67593

Отношения и функции/ Произведение множеств

Лекция

Математика и математический анализ

Две пары считаются равными тогда и только тогда, когда x=u и y=v. Определение. Бинарным или двуместным отношением называют множество упорядоченных пар. Элементы x и y называют координатами или компонентами отношения.

Русский

2014-09-23

116.5 KB

1 чел.

Лекция №2  

Отношения и функции

Определение. Упорядоченной парой <x,y> называется совокупность, состоящая из двух элементов x и y, расположенных в определенном порядке.

Определение. Две пары <x, y> <u, v> считаются равными тогда и только тогда, когда x=u и y=v.

Определение. Бинарным или двуместным отношением  называют множество упорядоченных пар. Элементы x и y называют координатами или компонентами отношения .

Записи <x, y> и  xy  означают, что пара <x, y> принадлежит бинарному отношению .

Определение. Областью определения бинарного отношения  называют множество D={x | существует такое y, что  x  y}. Областью значений  называют множество R={y | существует такое  x, что x  y}.||

Примеры.

1. Множество {<1,2>,<2,4><3,3>,<2,1>} – бинарное отношение.

D={1,2,3}, R={2,4,3,1}={1,2,3,4}.

2. {<x, y> | x, y – действительные числа и x=y} - отношение равенства на множестве R действительных чисел (специальное обозначение «=»). D={x | xR}, R={y | yR}.

3. {<x, y> | для целых чисел x и y найдется положительное число z такое, что x+z=y} – отношение «меньше чем» на множестве целых чисел (специальное обозначение «<»). D и R - множества целых чисел.

Определение. Упорядоченным набором длины n или n-кой элементов называется последовательность, состоящая из n элементов x1, x2, x3,…, xn, расположенных в определенном порядке и обозначается <x1, x2, x3,…, xn>.

Определение. n-нарным отношением называют множество упорядоченных наборов длины n.

Произведение множеств

Определение. Пусть даны n множеств A1, A2,…, An. Множество всех наборов <x1, x2,…, xn> таких, что x1A1,…, xnAn называют прямым произведением A1, A2,…, An и обозначают A1A2An или .

Произведение одинаковых множеств обозначается An.

При n=2   XY={<x, y> | xX, yY}.

Каждое бинарное отношение есть подмножество прямого произведения, так что DX и RY. Если X=Y то говорят, что есть отношение на множестве X.

Примеры

1. Пусть X={0,1}, Y={x,y}. Тогда

XY={<0,x>, <0,y>, <1,x>, <1,y>};

YX={<x,0 >, <x,1>, <y,0>, <y,1>}.

2. X={1,2,3}, Y={0,1}.

XY={<1,0>,<1,1>,<2,0>,<2,1>,<3,0>,<3,1>};

YX={<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,1>,<1,2>,<1,3>}.

(Отметим, что XY  YX.)

К отношению «=» принадлежит одна пара <1,1>.

К отношению «<» в множестве YX принадлежат все пары, кроме <1,1>. В множестве XY таких пар нет.

3. RR - плоскость.

4. X = {x | x  [0,1]}

Y = {y | y  [1,2]}

XY = {<x, y> | x  [0,1], y  [1,2]} – множество точек квадрата:

           

Определение. Обратным отношением для ={<x,y> | <x,y>} называют отношение -1={<y,x> | <x,y>}.

Определение. Композицией отношений 1 и 2 называют отношение 21={<x,y> |  z такое, что <x, z>1 и <z, y>2}.

Свойства бинарных отношений

  1.  ;

2) .

Доказательство п. 2)

<y,x>    <x,y>21;

 z : <x,z>1 и <z,y>2

 z : <z,x>1-1 и <y,z>2-1 

 z : <y,z>2-1 и <z,x>1-1 

<y,x>.

Сравнивая с исходным соотношением убеждаемся в справедливости равенства 2).

