67581

Мультипликативная группа поля. Неприводимые многочлены

Лекция

Математика и математический анализ

Имеет место фундаментальная теорема Гаусса: Всякий многочлен положительной степени над полем C имеет корень. Из нее вытекает что над полем C неприводимы только многочлены первой степени. Пусть теперь многочлен положительной степени. Следовательно над полем R неприводимыми будут во первых все многочлены...

Русский

2014-09-12

271.5 KB

4 чел.

Лекция№10

Мультипликативная группа поля; Неприводимые многочлены.

 Свойство мультипликативной группы поля.

Конечная подгруппа мультипликативной группы любого поля циклична.

Доказательство.

Проведем доказательство от противного. Пусть  - конечная подгруппа. Предположим, что G не является циклической группой. Рассмотрим первое каноническое разложение: , где n>1 и n | m. Тогда G , а значит и содержит подгруппу H . Для каждого  (а всего в H  элементов ) имеем: . Поэтому уравнение  в поле k имеет не менее   корней, что невозможно, так как степень этого уравнения равна n <.

Следствие.

Мультипликативная группа конечного поля циклична.

Заметим, что этот результат нетривиален даже для простейших конечных полей GF(p). Образующие элементы группы  называются первообразными корнями по модулю p. В следующей таблице приведены наименьшие первообразные корни по некоторым модулям:

модуль

3

5

7

11

13

17

19

23

29

31

37

41

первообразный корень mod(p)

 

Неприводимые многочлены над некоторыми полями.

Поле комплексных чисел C.                                                                                        Имеет место фундаментальная теорема Гаусса: Всякий многочлен положительной степени над полем C имеет корень. Из нее вытекает, что над полем C неприводимы только многочлены первой степени.

Поле вещественных чисел R.                                                                                        Чтобы перейти от поля C  к полю R, заметим, что отображение , сопоставляющее каждому комплексному числу z сопряженное число  является изоморфизмом поля на себя (автоморфизмом ) и переводит поле R в себя. Отсюда вытекает, что для всякого  и всякого   имеет место формула: = (), где - многочлен с комплексно сопряженными коэффициентами. Пусть теперь  - многочлен положительной степени. По теореме Гаусса он имеет корень. Но, ) = 0. Если , то многочлены ( x - ) и ( x -  ) взаимно просты и из делимости многочлена p ( по теореме Безу) на  ( x - ) и на ( x -  ) следует его делимость на их произведение  . Следовательно, над полем R неприводимыми будут , во первых, все многочлены первой степени, а, во-вторых, те многочлены второй степени, которые не имеют корней в R ( то есть у которых дискриминант отрицателен). Все прочие многочлены - приводимы.

Поле рациональных чисел Q.

Если q ненулевой многочлен с рациональными коэффициентами, то, приводя их к общему знаменателю, можно записать:  q = () =  , где все коэффициенты  целые числа, ОНД() = 1 и ,>0 . Легко видеть, что многочлен  и число  определены однозначно. Будем  называть  примитивным многочленом, соответствующим многочлену q.

Лемма : .

Для всякого целочисленного многочлена w = и простого числа p обозначим через  многочлен над полем GF(p), коэффициенты которого получаются из соответствующих коэффициентов w приведением по модулю p : . Очевидно, что отображение  является  гомоморфизмом кольца Z[x] в кольцо GF(p)[x]. Многочлен w будет примитивным тогда и только тогда, когда  для любого p . Поскольку в кольце GF(p)[x] нет делителей нуля, отсюда и вытекает утверждение леммы.

Таким образом вопрос о приводимости многочлена  над полем рациональных чисел сводится к вопросу о разложении на множители меньшей степени многочлена с целыми коэффициентами. В этом направлении имеется следующее достаточное условие неприводимости:

 Критерий Эйзенштейна.

Если для многочлена q с целыми коэффициентами      q = удается найти такое простое число p, что                               

1.ОНД( p , ) = 1                                                                                                        2.                                                                                               3.  не делит                                                                                                         то этот многочлен неприводим.

Доказательство.

