67592

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Лекция

Математика и математический анализ

Множества и функции. Эти объекты называются элементами множества S. Множество задают специфицируют двумя способами: перечислением: ={123}; характеристикой свойств общих для элементов множества: А = {X PX} А это множество тех и только тех элементов X для которых P от X есть истинное предложение.

Русский

2014-09-12

142.5 KB

1 чел.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Литература:

1. Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. М.: МАИ, 1992. 262 с.

2. Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженера. М.: Энергоатомиздат, 1988.

3. Кук Д., Бейз Г. Компьютерная математика. М. Наука, 1990. 384 с.479 с.

4. Бронштейн Е.М. Множества и функции. Методические указания. Уфа: УГАТУ. 1988.

Определение. Под множеством S будем понимать любое собрание определенных и различимых между собой объектов, мыслимое как единое целое. Эти объекты называются элементами множества S.

Существенной деталью является то, что для любого объекта можно установить, принадлежит он данному множеству S или нет.

Множество задают (специфицируют) двумя способами:

-перечислением: A={1,2,3};

- характеристикой свойств, общих для элементов множества:

А = {X | P(X)} (А - это множество тех и только тех элементов X для которых P от X есть истинное предложение).

Примеры :||

А={1,2,3,4,5,6,7,8};

А- есть множество всех Х, таких, что Х-целое и Х>0 и Х<9;

А={X | X - целое, 0<X<9}.

Если элемент Х принадлежит множеству А, то записывают XA, если не принадлежит, то XA. Например, 7А, 6А.

Определение. Множества А и В считаются равными, если они состоят из одинаковых элементов. Обозначение: А=В.

Например,

{1,2,3} = {2,1,3} = {2,1,1,3}

2 {1,2},   {{1,2}} {1,2} (Оболочка!)

То есть элемент не считается равным множеству, если даже множество состоит только из этого элемента.

Парадокс Рассела

Описанные выше понятия теории множеств с успехом могут быть использованы в началах анализа, алгебры, математической логики и т. д. Однако при более строгих рассмотрениях такое интуитивное восприятие может оказаться неудовлетворительным.

Приведем в качестве примера парадокс Рассела.

Можно указать такие множества, которые принадлежат самим себе как элементы, например, множество всех множеств.

Можно также указать множества, которые не являются элементами самих себя, например, множество {1,2}, элементами которого являются числа 1 и 2 (других элементов нет).

Рассмотрим теперь множество А всех таких множеств Х, что Х не есть элемент Х.

Тогда, если это полученное множество А не есть элемент А (самого себя), то по определению, А также есть элемент А.

С другой стороны, если А есть элемент А, то А – одно из тех множеств Х, которые не есть элементы самих себя, т.е. А не есть элемент А (не принадлежит A).

В любом случае А есть элемент А и А не есть элемент А.

Парадокс. Тем самым, интуитивная теория множеств – противоречива. Существует боле строгая формализация теории множеств.

Мы лишь укажем, что к парадоксам приводит в ряде случаев попытка объять необъятное: множество всех множеств (существующих в природе и в нашем сознании).

Отношения между множествами

Определение. Говорят, что А содержится в B или что A есть подмножество множества В, если каждый элемент множества А есть элемент множества В.

Отношение включения между множествами (A содержится в B) обозначается знаком , т.е. AB.

Определение. Если AB и AB, то А есть собственное подмножество В и пишут АВ ||.

Например, {1,2}{1,2,3,4}, множество четных чисел есть собственное подмножество множества целых чисел и т.д.

Свойства отношения включения:

- ХХ; (свойство рефлексивности);

- если XY, YZ, то XZ, (свойство транзитивности);

- если XY, YX, то X=Y (свойство антисимметрии).

Примечание. Не надо путать отношения и . Хотя 1{1}, {1}{{1}}, но 1{{1}}, так как единственным элементом {{1}} является {1}.

Определение. Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается . Пустое множество есть подмножество любого множества.

Определение. Множество всех подмножеств A называют множеством - степенью или Булеаном и обозначается B(A).

Пример.

Если А={1,2,3}, то B(А)={,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},А}.

Утверждение: если A состоит из n элементов, то B(A) состоит из 2n элементов.

