67593

Отношения и функции/ Произведение множеств

Лекция

Математика и математический анализ

Две пары считаются равными тогда и только тогда, когда x=u и y=v. Определение. Бинарным или двуместным отношением называют множество упорядоченных пар. Элементы x и y называют координатами или компонентами отношения.

Русский

2014-09-23

116.5 KB

1 чел.

Лекция №2  

Отношения и функции

Определение. Упорядоченной парой <x,y> называется совокупность, состоящая из двух элементов x и y, расположенных в определенном порядке.

Определение. Две пары <x, y> <u, v> считаются равными тогда и только тогда, когда x=u и y=v.

Определение. Бинарным или двуместным отношением  называют множество упорядоченных пар. Элементы x и y называют координатами или компонентами отношения .

Записи <x, y> и  xy  означают, что пара <x, y> принадлежит бинарному отношению .

Определение. Областью определения бинарного отношения  называют множество D={x | существует такое y, что  x  y}. Областью значений  называют множество R={y | существует такое  x, что x  y}.||

Примеры.

1. Множество {<1,2>,<2,4><3,3>,<2,1>} – бинарное отношение.

D={1,2,3}, R={2,4,3,1}={1,2,3,4}.

2. {<x, y> | x, y – действительные числа и x=y} - отношение равенства на множестве R действительных чисел (специальное обозначение «=»). D={x | xR}, R={y | yR}.

3. {<x, y> | для целых чисел x и y найдется положительное число z такое, что x+z=y} – отношение «меньше чем» на множестве целых чисел (специальное обозначение «<»). D и R - множества целых чисел.

Определение. Упорядоченным набором длины n или n-кой элементов называется последовательность, состоящая из n элементов x1, x2, x3,…, xn, расположенных в определенном порядке и обозначается <x1, x2, x3,…, xn>.

Определение. n-нарным отношением называют множество упорядоченных наборов длины n.

Произведение множеств

Определение. Пусть даны n множеств A1, A2,…, An. Множество всех наборов <x1, x2,…, xn> таких, что x1A1,…, xnAn называют прямым произведением A1, A2,…, An и обозначают A1A2An или .

Произведение одинаковых множеств обозначается An.

При n=2   XY={<x, y> | xX, yY}.

Каждое бинарное отношение есть подмножество прямого произведения, так что DX и RY. Если X=Y то говорят, что есть отношение на множестве X.

Примеры

1. Пусть X={0,1}, Y={x,y}. Тогда

XY={<0,x>, <0,y>, <1,x>, <1,y>};

YX={<x,0 >, <x,1>, <y,0>, <y,1>}.

2. X={1,2,3}, Y={0,1}.

XY={<1,0>,<1,1>,<2,0>,<2,1>,<3,0>,<3,1>};

YX={<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,1>,<1,2>,<1,3>}.

(Отметим, что XY  YX.)

К отношению «=» принадлежит одна пара <1,1>.

К отношению «<» в множестве YX принадлежат все пары, кроме <1,1>. В множестве XY таких пар нет.

3. RR - плоскость.

4. X = {x | x  [0,1]}

Y = {y | y  [1,2]}

XY = {<x, y> | x  [0,1], y  [1,2]} – множество точек квадрата:

           

Определение. Обратным отношением для ={<x,y> | <x,y>} называют отношение -1={<y,x> | <x,y>}.

Определение. Композицией отношений 1 и 2 называют отношение 21={<x,y> |  z такое, что <x, z>1 и <z, y>2}.

Свойства бинарных отношений

  1.  ;

2) .

Доказательство п. 2)

<y,x>    <x,y>21;

 z : <x,z>1 и <z,y>2

 z : <z,x>1-1 и <y,z>2-1 

 z : <y,z>2-1 и <z,x>1-1 

<y,x>.

Сравнивая с исходным соотношением убеждаемся в справедливости равенства 2).

Пример: система линейных алгебраических уравнений AB, где A и B - матрицы. Операция умножения матрицы на вектор устанавливает соответствие каждому вектору-операнду  результата операции . Это соответствие есть отношение .

С одной стороны

.

С другой стороны

; .

Тем самым, .

Функции

Определение. Бинарное отношение f называется функцией, если из <x,y>f и <x,z>f следует, что y=z. (Функция является однозначной).

Две функции равны, если они состоят из одних и тех же элементов. Область определения: Df, область значений: Rf.

Если Df =X и Rf Y, то говорят, что f осуществляет отображение множества X на множество Y. Обозначения:

f:XY или .

<x,y>f    y=f(x);  y – образ, x – прообраз элемента y.

Примеры

{<1,2>, <2,3>,< >} – функция;

{<1,2>,<1,3>,<2,4>} - не функция (1 отображается сразу на два элемента);

{<x, x2+2x+1> | x R} - функция y=x2+2x+1

Определение. n-местной функцией называют отношение f, если f:XnY. Обозначение y=f(x1,…,xn).

Определение. Функция f:XY называется инъективной, если

x1, x2, y : y=f(x1), y=f(x2) x1=x2.  (То есть, одинаковые значения y могут соответствовать только одинаковым x).

Определение. Функция f:XY называется сюръективной, если

yY xX : y=f(x). (То есть, каждому значению y соответствует некоторое x).

Определение. Функция f называется биективной, если f одновременно сюрьективна и инъективна.

Говорят, что биективная функция f осуществляет взаимно однозначное отображение множества X на множество Y.

Примеры

f(x)=ex - инъективна, но не сюръективна при x  R;

f(x)=x3-x - сюръективна, но не инъективна;

f(x)=2x+1, f(x)=x3+x – биективна.

