67583

Расширения полей. Присоединение элементов большего поля

Лекция

Математика и математический анализ

Присоединение элементов большего поля. Если k подполе поля K то говорят также что K расширение поля k. Отметим что при расширении сохраняется характеристика поля. По определению расширения большее поле K содержит те же подполя и следовательно имеет ту же характеристику.

Русский

2014-09-12

212 KB

0 чел.

Лекция 12

Расширения полей.

Присоединение элементов большего поля.

            Если  k - подполе поля K, то говорят также, что K - расширение поля k. Отметим, что при расширении сохраняется характеристика поля. В самом деле, поле k характеристики 0 содержит подполе изоморфное Q - полю рациональных чисел, а поле k характеристики p>0 - подполе изоморфное полю GF(p) - вычетов по модулю p. По определению расширения большее поле K содержит те же подполя и, следовательно, имеет ту же характеристику.

            Напомним, что векторным пространством над полем k называется такое множество X (векторов), для которого определены операции сложения векторов и умножения вектора на элемент поля (скаляр) со следующими свойствами:

Относительно сложения векторы образуют абелеву группу.

a(U+V) = aU+aV

(a+b)U = aU+bU

a(bU) = (ab)U

1U =U.

Очевидно, что поле K можно рассматривать как векторное пространство над k: сложение векторов интепретируется как сложение элементов поля K, а умножение на скаляр как умножение в том же поле (ведь каждый скаляр из k в то же время является элементом K). Свойства 1 - 5 вытекают из определения поля. Таким образом, все известные нам результаты, относящиеся к векторным пространствам, применимы к случаю расширения полей. В частности, можно говорить о размерности K над k. Это число называется степенью расширения  и обозначается [K:k] . Если степень расширения конечна, то и само расширение называется конечным.

Примеры.

Поле С комплексных чисел является расширением поля R вещественных чисел. Так как каждое комплексное число однозначно записывается в виде a+bi, то числа 1 и i образуют базис С над R и значит [C:R] = 2.

Рассмотрим поле R как расширение поля рациональных чисел Q. Покажем, что степень расширения бесконечна. Для этого достаточно для всякого n указать линейно независимую над Q систему  вещественных чисел. Положим , , ,..., . Пусть для некоторых рациональных  выполнено равенство: =0. Тогда многочлен с рациональными коэффициентами q =  имеет корень x= .Однако тот же корень имеет неприводимый многочлен , который, следовательно, делит многочлен q. Это возможно только в том случае, когда многочлен q нулевой, чем и доказано наше утверждение.

Теорема о степени составного расширения.

Пусть поле F является расширением поля k, а K - расширение F. Тогда степень расширения [K:k] находится по формуле: [K:k] = [K:F] [F:k].

Доказательство.

Пусть  - базис K над F, а  - базис F над k.  Для всякого U K имеем: U = , где . Но, , где  . Значит, всякий элемент поля K записывается в виде линейной комбинации над k элементов в количестве nm штук. Остается проверить их линейную независимость. Если

=0, то поскольку линейно независимы над F, для всякого

i= 1,...,n имеем= 0. Но линейно независимы над k и потому все.

Расширение посредством присоединения элементов.   

Пусть дано поле k и элементы, принадлежащие некоторому большему полю K. Наименьшее (по включению) подполе  поля K, содержащее поле k и все элементы  обозначается k() и называется расширением k посредством присоединения элементов. Если n=1, то расширение называется простым , а соответствующий элемент U называется порождающим элементом простого расширения.

Примеры.

Если все, то k()=k.

Если k=R, U=a+biC, причем b0, то простое расширение R(U) совпадает с С. В самом деле, R(U) содержит U и все вещественные числа. Но тогда

   i = 1/b(U-a) R(U), а значит и любое комплексное число p+qiR(U).

3. Поле Q() содержит множество X всех вещественных чисел, которые можно записать  в виде a+b, где a,bQ.

Проверим, что X - поле и тем самым установим, что Q() =X. Напомним, что подмножество T поля k будет полем тогда и только тогда, когда

a) T содержит 0 и 1.

b) Вместе с любыми двумя элементами t и s T содержит их разность t-s.

c) Вместе с любыми двумя элементами t и s 0 T содержит их частное t/s.

Условия a) и b) для X очевидно выполнены. Чтобы проверить c) надо”уничтожить иррациональность” в знаменателе дроби (a+b)/(c+d). Из элементарной алгебры известно, что для этого достаточно числитель и знаменатель умножить на c-d. Итак, [Q():Q]=2 и базис составляют элементы 1 и.

