67578

Коммутативные группы с конечным числом образующих. Следствия из классификации

Лекция

Математика и математический анализ

Теорема о подгруппах группы Всякая подгруппа группы изоморфна причем . Мы знаем что подгруппа G группыимеет не более чем n образующих и потому для нее можно записать первое каноническое разложение: где mk n. Теорема о подгруппах конечной коммутативной группы.

Русский

2014-09-12

278 KB

1 чел.

Лекция№7

Коммутативные группы с конечным числом образующих.

Часть третья: следствия из классификации.

Теорема о подгруппах группы

Всякая подгруппа группы  изоморфна , причем .

Доказательство.

Мы знаем, что подгруппа G группыимеет не более чем n образующих и потому для нее можно записать первое каноническое разложение: , где (m+k) n. Поскольку все элементы  имеют бесконечный порядок, G не содержит конечных циклических подгрупп. Таким образом, k=0 и теорема доказана.

Теорема о подгруппах конечной коммутативной группы.

Для всякого числа m делящего порядок n конечной коммутативной группы G в ней найдется подгруппа H порядка m.

Доказательство.

Используем разложение G в прямую сумму циклических подгрупп :  Имеем : n=. Поскольку  m делит n, можно записать: m=, где каждое  делит . Пусть . Теперь достаточно положить: .

Замечание.

Вообще говоря, подгруппа H не единственна (в отличие от случая подгруппы циклической группы ). Например, если , где число p простое, то каждый неединичный элемент  имеет порядок p и значит входит в циклическую подгруппу порядка p.  Две такие подгруппы либо совпадают, либо пересекаются только по нейтральному элементу. Значит G содержит в точности  подгрупп порядка p.

Теорема о порядках элементов конечных коммутативных групп

Пусть G- конечная циклическая группа и - ее первое каноническое разложение, так что каждое делит . Тогда множество порядков всех элементов G совпадает с множеством всевозможных делителей числа .

Доказательство.

Поскольку все являются делителями ,  =0 и потому G=0. С другой стороны, если q делит , то  (а значит и G !) содержит элемент g  порядка q.

Следствие.

Если число m взаимно просто с порядком n конечной коммутативной группы G, то mG=G.

В самом деле, в этом случае для каждого прямого слагаемого группы G  m=.

Второе каноническое разложение 

Напомним, что если числа p и q взаимно просты, то . Поскольку любое натуральное n можно разложить в произведение простых множителей, , где все простые попарно различны, имеем:  . Используя разложение конечной абелевой группы в сумму циклических подгрупп, получаем отсюда, что всякая такая группа может быть представлена в виде суммы таких циклических подгрупп, порядки которых являются степенями простых чисел. Объединим слагаемые, относящиеся к одному простому числу p в подгруппу .

Определение.

Подгруппа  называется  p-компонентой  группы G.  Группа G, порядок которой равен степени простого числа p называется p-примарной. 

Итак, всякая конечная абелева группа G раскладывается в прямую сумму p-компонент: , где p-простое число, делящее порядок G, а всякая p-компонента, в свою очередь, в прямую сумму примарных циклических подгрупп: . Прямая сумма, стоящая в правой части этого равенства обозначается , а выражение, стоящее в показателе степени p,- типом компоненты . Порядок равен , где - количество 1 в показателе, - количество 2 и т.д. Таким образом компонента  является примарной группой. Только что построенное разложение конечной абелевой группы называется вторым каноническим разложением.

Пример.

Пусть . Поскольку 12=,   72=,        имеем: .

Замечание.

Если  - две подгруппы примарной циклической группы и st, то . Отсюда вытекает, что примарная циклическая группа не может быть разложена в прямую сумму своих подгрупп. Таким образом, второе каноническое разложение конечной абелевой группы - это представление ее в виде суммы наименьших (далее не разложимых) слагаемых. Для сравнения заметим, что первое каноническое разложение - это представление группы в виде суммы наибольших циклических слагаемых.

Теорема единственности для разложения в сумму компонент.

Компоненты  конечной коммутативной группы G определены однозначно. Точнее, пусть - разложение порядка n группы G в произведение простых чисел, . Тогда .

Доказательство.

Из разложения  мы видим, что =0. Если же (p,q)=1, то q  = . Поскольку при ji  делится на, а =1, отсюда и следует утверждение теоремы.

Теорема единственности определения типа примарной группы.

Тип примарной группы определен однозначно. Точнее, если p-компонента группы G представлена в виде прямой суммы циклических подгрупп: =,      то .

Доказательство.

Пусть G=- разложение G в сумму p-компоненты и остальных компонент. Таким образом, (ord(),p)=1 и потому =. С другой стороны, = при m>k (равно 0 в противном случае). Поэтому

ord()=. Обозначая ord()=N, получаем:

ord(G)=N. Отсюда: ord(G)/ ord(G)= откуда и следует утверждение теоремы.

Замечание.

Обращаем внимание на существенное отличие в формулировке свойства единственности в двух последних теоремах. В первой из них утверждается единственность каждой из подгрупп  , тогда как во второй подгруппы, составляющие прямые слагаемые, определены, вообще говоря, неоднозначно, но их количество и порядок каждой из них  находятся уже единственным образом.

Количество неизоморфных конечных абелевых групп данного порядка.

