67580

Кольцо многочленов над полем

Лекция

Математика и математический анализ

Кольцо многочленов над полем в отличие от случая многочленов над кольцом обладает рядом специфических свойств близких к свойствам кольца целых чисел Z. Делимость многочленов. Хорошо известный для многочленов над полем R способ деления углом использует только арифметические действия...

Русский

2014-09-12

139.5 KB

5 чел.

Лекция№9

Кольцо многочленов над полем.

          Кольцо многочленов над полем (в отличие от случая многочленов над кольцом) обладает рядом специфических свойств, близких к свойствам кольца целых чисел Z .

Делимость многочленов.

Хорошо известный для многочленов над полем R способ деления «углом» использует только  арифметические действия над коэффициентами и потому применим к многочленам над любым полем k. Он дает возможность для  двух ненулевых многочленов p,sk[x] построить такие многочлены q (неполное частное) и r (остаток), что p = q*s +r , причем либо r =0, либо deg(r )< deg(s ). Если r =0 , то говорят, что s делит p (или является делителем p ) и обозначают это так: s | p. Будем называть многочлен унитарным ( или приведенным), если его старший коэффициент равен 1.

Определение.

Общим наибольшим делителем  ненулевых многочленов p и s  называется такой унитарный многочлен ОНД( p, s), что

 ОНД( p, s) | p;  ОНД( p, s) | s.

q | p, q | s  q | ОНД( p, s).

По определению,  для ненулевого многочлена р со старшим коэффициентом а  ОНД (р, 0) = ОНД (0, р) = р/а; ОНД (0, 0)=0.

Аналогично определяется ОНД любого числа многочленов.

Единственность ОНД двух многочленов непосредственно вытекает из определения. Существование его следует из следующего утверждения.

Основная теорема теории делимости (для многочленов).

        Для любых двух ненулевых многочленов p и q над полем k можно найти такие многочлены u и v над тем же полем, что ОНД(p, q)= u*p+v*q.

       Доказательство этой теоремы очень похоже на приведенное в лекции     доказательство аналогичной теоремы над Z. Все же наметим основные его шаги.

Выберем такие многочлены u и v чтобы сумма w= u*p+v*q имела возможно меньшую степень( но была ненулевой!). Можно при этом считать w унитарным многочленом. Проверим, что w  | p. Выполняя деление с остатком, получаем: p= s*w+r. Подставляя это равенство в исходное, находим:   r = p - s*w =p - s*(u*p+v*q) = (1-s*u)*p+(-s*v)q = U*p + V*q . Если при этом r 0,    то       deg(r )<deg(w), что противоречит выбору  w.  Значит,  r =0. Аналогично проверяется, что w | q.  Обозначим: W = ОНД(p , q). По определению w | W. С другой стороны, W | p, W | q W | w. Остается заметить, что оба многочлена w и W унитарные и значит W = w.

Замечание.

Используя индукцию, можно доказать, что для любого числа многочленов  ОНД  для подходящих многочленов . Более того, эта формула сохраняется даже для бесконечного множества многочленов, поскольку их ОНД в действительности является ОНД некоторого их конечного подмножества.

 

Следствие.

Всякий идеал в кольце многочленов над полем является главным.

В самом деле, пусть p - ОНД всех многочленов, входящих в идеал I. Тогда  , где . По определению идеала отсюда вытекает, что , а значит, I =(p).

II. Разложение на множители.

      Пусть k некоторое поле, p, q, s - многочлены над k. Если p=q*s, причем оба многочлена q и s имеют степень меньшую, чем p, то многочлен p называется приводимым (над полем k ). В противном случае p неприводим. Неприводимый многочлен в кольце k[x] является аналогом простого числа в кольце Z . Ясно, что каждый ненулевой многочлен p= можно разложить в произведение: p= *, где все многочлены  неприводимы над k и имеют старший коэффициент равный 1. Можно доказать, что такое разложение единственно с точностью до порядка сомножителей. Разумеется среди этих множителей могут быть одинаковые; такие множители называются кратными. Объединяя кратные множители можно то же разложение записать в виде: p= .

