67584

Расширения полей. Формальное присоединение элементов

Лекция

Математика и математический анализ

На прошлой лекции было показано что исходное поле k можно расширить добавляя элементы из некоторого большего поля. Оказывается что конструкцию присоединения можно провести изнутри не выходя в большее поле K. Пусть pk(x)неприводимый многочлен над k U его корень в некотором большем поле...

Русский

2014-09-12

288 KB

3 чел.

Лекция 13

Расширения полей.

Формальное присоединение элементов.

            На прошлой лекции было показано, что исходное поле k можно расширить добавляя элементы из некоторого большего поля. В случае простого алгебраического расширения добавляется единственный элемент U, являющийся корнем некоторого неприводимого многочлена над k степени n. Это приводит к полю k(U), которое будет расширением степени n исходного поля k.

            Оказывается, что конструкцию присоединения можно провести “изнутри”, не выходя в большее поле K. Идея этого построения раскрывается в следующей теореме.

Теорема.

Пусть pk[x] - неприводимый многочлен над k, U - его корень в некотором большем поле K, (p) =pk[x] k[x] - главный идеал с образующим элементом p. Тогда k(U)  k[x]/(p).

Доказательство.

Определим отображение :k[x]  k(U)  формулой (q)=q(U). Поскольку каждый элемент Vk(U) может быть записан в виде многочлена от U,  сюръективно. По теореме о гомоморфизме k(U)  k[x]/Ker. Остается доказать, что Ker = (p). Если q=pd, то q(U)=p(U)d(U) = 0 и таким образом (p)  Ker. Обратно, если q(U) = 0 то поскольку p неприводим и p(U) = 0 , p | q и значит Ker  (p).

Следствие.        

Если  и  корни одного неприводимого над k многочлена, то поля k() и k() изоморфны, причем при этом изоморфизме каждый элемент поля k отображается на себя.

Замечание.

Поле F = k[x]/(p), для своего построения не требует знания большего поля K, в котором лежит корень  неприводимого многочлена p. Поле F содержит k. Рассмотрим естественный гомоморфизм t: k[x]  F и определим элемент U поля F равенством U= t(x). Тогда, очевидно, p(U) =0 . Теперь только что доказанная теорема позволяет утверждать, что Fk(U). Такой способ присоединения новых элементов к полю  называется формальным. Отметим, что именно так было построено поле C комплексных чисел исходя из поля вещественных чисел R: мнимую единицу i мы присоединили, как корень (неприводимого над R) многочлена . Присоединение было формальным в вышеуказанном смысле, так как находясь в области вещественных чисел, мы не можем указать корень этого многочлена.

Примеры.

Пусть k = Q, U =. Тогда p= имеет корни U, U, U, где - кубический корень из 1. Согласно только что сформулированному следствию, поля k=k(U) и k=k(U) изоморфны, хотя они и состоят из элементов различной природы: все числа из поля k действительные, а для k это уже не так.

Рассмотрим k = GF(2) и неприводимый многочлен p= +x+1 над этим полем. Нам неизвестно никакое большее поле K, в котором следует искать корни этого многочлена. В соответствии с только что доказанной теоремой рассмотрим поле K=k[x]/(p). Всякий его элемент можно записать в виде a+bU, где a , bGF(2), причем +U+1 = 0 . Поле K поэтому содержит 4 элемента: 0 = 0+0U; 1=1+0U; U =0+1U; V = 1+1U. Поле K является расширением поля GF(2) и потому имеет характеристику 2. С учетом этого обстоятельства его элементы складываются очевидным образом. Что касается умножения, то (как и во всяком поле) (a+bU)(c+dU) = ac+(ad+bc)U+bdи остается воспользоваться равенством =U+1. Например, U(U+1) = +U =1 так что элементы U и U+1 взаимно обратны. Поле K обозначается GF(4). В нем многочлен p имеет корень U.  Другим корнем p в том же поле будет V = U+1. Значит в поле GF(4) многочлен p раскладывается на множители первой степени: p = (x+U)(x+U+1).

Поле разложения многочлена.

Пусть pk[x] произвольный многочлен степени n. Разложим его в произведение неприводимых многочленов: p =. Присоединяя к k корень многочлена p построим новое поле, в котором p = (x-a) , где многочлены неприводимы над. Теперь присоединим к корень многочлена и так далее. В результате не более чем через n шагов мы придем к полю K в котором многочлен p распадается, то есть раскладывается в произведение многочленов первой степени: p=

Определение.

Построенное таким образом поле K называется полем разложения многочлена p. Это - наименьшее поле, содержащее k и все корни многочлена p: K = k().

Примеры.

У нас уже появлялись поля разложения. Так мы видели,что Q() -поле разложения многочлена Q[x], Q() - поле разложения многочлена Q[x], GF(4) - поле разложенияGF(2)[x].

