67579

Множества с двумя алгебраическими операциями. Кольца и поля

Лекция

Математика и математический анализ

Множество с двумя алгебраическими операциями R называется кольцом если R абелева группа аддитивная группа кольца R. Элементы такого кольца R имеющие обратные относительно операции умножения называются обратимыми а их множество обозначается через...

Русский

2014-09-12

192.5 KB

0 чел.

Лекция№8

Множества с двумя алгебраическими операциями. Кольца и поля.

         Пусть на множестве R определены две алгебраические операции, которые мы будем называть сложением и умножением и обозначать соответственно + и *. Говорят, что умножение обладает свойством (правой) дистрибутивности относительно сложения, если

.                                            (1)

Аналогично определяется свойство левой дистрибутивности. Разумеется, если операция умножения коммутативна, эти свойства равнозначны. В общем случае говоря о свойстве дистрибутивности мы будем подразумевать двустороннюю дистрибутивность. Предположим, что операция+ на R имеет нейтральный элемент, обозначаемый 0.  Положив в равенстве (1)  y = z = 0, получим: x*0 = x*0 + x*0, откуда,  при наличии свойства сокращения для операции +   , получаем, что x*0 = 0. Если для элемента y имеется противоположный элемент (-y), то взяв в том же равенстве z = -y, получим: 0 = x*0 = x*y + x*(-y) и, значит,  x*(-y) = -x*y.

Определение.

Множество с двумя алгебраическими операциями R(+,*) называется кольцом, если

(R,+) - абелева группа (аддитивная группа кольца R).

Умножение в R дистрибутивно относительно сложения.

Дополнительные свойства операции умножения отмечаются с помощью соответствующих прилагательных перед словом кольцо. Так ассоциативное кольцо - это кольцо, в котором операция умножения обладает свойством ассоциативности. Аналогичный смысл имеет термин коммутативное кольцо. Наличие нейтрального элемента для операции умножения выражают термином кольцо с единицей (  этот нейтральный элемент называют единицей и обозначают  или просто e ); При этом дополнительно предполагается, что кроме свойств 1  и 2 выполнено  

0.

Элементы такого кольца R, имеющие обратные относительно операции умножения,  называются обратимыми , а их множество обозначается через . Отметим, что для ассоциативного кольца с единицей множество  является группой по умножению, называемой мультипликативной группой кольца R. Поскольку  в кольце R с единицей             x*0 = 0e , элемент 0 из R необратим. В случае ассоциативного кольца не будет обратим и такой элемент y0, для которого можно найти такое z0, что y*z = 0. Такой элемент y называется (левым) делителем нуля.

Определение.

Полем называется такое ассоциативное коммутативное кольцо с единицей k, в котором всякий ненулевой элемент обратим: .

Таким образом, по определению в поле отсутствуют делители нуля.

Примеры колец и полей.

Хорошо известными примерами полей являются, конечно, поля R,Q, и C соответственно вещественных, рациональных и комплексных чисел . Отметим, что любое поле содержит по крайней мере 2 элемента - 0 и e. Этот «минимальный» запас элементов и достаточен для образования поля: операции определяются очевидным образом ( отметим только, что e+e=0). Построенное поле из двух элементов обозначается GF(2) (по причинам, которые будут ясны в дальнейшем). Напомним также, что если p - простое число, то все вычеты по модулю p, кроме 0, обратимы относительно операции умножения. Значит, рассматривая группу  с дополнительной операцией умножения, мы получаем поле из p элементов, которое обозначается GF(p).

Множество Z целых чисел с операциями сложения и умножения дает важный пример ассоциативного коммутативного кольца с единицей. Аддитивная группа этого кольца - хорошо известная нам бесконечная циклическая группа. Мультипликативная группа  содержит всего 2 элемента 1 и -1 и потому изоморфна . Элементы, не входящие в  необратимы, хотя и не являются делителями нуля.

Пусть R - любое ассоциативное коммутативное кольцо. Множество- квадратных матриц порядка n с элементами из кольца R образует кольцо относительно операций сложения и умножения матриц. Отметим, что кольцо матриц ассоциативно, но, вообще говоря, не коммутативно. Если R содержит единицу , то матрица  Е =  diag(,,...,) ,будет единицей кольца матриц. Заметим, что для любой матрицы   имеет смысл понятие определителя det(A)  R, причем det(AB)=det(A)det(B). Если det(A) обратимый элемент кольца R, то матрица A обратима в кольце матриц: , где - присоединенная к А матрица (то есть транспонированная матрица из алгебраических дополнений). Таким образом, = - группа матриц порядка n с обратимым определителем.  В случае поля R это означает, что det(A) 0, то есть матрица невырождена. С другой стороны, в этом случае любая вырожденная матрица  будет делителем нуля. В самом деле, из det(A) = 0 следует, что столбцы А линейно зависимы: , причем не все коэффициенты нулевые. Построим ненулевую матрицу В, взяв  в качестве ее первого столбца и считая прочие элементы В нулевыми. Тогда  А*В = 0 и значит А - делитель нуля.

