67581

Мультипликативная группа поля. Неприводимые многочлены

Лекция

Математика и математический анализ

Имеет место фундаментальная теорема Гаусса: Всякий многочлен положительной степени над полем C имеет корень. Из нее вытекает что над полем C неприводимы только многочлены первой степени. Пусть теперь многочлен положительной степени. Следовательно над полем R неприводимыми будут во первых все многочлены...

Русский

2014-09-12

271.5 KB

4 чел.

Лекция№10

Мультипликативная группа поля; Неприводимые многочлены.

 Свойство мультипликативной группы поля.

Конечная подгруппа мультипликативной группы любого поля циклична.

Доказательство.

Проведем доказательство от противного. Пусть  - конечная подгруппа. Предположим, что G не является циклической группой. Рассмотрим первое каноническое разложение: , где n>1 и n | m. Тогда G , а значит и содержит подгруппу H . Для каждого  (а всего в H  элементов ) имеем: . Поэтому уравнение  в поле k имеет не менее   корней, что невозможно, так как степень этого уравнения равна n <.

Следствие.

Мультипликативная группа конечного поля циклична.

Заметим, что этот результат нетривиален даже для простейших конечных полей GF(p). Образующие элементы группы  называются первообразными корнями по модулю p. В следующей таблице приведены наименьшие первообразные корни по некоторым модулям:

модуль

3

5

7

11

13

17

19

23

29

31

37

41

первообразный корень mod(p)

 

Неприводимые многочлены над некоторыми полями.

Поле комплексных чисел C.                                                                                        Имеет место фундаментальная теорема Гаусса: Всякий многочлен положительной степени над полем C имеет корень. Из нее вытекает, что над полем C неприводимы только многочлены первой степени.

Поле вещественных чисел R.                                                                                        Чтобы перейти от поля C  к полю R, заметим, что отображение , сопоставляющее каждому комплексному числу z сопряженное число  является изоморфизмом поля на себя (автоморфизмом ) и переводит поле R в себя. Отсюда вытекает, что для всякого  и всякого   имеет место формула: = (), где - многочлен с комплексно сопряженными коэффициентами. Пусть теперь  - многочлен положительной степени. По теореме Гаусса он имеет корень. Но, ) = 0. Если , то многочлены ( x - ) и ( x -  ) взаимно просты и из делимости многочлена p ( по теореме Безу) на  ( x - ) и на ( x -  ) следует его делимость на их произведение  . Следовательно, над полем R неприводимыми будут , во первых, все многочлены первой степени, а, во-вторых, те многочлены второй степени, которые не имеют корней в R ( то есть у которых дискриминант отрицателен). Все прочие многочлены - приводимы.

Поле рациональных чисел Q.

Если q ненулевой многочлен с рациональными коэффициентами, то, приводя их к общему знаменателю, можно записать:  q = () =  , где все коэффициенты  целые числа, ОНД() = 1 и ,>0 . Легко видеть, что многочлен  и число  определены однозначно. Будем  называть  примитивным многочленом, соответствующим многочлену q.

Лемма : .

Для всякого целочисленного многочлена w = и простого числа p обозначим через  многочлен над полем GF(p), коэффициенты которого получаются из соответствующих коэффициентов w приведением по модулю p : . Очевидно, что отображение  является  гомоморфизмом кольца Z[x] в кольцо GF(p)[x]. Многочлен w будет примитивным тогда и только тогда, когда  для любого p . Поскольку в кольце GF(p)[x] нет делителей нуля, отсюда и вытекает утверждение леммы.

Таким образом вопрос о приводимости многочлена  над полем рациональных чисел сводится к вопросу о разложении на множители меньшей степени многочлена с целыми коэффициентами. В этом направлении имеется следующее достаточное условие неприводимости:

 Критерий Эйзенштейна.

