67581

Мультипликативная группа поля. Неприводимые многочлены

Лекция

Математика и математический анализ

Имеет место фундаментальная теорема Гаусса: Всякий многочлен положительной степени над полем C имеет корень. Из нее вытекает что над полем C неприводимы только многочлены первой степени. Пусть теперь многочлен положительной степени. Следовательно над полем R неприводимыми будут во первых все многочлены...

Русский

2014-09-12

271.5 KB

4 чел.

Лекция№10

Мультипликативная группа поля; Неприводимые многочлены.

 Свойство мультипликативной группы поля.

Конечная подгруппа мультипликативной группы любого поля циклична.

Доказательство.

Проведем доказательство от противного. Пусть  - конечная подгруппа. Предположим, что G не является циклической группой. Рассмотрим первое каноническое разложение: , где n>1 и n | m. Тогда G , а значит и содержит подгруппу H . Для каждого  (а всего в H  элементов ) имеем: . Поэтому уравнение  в поле k имеет не менее   корней, что невозможно, так как степень этого уравнения равна n <.

Следствие.

Мультипликативная группа конечного поля циклична.

Заметим, что этот результат нетривиален даже для простейших конечных полей GF(p). Образующие элементы группы  называются первообразными корнями по модулю p. В следующей таблице приведены наименьшие первообразные корни по некоторым модулям:

модуль

3

5

7

11

13

17

19

23

29

31

37

41

первообразный корень mod(p)

 

Неприводимые многочлены над некоторыми полями.

Поле комплексных чисел C.                                                                                        Имеет место фундаментальная теорема Гаусса: Всякий многочлен положительной степени над полем C имеет корень. Из нее вытекает, что над полем C неприводимы только многочлены первой степени.

Поле вещественных чисел R.                                                                                        Чтобы перейти от поля C  к полю R, заметим, что отображение , сопоставляющее каждому комплексному числу z сопряженное число  является изоморфизмом поля на себя (автоморфизмом ) и переводит поле R в себя. Отсюда вытекает, что для всякого  и всякого   имеет место формула: = (), где - многочлен с комплексно сопряженными коэффициентами. Пусть теперь  - многочлен положительной степени. По теореме Гаусса он имеет корень. Но, ) = 0. Если , то многочлены ( x - ) и ( x -  ) взаимно просты и из делимости многочлена p ( по теореме Безу) на  ( x - ) и на ( x -  ) следует его делимость на их произведение  . Следовательно, над полем R неприводимыми будут , во первых, все многочлены первой степени, а, во-вторых, те многочлены второй степени, которые не имеют корней в R ( то есть у которых дискриминант отрицателен). Все прочие многочлены - приводимы.

Поле рациональных чисел Q.

Если q ненулевой многочлен с рациональными коэффициентами, то, приводя их к общему знаменателю, можно записать:  q = () =  , где все коэффициенты  целые числа, ОНД() = 1 и ,>0 . Легко видеть, что многочлен  и число  определены однозначно. Будем  называть  примитивным многочленом, соответствующим многочлену q.

Лемма : .

Для всякого целочисленного многочлена w = и простого числа p обозначим через  многочлен над полем GF(p), коэффициенты которого получаются из соответствующих коэффициентов w приведением по модулю p : . Очевидно, что отображение  является  гомоморфизмом кольца Z[x] в кольцо GF(p)[x]. Многочлен w будет примитивным тогда и только тогда, когда  для любого p . Поскольку в кольце GF(p)[x] нет делителей нуля, отсюда и вытекает утверждение леммы.

Таким образом вопрос о приводимости многочлена  над полем рациональных чисел сводится к вопросу о разложении на множители меньшей степени многочлена с целыми коэффициентами. В этом направлении имеется следующее достаточное условие неприводимости:

 Критерий Эйзенштейна.

Если для многочлена q с целыми коэффициентами      q = удается найти такое простое число p, что                               

1.ОНД( p , ) = 1                                                                                                        2.                                                                                               3.  не делит                                                                                                         то этот многочлен неприводим.

Доказательство.

