67583

Расширения полей. Присоединение элементов большего поля

Лекция

Математика и математический анализ

Присоединение элементов большего поля. Если k подполе поля K то говорят также что K расширение поля k. Отметим что при расширении сохраняется характеристика поля. По определению расширения большее поле K содержит те же подполя и следовательно имеет ту же характеристику.

Русский

2014-09-12

212 KB

0 чел.

Лекция 12

Расширения полей.

Присоединение элементов большего поля.

            Если  k - подполе поля K, то говорят также, что K - расширение поля k. Отметим, что при расширении сохраняется характеристика поля. В самом деле, поле k характеристики 0 содержит подполе изоморфное Q - полю рациональных чисел, а поле k характеристики p>0 - подполе изоморфное полю GF(p) - вычетов по модулю p. По определению расширения большее поле K содержит те же подполя и, следовательно, имеет ту же характеристику.

            Напомним, что векторным пространством над полем k называется такое множество X (векторов), для которого определены операции сложения векторов и умножения вектора на элемент поля (скаляр) со следующими свойствами:

Относительно сложения векторы образуют абелеву группу.

a(U+V) = aU+aV

(a+b)U = aU+bU

a(bU) = (ab)U

1U =U.

Очевидно, что поле K можно рассматривать как векторное пространство над k: сложение векторов интепретируется как сложение элементов поля K, а умножение на скаляр как умножение в том же поле (ведь каждый скаляр из k в то же время является элементом K). Свойства 1 - 5 вытекают из определения поля. Таким образом, все известные нам результаты, относящиеся к векторным пространствам, применимы к случаю расширения полей. В частности, можно говорить о размерности K над k. Это число называется степенью расширения  и обозначается [K:k] . Если степень расширения конечна, то и само расширение называется конечным.

Примеры.

Поле С комплексных чисел является расширением поля R вещественных чисел. Так как каждое комплексное число однозначно записывается в виде a+bi, то числа 1 и i образуют базис С над R и значит [C:R] = 2.

Рассмотрим поле R как расширение поля рациональных чисел Q. Покажем, что степень расширения бесконечна. Для этого достаточно для всякого n указать линейно независимую над Q систему  вещественных чисел. Положим , , ,..., . Пусть для некоторых рациональных  выполнено равенство: =0. Тогда многочлен с рациональными коэффициентами q =  имеет корень x= .Однако тот же корень имеет неприводимый многочлен , который, следовательно, делит многочлен q. Это возможно только в том случае, когда многочлен q нулевой, чем и доказано наше утверждение.

Теорема о степени составного расширения.

Пусть поле F является расширением поля k, а K - расширение F. Тогда степень расширения [K:k] находится по формуле: [K:k] = [K:F] [F:k].

Доказательство.

Пусть  - базис K над F, а  - базис F над k.  Для всякого U K имеем: U = , где . Но, , где  . Значит, всякий элемент поля K записывается в виде линейной комбинации над k элементов в количестве nm штук. Остается проверить их линейную независимость. Если

=0, то поскольку линейно независимы над F, для всякого

i= 1,...,n имеем= 0. Но линейно независимы над k и потому все.

Расширение посредством присоединения элементов.   

Пусть дано поле k и элементы, принадлежащие некоторому большему полю K. Наименьшее (по включению) подполе  поля K, содержащее поле k и все элементы  обозначается k() и называется расширением k посредством присоединения элементов. Если n=1, то расширение называется простым , а соответствующий элемент U называется порождающим элементом простого расширения.

Примеры.

Если все, то k()=k.

Если k=R, U=a+biC, причем b0, то простое расширение R(U) совпадает с С. В самом деле, R(U) содержит U и все вещественные числа. Но тогда

   i = 1/b(U-a) R(U), а значит и любое комплексное число p+qiR(U).

3. Поле Q() содержит множество X всех вещественных чисел, которые можно записать  в виде a+b, где a,bQ.

Проверим, что X - поле и тем самым установим, что Q() =X. Напомним, что подмножество T поля k будет полем тогда и только тогда, когда

a) T содержит 0 и 1.

b) Вместе с любыми двумя элементами t и s T содержит их разность t-s.

c) Вместе с любыми двумя элементами t и s 0 T содержит их частное t/s.

Условия a) и b) для X очевидно выполнены. Чтобы проверить c) надо”уничтожить иррациональность” в знаменателе дроби (a+b)/(c+d). Из элементарной алгебры известно, что для этого достаточно числитель и знаменатель умножить на c-d. Итак, [Q():Q]=2 и базис составляют элементы 1 и.

4. Поле Q() содержит. Но тогда оно должно содержать также и, а значит и все числа вида a+b+c, где a,b,cQ. Отметим, что запись числа в такой форме однозначна поскольку мы уже убедились в линейной независимости чисел 1, , над Q. Чтобы доказать, что все элементы поля уже построены, надо как и в предыдущем примере уничтожить иррациональность в знаменателе дроби                    (a+b+c)/( d+e+f). Это можно проделать, используя тождество: -3xyz= (x+y+z)(  -xy-xz-yz)=(x+y+z)S. Достаточно вэять x=d, y=e, z=f и домножить числитель и знаменатель на S. Следовательно, [Q() :Q]=3 и базис составляют элементы1, , .

Анализируя приведенные примеры, мы видим, что строение простого расширения существенно зависит от алгебраической природы порождающего элемента.

В связи с этим дадим следующее определение. Пусть kK  и UK. Элемент U называется алгебраическим над k, если он является корнем полинома pk[x] положительной степени. В противном случае U называется трансцендентным элементом.  Если p(U)=0 и p=qr, то либо q(U)=0, либо r(U)=0, поэтому найдется такой неприводимый многочлен sk[x], что s(U)=0. Если еще потребовать, чтобы s был унитарным, то он будет определен однозначно. Это будет многочлен наимеьшей степени, имеющий U своим корнем (минимальный многочлен алгебраического элемента U ). Степень минимального многочлена называется степенью числа U над полем k.

