67580

Кольцо многочленов над полем

Лекция

Математика и математический анализ

Кольцо многочленов над полем в отличие от случая многочленов над кольцом обладает рядом специфических свойств близких к свойствам кольца целых чисел Z. Делимость многочленов. Хорошо известный для многочленов над полем R способ деления углом использует только арифметические действия...

Русский

2014-09-12

139.5 KB

5 чел.

Лекция№9

Кольцо многочленов над полем.

          Кольцо многочленов над полем (в отличие от случая многочленов над кольцом) обладает рядом специфических свойств, близких к свойствам кольца целых чисел Z .

Делимость многочленов.

Хорошо известный для многочленов над полем R способ деления «углом» использует только  арифметические действия над коэффициентами и потому применим к многочленам над любым полем k. Он дает возможность для  двух ненулевых многочленов p,sk[x] построить такие многочлены q (неполное частное) и r (остаток), что p = q*s +r , причем либо r =0, либо deg(r )< deg(s ). Если r =0 , то говорят, что s делит p (или является делителем p ) и обозначают это так: s | p. Будем называть многочлен унитарным ( или приведенным), если его старший коэффициент равен 1.

Определение.

Общим наибольшим делителем  ненулевых многочленов p и s  называется такой унитарный многочлен ОНД( p, s), что

 ОНД( p, s) | p;  ОНД( p, s) | s.

q | p, q | s  q | ОНД( p, s).

По определению,  для ненулевого многочлена р со старшим коэффициентом а  ОНД (р, 0) = ОНД (0, р) = р/а; ОНД (0, 0)=0.

Аналогично определяется ОНД любого числа многочленов.

Единственность ОНД двух многочленов непосредственно вытекает из определения. Существование его следует из следующего утверждения.

Основная теорема теории делимости (для многочленов).

        Для любых двух ненулевых многочленов p и q над полем k можно найти такие многочлены u и v над тем же полем, что ОНД(p, q)= u*p+v*q.

       Доказательство этой теоремы очень похоже на приведенное в лекции     доказательство аналогичной теоремы над Z. Все же наметим основные его шаги.

Выберем такие многочлены u и v чтобы сумма w= u*p+v*q имела возможно меньшую степень( но была ненулевой!). Можно при этом считать w унитарным многочленом. Проверим, что w  | p. Выполняя деление с остатком, получаем: p= s*w+r. Подставляя это равенство в исходное, находим:   r = p - s*w =p - s*(u*p+v*q) = (1-s*u)*p+(-s*v)q = U*p + V*q . Если при этом r 0,    то       deg(r )<deg(w), что противоречит выбору  w.  Значит,  r =0. Аналогично проверяется, что w | q.  Обозначим: W = ОНД(p , q). По определению w | W. С другой стороны, W | p, W | q W | w. Остается заметить, что оба многочлена w и W унитарные и значит W = w.

Замечание.

Используя индукцию, можно доказать, что для любого числа многочленов  ОНД  для подходящих многочленов . Более того, эта формула сохраняется даже для бесконечного множества многочленов, поскольку их ОНД в действительности является ОНД некоторого их конечного подмножества.

 

Следствие.

Всякий идеал в кольце многочленов над полем является главным.

В самом деле, пусть p - ОНД всех многочленов, входящих в идеал I. Тогда  , где . По определению идеала отсюда вытекает, что , а значит, I =(p).

II. Разложение на множители.

      Пусть k некоторое поле, p, q, s - многочлены над k. Если p=q*s, причем оба многочлена q и s имеют степень меньшую, чем p, то многочлен p называется приводимым (над полем k ). В противном случае p неприводим. Неприводимый многочлен в кольце k[x] является аналогом простого числа в кольце Z . Ясно, что каждый ненулевой многочлен p= можно разложить в произведение: p= *, где все многочлены  неприводимы над k и имеют старший коэффициент равный 1. Можно доказать, что такое разложение единственно с точностью до порядка сомножителей. Разумеется среди этих множителей могут быть одинаковые; такие множители называются кратными. Объединяя кратные множители можно то же разложение записать в виде: p= .

Примеры.

. Заметим, что многочлены первой степени по определению неприводимы над любым полем. Множитель x является кратным, остальные - простые.

Многочлен  неприводим над полем Q рациональных чисел. В самом деле, если ()=(x-a)*q, то подставляя в это равенство x=a, получаем: , что невозможно ни для какого рационального числа a. Тот же многочлен над полем R вещественных чисел приводим: , причем второй множитель имеет отрицательный дискриминант и потому далее не разложим над R . Наконец, над полем C комплексных чисел имеем: , где = - кубический корень из 1. На этом примере мы видим, что понятие приводимости существенно зависит от того над каким полем рассматривается многочлен.

Свойства неприводимых многочленов.

1 .Если p- неприводимый многочлен и d =ОНД(p, q) 1, то p | q. 

В самом деле, p = d*s и если deg(s )>0, то это противоречит неприводимости p, а если deg(s )=0, то d | qp | q.

2. Если p |  и p неприводим, то либо p |  либо p | . Действительно, в противном случае НОД(p, ) = НОД(p, ) =1 и потому по основной теореме теории делимости  ; , откуда:  и значит, ,      то есть     НОД(p, )=1 и, следовательно, deg (p )=0.

