67592

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Лекция

Математика и математический анализ

Множества и функции. Эти объекты называются элементами множества S. Множество задают специфицируют двумя способами: перечислением: ={123}; характеристикой свойств общих для элементов множества: А = {X PX} А это множество тех и только тех элементов X для которых P от X есть истинное предложение.

Русский

2014-09-12

142.5 KB

1 чел.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Литература:

1. Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. М.: МАИ, 1992. 262 с.

2. Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженера. М.: Энергоатомиздат, 1988.

3. Кук Д., Бейз Г. Компьютерная математика. М. Наука, 1990. 384 с.479 с.

4. Бронштейн Е.М. Множества и функции. Методические указания. Уфа: УГАТУ. 1988.

Определение. Под множеством S будем понимать любое собрание определенных и различимых между собой объектов, мыслимое как единое целое. Эти объекты называются элементами множества S.

Существенной деталью является то, что для любого объекта можно установить, принадлежит он данному множеству S или нет.

Множество задают (специфицируют) двумя способами:

-перечислением: A={1,2,3};

- характеристикой свойств, общих для элементов множества:

А = {X | P(X)} (А - это множество тех и только тех элементов X для которых P от X есть истинное предложение).

Примеры :||

А={1,2,3,4,5,6,7,8};

А- есть множество всех Х, таких, что Х-целое и Х>0 и Х<9;

А={X | X - целое, 0<X<9}.

Если элемент Х принадлежит множеству А, то записывают XA, если не принадлежит, то XA. Например, 7А, 6А.

Определение. Множества А и В считаются равными, если они состоят из одинаковых элементов. Обозначение: А=В.

Например,

{1,2,3} = {2,1,3} = {2,1,1,3}

2 {1,2},   {{1,2}} {1,2} (Оболочка!)

То есть элемент не считается равным множеству, если даже множество состоит только из этого элемента.

Парадокс Рассела

Описанные выше понятия теории множеств с успехом могут быть использованы в началах анализа, алгебры, математической логики и т. д. Однако при более строгих рассмотрениях такое интуитивное восприятие может оказаться неудовлетворительным.

Приведем в качестве примера парадокс Рассела.

Можно указать такие множества, которые принадлежат самим себе как элементы, например, множество всех множеств.

Можно также указать множества, которые не являются элементами самих себя, например, множество {1,2}, элементами которого являются числа 1 и 2 (других элементов нет).

Рассмотрим теперь множество А всех таких множеств Х, что Х не есть элемент Х.

Тогда, если это полученное множество А не есть элемент А (самого себя), то по определению, А также есть элемент А.

С другой стороны, если А есть элемент А, то А – одно из тех множеств Х, которые не есть элементы самих себя, т.е. А не есть элемент А (не принадлежит A).

В любом случае А есть элемент А и А не есть элемент А.

Парадокс. Тем самым, интуитивная теория множеств – противоречива. Существует боле строгая формализация теории множеств.

Мы лишь укажем, что к парадоксам приводит в ряде случаев попытка объять необъятное: множество всех множеств (существующих в природе и в нашем сознании).

Отношения между множествами

Определение. Говорят, что А содержится в B или что A есть подмножество множества В, если каждый элемент множества А есть элемент множества В.

Отношение включения между множествами (A содержится в B) обозначается знаком , т.е. AB.

Определение. Если AB и AB, то А есть собственное подмножество В и пишут АВ ||.

Например, {1,2}{1,2,3,4}, множество четных чисел есть собственное подмножество множества целых чисел и т.д.

Свойства отношения включения:

- ХХ; (свойство рефлексивности);

- если XY, YZ, то XZ, (свойство транзитивности);

- если XY, YX, то X=Y (свойство антисимметрии).

Примечание. Не надо путать отношения и . Хотя 1{1}, {1}{{1}}, но 1{{1}}, так как единственным элементом {{1}} является {1}.

Определение. Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается . Пустое множество есть подмножество любого множества.

Определение. Множество всех подмножеств A называют множеством - степенью или Булеаном и обозначается B(A).

Пример.

Если А={1,2,3}, то B(А)={,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},А}.

Утверждение: если A состоит из n элементов, то B(A) состоит из 2n элементов.

Доказательство:

Перенумеруем все элементы множества А. Введем описание подмножества множества А в виде строки из n бит (ячеек, содержащих цифры 0 или 1). 0 на i-том месте означает, что i-тый элемент не принадлежит данному подмножеству, 1- что принадлежит.

0

1

0

0

1

0

1

Например, пустое множество обозначается строкой нулей, само А – строкой единиц.

Тогда число различных комбинаций нулей и единиц равно количеству различных двоичных чисел, которые можно записать в n битах, т.е. 2n.

Действия над множествами

1) Объединением множеств А и В называется множество всех элементов, которые являются элементами хотя бы одного множества А или В:

AB={x | xA или xB}

Некоторые свойства: AAB, BAB.

Диаграммы Эйлера-Венна. Вводится понятие универсального множества U (множества, содержащего все возможные элементы). Этот универсум обозначается квадратом. Другие множества обозначаются кругами внутри этого квадрата.:

       

2) Пересечением множеств А и В называется множество всех элементов, которые являются элементами обоих множеств А и В:

AB={x | xA и xB}

Некоторые свойства: ABAAB,  ABBAB.

