67592

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Лекция

Математика и математический анализ

Множества и функции. Эти объекты называются элементами множества S. Множество задают специфицируют двумя способами: перечислением: ={123}; характеристикой свойств общих для элементов множества: А = {X PX} А это множество тех и только тех элементов X для которых P от X есть истинное предложение.

Русский

2014-09-12

142.5 KB

1 чел.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Литература:

1. Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. М.: МАИ, 1992. 262 с.

2. Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженера. М.: Энергоатомиздат, 1988.

3. Кук Д., Бейз Г. Компьютерная математика. М. Наука, 1990. 384 с.479 с.

4. Бронштейн Е.М. Множества и функции. Методические указания. Уфа: УГАТУ. 1988.

Определение. Под множеством S будем понимать любое собрание определенных и различимых между собой объектов, мыслимое как единое целое. Эти объекты называются элементами множества S.

Существенной деталью является то, что для любого объекта можно установить, принадлежит он данному множеству S или нет.

Множество задают (специфицируют) двумя способами:

-перечислением: A={1,2,3};

- характеристикой свойств, общих для элементов множества:

А = {X | P(X)} (А - это множество тех и только тех элементов X для которых P от X есть истинное предложение).

Примеры :||

А={1,2,3,4,5,6,7,8};

А- есть множество всех Х, таких, что Х-целое и Х>0 и Х<9;

А={X | X - целое, 0<X<9}.

Если элемент Х принадлежит множеству А, то записывают XA, если не принадлежит, то XA. Например, 7А, 6А.

Определение. Множества А и В считаются равными, если они состоят из одинаковых элементов. Обозначение: А=В.

Например,

{1,2,3} = {2,1,3} = {2,1,1,3}

2 {1,2},   {{1,2}} {1,2} (Оболочка!)

То есть элемент не считается равным множеству, если даже множество состоит только из этого элемента.

Парадокс Рассела

Описанные выше понятия теории множеств с успехом могут быть использованы в началах анализа, алгебры, математической логики и т. д. Однако при более строгих рассмотрениях такое интуитивное восприятие может оказаться неудовлетворительным.

Приведем в качестве примера парадокс Рассела.

Можно указать такие множества, которые принадлежат самим себе как элементы, например, множество всех множеств.

Можно также указать множества, которые не являются элементами самих себя, например, множество {1,2}, элементами которого являются числа 1 и 2 (других элементов нет).

Рассмотрим теперь множество А всех таких множеств Х, что Х не есть элемент Х.

Тогда, если это полученное множество А не есть элемент А (самого себя), то по определению, А также есть элемент А.

С другой стороны, если А есть элемент А, то А – одно из тех множеств Х, которые не есть элементы самих себя, т.е. А не есть элемент А (не принадлежит A).

В любом случае А есть элемент А и А не есть элемент А.

Парадокс. Тем самым, интуитивная теория множеств – противоречива. Существует боле строгая формализация теории множеств.

Мы лишь укажем, что к парадоксам приводит в ряде случаев попытка объять необъятное: множество всех множеств (существующих в природе и в нашем сознании).

Отношения между множествами

Определение. Говорят, что А содержится в B или что A есть подмножество множества В, если каждый элемент множества А есть элемент множества В.

Отношение включения между множествами (A содержится в B) обозначается знаком , т.е. AB.

Определение. Если AB и AB, то А есть собственное подмножество В и пишут АВ ||.

Например, {1,2}{1,2,3,4}, множество четных чисел есть собственное подмножество множества целых чисел и т.д.

Свойства отношения включения:

- ХХ; (свойство рефлексивности);

- если XY, YZ, то XZ, (свойство транзитивности);

- если XY, YX, то X=Y (свойство антисимметрии).

Примечание. Не надо путать отношения и . Хотя 1{1}, {1}{{1}}, но 1{{1}}, так как единственным элементом {{1}} является {1}.

Определение. Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается . Пустое множество есть подмножество любого множества.

Определение. Множество всех подмножеств A называют множеством - степенью или Булеаном и обозначается B(A).

Пример.

Если А={1,2,3}, то B(А)={,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},А}.