Если для многочлена q с целыми коэффициентами      q = удается найти такое простое число p, что                               

1.ОНД( p , ) = 1                                                                                                        2.                                                                                               3.  не делит                                                                                                         то этот многочлен неприводим.

Доказательство.

Предположим, что q приводимый многочлен : q = uv. Тогда . По условию теоремы =a, где a 0. Значит, , , где k<n и m<n. Поэтому все коэффициенты многочленов u и v, кроме старших, делятся на p, а тогда свободный член многочлена q, ( то есть ),  равный   делится на  , что противоречит условию.

Примеры.

Многочлен   неприводим над полем Q. Достаточно взять p = 3 и применить критерий Эйзенштейна.

Для всякого n>0 многочлен   неприводим над Q. Достаточно взять p=2 в предыдущей теореме. Отсюда вытекает, что над полем рациональных чисел существуют неприводимые многочлены любой степени. 

                                                                    

4. Случай конечного поля GF(q).

Особенностью этого случая является тот факт, что имеется только конечное число многочленов данной степени и,  в частности, неприводимых многочленов. Будем рассматривать унитарные многочлены степени n над GF(q). Такой многочлен имеет вид: , где , . Значит, количество таких многочленов Обозначим через  количество унитарных неприводимых многочленов степени n . Можно указать алгоритм, позволяющий последовательно перечислять все такие многочлены  в порядке возрастания их степеней. Для n=1 все многочлены (x - a )  неприводимы, поэтому . Если все неприводимые многочлены степени меньше n уже перечислены, составим всевозможные произведения некоторых степеней таких многочленов, так чтобы эти произведения имели степень n. Все те многочлены степени n, которые не вошли в это множество, и будут неприводимыми многочленами степени n. Разумеется, практическое применение этого алгоритма требует умения совершать арифметические действия в поле GF(q). Кроме того, количество вычислений быстро растет с ростом n (а также q ). В следующей таблице указаны некоторые неприводимые многочлены над полями GF(p) для простых p = 2,3,5.

P=2

p=3

p=5

1

3

10

Пример непр. многочлена  ст. 2

2

8

40

Пример непр. многочлена  ст. 3

3

18

150

Пример непр. многочлена  ст. 4

Можно также указать способ вычисления числа . Обозначим через ,  набор всех неприводимых унитарных многочленов степени n над полем GF(q), а через ,  набор всех вообще унитарных многочленов степени n над тем же полем. Рассмотрим следующее выражение:

(Здесь и далее автор использует сокращенные обозначения. Настоятельно советуем читателю для большей наглядности использовать развернутую запись.) F =. Здесь количество слагаемых в каждой скобке и

количество самих скобок выбрано таким образом, чтобы степень каждого многочлена, входящего в F была не выше n. Если раскрыть все скобки то получится сумма всевозможных выражений вида: , где m - степень выписанного многочлена и все . Соберем вместе в сумму  все слагаемые с данным значением m. Полученная сумма при mn представляет собой в точности сумму всех вообще унитарных многочленов степени m поскольку каждый такой многочлен однозначно представим в виде произведения неприводимых : . Таким образом, F = +..., где точки отвечают слагаемым, в которых многочлены имеют степень выше n. Положим теперь  для всех i и m. Тогда и все , так что получаем: F=  = .

Применяя формулы для суммы геометрической прогрессии, находим:

F = = 1/(1-tq). Логарифмируя, затем дифференцируя это равенство и умножая результат на t, получаем: = . Коэффициент при  в правой части равен . Соответствующий коэффициент в левой части равен сумме слагаемых вида m, причем встречаются только те слагаемые, для которых N кратно m. Итак, имеем:

. Отсюда непосредственно находим: , , ,  и так далее.

Следствие. Над конечным полем существуют неприводимые многочлены любой степени.

В самом деле, поскольку по определению , из доказанной формулы следует, что . Снова из той же формулы получаем: = .

Замечание.