Обозначим через ab(n) количество попарно неизоморфных абелевых групп порядка n. Ввиду единственности разложения такой группы в сумму примарных компонент, разложению   в произведение простых отвечает равенство ab(n)=ab()ab()...ab(). Если p- любое простое число, и G-

группа порядка и типа (1,1,...1,2,2,......k) то m=1+1+...+1+2+2+...+...+k. Каждому представлению числа m в виде суммы положительных целых слагаемых (причем порядок слагаемых не играет роли) отвечает определенный тип абелевой группы порядка  . Такое представление числа m называется его разбиением и обозначается . Таким образом, поскольку тип группы определяется однозначно, ab()=.

Примеры.

Составим прежде всего следующую табличку разбиений:

m

                                              разбиения

1

1

1

2

2;1+1

2

3

3;2+1;1+1+1

3

4

4;3+1;2+2;2+1+1;1+1+1+1

5

5

5;4+1;3+2;3+1+1;2+2+1;2+1+1+1;1+1+1+1+1

7

6

6;5+1;4+2;4+1+1;3+3;3+2+1;3+1+1+1;2+2+2;2+2+1+1;2+1+1+1+1;1+1+1+1+1+1

11

ab(16)= =5. Соответствующие абелевы группы порядка 16 следующие: , , , ,. Первые канонические разложения для них имеют вид: , , , , .

ab(72)=ab(8)*ab(9)= =6. Соответствующие группы суть: , , , , , . Первые канонические разложения для них имеют вид: , , , , , .

В заключение приведем табличку количества Г(n) попарно неизоморфных групп и ab(n) абелевых групп данного порядка n.

n

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Г(n)

1

1

2

1

2

1

5

2

2

1

5

1

2

1

ab(n)

1

1

2

1

1

1

3

2

1

1

2

1

1

1

 

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

45167. Попытки реорганизации советской системы управления во второй половине 1980х гг 28.13 KB
  СССР пытался в одиночку выдержать гонку вооружений против США и НАТО. Андропов оставил пост председателя КГБ СССР сохранив фактический контроль за этой организацией и стал вторым секретарем ЦК КПСС официальным наследником Брежнева. было принято постановление ЦК КПСС и Совмина СССР провозгласившее курс на введение сухого закона. Удар по бюджету был столь значителен что он так и не был преодолен до последних дней существования СССР.
45168. Современная система государственного управления в России 26.07 KB
  Мирная преемственность власти это важнейший элемент политической стабильности о которой мы с вами мечтали к которой стремились которой добивались.Отставка правительства Примакова приход к власти премьер-министра Степашина углубил государственный кризис в стране и только утверждение в должности нового Президента России привело к укреплению государственных институтов власти всех уровней. Новая команда Президента поставила перед собой цель: выстроить четко работающую исполнительную вертикаль власти добиться правовой дисциплины и...
45170. Древнейшие государства и государственные образования на территории Восточно-Европейской равнины 15.53 KB
  Расселение славян происходило в VI VIII вв. В то же время происходило разделение славян на три ветви: южную западную и восточную. К южным славянам относятся нынешние болгары сербы хорваты и др. По берегам рек шло расселение славянских племен: строились поселения вначале небольшие деревушки а затем большие села и города.
45171. Государственные институты Киевской Руси 33.2 KB
  В политической системе Киевской Руси сочеталось три разных элемента: монархический аристократический. Князь исконно на Руси рассматривался как защитник церкви.Боярство Киевской Руси институт еще достаточно не замкнутый.
45172. Управленческая модель новгородской республики. История ГУ 31.5 KB
  Необычна судьба Новгорода в истории русского средневековья. Однако уникальность исторического опыта Новгорода проявлялась прежде всего в том что в системе древнерусских земель и княжеств это был самый крупный городгосударство где не существовало правящей династии князей. Вплоть до этого времени киевские князья без особого успеха боролись с древней ещё племенной традицией вечевой власти Новгорода постепенно отдавая городу всё больше прав. боярство и купечество Новгорода используя народное движение добились политической независимости от...
45173. Распространению христианства на Руси 24.41 KB
  Её появление обычно связывают с так называемым Фотиевым крещением Руси в первой половине 860х годов. Ряд историков предполагает что первыми крестителями русинов могли быть братья Кирилл и Мефодий отправленные Фотием с миссией в Хазарию. Традиционная историография относит Крещение Руси к 988 году хотя по мнению некоторых церковных историков есть основания полагать 987 более вероятной датой.
45174. Русь в структуре золотоордынского управления 25.5 KB
  Ордынское иго надолго затормозило экономическое развитие Руси разрушило ее сельское хозяйство подорвало русскую культуру привело к падению роли городов в политической и экономической жизни Руси к резкому сокращению населения страны особенно городского. Дань 14 различных видов и тягостей истощала экономику Руси мешала ей оправиться после разорения. Значительно ухудшилось международное положение Руси были разорваны древние торговые и культурные связи Руси с соседними странами. Под власть Литвы попали западнорусские города Смоленск...
45175. Великое Княжество Литовское 41 KB
  Образование Великого княжества Литовского было ускорено необходимостью объединиться для борьбы с агрессией немецких крестоносцев усилившейся с начала XIII в. Вхождение в состав Великого княжества Литовского русских украинских белорусских земель с более развитыми общественными отношениями и культурой содействовало дальнейшему развитию общественноэкономических отношений в Литве. Это а также различия в уровне общественноэкономического развития и этническая неоднородность отдельных частей Великого княжества Литовского обусловили отсутствие...