Примеры.

. Заметим, что многочлены первой степени по определению неприводимы над любым полем. Множитель x является кратным, остальные - простые.

Многочлен  неприводим над полем Q рациональных чисел. В самом деле, если ()=(x-a)*q, то подставляя в это равенство x=a, получаем: , что невозможно ни для какого рационального числа a. Тот же многочлен над полем R вещественных чисел приводим: , причем второй множитель имеет отрицательный дискриминант и потому далее не разложим над R . Наконец, над полем C комплексных чисел имеем: , где = - кубический корень из 1. На этом примере мы видим, что понятие приводимости существенно зависит от того над каким полем рассматривается многочлен.

Свойства неприводимых многочленов.

1 .Если p- неприводимый многочлен и d =ОНД(p, q) 1, то p | q. 

В самом деле, p = d*s и если deg(s )>0, то это противоречит неприводимости p, а если deg(s )=0, то d | qp | q.

2. Если p |  и p неприводим, то либо p |  либо p | . Действительно, в противном случае НОД(p, ) = НОД(p, ) =1 и потому по основной теореме теории делимости  ; , откуда:  и значит, ,      то есть     НОД(p, )=1 и, следовательно, deg (p )=0.

III. Корни многочленов. Производная и кратные корни.

     Пусть p =  некоторый многочлен над k и . Элемент поля k,  равный , называется значением многочлена p в точке a и обозначается p(a).  Соответствие  является гомоморфизмом  Ядро этого гомоморфизма состоит из всех многочленов, для которых p(a) = 0, то есть a является их корнем. Поскольку ядро I - идеал, содержащий (x-a) и не совпадающий с k[x] (x -a +),  а каждый идеал в k[x] - главный, то  I =(x-a).  Мы приходим таким образом к теореме Безу : элемент  будет корнем многочлена p тогда и только тогда, когда (x - a) | p.  Отсюда непосредственно вытекает, что неприводимый многочлен степени больше 1 не имеет корней.

Если  | p , то a называется корнем кратности не ниже n. Введем понятие производной многочлена p. По определению это многочлен . Имеют место обычные правила вычисления производной: ; . Отсюда следует, что  и потому наличие у  многочлена корня a кратности не ниже n влечет наличие  у его производной того же корня кратности не ниже (n-1). В частности, если p(a) = 0, но , то корень a - простой (то есть не кратный). 

Если | p, но  не делит p, то число n называется кратностью корня a . Пусть - множество всех корней многочлена p с указанными кратностями . Поскольку     при        ab              НОД(,) =1, многочлен p делится на   и потому  deg(p) . Итак, многочлен степени n имеет не более n корней с учетом их кратности.   


