67578

Коммутативные группы с конечным числом образующих. Следствия из классификации

Лекция

Математика и математический анализ

Теорема о подгруппах группы Всякая подгруппа группы изоморфна причем . Мы знаем что подгруппа G группыимеет не более чем n образующих и потому для нее можно записать первое каноническое разложение: где mk n. Теорема о подгруппах конечной коммутативной группы.

Русский

2014-09-12

278 KB

1 чел.

Лекция№7

Коммутативные группы с конечным числом образующих.

Часть третья: следствия из классификации.

Теорема о подгруппах группы

Всякая подгруппа группы  изоморфна , причем .

Доказательство.

Мы знаем, что подгруппа G группыимеет не более чем n образующих и потому для нее можно записать первое каноническое разложение: , где (m+k) n. Поскольку все элементы  имеют бесконечный порядок, G не содержит конечных циклических подгрупп. Таким образом, k=0 и теорема доказана.

Теорема о подгруппах конечной коммутативной группы.

Для всякого числа m делящего порядок n конечной коммутативной группы G в ней найдется подгруппа H порядка m.

Доказательство.

Используем разложение G в прямую сумму циклических подгрупп :  Имеем : n=. Поскольку  m делит n, можно записать: m=, где каждое  делит . Пусть . Теперь достаточно положить: .

Замечание.

Вообще говоря, подгруппа H не единственна (в отличие от случая подгруппы циклической группы ). Например, если , где число p простое, то каждый неединичный элемент  имеет порядок p и значит входит в циклическую подгруппу порядка p.  Две такие подгруппы либо совпадают, либо пересекаются только по нейтральному элементу. Значит G содержит в точности  подгрупп порядка p.

Теорема о порядках элементов конечных коммутативных групп

Пусть G- конечная циклическая группа и - ее первое каноническое разложение, так что каждое делит . Тогда множество порядков всех элементов G совпадает с множеством всевозможных делителей числа .

Доказательство.

Поскольку все являются делителями ,  =0 и потому G=0. С другой стороны, если q делит , то  (а значит и G !) содержит элемент g  порядка q.

Следствие.

Если число m взаимно просто с порядком n конечной коммутативной группы G, то mG=G.

В самом деле, в этом случае для каждого прямого слагаемого группы G  m=.

Второе каноническое разложение 

Напомним, что если числа p и q взаимно просты, то . Поскольку любое натуральное n можно разложить в произведение простых множителей, , где все простые попарно различны, имеем:  . Используя разложение конечной абелевой группы в сумму циклических подгрупп, получаем отсюда, что всякая такая группа может быть представлена в виде суммы таких циклических подгрупп, порядки которых являются степенями простых чисел. Объединим слагаемые, относящиеся к одному простому числу p в подгруппу .

Определение.

Подгруппа  называется  p-компонентой  группы G.  Группа G, порядок которой равен степени простого числа p называется p-примарной. 

Итак, всякая конечная абелева группа G раскладывается в прямую сумму p-компонент: , где p-простое число, делящее порядок G, а всякая p-компонента, в свою очередь, в прямую сумму примарных циклических подгрупп: . Прямая сумма, стоящая в правой части этого равенства обозначается , а выражение, стоящее в показателе степени p,- типом компоненты . Порядок равен , где - количество 1 в показателе, - количество 2 и т.д. Таким образом компонента  является примарной группой. Только что построенное разложение конечной абелевой группы называется вторым каноническим разложением.

Пример.

Пусть . Поскольку 12=,   72=,        имеем: .

Замечание.

Если  - две подгруппы примарной циклической группы и st, то . Отсюда вытекает, что примарная циклическая группа не может быть разложена в прямую сумму своих подгрупп. Таким образом, второе каноническое разложение конечной абелевой группы - это представление ее в виде суммы наименьших (далее не разложимых) слагаемых. Для сравнения заметим, что первое каноническое разложение - это представление группы в виде суммы наибольших циклических слагаемых.

Теорема единственности для разложения в сумму компонент.

Компоненты  конечной коммутативной группы G определены однозначно. Точнее, пусть - разложение порядка n группы G в произведение простых чисел, . Тогда .

Доказательство.

Из разложения  мы видим, что =0. Если же (p,q)=1, то q  = . Поскольку при ji  делится на, а =1, отсюда и следует утверждение теоремы.

Теорема единственности определения типа примарной группы.

Тип примарной группы определен однозначно. Точнее, если p-компонента группы G представлена в виде прямой суммы циклических подгрупп: =,      то .

Доказательство.

