67582

Характеристика поля; автоморфизм Фробениуса

Лекция

Математика и математический анализ

Любое тождество A = B, где A и B целые алгебраические выражения (то есть построенные из переменных с использованием только операций сложения, вычитания и умножения) с целыми коэффициентами может быть перенесено в любое поле k, путем замены каждого целого z Z на соответствующий элемент...

Русский

2014-09-12

132.5 KB

6 чел.

Лекция№11

Характеристика поля; автоморфизм Фробениуса.

          Пусть k - произвольное поле,  его единица. Рассмотрим отображение , действующее по формуле t(n) = ne. Это отображение является гомоморфизмом колец. Пусть I Z его ядро. Возможны два случая:

I ={0}. В этом случае говорят, что характеристика поля k равна 0. Поскольку тогда при n 0 элементы ne обратимы, t можно продолжить до инъективного отображения T: Q k, положив: T(n/m) = ne* . Значит k содержит подполе Im T .

I{0}. Тогда I = pZ и k содержит Im T в качестве подкольца. В этом случае говорят, что характеристика поля k равна p. Заметим, что число p обязательно простое, так как в противном случае Z/pZ содержит делители нуля.

Итак, если char(k) =0, то k содержит подполе, изоморфное полю рациональных чисел Q, а если char(k) =p, то k содержит подполе, изоморфное конечному полю GF(p).

Примеры.

Поля Q, R, C - очевидно имеют характеристику 0.

Поле, содержащее конечное число элементов, очевидно имеет положительную характеристику. Рассмотрим следующий пример. Пусть множество X содержит 4 элемента: 0, 1, a, b, которые складываются и перемножаются в соответствие со следующими таблицами:                                                           Нетрудно проверить, что относительно введенных операций X является полем, причем 0 - нейтральный элемент для операции сложения, а 1 - нейтральный элемент для умножения. Поскольку  2*x = x + x = 0, поле X имеет характеристику 2. Отметим, что (X,+) , а . Поскольку поле X содержит 4 элемента, в наших обозначениях это - GF(4).

Приведем пример бесконечного поля положительной характеристики. Пусть k - произвольное поле. Построим новое поле k(x) - поле рациональных функций над k. По определению, элементами этого поля, то есть рациональными функциями, являются отношения многочленов ( то есть дроби) r = p/q, где p,q k[x], причем q 0. Считается, что , если. Отсюда следует, что  : (dp)/(dq) = p/q так что дроби можно приводить к общему знаменателю, что дает возможность их складывать: p/q + u/v = (pv)/(qv) + (qu)/(qv) =(pv+qu)/qv. Умножение дробей определяется естественным образом: (p/q)*(u/v) = (pu)/(qv). Отметим, что k[x] k(x) - каждый многочлен p отождествляется с дробью p/1. Ясно, что эта конструкция действительно дает поле. Если в качестве k взять конечное поле GF(q) характеристики p, то мы придем к бесконечному полю GF(q)(x), которое также имеет характеристику p.

Продолжение алгебраических тождеств в произвольные поля.

Любое тождество A = B, где A и B целые алгебраические выражения ( то есть построенные из переменных с использованием только операций сложения, вычитания и умножения ) с целыми коэффициентами может быть перенесено в любое поле k, путем замены каждого целого z  Z на соответствующий элемент t(z)  k (см. начало лекции). В случае поля характеристики 0 такое перенесение возможно и для выражений с рациональными коэффициентами, так как t продолжается до отображения Q в k. Например, формула Тейлора для многочленов:  имеет смысл в любом поле характеристики 0, но в поле положительной характеристики некоторые из факториалов, стоящих в знаменателе, могут обратиться в 0 и в таком виде формула не имеет смысла. Однако, если переписать ее в виде:

она будет иметь смысл и в поле характеристики q, если каждое целое число s, входящее в нее, заменить на остаток   от деления на q.

Формула бинома Ньютона:  имеет смысл в любом поле, поскольку биномиальные коэффициенты  - целые числа.

Лемма.

Если p простое число, то p | при s=1,2,...,p-1.

Действительно, = - целое число, так что каждый множитель знаменателя сокращается с некоторым множителем числителя. Так как s < p и p - простое, ОНД( p, s!) = 1 и потому в этом сокращении не участвует p, так что k =   Z и значит =pk при s > 0.

Следствие.

В поле k характеристики p имеет место формула: . В самом деле, все промежуточные слагаемые в формуле бинома входят с нулевыми коэффициентами: =0.

Гомоморфизм Фробениуса.

