67593

Отношения и функции/ Произведение множеств

Лекция

Математика и математический анализ

Две пары считаются равными тогда и только тогда, когда x=u и y=v. Определение. Бинарным или двуместным отношением называют множество упорядоченных пар. Элементы x и y называют координатами или компонентами отношения.

Русский

2014-09-23

116.5 KB

1 чел.

Лекция №2  

Отношения и функции

Определение. Упорядоченной парой <x,y> называется совокупность, состоящая из двух элементов x и y, расположенных в определенном порядке.

Определение. Две пары <x, y> <u, v> считаются равными тогда и только тогда, когда x=u и y=v.

Определение. Бинарным или двуместным отношением  называют множество упорядоченных пар. Элементы x и y называют координатами или компонентами отношения .

Записи <x, y> и  xy  означают, что пара <x, y> принадлежит бинарному отношению .

Определение. Областью определения бинарного отношения  называют множество D={x | существует такое y, что  x  y}. Областью значений  называют множество R={y | существует такое  x, что x  y}.||

Примеры.

1. Множество {<1,2>,<2,4><3,3>,<2,1>} – бинарное отношение.

D={1,2,3}, R={2,4,3,1}={1,2,3,4}.

2. {<x, y> | x, y – действительные числа и x=y} - отношение равенства на множестве R действительных чисел (специальное обозначение «=»). D={x | xR}, R={y | yR}.

3. {<x, y> | для целых чисел x и y найдется положительное число z такое, что x+z=y} – отношение «меньше чем» на множестве целых чисел (специальное обозначение «<»). D и R - множества целых чисел.

Определение. Упорядоченным набором длины n или n-кой элементов называется последовательность, состоящая из n элементов x1, x2, x3,…, xn, расположенных в определенном порядке и обозначается <x1, x2, x3,…, xn>.

Определение. n-нарным отношением называют множество упорядоченных наборов длины n.

Произведение множеств

Определение. Пусть даны n множеств A1, A2,…, An. Множество всех наборов <x1, x2,…, xn> таких, что x1A1,…, xnAn называют прямым произведением A1, A2,…, An и обозначают A1A2An или .

Произведение одинаковых множеств обозначается An.

При n=2   XY={<x, y> | xX, yY}.

Каждое бинарное отношение есть подмножество прямого произведения, так что DX и RY. Если X=Y то говорят, что есть отношение на множестве X.

Примеры

1. Пусть X={0,1}, Y={x,y}. Тогда

XY={<0,x>, <0,y>, <1,x>, <1,y>};

YX={<x,0 >, <x,1>, <y,0>, <y,1>}.

2. X={1,2,3}, Y={0,1}.

XY={<1,0>,<1,1>,<2,0>,<2,1>,<3,0>,<3,1>};

YX={<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,1>,<1,2>,<1,3>}.

(Отметим, что XY  YX.)

К отношению «=» принадлежит одна пара <1,1>.

К отношению «<» в множестве YX принадлежат все пары, кроме <1,1>. В множестве XY таких пар нет.

3. RR - плоскость.

4. X = {x | x  [0,1]}

Y = {y | y  [1,2]}

XY = {<x, y> | x  [0,1], y  [1,2]} – множество точек квадрата:

           

Определение. Обратным отношением для ={<x,y> | <x,y>} называют отношение -1={<y,x> | <x,y>}.

Определение. Композицией отношений 1 и 2 называют отношение 21={<x,y> |  z такое, что <x, z>1 и <z, y>2}.

Свойства бинарных отношений

  1.  ;

2) .

Доказательство п. 2)

<y,x>    <x,y>21;

 z : <x,z>1 и <z,y>2

 z : <z,x>1-1 и <y,z>2-1 

 z : <y,z>2-1 и <z,x>1-1 

<y,x>.

Сравнивая с исходным соотношением убеждаемся в справедливости равенства 2).

Пример: система линейных алгебраических уравнений AB, где A и B - матрицы. Операция умножения матрицы на вектор устанавливает соответствие каждому вектору-операнду  результата операции . Это соответствие есть отношение .

С одной стороны

.

С другой стороны

; .

Тем самым, .

Функции

Определение. Бинарное отношение f называется функцией, если из <x,y>f и <x,z>f следует, что y=z. (Функция является однозначной).

Две функции равны, если они состоят из одних и тех же элементов. Область определения: Df, область значений: Rf.

Если Df =X и Rf Y, то говорят, что f осуществляет отображение множества X на множество Y. Обозначения:

f:XY или .

<x,y>f    y=f(x);  y – образ, x – прообраз элемента y.

Примеры

{<1,2>, <2,3>,< >} – функция;

{<1,2>,<1,3>,<2,4>} - не функция (1 отображается сразу на два элемента);

{<x, x2+2x+1> | x R} - функция y=x2+2x+1

Определение. n-местной функцией называют отношение f, если f:XnY. Обозначение y=f(x1,…,xn).

Определение. Функция f:XY называется инъективной, если

x1, x2, y : y=f(x1), y=f(x2) x1=x2.  (То есть, одинаковые значения y могут соответствовать только одинаковым x).

