67582

Характеристика поля; автоморфизм Фробениуса

Лекция

Математика и математический анализ

Любое тождество A = B, где A и B целые алгебраические выражения (то есть построенные из переменных с использованием только операций сложения, вычитания и умножения) с целыми коэффициентами может быть перенесено в любое поле k, путем замены каждого целого z Z на соответствующий элемент...

Русский

2014-09-12

132.5 KB

7 чел.

Лекция№11

Характеристика поля; автоморфизм Фробениуса.

          Пусть k - произвольное поле,  его единица. Рассмотрим отображение , действующее по формуле t(n) = ne. Это отображение является гомоморфизмом колец. Пусть I Z его ядро. Возможны два случая:

I ={0}. В этом случае говорят, что характеристика поля k равна 0. Поскольку тогда при n 0 элементы ne обратимы, t можно продолжить до инъективного отображения T: Q k, положив: T(n/m) = ne* . Значит k содержит подполе Im T .

I{0}. Тогда I = pZ и k содержит Im T в качестве подкольца. В этом случае говорят, что характеристика поля k равна p. Заметим, что число p обязательно простое, так как в противном случае Z/pZ содержит делители нуля.

Итак, если char(k) =0, то k содержит подполе, изоморфное полю рациональных чисел Q, а если char(k) =p, то k содержит подполе, изоморфное конечному полю GF(p).

Примеры.

Поля Q, R, C - очевидно имеют характеристику 0.

Поле, содержащее конечное число элементов, очевидно имеет положительную характеристику. Рассмотрим следующий пример. Пусть множество X содержит 4 элемента: 0, 1, a, b, которые складываются и перемножаются в соответствие со следующими таблицами:                                                           Нетрудно проверить, что относительно введенных операций X является полем, причем 0 - нейтральный элемент для операции сложения, а 1 - нейтральный элемент для умножения. Поскольку  2*x = x + x = 0, поле X имеет характеристику 2. Отметим, что (X,+) , а . Поскольку поле X содержит 4 элемента, в наших обозначениях это - GF(4).

Приведем пример бесконечного поля положительной характеристики. Пусть k - произвольное поле. Построим новое поле k(x) - поле рациональных функций над k. По определению, элементами этого поля, то есть рациональными функциями, являются отношения многочленов ( то есть дроби) r = p/q, где p,q k[x], причем q 0. Считается, что , если. Отсюда следует, что  : (dp)/(dq) = p/q так что дроби можно приводить к общему знаменателю, что дает возможность их складывать: p/q + u/v = (pv)/(qv) + (qu)/(qv) =(pv+qu)/qv. Умножение дробей определяется естественным образом: (p/q)*(u/v) = (pu)/(qv). Отметим, что k[x] k(x) - каждый многочлен p отождествляется с дробью p/1. Ясно, что эта конструкция действительно дает поле. Если в качестве k взять конечное поле GF(q) характеристики p, то мы придем к бесконечному полю GF(q)(x), которое также имеет характеристику p.

Продолжение алгебраических тождеств в произвольные поля.

Любое тождество A = B, где A и B целые алгебраические выражения ( то есть построенные из переменных с использованием только операций сложения, вычитания и умножения ) с целыми коэффициентами может быть перенесено в любое поле k, путем замены каждого целого z  Z на соответствующий элемент t(z)  k (см. начало лекции). В случае поля характеристики 0 такое перенесение возможно и для выражений с рациональными коэффициентами, так как t продолжается до отображения Q в k. Например, формула Тейлора для многочленов:  имеет смысл в любом поле характеристики 0, но в поле положительной характеристики некоторые из факториалов, стоящих в знаменателе, могут обратиться в 0 и в таком виде формула не имеет смысла. Однако, если переписать ее в виде:

она будет иметь смысл и в поле характеристики q, если каждое целое число s, входящее в нее, заменить на остаток   от деления на q.

Формула бинома Ньютона:  имеет смысл в любом поле, поскольку биномиальные коэффициенты  - целые числа.

Лемма.

Если p простое число, то p | при s=1,2,...,p-1.

Действительно, = - целое число, так что каждый множитель знаменателя сокращается с некоторым множителем числителя. Так как s < p и p - простое, ОНД( p, s!) = 1 и потому в этом сокращении не участвует p, так что k =   Z и значит =pk при s > 0.

Следствие.

В поле k характеристики p имеет место формула: . В самом деле, все промежуточные слагаемые в формуле бинома входят с нулевыми коэффициентами: =0.

Гомоморфизм Фробениуса.

