67580

Кольцо многочленов над полем

Лекция

Математика и математический анализ

Кольцо многочленов над полем в отличие от случая многочленов над кольцом обладает рядом специфических свойств близких к свойствам кольца целых чисел Z. Делимость многочленов. Хорошо известный для многочленов над полем R способ деления углом использует только арифметические действия...

Русский

2014-09-12

139.5 KB

5 чел.

Лекция№9

Кольцо многочленов над полем.

          Кольцо многочленов над полем (в отличие от случая многочленов над кольцом) обладает рядом специфических свойств, близких к свойствам кольца целых чисел Z .

Делимость многочленов.

Хорошо известный для многочленов над полем R способ деления «углом» использует только  арифметические действия над коэффициентами и потому применим к многочленам над любым полем k. Он дает возможность для  двух ненулевых многочленов p,sk[x] построить такие многочлены q (неполное частное) и r (остаток), что p = q*s +r , причем либо r =0, либо deg(r )< deg(s ). Если r =0 , то говорят, что s делит p (или является делителем p ) и обозначают это так: s | p. Будем называть многочлен унитарным ( или приведенным), если его старший коэффициент равен 1.

Определение.

Общим наибольшим делителем  ненулевых многочленов p и s  называется такой унитарный многочлен ОНД( p, s), что

 ОНД( p, s) | p;  ОНД( p, s) | s.

q | p, q | s  q | ОНД( p, s).

По определению,  для ненулевого многочлена р со старшим коэффициентом а  ОНД (р, 0) = ОНД (0, р) = р/а; ОНД (0, 0)=0.

Аналогично определяется ОНД любого числа многочленов.

Единственность ОНД двух многочленов непосредственно вытекает из определения. Существование его следует из следующего утверждения.

Основная теорема теории делимости (для многочленов).

        Для любых двух ненулевых многочленов p и q над полем k можно найти такие многочлены u и v над тем же полем, что ОНД(p, q)= u*p+v*q.

       Доказательство этой теоремы очень похоже на приведенное в лекции     доказательство аналогичной теоремы над Z. Все же наметим основные его шаги.

Выберем такие многочлены u и v чтобы сумма w= u*p+v*q имела возможно меньшую степень( но была ненулевой!). Можно при этом считать w унитарным многочленом. Проверим, что w  | p. Выполняя деление с остатком, получаем: p= s*w+r. Подставляя это равенство в исходное, находим:   r = p - s*w =p - s*(u*p+v*q) = (1-s*u)*p+(-s*v)q = U*p + V*q . Если при этом r 0,    то       deg(r )<deg(w), что противоречит выбору  w.  Значит,  r =0. Аналогично проверяется, что w | q.  Обозначим: W = ОНД(p , q). По определению w | W. С другой стороны, W | p, W | q W | w. Остается заметить, что оба многочлена w и W унитарные и значит W = w.

Замечание.

Используя индукцию, можно доказать, что для любого числа многочленов  ОНД  для подходящих многочленов . Более того, эта формула сохраняется даже для бесконечного множества многочленов, поскольку их ОНД в действительности является ОНД некоторого их конечного подмножества.

 

Следствие.

Всякий идеал в кольце многочленов над полем является главным.

В самом деле, пусть p - ОНД всех многочленов, входящих в идеал I. Тогда  , где . По определению идеала отсюда вытекает, что , а значит, I =(p).

II. Разложение на множители.

      Пусть k некоторое поле, p, q, s - многочлены над k. Если p=q*s, причем оба многочлена q и s имеют степень меньшую, чем p, то многочлен p называется приводимым (над полем k ). В противном случае p неприводим. Неприводимый многочлен в кольце k[x] является аналогом простого числа в кольце Z . Ясно, что каждый ненулевой многочлен p= можно разложить в произведение: p= *, где все многочлены  неприводимы над k и имеют старший коэффициент равный 1. Можно доказать, что такое разложение единственно с точностью до порядка сомножителей. Разумеется среди этих множителей могут быть одинаковые; такие множители называются кратными. Объединяя кратные множители можно то же разложение записать в виде: p= .

Примеры.

. Заметим, что многочлены первой степени по определению неприводимы над любым полем. Множитель x является кратным, остальные - простые.

Многочлен  неприводим над полем Q рациональных чисел. В самом деле, если ()=(x-a)*q, то подставляя в это равенство x=a, получаем: , что невозможно ни для какого рационального числа a. Тот же многочлен над полем R вещественных чисел приводим: , причем второй множитель имеет отрицательный дискриминант и потому далее не разложим над R . Наконец, над полем C комплексных чисел имеем: , где = - кубический корень из 1. На этом примере мы видим, что понятие приводимости существенно зависит от того над каким полем рассматривается многочлен.

