67584

Расширения полей. Формальное присоединение элементов

Лекция

Математика и математический анализ

На прошлой лекции было показано что исходное поле k можно расширить добавляя элементы из некоторого большего поля. Оказывается что конструкцию присоединения можно провести изнутри не выходя в большее поле K. Пусть pk(x)неприводимый многочлен над k U его корень в некотором большем поле...

Русский

2014-09-12

288 KB

3 чел.

Лекция 13

Расширения полей.

Формальное присоединение элементов.

            На прошлой лекции было показано, что исходное поле k можно расширить добавляя элементы из некоторого большего поля. В случае простого алгебраического расширения добавляется единственный элемент U, являющийся корнем некоторого неприводимого многочлена над k степени n. Это приводит к полю k(U), которое будет расширением степени n исходного поля k.

            Оказывается, что конструкцию присоединения можно провести “изнутри”, не выходя в большее поле K. Идея этого построения раскрывается в следующей теореме.

Теорема.

Пусть pk[x] - неприводимый многочлен над k, U - его корень в некотором большем поле K, (p) =pk[x] k[x] - главный идеал с образующим элементом p. Тогда k(U)  k[x]/(p).

Доказательство.

Определим отображение :k[x]  k(U)  формулой (q)=q(U). Поскольку каждый элемент Vk(U) может быть записан в виде многочлена от U,  сюръективно. По теореме о гомоморфизме k(U)  k[x]/Ker. Остается доказать, что Ker = (p). Если q=pd, то q(U)=p(U)d(U) = 0 и таким образом (p)  Ker. Обратно, если q(U) = 0 то поскольку p неприводим и p(U) = 0 , p | q и значит Ker  (p).

Следствие.        

Если  и  корни одного неприводимого над k многочлена, то поля k() и k() изоморфны, причем при этом изоморфизме каждый элемент поля k отображается на себя.

Замечание.

Поле F = k[x]/(p), для своего построения не требует знания большего поля K, в котором лежит корень  неприводимого многочлена p. Поле F содержит k. Рассмотрим естественный гомоморфизм t: k[x]  F и определим элемент U поля F равенством U= t(x). Тогда, очевидно, p(U) =0 . Теперь только что доказанная теорема позволяет утверждать, что Fk(U). Такой способ присоединения новых элементов к полю  называется формальным. Отметим, что именно так было построено поле C комплексных чисел исходя из поля вещественных чисел R: мнимую единицу i мы присоединили, как корень (неприводимого над R) многочлена . Присоединение было формальным в вышеуказанном смысле, так как находясь в области вещественных чисел, мы не можем указать корень этого многочлена.

Примеры.

Пусть k = Q, U =. Тогда p= имеет корни U, U, U, где - кубический корень из 1. Согласно только что сформулированному следствию, поля k=k(U) и k=k(U) изоморфны, хотя они и состоят из элементов различной природы: все числа из поля k действительные, а для k это уже не так.

Рассмотрим k = GF(2) и неприводимый многочлен p= +x+1 над этим полем. Нам неизвестно никакое большее поле K, в котором следует искать корни этого многочлена. В соответствии с только что доказанной теоремой рассмотрим поле K=k[x]/(p). Всякий его элемент можно записать в виде a+bU, где a , bGF(2), причем +U+1 = 0 . Поле K поэтому содержит 4 элемента: 0 = 0+0U; 1=1+0U; U =0+1U; V = 1+1U. Поле K является расширением поля GF(2) и потому имеет характеристику 2. С учетом этого обстоятельства его элементы складываются очевидным образом. Что касается умножения, то (как и во всяком поле) (a+bU)(c+dU) = ac+(ad+bc)U+bdи остается воспользоваться равенством =U+1. Например, U(U+1) = +U =1 так что элементы U и U+1 взаимно обратны. Поле K обозначается GF(4). В нем многочлен p имеет корень U.  Другим корнем p в том же поле будет V = U+1. Значит в поле GF(4) многочлен p раскладывается на множители первой степени: p = (x+U)(x+U+1).

Поле разложения многочлена.

Пусть pk[x] произвольный многочлен степени n. Разложим его в произведение неприводимых многочленов: p =. Присоединяя к k корень многочлена p построим новое поле, в котором p = (x-a) , где многочлены неприводимы над. Теперь присоединим к корень многочлена и так далее. В результате не более чем через n шагов мы придем к полю K в котором многочлен p распадается, то есть раскладывается в произведение многочленов первой степени: p=

Определение.

Построенное таким образом поле K называется полем разложения многочлена p. Это - наименьшее поле, содержащее k и все корни многочлена p: K = k().