Доказательство:

Перенумеруем все элементы множества А. Введем описание подмножества множества А в виде строки из n бит (ячеек, содержащих цифры 0 или 1). 0 на i-том месте означает, что i-тый элемент не принадлежит данному подмножеству, 1- что принадлежит.

0

1

0

0

1

0

1

Например, пустое множество обозначается строкой нулей, само А – строкой единиц.

Тогда число различных комбинаций нулей и единиц равно количеству различных двоичных чисел, которые можно записать в n битах, т.е. 2n.

Действия над множествами

1) Объединением множеств А и В называется множество всех элементов, которые являются элементами хотя бы одного множества А или В:

AB={x | xA или xB}

Некоторые свойства: AAB, BAB.

Диаграммы Эйлера-Венна. Вводится понятие универсального множества U (множества, содержащего все возможные элементы). Этот универсум обозначается квадратом. Другие множества обозначаются кругами внутри этого квадрата.:

       

2) Пересечением множеств А и В называется множество всех элементов, которые являются элементами обоих множеств А и В:

AB={x | xA и xB}

Некоторые свойства: ABAAB,  ABBAB.

3) Абсолютное дополнение (множество всех элементов, не принадлежащих множеству А):   = {x | x  A}

4) Вычитание множеств или относительное дополнение множества А до множества B:   B\A={x | xB, xA}.

Эта операция может быть осуществлена с помощью пересечения и дополнения: B\A=B.

5) Симметрическая разность: A+B=(A\B)(B\A)

Свойства действий над множествами. Алгебра теории множеств

1

AВ=BA (коммутативность объединения );

1

AB=BA (коммутативность пересечения);

2

A(BC)=(AB)C (ассоциативность );

2

A(BC)=(AB)C (ассоциативность );

3

A(BC)=(AB)(AC) (дистрибутивность

относительно );

3

A(BC)=(AB)(AC) (дистрибутивность

относительно );

4

A=A;

4

AU=A;

5

A=U;

5

A=;

6

AA=A;

6

AA=A;

7

AU=U;

7

A=;

8

=

(закон де Моргана);

8

=

(закон де Моргана);

9

A(AB)=A

(закон поглощения);

9

A(AB)=A

(закон поглощения).

Доказательство свойства 3 (с помощью свойства антисимметрии )

Во-первых, A(BC)(AB)(AC).

Действительно, если xA(BC), то xA или xBC.

Если xA, то xAB и xAC. Тогда x(AB)(AC).

Если xBC, то xB и xC. Тогда xBA и xCA, а значит, x(AB)(AC).

Во-вторых, (AB)(AC)A(BC).

На самом деле, если x(AB)(AC), то xAB и xAC. Тогда xA или (xB и (одновременно) xC), т.е. (xВC). Тем самым, xA(BC).

Из первого и второго следует справедливость утверждения.

Доказательство свойства 8 (=).

Пусть x. Тогда xU и xAB      xA и xB      x и x      x    .

Пусть x. Тогда x и x      xU и xA и xB      xAB, т.е. x      .

В силу справедливости того и другого справедливо и доказываемое утверждение.

Задание 

1. Доказать эквивалентность соотношений

  1.  AB;
  2.  AB=A;
  3.  AB=B.

2. Доказать

а) (AC)(BD)(AB)(CD);

б) (B\C)\(B\A)A\C;

в) A\C(A\B)(B\C);

3.  A\(B\C)=(A\B)(AC);

   (A\B)C=(AС)\(BC)=(AС)\B.

4. Следует ли из A\B=C равенство A=BC ?

   из A=BC равенство A\B=C ?

5. Верны ли равенства

   A\(BC)=(A\B)\C ;

   A(B\C)=(AB)\C ;

Существуют ли множества?

AB, AC=, (AB)\C=

Решение: AB=B(A)=BA.

