67584

Расширения полей. Формальное присоединение элементов

Лекция

Математика и математический анализ

На прошлой лекции было показано что исходное поле k можно расширить добавляя элементы из некоторого большего поля. Оказывается что конструкцию присоединения можно провести изнутри не выходя в большее поле K. Пусть pk(x)неприводимый многочлен над k U его корень в некотором большем поле...

Русский

2014-09-12

288 KB

3 чел.

Лекция 13

Расширения полей.

Формальное присоединение элементов.

            На прошлой лекции было показано, что исходное поле k можно расширить добавляя элементы из некоторого большего поля. В случае простого алгебраического расширения добавляется единственный элемент U, являющийся корнем некоторого неприводимого многочлена над k степени n. Это приводит к полю k(U), которое будет расширением степени n исходного поля k.

            Оказывается, что конструкцию присоединения можно провести “изнутри”, не выходя в большее поле K. Идея этого построения раскрывается в следующей теореме.

Теорема.

Пусть pk[x] - неприводимый многочлен над k, U - его корень в некотором большем поле K, (p) =pk[x] k[x] - главный идеал с образующим элементом p. Тогда k(U)  k[x]/(p).

Доказательство.

Определим отображение :k[x]  k(U)  формулой (q)=q(U). Поскольку каждый элемент Vk(U) может быть записан в виде многочлена от U,  сюръективно. По теореме о гомоморфизме k(U)  k[x]/Ker. Остается доказать, что Ker = (p). Если q=pd, то q(U)=p(U)d(U) = 0 и таким образом (p)  Ker. Обратно, если q(U) = 0 то поскольку p неприводим и p(U) = 0 , p | q и значит Ker  (p).

Следствие.        

Если  и  корни одного неприводимого над k многочлена, то поля k() и k() изоморфны, причем при этом изоморфизме каждый элемент поля k отображается на себя.

Замечание.

Поле F = k[x]/(p), для своего построения не требует знания большего поля K, в котором лежит корень  неприводимого многочлена p. Поле F содержит k. Рассмотрим естественный гомоморфизм t: k[x]  F и определим элемент U поля F равенством U= t(x). Тогда, очевидно, p(U) =0 . Теперь только что доказанная теорема позволяет утверждать, что Fk(U). Такой способ присоединения новых элементов к полю  называется формальным. Отметим, что именно так было построено поле C комплексных чисел исходя из поля вещественных чисел R: мнимую единицу i мы присоединили, как корень (неприводимого над R) многочлена . Присоединение было формальным в вышеуказанном смысле, так как находясь в области вещественных чисел, мы не можем указать корень этого многочлена.

Примеры.

Пусть k = Q, U =. Тогда p= имеет корни U, U, U, где - кубический корень из 1. Согласно только что сформулированному следствию, поля k=k(U) и k=k(U) изоморфны, хотя они и состоят из элементов различной природы: все числа из поля k действительные, а для k это уже не так.

Рассмотрим k = GF(2) и неприводимый многочлен p= +x+1 над этим полем. Нам неизвестно никакое большее поле K, в котором следует искать корни этого многочлена. В соответствии с только что доказанной теоремой рассмотрим поле K=k[x]/(p). Всякий его элемент можно записать в виде a+bU, где a , bGF(2), причем +U+1 = 0 . Поле K поэтому содержит 4 элемента: 0 = 0+0U; 1=1+0U; U =0+1U; V = 1+1U. Поле K является расширением поля GF(2) и потому имеет характеристику 2. С учетом этого обстоятельства его элементы складываются очевидным образом. Что касается умножения, то (как и во всяком поле) (a+bU)(c+dU) = ac+(ad+bc)U+bdи остается воспользоваться равенством =U+1. Например, U(U+1) = +U =1 так что элементы U и U+1 взаимно обратны. Поле K обозначается GF(4). В нем многочлен p имеет корень U.  Другим корнем p в том же поле будет V = U+1. Значит в поле GF(4) многочлен p раскладывается на множители первой степени: p = (x+U)(x+U+1).

Поле разложения многочлена.

