67580

Кольцо многочленов над полем

Лекция

Математика и математический анализ

Кольцо многочленов над полем в отличие от случая многочленов над кольцом обладает рядом специфических свойств близких к свойствам кольца целых чисел Z. Делимость многочленов. Хорошо известный для многочленов над полем R способ деления углом использует только арифметические действия...

Русский

2014-09-12

139.5 KB

5 чел.

Лекция№9

Кольцо многочленов над полем.

          Кольцо многочленов над полем (в отличие от случая многочленов над кольцом) обладает рядом специфических свойств, близких к свойствам кольца целых чисел Z .

Делимость многочленов.

Хорошо известный для многочленов над полем R способ деления «углом» использует только  арифметические действия над коэффициентами и потому применим к многочленам над любым полем k. Он дает возможность для  двух ненулевых многочленов p,sk[x] построить такие многочлены q (неполное частное) и r (остаток), что p = q*s +r , причем либо r =0, либо deg(r )< deg(s ). Если r =0 , то говорят, что s делит p (или является делителем p ) и обозначают это так: s | p. Будем называть многочлен унитарным ( или приведенным), если его старший коэффициент равен 1.

Определение.

Общим наибольшим делителем  ненулевых многочленов p и s  называется такой унитарный многочлен ОНД( p, s), что

 ОНД( p, s) | p;  ОНД( p, s) | s.

q | p, q | s  q | ОНД( p, s).

По определению,  для ненулевого многочлена р со старшим коэффициентом а  ОНД (р, 0) = ОНД (0, р) = р/а; ОНД (0, 0)=0.

Аналогично определяется ОНД любого числа многочленов.

Единственность ОНД двух многочленов непосредственно вытекает из определения. Существование его следует из следующего утверждения.

Основная теорема теории делимости (для многочленов).

        Для любых двух ненулевых многочленов p и q над полем k можно найти такие многочлены u и v над тем же полем, что ОНД(p, q)= u*p+v*q.

       Доказательство этой теоремы очень похоже на приведенное в лекции     доказательство аналогичной теоремы над Z. Все же наметим основные его шаги.

Выберем такие многочлены u и v чтобы сумма w= u*p+v*q имела возможно меньшую степень( но была ненулевой!). Можно при этом считать w унитарным многочленом. Проверим, что w  | p. Выполняя деление с остатком, получаем: p= s*w+r. Подставляя это равенство в исходное, находим:   r = p - s*w =p - s*(u*p+v*q) = (1-s*u)*p+(-s*v)q = U*p + V*q . Если при этом r 0,    то       deg(r )<deg(w), что противоречит выбору  w.  Значит,  r =0. Аналогично проверяется, что w | q.  Обозначим: W = ОНД(p , q). По определению w | W. С другой стороны, W | p, W | q W | w. Остается заметить, что оба многочлена w и W унитарные и значит W = w.

Замечание.

Используя индукцию, можно доказать, что для любого числа многочленов  ОНД  для подходящих многочленов . Более того, эта формула сохраняется даже для бесконечного множества многочленов, поскольку их ОНД в действительности является ОНД некоторого их конечного подмножества.

 

Следствие.

Всякий идеал в кольце многочленов над полем является главным.

В самом деле, пусть p - ОНД всех многочленов, входящих в идеал I. Тогда  , где . По определению идеала отсюда вытекает, что , а значит, I =(p).

II. Разложение на множители.

      Пусть k некоторое поле, p, q, s - многочлены над k. Если p=q*s, причем оба многочлена q и s имеют степень меньшую, чем p, то многочлен p называется приводимым (над полем k ). В противном случае p неприводим. Неприводимый многочлен в кольце k[x] является аналогом простого числа в кольце Z . Ясно, что каждый ненулевой многочлен p= можно разложить в произведение: p= *, где все многочлены  неприводимы над k и имеют старший коэффициент равный 1. Можно доказать, что такое разложение единственно с точностью до порядка сомножителей. Разумеется среди этих множителей могут быть одинаковые; такие множители называются кратными. Объединяя кратные множители можно то же разложение записать в виде: p= .

