67578

Коммутативные группы с конечным числом образующих. Следствия из классификации

Лекция

Математика и математический анализ

Теорема о подгруппах группы Всякая подгруппа группы изоморфна причем . Мы знаем что подгруппа G группыимеет не более чем n образующих и потому для нее можно записать первое каноническое разложение: где mk n. Теорема о подгруппах конечной коммутативной группы.

Русский

2014-09-12

278 KB

1 чел.

Лекция№7

Коммутативные группы с конечным числом образующих.

Часть третья: следствия из классификации.

Теорема о подгруппах группы

Всякая подгруппа группы  изоморфна , причем .

Доказательство.

Мы знаем, что подгруппа G группыимеет не более чем n образующих и потому для нее можно записать первое каноническое разложение: , где (m+k) n. Поскольку все элементы  имеют бесконечный порядок, G не содержит конечных циклических подгрупп. Таким образом, k=0 и теорема доказана.

Теорема о подгруппах конечной коммутативной группы.

Для всякого числа m делящего порядок n конечной коммутативной группы G в ней найдется подгруппа H порядка m.

Доказательство.

Используем разложение G в прямую сумму циклических подгрупп :  Имеем : n=. Поскольку  m делит n, можно записать: m=, где каждое  делит . Пусть . Теперь достаточно положить: .

Замечание.

Вообще говоря, подгруппа H не единственна (в отличие от случая подгруппы циклической группы ). Например, если , где число p простое, то каждый неединичный элемент  имеет порядок p и значит входит в циклическую подгруппу порядка p.  Две такие подгруппы либо совпадают, либо пересекаются только по нейтральному элементу. Значит G содержит в точности  подгрупп порядка p.

Теорема о порядках элементов конечных коммутативных групп

Пусть G- конечная циклическая группа и - ее первое каноническое разложение, так что каждое делит . Тогда множество порядков всех элементов G совпадает с множеством всевозможных делителей числа .

Доказательство.

Поскольку все являются делителями ,  =0 и потому G=0. С другой стороны, если q делит , то  (а значит и G !) содержит элемент g  порядка q.

Следствие.

Если число m взаимно просто с порядком n конечной коммутативной группы G, то mG=G.

В самом деле, в этом случае для каждого прямого слагаемого группы G  m=.

Второе каноническое разложение 

Напомним, что если числа p и q взаимно просты, то . Поскольку любое натуральное n можно разложить в произведение простых множителей, , где все простые попарно различны, имеем:  . Используя разложение конечной абелевой группы в сумму циклических подгрупп, получаем отсюда, что всякая такая группа может быть представлена в виде суммы таких циклических подгрупп, порядки которых являются степенями простых чисел. Объединим слагаемые, относящиеся к одному простому числу p в подгруппу .

Определение.

Подгруппа  называется  p-компонентой  группы G.  Группа G, порядок которой равен степени простого числа p называется p-примарной. 

Итак, всякая конечная абелева группа G раскладывается в прямую сумму p-компонент: , где p-простое число, делящее порядок G, а всякая p-компонента, в свою очередь, в прямую сумму примарных циклических подгрупп: . Прямая сумма, стоящая в правой части этого равенства обозначается , а выражение, стоящее в показателе степени p,- типом компоненты . Порядок равен , где - количество 1 в показателе, - количество 2 и т.д. Таким образом компонента  является примарной группой. Только что построенное разложение конечной абелевой группы называется вторым каноническим разложением.

Пример.

Пусть . Поскольку 12=,   72=,        имеем: .

Замечание.

Если  - две подгруппы примарной циклической группы и st, то . Отсюда вытекает, что примарная циклическая группа не может быть разложена в прямую сумму своих подгрупп. Таким образом, второе каноническое разложение конечной абелевой группы - это представление ее в виде суммы наименьших (далее не разложимых) слагаемых. Для сравнения заметим, что первое каноническое разложение - это представление группы в виде суммы наибольших циклических слагаемых.

Теорема единственности для разложения в сумму компонент.

Компоненты  конечной коммутативной группы G определены однозначно. Точнее, пусть - разложение порядка n группы G в произведение простых чисел, . Тогда .