Пусть k - поле характеристики p. Рассмотрим отображение , действующее по формуле: Ф(a) = . Только что мы проверили, что Ф(a+b) = Ф(a)+Ф(b). Кроме того, очевидно, что Ф(ab) = Ф(a(b). Это означает, что Ф - гомоморфизм поля k в себя. Поскольку  = 0 a = 0, Ф инъективен. Если поле k конечно отсюда следует, что Ф взаимно однозначно, то есть является изоморфизмом поля k с самим собой (автоморфизмом) . Ф называется автоморфизмом Фробениуса. Если k = GF(p), то поскольку   - циклическая группа порядка ( p-1), для всякого  , то есть Ф(а) = а. Возвращаясь к случаю произвольного поля k характеристики p заметим, что так как уравнение  в поле k имеет не более p корней, этими корнями будут в точности все элементы , так что для элементов  и не входящих в GF(p),  Ф(а) а. Например, для рассмотренного выше поля GF(4) характеристики 2 (см. пример 2), имеем:

Ф(0) = 0 ; Ф(1) = 1 ; Ф(а) = b ; Ф(b) = а.

Если q любой многочлен над полем GF(p), k - некоторое поле характеристики p и  , тоФ()) = Ф() , а потому, если  - корень q, то Ф() также является его корнем, причем отличным от исходного, если . (Отметим очевидную аналогию с комплексным корнем многочлена с вещественными коэффициентами; здесь роль автоморфизма Ф играет комплексное сопряжение).

Пример.

Пусть q =   - многочлен над полем GF(2),  =а. Используя таблицы примера 3, легко проверить, что . Значит, Ф() =  = b также будет корнем этого многочлена, причем не совпадающим с a. Это можно проверить «в лоб» или использовать формулы Виета:

a + b = 1 и ab = 1.

Замечание.

В случае бесконечного поля положительной характеристики гомоморфизм Ф может не быть сюръективным. Например, для поля GF(p)(x), построенного в примере 3, гомоморфизм Ф, очевидно, действует по формуле: Ф(r(x)) = r() и потому элемент r = x не входит в его образ.

 

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

18667. Амортизация основных фондов. Норма амортизационных отчислений 17.22 KB
  Амортизация основных фондов. Норма амортизационных отчислений. Амортизация это денежное возмещение износа основных средств путем включения части их стоимости в затраты на выпуск продукции. Следовательно амортизация есть денежное выражение физического и морального...
18668. Основные стандартные технологии ЛВС 15.16 KB
  Основные стандартные технологии ЛВС. Архитектуры или технологии локальных сетей можно разделить на два поколения. К первому поколению относятся архитектуры обеспечивающие низкую и среднюю скорость передачи информации: Ethernet 10 Мбит/с Token Ring 16 Мбит/с и ARC net 25 Мбит/с.
18669. Анализ финансовой устойчивости предприятия 14.55 KB
  Анализ финансовой устойчивости предприятия. Анализ финансовой устойчивости Финансовая устойчивость выступает важнейшей характеристикой стабильного положения организации. Финансовая устойчивость характеризуется непрерывным превышением доходов над расходами сво...
18670. Проблемы создания виртуального предприятия 14.25 KB
  Проблемы создания виртуального предприятия. Виртуальные предприятия являются одной из новейших организационных форм предприятий. Их появление связано с интеграционными процессами совершенствованием глобализацией и развитием современных рынков усовершенствовани
18671. Экономическая эффективность. Показатели и источники экономической эффективности при разработке ПИ 16.51 KB
  Экономическая эффективность. Показатели и источники экономической эффективности при разработке ПИ ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ Результативность экономической деятельности экономических программ и мероприятий характеризуемая отношением полученного экономическ
18672. Основы построения, структурные схемы ИИС 105.72 KB
  Основы построения структурные схемы ИИС. Все реальные ИИС могут быть представлены в виде совокупности связанных между собой функциональных блоков ФБ. Особенно отчетливо это видно в системах созданных методом проектной компоновки из выпускаемых промышленностью функ...
18673. Измерительные усилители на ОУ 57.54 KB
  Измерительные усилители на ОУ. Измерительный усилитель должен иметь: 1. Большое входное сопротивление; 2. Большой коэффициент ослабления синфазного сигнала; 3. Большой и регулируемый коэффициент усиления Рассмотрим случай когда измеряется температура с помощью мостов...
18674. Фотоэлектрические измерения 31.83 KB
  Фотоэлектрические измерения. Фотоэлектрические измерения применяются в медицине телекоммуникационных системах оптоволоконной связи датчиках положения лазерных принтерах и т.д. Одним из наиболее распространенных фотоэлектрических датчиков является полупроводн
18675. Сигма-Дельта ЦАП 40.18 KB
  СигмаДельта ЦАП. Развитие цифровой звукозаписи резко повышало требования к ЦАП. Высококачественная запись имеет динамический диапазон превышающий 96дБ. Это требование преобразователей имеющих не менее 17 разрядов. Первоначально в цифровых системах звукозаписи полу