Предположим, что q приводимый многочлен : q = uv. Тогда . По условию теоремы =a, где a 0. Значит, , , где k<n и m<n. Поэтому все коэффициенты многочленов u и v, кроме старших, делятся на p, а тогда свободный член многочлена q, ( то есть ),  равный   делится на  , что противоречит условию.

Примеры.

Многочлен   неприводим над полем Q. Достаточно взять p = 3 и применить критерий Эйзенштейна.

Для всякого n>0 многочлен   неприводим над Q. Достаточно взять p=2 в предыдущей теореме. Отсюда вытекает, что над полем рациональных чисел существуют неприводимые многочлены любой степени. 

                                                                    

4. Случай конечного поля GF(q).

Особенностью этого случая является тот факт, что имеется только конечное число многочленов данной степени и,  в частности, неприводимых многочленов. Будем рассматривать унитарные многочлены степени n над GF(q). Такой многочлен имеет вид: , где , . Значит, количество таких многочленов Обозначим через  количество унитарных неприводимых многочленов степени n . Можно указать алгоритм, позволяющий последовательно перечислять все такие многочлены  в порядке возрастания их степеней. Для n=1 все многочлены (x - a )  неприводимы, поэтому . Если все неприводимые многочлены степени меньше n уже перечислены, составим всевозможные произведения некоторых степеней таких многочленов, так чтобы эти произведения имели степень n. Все те многочлены степени n, которые не вошли в это множество, и будут неприводимыми многочленами степени n. Разумеется, практическое применение этого алгоритма требует умения совершать арифметические действия в поле GF(q). Кроме того, количество вычислений быстро растет с ростом n (а также q ). В следующей таблице указаны некоторые неприводимые многочлены над полями GF(p) для простых p = 2,3,5.

P=2

p=3

p=5

1

3

10

Пример непр. многочлена  ст. 2

2

8

40

Пример непр. многочлена  ст. 3

3

18

150

Пример непр. многочлена  ст. 4

Можно также указать способ вычисления числа . Обозначим через ,  набор всех неприводимых унитарных многочленов степени n над полем GF(q), а через ,  набор всех вообще унитарных многочленов степени n над тем же полем. Рассмотрим следующее выражение:

(Здесь и далее автор использует сокращенные обозначения. Настоятельно советуем читателю для большей наглядности использовать развернутую запись.) F =. Здесь количество слагаемых в каждой скобке и

количество самих скобок выбрано таким образом, чтобы степень каждого многочлена, входящего в F была не выше n. Если раскрыть все скобки то получится сумма всевозможных выражений вида: , где m - степень выписанного многочлена и все . Соберем вместе в сумму  все слагаемые с данным значением m. Полученная сумма при mn представляет собой в точности сумму всех вообще унитарных многочленов степени m поскольку каждый такой многочлен однозначно представим в виде произведения неприводимых : . Таким образом, F = +..., где точки отвечают слагаемым, в которых многочлены имеют степень выше n. Положим теперь  для всех i и m. Тогда и все , так что получаем: F=  = .

Применяя формулы для суммы геометрической прогрессии, находим:

F = = 1/(1-tq). Логарифмируя, затем дифференцируя это равенство и умножая результат на t, получаем: = . Коэффициент при  в правой части равен . Соответствующий коэффициент в левой части равен сумме слагаемых вида m, причем встречаются только те слагаемые, для которых N кратно m. Итак, имеем:

. Отсюда непосредственно находим: , , ,  и так далее.

Следствие. Над конечным полем существуют неприводимые многочлены любой степени.

В самом деле, поскольку по определению , из доказанной формулы следует, что . Снова из той же формулы получаем: = .

Замечание.

Из приведенных рассуждений вытекает, что при  эквивалентно . Таким образом, примерно 1/N часть всех многочленов степени N над полем из q элементов неприводима.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

