67582

Характеристика поля; автоморфизм Фробениуса

Лекция

Математика и математический анализ

Любое тождество A = B, где A и B целые алгебраические выражения (то есть построенные из переменных с использованием только операций сложения, вычитания и умножения) с целыми коэффициентами может быть перенесено в любое поле k, путем замены каждого целого z Z на соответствующий элемент...

Русский

2014-09-12

132.5 KB

3 чел.

Лекция№11

Характеристика поля; автоморфизм Фробениуса.

          Пусть k - произвольное поле,  его единица. Рассмотрим отображение , действующее по формуле t(n) = ne. Это отображение является гомоморфизмом колец. Пусть I Z его ядро. Возможны два случая:

I ={0}. В этом случае говорят, что характеристика поля k равна 0. Поскольку тогда при n 0 элементы ne обратимы, t можно продолжить до инъективного отображения T: Q k, положив: T(n/m) = ne* . Значит k содержит подполе Im T .

I{0}. Тогда I = pZ и k содержит Im T в качестве подкольца. В этом случае говорят, что характеристика поля k равна p. Заметим, что число p обязательно простое, так как в противном случае Z/pZ содержит делители нуля.

Итак, если char(k) =0, то k содержит подполе, изоморфное полю рациональных чисел Q, а если char(k) =p, то k содержит подполе, изоморфное конечному полю GF(p).

Примеры.

Поля Q, R, C - очевидно имеют характеристику 0.

Поле, содержащее конечное число элементов, очевидно имеет положительную характеристику. Рассмотрим следующий пример. Пусть множество X содержит 4 элемента: 0, 1, a, b, которые складываются и перемножаются в соответствие со следующими таблицами:                                                           Нетрудно проверить, что относительно введенных операций X является полем, причем 0 - нейтральный элемент для операции сложения, а 1 - нейтральный элемент для умножения. Поскольку  2*x = x + x = 0, поле X имеет характеристику 2. Отметим, что (X,+) , а . Поскольку поле X содержит 4 элемента, в наших обозначениях это - GF(4).

Приведем пример бесконечного поля положительной характеристики. Пусть k - произвольное поле. Построим новое поле k(x) - поле рациональных функций над k. По определению, элементами этого поля, то есть рациональными функциями, являются отношения многочленов ( то есть дроби) r = p/q, где p,q k[x], причем q 0. Считается, что , если. Отсюда следует, что  : (dp)/(dq) = p/q так что дроби можно приводить к общему знаменателю, что дает возможность их складывать: p/q + u/v = (pv)/(qv) + (qu)/(qv) =(pv+qu)/qv. Умножение дробей определяется естественным образом: (p/q)*(u/v) = (pu)/(qv). Отметим, что k[x] k(x) - каждый многочлен p отождествляется с дробью p/1. Ясно, что эта конструкция действительно дает поле. Если в качестве k взять конечное поле GF(q) характеристики p, то мы придем к бесконечному полю GF(q)(x), которое также имеет характеристику p.

Продолжение алгебраических тождеств в произвольные поля.

Любое тождество A = B, где A и B целые алгебраические выражения ( то есть построенные из переменных с использованием только операций сложения, вычитания и умножения ) с целыми коэффициентами может быть перенесено в любое поле k, путем замены каждого целого z  Z на соответствующий элемент t(z)  k (см. начало лекции). В случае поля характеристики 0 такое перенесение возможно и для выражений с рациональными коэффициентами, так как t продолжается до отображения Q в k. Например, формула Тейлора для многочленов:  имеет смысл в любом поле характеристики 0, но в поле положительной характеристики некоторые из факториалов, стоящих в знаменателе, могут обратиться в 0 и в таком виде формула не имеет смысла. Однако, если переписать ее в виде:

она будет иметь смысл и в поле характеристики q, если каждое целое число s, входящее в нее, заменить на остаток   от деления на q.

Формула бинома Ньютона:  имеет смысл в любом поле, поскольку биномиальные коэффициенты  - целые числа.

Лемма.

Если p простое число, то p | при s=1,2,...,p-1.

Действительно, = - целое число, так что каждый множитель знаменателя сокращается с некоторым множителем числителя. Так как s < p и p - простое, ОНД( p, s!) = 1 и потому в этом сокращении не участвует p, так что k =   Z и значит =pk при s > 0.

Следствие.

В поле k характеристики p имеет место формула: . В самом деле, все промежуточные слагаемые в формуле бинома входят с нулевыми коэффициентами: =0.

Гомоморфизм Фробениуса.