Пусть pk[x] произвольный многочлен степени n. Разложим его в произведение неприводимых многочленов: p =. Присоединяя к k корень многочлена p построим новое поле, в котором p = (x-a) , где многочлены неприводимы над. Теперь присоединим к корень многочлена и так далее. В результате не более чем через n шагов мы придем к полю K в котором многочлен p распадается, то есть раскладывается в произведение многочленов первой степени: p=

Определение.

Построенное таким образом поле K называется полем разложения многочлена p. Это - наименьшее поле, содержащее k и все корни многочлена p: K = k().

Примеры.

У нас уже появлялись поля разложения. Так мы видели,что Q() -поле разложения многочлена Q[x], Q() - поле разложения многочлена Q[x], GF(4) - поле разложенияGF(2)[x].

Построим поле разложения для p = Q[x]. Заметим, что поле=Q() таковым не является; в этом поле p = и второй множитель q  неприводим даже над R, поскольку его дискриминант меньше нуля. Поле разложения K получится, если мы присоединим к полю один из корней уравнения q(x) = 0, то есть величину, где - кубический корень из 1. Впрочем, поскольку, достаточно присоединить. Первое расширение имеет базис 1, ,. Второе - 1, . По теореме о строении составного расширения,  базис K над Q составляют элементы: 1, ,,,, и [K:Q] =6. Заметим, что  = K, хотя в отдельности ни i ни не входят в K.

Замечание.

Можно доказать ( мы этого делать не будем), что поле разложения данного многочлена определено однозначно с точностью до изоморфизма.

Строение конечных полей.

Теорема о количестве элементов конечного поля.      

Пусть K расширение конечного поля k степени n. Если k содержит q элементов, то K содержит  элементов.

Доказательство.

Пусть - базис расширения. Любой элемент поля K однозначно записывается в виде:, гдеk. Отсюда и вытекает наше утверждение.

Следствие.

Количество элементов конечного поля k  характеристики p равно. В самом деле, kGF(p).

Как нам известно, над полем GF(p) существуют неприводимые многочлены любой степени . Присоединяя ( формально) к GF(p) корень такого многочлена степени n, мы получим расширение KGF(p) степени n. Итак, имеем следующее утверждение.

Теорема существования для конечных полей   

Для всякого натурального n и простого p существует конечное поле из  элементов.

        Рассмотрим теперь многочлен t =, где q =  над полем GF(p). Пусть K какое либо поле, содержащее все корни этого многочлена, так что в K . Отметим, что среди элементов нет одинаковых. В самом деле,  , так что ОНД(t, ) = 1 и t не имеет кратных корней.

Теорема.   

Множество T = {}K является полем из q элементов.

Доказательство.                                                                                                                                                  Надо проверить, что и                                            1. , Но . Значит, 

2. .

Следствие.

Поле T   из элементов является полем разложения многочлена  над GF(p).

Поскольку поле разложения многочлена определено однозначно с точностью до изоморфизма, мы вправе ввести для него специальное обозначение. Это поле называется полем Галуа  в честь французского математика Эвариста Галуа и обозначается GF().

Пусть теперь K любое поле из  элементов. Как нам известно, группа K* - циклическая порядка q-1. Поэтому для любого, а потому  для всех без исключения элементов K. Таким образом всякий элемент xK удовлетворяет уравнению =0  и KGF(q). Поскольку они состоят из одинакового числа элементов, мы получаем:

Теорема.

Любое конечное поле изоморфно GF().

Следствие.

Всякий неприводимый над GF(p) многочлен s степени n является делителем многочлена d =.

В самом деле, присоединяя к GF(p) корень многочлена s, мы получаем поле из элементов. Следовательно, этот корень содержится в GF() и неприводимый многочлен s делит d.

Отметим, что после этого присоединения получается поле разложения многочлена s.

Следствие.

Поле разложения любого неприводимого многочлена s степени n над GF(p) получается в результате присоединения одного единственного корня этого многочлена и изоморфно GF().  Многочлен s не имеет корней в полях GF() при l<n.

Теорема о подполях конечных полей.

Если kGF(), то kGF(),  причем m | n. Обратно, для всякого делителя m числа n в поле GF() существует единственное подполе из  элементов.

Доказательство.