Доказательство.

Из разложения  мы видим, что =0. Если же (p,q)=1, то q  = . Поскольку при ji  делится на, а =1, отсюда и следует утверждение теоремы.

Теорема единственности определения типа примарной группы.

Тип примарной группы определен однозначно. Точнее, если p-компонента группы G представлена в виде прямой суммы циклических подгрупп: =,      то .

Доказательство.

Пусть G=- разложение G в сумму p-компоненты и остальных компонент. Таким образом, (ord(),p)=1 и потому =. С другой стороны, = при m>k (равно 0 в противном случае). Поэтому

ord()=. Обозначая ord()=N, получаем:

ord(G)=N. Отсюда: ord(G)/ ord(G)= откуда и следует утверждение теоремы.

Замечание.

Обращаем внимание на существенное отличие в формулировке свойства единственности в двух последних теоремах. В первой из них утверждается единственность каждой из подгрупп  , тогда как во второй подгруппы, составляющие прямые слагаемые, определены, вообще говоря, неоднозначно, но их количество и порядок каждой из них  находятся уже единственным образом.

Количество неизоморфных конечных абелевых групп данного порядка.

Обозначим через ab(n) количество попарно неизоморфных абелевых групп порядка n. Ввиду единственности разложения такой группы в сумму примарных компонент, разложению   в произведение простых отвечает равенство ab(n)=ab()ab()...ab(). Если p- любое простое число, и G-

группа порядка и типа (1,1,...1,2,2,......k) то m=1+1+...+1+2+2+...+...+k. Каждому представлению числа m в виде суммы положительных целых слагаемых (причем порядок слагаемых не играет роли) отвечает определенный тип абелевой группы порядка  . Такое представление числа m называется его разбиением и обозначается . Таким образом, поскольку тип группы определяется однозначно, ab()=.

Примеры.

Составим прежде всего следующую табличку разбиений:

m

                                              разбиения

1

1

1

2

2;1+1

2

3

3;2+1;1+1+1

3

4

4;3+1;2+2;2+1+1;1+1+1+1

5

5

5;4+1;3+2;3+1+1;2+2+1;2+1+1+1;1+1+1+1+1

7

6

6;5+1;4+2;4+1+1;3+3;3+2+1;3+1+1+1;2+2+2;2+2+1+1;2+1+1+1+1;1+1+1+1+1+1

11

ab(16)= =5. Соответствующие абелевы группы порядка 16 следующие: , , , ,. Первые канонические разложения для них имеют вид: , , , , .

ab(72)=ab(8)*ab(9)= =6. Соответствующие группы суть: , , , , , . Первые канонические разложения для них имеют вид: , , , , , .

В заключение приведем табличку количества Г(n) попарно неизоморфных групп и ab(n) абелевых групп данного порядка n.

n

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Г(n)

1

1

2

1

2

1

5

2

2

1

5

1

2

1

ab(n)

1

1

2

1

1

1

3

2

1

1

2

1

1

1

 