4. Поле Q() содержит. Но тогда оно должно содержать также и, а значит и все числа вида a+b+c, где a,b,cQ. Отметим, что запись числа в такой форме однозначна поскольку мы уже убедились в линейной независимости чисел 1, , над Q. Чтобы доказать, что все элементы поля уже построены, надо как и в предыдущем примере уничтожить иррациональность в знаменателе дроби                    (a+b+c)/( d+e+f). Это можно проделать, используя тождество: -3xyz= (x+y+z)(  -xy-xz-yz)=(x+y+z)S. Достаточно вэять x=d, y=e, z=f и домножить числитель и знаменатель на S. Следовательно, [Q() :Q]=3 и базис составляют элементы1, , .

Анализируя приведенные примеры, мы видим, что строение простого расширения существенно зависит от алгебраической природы порождающего элемента.

В связи с этим дадим следующее определение. Пусть kK  и UK. Элемент U называется алгебраическим над k, если он является корнем полинома pk[x] положительной степени. В противном случае U называется трансцендентным элементом.  Если p(U)=0 и p=qr, то либо q(U)=0, либо r(U)=0, поэтому найдется такой неприводимый многочлен sk[x], что s(U)=0. Если еще потребовать, чтобы s был унитарным, то он будет определен однозначно. Это будет многочлен наимеьшей степени, имеющий U своим корнем (минимальный многочлен алгебраического элемента U ). Степень минимального многочлена называется степенью числа U над полем k.

Примеры.

Любое комплексное число z является корнем квадратного уравнения над R:  =0. Таким образом все комплексные числа алгебраичны над R и степень их не превосходит 2.

, - алгебраические элементы над Q.  Они являются корнями неприводимых уравнений -3=0 и -2=0 соответственно, так что их степени - 2 и 3.

Можно доказать(весьма непросто!), что числа и е трансцендентны над полем Q.

Строение простых алгебраических расширений.

Теорема.

Если U алгебраический над k элемент степени n, то [k(U):k]=n и в качестве базиса можно выбрать элементы 1, U, .

Доказательство.

Ясно, что U и все его степени входят в k(U). Пусть pk[x] - минимальный многочлен элемента U. Тогда =. Умножая обе части этого равенства на, получаем, что при mn выражается над k в виде линейной комбинации меньших степеней U. В то же время элементы 1, U,...,  линейно независимы над k, так как в противном случае U было бы корнем уравнения степени меньше n, что невозможно. Остается проверить что множество X={ } является полем, для чего достаточно установить, что элемент x=1/ Положим: q=. Так как степень этого многочлена меньше n, ОНД(p,q)=1. По основной теореме теории делимости для многочленов можно подобрать такие многочлены s и t над полем k, что sq+tp=1. Но тогда s(U)q(U)=1 и следовательно x=  s(U)  k.

Пример.

Пусть k=Q, U=. Тогда, откуда =24. Значит U алгебраическое число, являющееся корнем уравнения p= +1=0. Решая это биквадратное уравнение определим все его корни: x=. Если бы многочлен p был приводим, он имел бы над Q делитель вида (x-a) или (x-a)(x-b) , где a,b некоторые из указанных выше корней. Однако непосредственная проверка показывает, что ни один из этих многочленов не имеет рациональных коэффициентов. Поэтому степень числа U равна 4 и базис в расширении составляют числа : 1, U=, , . Вместо них в базис можно включить 1, ,, . Отсюда вытекает, что Q()=Q() и таким образом присоединение двух элементов и равносильно присоединению единственного элементa. Можно доказать, что всякое конечное расширение поля характеристики 0 является простым алгебраическим расширением и таким образом для его построения достаточно к исходному полю присоединить один единственный элемент.        

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20872. Водопостачання, водовідведення та поліпшення якості води 354.5 KB
  Тип основних споруд та установок-освітлювачі зі зваженим осадом (за таблицею 14 ДБН: Рекомендації для попереднього вибору споруд для освітлення і знебарвлення води).
20873. Основи технічної графіки: проеціювання на дві площини 97.5 KB
  Мета уроку: Засвоєння знань про проеціювання центральне паралельне; креслення деталей об'ємної форми та умовні позначення на кресленнях. Формування умінь здійснювати проеціювання на дві взаємно перпендикулярні площини. План вивчення 1 Суть поняття проеціювання.