Примеры.

. Заметим, что многочлены первой степени по определению неприводимы над любым полем. Множитель x является кратным, остальные - простые.

Многочлен  неприводим над полем Q рациональных чисел. В самом деле, если ()=(x-a)*q, то подставляя в это равенство x=a, получаем: , что невозможно ни для какого рационального числа a. Тот же многочлен над полем R вещественных чисел приводим: , причем второй множитель имеет отрицательный дискриминант и потому далее не разложим над R . Наконец, над полем C комплексных чисел имеем: , где = - кубический корень из 1. На этом примере мы видим, что понятие приводимости существенно зависит от того над каким полем рассматривается многочлен.

Свойства неприводимых многочленов.

1 .Если p- неприводимый многочлен и d =ОНД(p, q) 1, то p | q. 

В самом деле, p = d*s и если deg(s )>0, то это противоречит неприводимости p, а если deg(s )=0, то d | qp | q.

2. Если p |  и p неприводим, то либо p |  либо p | . Действительно, в противном случае НОД(p, ) = НОД(p, ) =1 и потому по основной теореме теории делимости  ; , откуда:  и значит, ,      то есть     НОД(p, )=1 и, следовательно, deg (p )=0.

III. Корни многочленов. Производная и кратные корни.

     Пусть p =  некоторый многочлен над k и . Элемент поля k,  равный , называется значением многочлена p в точке a и обозначается p(a).  Соответствие  является гомоморфизмом  Ядро этого гомоморфизма состоит из всех многочленов, для которых p(a) = 0, то есть a является их корнем. Поскольку ядро I - идеал, содержащий (x-a) и не совпадающий с k[x] (x -a +),  а каждый идеал в k[x] - главный, то  I =(x-a).  Мы приходим таким образом к теореме Безу : элемент  будет корнем многочлена p тогда и только тогда, когда (x - a) | p.  Отсюда непосредственно вытекает, что неприводимый многочлен степени больше 1 не имеет корней.

Если  | p , то a называется корнем кратности не ниже n. Введем понятие производной многочлена p. По определению это многочлен . Имеют место обычные правила вычисления производной: ; . Отсюда следует, что  и потому наличие у  многочлена корня a кратности не ниже n влечет наличие  у его производной того же корня кратности не ниже (n-1). В частности, если p(a) = 0, но , то корень a - простой (то есть не кратный). 

Если | p, но  не делит p, то число n называется кратностью корня a . Пусть - множество всех корней многочлена p с указанными кратностями . Поскольку     при        ab              НОД(,) =1, многочлен p делится на   и потому  deg(p) . Итак, многочлен степени n имеет не более n корней с учетом их кратности.   


