67581

Мультипликативная группа поля. Неприводимые многочлены

Лекция

Математика и математический анализ

Имеет место фундаментальная теорема Гаусса: Всякий многочлен положительной степени над полем C имеет корень. Из нее вытекает что над полем C неприводимы только многочлены первой степени. Пусть теперь многочлен положительной степени. Следовательно над полем R неприводимыми будут во первых все многочлены...

Русский

2014-09-12

271.5 KB

4 чел.

Лекция№10

Мультипликативная группа поля; Неприводимые многочлены.

 Свойство мультипликативной группы поля.

Конечная подгруппа мультипликативной группы любого поля циклична.

Доказательство.

Проведем доказательство от противного. Пусть  - конечная подгруппа. Предположим, что G не является циклической группой. Рассмотрим первое каноническое разложение: , где n>1 и n | m. Тогда G , а значит и содержит подгруппу H . Для каждого  (а всего в H  элементов ) имеем: . Поэтому уравнение  в поле k имеет не менее   корней, что невозможно, так как степень этого уравнения равна n <.

Следствие.

Мультипликативная группа конечного поля циклична.

Заметим, что этот результат нетривиален даже для простейших конечных полей GF(p). Образующие элементы группы  называются первообразными корнями по модулю p. В следующей таблице приведены наименьшие первообразные корни по некоторым модулям:

модуль

3

5

7

11

13

17

19

23

29

31

37

41

первообразный корень mod(p)

 

Неприводимые многочлены над некоторыми полями.

Поле комплексных чисел C.                                                                                        Имеет место фундаментальная теорема Гаусса: Всякий многочлен положительной степени над полем C имеет корень. Из нее вытекает, что над полем C неприводимы только многочлены первой степени.

Поле вещественных чисел R.                                                                                        Чтобы перейти от поля C  к полю R, заметим, что отображение , сопоставляющее каждому комплексному числу z сопряженное число  является изоморфизмом поля на себя (автоморфизмом ) и переводит поле R в себя. Отсюда вытекает, что для всякого  и всякого   имеет место формула: = (), где - многочлен с комплексно сопряженными коэффициентами. Пусть теперь  - многочлен положительной степени. По теореме Гаусса он имеет корень. Но, ) = 0. Если , то многочлены ( x - ) и ( x -  ) взаимно просты и из делимости многочлена p ( по теореме Безу) на  ( x - ) и на ( x -  ) следует его делимость на их произведение  . Следовательно, над полем R неприводимыми будут , во первых, все многочлены первой степени, а, во-вторых, те многочлены второй степени, которые не имеют корней в R ( то есть у которых дискриминант отрицателен). Все прочие многочлены - приводимы.

Поле рациональных чисел Q.

Если q ненулевой многочлен с рациональными коэффициентами, то, приводя их к общему знаменателю, можно записать:  q = () =  , где все коэффициенты  целые числа, ОНД() = 1 и ,>0 . Легко видеть, что многочлен  и число  определены однозначно. Будем  называть  примитивным многочленом, соответствующим многочлену q.

Лемма : .

Для всякого целочисленного многочлена w = и простого числа p обозначим через  многочлен над полем GF(p), коэффициенты которого получаются из соответствующих коэффициентов w приведением по модулю p : . Очевидно, что отображение  является  гомоморфизмом кольца Z[x] в кольцо GF(p)[x]. Многочлен w будет примитивным тогда и только тогда, когда  для любого p . Поскольку в кольце GF(p)[x] нет делителей нуля, отсюда и вытекает утверждение леммы.

Таким образом вопрос о приводимости многочлена  над полем рациональных чисел сводится к вопросу о разложении на множители меньшей степени многочлена с целыми коэффициентами. В этом направлении имеется следующее достаточное условие неприводимости:

 Критерий Эйзенштейна.

Если для многочлена q с целыми коэффициентами      q = удается найти такое простое число p, что                               

1.ОНД( p , ) = 1                                                                                                        2.                                                                                               3.  не делит                                                                                                         то этот многочлен неприводим.

Доказательство.

Предположим, что q приводимый многочлен : q = uv. Тогда . По условию теоремы =a, где a 0. Значит, , , где k<n и m<n. Поэтому все коэффициенты многочленов u и v, кроме старших, делятся на p, а тогда свободный член многочлена q, ( то есть ),  равный   делится на  , что противоречит условию.

Примеры.

Многочлен   неприводим над полем Q. Достаточно взять p = 3 и применить критерий Эйзенштейна.

Для всякого n>0 многочлен   неприводим над Q. Достаточно взять p=2 в предыдущей теореме. Отсюда вытекает, что над полем рациональных чисел существуют неприводимые многочлены любой степени. 