Пример: система линейных алгебраических уравнений AB, где A и B - матрицы. Операция умножения матрицы на вектор устанавливает соответствие каждому вектору-операнду  результата операции . Это соответствие есть отношение .

С одной стороны

.

С другой стороны

; .

Тем самым, .

Функции

Определение. Бинарное отношение f называется функцией, если из <x,y>f и <x,z>f следует, что y=z. (Функция является однозначной).

Две функции равны, если они состоят из одних и тех же элементов. Область определения: Df, область значений: Rf.

Если Df =X и Rf Y, то говорят, что f осуществляет отображение множества X на множество Y. Обозначения:

f:XY или .

<x,y>f    y=f(x);  y – образ, x – прообраз элемента y.

Примеры

{<1,2>, <2,3>,< >} – функция;

{<1,2>,<1,3>,<2,4>} - не функция (1 отображается сразу на два элемента);

{<x, x2+2x+1> | x R} - функция y=x2+2x+1

Определение. n-местной функцией называют отношение f, если f:XnY. Обозначение y=f(x1,…,xn).

Определение. Функция f:XY называется инъективной, если

x1, x2, y : y=f(x1), y=f(x2) x1=x2.  (То есть, одинаковые значения y могут соответствовать только одинаковым x).

Определение. Функция f:XY называется сюръективной, если

yY xX : y=f(x). (То есть, каждому значению y соответствует некоторое x).

Определение. Функция f называется биективной, если f одновременно сюрьективна и инъективна.

Говорят, что биективная функция f осуществляет взаимно однозначное отображение множества X на множество Y.

Примеры

f(x)=ex - инъективна, но не сюръективна при x  R;

f(x)=x3-x - сюръективна, но не инъективна;

f(x)=2x+1, f(x)=x3+x – биективна.

Утверждение. Композиция двух функций есть функция.

Доказательство. Допустим, композиции gf принадлежат две пары:

.

Поскольку f – функция, то u=v. Поскольку g – функция и u=v, то y=z, т.е. gof – функция.

Утверждение. Композиция двух биективных функций есть биективная функция. Следует из взаимной однозначности отображений, осуществляемых биективными функциями.

Определение. Тождественным отображением множества X в себя называется отображение 

ex: XX такое, что xX ex(x)=x. Тогда fex=f, eyf=f.

Утверждение. Отображение f:XY имеет обратное отображение f1:YX тогда и только тогда, когда f – биекция.

Доказательство.

Пусть f – биекция. Поскольку f – сюръективна, то отношение f-1 определено на множестве Y (каждому y соответствует определенное x).

В связи с инъективностью функции f обратное отношение f-1 является функцией (так как функция – однозначна, а инъективность означает невозможность соответствия различных x одному y). Прямое утверждение доказано.

Пусть теперь отображение f имеет обратное – f-1, определенное на множестве Y со значениями во множестве X. Тогда f сюръективно.

Но f также инъективно, так как f-1 – функция.

Утверждение доказано.

Замечание. Для того, чтобы обратное отношение f-1 было функцией на множестве значений Rf функции f, достаточно, чтобы функция f была инъективной. Тогда для инъективных функций выполняются следующие свойства бинарных отношений

1) (f)=f;                   2) (gf) =fg.