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

21393. СИСТЕМА ГП 28.57 KB
  общие нормы не повторяются в отдельных институтах ГП Особенная часть ГП состоит из подразделений правовые нормы которых рассчитаны на регулирование только одного вида оо входящих в предмет ГП Наиболее крупными подразделениями особенной части являются подотрасли Содержащиеся в подотраслях нормы ГП предназначены для регулирования только одного вида оо состоящих предмет ГП: Право собственности и другие вещные права Право на результаты интеллектуальной деятельности человека которые предназначены для отношений связанные с результатом...
21394. ДЕЙСТВИЕ ГЗ 22.07 KB
  опубликован в течение 7 дней после его подписания президентом официальным опубликованием считается первая публикации закона либо в рос газете либо в собрании законодательства Рф либо парламентской РФ Вступает в силу по истечении 10 дней после дня официального опубликования если самим законом не установлен иной порядок вступления его в силу Вступление в силу подзаконных нпа Указ президента РФ О порядке опубликования и вступления в силу актов президента правительства рф и нормативных актов федеральных органов исполнительной власти от 17.1997...
21395. ГРАЖДАНСКОЕ ПРАВОТНОШЕНИЕ 24.99 KB
  на сознание и волю Гпр оо только потому и возможно что содержание оо составляет поведение участников этих оо Поэтому урегулировать оо входящие в предмет ГП модно только одним способом путем регулирования поведения субъектов ГП в рамках существующих м у ними оо В качестве таких регуляторов выступают субъективные права и обязанности которыми наделяются участники регулируемых оо Субъективное право это мера возможного поведения управомоченного лица ГПотн Объективное право это мера должного поведения В ГП поведение определяется в соответствии с...
21396. СУБЪЕКТЫ ГП 27.62 KB
  некоторые граждане в силу малолетнего возраста или по состоянию здоровья не могут это делать то признается недееспособным до 14 лет не обладают дееспособностью Право и дееспособности это юр качества и свойства которыми субъектов ГП наделяет государство и только оно может лишить или ограничить Отказ субъекта от право ил дееспособности недействителен Статья 22: сделки направленные на ограничение право и дееспособности не действительны в СССР не хватало рабочей силы тогда выдавали квартиру но обычно ее меняли сразу на ленинградскую тогда брали...
21397. ИНДИВИДУАЛИЗАЦИЯ ГРАЖДАН 18.03 KB
  он не может от этого отказаться; для граждан не достигших 14 летнего возраста местом жительства признается место жительства их родителей усыновителей или опекунов; безвестное отсутствие и его последствия: отсутствие на месте жительства гражданина порождает неопределенность в ГО; в устранении неопределенности заинтересованы многие также как и сам гражданин; статья 42: суд может признать гражданина безвестно отсутствующим если в течение одного года в месте его постоянного места жительства нет сведений о месте его пребывания т. Невозможность...
21398. ЮРИДИЧЕСКИЕ ЛИЦА 28.28 KB
  Поэтому необходимо некое срво которое способно обеспечить реальность юрлица. юрлица в отличие от граждан не существуют реально. Эта теория впервые противопоставила юрлица и физлица как субъектов ГП. Недостатком является то что теория фикции объясняет почему создаются юрлица но не объясняет что такое юрлицо.
21399. ИНДИВИДУАЛИЗАЦИЯ ЮЛ 19.46 KB
  на практике он просто запутывает ГО когда регистрировали кооперативы то надо было его место нахождения тогда и появился юридический адрес они абонировали почтовый ящик Третий способ: не пользуются граждане Товарный знак знак обслуживания: в соответствии со статьёй 1477 товарный знак это обозначение служащее для индивидуализации товаров ЮЛ а знак обслуживания это обозначение служащее для индивидуализации выполнения работ и оказываемых услуг ЮЛ т. сочетание слов Раковая шейка Изобразительные шестеренка с буквами КЗ Объемный знак...
21400. СПОСОБЫ ОБРАЗОВАНИЯ ЮЛ 20 KB
  если все требования закона соблюдены отказать нельзя Если он случится можно обжаловать в суде УЧРЕДИТЕЛЬНЫЕ ДОКУМЕНТЫ ЮЛ Статья 52 виды: Устав: наиболее распространенный только на основе его действуют кооперативы и АО Учредительный договор: полное товарищество Учредительный договор и устав: ООО но теперь изменение что только на основе устава Общее положение о данном виде ЮЛ: закон о среднем специальном образовании эти учреждения действуют только на основании его Единственным документом д. на одной стороне активы а на другой пассивы; если...
21401. ОРГАНИЗАЦИОННО ПРАВОВЫЕ ФОРМЫ КО 17.16 KB
  Три формы: ООО Общество с дополнительной ответственностью АО Объединение в первую очередь имущества а вовторую лиц Не требует личного участия участника в деятельности общества Личность не имеет особого значения Участниками м. любые субъекты ГП кроме гос органов Участники общества не несут ответственности по долгам общества За рубежом общества тоже получили широкое распространение Система хоз тов и обв построена таким образом что чем...