Пусть G=- разложение G в сумму p-компоненты и остальных компонент. Таким образом, (ord(),p)=1 и потому =. С другой стороны, = при m>k (равно 0 в противном случае). Поэтому

ord()=. Обозначая ord()=N, получаем:

ord(G)=N. Отсюда: ord(G)/ ord(G)= откуда и следует утверждение теоремы.

Замечание.

Обращаем внимание на существенное отличие в формулировке свойства единственности в двух последних теоремах. В первой из них утверждается единственность каждой из подгрупп  , тогда как во второй подгруппы, составляющие прямые слагаемые, определены, вообще говоря, неоднозначно, но их количество и порядок каждой из них  находятся уже единственным образом.

Количество неизоморфных конечных абелевых групп данного порядка.

Обозначим через ab(n) количество попарно неизоморфных абелевых групп порядка n. Ввиду единственности разложения такой группы в сумму примарных компонент, разложению   в произведение простых отвечает равенство ab(n)=ab()ab()...ab(). Если p- любое простое число, и G-

группа порядка и типа (1,1,...1,2,2,......k) то m=1+1+...+1+2+2+...+...+k. Каждому представлению числа m в виде суммы положительных целых слагаемых (причем порядок слагаемых не играет роли) отвечает определенный тип абелевой группы порядка  . Такое представление числа m называется его разбиением и обозначается . Таким образом, поскольку тип группы определяется однозначно, ab()=.

Примеры.

Составим прежде всего следующую табличку разбиений:

m

                                              разбиения

1

1

1

2

2;1+1

2

3

3;2+1;1+1+1

3

4

4;3+1;2+2;2+1+1;1+1+1+1

5

5

5;4+1;3+2;3+1+1;2+2+1;2+1+1+1;1+1+1+1+1

7

6

6;5+1;4+2;4+1+1;3+3;3+2+1;3+1+1+1;2+2+2;2+2+1+1;2+1+1+1+1;1+1+1+1+1+1

11

ab(16)= =5. Соответствующие абелевы группы порядка 16 следующие: , , , ,. Первые канонические разложения для них имеют вид: , , , , .

ab(72)=ab(8)*ab(9)= =6. Соответствующие группы суть: , , , , , . Первые канонические разложения для них имеют вид: , , , , , .

В заключение приведем табличку количества Г(n) попарно неизоморфных групп и ab(n) абелевых групп данного порядка n.

n

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Г(n)

1

1

2

1

2

1

5

2

2

1

5

1

2

1

ab(n)

1

1

2

1

1

1

3

2

1

1

2

1

1

1

 

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

44176. РАЗРАБОТКА МАРКЕТИНГОВОГО ПЛАНА УЧАСТИЯ В ВЫСТАВКЕ (НА ПРИМЕРЕ ООО «СЕРВИСНЫЙ ЦЕНТР «СИБЭНЕРГОРЕСУРС», Г. ЛЕНИНСК-КУЗНЕЦКИЙ) 1.19 MB
  Целью работы является разработка плана участия в выставке для совершенствования деятельности предприятия на примере ООО Сервисный Центр СибЭнергоРесурс. Четвертая глава направлена на разработку маркетингового плана участия в выставке для Сервисный Центр СибЭнергоРесурс.3 Разработка маркетингового плана участия в выставке..
44178. Проектирование нового выемочного участка в условиях шахты «Терновская» 1.31 MB
  Цель моего дипломного проекта – спроектировать новый выемочный участок в условиях шахты «Терновская», выбрать средства механизации и рассчитать электроснабжение этого оборудования. Также спроектировать организацию труда в данной лаве и определить основные технико-экономические показатели этого участка
44179. Програмне забезпечення систем. Методичні рекомендації 203 KB
  Дипломна робота на здобуття освітньо-кваліфікаційного рівня магістр за спеціальностями “Програмне забезпечення систем” та “Інженерія програмного забезпечення” - це спеціально підготовлена праця, написана державною мовою України, що містить систематизований виклад проведених магістрантом теоретичних досліджень і практичних розробок
44180. Загальні вимоги до структури, обсягу та оформлення дипломної роботи бакалавра 347 KB
  Для цього має бути виділений комплекс задач (корисних для розкриття теми дипломної роботи) для вирішення за допомогою інформаційних технологій, визначені алгоритми їх рішень та інформаційне забезпечення.
44183. Разработка предложений по внедрению анимационных программ для повышения качества туристского обслуживания в ООО «Чор Минор» 944.5 KB
  Целью работы является разработка предложений по внедрению анимационных программ для повышения качества туристского обслуживания в ООО Чор Минор. Исходя из поставленной цели были определены следующие задачи исследования: систематизировать теоретические аспекты анимационного обслуживания туристов; провести анализ деятельности ООО Чор Минор; разработать предложения по...