Пусть снова R любое ассоциативное коммутативное кольцо и x - некоторый символ. Формальная сумма вида p= , где  называется многочленом над кольцом R.  Если  , то число n называется степенью этого многочлена и обозначается deg(p). Нулевой многочлен не имеет степени. Многочлены над R можно складывать и перемножать по обычным правилам и они образуют кольцо R[x]. Если кольцо R имеет единицу е, то многочлен нулевой степени p=e будет единицей кольца R[x]. Если R не имеет делителей нуля, то deg(pq)=deg(p)+ deg(q) и потому R[x] также не имеет делителей нуля. В то же время обратимыми элементами кольца многочленов будут в точности обратимые элементы R, рассматриваемые как многочлены нулевой степени. Отметим, что эта конструкция позволяет рассматривать и многочлены от нескольких переменных: по определению, R[x,y] =R[x][y] (=R[y][x]).

Определение.

Подмножество  называется подкольцом, если оно является кольцом относительно тех же операций, которые определены в R.

Это означает, что К является подгруппой аддитивной группы R и замкнуто относительно умножения: . Отметим, что если R обладает свойством ассоциативности , коммутативности или отсутствием делителей нуля, то  и К обладает теми же свойствами. В то же время, подкольцо кольца с единицей может не иметь единицы. Например, подкольцо четных чисел 2Z Z не имеет единицы. Более того, может случиться, что и R и K имеют единицы, но они не равны друг другу. Так будет, например, для подкольца , состоящего из матриц с нулевой последней строкой и последним столбцом; =diag(1,1,...,1,0)  =diag(1,1,...,1).

Определение.

Гомоморфизмом колец  называется отображение, сохраняющее обе кольцевые операции:  и . Изоморфизм - это взаимно однозначный гомоморфизм.

Ядро гомоморфизма  - это ядро группового гомоморфизма  аддитивных групп , то есть множество всех элементов из R, которые отображаются в .

Пусть снова - некоторое подкольцо. Поскольку (К,+) - подгруппа коммутативной группы (R,+), можно образовать факторгруппу R/K, элементами которой являются смежные классы  r+K. Поскольку К*К К,  для произведения двух смежных классов имеет место включение: (r+K)*(s+K) r*s+r*K+K*s+K.

Определение.

Подкольцо К называется идеалом кольца R, если : x*K K и    K*yK.

Мы видим, что если К является идеалом в R, произведение смежных классов     (r+K)*(s+K) содержится в смежном классе r*s+K. Значит в факторгруппе R/K определена операция умножения, превращающая ее в кольцо, называемое факторкольцом кольца R по идеалу К.

Примеры.

Подкольцо nZ является идеалом  кольца Z, поскольку для любого целого m m(nZ) nZ. Факторкольцо Z/nZ - это множество вычетов по модулю n с операциями сложения и умножения. Отметим, что если число n не является простым, то Z/nZ имеет делители нуля.

Пусть IR[x] - множество всех многочленов , у которых =0. Удобно записать: I = xR[x]. Поскольку p*I =(p*x)R[x] I, мы имеем идеал кольца многочленов. Каждый смежный класс q+I содержит элемент . Значит, (q+I)*(s+I) = (+I)*(+I) =*+I.

В развитие предыдущего примера рассмотрим некоторое ассоциативное коммутативное  кольцо S. Если  любой его элемент, то множество I=x*S является идеалом кольца S, называемым главным идеалом с образующим элементом x. Этот идеал обозначается (x).  Если S кольцо с единицей и элемент x обратим, то (x)=S.

Если кольцо S является полем, то всякий ненулевой идеал I в S совпадает со всем полем. В самом деле, если , x 0, то для всякого имеем: , откуда .

Пусть I идеал кольца R. Сопоставляя каждому элементу  смежный класс r+I, получаем сюръективный гомоморфизм  . Этот гомоморфизм называется естественным гомоморфизмом кольца на факторкольцо.

Замечание.

Свойства ассоциативности, коммутативности и наличия единицы очевидно сохраняются при переходе к факторкольцу. Напротив, отсутствие в R делителей нуля еще не гарантирует их отсутствие в факторкольце (см. пример 1).

Теорема об ядре.

Ядро гомоморфизма колец является идеалом.

Доказательство.

Пусть - гомоморфизм колец, I =Ker,  - любой элемент. Тогда, (x*I) =(x)* (I) =(x)*0 =0. Значит, x*I Ker =I. Аналогично проверяется, что I*xI.

Теорема о гомоморфизме для колец.

