67580

Кольцо многочленов над полем

Лекция

Математика и математический анализ

Кольцо многочленов над полем в отличие от случая многочленов над кольцом обладает рядом специфических свойств близких к свойствам кольца целых чисел Z. Делимость многочленов. Хорошо известный для многочленов над полем R способ деления углом использует только арифметические действия...

Русский

2014-09-12

139.5 KB

5 чел.

Лекция№9

Кольцо многочленов над полем.

          Кольцо многочленов над полем (в отличие от случая многочленов над кольцом) обладает рядом специфических свойств, близких к свойствам кольца целых чисел Z .

Делимость многочленов.

Хорошо известный для многочленов над полем R способ деления «углом» использует только  арифметические действия над коэффициентами и потому применим к многочленам над любым полем k. Он дает возможность для  двух ненулевых многочленов p,sk[x] построить такие многочлены q (неполное частное) и r (остаток), что p = q*s +r , причем либо r =0, либо deg(r )< deg(s ). Если r =0 , то говорят, что s делит p (или является делителем p ) и обозначают это так: s | p. Будем называть многочлен унитарным ( или приведенным), если его старший коэффициент равен 1.

Определение.

Общим наибольшим делителем  ненулевых многочленов p и s  называется такой унитарный многочлен ОНД( p, s), что

 ОНД( p, s) | p;  ОНД( p, s) | s.

q | p, q | s  q | ОНД( p, s).

По определению,  для ненулевого многочлена р со старшим коэффициентом а  ОНД (р, 0) = ОНД (0, р) = р/а; ОНД (0, 0)=0.

Аналогично определяется ОНД любого числа многочленов.

Единственность ОНД двух многочленов непосредственно вытекает из определения. Существование его следует из следующего утверждения.

Основная теорема теории делимости (для многочленов).

        Для любых двух ненулевых многочленов p и q над полем k можно найти такие многочлены u и v над тем же полем, что ОНД(p, q)= u*p+v*q.

       Доказательство этой теоремы очень похоже на приведенное в лекции     доказательство аналогичной теоремы над Z. Все же наметим основные его шаги.

Выберем такие многочлены u и v чтобы сумма w= u*p+v*q имела возможно меньшую степень( но была ненулевой!). Можно при этом считать w унитарным многочленом. Проверим, что w  | p. Выполняя деление с остатком, получаем: p= s*w+r. Подставляя это равенство в исходное, находим:   r = p - s*w =p - s*(u*p+v*q) = (1-s*u)*p+(-s*v)q = U*p + V*q . Если при этом r 0,    то       deg(r )<deg(w), что противоречит выбору  w.  Значит,  r =0. Аналогично проверяется, что w | q.  Обозначим: W = ОНД(p , q). По определению w | W. С другой стороны, W | p, W | q W | w. Остается заметить, что оба многочлена w и W унитарные и значит W = w.

Замечание.

Используя индукцию, можно доказать, что для любого числа многочленов  ОНД  для подходящих многочленов . Более того, эта формула сохраняется даже для бесконечного множества многочленов, поскольку их ОНД в действительности является ОНД некоторого их конечного подмножества.

 

Следствие.

Всякий идеал в кольце многочленов над полем является главным.

В самом деле, пусть p - ОНД всех многочленов, входящих в идеал I. Тогда  , где . По определению идеала отсюда вытекает, что , а значит, I =(p).

II. Разложение на множители.

      Пусть k некоторое поле, p, q, s - многочлены над k. Если p=q*s, причем оба многочлена q и s имеют степень меньшую, чем p, то многочлен p называется приводимым (над полем k ). В противном случае p неприводим. Неприводимый многочлен в кольце k[x] является аналогом простого числа в кольце Z . Ясно, что каждый ненулевой многочлен p= можно разложить в произведение: p= *, где все многочлены  неприводимы над k и имеют старший коэффициент равный 1. Можно доказать, что такое разложение единственно с точностью до порядка сомножителей. Разумеется среди этих множителей могут быть одинаковые; такие множители называются кратными. Объединяя кратные множители можно то же разложение записать в виде: p= .

Примеры.

. Заметим, что многочлены первой степени по определению неприводимы над любым полем. Множитель x является кратным, остальные - простые.

Многочлен  неприводим над полем Q рациональных чисел. В самом деле, если ()=(x-a)*q, то подставляя в это равенство x=a, получаем: , что невозможно ни для какого рационального числа a. Тот же многочлен над полем R вещественных чисел приводим: , причем второй множитель имеет отрицательный дискриминант и потому далее не разложим над R . Наконец, над полем C комплексных чисел имеем: , где = - кубический корень из 1. На этом примере мы видим, что понятие приводимости существенно зависит от того над каким полем рассматривается многочлен.

Свойства неприводимых многочленов.

