67582

Характеристика поля; автоморфизм Фробениуса

Лекция

Математика и математический анализ

Любое тождество A = B, где A и B целые алгебраические выражения (то есть построенные из переменных с использованием только операций сложения, вычитания и умножения) с целыми коэффициентами может быть перенесено в любое поле k, путем замены каждого целого z Z на соответствующий элемент...

Русский

2014-09-12

132.5 KB

5 чел.

Лекция№11

Характеристика поля; автоморфизм Фробениуса.

          Пусть k - произвольное поле,  его единица. Рассмотрим отображение , действующее по формуле t(n) = ne. Это отображение является гомоморфизмом колец. Пусть I Z его ядро. Возможны два случая:

I ={0}. В этом случае говорят, что характеристика поля k равна 0. Поскольку тогда при n 0 элементы ne обратимы, t можно продолжить до инъективного отображения T: Q k, положив: T(n/m) = ne* . Значит k содержит подполе Im T .

I{0}. Тогда I = pZ и k содержит Im T в качестве подкольца. В этом случае говорят, что характеристика поля k равна p. Заметим, что число p обязательно простое, так как в противном случае Z/pZ содержит делители нуля.

Итак, если char(k) =0, то k содержит подполе, изоморфное полю рациональных чисел Q, а если char(k) =p, то k содержит подполе, изоморфное конечному полю GF(p).

Примеры.

Поля Q, R, C - очевидно имеют характеристику 0.

Поле, содержащее конечное число элементов, очевидно имеет положительную характеристику. Рассмотрим следующий пример. Пусть множество X содержит 4 элемента: 0, 1, a, b, которые складываются и перемножаются в соответствие со следующими таблицами:                                                           Нетрудно проверить, что относительно введенных операций X является полем, причем 0 - нейтральный элемент для операции сложения, а 1 - нейтральный элемент для умножения. Поскольку  2*x = x + x = 0, поле X имеет характеристику 2. Отметим, что (X,+) , а . Поскольку поле X содержит 4 элемента, в наших обозначениях это - GF(4).

Приведем пример бесконечного поля положительной характеристики. Пусть k - произвольное поле. Построим новое поле k(x) - поле рациональных функций над k. По определению, элементами этого поля, то есть рациональными функциями, являются отношения многочленов ( то есть дроби) r = p/q, где p,q k[x], причем q 0. Считается, что , если. Отсюда следует, что  : (dp)/(dq) = p/q так что дроби можно приводить к общему знаменателю, что дает возможность их складывать: p/q + u/v = (pv)/(qv) + (qu)/(qv) =(pv+qu)/qv. Умножение дробей определяется естественным образом: (p/q)*(u/v) = (pu)/(qv). Отметим, что k[x] k(x) - каждый многочлен p отождествляется с дробью p/1. Ясно, что эта конструкция действительно дает поле. Если в качестве k взять конечное поле GF(q) характеристики p, то мы придем к бесконечному полю GF(q)(x), которое также имеет характеристику p.

Продолжение алгебраических тождеств в произвольные поля.

Любое тождество A = B, где A и B целые алгебраические выражения ( то есть построенные из переменных с использованием только операций сложения, вычитания и умножения ) с целыми коэффициентами может быть перенесено в любое поле k, путем замены каждого целого z  Z на соответствующий элемент t(z)  k (см. начало лекции). В случае поля характеристики 0 такое перенесение возможно и для выражений с рациональными коэффициентами, так как t продолжается до отображения Q в k. Например, формула Тейлора для многочленов:  имеет смысл в любом поле характеристики 0, но в поле положительной характеристики некоторые из факториалов, стоящих в знаменателе, могут обратиться в 0 и в таком виде формула не имеет смысла. Однако, если переписать ее в виде:

она будет иметь смысл и в поле характеристики q, если каждое целое число s, входящее в нее, заменить на остаток   от деления на q.

Формула бинома Ньютона:  имеет смысл в любом поле, поскольку биномиальные коэффициенты  - целые числа.

Лемма.

Если p простое число, то p | при s=1,2,...,p-1.

Действительно, = - целое число, так что каждый множитель знаменателя сокращается с некоторым множителем числителя. Так как s < p и p - простое, ОНД( p, s!) = 1 и потому в этом сокращении не участвует p, так что k =   Z и значит =pk при s > 0.

Следствие.

В поле k характеристики p имеет место формула: . В самом деле, все промежуточные слагаемые в формуле бинома входят с нулевыми коэффициентами: =0.

Гомоморфизм Фробениуса.