Пусть - сюръективный гомоморфизм колец. Тогда S изоморфно факторкольцу R/Ker. Если эти изоморфные кольца отождествить, то  отождествляется с естественным гомоморфизмом кольца R на свое факторкольцо.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству соответствующей теоремы для групп и мы его опускаем.

Пример.

Пусть K - кольцо многочленов R[x], : KC - гомоморфизм, сопоставляющий каждому многочлену p его значение в точке i : (p) =p(i). Ядро этого гомоморфизма составляют многочлены, представимые в виде:    (+1)*q(x), где q - любой многочлен. Можно записать: Ker =(+1). По теореме о гомоморфизме .

    


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

46498. Эхинококкоз печени. Клиника, диагностика, методы хирургического лечение 17.71 KB
  Эхинококкоз печени. При перкуссии расширения границ печени.Периоды развития: латентный продромальных явлений прогрессивное увеличение печени период осложнений.
46499. Анализ прибыли предприятия 17.72 KB
  Прибыль предприятия характеризует превышение если наоборот то убыток выручки над расходами является главным показателем эффективности деятельности и отражает цель предпринимательства. В зависимости способа вычисления и направлений распределения различают такие основные виды прибыли предприятия: валовую балансовую прибыль операционную прибыль прибыль от обычной деятельности и прибыль после налогообложения чистую прибыль.Валовая балансовая прибыль Gross Profit разность между чистым доходом от реализации продукции и себестоимостью...
46500. Понятие и методы калькуляции затрат 17.86 KB
  Калькуляция служит основой для определения средних издержек производства и установления себестоимости продукции. Методы калькуляции это методы расчёта издержек производства себестоимости продукции объёма незавершённого производства основанные на калькуляции затрат. Попередельный метод калькуляции это метод исчисления себестоимости применяемый на предприятиях где исходный материал в процессе производства проходит ряд переделов или где из одних исходных материалов в одном технологическом процессе получают различные виды продукции....
46501. Техническое диагностирование. Этапы комплексной диагностики участков МТ. 17.87 KB
  Основными задачами контроля и диагностики МТ являются определение технического состояния на основе комплексного мониторинга в процессе создания и эксплуатации системы оценка и прогнозирование динамики технического состояния с целью обеспечения надежной и безопасной эксплуатации газотранспортной системы. Контроль и мониторинг технического состояния трубопроводных систем включает: получение информации в предэксплуатационный период ранняя диагностика из проектных материалов включая материалы изысканий лабораторных исследований грунтов...
46502. Диаграммы UML 17.91 KB
  Диаграммы UML. UML определяет следующие диаграммы: 1. Диаграммы применения use cse Или диаграммы вариантов использования Представляют собой граф из действующих лиц ctors и их взаимодействие с системой представленное сценариями применения. Диаграммы классов Cодержат набор статических декларативных элементов как например классы типы их связи объединенные в граф.
46503. Обеспечение электробезопасности техническими способами и СЗ 17.91 KB
  При случайном прикосновении для обеспечения электробезопасности применяют: защитные оболочки защитные ограждения временные или стационарные безопасное расположение токоведущих частей изоляцию этих частей и РМ малое U защитное отключение предупредительную сигнализацию блокировку и знаки безопасности; а при прикосновении к нетоковедущим металлическим частям защитное заземление зануление выравнивание потенциала защитное отключение изоляцию нетоковедущих частей электроразделение сети малое U контроль электроизоляции и СИЗ....
46504. Формы производственной деятельности фирмы 17.98 KB
  Различают три основные формы организации производства: Специализация Кооперирование Комбинирование Специализация производства Специализация производства выражается в том что каждое производство ограничивается изготовлением определённого вида конструктивной и технологически однородной продукции. Соответственно этому различают четыре вида специализации предприятий: предметную; подетальную иногда называют узловая; технологическую; по услугам вспомогательного производства. Подетальная специализация характеризуется...
46505. Природа грамматического значения: общая характеристика, отношение к лексическому значению, функциональный статус 18.04 KB
  Природа грамматического значения: общая характеристика отношение к лексическому значению функциональный статус. Большинство слов обладает двумя значениями: лексическим и грамматическим. В области морфологии это общие значения слов как частей речи напр. значения предметности у существительных процессуальное у глаголов а также частные значения словоформ и слов в целом противопоставляемые друг другу в рамках морфологических категорий например значения того или иного времени лица числа рода.
46506. Поверхностное упрочнение детали. Выбор метода поверхностного упрочнения 18.07 KB
  При обработке поверхности шлифованием и полированием устраняющей неровности которые служат концентраторами напряжений повышается усталостная прочность детали. Назначение метода упрочняющей обработки зависит от условий работы детали в машине и ее технологических особенностей. Деталь помещают внутри спирали индуктора или под проводником по которому пропускается переменный ток большой частоты; он вызывает появление вихревых токов на поверхности детали и быстро разогревает слой с наибольшей плотностью индуцированного тока.