67582

Характеристика поля; автоморфизм Фробениуса

Лекция

Математика и математический анализ

Любое тождество A = B, где A и B целые алгебраические выражения (то есть построенные из переменных с использованием только операций сложения, вычитания и умножения) с целыми коэффициентами может быть перенесено в любое поле k, путем замены каждого целого z Z на соответствующий элемент...

Русский

2014-09-12

132.5 KB

7 чел.

Лекция№11

Характеристика поля; автоморфизм Фробениуса.

          Пусть k - произвольное поле,  его единица. Рассмотрим отображение , действующее по формуле t(n) = ne. Это отображение является гомоморфизмом колец. Пусть I Z его ядро. Возможны два случая:

I ={0}. В этом случае говорят, что характеристика поля k равна 0. Поскольку тогда при n 0 элементы ne обратимы, t можно продолжить до инъективного отображения T: Q k, положив: T(n/m) = ne* . Значит k содержит подполе Im T .

I{0}. Тогда I = pZ и k содержит Im T в качестве подкольца. В этом случае говорят, что характеристика поля k равна p. Заметим, что число p обязательно простое, так как в противном случае Z/pZ содержит делители нуля.

Итак, если char(k) =0, то k содержит подполе, изоморфное полю рациональных чисел Q, а если char(k) =p, то k содержит подполе, изоморфное конечному полю GF(p).

Примеры.

Поля Q, R, C - очевидно имеют характеристику 0.

Поле, содержащее конечное число элементов, очевидно имеет положительную характеристику. Рассмотрим следующий пример. Пусть множество X содержит 4 элемента: 0, 1, a, b, которые складываются и перемножаются в соответствие со следующими таблицами:                                                           Нетрудно проверить, что относительно введенных операций X является полем, причем 0 - нейтральный элемент для операции сложения, а 1 - нейтральный элемент для умножения. Поскольку  2*x = x + x = 0, поле X имеет характеристику 2. Отметим, что (X,+) , а . Поскольку поле X содержит 4 элемента, в наших обозначениях это - GF(4).

Приведем пример бесконечного поля положительной характеристики. Пусть k - произвольное поле. Построим новое поле k(x) - поле рациональных функций над k. По определению, элементами этого поля, то есть рациональными функциями, являются отношения многочленов ( то есть дроби) r = p/q, где p,q k[x], причем q 0. Считается, что , если. Отсюда следует, что  : (dp)/(dq) = p/q так что дроби можно приводить к общему знаменателю, что дает возможность их складывать: p/q + u/v = (pv)/(qv) + (qu)/(qv) =(pv+qu)/qv. Умножение дробей определяется естественным образом: (p/q)*(u/v) = (pu)/(qv). Отметим, что k[x] k(x) - каждый многочлен p отождествляется с дробью p/1. Ясно, что эта конструкция действительно дает поле. Если в качестве k взять конечное поле GF(q) характеристики p, то мы придем к бесконечному полю GF(q)(x), которое также имеет характеристику p.

Продолжение алгебраических тождеств в произвольные поля.

Любое тождество A = B, где A и B целые алгебраические выражения ( то есть построенные из переменных с использованием только операций сложения, вычитания и умножения ) с целыми коэффициентами может быть перенесено в любое поле k, путем замены каждого целого z  Z на соответствующий элемент t(z)  k (см. начало лекции). В случае поля характеристики 0 такое перенесение возможно и для выражений с рациональными коэффициентами, так как t продолжается до отображения Q в k. Например, формула Тейлора для многочленов:  имеет смысл в любом поле характеристики 0, но в поле положительной характеристики некоторые из факториалов, стоящих в знаменателе, могут обратиться в 0 и в таком виде формула не имеет смысла. Однако, если переписать ее в виде:

она будет иметь смысл и в поле характеристики q, если каждое целое число s, входящее в нее, заменить на остаток   от деления на q.

Формула бинома Ньютона:  имеет смысл в любом поле, поскольку биномиальные коэффициенты  - целые числа.

Лемма.

Если p простое число, то p | при s=1,2,...,p-1.

Действительно, = - целое число, так что каждый множитель знаменателя сокращается с некоторым множителем числителя. Так как s < p и p - простое, ОНД( p, s!) = 1 и потому в этом сокращении не участвует p, так что k =   Z и значит =pk при s > 0.

Следствие.

В поле k характеристики p имеет место формула: . В самом деле, все промежуточные слагаемые в формуле бинома входят с нулевыми коэффициентами: =0.

Гомоморфизм Фробениуса.