Пусть k - поле характеристики p. Рассмотрим отображение , действующее по формуле: Ф(a) = . Только что мы проверили, что Ф(a+b) = Ф(a)+Ф(b). Кроме того, очевидно, что Ф(ab) = Ф(a(b). Это означает, что Ф - гомоморфизм поля k в себя. Поскольку  = 0 a = 0, Ф инъективен. Если поле k конечно отсюда следует, что Ф взаимно однозначно, то есть является изоморфизмом поля k с самим собой (автоморфизмом) . Ф называется автоморфизмом Фробениуса. Если k = GF(p), то поскольку   - циклическая группа порядка ( p-1), для всякого  , то есть Ф(а) = а. Возвращаясь к случаю произвольного поля k характеристики p заметим, что так как уравнение  в поле k имеет не более p корней, этими корнями будут в точности все элементы , так что для элементов  и не входящих в GF(p),  Ф(а) а. Например, для рассмотренного выше поля GF(4) характеристики 2 (см. пример 2), имеем:

Ф(0) = 0 ; Ф(1) = 1 ; Ф(а) = b ; Ф(b) = а.

Если q любой многочлен над полем GF(p), k - некоторое поле характеристики p и  , тоФ()) = Ф() , а потому, если  - корень q, то Ф() также является его корнем, причем отличным от исходного, если . (Отметим очевидную аналогию с комплексным корнем многочлена с вещественными коэффициентами; здесь роль автоморфизма Ф играет комплексное сопряжение).

Пример.

Пусть q =   - многочлен над полем GF(2),  =а. Используя таблицы примера 3, легко проверить, что . Значит, Ф() =  = b также будет корнем этого многочлена, причем не совпадающим с a. Это можно проверить «в лоб» или использовать формулы Виета:

a + b = 1 и ab = 1.

Замечание.

В случае бесконечного поля положительной характеристики гомоморфизм Ф может не быть сюръективным. Например, для поля GF(p)(x), построенного в примере 3, гомоморфизм Ф, очевидно, действует по формуле: Ф(r(x)) = r() и потому элемент r = x не входит в его образ.

 

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

10173. Ортега-и-Гассет Х. 31.5 KB
  Х. Ортегаи-Гассет. Испанский философ Хосе Ортегаи-Гассет 18831955 в связи с анализом техники указывал на двойственность человека он отличен от природы и вместе с тем посредством техники он с ней сливается. По мысли Ортегии-Гассета современный мир сделали возможным тр...
10174. Смысл техники в философии Карла Маркса 41.5 KB
  Смысл техники в философии Карла Маркса О смысле техники и ее роли в человеческой истории философы много спорили. Широкое распространение получил марксистский подход который отождествлял технику с объективацией некоторых природных свойств в инструментальных целях тр
10175. Философия техники П.К. Энгельмейера 77.5 KB
  Философия техники П.К. Энгельмейера В настоящей статье обсуждаются совершенно конкретные вопросы творческой или если угодно инновационной деятельности инженера всесторонне рассмотренные в трудах во многом забытых выдающегося ученого П.К. Энгельмейера главным
10176. Карл Ясперс 262.5 KB
  Карл Ясперс. Близки к Хайдеггеру размышления известного немецкого философа одного из крупнейших экзистенциалистов Карла Ясперса 18831969. В работе Истоки истории и ее цель философ рассматривает технику как новый фактор мировой истории.[2] Он призывает к осознанию совр
10177. Техника как ставка века Жака Эллюля 38 KB
  Эллюль рассматривает ее как диалектическую противоположность библейской вере. Он утверждает, что в то время, как техника являет собой попытку людей создать в этом мире свой дом, Библия отрицает то, что человек воистину когда-либо находится у себя дома в этом мире
10178. Образ науки в философии ХХ в 41.5 KB
  Образ науки в философии ХХ в. Несциентистские образы науки. Философия науки в России. В данной лекции будут рассмотрены концепции науки в которых прослеживается линия критики науки. В первую очередь это экзистенциализм. Экзистенциалисты обосновывали
10179. Фридрих Рапп/ Техника и естествознание/ Интеллектуальные предпосылки 110.5 KB
  Фридрих Рапп Техника и естествознание Интеллектуальные предпосылки Промышленная техника и экспериментально-математическое естествознание являются результатом исторического процесса развития. Простые технические действия изготовление орудий оружия культовых ...
10180. Наука как объект теоретического исследования 46 KB
  Наука как объект теоретического исследования Проблематика науковедения и его становление. Структура современного науковедения и место в нем философии науки. Философия науки изучение которой начинается является частью обширной области исследований.
10181. Изготовление орудий труда и накопление знаний о природных веществах в каменном веке. Значение использование огня в первобытном обществе 46 KB
  Изготовление орудий труда и накопление знаний о природных веществах в каменном веке. Значение использование огня в первобытном обществе. Человек и техника появились одновременно еще в каменном веке 2 млн лет конец 4го тысячелетия до н.э.. Первыми орудиями труда сознат