67593

Отношения и функции/ Произведение множеств

Лекция

Математика и математический анализ

Две пары считаются равными тогда и только тогда, когда x=u и y=v. Определение. Бинарным или двуместным отношением называют множество упорядоченных пар. Элементы x и y называют координатами или компонентами отношения.

Русский

2014-09-23

116.5 KB

1 чел.

Лекция №2  

Отношения и функции

Определение. Упорядоченной парой <x,y> называется совокупность, состоящая из двух элементов x и y, расположенных в определенном порядке.

Определение. Две пары <x, y> <u, v> считаются равными тогда и только тогда, когда x=u и y=v.

Определение. Бинарным или двуместным отношением  называют множество упорядоченных пар. Элементы x и y называют координатами или компонентами отношения .

Записи <x, y> и  xy  означают, что пара <x, y> принадлежит бинарному отношению .

Определение. Областью определения бинарного отношения  называют множество D={x | существует такое y, что  x  y}. Областью значений  называют множество R={y | существует такое  x, что x  y}.||

Примеры.

1. Множество {<1,2>,<2,4><3,3>,<2,1>} – бинарное отношение.

D={1,2,3}, R={2,4,3,1}={1,2,3,4}.

2. {<x, y> | x, y – действительные числа и x=y} - отношение равенства на множестве R действительных чисел (специальное обозначение «=»). D={x | xR}, R={y | yR}.

3. {<x, y> | для целых чисел x и y найдется положительное число z такое, что x+z=y} – отношение «меньше чем» на множестве целых чисел (специальное обозначение «<»). D и R - множества целых чисел.

Определение. Упорядоченным набором длины n или n-кой элементов называется последовательность, состоящая из n элементов x1, x2, x3,…, xn, расположенных в определенном порядке и обозначается <x1, x2, x3,…, xn>.

Определение. n-нарным отношением называют множество упорядоченных наборов длины n.

Произведение множеств

Определение. Пусть даны n множеств A1, A2,…, An. Множество всех наборов <x1, x2,…, xn> таких, что x1A1,…, xnAn называют прямым произведением A1, A2,…, An и обозначают A1A2An или .

Произведение одинаковых множеств обозначается An.

При n=2   XY={<x, y> | xX, yY}.

Каждое бинарное отношение есть подмножество прямого произведения, так что DX и RY. Если X=Y то говорят, что есть отношение на множестве X.

Примеры

1. Пусть X={0,1}, Y={x,y}. Тогда

XY={<0,x>, <0,y>, <1,x>, <1,y>};

YX={<x,0 >, <x,1>, <y,0>, <y,1>}.

2. X={1,2,3}, Y={0,1}.

XY={<1,0>,<1,1>,<2,0>,<2,1>,<3,0>,<3,1>};

YX={<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,1>,<1,2>,<1,3>}.

(Отметим, что XY  YX.)

К отношению «=» принадлежит одна пара <1,1>.

К отношению «<» в множестве YX принадлежат все пары, кроме <1,1>. В множестве XY таких пар нет.

3. RR - плоскость.

4. X = {x | x  [0,1]}

Y = {y | y  [1,2]}

XY = {<x, y> | x  [0,1], y  [1,2]} – множество точек квадрата:

           

Определение. Обратным отношением для ={<x,y> | <x,y>} называют отношение -1={<y,x> | <x,y>}.

Определение. Композицией отношений 1 и 2 называют отношение 21={<x,y> |  z такое, что <x, z>1 и <z, y>2}.

Свойства бинарных отношений

  1.  ;

2) .

Доказательство п. 2)

<y,x>    <x,y>21;

 z : <x,z>1 и <z,y>2

 z : <z,x>1-1 и <y,z>2-1 

 z : <y,z>2-1 и <z,x>1-1 

<y,x>.

Сравнивая с исходным соотношением убеждаемся в справедливости равенства 2).

Пример: система линейных алгебраических уравнений AB, где A и B - матрицы. Операция умножения матрицы на вектор устанавливает соответствие каждому вектору-операнду  результата операции . Это соответствие есть отношение .

С одной стороны

.

С другой стороны

; .

Тем самым, .

Функции

Определение. Бинарное отношение f называется функцией, если из <x,y>f и <x,z>f следует, что y=z. (Функция является однозначной).

Две функции равны, если они состоят из одних и тех же элементов. Область определения: Df, область значений: Rf.

Если Df =X и Rf Y, то говорят, что f осуществляет отображение множества X на множество Y. Обозначения:

f:XY или .

<x,y>f    y=f(x);  y – образ, x – прообраз элемента y.

Примеры

{<1,2>, <2,3>,< >} – функция;

{<1,2>,<1,3>,<2,4>} - не функция (1 отображается сразу на два элемента);

{<x, x2+2x+1> | x R} - функция y=x2+2x+1

Определение. n-местной функцией называют отношение f, если f:XnY. Обозначение y=f(x1,…,xn).

Определение. Функция f:XY называется инъективной, если

x1, x2, y : y=f(x1), y=f(x2) x1=x2.  (То есть, одинаковые значения y могут соответствовать только одинаковым x).

Определение. Функция f:XY называется сюръективной, если

yY xX : y=f(x). (То есть, каждому значению y соответствует некоторое x).

Определение. Функция f называется биективной, если f одновременно сюрьективна и инъективна.