Свойства биективных функций

3) ff=ex;                  4) ff=ey.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29581. Информационное общество: основные характеристики, тенденции развития. Дискуссии в отношении позитивных изменений и негативных последствий всеобщей информатизации и глобализации мирового пространства 16.15 KB
  Информационное общество – ступень в развитии современной цивилизации характеризующаяся увеличением роли информации и знаний в жизни общества; возрастанием доли инфокоммуникаций информационных продуктов и информационных услуг в валовом внутреннем продукте ВВП; созданием глобального информационного пространства обеспечивающего эффективное информационное взаимодействие людей их доступ к мировым информационным ресурсам и удовлетворение их социальных и личностных потребностей в информационных продуктах и услугах. Основные характеристики:...
29582. Массовое сознание 12.93 KB
  На общественное мнение влияют мнения людей признаваемых обществом авторитетными и компетентными личный опыт людей В формировании общественного мнения выделяются: субъект воздействия – элитные группы стремящиеся к достижению или удержанию власти заказчики и исполнители государство аналитики журналисты и т.; объект воздействия – массовое сознание изменение которого является целью субъекта; инструмент воздействия – СМИ как массмедиа так и институты социализации культура и т. Формы и способы влияния общественного мнения на личность...
29583. Массовое сознание: Субъективистский и объективистский подходы 14.37 KB
  Массовое сознание включает в себя понятие массы: МассаОртега и Гаса это суждение некомпетентных низкое качество современной цивилизации; Масса Юнгер механизное общество в котором человек является придатком машины; Масса Зиммель Вебер Манхейм – это бюрократическое общество которое отличается широко расчленненой организацией в которой принятие решений допускается на высших этапах иерархии; МассаЛенин – совокупность трудящихся наименее организованных и просвещенных. МассаШарков это шаблонное Например когда в деревнях все...
29584. Стратегия и тактика планирования рекламной кампании 16.33 KB
  Стратегия и тактика планирования рекламной кампании. Планирование рекламной кампании это процесс в котором принимают участие все структурные подразделения рекламного агентства и маркетинговый отдел рекламодателя. Результат этого процесса составление плана рекламной кампании на определенный период. Главная задача планирования рекламной кампании определить как будет доноситься рекламное послание до потребителя: в какой форме с помощью каких средств массовой информации и в рамках какого бюджета.
29585. Основные понятия в медиапланировании (рейтинг, доля, HUT, PUT, PUR). Их расчет и соотношение в планировании рекламных кампаний 33.55 KB
  Home Using TV одним из базовых показателей в медиапланировании является число людей или домохозяйств в которых смотрят телевизор. Этот показатель описывает количество людей или домохозяйств использующих ТВ на определенный момент времени Иными словами это процент индивидуумов или домохозяйств использующих телевизор в данное время дня. Показатель HUT не включает людей смотрящих телевизор вне дома например в магазинах аэропортах отелях и т. То есть рекламное сообщение смогут увидеть те люди которые по крайней мере в данный момент...
29586. Медиавес рекламной кампании и его измерение (охват, частота, количество предъявлений) 46.5 KB
  Охват — это количество разных индивидуумов, которые были затронуты графиком прохождения рекламной кампании за данный период времени, или, другими словами, увидели нашу рекламную кампанию, наше рекламное объявление хотя бы один раз, обычно представляется в процентном формате.
29587. Принципы отбора медианосителей и оценка их эффективности 13.6 KB
  Рейтинг телевизионного времени доля в тех телезрителей которые смотрели конкретный канал в определенное время от потенциального числа телезрителей. Максимально высокий рейтинг имеет пиковое телевизионное время праймтайм. Сумма всех рейтингов целевой рейтинг показатель чистого полезного охвата умноженный на частоту контакта. Стоимость одного общерейтингового пункта мера определяющая эффективность конкретной программы.
29588. Эффективность рекламных кампаний и лояльность потребителей. Экономические и коммуникативные показатели эффективности 16.05 KB
  Наиболее популярный способ выявления эффективности рекламы методика облегчения вспоминания используемая для того чтобы определить в какой мере человек способен вспомнить ее содержание. Но даже если человек и хорошо запомнил содержание рекламы это вовсе не означает что он готов купить то что рекламируют. Второй способ выявления эффективности рекламы методика узнавания. Людям которые прочитали журнал или видели телевизионную программу предъявляют копии рекламы и задают вопросы о ней.
29589. Новые технологии и виды услуг рекламного рынка 15.87 KB
  Относительно низкая стоимость проекта. Небольшие временные затраты в разработке проекта. Краткосрочность эффекта от реализации проекта Маркетинг слухов Преимущества: 1. Невысокая стоимость в организации проекта.