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

21262. Особливості обліку на сільськогосподарських підприємствах 213 KB
  У цих умовах особливого значення набуває облік за допомогою якого забезпечується збереження сільськогосподарської власності і продукції правильне використання насінь кормів пального машин дотримання госпрозрахунку і підвищення рентабельності господарства. Виробництво продукції сільського господарства має тільки свої йому властиві особливості обліку. Це дозволяє точно обчислити собівартість продукції зерна кормів та іншої продукції сільського господарства. Тому фактичну собівартість продукції рослинництва обчислюють не щомісяця а лише...
21263. АУДИТ АКТИВІВ, ПАСИВІВ ТА ФІНАНСОВОЇ ЗВІТНОСТІ 213 KB
  АУДИТ СТАНУ БУХГАЛТЕРСЬКОГО ОБЛІКУ Й ФІНАНСОВОЇ ЗВІТНОСТІ 5. Таки комплекси виділяють відповідно до Плану рахунків бухгалтерського обліку тобто девять розділів та позабалансові рахунки; окремо бажано виділити Розрахунки з оплати праці. Запаси Аналітичний облік руху матеріальних цінностей на складах підприємства Документи по списанню матеріальних цінностей на витрати виробництва Документи по списанню нестач втрат та розкрадань матеріальних цінностей Облік МБП у запасі та експлуатації Зведений облік матеріальних цінностей Матеріали...
21264. АУДИТОРСЬКИЙ ВИСНОВОК ТА ІНШІ ПІДСУМКОВІ ДОКУМЕНТИ 55.5 KB
  Аудиторський висновок про бухгалтерську звітність економічного субєкта містить думку аудиторської фірми про достовірність цієї звітності яке має висловлювати оцінку аудиторської фірми відповідності у всіх суттєвих аспектах бухгалтерської звітності Закону України Про бухгалтерський облік та фінансову звітність в Україні Аудиторський висновок це лаконічний опис виявлених порушень помилок відхилень з оцінкою стану бухгалтерського обліку достовірності звітності та законності господарських операцій. Згідно з Законом України Про...
21265. Транспортная задача. Этапы построения решения транспортной задачи 474.5 KB
  Транспортная задача Т3возникает при планировании рациональных перевозок грузов загрузки оборудования и других организационноэкономических процессов. Требуется составить такой план перевозок откуда куда и сколько единиц груза везти чтобы все заявки были выполнены а общая стоимость всех перевозок минимальна. Матрицу X будем называть матрицей перевозок или планом грузоперевозок. Суммарное количество груза доставляемого в каждый ПН из всех ПО должно быть равно заявке поданной данным пунктом: 3...
21266. Понятие математической модели 342.5 KB
  И если ранее математический аппарат преимущественно использовался как инструмент расчета то сейчас экономика выдвигает другие задачи: рационального использования уже имеющегося сырья оборудования кадровых энергетических и прочих ресурсов; выбора наиболее выгодного варианта организации производственного процесса оптимальным образом. Эти задачи привели к появлению новых математических методов и направлений прикладной математики: теории игр теории массового обслуживания теории линейного и нелинейного программирования и др. Поэтому в...
21267. Аналіз рентабельності діяльності підприємства з метою її підвищення 574.5 KB
  Збільшення обсягу реалізації і поліпшення якості продукції 3. Резерви зниження собівартості продукції 3. Уособлення частини вартості продукції у вигляді витрат виступає в грошовому виразі як собівартість продукції. На формування прибутку як фінансового показника роботи підприємства впливає встановлений державою порядок формування витрат на виробництво продукції робіт послуг; обчислення й калькулювання собівартості продукції робіт послуг; визначення позареалізаційних прибутків і витрат; визначення балансового валового прибутку.
21268. Захист населення і територій від надзвичайних ситуацій 302 KB
  Актуальність проблеми забезпечення природнотехногенної безпеки населення і територій зумовлена тенденціями зростання втрат людей і шкоди територіям що спричиняються небезпечними природними явищами промисловими аваріями і катастрофами. Захист населення і територій від надзвичайних ситуацій техногенного та природного характеру це система організаційних технічних медикобіологічних фінансовоекономічних та інших заходів для запобігання та реагування на надзвичайні ситуації техногенного та природного характеру і ліквідації їх наслідків що...
21269. Сложные зубчатые механизмы. Кинематическое исследование зубчатых и планетарных механизмов 180.5 KB
  ложными зубчатыми механизмами называются механизмы с зубчатыми передачами с числом зубчатых колес больше двух. Это могут быть механизмы с оригинальными структурными схемами или механизмы, образованные последовательным...
21270. ЛІКВІДАЦІЯ НАСЛІДКІВ НАДЗВИЧАЙНИХ СИТУАЦІЙ 146 KB
  РІНР і в мирний і у воєнний час проводяться: для порятунку людей надання першої медичної допомоги постраждалим і ураженим та евакуації їх у лікувальні установи; локалізації аварій і усунення ушкоджень які заважають проведенню рятувальних робіт; локалізації аварій які загрожують життю людей на АЕС хімічно небезпечних обєктах енергетичних і комунальних мережах нафтоі газопроводах та інших обєктах і мережах; забезпечення життєдіяльності міст і обєктів господарювання; створення необхідних умов проведення відбудовних робіт. До...