Свойства неприводимых многочленов.

1 .Если p- неприводимый многочлен и d =ОНД(p, q) 1, то p | q. 

В самом деле, p = d*s и если deg(s )>0, то это противоречит неприводимости p, а если deg(s )=0, то d | qp | q.

2. Если p |  и p неприводим, то либо p |  либо p | . Действительно, в противном случае НОД(p, ) = НОД(p, ) =1 и потому по основной теореме теории делимости  ; , откуда:  и значит, ,      то есть     НОД(p, )=1 и, следовательно, deg (p )=0.

III. Корни многочленов. Производная и кратные корни.

     Пусть p =  некоторый многочлен над k и . Элемент поля k,  равный , называется значением многочлена p в точке a и обозначается p(a).  Соответствие  является гомоморфизмом  Ядро этого гомоморфизма состоит из всех многочленов, для которых p(a) = 0, то есть a является их корнем. Поскольку ядро I - идеал, содержащий (x-a) и не совпадающий с k[x] (x -a +),  а каждый идеал в k[x] - главный, то  I =(x-a).  Мы приходим таким образом к теореме Безу : элемент  будет корнем многочлена p тогда и только тогда, когда (x - a) | p.  Отсюда непосредственно вытекает, что неприводимый многочлен степени больше 1 не имеет корней.

Если  | p , то a называется корнем кратности не ниже n. Введем понятие производной многочлена p. По определению это многочлен . Имеют место обычные правила вычисления производной: ; . Отсюда следует, что  и потому наличие у  многочлена корня a кратности не ниже n влечет наличие  у его производной того же корня кратности не ниже (n-1). В частности, если p(a) = 0, но , то корень a - простой (то есть не кратный). 

Если | p, но  не делит p, то число n называется кратностью корня a . Пусть - множество всех корней многочлена p с указанными кратностями . Поскольку     при        ab              НОД(,) =1, многочлен p делится на   и потому  deg(p) . Итак, многочлен степени n имеет не более n корней с учетом их кратности.   


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

55265. Чисельність населення України, особливості його динаміки. Природний рух населення. Демографічна ситуація в Україні, основні шляхи її розв’язання 25.61 KB
  Демографічні передумови є найважливішою складовою розміщення продуктивних сил. Населення країни фактор її комплексного економічного та соціального розвитку. Населення це трудові ресурси і споживач, яке впливає на формування міжрайонних функцій виробництва, потужність і структуру потоку продукції, що вивозиться за межі певної території, розвиток місцевого виробництва.
55266. Комп’ютерна презентація 107.5 KB
  Мета: 1) ввести поняття “презентація”, навчити учнів проектувати презентації, ознайомити з програмою Power Point та її можливостями. З’ясувати призначення комп’ютерної презентації. 2) розвивати алгоритмічне та логічне мислення, вміння порівнювати, виділяти головне, роботи узагальнення і висновки. Розвивати пізнавальну, комунікативну та інформаційну компетентності.
55268. Принципи економічного районування України. Районний господарський комплекс та його галузева структура (три групи галузей) 25.18 KB
  Спеціалізація як основна народногосподарська функція (спеціалізація району на певних виробництвах і послугах певною мірою відповідає його географічному розташуванню, природним, економічним і соціальним умовам та спирається на раціональний поділ праці з іншими районами);
55269. Пригоди в осінньому лісі 44 KB
  Любі гості мами й тата В дитсадку у нас розвага Починаємо увага Під музику заходять діти сідають. Погляньте діти у віконце: Де сховалось наше сонце Хмарини у небі пропливають Холодним дощиком лякають. Кукловська Діти виконують пісню Осінь сл. Діти давайте разом попросимо дощик щоб він перестав.
55270. Казкові пригоди 40 KB
  Математика: продовжувати вчити дітей орієнтуватись в просторі; розв’язувати цікаві математичні задачі; формувати навички орієнтування в часі; закріплювати знання цифр у межах 10 вміння їх відшукувати на картинках; назви геометричних фігур та їхні ознаки; назви днів тижня частини доби місяців.
55272. НОВОРІЧНІ ПРИГОДИ В ЛІСІ 40 KB
  Мета: продовжити знайомити дітей із традиціями відзначання свята Нового року;підтримувати інтерес до музично-рухової творчості та художнього слова;викликати у вихованців святковий,піднесений настрій.
55273. Здоровим будь, або пригоди одного хлопчика 48.5 KB
  Мета: Розширювати знання дітей про складові здоров’я, ознаки хвороби та здоров’я, взаємозв’язок між поведінкою та здоров’ям людини. Розвивати світогляд, артистичність. Виховувати прагнення до здорового способу життя, почуття дружби і товаришування.