                                                                    

4. Случай конечного поля GF(q).

Особенностью этого случая является тот факт, что имеется только конечное число многочленов данной степени и,  в частности, неприводимых многочленов. Будем рассматривать унитарные многочлены степени n над GF(q). Такой многочлен имеет вид: , где , . Значит, количество таких многочленов Обозначим через  количество унитарных неприводимых многочленов степени n . Можно указать алгоритм, позволяющий последовательно перечислять все такие многочлены  в порядке возрастания их степеней. Для n=1 все многочлены (x - a )  неприводимы, поэтому . Если все неприводимые многочлены степени меньше n уже перечислены, составим всевозможные произведения некоторых степеней таких многочленов, так чтобы эти произведения имели степень n. Все те многочлены степени n, которые не вошли в это множество, и будут неприводимыми многочленами степени n. Разумеется, практическое применение этого алгоритма требует умения совершать арифметические действия в поле GF(q). Кроме того, количество вычислений быстро растет с ростом n (а также q ). В следующей таблице указаны некоторые неприводимые многочлены над полями GF(p) для простых p = 2,3,5.

P=2

p=3

p=5

1

3

10

Пример непр. многочлена  ст. 2

2

8

40

Пример непр. многочлена  ст. 3

3

18

150

Пример непр. многочлена  ст. 4

Можно также указать способ вычисления числа . Обозначим через ,  набор всех неприводимых унитарных многочленов степени n над полем GF(q), а через ,  набор всех вообще унитарных многочленов степени n над тем же полем. Рассмотрим следующее выражение:

(Здесь и далее автор использует сокращенные обозначения. Настоятельно советуем читателю для большей наглядности использовать развернутую запись.) F =. Здесь количество слагаемых в каждой скобке и

количество самих скобок выбрано таким образом, чтобы степень каждого многочлена, входящего в F была не выше n. Если раскрыть все скобки то получится сумма всевозможных выражений вида: , где m - степень выписанного многочлена и все . Соберем вместе в сумму  все слагаемые с данным значением m. Полученная сумма при mn представляет собой в точности сумму всех вообще унитарных многочленов степени m поскольку каждый такой многочлен однозначно представим в виде произведения неприводимых : . Таким образом, F = +..., где точки отвечают слагаемым, в которых многочлены имеют степень выше n. Положим теперь  для всех i и m. Тогда и все , так что получаем: F=  = .

Применяя формулы для суммы геометрической прогрессии, находим:

F = = 1/(1-tq). Логарифмируя, затем дифференцируя это равенство и умножая результат на t, получаем: = . Коэффициент при  в правой части равен . Соответствующий коэффициент в левой части равен сумме слагаемых вида m, причем встречаются только те слагаемые, для которых N кратно m. Итак, имеем:

. Отсюда непосредственно находим: , , ,  и так далее.

Следствие. Над конечным полем существуют неприводимые многочлены любой степени.

В самом деле, поскольку по определению , из доказанной формулы следует, что . Снова из той же формулы получаем: = .

Замечание.

Из приведенных рассуждений вытекает, что при  эквивалентно . Таким образом, примерно 1/N часть всех многочленов степени N над полем из q элементов неприводима.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