Пусть k - поле характеристики p. Рассмотрим отображение , действующее по формуле: Ф(a) = . Только что мы проверили, что Ф(a+b) = Ф(a)+Ф(b). Кроме того, очевидно, что Ф(ab) = Ф(a(b). Это означает, что Ф - гомоморфизм поля k в себя. Поскольку  = 0 a = 0, Ф инъективен. Если поле k конечно отсюда следует, что Ф взаимно однозначно, то есть является изоморфизмом поля k с самим собой (автоморфизмом) . Ф называется автоморфизмом Фробениуса. Если k = GF(p), то поскольку   - циклическая группа порядка ( p-1), для всякого  , то есть Ф(а) = а. Возвращаясь к случаю произвольного поля k характеристики p заметим, что так как уравнение  в поле k имеет не более p корней, этими корнями будут в точности все элементы , так что для элементов  и не входящих в GF(p),  Ф(а) а. Например, для рассмотренного выше поля GF(4) характеристики 2 (см. пример 2), имеем:

Ф(0) = 0 ; Ф(1) = 1 ; Ф(а) = b ; Ф(b) = а.

Если q любой многочлен над полем GF(p), k - некоторое поле характеристики p и  , тоФ()) = Ф() , а потому, если  - корень q, то Ф() также является его корнем, причем отличным от исходного, если . (Отметим очевидную аналогию с комплексным корнем многочлена с вещественными коэффициентами; здесь роль автоморфизма Ф играет комплексное сопряжение).

Пример.

Пусть q =   - многочлен над полем GF(2),  =а. Используя таблицы примера 3, легко проверить, что . Значит, Ф() =  = b также будет корнем этого многочлена, причем не совпадающим с a. Это можно проверить «в лоб» или использовать формулы Виета:

a + b = 1 и ab = 1.

Замечание.

В случае бесконечного поля положительной характеристики гомоморфизм Ф может не быть сюръективным. Например, для поля GF(p)(x), построенного в примере 3, гомоморфизм Ф, очевидно, действует по формуле: Ф(r(x)) = r() и потому элемент r = x не входит в его образ.

 

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84934. Звук м. Позначення його буквами Мм. Читання складів із вивченими буквами. Звуковий аналіз слів. Словниково-логічні вправи 31 KB
  Мета: знайомити з артикуляцією звука м буквами Мм формувати в учнів уміння читати склади та слова з вивченими буквами; закріплювати знання учнів про вивчені букви їх звукове значення; розвивати мовлення дітей фонематичний слух інтерес до народних свят; виховувати доброту чуйне ставлення до мами.
84935. Складання тексту-опису лисички за питаннями і опорними словами 70.5 KB
  Мета. Вчити складати найпростіший текст - опис за питаннями і опорними словами, добирати до тексту заголовок. Формувати вміння стисло і послідовно висловлювати думку, передавати її на письмі. Вдосконалювати навички літературної вимови слів. Збагачувати словниковий запас.
84936. Подорож країною Мовознавство 244.5 KB
  Мета: у невимушеній ігровій формі повторити вивчене з курсу мови; поширювати й уточнювати словниковий запас учнів, розвивати мислення, мовлення, пам’ять, увагу; створити атмосферу доброзичливості, чесного змагання; виховувати любов до рідного слова як неоціненного духовного багатства...
84937. Узагальнюючий урок за розділом «Речення» 51 KB
  Мета. Узагальнити і повторити знання по темі «Речення», збагачувати словниковий запас учнів; розвивати творче мислення; виробляти навички каліграфічного письма; виховувати бережне ставлення до природи. Обладнання: ілюстрації, листочки, схеми до гри, таблиці, магнітофон.
84938. Розповідні речення. Розділові знаки в кінці розповідних речень. Складання і інтонування розповідних речень 59 KB
  Мета: дати уявлення дітям про розповідні речення учити інтонувати розповідні речення аналізувати навчальний матеріал збагачувати словниковий запас учнів розвивати спостережливість мову учнів уяву виховувати вбачати красу осінньої природи.
84939. Урок розвитку зв’язного мовлення у 2 класі 40 KB
  Пізньої осені, коли промерзає ґрунт, зменшується кількість корму, насамперед у комах; їжаки зариваються в опале листя і впадають у сплячку аж до березня. У цей час у них дуже повільне дихання (до 6 разів на хвилину), різко знижується температура тіла, серце робить лише кілька ударів на хвилину.
84940. Визначення роду і числа прикметників 32 KB
  Мета. Закріплювати вміння змінювати прикметники за родами і числами, вдосконалювати вміння визначати рід, число прикметників у зв’язку з іменниками,добирати найвлучніші прикметники, розвивати вміння аналізувати, узагальнювати,зіставляти мовні явища. Розвивати увагу, спостережливість.
84941. Складання тексту-розповіді про осінь 62 KB
  Мета: вчити учнів складати текстрозповідь красиво говорити; правильно послідовно висловлювати свої думки на основі власних спостережень через художнє слово. Чаґосовського Пори року Осінь; ілюстрації із зображенням осені осінні листочки; зошит з розвитку зв’язного мовлення роздатковий дидактичний матеріал.
84942. Урок-казка «Таємниці зими» 40 KB
  Мета уроку: Розкрити перед дітьми «секрети зими». Формувати вміння підбирати споріднені слова, синоніми. Стимулювати дитяче захоплення; сплеск образної уяви; щирість естетичних суджень. Розвивати увагу, фантазію, оригінальність мислення.