Из приведенных рассуждений вытекает, что при  эквивалентно . Таким образом, примерно 1/N часть всех многочленов степени N над полем из q элементов неприводима.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

52401. Большой чайный вечер «Мы за чаем не скучаем» 195 KB
  Вечер за чайным столом подготовили и провели учащиеся 6 класса. На столах самовары чайные приборы. Сегодня у нас чайный вечер поэтому говорить мы будем только о чае.
52402. Мы за чаем не скучаем 50.5 KB
  Чай. Как он приятен вкусен крепок ароматен Цель: Познакомить учся с историей появления чая у нас; доказать что чай это прекрасный напиток бодрости который утоляет жажду снимает усталость придает бодрость поднимает настроение; развивать интерес к общению к истории; формировать социальные и коммуникативные компетентности; воспитывать здоровый образ жизни.Толстой Чай мой любимый напиток.Муслимов долгожитель120 Дружба и чай хороши когда они крепки и не очень сладки Ф.
52403. Чайные традиции народов мира (I часть) 67.5 KB
  Цель: познакомить с происхождением слова чай возникновением чайной церемонии; расширить знания о чайных традициях народов мира о целебных веществах чая; прививать интерес и эстетический подход к чайной церемонии; способствовать развитию здорового образа жизни. Литература и оборудование: буклет Чайные традиции народов мира; иллюстрации о чайной традиции в Японии Англии России Узбекистане Иране Тибете Америке китайского иероглифа чай; бейджики с надписями: Этимолог Хранитель легенд Целитель Этнограф Японии Этнограф...
52404. Исследование особенностей развития внимания школьников 367.5 KB
  Наша работа посвящена, прежде всего, описанию видов внимания, а также изучению особенностей свойств внимания у учащихся на уроках физической культуры. Цель: исследовать особенности развития внимания школьников. Объект: внимание как психический процесс. Предмет: специфика развития внимания школьников на уроках физической культуры.
52405. Сценарий воспитательного мероприятия на знание культуры Чехии 349 KB
  Речь идет о Золотом сердце Европы о Чехии. Никто Ведущий Наш 1 тур окончен прошу жюри огласить его результаты Жюри объявляет результаты 1 тура Музыка 2 тур Великие люди и Чехия Ведущий Наш 2 тур посвящен известным людям жившим когдато в Чехии. О ком идет речь Ольгерд Кейстут Свидригайло Витовт Ведущий Как вы видите Чехии есть чем гордиться.
52406. БЫТЬ ЧЕЛОВЕКОМ НА ЗЕМЛЕ 108.5 KB
  Ученик 1. Всем людям свойственно познавать самого себя и мыслить Гераклит Ученик 3. Декарт Ученик 4.Брехт Ученик 5.
52407. Економіко - географічне положення Чернігівської області, його вплив на господарську спеціалізацію. Природні умови та ресурси, їх оцінка 99 KB
  Мета: навчити давати характеристику ЕГП Чернігівської області; зясувати вплив ЕГП на господарську спеціалізацію області; показати особливості природних умов і ресурсів області; оцінити їх вплив на життя та діяльність населення; закріпити вміння і навички оцінювати ЕГП області природні умови і ресурси; продовжити формувати науковий світогляд учнів; визначити еколого географічне положення області екологічне виховання; ...
52408. Chernobyl Tragedy 76.5 KB
  On April 26, 1986, the number four reactor at the Chernobyl nuclear plant in the former Soviet Union exploded, causing the worst nuclear accident in history. Further explosions and the resulting fire released more than eight tons of highly radioactive fallout into the atmosphere. Nearly thirty to forty times more fallout was released than had been by the atomic bombings of Hiroshima and Nagasaki.
52409. Урок-змагання з теми “Черви” 89.5 KB
  Пояснення до уроку: Урок змагання передбачає роботу в групах, тому на попередньому уроці слід поділити клас на 4 рівноцінні групи-команди.Кожна команда вибирає собі капітана, назву команди та готує відповідні емблеми.