III. Корни многочленов. Производная и кратные корни.

     Пусть p =  некоторый многочлен над k и . Элемент поля k,  равный , называется значением многочлена p в точке a и обозначается p(a).  Соответствие  является гомоморфизмом  Ядро этого гомоморфизма состоит из всех многочленов, для которых p(a) = 0, то есть a является их корнем. Поскольку ядро I - идеал, содержащий (x-a) и не совпадающий с k[x] (x -a +),  а каждый идеал в k[x] - главный, то  I =(x-a).  Мы приходим таким образом к теореме Безу : элемент  будет корнем многочлена p тогда и только тогда, когда (x - a) | p.  Отсюда непосредственно вытекает, что неприводимый многочлен степени больше 1 не имеет корней.

Если  | p , то a называется корнем кратности не ниже n. Введем понятие производной многочлена p. По определению это многочлен . Имеют место обычные правила вычисления производной: ; . Отсюда следует, что  и потому наличие у  многочлена корня a кратности не ниже n влечет наличие  у его производной того же корня кратности не ниже (n-1). В частности, если p(a) = 0, но , то корень a - простой (то есть не кратный). 

Если | p, но  не делит p, то число n называется кратностью корня a . Пусть - множество всех корней многочлена p с указанными кратностями . Поскольку     при        ab              НОД(,) =1, многочлен p делится на   и потому  deg(p) . Итак, многочлен степени n имеет не более n корней с учетом их кратности.   


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

83961. ОПИС, ПРИЗНАЧЕННЯ, БУДОВА І ПРИНЦИП ДІЇ ТРИСТУПЕНЕВОГО ЦИЛІНДРИЧНОГО РЕДУКТОРА 182.02 KB
  Редуктор класифікують за такими ознаками: за типом передачі: зубчасті за числом ступенів: триступеневий за типом зубчастих коліс: циліндричні косо зубі прямозубі шевронні за відносним розташуванням валів редуктора в просторі: горизонтальне лінійне за особливостями кінематичної...
83962. Грибы. Слизевики. Особенности строения и деления на таксоны 2.09 MB
  Среди них есть как свободноживущие в почве на разлагающихся растительных остатках и тому подобных субстратах так и паразиты водорослей водных грибов и высших водных и наземных растений. Черты строения гифохитриомикотовых и лабирунтуломикотовых грибов.
83963. Финансовая деятельность и финансовый механизм предприятия. Управление капиталом предприятия 42.38 KB
  Финансовая деятельность и финансовый механизм предприятия. Понятие финансовой деятельности и финансового механизма предприятия. Управление капиталом предприятия 3. Финансы это совокупность денежных отношений возникающих в процессе производства и реализации продукции работ услуг и включающих формирование и использование денежных доходов обеспечение кругооборота средств в воспроизводственном процессе организацию взаимоотношений с другими предприятиями бюджетом банками страховыми организациями и др.
83964. НАСЛЕДОВАНИЕ ИМУЩЕСТВА СУПРУГОВ 105.07 KB
  Как подчеркивается в современной юридической литературе, отсутствие законодательно установленного определения брака связано с тем, что брак является сложным комплексным социальным явлением, находящимся под воздействием не только правовых, но и этических, моральных норм...
83965. Создание печатной формы справочника «Сотрудники». Редактирование отчета «Продажи номенклатуры» 3.47 MB
  В форме элемента справочника «Номенклатура» создайте кнопку «Приход», по нажатии на которую выводился бы отчет о том, по каким документам и за какую стоимость покупалась данная номенклатура. Если номенклатура является услугой, то выведите сообщение о том, что данная информация выводится только для номенклатуры с видом Материал.
83966. Стратегия развития бизнеса ООО «Теплодом» 96 KB
  Одним из условий успешной экономической деятельности ООО Теплодом и максимально быстрого выхода компании на окупаемость является выстраивание безупречных взаимоотношений с клиентами. В компании работает служба качества каждому клиенту через месяц после установки звонит оператор компании чтобы выяснить наличие нареканий или замечаний к продукции данное действие направлено прежде всего на людей которые могут постесняться позвонить сами.
83967. Управление и пути повышения эффективности управленческого труда 29.66 KB
  Общие и специфические черты управления отраслями и отдельными видами деятельности. Общие и специфические черты управления отраслями и отдельными видами деятельности. Таким образом управленческая деятельность обладая свойствами государственного управления содержит в себе субъективный...
83968. БАСНЯ КАК ЛИТЕРАТУРНЫЙ ЖАНР 30.8 KB
  Цели урока: обобщить и закрепить знания учащихся о басне как о литературном жанре, учить выразительному чтению и исполнению басни, развивать и обогащать словарный запас учащихся, обучать элементам анализа текста художественного произведения.
83969. Площадь. Формула площади прямоугольника 27.72 KB
  Планируемые результаты: учащиеся научатся находить площадь прямоугольника и квадрата по формулам: S = b S = 2; рассуждать и делать выводы; слушать собеседника и вести диалог; работать в паре и группе; излагать и аргументировать свою точку зрения; оценивать себя и товарищей.