Утверждение: если A состоит из n элементов, то B(A) состоит из 2n элементов.

Доказательство:

Перенумеруем все элементы множества А. Введем описание подмножества множества А в виде строки из n бит (ячеек, содержащих цифры 0 или 1). 0 на i-том месте означает, что i-тый элемент не принадлежит данному подмножеству, 1- что принадлежит.

0

1

0

0

1

0

1

Например, пустое множество обозначается строкой нулей, само А – строкой единиц.

Тогда число различных комбинаций нулей и единиц равно количеству различных двоичных чисел, которые можно записать в n битах, т.е. 2n.

Действия над множествами

1) Объединением множеств А и В называется множество всех элементов, которые являются элементами хотя бы одного множества А или В:

AB={x | xA или xB}

Некоторые свойства: AAB, BAB.

Диаграммы Эйлера-Венна. Вводится понятие универсального множества U (множества, содержащего все возможные элементы). Этот универсум обозначается квадратом. Другие множества обозначаются кругами внутри этого квадрата.:

       

2) Пересечением множеств А и В называется множество всех элементов, которые являются элементами обоих множеств А и В:

AB={x | xA и xB}

Некоторые свойства: ABAAB,  ABBAB.

3) Абсолютное дополнение (множество всех элементов, не принадлежащих множеству А):   = {x | x  A}

4) Вычитание множеств или относительное дополнение множества А до множества B:   B\A={x | xB, xA}.

Эта операция может быть осуществлена с помощью пересечения и дополнения: B\A=B.

5) Симметрическая разность: A+B=(A\B)(B\A)

Свойства действий над множествами. Алгебра теории множеств

1

AВ=BA (коммутативность объединения );

1

AB=BA (коммутативность пересечения);

2

A(BC)=(AB)C (ассоциативность );

2

A(BC)=(AB)C (ассоциативность );

3

A(BC)=(AB)(AC) (дистрибутивность

относительно );

3

A(BC)=(AB)(AC) (дистрибутивность

относительно );

4

A=A;

4

AU=A;

5

A=U;

5

A=;

6

AA=A;

6

AA=A;

7

AU=U;

7

A=;

8

=

(закон де Моргана);

8

=

(закон де Моргана);

9

A(AB)=A

(закон поглощения);

9

A(AB)=A

(закон поглощения).

Доказательство свойства 3 (с помощью свойства антисимметрии )

Во-первых, A(BC)(AB)(AC).

Действительно, если xA(BC), то xA или xBC.

Если xA, то xAB и xAC. Тогда x(AB)(AC).

Если xBC, то xB и xC. Тогда xBA и xCA, а значит, x(AB)(AC).

Во-вторых, (AB)(AC)A(BC).

На самом деле, если x(AB)(AC), то xAB и xAC. Тогда xA или (xB и (одновременно) xC), т.е. (xВC). Тем самым, xA(BC).

Из первого и второго следует справедливость утверждения.

Доказательство свойства 8 (=).

Пусть x. Тогда xU и xAB      xA и xB      x и x      x    .

Пусть x. Тогда x и x      xU и xA и xB      xAB, т.е. x      .

В силу справедливости того и другого справедливо и доказываемое утверждение.

Задание 

1. Доказать эквивалентность соотношений

  1.  AB;
  2.  AB=A;
  3.  AB=B.

2. Доказать

а) (AC)(BD)(AB)(CD);

б) (B\C)\(B\A)A\C;

в) A\C(A\B)(B\C);

3.  A\(B\C)=(A\B)(AC);

   (A\B)C=(AС)\(BC)=(AС)\B.

4. Следует ли из A\B=C равенство A=BC ?

   из A=BC равенство A\B=C ?

5. Верны ли равенства

   A\(BC)=(A\B)\C ;

   A(B\C)=(AB)\C ;

Существуют ли множества?

AB, AC=, (AB)\C=

Решение: AB=B(A)=BA.

