67592

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Лекция

Математика и математический анализ

Множества и функции. Эти объекты называются элементами множества S. Множество задают специфицируют двумя способами: перечислением: ={123}; характеристикой свойств общих для элементов множества: А = {X PX} А это множество тех и только тех элементов X для которых P от X есть истинное предложение.

Русский

2014-09-12

142.5 KB

1 чел.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Литература:

1. Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. М.: МАИ, 1992. 262 с.

2. Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженера. М.: Энергоатомиздат, 1988.

3. Кук Д., Бейз Г. Компьютерная математика. М. Наука, 1990. 384 с.479 с.

4. Бронштейн Е.М. Множества и функции. Методические указания. Уфа: УГАТУ. 1988.

Определение. Под множеством S будем понимать любое собрание определенных и различимых между собой объектов, мыслимое как единое целое. Эти объекты называются элементами множества S.

Существенной деталью является то, что для любого объекта можно установить, принадлежит он данному множеству S или нет.

Множество задают (специфицируют) двумя способами:

-перечислением: A={1,2,3};

- характеристикой свойств, общих для элементов множества:

А = {X | P(X)} (А - это множество тех и только тех элементов X для которых P от X есть истинное предложение).

Примеры :||

А={1,2,3,4,5,6,7,8};

А- есть множество всех Х, таких, что Х-целое и Х>0 и Х<9;

А={X | X - целое, 0<X<9}.

Если элемент Х принадлежит множеству А, то записывают XA, если не принадлежит, то XA. Например, 7А, 6А.

Определение. Множества А и В считаются равными, если они состоят из одинаковых элементов. Обозначение: А=В.

Например,

{1,2,3} = {2,1,3} = {2,1,1,3}

2 {1,2},   {{1,2}} {1,2} (Оболочка!)

То есть элемент не считается равным множеству, если даже множество состоит только из этого элемента.

Парадокс Рассела

Описанные выше понятия теории множеств с успехом могут быть использованы в началах анализа, алгебры, математической логики и т. д. Однако при более строгих рассмотрениях такое интуитивное восприятие может оказаться неудовлетворительным.

Приведем в качестве примера парадокс Рассела.

Можно указать такие множества, которые принадлежат самим себе как элементы, например, множество всех множеств.

Можно также указать множества, которые не являются элементами самих себя, например, множество {1,2}, элементами которого являются числа 1 и 2 (других элементов нет).

Рассмотрим теперь множество А всех таких множеств Х, что Х не есть элемент Х.

Тогда, если это полученное множество А не есть элемент А (самого себя), то по определению, А также есть элемент А.

С другой стороны, если А есть элемент А, то А – одно из тех множеств Х, которые не есть элементы самих себя, т.е. А не есть элемент А (не принадлежит A).

В любом случае А есть элемент А и А не есть элемент А.

Парадокс. Тем самым, интуитивная теория множеств – противоречива. Существует боле строгая формализация теории множеств.

Мы лишь укажем, что к парадоксам приводит в ряде случаев попытка объять необъятное: множество всех множеств (существующих в природе и в нашем сознании).

Отношения между множествами

Определение. Говорят, что А содержится в B или что A есть подмножество множества В, если каждый элемент множества А есть элемент множества В.

Отношение включения между множествами (A содержится в B) обозначается знаком , т.е. AB.

Определение. Если AB и AB, то А есть собственное подмножество В и пишут АВ ||.

Например, {1,2}{1,2,3,4}, множество четных чисел есть собственное подмножество множества целых чисел и т.д.

Свойства отношения включения:

- ХХ; (свойство рефлексивности);

- если XY, YZ, то XZ, (свойство транзитивности);

- если XY, YX, то X=Y (свойство антисимметрии).

Примечание. Не надо путать отношения и . Хотя 1{1}, {1}{{1}}, но 1{{1}}, так как единственным элементом {{1}} является {1}.

Определение. Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается . Пустое множество есть подмножество любого множества.

Определение. Множество всех подмножеств A называют множеством - степенью или Булеаном и обозначается B(A).

Пример.

Если А={1,2,3}, то B(А)={,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},А}.