Пусть k - поле характеристики p. Рассмотрим отображение , действующее по формуле: Ф(a) = . Только что мы проверили, что Ф(a+b) = Ф(a)+Ф(b). Кроме того, очевидно, что Ф(ab) = Ф(a(b). Это означает, что Ф - гомоморфизм поля k в себя. Поскольку  = 0 a = 0, Ф инъективен. Если поле k конечно отсюда следует, что Ф взаимно однозначно, то есть является изоморфизмом поля k с самим собой (автоморфизмом) . Ф называется автоморфизмом Фробениуса. Если k = GF(p), то поскольку   - циклическая группа порядка ( p-1), для всякого  , то есть Ф(а) = а. Возвращаясь к случаю произвольного поля k характеристики p заметим, что так как уравнение  в поле k имеет не более p корней, этими корнями будут в точности все элементы , так что для элементов  и не входящих в GF(p),  Ф(а) а. Например, для рассмотренного выше поля GF(4) характеристики 2 (см. пример 2), имеем:

Ф(0) = 0 ; Ф(1) = 1 ; Ф(а) = b ; Ф(b) = а.

Если q любой многочлен над полем GF(p), k - некоторое поле характеристики p и  , тоФ()) = Ф() , а потому, если  - корень q, то Ф() также является его корнем, причем отличным от исходного, если . (Отметим очевидную аналогию с комплексным корнем многочлена с вещественными коэффициентами; здесь роль автоморфизма Ф играет комплексное сопряжение).

Пример.

Пусть q =   - многочлен над полем GF(2),  =а. Используя таблицы примера 3, легко проверить, что . Значит, Ф() =  = b также будет корнем этого многочлена, причем не совпадающим с a. Это можно проверить «в лоб» или использовать формулы Виета:

a + b = 1 и ab = 1.

Замечание.

В случае бесконечного поля положительной характеристики гомоморфизм Ф может не быть сюръективным. Например, для поля GF(p)(x), построенного в примере 3, гомоморфизм Ф, очевидно, действует по формуле: Ф(r(x)) = r() и потому элемент r = x не входит в его образ.

 

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

2015. Рибні вироби 29.19 KB
  У підприємства ресторанного господарства риба надходить живою, парною, охолодженою, мороженою і солоною. Жива риба є найбільш коштовною сировиною. Страви з неї відрізняються особливим смаком і ароматом.
2016. Страви з яєць 26.49 KB
  Страви з них є важливим джерелом особливо коштовних білків, лецетину й арахидонової кислоти, що нормалізують жировий обмін, вітамінів D, Е, К, пантотенової і фолиєвої кислота, мінеральних солей, заліза і міді, що беруть участь у процесах кровотворення.
2017. Технологія приготування супів, різновиди супів 38.32 KB
  Супи - рідкі страви, основою яких служать бульйони, відвари, молоко та хлібний квас. Крім рідкої основи, значна більшість супів містить щільну частину - різноманітні гарніри з овочів, крупів, макаронних виробів, мяса, риби, птиці й інших продуктів.
2018. Технологія холодних страв та закусок 24 KB
  За характером кулінарної обробки і основним продуктом закуски можна поділити на такі групи: бутерброди, салати і вінегрети, холодні страви і закуски з овочів і грибів, риби, м'яса, яєць.
2019. Технологія напоїв 24.5 KB
  Напої, що готують па підприємствах ресторанного господарства, поділяють па гарячі й холодні.
2020. Технологія гарячих напоїв 30.45 KB
  Напої поділяють на гарячі і холодні. Гарячі (чай, кава, какао, шоколад) є тонізуючими завдяки вмісту алколоїдів, дубильних речовин, вітамінів. Мають приємний аромат, стимулюють серцеву діяльність, органів травлення, зменшують відчуття втоми.
2021. Види харчування 20.68 KB
  Робота підприємств харчування при лікувальних установах може організовуватися по-різному, підстроюючись під вимоги клієнтів, які не відрізняється гарним здоров'ям — хворих, що знаходяться на стаціонарному і профілактичному лікуванні.
2022. Організація харчування на курортах і в місцях масового відпочинку 20.91 KB
  Усі курорти можна об'єднати в 3 групи: Бальнеологічні (лікування брудом, водою і т.ін.), Кліматичні (лікування особливим кліматом, обумовленим географічним положенням курорту), Горно-туристичні (для відпочинку і туризму) – для активного відпочинку.
2023. Вина до страв. Дегустація вин 22.36 KB
  Правильний підбір вина сприяє покращенню смакових якостей страв і закусок, неправильний — зіпсує смак відмінного вина і добре приготованої страви.