Построим поле разложения для p = Q[x]. Заметим, что поле=Q() таковым не является; в этом поле p = и второй множитель q  неприводим даже над R, поскольку его дискриминант меньше нуля. Поле разложения K получится, если мы присоединим к полю один из корней уравнения q(x) = 0, то есть величину, где - кубический корень из 1. Впрочем, поскольку, достаточно присоединить. Первое расширение имеет базис 1, ,. Второе - 1, . По теореме о строении составного расширения,  базис K над Q составляют элементы: 1, ,,,, и [K:Q] =6. Заметим, что  = K, хотя в отдельности ни i ни не входят в K.

Замечание.

Можно доказать ( мы этого делать не будем), что поле разложения данного многочлена определено однозначно с точностью до изоморфизма.

Строение конечных полей.

Теорема о количестве элементов конечного поля.      

Пусть K расширение конечного поля k степени n. Если k содержит q элементов, то K содержит  элементов.

Доказательство.

Пусть - базис расширения. Любой элемент поля K однозначно записывается в виде:, гдеk. Отсюда и вытекает наше утверждение.

Следствие.

Количество элементов конечного поля k  характеристики p равно. В самом деле, kGF(p).

Как нам известно, над полем GF(p) существуют неприводимые многочлены любой степени . Присоединяя ( формально) к GF(p) корень такого многочлена степени n, мы получим расширение KGF(p) степени n. Итак, имеем следующее утверждение.

Теорема существования для конечных полей   

Для всякого натурального n и простого p существует конечное поле из  элементов.

        Рассмотрим теперь многочлен t =, где q =  над полем GF(p). Пусть K какое либо поле, содержащее все корни этого многочлена, так что в K . Отметим, что среди элементов нет одинаковых. В самом деле,  , так что ОНД(t, ) = 1 и t не имеет кратных корней.

Теорема.   

Множество T = {}K является полем из q элементов.

Доказательство.                                                                                                                                                  Надо проверить, что и                                            1. , Но . Значит, 

2. .

Следствие.

Поле T   из элементов является полем разложения многочлена  над GF(p).

Поскольку поле разложения многочлена определено однозначно с точностью до изоморфизма, мы вправе ввести для него специальное обозначение. Это поле называется полем Галуа  в честь французского математика Эвариста Галуа и обозначается GF().

Пусть теперь K любое поле из  элементов. Как нам известно, группа K* - циклическая порядка q-1. Поэтому для любого, а потому  для всех без исключения элементов K. Таким образом всякий элемент xK удовлетворяет уравнению =0  и KGF(q). Поскольку они состоят из одинакового числа элементов, мы получаем:

Теорема.

Любое конечное поле изоморфно GF().

Следствие.

Всякий неприводимый над GF(p) многочлен s степени n является делителем многочлена d =.

В самом деле, присоединяя к GF(p) корень многочлена s, мы получаем поле из элементов. Следовательно, этот корень содержится в GF() и неприводимый многочлен s делит d.

Отметим, что после этого присоединения получается поле разложения многочлена s.

Следствие.

Поле разложения любого неприводимого многочлена s степени n над GF(p) получается в результате присоединения одного единственного корня этого многочлена и изоморфно GF().  Многочлен s не имеет корней в полях GF() при l<n.

Теорема о подполях конечных полей.

Если kGF(), то kGF(),  причем m | n. Обратно, для всякого делителя m числа n в поле GF() существует единственное подполе из  элементов.

Доказательство.

Поскольку k имеет характеристику p оно состоит из q =  элементов. Поле GF() можно рассматривать как расширение степени l поля  k и, следовательно оно состоит из элементов, так что n = ml. Обратно, поскольку kGF(), всякий его элемент удовлетворяет уравнению = x. Это уравнение имеет не более корней в поле GF(), и значит если такое  подполе существует, его элементы определяются однозначно. Остается доказать, что при n = ml уравнение  = x имеет ровно корней в GF(). Проверим, что. Обозначим и заметим, что число целое. Имеем: .Так как y =1 корень числителя, то деление выполняется нацело. Поскольку в поле GF() многочлен распадается, то же верно и для его делителя и потому этот многочлен имеет корней.

Теорема о действии автоморфизма Фробениуса.   

Автоморфизм Фробениуса Ф:  циклически переставляет корни любого неприводимого многочлена степени n над GF(p).

Доказательство.

Пусть s заданный многочлен и a один из его корней. Тогда Ф Достаточно проверить, что все элементы a, Ф(a), ...., Ф попарно различны. Допустим, что Ф(a)= Ф(a), то есть, где i<j<n. Обозначим v = i- j+n. Возводя обе части полученного равенства в степень, получаем: . Таким образом a содержится в поле разложения многочлена, то есть в GF(). Поскольку v<n это невозможно.   