Утверждение: если A состоит из n элементов, то B(A) состоит из 2n элементов.

Доказательство:

Перенумеруем все элементы множества А. Введем описание подмножества множества А в виде строки из n бит (ячеек, содержащих цифры 0 или 1). 0 на i-том месте означает, что i-тый элемент не принадлежит данному подмножеству, 1- что принадлежит.

0

1

0

0

1

0

1

Например, пустое множество обозначается строкой нулей, само А – строкой единиц.

Тогда число различных комбинаций нулей и единиц равно количеству различных двоичных чисел, которые можно записать в n битах, т.е. 2n.

Действия над множествами

1) Объединением множеств А и В называется множество всех элементов, которые являются элементами хотя бы одного множества А или В:

AB={x | xA или xB}

Некоторые свойства: AAB, BAB.

Диаграммы Эйлера-Венна. Вводится понятие универсального множества U (множества, содержащего все возможные элементы). Этот универсум обозначается квадратом. Другие множества обозначаются кругами внутри этого квадрата.:

       

2) Пересечением множеств А и В называется множество всех элементов, которые являются элементами обоих множеств А и В:

AB={x | xA и xB}

Некоторые свойства: ABAAB,  ABBAB.

3) Абсолютное дополнение (множество всех элементов, не принадлежащих множеству А):   = {x | x  A}

4) Вычитание множеств или относительное дополнение множества А до множества B:   B\A={x | xB, xA}.

Эта операция может быть осуществлена с помощью пересечения и дополнения: B\A=B.

5) Симметрическая разность: A+B=(A\B)(B\A)

Свойства действий над множествами. Алгебра теории множеств

1

AВ=BA (коммутативность объединения );

1

AB=BA (коммутативность пересечения);

2

A(BC)=(AB)C (ассоциативность );

2

A(BC)=(AB)C (ассоциативность );

3

A(BC)=(AB)(AC) (дистрибутивность

относительно );

3

A(BC)=(AB)(AC) (дистрибутивность

относительно );

4

A=A;

4

AU=A;

5

A=U;

5

A=;

6

AA=A;

6

AA=A;

7

AU=U;

7

A=;

8

=

(закон де Моргана);

8

=

(закон де Моргана);

9

A(AB)=A

(закон поглощения);

9

A(AB)=A

(закон поглощения).

Доказательство свойства 3 (с помощью свойства антисимметрии )

Во-первых, A(BC)(AB)(AC).

Действительно, если xA(BC), то xA или xBC.

Если xA, то xAB и xAC. Тогда x(AB)(AC).

Если xBC, то xB и xC. Тогда xBA и xCA, а значит, x(AB)(AC).

Во-вторых, (AB)(AC)A(BC).

На самом деле, если x(AB)(AC), то xAB и xAC. Тогда xA или (xB и (одновременно) xC), т.е. (xВC). Тем самым, xA(BC).

Из первого и второго следует справедливость утверждения.

Доказательство свойства 8 (=).

Пусть x. Тогда xU и xAB      xA и xB      x и x      x    .

Пусть x. Тогда x и x      xU и xA и xB      xAB, т.е. x      .

В силу справедливости того и другого справедливо и доказываемое утверждение.

Задание 

1. Доказать эквивалентность соотношений

  1.  AB;
  2.  AB=A;
  3.  AB=B.

2. Доказать

а) (AC)(BD)(AB)(CD);

б) (B\C)\(B\A)A\C;

в) A\C(A\B)(B\C);

3.  A\(B\C)=(A\B)(AC);

   (A\B)C=(AС)\(BC)=(AС)\B.

4. Следует ли из A\B=C равенство A=BC ?

   из A=BC равенство A\B=C ?

5. Верны ли равенства

   A\(BC)=(A\B)\C ;

   A(B\C)=(AB)\C ;

Существуют ли множества?

AB, AC=, (AB)\C=

Решение: AB=B(A)=BA.

