67579

Множества с двумя алгебраическими операциями. Кольца и поля

Лекция

Математика и математический анализ

Множество с двумя алгебраическими операциями R называется кольцом если R абелева группа аддитивная группа кольца R. Элементы такого кольца R имеющие обратные относительно операции умножения называются обратимыми а их множество обозначается через...

Русский

2014-09-12

192.5 KB

0 чел.

Лекция№8

Множества с двумя алгебраическими операциями. Кольца и поля.

         Пусть на множестве R определены две алгебраические операции, которые мы будем называть сложением и умножением и обозначать соответственно + и *. Говорят, что умножение обладает свойством (правой) дистрибутивности относительно сложения, если

.                                            (1)

Аналогично определяется свойство левой дистрибутивности. Разумеется, если операция умножения коммутативна, эти свойства равнозначны. В общем случае говоря о свойстве дистрибутивности мы будем подразумевать двустороннюю дистрибутивность. Предположим, что операция+ на R имеет нейтральный элемент, обозначаемый 0.  Положив в равенстве (1)  y = z = 0, получим: x*0 = x*0 + x*0, откуда,  при наличии свойства сокращения для операции +   , получаем, что x*0 = 0. Если для элемента y имеется противоположный элемент (-y), то взяв в том же равенстве z = -y, получим: 0 = x*0 = x*y + x*(-y) и, значит,  x*(-y) = -x*y.

Определение.

Множество с двумя алгебраическими операциями R(+,*) называется кольцом, если

(R,+) - абелева группа (аддитивная группа кольца R).

Умножение в R дистрибутивно относительно сложения.

Дополнительные свойства операции умножения отмечаются с помощью соответствующих прилагательных перед словом кольцо. Так ассоциативное кольцо - это кольцо, в котором операция умножения обладает свойством ассоциативности. Аналогичный смысл имеет термин коммутативное кольцо. Наличие нейтрального элемента для операции умножения выражают термином кольцо с единицей (  этот нейтральный элемент называют единицей и обозначают  или просто e ); При этом дополнительно предполагается, что кроме свойств 1  и 2 выполнено  

0.

Элементы такого кольца R, имеющие обратные относительно операции умножения,  называются обратимыми , а их множество обозначается через . Отметим, что для ассоциативного кольца с единицей множество  является группой по умножению, называемой мультипликативной группой кольца R. Поскольку  в кольце R с единицей             x*0 = 0e , элемент 0 из R необратим. В случае ассоциативного кольца не будет обратим и такой элемент y0, для которого можно найти такое z0, что y*z = 0. Такой элемент y называется (левым) делителем нуля.

Определение.

Полем называется такое ассоциативное коммутативное кольцо с единицей k, в котором всякий ненулевой элемент обратим: .

Таким образом, по определению в поле отсутствуют делители нуля.

Примеры колец и полей.

Хорошо известными примерами полей являются, конечно, поля R,Q, и C соответственно вещественных, рациональных и комплексных чисел . Отметим, что любое поле содержит по крайней мере 2 элемента - 0 и e. Этот «минимальный» запас элементов и достаточен для образования поля: операции определяются очевидным образом ( отметим только, что e+e=0). Построенное поле из двух элементов обозначается GF(2) (по причинам, которые будут ясны в дальнейшем). Напомним также, что если p - простое число, то все вычеты по модулю p, кроме 0, обратимы относительно операции умножения. Значит, рассматривая группу  с дополнительной операцией умножения, мы получаем поле из p элементов, которое обозначается GF(p).

Множество Z целых чисел с операциями сложения и умножения дает важный пример ассоциативного коммутативного кольца с единицей. Аддитивная группа этого кольца - хорошо известная нам бесконечная циклическая группа. Мультипликативная группа  содержит всего 2 элемента 1 и -1 и потому изоморфна . Элементы, не входящие в  необратимы, хотя и не являются делителями нуля.

Пусть R - любое ассоциативное коммутативное кольцо. Множество- квадратных матриц порядка n с элементами из кольца R образует кольцо относительно операций сложения и умножения матриц. Отметим, что кольцо матриц ассоциативно, но, вообще говоря, не коммутативно. Если R содержит единицу , то матрица  Е =  diag(,,...,) ,будет единицей кольца матриц. Заметим, что для любой матрицы   имеет смысл понятие определителя det(A)  R, причем det(AB)=det(A)det(B). Если det(A) обратимый элемент кольца R, то матрица A обратима в кольце матриц: , где - присоединенная к А матрица (то есть транспонированная матрица из алгебраических дополнений). Таким образом, = - группа матриц порядка n с обратимым определителем.  В случае поля R это означает, что det(A) 0, то есть матрица невырождена. С другой стороны, в этом случае любая вырожденная матрица  будет делителем нуля. В самом деле, из det(A) = 0 следует, что столбцы А линейно зависимы: , причем не все коэффициенты нулевые. Построим ненулевую матрицу В, взяв  в качестве ее первого столбца и считая прочие элементы В нулевыми. Тогда  А*В = 0 и значит А - делитель нуля.

