67593

Отношения и функции/ Произведение множеств

Лекция

Математика и математический анализ

Две пары считаются равными тогда и только тогда, когда x=u и y=v. Определение. Бинарным или двуместным отношением называют множество упорядоченных пар. Элементы x и y называют координатами или компонентами отношения.

Русский

2014-09-23

116.5 KB

1 чел.

Лекция №2  

Отношения и функции

Определение. Упорядоченной парой <x,y> называется совокупность, состоящая из двух элементов x и y, расположенных в определенном порядке.

Определение. Две пары <x, y> <u, v> считаются равными тогда и только тогда, когда x=u и y=v.

Определение. Бинарным или двуместным отношением  называют множество упорядоченных пар. Элементы x и y называют координатами или компонентами отношения .

Записи <x, y> и  xy  означают, что пара <x, y> принадлежит бинарному отношению .

Определение. Областью определения бинарного отношения  называют множество D={x | существует такое y, что  x  y}. Областью значений  называют множество R={y | существует такое  x, что x  y}.||

Примеры.

1. Множество {<1,2>,<2,4><3,3>,<2,1>} – бинарное отношение.

D={1,2,3}, R={2,4,3,1}={1,2,3,4}.

2. {<x, y> | x, y – действительные числа и x=y} - отношение равенства на множестве R действительных чисел (специальное обозначение «=»). D={x | xR}, R={y | yR}.

3. {<x, y> | для целых чисел x и y найдется положительное число z такое, что x+z=y} – отношение «меньше чем» на множестве целых чисел (специальное обозначение «<»). D и R - множества целых чисел.

Определение. Упорядоченным набором длины n или n-кой элементов называется последовательность, состоящая из n элементов x1, x2, x3,…, xn, расположенных в определенном порядке и обозначается <x1, x2, x3,…, xn>.

Определение. n-нарным отношением называют множество упорядоченных наборов длины n.

Произведение множеств

Определение. Пусть даны n множеств A1, A2,…, An. Множество всех наборов <x1, x2,…, xn> таких, что x1A1,…, xnAn называют прямым произведением A1, A2,…, An и обозначают A1A2An или .

Произведение одинаковых множеств обозначается An.

При n=2   XY={<x, y> | xX, yY}.

Каждое бинарное отношение есть подмножество прямого произведения, так что DX и RY. Если X=Y то говорят, что есть отношение на множестве X.

Примеры

1. Пусть X={0,1}, Y={x,y}. Тогда

XY={<0,x>, <0,y>, <1,x>, <1,y>};

YX={<x,0 >, <x,1>, <y,0>, <y,1>}.

2. X={1,2,3}, Y={0,1}.

XY={<1,0>,<1,1>,<2,0>,<2,1>,<3,0>,<3,1>};

YX={<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,1>,<1,2>,<1,3>}.

(Отметим, что XY  YX.)

К отношению «=» принадлежит одна пара <1,1>.

К отношению «<» в множестве YX принадлежат все пары, кроме <1,1>. В множестве XY таких пар нет.

3. RR - плоскость.

4. X = {x | x  [0,1]}

Y = {y | y  [1,2]}

XY = {<x, y> | x  [0,1], y  [1,2]} – множество точек квадрата:

           

Определение. Обратным отношением для ={<x,y> | <x,y>} называют отношение -1={<y,x> | <x,y>}.

Определение. Композицией отношений 1 и 2 называют отношение 21={<x,y> |  z такое, что <x, z>1 и <z, y>2}.

Свойства бинарных отношений

  1.  ;

2) .

Доказательство п. 2)

<y,x>    <x,y>21;

 z : <x,z>1 и <z,y>2

 z : <z,x>1-1 и <y,z>2-1 

 z : <y,z>2-1 и <z,x>1-1 

<y,x>.

Сравнивая с исходным соотношением убеждаемся в справедливости равенства 2).

Пример: система линейных алгебраических уравнений AB, где A и B - матрицы. Операция умножения матрицы на вектор устанавливает соответствие каждому вектору-операнду  результата операции . Это соответствие есть отношение .

С одной стороны

.

С другой стороны

; .

Тем самым, .

Функции

Определение. Бинарное отношение f называется функцией, если из <x,y>f и <x,z>f следует, что y=z. (Функция является однозначной).

Две функции равны, если они состоят из одних и тех же элементов. Область определения: Df, область значений: Rf.

Если Df =X и Rf Y, то говорят, что f осуществляет отображение множества X на множество Y. Обозначения:

f:XY или .

<x,y>f    y=f(x);  y – образ, x – прообраз элемента y.

Примеры

{<1,2>, <2,3>,< >} – функция;

{<1,2>,<1,3>,<2,4>} - не функция (1 отображается сразу на два элемента);

{<x, x2+2x+1> | x R} - функция y=x2+2x+1

Определение. n-местной функцией называют отношение f, если f:XnY. Обозначение y=f(x1,…,xn).

Определение. Функция f:XY называется инъективной, если

x1, x2, y : y=f(x1), y=f(x2) x1=x2.  (То есть, одинаковые значения y могут соответствовать только одинаковым x).