23431. Государственный строй ВКЛ в середине XIII – XIV в. Борьба за великое княжение 16.03 KB
  стал его старший сын от второй жены Ягайло. В начале своего правления Ягайло стремился продолжать политику своего отца. Однако старшие братья Ягайло от первой жены Ольгерда считали себя обиженными. Ягайло столкнулся с противодействием недовольных князей группировавшихся вокруг полоцкого князя Андрея.
23432. Сближение ВКЛ с Польшей. Кревская уния 1385 г.: причины, условия и последствия 13.26 KB
  Выбор остановился на Ягайло. Вопервых Ягайло также был заинтересован в союзниках которые помогли бы ему сохранить власть. Втретьих если бы Ягайло крестил Литву в католичество это подняло бы авторитет поляков так как им удалось бы сделать то что до сих пор не удавалось немцам. Согласно унии польские послы обещали Ягайло отдать в жены польскую королеву Ядвигу а с нею и польскую корону.
23433. Изменения в государственном строе ВКЛ в XV – первой половине XVI 16.37 KB
  Изменения в государственном строе ВКЛ в XV – первой половине XVI В начале XV века власть в ВКЛ стала практически принадлежать Витовту. При нем государственный строй ВКЛ представлял собой неограниченную монархию – власть одного правителя в государстве. Витовт продолжая добиваться независимости ВКЛ от Польши стремился разорвать свои зависимые отношения с польским королем Ягайло. Была подписана Городельская уния – союз между ВКЛ и Польшей.
23434. Жизнь и занятия первобытных людей на территории Беларуси 19.7 KB
  Жизнь и занятия первобытных людей на территории Беларуси Первые люди неандертальцы на территории Беларуси появились примерно 10035 тыс. Светиловичи Ветковского районов которые датируются 2623 тыс.КАМЕННЫЙ ВЕК 100 тыс. – 3 тыс.
23435. Восточнославянские племена на территории Беларуси: расселение, общественные и хозяйственные отношения в VI-IX веках 17.07 KB
  В раннем железном веке область расселения балтов на территории Беларуси составляла бассейны рек Немана Западной Двины Верхнего Поднепровья. происходит массовое расселение славян на территории Беларуси междуречье Припяти Днепра Западной Двины. Образуются союзы племен: кривичи место расселения – верховье Днепра Западной Двины и Волги дреговичи бассейны Припяти и Двины радимичи юговосточная часть современной Беларуси восток Гомельской и Могилевской области.Место расселения восточнославянских племен на территории Беларуси – это:...
23436. Полоцкое княжество в IX-XI вв. Княжеско-вечевой строй 17.26 KB
  Еще при жизни Всеслав распределил отдельные княжества Полоцкой земли между семью своими сыновьями которые начали междоусобную борьбу. в общественнополитической жизни Полоцкой земли происходят значительные изменения. на севере и западе Полоцкой земли появились немецкие рыцарикрестоносцы которые захватили полоцкие города Кукенойс и Герцике. Начинается период развития Полоцкой земли в союзе с Литвой в новом государстве – ВКЛ.
23437. ФИЗИОЛОГИЯ РАСТЕНИЙ 6.3 MB
  Малиновский ФИЗИОЛОГИЯ РАСТЕНИЙ Владивосток 2004 УДК 581.1 Физиология растений. В учебном пособии кратко изложены основные разделы физиологии растений: физиология растительной клетки водный обмен минеральное питание фотосинтез брожение и дыхание гетеротрофное питание транспорт и выделение веществ рост и развитие движения растений механизмы защиты растений от факторов внешней среды в том числе и от патогенов. Особенности водного обмена у растений разных экологических групп .
23438. Способы построения, архитектура и обмен данными в цифровых сетях связи 1.2 MB
  Цифровые сети могут строиться на основе уже существующих проводных линий связи (медные, оптические), прокладываться специально выделенные линии, или строиться каналы беспроводной передачи данных. Архитектура сетей подразумевает различные технологии, протоколы...
23439. ФЕНОТИПИЧЕСКИЕ РЕАКЦИИ И ЭВОЛЮЦИОННЫЙ ПРОЦЕСС 428 KB
  Его обсуждение с дарвинистских позиций началось как известно с гипотезы органического или совпадающего отбора Моргана Болдуина выдвинутой на рубеже нашего века; в 30 40х годах в нашей стране к нему вновь было привлечено большое внимание благодаря работам таких исследователей как В. Одно из них унаследованное генетической теорией еще от вейсмановского неодарвинизма полагает что модификации или ненаследственные изменения в качестве таковых не имеют эволюционного значения и могут только замедлять темпы отбора если попадают в его...