Предположим, что q приводимый многочлен : q = uv. Тогда . По условию теоремы =a, где a 0. Значит, , , где k<n и m<n. Поэтому все коэффициенты многочленов u и v, кроме старших, делятся на p, а тогда свободный член многочлена q, ( то есть ),  равный   делится на  , что противоречит условию.

Примеры.

Многочлен   неприводим над полем Q. Достаточно взять p = 3 и применить критерий Эйзенштейна.

Для всякого n>0 многочлен   неприводим над Q. Достаточно взять p=2 в предыдущей теореме. Отсюда вытекает, что над полем рациональных чисел существуют неприводимые многочлены любой степени. 

                                                                    

4. Случай конечного поля GF(q).

Особенностью этого случая является тот факт, что имеется только конечное число многочленов данной степени и,  в частности, неприводимых многочленов. Будем рассматривать унитарные многочлены степени n над GF(q). Такой многочлен имеет вид: , где , . Значит, количество таких многочленов Обозначим через  количество унитарных неприводимых многочленов степени n . Можно указать алгоритм, позволяющий последовательно перечислять все такие многочлены  в порядке возрастания их степеней. Для n=1 все многочлены (x - a )  неприводимы, поэтому . Если все неприводимые многочлены степени меньше n уже перечислены, составим всевозможные произведения некоторых степеней таких многочленов, так чтобы эти произведения имели степень n. Все те многочлены степени n, которые не вошли в это множество, и будут неприводимыми многочленами степени n. Разумеется, практическое применение этого алгоритма требует умения совершать арифметические действия в поле GF(q). Кроме того, количество вычислений быстро растет с ростом n (а также q ). В следующей таблице указаны некоторые неприводимые многочлены над полями GF(p) для простых p = 2,3,5.

P=2

p=3

p=5

1

3

10

Пример непр. многочлена  ст. 2

2

8

40

Пример непр. многочлена  ст. 3

3

18

150

Пример непр. многочлена  ст. 4

Можно также указать способ вычисления числа . Обозначим через ,  набор всех неприводимых унитарных многочленов степени n над полем GF(q), а через ,  набор всех вообще унитарных многочленов степени n над тем же полем. Рассмотрим следующее выражение:

(Здесь и далее автор использует сокращенные обозначения. Настоятельно советуем читателю для большей наглядности использовать развернутую запись.) F =. Здесь количество слагаемых в каждой скобке и

количество самих скобок выбрано таким образом, чтобы степень каждого многочлена, входящего в F была не выше n. Если раскрыть все скобки то получится сумма всевозможных выражений вида: , где m - степень выписанного многочлена и все . Соберем вместе в сумму  все слагаемые с данным значением m. Полученная сумма при mn представляет собой в точности сумму всех вообще унитарных многочленов степени m поскольку каждый такой многочлен однозначно представим в виде произведения неприводимых : . Таким образом, F = +..., где точки отвечают слагаемым, в которых многочлены имеют степень выше n. Положим теперь  для всех i и m. Тогда и все , так что получаем: F=  = .

Применяя формулы для суммы геометрической прогрессии, находим:

F = = 1/(1-tq). Логарифмируя, затем дифференцируя это равенство и умножая результат на t, получаем: = . Коэффициент при  в правой части равен . Соответствующий коэффициент в левой части равен сумме слагаемых вида m, причем встречаются только те слагаемые, для которых N кратно m. Итак, имеем:

. Отсюда непосредственно находим: , , ,  и так далее.

Следствие. Над конечным полем существуют неприводимые многочлены любой степени.

В самом деле, поскольку по определению , из доказанной формулы следует, что . Снова из той же формулы получаем: = .

Замечание.