Доказать тождества:

а)

б)

в)

г)

д)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29454. Инвестиционный спрос и факторы на него влияющие. Модель S-I 56.48 KB
  Среди них определяющим фактором является ставка процента. Если перед предпринимателем стоит вопрос об увеличении инвестиций или другой альтернативе вложении свободных денег в банк для получения дохода то он не увеличит инвестиции если ставка процента в банке будет больше чем норма прибыли от инвестиций. Если ставка процента в банке высокая то возможность для получения кредита ограничена и инвестиции уменьшаются. Если ставка процента низкая то предприниматель может увеличить инвестиции.
29455. Модели равновесия в национальной экономике.Модель доходы-расходы. Инфляционный и рецессионный разрыв 44.95 KB
  Модель доходырасходы. Совокупные расходы включают в себя расходы всех хозяйствующих субъектов в том числе потребительские инвестиционные и государственные расходы а также чистый экспорт который мы считаем равным нулю.Модель национальный доход совокупные расходыиллюстрирует значение государственных расходов и поощрения частных инвестиций. совокупные расходы недостаточны для обеспечения полной занятости ресурсов хотя равновесие AD = AS достигнуто.
29456. Антициклическая политика и её инструменты 16.21 KB
  Особенности антициклической политики современных государств показаны на схеме Антициклическая политика государства Фазы цикла Спад Подъем Характер антициклической политики Экспансия Сдерживание Инструменты Фискальная политика Снижение налоговыхставокРост государственных расходовНалоговые льготы на новые инвестиции Повышение налоговСнижение государственных расходов Кредитноденежная политика Понижение ставки рефинансирования и уровня резервных требованийПокупка ценных бумаг Повышение ставок рефинансирования и уровня резервных...
29457. Цикличность экономики: причины, фазы и их специфика, типы циклов 14.19 KB
  Сторонники второй позиции утверждают что цикличность явление внутреннее присущее самой экономической системе и порождается: недостаточным потреблением по сравнению с производством; превышением производства средств производства над производством предметов потребления; нарушениями в области денежного обращения. Помимо уже упомянутых можно назвать еще ряд факторов и противоречий в экономику порождающих кризисы и циклы в частности: противоречие между четкой организацией современного производства и стихийным характером рынка; противоречие...
29458. Эффект храповика 25.09 KB
  Эффект храповика Начальное макроэкономическое равновесие наблюдается в точке Е1 при уровне цен P1 и реальном объеме производства Y1. Предположим что в этой ситуации правительство ставит задачу достичь макроэкономического равновесия на уровне Y2 и успешно справляется с поставленной задачей например осуществляя необходимые государственные расходы и тем самым стимулируя спрос до AD2. Новое макроэкономическое равновесие возникает при более высоком уровне цен Р2 но и при более высоком уровне реального объема производства Y2. Однако возможно что...
29459. Эффект бережливости в рыночной экономике 22.67 KB
  Эффект бережливости в рыночной экономике Парадокс бережливости это парадоксальное явление суть которого состоит в сокращении сбережений вследствие усиления стремления к сбережениям то есть роста бережливости. Парадокс бережливости Сдвиг вверх графика функции сбережений от S до S1 при неизменном уровне автономных инвестиций I приведет к тому что изза эффекта мультипликатора экономика будет функционировать на уровне более низкого выпуска. Таким образом парадокс бережливости означает что увеличение сбережений приводит к уменьшению дохода.
29460. Равновесие в модели IS-LM.Факторы,воздействующие на равновесие на денежном и товарном рынках 35.57 KB
  Кривая IS отражает соотношение процентной ставки и уровня национального дохода при котором обеспечивается равновесие на товарных рынках. Кривая IS отражает множество равновесных ситуаций на товарном рынке. Кривая LM отражает зависимость между процентной ставкой и уровнем дохода возникающую на рынке денежных средств. Кривая LM соответствует таким парам точек Y i для которых спрос на деньги L определяющий уровень их ликвидности равен предложению денежной массы М.
29461. Абсолютная сходимость. Абсолютная сходимость числовых рядов 16.52 KB
  Смотрите также: условная неабсолютная сходимость числовых рядов СвойстваПравить из сходимости ряда вытекает сходимость ряда . При исследовании абсолютной сходимости ряда используют признаки сходимости рядов с положительными членами. Если ряд расходится то для выявления условной сходимости числового ряда используют более тонкие признаки: Признак Лейбница признак Абеля признак Дирихле. Абсолютная сходимость в математике вид сходимости рядов и интегралов.
29462. Условно сходящиеся числовые ряды и теорема Римана 78.92 KB
  Если числовой ряд сходится а ряд составленный из абсолютных величин его членов расходится то исходный ряд называется условно неабсолютно сходящимся. Теорема Римана об условно сходящихся рядах помогает при вычислении суммы бесконечного ряда. Пусть ряд сходится условно тогда для любого числа S можно так поменять порядок суммирования что сумма нового ряда будет равна S.