед них бунтарів1. є закони вавилонського царя Хаммурапі.
73912. Економічна думка в Україні в пореформений період 19 століття. М. Бунге, Д. Піхно, С. Вітте, І. Сокальський 22 KB
  Бунге Д. Бунге професор згодом ректор Київського університету у 80ті рр. Бунге вказував на велике значення для розвитку політичної економії правильного визначення її предмета і вважав що складність такого визначення пояснюється позицією ліберальної економічної школи та соціалістів. Бунге критикував соціалістів за те що вони засуджували існуючий порядок і вбачали свій ідеал у новій організації праці у вигаданих формах суспільного устрою3.
73913. Створення К. Марксом і Ф. Енгельсом пролетарської політекономії : початок формування економічного вчення марксизму. Структура та основні проблеми “Капіталу” Пізні наукові праці 42 KB
  Структура та основні проблеми Капіталу Пізні наукові праці . Теоретичні проблеми Капіталу К. Кілька рукописних варіантів Капіталу 1857 1865 Критика політичної економії До критики політичної економії другий та третій попередні варіанти Капіталу у вигляді нарисів та закінчених теоретичних викладок давно були готові до друку однак Маркс намагався надати цьому твору характеру вичерпної логічно закінченої теорії. Однак вихід у світ одночасно всіх томів Капіталу не пощастило забезпечити: праця тривала надалі а...
73914. Маржинальна революція: австрійська школа “граничної корисності” (К. Менгер, Ф. Візер, О. Бьом-Баверек). Принципи економікс А. Маршалла 36.5 KB
  Маржинальна революція : австрійська школа граничної корисност К. Її теоретичними принципами були субєктивний ідеалізм та теорія граничної корисності. Центральне місце в концепціях австрійської школи посідає так звана теорія граничної корисності.Візер розвивав ідеї Менгера у працях Походження й основні закони господарської цінності 1884 Природна цінність 1889 Закон влади 1926 використовуючи принцип граничної корисності для оцінки вартості витрат виробництва.
73915. Релігія та демократія: конгруенція і конфлікт 35 KB
  За Андерсоном демократія може варіюватися проте в своїй основі вона повинна мати такі складові як рівність влада народу участь всіх конкуренція згода і в випадках ліберальної демократії захист прав меншинств та окремих індивідів. Якщо не пояснювати йдеться про політичну економічну соціальну рівність чи рівність можливостей то дана характеристика не може бути надійним покажчиком демократії. Щодо інших індикаторів демократії то вони також на мою думку є досить суперечливими проте за браком місця не будемо їх розглядати. Скажемо...