Говорят, что биективная функция f осуществляет взаимно однозначное отображение множества X на множество Y.

Примеры

f(x)=ex - инъективна, но не сюръективна при x  R;

f(x)=x3-x - сюръективна, но не инъективна;

f(x)=2x+1, f(x)=x3+x – биективна.

Утверждение. Композиция двух функций есть функция.

Доказательство. Допустим, композиции gf принадлежат две пары:

.

Поскольку f – функция, то u=v. Поскольку g – функция и u=v, то y=z, т.е. gof – функция.

Утверждение. Композиция двух биективных функций есть биективная функция. Следует из взаимной однозначности отображений, осуществляемых биективными функциями.

Определение. Тождественным отображением множества X в себя называется отображение 

ex: XX такое, что xX ex(x)=x. Тогда fex=f, eyf=f.

Утверждение. Отображение f:XY имеет обратное отображение f1:YX тогда и только тогда, когда f – биекция.

Доказательство.

Пусть f – биекция. Поскольку f – сюръективна, то отношение f-1 определено на множестве Y (каждому y соответствует определенное x).

В связи с инъективностью функции f обратное отношение f-1 является функцией (так как функция – однозначна, а инъективность означает невозможность соответствия различных x одному y). Прямое утверждение доказано.

Пусть теперь отображение f имеет обратное – f-1, определенное на множестве Y со значениями во множестве X. Тогда f сюръективно.

Но f также инъективно, так как f-1 – функция.

Утверждение доказано.

Замечание. Для того, чтобы обратное отношение f-1 было функцией на множестве значений Rf функции f, достаточно, чтобы функция f была инъективной. Тогда для инъективных функций выполняются следующие свойства бинарных отношений

1) (f)=f;                   2) (gf) =fg.

Свойства биективных функций

3) ff=ex;                  4) ff=ey.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

16452. Римское частное право. Учебное пособие 2.34 MB
  РИМСКОЕ ЧАСТНОЕ ПРАВО Учебник Под редакцией профессора И.Б. Новицкого и профессора И.С. Перетерского ВВЕДЕНИЕ 1. Понятие и основные черты римского частного права 1. Историческое значение римского права. Настоящий учебник посвящен римскому частному пр
16453. АДМІНІСТРАТИВНЕ ПРАВО УКРАЇНИ 2.46 MB
  АДМІНІСТРАТИВНЕ ПРАВО УКРАЇНИ Академічний курс. Том 1 У першому в Україні академічному курсі з адміністративного права системно викладено фундаментальні основи української науки адміністративного права. Підручник грунтується на ключових ідеях проекту Концепції р...
16454. ЛОГІКА ЯК НАУКА: ІСТОРІЯ І СУЧАСНІСТЬ 198.5 KB
  Тема 1. ЛОГІКА ЯК НАУКА: ІСТОРІЯ І СУЧАСНІСТЬ. 4 год. 1. Виникнення і генезис поняття логіки. 2. Логіка як наука: її предмет метод а також практичне значення її знань. 3. Історичні етапи розвитку логічного знання: логіка Давньої Індії логіка Давньої Греції. 4. Особлив
16455. МИСЛЕННЯ І МОВА 152 KB
  Тема 2: МИСЛЕННЯ І МОВА 1. Мислення міркування: визначення і осбливості. 2. Діяльність і мислення. 3. Структура мислення. 4. Правильні та неправильні міркування. Поняття про логічну помилку. 5. Логічна форма міркування. 6. Види і типи мислення. 7. Особливості мислення ю...
16456. Семіотика як наука про знаки. Мова як знакова система 127.5 KB
  Тема 3: Семіотика як наука про знаки. Мова як знакова система. 1. Семіотика як наука про знаки 2. Поняття про знак. Види позамовних знаків 3. Мовні знаки. Мова як знакова система. 4. Структура знакового процесу. Структура значення знака. Типові логічні помилки. 5. Виміри...
16457. МЕТОДОЛОГІЧНА ФУНКЦІЯ ФОРМАЛЬНОЇ ЛОГІКИ 95.5 KB
  Розділ III. МЕТОДОЛОГІЧНА ФУНКЦІЯ ФОРМАЛЬНОЇ ЛОГІКИ 1. Метод і методологія. 2. Логічні методи дослідження пізнання. 3. Метод формалізації 1. Метод і методологія. У практичній і теоретичній діяльності кожна людина використовує певні методи за допомогою яких в...
16458. ОСНОВНІ ФОРМИ І ЗАКОНИ АБСТРАКТНО-ЛОГІЧНОГО МИСЛЕННЯ 186 KB
  ОСНОВНІ ФОРМИ І ЗАКОНИ АБСТРАКТНОЛОГІЧНОГО МИСЛЕННЯ І. Поняття 1. Загальна характеристика поняття як форми мислення. 2. Види понять. Логічна характеристика понять. 3. Типи відношень між поняттями. 4. Операції з поняттями: 4.1. Обмеження й узагальнення понять; 4.2....
16460. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СИСТЕМЫ МЕЖДУНАРОДНОГО ПУБЛИЧНОГО ПРАВА 130 KB
  14 Лекция N 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СИСТЕМЫ МЕЖДУНАРОДНОГО ПУБЛИЧНОГО ПРАВА 1. Понятие сущность и функции международного права. 2. Источники и процесс международного правотворчества. 3. Основные международноправовые принципы и другие ...