Пусть снова R любое ассоциативное коммутативное кольцо и x - некоторый символ. Формальная сумма вида p= , где  называется многочленом над кольцом R.  Если  , то число n называется степенью этого многочлена и обозначается deg(p). Нулевой многочлен не имеет степени. Многочлены над R можно складывать и перемножать по обычным правилам и они образуют кольцо R[x]. Если кольцо R имеет единицу е, то многочлен нулевой степени p=e будет единицей кольца R[x]. Если R не имеет делителей нуля, то deg(pq)=deg(p)+ deg(q) и потому R[x] также не имеет делителей нуля. В то же время обратимыми элементами кольца многочленов будут в точности обратимые элементы R, рассматриваемые как многочлены нулевой степени. Отметим, что эта конструкция позволяет рассматривать и многочлены от нескольких переменных: по определению, R[x,y] =R[x][y] (=R[y][x]).

Определение.

Подмножество  называется подкольцом, если оно является кольцом относительно тех же операций, которые определены в R.

Это означает, что К является подгруппой аддитивной группы R и замкнуто относительно умножения: . Отметим, что если R обладает свойством ассоциативности , коммутативности или отсутствием делителей нуля, то  и К обладает теми же свойствами. В то же время, подкольцо кольца с единицей может не иметь единицы. Например, подкольцо четных чисел 2Z Z не имеет единицы. Более того, может случиться, что и R и K имеют единицы, но они не равны друг другу. Так будет, например, для подкольца , состоящего из матриц с нулевой последней строкой и последним столбцом; =diag(1,1,...,1,0)  =diag(1,1,...,1).

Определение.

Гомоморфизмом колец  называется отображение, сохраняющее обе кольцевые операции:  и . Изоморфизм - это взаимно однозначный гомоморфизм.

Ядро гомоморфизма  - это ядро группового гомоморфизма  аддитивных групп , то есть множество всех элементов из R, которые отображаются в .

Пусть снова - некоторое подкольцо. Поскольку (К,+) - подгруппа коммутативной группы (R,+), можно образовать факторгруппу R/K, элементами которой являются смежные классы  r+K. Поскольку К*К К,  для произведения двух смежных классов имеет место включение: (r+K)*(s+K) r*s+r*K+K*s+K.

Определение.

Подкольцо К называется идеалом кольца R, если : x*K K и    K*yK.

Мы видим, что если К является идеалом в R, произведение смежных классов     (r+K)*(s+K) содержится в смежном классе r*s+K. Значит в факторгруппе R/K определена операция умножения, превращающая ее в кольцо, называемое факторкольцом кольца R по идеалу К.

Примеры.

Подкольцо nZ является идеалом  кольца Z, поскольку для любого целого m m(nZ) nZ. Факторкольцо Z/nZ - это множество вычетов по модулю n с операциями сложения и умножения. Отметим, что если число n не является простым, то Z/nZ имеет делители нуля.

Пусть IR[x] - множество всех многочленов , у которых =0. Удобно записать: I = xR[x]. Поскольку p*I =(p*x)R[x] I, мы имеем идеал кольца многочленов. Каждый смежный класс q+I содержит элемент . Значит, (q+I)*(s+I) = (+I)*(+I) =*+I.

В развитие предыдущего примера рассмотрим некоторое ассоциативное коммутативное  кольцо S. Если  любой его элемент, то множество I=x*S является идеалом кольца S, называемым главным идеалом с образующим элементом x. Этот идеал обозначается (x).  Если S кольцо с единицей и элемент x обратим, то (x)=S.

Если кольцо S является полем, то всякий ненулевой идеал I в S совпадает со всем полем. В самом деле, если , x 0, то для всякого имеем: , откуда .

Пусть I идеал кольца R. Сопоставляя каждому элементу  смежный класс r+I, получаем сюръективный гомоморфизм  . Этот гомоморфизм называется естественным гомоморфизмом кольца на факторкольцо.

Замечание.

Свойства ассоциативности, коммутативности и наличия единицы очевидно сохраняются при переходе к факторкольцу. Напротив, отсутствие в R делителей нуля еще не гарантирует их отсутствие в факторкольце (см. пример 1).

Теорема об ядре.

Ядро гомоморфизма колец является идеалом.

Доказательство.

Пусть - гомоморфизм колец, I =Ker,  - любой элемент. Тогда, (x*I) =(x)* (I) =(x)*0 =0. Значит, x*I Ker =I. Аналогично проверяется, что I*xI.

Теорема о гомоморфизме для колец.

Пусть - сюръективный гомоморфизм колец. Тогда S изоморфно факторкольцу R/Ker. Если эти изоморфные кольца отождествить, то  отождествляется с естественным гомоморфизмом кольца R на свое факторкольцо.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству соответствующей теоремы для групп и мы его опускаем.

Пример.

Пусть K - кольцо многочленов R[x], : KC - гомоморфизм, сопоставляющий каждому многочлену p его значение в точке i : (p) =p(i). Ядро этого гомоморфизма составляют многочлены, представимые в виде:    (+1)*q(x), где q - любой многочлен. Можно записать: Ker =(+1). По теореме о гомоморфизме .