Определение. Функция f:XY называется сюръективной, если

yY xX : y=f(x). (То есть, каждому значению y соответствует некоторое x).

Определение. Функция f называется биективной, если f одновременно сюрьективна и инъективна.

Говорят, что биективная функция f осуществляет взаимно однозначное отображение множества X на множество Y.

Примеры

f(x)=ex - инъективна, но не сюръективна при x  R;

f(x)=x3-x - сюръективна, но не инъективна;

f(x)=2x+1, f(x)=x3+x – биективна.

Утверждение. Композиция двух функций есть функция.

Доказательство. Допустим, композиции gf принадлежат две пары:

.

Поскольку f – функция, то u=v. Поскольку g – функция и u=v, то y=z, т.е. gof – функция.

Утверждение. Композиция двух биективных функций есть биективная функция. Следует из взаимной однозначности отображений, осуществляемых биективными функциями.

Определение. Тождественным отображением множества X в себя называется отображение 

ex: XX такое, что xX ex(x)=x. Тогда fex=f, eyf=f.

Утверждение. Отображение f:XY имеет обратное отображение f1:YX тогда и только тогда, когда f – биекция.

Доказательство.

Пусть f – биекция. Поскольку f – сюръективна, то отношение f-1 определено на множестве Y (каждому y соответствует определенное x).

В связи с инъективностью функции f обратное отношение f-1 является функцией (так как функция – однозначна, а инъективность означает невозможность соответствия различных x одному y). Прямое утверждение доказано.

Пусть теперь отображение f имеет обратное – f-1, определенное на множестве Y со значениями во множестве X. Тогда f сюръективно.

Но f также инъективно, так как f-1 – функция.

Утверждение доказано.

Замечание. Для того, чтобы обратное отношение f-1 было функцией на множестве значений Rf функции f, достаточно, чтобы функция f была инъективной. Тогда для инъективных функций выполняются следующие свойства бинарных отношений

1) (f)=f;                   2) (gf) =fg.

Свойства биективных функций

3) ff=ex;                  4) ff=ey.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

129. Организация труда на предприятии по изготовлению алюминия 94.93 KB
  Расчет производственной программы электролизного цеха. Расчет эффективного фонда времени одного рабочего на год. Расчет амортизационных отчислений на содержание зданий и сооружений. Составление плановой калькуляции себестоимости одной тонны алюминия.
130. Обучение математическому моделированию как основному методу решения текстовых задач в курсе алгебры основной школы 517 KB
  Психолого-педагогические основы обучения решению текстовых задач в курсе алгебры основной школы. Математическое моделирование – один из основных методов решения текстовых задач в основной школе. Методика обучения решению текстовых задач на основе моделирования задачной ситуации.
131. Обеспечение общих условий электробезопасности на участке настройки (регулировки) лабораторного стенда блока тригонометрических преобразований 97.41 KB
  В общем комплексе мероприятий, связанных с созданием современной электронной и радиоэлектронной аппаратуры, технология микросхем, сборки и монтажа аппаратуры занимает особое место. При осуществлении технологических процессов требуется энергоемкое оборудованье с высоким питающий напряжением электрического тока.
132. Демонстрационные опыты с оптики в средней школе с использованием призмы 350.5 KB
  В данной работе исследована проблема постановки опытов по геометрической оптике с использованием призмы в средней школе. Выбраны наиболее наглядные и интересные опыты по оптике с использованием оборудования, которое может быть приобретено любой школой или изготовлено самостоятельно.
133. Проблема совершенствования мотивации персонала организации ООО Хоум кредит энд финанс банк 555 KB
  Общая характеристика деятельности ООО Хоум кредит энд финанс банк (источник-Устав Банка). Мероприятия по совершенствованию мотивации персонала ООО Хоум Кредит энд Финанс Банк.
134. Проектирование привода конвейера с двухступенчатым редуктором 384 KB
  Кинематический расчет привода и выбор электродвигателя. Определение допусков форм и расположения поверхности. Расчет вала осуществляется по запасу сопротивления усталости. опуск перпендикулярности базового торца вала.
135. Шкільна гігієна 144.5 KB
  Школа розміщена в тихому мікрорайоні між будинками, головна вулиця знаходиться десь 300 – 400 м, від школи, біля школи руху автомобілів немає. На території школи є спортивна зала, вона обладнана спортивним обладнанням, волейбольним полем, спортивним майданчиком, "футбольним полем".
136. Анализ цен на металлопродукцию в среде Microsoft Excel 33.37 KB
  Используя средства Microsoft Excel и статистические показатели, научиться оценивать динамику цен на продукцию металлургических предприятий. Индексы рассчитываются на основе данных, полученных в результате регистрации цен на товары-представители выборочных организаций всех форм собственности.
137. Польско-Шведская интервенция 1609-1612 годов 44.22 KB
  В истории государства нашего были такие периоды, в которые под угрозу была поставлена его независимость и самобытность народа, если хотите. Так как объектом моего реферата является Польско-Шведская интервенция 1609-1612 гг., то для начала я определилась с одним из центральных понятий реферата – интервенция.