Поскольку k имеет характеристику p оно состоит из q =  элементов. Поле GF() можно рассматривать как расширение степени l поля  k и, следовательно оно состоит из элементов, так что n = ml. Обратно, поскольку kGF(), всякий его элемент удовлетворяет уравнению = x. Это уравнение имеет не более корней в поле GF(), и значит если такое  подполе существует, его элементы определяются однозначно. Остается доказать, что при n = ml уравнение  = x имеет ровно корней в GF(). Проверим, что. Обозначим и заметим, что число целое. Имеем: .Так как y =1 корень числителя, то деление выполняется нацело. Поскольку в поле GF() многочлен распадается, то же верно и для его делителя и потому этот многочлен имеет корней.

Теорема о действии автоморфизма Фробениуса.   

Автоморфизм Фробениуса Ф:  циклически переставляет корни любого неприводимого многочлена степени n над GF(p).

Доказательство.

Пусть s заданный многочлен и a один из его корней. Тогда Ф Достаточно проверить, что все элементы a, Ф(a), ...., Ф попарно различны. Допустим, что Ф(a)= Ф(a), то есть, где i<j<n. Обозначим v = i- j+n. Возводя обе части полученного равенства в степень, получаем: . Таким образом a содержится в поле разложения многочлена, то есть в GF(). Поскольку v<n это невозможно.   


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

12479. 27 января – День снятия блокады г. Ленинграда (1944 г.) 1.45 MB
  27 января – День снятия блокады г. Ленинграда 1944 г. На Невском надписи пестрели. Кричала каждая стена: Внимание При артобстреле Опасна эта сторона Огонь И смерть вставала к
12480. Проект Блокада Ленинграда 982.66 KB
  Десятилетия прошли со времени окончания Второй Мировой войны, а память о ней продолжает жить в сознании человечества. Интерес к подвигу советского народа не ослабевает. Во время этой страшной, беспощадной войны
12481. Блокада Ленинграда. Хронология блокады Ленинграда 108.53 KB
  Опорный конспект. Блокада Ленинграда. Хронология блокады Ленинграда: 1941 год 4 сентября Начало артиллерийского обстрела Ленинграда 8 сентября Захват немцами Шлиссельбурга. Начало блокады Ленинграда. Первый массивный налёт вражеской авиации на город....
12482. Блокада Ленинграда. Оборона Ленинграда и подвиги ленинградцев 64.42 KB
  Реферат Тема: Блокада Ленинграда Содержание: Введение Планы Гитлера Начало блокады Проблемы эвакуации жителей Продовольствие в блокадном Ленинграде Дорога Жизни Жизнь людей в блокадном Ленинграде Дети блокадного Ленинграда О
12483. Сталинград. Сто двадцать пять блокадных грамм 63 KB
  Сто двадцать пять блокадных грамм 1. Бои на подступах к Ленинграду После того как в начале июля 1941 г. пали Остров и Псков немецкая группа армий Север 10 июля начала наступление на Ленинград. Ей противостоял созданный 24 июня на базе Ленинградского военного округа Север...
12484. Блокада Ленинграда. Классный час 38 KB
  Классный час: Блокада Ленинграда Цель классного часа: совершенствование духовно патриотического развития учащихся сохранение и развитие чувства гордости за свою страну воспитывать уважительное отношение к старшему поколению памятникам войны способств
12485. Блокада Ленинграда. Операция «Искра» - прорыв блокады 32.23 KB
  Реферат По спецкурсу Великая Отечественная война на тему: Блокада Ленинграда Содержание: 1. Введение 2. Первый удар. Продвижение захватчиков к Ленинграду 3. Начало битвы за Ленинград 4. Операция Искра прорыв блокады 5. Полная ликвидация блокады 6. За
12486. Геополитические последствия блокады Ленинграда 18.42 KB
  Геополитические последствия блокады Ленинграда Геополитика географическая политика; греч. γη земля πολιτική государственные или общественные дела наука о контроле над территорией о закономерностях распределения и перераспределения сфер влияния центров силы...
12487. Снятие Блокады Ленинграда 12.07 KB
  Снятие Блокады Ленинграда. День воинской славы России День снятия блокады города Ленинграда 1944 год отмечается в соответствии с Федеральным законом от 13 марта 1995 года № 32ФЗ О днях воинской славы победных днях России. В 1941 году Гитлер развернул военные действия н