Утверждение. Композиция двух функций есть функция.

Доказательство. Допустим, композиции gf принадлежат две пары:

.

Поскольку f – функция, то u=v. Поскольку g – функция и u=v, то y=z, т.е. gof – функция.

Утверждение. Композиция двух биективных функций есть биективная функция. Следует из взаимной однозначности отображений, осуществляемых биективными функциями.

Определение. Тождественным отображением множества X в себя называется отображение 

ex: XX такое, что xX ex(x)=x. Тогда fex=f, eyf=f.

Утверждение. Отображение f:XY имеет обратное отображение f1:YX тогда и только тогда, когда f – биекция.

Доказательство.

Пусть f – биекция. Поскольку f – сюръективна, то отношение f-1 определено на множестве Y (каждому y соответствует определенное x).

В связи с инъективностью функции f обратное отношение f-1 является функцией (так как функция – однозначна, а инъективность означает невозможность соответствия различных x одному y). Прямое утверждение доказано.

Пусть теперь отображение f имеет обратное – f-1, определенное на множестве Y со значениями во множестве X. Тогда f сюръективно.

Но f также инъективно, так как f-1 – функция.

Утверждение доказано.

Замечание. Для того, чтобы обратное отношение f-1 было функцией на множестве значений Rf функции f, достаточно, чтобы функция f была инъективной. Тогда для инъективных функций выполняются следующие свойства бинарных отношений

1) (f)=f;                   2) (gf) =fg.

Свойства биективных функций

3) ff=ex;                  4) ff=ey.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80235. Мотивація. Процесні теорії мотивації 10.37 MB
  Потреби поділяють на: потреби першого роду первісні які за своєю сутністю є фізіологічними потреби в їжі сні тощо; потреби другого роду вторинні які носять соціально психологічний характер потреби в повазі владі визнанні заслуг тощо. Потреби першого роду закладені в людину генетично а другого є наслідком її соціальної життєдіяльності. Потреби неможливо безпосередньо спостерігати або вимірювати. Потреба яка реально відчувається людиною викликає у неї прагнення здійснити конкретні дії спрямовані на задоволення цієї потреби.
80236. Управлінський контроль. Контроль поведінки працівників в організації 10.37 MB
  Управлінський контроль Поняття та процес контролю. Інструменти управлінського контролю. Поняття та процес контролю Контроль це процес забезпечення досягнення цілей організації шляхом постійного спостереження за її діяльністю та усунення відхилень які при цьому виникають. В межах процесу контролю модель якого наведена на рис.
80237. Лідерство. Ситуаційні теорії лідерства 142.5 KB
  Наявність права впливати на діяльність підлеглих є необхідною передумовою керування але ще не гарантує ефективності такого впливу. Але перебуванням нагорі визначає лише видимість керування а не його сутність. Отже поведінковий підхід спирається на стиль керування. Стиль керування це манера поведінки керівника щодо підлеглих через яку і здійснюється вплив на працівників організації.
80238. Комунікації. Управління комунікаційними процесами 160 KB
  Процес комунікації. Міжособистісні та організаційні комунікації. Процес комунікації У вузькому розумінні комунікація це процес обміну інформацією фактами ідеями поглядами емоціями тощо між двома або більше особами. Для здійснення процесу комунікації необхідні принаймні 4 умови: наявність щонайменше двох осіб: відправника особи яка генерує інформацію що призначена для передачі; одержувача особи для якої призначена інформація що передається; наявність повідомлення тобто закодованої за допомогою...
80239. Ефективність управління. Напрямки підвищення ефективності управлінської праці 98.5 KB
  Ефективність управління можна вимірювати за результатами керованих обєктів і процесів. І все ж встановлення ефективності власне управління можливе, але за допомогою іншого використання вихідної логічної формули. Наприклад, способи управління, що дозволяють досягти заданого фіксованого результату за найменших витрат
80240. Поняття і сутність менеджменту. Менеджмент як вид професійної діяльності 6.35 MB
  Важко дати єдине абсолютно чітке та повне визначення поняття «менеджмент». Функції, сфери, рівні менеджменту та ситуації у яких вони реалізуються значно різняться між собою. Щоб з’ясувати сутність менеджменту на нього треба подивитись з різних точок зору
80241. Розвиток науки управління. Ранні теорії менеджменту 1.78 MB
  Розвиток науки управління. Остаточно ідея управління як наукової дисципліни професії та галузі досліджень сформувалася у США. Навпаки на першому етапі до середини ХХ століття наука управління розвивалася одразу за кількома відносно самостійним напрямкам або як кажуть підходам до управління кожний з яких концентрував увагу на різних аспектах менеджменту. Класична теорія підхід менеджменту включає дві школи: а школу наукового управління...
80242. Прийняття управлінських рішень. Методи творчого пошуку альтернатив 6.79 MB
  Прийняття управлінських рішень. Основи теорії прийняття рішень. Процес прийняття рішень. Основи теорії прийняття рішень У науковій літературі зустрічається як розширене так і вузьке розуміння процесу прийняття рішень в управлінні.
80243. Методи обґрунтування управлінських рішень 5.47 MB
  Методи обґрунтування управлінських рішень. Відповідно до цього способу всі методи обґрунтування управлінських рішень поділяються на кількісні та якісні. Кількісні методи або методи дослідження операцій застосовують коли фактори що впливають на вибір рішення можна кількісно визначити та оцінити. Якісні методи використовують тоді коли фактори що визначають прийняття рішення не можна кількісно охарактеризувати або вони взагалі не піддаються кількісному вимірюванню.