Примеры.

У нас уже появлялись поля разложения. Так мы видели,что Q() -поле разложения многочлена Q[x], Q() - поле разложения многочлена Q[x], GF(4) - поле разложенияGF(2)[x].

Построим поле разложения для p = Q[x]. Заметим, что поле=Q() таковым не является; в этом поле p = и второй множитель q  неприводим даже над R, поскольку его дискриминант меньше нуля. Поле разложения K получится, если мы присоединим к полю один из корней уравнения q(x) = 0, то есть величину, где - кубический корень из 1. Впрочем, поскольку, достаточно присоединить. Первое расширение имеет базис 1, ,. Второе - 1, . По теореме о строении составного расширения,  базис K над Q составляют элементы: 1, ,,,, и [K:Q] =6. Заметим, что  = K, хотя в отдельности ни i ни не входят в K.

Замечание.

Можно доказать ( мы этого делать не будем), что поле разложения данного многочлена определено однозначно с точностью до изоморфизма.

Строение конечных полей.

Теорема о количестве элементов конечного поля.      

Пусть K расширение конечного поля k степени n. Если k содержит q элементов, то K содержит  элементов.

Доказательство.

Пусть - базис расширения. Любой элемент поля K однозначно записывается в виде:, гдеk. Отсюда и вытекает наше утверждение.

Следствие.

Количество элементов конечного поля k  характеристики p равно. В самом деле, kGF(p).

Как нам известно, над полем GF(p) существуют неприводимые многочлены любой степени . Присоединяя ( формально) к GF(p) корень такого многочлена степени n, мы получим расширение KGF(p) степени n. Итак, имеем следующее утверждение.

Теорема существования для конечных полей   

Для всякого натурального n и простого p существует конечное поле из  элементов.

        Рассмотрим теперь многочлен t =, где q =  над полем GF(p). Пусть K какое либо поле, содержащее все корни этого многочлена, так что в K . Отметим, что среди элементов нет одинаковых. В самом деле,  , так что ОНД(t, ) = 1 и t не имеет кратных корней.

Теорема.   

Множество T = {}K является полем из q элементов.

Доказательство.                                                                                                                                                  Надо проверить, что и                                            1. , Но . Значит, 

2. .

Следствие.

Поле T   из элементов является полем разложения многочлена  над GF(p).

Поскольку поле разложения многочлена определено однозначно с точностью до изоморфизма, мы вправе ввести для него специальное обозначение. Это поле называется полем Галуа  в честь французского математика Эвариста Галуа и обозначается GF().

Пусть теперь K любое поле из  элементов. Как нам известно, группа K* - циклическая порядка q-1. Поэтому для любого, а потому  для всех без исключения элементов K. Таким образом всякий элемент xK удовлетворяет уравнению =0  и KGF(q). Поскольку они состоят из одинакового числа элементов, мы получаем:

Теорема.

Любое конечное поле изоморфно GF().

Следствие.

Всякий неприводимый над GF(p) многочлен s степени n является делителем многочлена d =.

В самом деле, присоединяя к GF(p) корень многочлена s, мы получаем поле из элементов. Следовательно, этот корень содержится в GF() и неприводимый многочлен s делит d.

Отметим, что после этого присоединения получается поле разложения многочлена s.

Следствие.

Поле разложения любого неприводимого многочлена s степени n над GF(p) получается в результате присоединения одного единственного корня этого многочлена и изоморфно GF().  Многочлен s не имеет корней в полях GF() при l<n.

Теорема о подполях конечных полей.

Если kGF(), то kGF(),  причем m | n. Обратно, для всякого делителя m числа n в поле GF() существует единственное подполе из  элементов.

Доказательство.

Поскольку k имеет характеристику p оно состоит из q =  элементов. Поле GF() можно рассматривать как расширение степени l поля  k и, следовательно оно состоит из элементов, так что n = ml. Обратно, поскольку kGF(), всякий его элемент удовлетворяет уравнению = x. Это уравнение имеет не более корней в поле GF(), и значит если такое  подполе существует, его элементы определяются однозначно. Остается доказать, что при n = ml уравнение  = x имеет ровно корней в GF(). Проверим, что. Обозначим и заметим, что число целое. Имеем: .Так как y =1 корень числителя, то деление выполняется нацело. Поскольку в поле GF() многочлен распадается, то же верно и для его делителя и потому этот многочлен имеет корней.

Теорема о действии автоморфизма Фробениуса.   

Автоморфизм Фробениуса Ф:  циклически переставляет корни любого неприводимого многочлена степени n над GF(p).

Доказательство.