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24374. Сущность и структура теоретического знания 52.5 KB
  Теория это высшая самая развитая форма организации научного знания дающая целостное представление о закономерностях и существенных связях определенное области действительности объекта данной теории 77. С помощью этих знаковых образований языка теории возникает возможность более точно и глубоко судить о соответствующей изучаемой предметной области. Кроме того тот или иной вид теории определяется предметом и задачами исследования глубиной раскрытия сущности предметов и др. Также имеют место попытки поиска идеальной схемы...
24375. Основания науки: нормы и идеалы науки, роль философских идей и принципов в обосновании научного знания (законы и категории) 116.5 KB
  Среди идеалов и норм можно выделить два взаимосвязанных блока: а собственно познавательные установки которые регулируют процесс воспроизведения в различных формах научного знания; б социальные нормативы фиксируют роль науки и ее ценность для общественной жизни на определенном этапе исторического развития. Существует еще и такое мнение что в период нормального эволюционного периода развития науки возможно бессознательное использование многих научных идеалов и норм. Закон единства и борьбы противоположностей является ядром диалектики...
24376. Понятие научной картины мира. Ее исторические формы. Функции научной картины мира (как онтология, форма систематизации знаний, исследовательская программа) 119.5 KB
  Функции научной картины мира как онтология форма систематизации знаний исследовательская программа По Радугину стр. 93 Становление понятия научной картины мира Вопрос о существовании научной картины мира и ее месте и роли в структуре научного знания впервые был поставлен и в определенной степени разработан выдающимися ученымиестествоиспытателями М.Планк в рамках обсуждения проблемы онтологических оснований научного знания поставил вопрос о существовании научной картины мира.
24377. Понятие метода. Классификация методов – эмпирические и теоретические методы познания 66 KB
  Классификация методов – эмпирические и теоретические методы познания По Радугину стр. Как стороны единого процесса познания чувственное и логическое характеризуют любое познание непосредственное отношение субъекта к объекту особенности индивидуальной познавательной деятельности. Оно относится к научному познанию и связано с анализом методов и форм познания на различных уровнях научного исследования характеризуют типы исследований. Задача теоретического уровня познания состоит в познании сущности явлений их законов.
24378. Наблюдение, измерение, эксперимент как метод научного познания 93.5 KB
  Эта активность возрастает от наблюдения к модельному эксперименту. В акте научного наблюдения можно выделить: 1 объект наблюдения; 2 субъект наблюдения наблюдатель; 3 средства наблюдения; 4 условия наблюдения; 5 систему знаний исходя их которой задают цель наблюдения. Следует подчеркнуть следующие особенности научного наблюдения: опирается на развитую теорию или отдельные теоретические положения; служит решению определенной теоретической задачи постановке новых проблем выдвижению новых или проверке существующих гипотез; имеет...
24379. Анализ и синтез, индукция и дедукция как метод научного познания 54.5 KB
  Анализ – это метод исследования состоящий в мысленном расчленении разложении целого или вообще сложного явления на его составные более простые элементарные части и выделение отдельных сторон свойств связей. Однако метод анализа дает сущность в абстрактном виде вне конкретных форм ее проявления. Синтез – это метод исследования состоящий в соединении воспроизведении связей проанализированных частей элементов сторон компонентов сложного явления и постижения целого в его единстве.
24380. Формализация, идеализация и роль моделирования 93.5 KB
  Вторая группа методы построения и оправдания теоретического знания которое дано в форме гипотезы приобретающей в результате статус теории. Современная гипотетикодедуктивная теория опирается на некоторый эмпирический базис совокупность фактов которые нуждаются в объяснении и делают необходимым создание теории. Именно идеализированный объект делает возможным создание теории. Научные теории прежде всего отличаются положенными в их основу идеализированными объектами.
24381. Возникновение, сущность и роль системного подхода в научном познании (Л. Фон Берталанфи и А.Богдан) 138.5 KB
  В результате суть системного подхода исследование механизма жизни системы. Каковы же основные черты системного подхода Это прежде всего параметрическое описание поэлементного состава строения исследуемого объекта. ФОРМИРОВАНИЕ ОБЩЕНАУЧНОГО СИСТЕМНОГО ПОДХОДА В ОТЕЧЕСТВЕННОЙ ФИЛОСОФИИ 50е начало 80х гг.
24382. Соотношение логического и исторического в процессе познания 71.5 KB
  Вопрос об отношении логического к историческому или как он сформулирован у Маркса об отношении научного развития к действительному развитию был непосредственно связан с необходимостью материалистически обосновать способ восхождения от абстрактного к конкретному. Если теоретическая реконструкция действительности осуществляется именно способом восхождения от абстрактного к конкретному то сразу же встает вопрос о том на что же должна ориентироваться теория определяя последовательность этого восхождения порядок развития понятий порядок...