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

33701. КРИМИНАЛИСТИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА МОШЕННИЧЕСТВА 12.34 KB
  При мошенничестве подлежат установлению следующие обстоятельства:1имело ли место мошенничество; 2 место время условия способ совершения мошенничества; кто был очевидцем преступления; 3 наличие преступного умысла; 4 предмет мошенничества какая сумма денег была незаконно получена мошенником; 5 объект посягательства государственная или общественная организация коммерческая структура частное лицо; 6 данные о личности преступника место работы трудовая характеристика...
33702. КРИМИНАЛИСТИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА УБИЙСТВ 12.38 KB
  В зависимости от объема и характера первичной информации имеющейся в распоряжении следователя на момент возбуждения уголовного дела все убийства могут быть разделены на две группы: 1так называемые очевидные убийства факт совершения которых не вызывает сомнения и к началу расследования которых известно лицо совершившее это преступление; 2убийства совершенные в условиях неочевидности. Обстоятельства подлежащие доказыванию по делам об убийствах: 1 факт убийства; 2 место время и способ...
33703. Особенности расследования убийств при обнаружении частей расчлененного трупа 12.37 KB
  Особенности расследования убийств при обнаружении частей расчлененного трупа. При обнаружении частей расчлененного трупа перед следователем стоит задача найти все части тела убитого установить его личность и выявить убийцу. Иногда части расчлененного трупа отправляются багажом по железной дороге в различные пункты. При обнаружении нескольких или всех частей расчлененного трупа путем судебномедицинской экспертизы требуется установить: 1 являются ли обнаруженные части трупа частями тела человека; 2 принадлежат ли они одному трупу; 3 пол...
33704. Особенности расследования убийств, замаскированных под самоубийство 12.06 KB
  Особенности расследования убийств замаскированных под самоубийство Неотложными следственными действиями в делах связанных с инсценировкой самоубийства являются осмотр места происшествия и трупа допрос заявителя и лиц близко знавших погибшего освидетельствование подозреваемого обыск и выемка а также проведение судебномедицинской экспертизы в тех случаях когда судебномедицинское исследование трупа не проводилось до возбуждения уголовного дела. Допрос заявителя и лиц хорошо знавших погибшего производится по широкому кругу вопросов...
33705. Особенности расследования убийств при возбуждении дел по факту обнаружения трупа неизвестного с признаками насильственной смерти 12.26 KB
  Особенности расследования убийств при возбуждении дел по факту обнаружения трупа неизвестного с признаками насильственной смерти. При обнаружении трупа неизвестного лица с признаками насильственной смерти будут приняты меры к установлению личности погибшего. При обнаружении трупа неизвестного лица он прежде всего будет предъявлен для опознания тем кто оказался на месте происшествия в момент его осмотра. Если лицо убитого обезображено перед предъявлением для опознания будет произведён туалет трупа.
33706. Поведение с лицами находящимися в бессознательном состоянии 10.87 KB
  100 Устава патрульнопостовой службы милиции общественной безопасности. 18 комментируемого Закона оказание помощи в том числе первой доврачебной гражданам пострадавшим от преступлений административных правонарушений и несчастных случаев а также находящимся в беспомощном или ином состоянии опасном для их жизни опасность для здоровья в данном случае законодателем исключена является одной из служебных обязанностей сотрудника милиции которые ему предписано выполнять независимо от занимаемой должности места нахождения и времени....
33707. Особенности расследования причинения телесных повреждений на бытовой почве 13.34 KB
  Дела об умышленном причинении легкого вреда здоровью возбуждаются только по жалобе потерпевшего которому разъясняется что дело может быть прекращено за примирением сторон. Признаки дающие основание возбудить дело помимо заявления потерпевшего могут усматриваться из представленных им медицинских история болезни справка врача других уличающих виновного документов в том числе магнитофонных записей телефонных переговоров осуществлявшихся потерпевшим по своей инициативе. Расследование начинается как правило с допроса потерпевшего если...
33708. Особенности расследования изнасилования в ситуации, когда насильник незнаком с жертвой 17.16 KB
  по объекту преступления кто подвергся изнасилованию не находилось ли потерпевшая в беспомощном состоянии не обладает ли потерпевшая признаками наличие которых является отягчающим обстоятельством несовершеннолетие потерпевшей. При этом устанавливается является ли объектом преступления половая свобода потерпевшей или ее здоровье достоинство а также общественное отношениеличная собственность потерпевшей. По объективной стороне где и когда совершено изнасилование или покушение на него каким способом какое насилие было применено в...
33709. КРИМИНАЛИСТИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ПРИСВОЕНИЙ И РАСТРАТ 23.1 KB
  В качестве свидетелей по делам о присвоении допрашиваются: 1 заявители обратившиеся в правоохранительные органы с сообщением об известном им факте хищения; 2 исполнители и очевидцы производственных и техниковспомогательных операций связанных с механизмом присвоения; 3 бухгалтерские и банковские работники проводившие соответствующие финансовые операции; 4 участники подготовки заключения и технического обеспечения сделок прикрывавших противоправные действия расхитителей; 5 работники контролирующих инстанций аудиторских организаций...