Пусть k - поле характеристики p. Рассмотрим отображение , действующее по формуле: Ф(a) = . Только что мы проверили, что Ф(a+b) = Ф(a)+Ф(b). Кроме того, очевидно, что Ф(ab) = Ф(a(b). Это означает, что Ф - гомоморфизм поля k в себя. Поскольку  = 0 a = 0, Ф инъективен. Если поле k конечно отсюда следует, что Ф взаимно однозначно, то есть является изоморфизмом поля k с самим собой (автоморфизмом) . Ф называется автоморфизмом Фробениуса. Если k = GF(p), то поскольку   - циклическая группа порядка ( p-1), для всякого  , то есть Ф(а) = а. Возвращаясь к случаю произвольного поля k характеристики p заметим, что так как уравнение  в поле k имеет не более p корней, этими корнями будут в точности все элементы , так что для элементов  и не входящих в GF(p),  Ф(а) а. Например, для рассмотренного выше поля GF(4) характеристики 2 (см. пример 2), имеем:

Ф(0) = 0 ; Ф(1) = 1 ; Ф(а) = b ; Ф(b) = а.

Если q любой многочлен над полем GF(p), k - некоторое поле характеристики p и  , тоФ()) = Ф() , а потому, если  - корень q, то Ф() также является его корнем, причем отличным от исходного, если . (Отметим очевидную аналогию с комплексным корнем многочлена с вещественными коэффициентами; здесь роль автоморфизма Ф играет комплексное сопряжение).

Пример.

Пусть q =   - многочлен над полем GF(2),  =а. Используя таблицы примера 3, легко проверить, что . Значит, Ф() =  = b также будет корнем этого многочлена, причем не совпадающим с a. Это можно проверить «в лоб» или использовать формулы Виета:

a + b = 1 и ab = 1.

Замечание.

В случае бесконечного поля положительной характеристики гомоморфизм Ф может не быть сюръективным. Например, для поля GF(p)(x), построенного в примере 3, гомоморфизм Ф, очевидно, действует по формуле: Ф(r(x)) = r() и потому элемент r = x не входит в его образ.

 

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80636. Будівельні споруди. Виготовлення композиції «Казковий будиночок для улюбленого героя казки» 42.5 KB
  Мета: удосконалювати навички роботи з пластилі ном, природним матеріалом; закріпити знання учнів про рельєф, уміння створювати композицію; форму вати уявлення про мистецтво архітектури, професією будівельника; ознайомити з термінами – черепиця, карниз, фундамент; розвивати спостережливість, уяву...
80638. Маркетинг услуг 42.5 KB
  Маркетинг услуг Маркетинг услуг маркетинг осуществляющийся в качестве сопутствующей деятельности в комплексе с маркетингом потребительских товаров или промышленном маркетинге. В современный период в развитых странах происходит переход от так называемой индустриальной экономики к сервисной что связано с повышением значимости сферы услуг и превращением её в движущую силу хозяйственного развития. В сервисной экономике многие предприятия обрабатывающей промышленности расширяют предложение услуг Toyot IBM осваивают практике лизинга...
80639. Туристический маркетинг 137.5 KB
  Туристический маркетинг Основные положения. Туристический продукт. отдыхающих внутри страны то туристический маркетинг становится потребностью населения в полноценном проведении отпусков и каникул. Туристический маркетинг совокупность методов и приемов для полного удовлетворения потребностей людей с точки зрения психологических и социальных факторов для рационального с финансовой точки зрения ведения дел туристическими организациями.
80641. Разработка методики изучения рынка и оценки конкурентоспособности природоохранной продукции 96.5 KB
  Маркетинг играет двоякую роль: с одной стороны именно в результате маркетинговых исследований выявляется реалистичность и эффективность альтернативных вариантов развития предприятия а с другой служба маркетинга является основным источником комплексной информации о производстве и реализации. В соответствии с этим весь комплекс работ в рамках маркетинга может быть представлен в виде схемы: рис.1 Принципиальная схема функционирования маркетинга. В связи с этим потребитель становится с одной стороны предметом изучения а с другой ...
80642. Служба маркетинга на промышленном предприятии 37 KB
  Служба маркетинга на промышленном предприятии Современная концепция маркетинга принятая в США рассматривает его как целенаправленную комплексную деятельность производственной компании состоящую из системы взаимосвязанных мероприятий: научнотехнические и конъюнктурноэкономические исследования по разработке и освоению продукции; разработка технологии и схем управления производства; организация промышленного производства продукции с учетом ее конкурентоспособности на рынке; организация оптимальной системы сбыта продукции с использованием...
80643. Характеристика промышленного маркетинга в рыночной экономике 40 KB
  Характеристика промышленного маркетинга в рыночной экономике Особенности организации современного производства товаров и услуг. Логика маркетинга ориентированного на продукт нельзя продать то чего у вас пока ещё нет. Риск существует и в информационную эру но он с лихвой оправдывается при использовании интегрированного маркетинга.
80644. ВНЕШНЯЯ ТОРГОВЛЯ РОССИИ И ЕЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ 98 KB
  Структура внешней торговли представлена следующими видами: экспорт; импорт; транзитная торговля: покупка за рубежом с одновременной продажей в третью страну; особые формы: реэкспорт или реимпорт товаров прошедших облагораживание; производство по лицензии; кооперация; компенсационные сделки. Специфика товарной структуры экспорта России ее сырьевая направленность: доля топлива энергетических товаров в 1996 г. Импорт вид предпринимательской деятельности российских резидентов связанный...