Доказать тождества:

а)

б)

в)

г)

д)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47925. ОСНОВИ ФІЗІОЛОГІЇ ТА ПЕДІАТРІЇ ДИТИНИ 1.32 MB
  Знати анатомо-фізіологічні особливості дітей різного вікового періоду. Профілактика порушення зору у дітей і підлітків. Виховувати у дітей гігієнічні навички по догляду за шкірою одягом взуттям. План лекції Анатомофізіологічні особливості системи травлення у дітей і підлітків.
47926. Маркетинг та його специфіка в банківській сфері 509.5 KB
  Маркетингова орієнтація передбачає фокусування зусиль і можливостей банку на виявленні реальних і потенційних запитів всіх субєктів економічних відносин і пошуку способів їх найкращого задоволення виходячи з фінансових кадрових організаційних технологічних законодавчих та інших обмежень. Банківський маркетинг традиційно розглядається з двох позицій: як філософія банківського бізнесу і як конкретний спосіб здійснення підприємницької політики банку. Банківський маркетинг це філософія стратегія й тактика банку що спрямовані на...
47927. Муніципальне право як галузь права України 787 KB
  Предметом муніципального права є місцеве самоврядування відносно самостійний вид суспільних відносин пов'язаний з організацією і здійсненням місцевої влади тобто публічної влади влади народу в межах відповідних адміністративнотериторіальних одиниць. Місцеве самоврядування як предмет муніципального права є багатогранним явищем. Зміст місцевого самоврядування полягає насамперед і головним чином у самостійному вирішенні територіальними спільнотами питань місцевого значення. За формою місцеве самоврядування це волевиявлення територіальних...
47928. Предмет і завдання хімії 1.83 MB
  Основні поняття хімії Атом найменша частинка хімічного елемента що має його властивості. Молекула найменша частинка речовини що має її хімічні властивості. Менделєєва: властивості хімічних елементів та їх сполук знаходяться у періодичній залежності від заряду ядра.
47929. Принципи й системи обліку 488 KB
  Основні загальноприйняті принципи бухгалтерського обліку.Склад і загальна характеристика міжнародних стандартів бухгалтерського обліку. Класифікація систем бухгалтерського обліку.
47930. ОСОБЛИВОСТІ ФІЗИЧНОГО ВИХОВАННЯ ШКОЛЯРІВ, ЯКІ МАЮТЬ ВІДХИЛЕННЯ У СТАНІ ЗДОРОВЯ 122 KB
  Петриши ПЛАН Стан здоровя школярів у сучасних умовах Оцінка здоровя школярів. Стан здоровя школярів у сучасних умовах В Цільовій комплексній програмі €œФізичне виховання здоровя нації вказано що у сучасних умовах в Україні склалася критична ситуація із станом здоровя населення і наводяться дані про те що майже 90 дітей учнів студентів мають відхилення у здоровї. За даними статистики збільшується кількість учнів першого класу які мають відхилення в стані здоровя тобто на початку навчання у школі а в подальші шкільні...
47931. Основні поняття та визначення концепцій операційніх систем 11.08 MB
  Під ресурсами розуміють процесорний час дисковий простір пам'ять засоби доступу до зовнішніх пристроїв. У разі просторового розподілу ресурс доступний декільком споживачам одночасно при цьому кожен із них може користуватися частиною ресурсу так розподіляється пам'ять. У багатозадачних системах у пам'ять комп'ютера стали завантажувати кілька програм які виконувалися на процесорі навперемінно. Надання задачам справедливої частки ресурсів пам'яті процесора дискового простору тощо.
47932. Предмет і завдання геодезії, її звязок з іншими науками 3.12 MB
  Геодезія - це наука, яка розглядає методи та способи вимірювання земної поверхні, застосування яких дає можливість визначати форму і розміри землі, а також робити зйомку (вимірювання) окремих її частин для зображення на картах, планах використовуваних для створення різних інженерних споруд
47933. Правила та безпека дорожнього руху 2.03 MB
  ЛЕКЦІЇ І з предмету €œПравила та безпека дорожнього руху для студентів спеціальності 5. Ці Правила відповідно до Закону України Про дорожній рух встановлюють єдиний порядок дорожнього руху на всій території України. Інші нормативні акти що стосуються особливостей дорожнього руху перевезення спеціальних вантажів експлуатація транспортних засобів...