1 .Если p- неприводимый многочлен и d =ОНД(p, q) 1, то p | q. 

В самом деле, p = d*s и если deg(s )>0, то это противоречит неприводимости p, а если deg(s )=0, то d | qp | q.

2. Если p |  и p неприводим, то либо p |  либо p | . Действительно, в противном случае НОД(p, ) = НОД(p, ) =1 и потому по основной теореме теории делимости  ; , откуда:  и значит, ,      то есть     НОД(p, )=1 и, следовательно, deg (p )=0.

III. Корни многочленов. Производная и кратные корни.

     Пусть p =  некоторый многочлен над k и . Элемент поля k,  равный , называется значением многочлена p в точке a и обозначается p(a).  Соответствие  является гомоморфизмом  Ядро этого гомоморфизма состоит из всех многочленов, для которых p(a) = 0, то есть a является их корнем. Поскольку ядро I - идеал, содержащий (x-a) и не совпадающий с k[x] (x -a +),  а каждый идеал в k[x] - главный, то  I =(x-a).  Мы приходим таким образом к теореме Безу : элемент  будет корнем многочлена p тогда и только тогда, когда (x - a) | p.  Отсюда непосредственно вытекает, что неприводимый многочлен степени больше 1 не имеет корней.

Если  | p , то a называется корнем кратности не ниже n. Введем понятие производной многочлена p. По определению это многочлен . Имеют место обычные правила вычисления производной: ; . Отсюда следует, что  и потому наличие у  многочлена корня a кратности не ниже n влечет наличие  у его производной того же корня кратности не ниже (n-1). В частности, если p(a) = 0, но , то корень a - простой (то есть не кратный). 

Если | p, но  не делит p, то число n называется кратностью корня a . Пусть - множество всех корней многочлена p с указанными кратностями . Поскольку     при        ab              НОД(,) =1, многочлен p делится на   и потому  deg(p) . Итак, многочлен степени n имеет не более n корней с учетом их кратности.   


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

73565. Новітня українська історіографія. Розвиток історичної науки в Галичині і на еміграції в міжвоєнний період (1919-1939) 104.5 KB
  Умови розвитку історичної науки. Наукові установи по дослідженню історії України. Державницький напрям в українській історіографії та його засновники: В.Липинський, Ст.Томашівський, Д.І.Дорошенко.
73566. Розвиток української історичної науки на еміграції (1945 – 2000-і роки) 117 KB
  Установи з дослідження української історії на еміграції. Дослідження історії України в працях Н. №12 Установи з дослідження української історії. Спробуємо охарактеризувати діяльність окремих наукових установ що займалися дослідженням історії України.
73567. Значение устойчивости сорта к вредным организмам 96 KB
  Можно выделить три этапа исторического развития сельского хозяйства когда естественная устойчивость популяций растений выработанная в процессе эволюции сменялась на агроэкосистемную : сначала физиологическую а затем и генетическую. Этапы исторического развития сельского хозяйства на которых изменялись отношения популяций и устойчивости в системе растениехозяин вредный организм выглядят следующим образом: I Сбор семян диких растений и высев их в ареалах сбора. На первоначальном этапе структура популяций растенийхозяев и...
73568. Теория вероятностей. Основные понятия 1.35 MB
  События называются равновозможными если нет оснований считать что одно из них появится в результате опыта с большей вероятностью. Вероятностью события А называется математическая оценка возможности появления этого события в результате опыта. Вероятность события А равна отношению числа благоприятствующих событию А исходов опыта к общему числу попарно несовместных исходов опыта образующих полную группу событий. Очевидно что вероятность достоверного события равна единице а вероятность невозможного равна нулю.
73569. Ринкова організація виробництва 75 KB
  Структура і функції ринку. Інфраструктура ринку та її основні елементи. Не вдаючись в гіперболізацію можна констатувати що новітня історія не знає жодного прикладу високорозвинутої гнучкої ефективно функціонуючої економіки без ринку. Першу спробу наукового визначення поняття ринку зробив французький економіст Антуан Курно.
73570. Основи саморегулювання ринкової економіки 148 KB
  Суть попиту та його детермінанти. Закон попиту і крива попиту. Ринкова пропозиція та її детермінанти. Закон пропозиції і крива пропозиції. Взаємодія попиту і пропозиції та ринкова рівновага. Ціна у ринковій економіці: суть, види та функції. Вплив держави на ціноутворення. Конкуренція та її роль у функціонуванні ринкової системи. Монополія як антипод конкуренції.
73571. Підприємництво і підприємство (фірма) 100 KB
  Зміст основні принципи та ознаки підприємництва.Організаційноправові форми підприємництва в ринковій економіці.Підприємство в системі підприємництва. Зміст основні принципи та ознаки підприємництва.