Пусть s заданный многочлен и a один из его корней. Тогда Ф Достаточно проверить, что все элементы a, Ф(a), ...., Ф попарно различны. Допустим, что Ф(a)= Ф(a), то есть, где i<j<n. Обозначим v = i- j+n. Возводя обе части полученного равенства в степень, получаем: . Таким образом a содержится в поле разложения многочлена, то есть в GF(). Поскольку v<n это невозможно.   


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81215. Реформация и возникновение протестантизма 23.34 KB
  После того как большая группа германских государей и представителей вольных городов примкнувших к Реформации выступили с протестом против решения имперского рейхстага в Шпейере 1529 запрещавшего дальнейшее распространение реформ последователи их стали называться протестантами а новая форма христианства протестантизмом. Таким образом протестантизм совокупность религиозных организаций и вероучений возникших в результате Реформации католицизма начиная с XVI в. Протестантизм вырос из религиозных конфликтов которые были формой...
81216. Особенности вероучения и обрядности протестантизма 24.26 KB
  Протестанты считают что человек может получить прощение грехов верой в Иисуса Христа верой в Его смерть за грехи и немощи всех людей и в Его воскресение из мёртвых. Христианепротестанты верят что Библия является единственным источником христианского вероучения её изучение и применение в собственной жизни считается важной задачей каждого верующего. Протестанты прилагают усилия чтобы Библия была доступна людям на их национальных языках. Протестанты считают основой своей веры прежде всего Библию Книги Священного Писания.
81217. Основные течения раннего протестантизма 24.21 KB
  Англиканство сочетает католический догмат о спасающей силе церкви с протестантским учением о спасении личной верой. Отвергается Священное Предание учение о чистилище о преизбыточных заслугах святых монашество иконы католические святые мощи обет безбрачия священников целибат и т. Одно из главных мест в его философии занимало учение ;О двойном переопределении . Идеологическая основа цвинглианства представляет изложенное в посланиях апостола Павла учение об искуплении Христом первородного греха и даруемом божественной благодатью...
81218. Поздний протестантизм, его основные формы 24.4 KB
  Баптисты веруют во второе пришествие Христа и воскресение мертвых. Установится тысячелетнее царствование Христа. Название связано с мифом о сошествии Святого Духа на апостолов в 50й день после вознесения Христа. Иеговисты признают единым богом Иегову Иисуса Христа порождением Иеговы и исполнителем его воли а под Святым Духом понимают власть Иеговы которая может влиять на сознание людей.
81219. Русская религиозная философия 28.04 KB
  Рассматривается вопрос мира и бытия человека в нем общественной жизни и исторического процесса. Ее духовным источником было православие а в центре внимания находилась тема Бога и человека взаимоотношение между ними. Основой нравственного прогресса поведения человека его воспитания и всей педагогики является по его мнению \'\' нерасторжимая связь поколений поддерживающих друг друга в прогрессивном исполнении одного общего дела приготовления к явному Царству божию и к воскресению всех \'\'. Смысл и значение человека и человечества встать...
81220. Понятие и сущность религии. Основные подходы к ее трактовке 23.23 KB
  Сегодня существует многообразие исследовательских подходов к изучению природы и сущности религии в рамках которых предлагается разнообразие определений религии. Сущность религии выводят из наличия в мире сверхъестественных сил поэтому объективный идеализм философская основа теологии как системой обоснования и защитой религии. Существование религии объясняется расколом между телом и душой.
81221. Структура религии. Специфика религиозного сознания 24.51 KB
  Она включает в себя такие важнейшие элементы как: религиозное сознание религиозный культ религиозная организация. Интегративной чертой религиозного сознания является религиозная вера. Религиозное сознание неоднородно и существует на двух уровнях: обыденный или религиозная психология: совокупность представлений установок стереотипов чувств и настроений верующих. концептуальный или религиозная идеология: система идей принципов концепций разработанная и пропагандируемая теологами и служителями церкви.
81222. Религиозный культ и религиозные организации 24.7 KB
  Предметом культовой деятельности становятся различные объекты и силы осознаваемые в форме религиозных образов. Способы культовой деятельности определяются содержанием религиозных верований а также зависят от средств культа. На основе религиозных взглядов складываются определенные нормы предписания о том что и как нужно делать. Результатом культовой деятельности является прежде всего удовлетворение религиозных потребностей оживление религиозного сознания.
81223. Религия как социальное явление. Основные функции религи 23.81 KB
  Основные функции религии. Несколько подходов к определению религии: теологический философский критический научный. Два основных взгляда: религия существует в многообразии религий своего рода универсалия общий термин; религии существуют как модификации единой первоначальной религии. Функции религии...