Из приведенных рассуждений вытекает, что при  эквивалентно . Таким образом, примерно 1/N часть всех многочленов степени N над полем из q элементов неприводима.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

52094. Населення і народи Африки 55.5 KB
  Мета уроку: формування первинних знань учнів про етнічний склад населення Африки особливості його формування динаміку і розміщення; сприяти розумінню демографічних проблем Африки та шляхи їх вирішення.Формувати первинні практичні вміння характеризувати загальні риси населення материка; вдосконалювати практичні вміння працювати з тематичними картами атласу. Зміст курсу Географія материків і океанів передбачає не тільки вивчення природи материків але й ознайомлення з характеристиками населення материків та його господарською діяльністю.
52095. Тропічні пустелі та напівпустелі. Твердолисті вічнозелені ліси та чагарники 68.5 KB
  Навчальна мета: повторити вивчений матеріал; зясувати рівень оволодіння учнями навчальним матеріалом з попередніх тем; сформувати знання про особливості розміщення природних зон Африки; поглибити систему знань учнів про взаємозв'язки природних компонентів у складі природних зон; сформувати в учнів уміння складати характеристику природних зон у певній послідовності за типовим планом; удосконалювати практичні вміння учнів працювати з картами атласами. Обладнання: фізична карта Африки кліматична карта Африки карта природних зон Африки...
52096. Африка 63.5 KB
  Посовещавшись команды должны выбрать капитана и название команды можно предложить выбрать из названий стран Африки. Название команды пишут маркером на чистых табличках. За каждый правильный ответы команды получают красные жетоны 2 ВОСХОЖДЕНИЕ на Джомолунгму На доске магнитной нарисована гора с маршрутамиступеньками по количеству команд. Команды выбирают одного игрока альпиниста который будет защищать честь команды при восхождении.
52097. Загальні особливості клімату Африки. Кліматичні пояси i типи клімату 43 KB
  Мета: повторите поняття клімат вірні чинники типи клімату кліматичний пояс; сформувати знання про загальні особливості клімату Африки про типи клімату в кожному кліматичному поясі Африки; продовжити формування навичок аналізу карти кліматичної карти Африки кліматичних діаграм; розвивати увагу спостережливість вміння робити висновки визначати головне. Найвища точка Африки: а г. Вам уже відомо що більша частина Африки розташована в тропічних широтах екватор перетинає материк майже посередині саме тому Африка протягом року...
52098. Фізико-географічне положення та берегова лінія Африки 49 KB
  Розмістити порядкові номери географічних обєктів по океанам до яких вони належать Острів Камчатка Острів Шпіцберген Півострів Аравійський Острів Шрі-Ланка Півострів Скандинавський Острови Японські Острів НоваЗемля Острів Ісландія Хребет Ломоносова Острови Бермудські Острів Мадагаскар Море Червоне Острови Гавайські Море Карське Море Чорне Море Берингове Хребет Менделеєва Півострів Індостан Півострів Сомалі Острові Філіппінські Море Азовське Море Саргасове Острови Маріанські ...
52100. Общая характеристика климата Африки 5.32 MB
  Общая характеристика климата Африки Цель: формировать у учащихся систему знаний об общих особенностях климата Африки и основных климатообразующих факторах; совершенствовать практические умения объяснять особенности климата Африки характеризовать влияние климатообразующих факторов на его формирование развивать коммуникативные навыки воспитывать интерес к предмету. Оборудование: физическая карта Африки климатическая карта Африки учебники атласы шаблоны в рабочей тетради приготовлена картосхема Африки. В рабочей тетради вы должны были...
52101. Природні зони Африки 7.36 MB
  Мета: повторити вивчений матеріал; зясувати рівень оволодіння учнями навчальним матеріалом з попередніх тем; формувати знання про особливості розміщення природних зон Африки; поглибити систему знань учнів про взаємозвязки природних компонентів у складі природних зон; сформувати в учнів вміння складати характеристику природних зон в певній послідовності за типовим планом...
52102. Особливості географічного положення Африки. Елементи берегової лінії. Дослідження та освоєння 1.58 MB
  Мета: формувати загальні уявлення про зміст та структуру розділу Материки; ознайомити з планом вивчення материків; розкрити поняття географічне положення;познайомити учнів з історією відкриття Африки. Обладнання: фізична карта світу фізична карта Африки плани характеристики географічного положення материка контурні карти портрети дослідників підручники атласи. До Африки взимку відлітають птахи України: лелеки ластівки журавлі тощо.