26562. ВСЭ И САНИТАРНАЯ ОЦЕНКА ТУШ И ОРГАНОВ ПРИ ТРИХИНЕЛЛЕЗЕ 3.52 KB
  ВСЭ И САНИТАРНАЯ ОЦЕНКА ТУШ И ОРГАНОВ ПРИ ТРИХИНЕЛЛЕЗЕ. У свиней трихинеллез протекает без выраженных признаков. ВСЭ: все туши свиней начиная с 3недельного возраста исследуются на трихинеллез.
26563. ВСЭ И САНИТАРНАЯ ОЦЕНКА ТУШ И ОРГАНОВ ПРИ ТУБЕРКУЛЕЗЕ 3.85 KB
  Шкуры после посолки без ограничений. Свиные при наличии пораже в нижнеч л у зачищают голову на проварку тушу без ограничений. При очагах на брыжейке кишк утилизируют туши и внут орг без ограничений.
26564. ВСЭ ТУШ И ОРГАНОВ ПРИ ЭМФИЗЕМАТОЗНОМ КАРБУНКУЛЕ 8.51 KB
  Печень пятнистоглинистого цвета имеет очаги красноватожелтого цвета величиной до грецкого ореха иногда в ней содержатся газы. Почки дряблые с некротическими очагами темнокоричневого цвета или глинистые граница между корковым и мозговым слоями сглажена. Мышцы дряблые темнокрасного цвета местами сероватые мышечные волокна деструктированы миолиз при надавливании на них выжимается кровянистый липкий сок содержащий пузырьки газа неприятного прогорклого запаха. Ткани в области карбункула темнокрасного дегтеобразного цвета; рыхлая...
26565. ВСЭ И САНИТАРНАЯ ОЦЕНКА ТУШ И ОРГАНОВ ПРИ ЯЩУРЕ 25.74 KB
  К ящуру также восприимчивы северный олень и верблюд а из диких животных лось олень антилопа кабан косуля сайга бизон зубр. Человек заражается ящуром при употреблении в пищу необезвреженного молока от больных животных а также при доении больных животных или их переработке на мясо. У молодых животных при ящуре находят катар верхних дыхательных путей острый катар желудочнокишечного тракта. У отдельных видов животных эти изменения проявляются следующим образом.
26566. ВСЭ ТУШЕК И ОРГАНОВ ПТИЦЫ ПРИ ПАСТЕРЕЛЛЕЗЕ, ПУЛЛОРОЗЕ, ТУБЕРКУЛЕЗЕ, ЛЕЙКОЗЕ И ОРНИТОЗЕ 10.76 KB
  Изменения у птиц выявляют чаще в печени кишечнике селезенке яичниках и костях реже в легких почках и на серозных покровах. За местную локальную форму туберкулеза у птиц принимают наличие очагов только в кишечнике или печени без поражения кишечника. Туберкулезный процесс с одновременным поражением кишечника и печени или нескольких органов считают г'енерализованным. Патологоанатомически лейкоз у кур чаще проявляется очаговыми или диффузными разрастаниями лимфоидных элементов в печени селезенке яичнике и других органах.
26567. ГИГИЕНА ПОЛУЧЕНИЯ И ПЕРВИЧНАЯ ОБРАБОТКА МОЛОКА НА ФЕРМАХ 6.04 KB
  ГИГИЕНА ПОЛУЧЕНИЯ И ПЕРВИЧНАЯ ОБРАБОТКА МОЛОКА НА ФЕРМАХ. Комплексы по производству молока на промышленной основе это сельскохозяйственные предприятия с круглогодовым производством продукции высокой механизацией производственных процессов автоматическим управлением системами механизмов и наличием в структуре стада 90 дойных коров. ПЕРВИЧНАЯ ОБРАБОТКА И ХРАНЕНИЕ МОЛОКА. Первичную обработку молока выполняют в молочной.
26568. ОБОРУДОВАНИЕ ЛАБОРАТОРИЙ ВСЭ НА КОЛХОЗНЫХ РЫНКАХ 15.81 KB
  Департамент ветеринарии разработал и утвердил нормы затрат времени при проведении ветеринарносанитарной экспертизы пищевых продуктов на рынках а также расчет нагрузки на ветеринарного специалиста. В ней должны быть: комната для регистрации доставленных пищевых продуктов смотровой зал для ветсанэкспертизы мяса и мясопродуктов рыбы и других гидробионтов; смотровой зал для ветсанэкспертизы молока и молочных продуктов; комната для контроля растительных продуктов и меда; кабинет заведующего лабораторией или старшего ветврача; комната для...
26569. ОБЩАЯ СХЕМА ЛИМФООБРАЩЕНИЯ, СТРОЕНИЕ И ТОПОГРАФИЯ ЛИМФАТИЧЕСКИХ УЗЛОВ 6.62 KB
  Л у: нижнечелюстной околоушной поверхностный шейный заглоточный средний боковой; передние средостенные средние средостенные задний средостенный средостенные дорсальные бронхиальный бифуркационный правый бронхиальный эпартериальный л у печени желудочные брыжеечные ободочной кишки аноректальные почечные передний грудной кости межреберные глубокие шейные реберношейный подмышечный подлопаточный 1 ребра коленной складки подколенный седалищный поверхностный паховый подвздошный округлый боковой средний крестцовый...
26570. ОПРЕДЕЛЕНИЕ БАКТЕРИАЛЬНОЙ ЗАГРЯЗНЕННОСТИ МОЛОКА 3 KB
  ОПРЕДЕЛЕНИЕ БАКТЕРИАЛЬНОЙ ЗАГРЯЗНЕННОСТИ МОЛОКА. Бактериальная обсемененность это количество микроорганизмов в 1 см3 молока. Повышенная бактериальная обсемененность результат несоблюдения правил гигиены при производстве молока и его хранении. Технические условия для высшего сорта молока ориентировочное количество бактерий составляет до 300 тыс.