3) Абсолютное дополнение (множество всех элементов, не принадлежащих множеству А):   = {x | x  A}

4) Вычитание множеств или относительное дополнение множества А до множества B:   B\A={x | xB, xA}.

Эта операция может быть осуществлена с помощью пересечения и дополнения: B\A=B.

5) Симметрическая разность: A+B=(A\B)(B\A)

Свойства действий над множествами. Алгебра теории множеств

1

AВ=BA (коммутативность объединения );

1

AB=BA (коммутативность пересечения);

2

A(BC)=(AB)C (ассоциативность );

2

A(BC)=(AB)C (ассоциативность );

3

A(BC)=(AB)(AC) (дистрибутивность

относительно );

3

A(BC)=(AB)(AC) (дистрибутивность

относительно );

4

A=A;

4

AU=A;

5

A=U;

5

A=;

6

AA=A;

6

AA=A;

7

AU=U;

7

A=;

8

=

(закон де Моргана);

8

=

(закон де Моргана);

9

A(AB)=A

(закон поглощения);

9

A(AB)=A

(закон поглощения).

Доказательство свойства 3 (с помощью свойства антисимметрии )

Во-первых, A(BC)(AB)(AC).

Действительно, если xA(BC), то xA или xBC.

Если xA, то xAB и xAC. Тогда x(AB)(AC).

Если xBC, то xB и xC. Тогда xBA и xCA, а значит, x(AB)(AC).

Во-вторых, (AB)(AC)A(BC).

На самом деле, если x(AB)(AC), то xAB и xAC. Тогда xA или (xB и (одновременно) xC), т.е. (xВC). Тем самым, xA(BC).

Из первого и второго следует справедливость утверждения.

Доказательство свойства 8 (=).

Пусть x. Тогда xU и xAB      xA и xB      x и x      x    .

Пусть x. Тогда x и x      xU и xA и xB      xAB, т.е. x      .

В силу справедливости того и другого справедливо и доказываемое утверждение.

Задание 

1. Доказать эквивалентность соотношений

  1.  AB;
  2.  AB=A;
  3.  AB=B.

2. Доказать

а) (AC)(BD)(AB)(CD);

б) (B\C)\(B\A)A\C;

в) A\C(A\B)(B\C);

3.  A\(B\C)=(A\B)(AC);

   (A\B)C=(AС)\(BC)=(AС)\B.

4. Следует ли из A\B=C равенство A=BC ?

   из A=BC равенство A\B=C ?

5. Верны ли равенства

   A\(BC)=(A\B)\C ;

   A(B\C)=(AB)\C ;

Существуют ли множества?

AB, AC=, (AB)\C=

Решение: AB=B(A)=BA.

Доказать тождества:

а)

б)

в)

г)

д)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

38195. Проблеми інформаційної безпеки України 161.5 KB
  Бурхливий розвиток інформаційних технологій наприкінці ХХ ст. призвів до зростання відносної важливості окремих аспектів суспільного життя. Внаслідок інформаційної революції основною цінністю для суспільства взагалі й окремої людини зокрема поступово стають інформаційні ресурси
38196. Засновники геополітики 203.5 KB
  Поняття глобального було введено в науковий обіг у другій половині XX століття американським науковцем Т.Левіттом, який охарактеризував ним феномен злиття ринків окремої продукції як нову тенденцію розвитку світової економіки; згодом це явище було інтерпретоване деякими домінуючими світовими силами в дусі ідеології обєднання світу в єдину економічну,
38198. Воєнна політологія як наука 134.5 KB
  Воєнна політика – частина загальної політики певних соціальних сил і спеціально створених ними інститутів влади, що спрямована на підготовку і використання (навмисне або змушене, військове або невійськове) засобів збройного насильства для досягнення тих або інших класових, національних або загальнолюдських інтересів, мети; для ведення війни або протидії.
38199. Аерократія та ефірократія 36.03 KB
  Мондіалістські центри мали своїх кореспондентів і в Москві. Ключовою постаттю був академік Гвішіані, директор Інституту Системних Досліджень, який був чимось подібним до філіалу “Трілатераля”
38200. Міграційні процеси і екологічний імператив як фактор світової політики 27.04 KB
  З врахуванням триваючої тенденції до росту чисельності населення можна припустити можливість своєрідного демографічного «перевантаження» нашої планети...
38201. Конфлікти та війни сучасності 55.19 KB
  Терміном «Близькосхідний конфлікт» (конфлікт на Близькому Сході) позначається серія міжнародних конфліктів, що протікають із 1940-х років в цьому регіоні. В цих конфліктах брали та досі беруть участь численні арабські держави, Ізраїль, Іран, Туреччина, зовнішні актори – США, СРСР, Росія, ЄС, міжнародні організації. Важливість Близькосхідного конфлікту завжди обумовлюється стратегічним значенням регіону – на Близький Схід
38202. Структура воєнної політики сучасної України 30.84 KB
  Сьогодні українсько-російські відносини перебувають у досить складному, якщо не сказати критичному стані, про що свідчать оцінки експертів (і з російського, і з українського боку). Останнім часом спостерігалося зростання конфліктності в багатьох сферах співробітництва