Доказать тождества:

а)

б)

в)

г)

д)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

26638. СОЗРЕВАНИЕ МЯСА. ТОКСИКОИНФЕКЦИИ ПАРАТИФОЗНОГО ХАРАКТЕРА 21.82 KB
  СОЗРЕВАНИЕ МЯСА. Мясо только что убитого животного имеет плотную консистенцию при варке дает неароматный бульон из такого мяса почти невозможно выделить мясной сок реакция его близка к нейтральной оно жесткое плохо усваивается. В течение первых 24 часов после убоя животного в зависимости от температуры и других факторов пищевые качества и внешние показатели мяса резко меняются: мясо становится нежным мясной сок легко отделяется при варке мясо дает прозрачный ароматный бульон реакция его смещается в кислую сторону мясо хорошо...
26639. СОРТИРОВКА ЖИВОТНЫХ ПО УПИТАННОСТИ 26.52 KB
  Животные как сырье для мясоперерабатывающих предприятий должны отвечать определенным категориям упитанности. 1 категория мускулатура развита удовлетворительно формы туловища несколько угловатые лопатки выделяются бедра слегка подтянуты; остистые отростки спинных и поясничных позвонков седалищные бугры и маклоки выступают но не резко; отложения подкожного жира прощупываются у основания хвоста и на седалищных буграх щуп выполнен слабо; у волов мошонка слабо заполнена жиром и на ощупь мягкая. II категория мускулатура развита менее...
26640. СОСТАВ КОРОВЬЕГО МОЛОКА 14.01 KB
  СОСТАВ КОРОВЬЕГО МОЛОКА. Коровье молоко материнское молоко коров производится в больших количествах и является наиболее продаваемым видом молока животных. Витамины пигменты ферменты гормоны микроколичества Газы 5÷7 см на 100 см молока Углекислый газ 50÷70 Азот 20÷30 Кислород 5÷10 Аммиак следы. Сухой молочный остаток остаток после высушивания навески молока до постоянного веса при t=102÷105 C.
26641. Вертикальная зональность океана 158 KB
  Общепринятой во всех странах схемы вертикальных зон океана к сожалению пока не существует. Кроме того в некоторых частях Мирового океана различают также: псевдобатиаль фауну внутришельфовых депрессий от 250400 до 1200 м отделенных более или менее мелководными порогами обычно менее 200 м от собственно батиальной зоны примеры: фауна более или менее изолированных глубинных котловин норвежских фьордов и района Магелланова пролива Белого и Балтийского морей южной Аляски антарктического шельфа; псевдоабиссаль фауну обширных...
26642. Круговорот веществ в биосфере 88 KB
  Биогеохимические круговороты. Круговорот веществ в биосфере. Круговорот углерода. Круговорот кислорода.
26643. КУЛЬТУРНЫЙ ЛАНДШАФТ 27 KB
  Ландшафт культурный географический ландшафт измененный хозяйственной деятельностью человеческого общества и насыщенный результатами его труда. и природным ландшафтом нет резкой грани: в Л. основывается на познании связей как между компонентами ландшафта так и между его морфологическими составными частями урочищами фациями и предусматривает достижение максимального воспроизводства естественных в первую очередь биологических ресурсов предотвращение неблагоприятных природных процессов создание здоровой среды для жизни человека...
26644. Ландша́фт 38.5 KB
  Landschaft вид местности от Land земля и schaft суффикс выражающий взаимосвязь взаимозависимость понятие употребляющееся в разных но связанных между собою значениях в географии ландшафтной экологии живописи ландшафтной архитектуре компьютерной графике и т. История понятия Пример ландшафтной живописи Питер Брейгель. Впервые слово ландшафт прозвучало в IX веке в трудах монахов Фульдского монастыря в Германии. Ландшафт укладывается в рамки административнотерриториального и административного понятия.
26646. Ноосфе́ра 25 KB
  Ноосфера новая высшая стадия эволюции биосферы становление которой связано с развитием человеческого общества оказывающего глубокое воздействие на природные процессы. Ноосфера как наука изучает закономерности возникновения существования и развития человека человеческого общества закономерности взаимоотношения человека с биосферой. В окружающем нас мире ноосфера является той частью биосферы которую занимает человек Возникновение и развитие ноосферы В ноосферном учении Человек предстаёт укоренённым в Природу а искусственное...