Примеры.

Любое комплексное число z является корнем квадратного уравнения над R:  =0. Таким образом все комплексные числа алгебраичны над R и степень их не превосходит 2.

, - алгебраические элементы над Q.  Они являются корнями неприводимых уравнений -3=0 и -2=0 соответственно, так что их степени - 2 и 3.

Можно доказать(весьма непросто!), что числа и е трансцендентны над полем Q.

Строение простых алгебраических расширений.

Теорема.

Если U алгебраический над k элемент степени n, то [k(U):k]=n и в качестве базиса можно выбрать элементы 1, U, .

Доказательство.

Ясно, что U и все его степени входят в k(U). Пусть pk[x] - минимальный многочлен элемента U. Тогда =. Умножая обе части этого равенства на, получаем, что при mn выражается над k в виде линейной комбинации меньших степеней U. В то же время элементы 1, U,...,  линейно независимы над k, так как в противном случае U было бы корнем уравнения степени меньше n, что невозможно. Остается проверить что множество X={ } является полем, для чего достаточно установить, что элемент x=1/ Положим: q=. Так как степень этого многочлена меньше n, ОНД(p,q)=1. По основной теореме теории делимости для многочленов можно подобрать такие многочлены s и t над полем k, что sq+tp=1. Но тогда s(U)q(U)=1 и следовательно x=  s(U)  k.

Пример.

Пусть k=Q, U=. Тогда, откуда =24. Значит U алгебраическое число, являющееся корнем уравнения p= +1=0. Решая это биквадратное уравнение определим все его корни: x=. Если бы многочлен p был приводим, он имел бы над Q делитель вида (x-a) или (x-a)(x-b) , где a,b некоторые из указанных выше корней. Однако непосредственная проверка показывает, что ни один из этих многочленов не имеет рациональных коэффициентов. Поэтому степень числа U равна 4 и базис в расширении составляют числа : 1, U=, , . Вместо них в базис можно включить 1, ,, . Отсюда вытекает, что Q()=Q() и таким образом присоединение двух элементов и равносильно присоединению единственного элементa. Можно доказать, что всякое конечное расширение поля характеристики 0 является простым алгебраическим расширением и таким образом для его построения достаточно к исходному полю присоединить один единственный элемент.        

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

17789. Лінійний простір 5.92 MB
  Лекція 2. Лінійний простір Векторний простір називається лінійним якщо у ньому визначено операції над векторами додавання і множення на число. Проте лінійний простір може бути утворений обєктами будьякої природи. Нехай Е дана множина і x y z її елементи; К мно
17790. Скалярний добуток двох векторів 332.87 KB
  Лекція 4. Скалярний добуток двох векторів Добуток двох векторів може бути як числом так і вектором. Для наочних просторів скалярним добутком двох векторів і називається число що дорівнює добутку їхніх довжин на косинус кута між ними: У nвимірному просторі ск
17791. Векторний добуток двох векторів 2.87 MB
  Лекція 5. Векторний добуток двох векторів Векторним добутком двох векторів і називається вектор такий що: а де; 2.60 б і ; в якщо то вектори утворюють праву трійку. Упорядкована трійка некомпланарних векторів називається правою якщо з кін
17792. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ 71.09 KB
  Лекція 6. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ Лінійні алгебраїчні рівняння. Теорема Кронекера Капеллі Нехай задано систему лінійних рівнянь в якій коефіцієнти і вільні члени відомі а невідомі. Розвязати систему це означає знайти впорядкован
17793. Дробово-лінійна функція і її геометричний зміст 59.31 KB
  Лекція 8. Дробоволінійна функція і її геометричний зміст. Дробоволінійною називається функція Якщо с = 0 і d 0 то дробоволінійна функція називається цілою лінійною функцією. При adbc= 0 дробоволінійна функція є сталою величиною. Доведемо що при с0 і аd bс0 графіком др...
17794. Лінійні і квадратичні форми. Приведення квадратичної форми до канонічного вигляду 38.84 KB
  Лекція 9 Лінійні і квадратичні форми. Приведення квадратичної форми до канонічного вигляду. Лінійні форми Розглянемо nвимірний евклідів простір. Поставимо у відповідність до nвимірного вектора з цього простору певне дійсне число . Дістанемо числову функцію векторн
17795. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ 5.7 MB
  Лекція 10. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ Аналітична геометрія це розділ математики в якому геометричним обєктам ставлять у відповідність певні рівняння таким чином що властивості обєктів виражаються у властивостях цих рівнянь. Рівняння записуються відносно вибраної сис...
17796. ПРЯМА ЛІНІЯ У ТРИВИМІРНОМУ ПРОСТОРІ 244.53 KB
  Лекція 12. ПРЯМА ЛІНІЯ У ТРИВИМІРНОМУ ПРОСТОРІ Канонічні і параметричні рівняння прямої у тривимірному просторі Пряма лінія у тривимірному просторі може бути задана різними способами: двома точками точкою і напрямом перетином двох площин та ін. Нехай пряма пр
17797. Загальне рівняння кривої другого порядку. Криві другого порядку 662.09 KB
  Лекція 13. Криві другого порядку Загальне рівняння кривої другого порядку Нагадаємо загальне рівняння поверхні другого порядку 1.5: a11x2 a22y2 a33z2 2a12xy 2a13xz 2a23yz a10x a20y a00 = 0 5.1 Якщо поверхню другого порядку перетинає яканебудь площина поверхня першо