    


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

28177. Искусственная анизотропия, создаваемая в результате механического деформирования, воздействия электрического (эффекты Керра и Поккельса) и магнитного (эффект Коттона - Мутона) поля. Естественная и искусственная (эффект Фарадея) оптическая активность 51 KB
  Искусственная анизотропия создаваемая в результате механического деформирования воздействия электрического эффекты Керра и Поккельса и магнитного эффект Коттона Мутона поля. Естественная и искусственная эффект Фарадея оптическая активность Среды в которых скорость распространения света в различных направлениях неодинакова называют оптически анизотропными. был открыт эффект Керра возникновение двулучепреломления под действием электрического поля рисунок 2. Явление Керра квадратичный электрооптический эффект объясняется...
28178. Тепловое излучение тел и его законы. Ультрафиолетовая катастрофа. Формула Планка 102 KB
  Отличительной чертой теплового излучения является то что оно возникает за счет внутренней энергии тела. Тепловое излучение имеет сплошной спектр положение максимума в спектральной кривой излучения зависит от температуры. При полном термодинамическом равновесии все части системы имеют одинаковую температуру и энергия теплового излучения испускаемого каждым телом компенсируется энергией поглощаемого этим телом теплового излучения других тел. Спектр равновесного излучения не зависит от природы вещества.
28179. Фотоэффект. Основные законы внешнего фотоэффекта. Уравнение Эйнштейна. Внутренний фотоэффект. Фотоэлементы и их применение 87.5 KB
  Фотоэффект. Основные законы внешнего фотоэффекта. Внутренний фотоэффект. Явление вырывания электронов с поверхности вещества под действием электромагнитного излучения называется внешним фотоэффектом.
28180. Поглощение (абсорбция) света веществом. Закон Бугера. Элементарная квантовая теория излучения и поглощения света. Спонтанные и вынужденные переходы. Коэффициенты Эйнштейна. Условие усиления света 165 KB
  Элементарная квантовая теория излучения и поглощения света. Условие усиления света Под действием электромагнитного поля световой волны проходящей через вещество возникают колебания электронов среды с чем связано уменьшение энергии излучения затрачиваемой на возбуждение колебаний электронов. Частично эта энергия восполняется в результате излучения электронами вторичных волн частично она может преобразовываться в другие виды энергии. Действительно опытным путем установлено а затем и теоретически доказано Бугéром что интенсивность...
28181. Лазеры. Принципиальная схема лазера. Основные структурные элементы лазера и их назначение. Типы лазеров. Основные характеристики лазеров 181 KB
  Каждому радиационному переходу между энергетическими уровнями и в спектре соответствует спектральная линия характеризующаяся частотой и некоторой энергетической характеристикой излучения испущенного для спектров испускания поглощенного для спектров поглощения или рассеянного для спектров рассеяния атомной системой. При этом распространение излучения в среде обязательно сопровождается уменьшением его интенсивности выполняется закон Бугера где интенсивность излучения вошедшего в вещество d толщина слоя коэффициент...
28182. Оптика движущихся сред. Эффект Доплера. Поперечный и продольный эффект Доплера 194 KB
  Он гласит: все физические законы независимы инвариантны по отношению к выбору инерциальной системы отсчёта. Это означает что уравнения выражающие законы физики имеют одинаковую форму во всех инерциальных системах отсчёта. Поэтому на основе любых физических экспериментов нельзя выбрать из множества инерциальных систем отсчёта какуюто главную абсолютную систему отсчёта обладающую какимилибо качественными отличиями от других инерциальных систем отсчёта. Она одинакова во всех направлениях в пространстве и во всех инерциальных системах...
28183. Поляризация света. Способы получения поляризованного света. Закон Малюса. Поляризационные призмы 238.5 KB
  Явление поляризации света было открыто Эразмусом Бартолинусом, датским учёным, в 1669 году. В своих опытах Бартолинус использовал кристаллы исландского шпата, имеющие форму ромбоэдра. Если на такой кристалл падает узкий пучок света, то, преломляясь
28184. Распространение света в изотропных средах. Отражение и преломление света на границе между диэлектриками. Основные законы геометрической оптики. Формулы Френеля 146 KB
  При этом падающий отражённый и преломленный лучи лежат в одной плоскости с перпендикуляром восстановленным к границе раздела сред в точке падения О. Углы соответственно углы падения отражения преломления волн. Амплитуду падающей волны разложим на составляющие Ер параллельную плоскости падения и Еs перпендикулярную плоскости падения. Для составляющих вектора Е перпендикулярных плоскости падения рисунок 3 выполняются условия в которых индексы при Е и p при Н опущены: .
28185. Линза как оптическая система. Аберрации линз 126 KB
  На рисунке 1 введены обозначения: a1 расстояние от вершины первой преломляющей поверхности до осевой точки A предмета; a´1 расстояние от вершины первой преломляющей поверхности до изображения A´ получаемого после преломления на ней; a2 расстояние от вершины второй преломляющей поверхности до точки A´; a´2 расстояние от вершины второй преломляющей поверхности до изображения A´´ построенного линзой. Для любой центрированной оптической системы выполняется условие Лагранжа Гельмгольца: ...