Определение. Функция f:XY называется сюръективной, если

yY xX : y=f(x). (То есть, каждому значению y соответствует некоторое x).

Определение. Функция f называется биективной, если f одновременно сюрьективна и инъективна.

Говорят, что биективная функция f осуществляет взаимно однозначное отображение множества X на множество Y.

Примеры

f(x)=ex - инъективна, но не сюръективна при x  R;

f(x)=x3-x - сюръективна, но не инъективна;

f(x)=2x+1, f(x)=x3+x – биективна.

Утверждение. Композиция двух функций есть функция.

Доказательство. Допустим, композиции gf принадлежат две пары:

.

Поскольку f – функция, то u=v. Поскольку g – функция и u=v, то y=z, т.е. gof – функция.

Утверждение. Композиция двух биективных функций есть биективная функция. Следует из взаимной однозначности отображений, осуществляемых биективными функциями.

Определение. Тождественным отображением множества X в себя называется отображение 

ex: XX такое, что xX ex(x)=x. Тогда fex=f, eyf=f.

Утверждение. Отображение f:XY имеет обратное отображение f1:YX тогда и только тогда, когда f – биекция.

Доказательство.

Пусть f – биекция. Поскольку f – сюръективна, то отношение f-1 определено на множестве Y (каждому y соответствует определенное x).

В связи с инъективностью функции f обратное отношение f-1 является функцией (так как функция – однозначна, а инъективность означает невозможность соответствия различных x одному y). Прямое утверждение доказано.

Пусть теперь отображение f имеет обратное – f-1, определенное на множестве Y со значениями во множестве X. Тогда f сюръективно.

Но f также инъективно, так как f-1 – функция.

Утверждение доказано.

Замечание. Для того, чтобы обратное отношение f-1 было функцией на множестве значений Rf функции f, достаточно, чтобы функция f была инъективной. Тогда для инъективных функций выполняются следующие свойства бинарных отношений

1) (f)=f;                   2) (gf) =fg.

Свойства биективных функций

3) ff=ex;                  4) ff=ey.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

26670. Воздействие нефтедобычи в НАО на многолетние мерзлые породы 17.11 KB
  В Государственном докладе О состоянии и об охране окружающей среды Российской Федерации в 2005 году отмечается что наибольший суммарный объем выбросов в атмосферу зафиксирован для предприятий по добыче сырой нефти и нефтяного попутного газа 41 млн. м свежей воды в том числе при добыче сырой нефти и природного газа 7015 млн. Аэробная зона источник выделения углекислого газа образующегося при разложении органики в кислородной среде а анаэробная зона продуцирует метан. Парниковый эффект метана превышает действие равного количества...
26671. Проблемы освоения и добычи углеводородов в НАО 16.34 KB
  Основные технологические проблемы освоения морских нефтегазовых месторождений связаны со спецификой технологических условий на этапах обустройства месторождения и добычи. Вместе с тем существенных усилий требуют подготовка и транспортировка углеводородов
26672. Состояние здоровья взрослого населения в Архангельской области 47.5 KB
  Для изучения состояния здоровья населения Архангельской области проведен ретроспективный анализ многолетней динамики первичной заболеваемости и оценена тенденция заболеваемости путем выравнивания динамического ряда по функции экспоненциальной кривой. Анализ состояния здоровья совокупного населения Архангельской области показал что высокий темп прироста ТПр частоты заболеваемости свыше 10 и выраженная тенденция к росту за 5летний период установлены только для класса Врожденные пороки развития 1237 и 089 соответственно. Динамика...
26673. ПРИРОДНЫЕ ПАРКИ 10.83 KB
  природоохранные рекреационные учреждения находящиеся в ведении субъектов Российской Федерации территории акватории которых включают в себя природные комплексы и объекты имеющие значительную экологическую и эстетическую ценность и предназначены для использования в природоохранных просветительских и рекреационных целях . принимают органы государственной власти субъектов РФ по представлению федеральных органов в области охраны природной среды по согласованию с органами местного самоуправления.
26674. ЗОЛОТОЕ КОЛЬЦО РОССИИ 98.88 KB
  МОСКВА Бывают городатруженики городакоммерсанты городаханжи городамузеи городавенценосцы . Так писал о городах К. В этих городах сочетаются уникальные памятники архитектуры скромная красота природы и гений человека его мастерство видение жизни и стремление украсить свой быт народные промыслы. Так что же входит в понятие Золотое Кольцо Это сама Москва и окружающие ее областные города: Ярославль Кострома Владимир Иваново и множество районных городов: Ростов Великий Суздаль ПереславльЗалесский Нерехта Плесс Палех...
26675. Концепция развития туризма в Архангельской области на 2011-2014 годы 25.12 KB
  Концепция разработана в рамках реализации Стратегии социальноэкономического развития Архангельской области до 2030 года.1999 № 14923ОЗ О туризме в Архангельской области; Стратегия социальноэкономического развития Архангельской области до 2030 года. Характеристика современной туристской индустрии Архангельской области 1.
26676. КОНЦЕПЦИЯ РАЗВИТИЯ МОЛОДЕЖНОГО ТУРИЗМА 34.24 KB
  Другой аспект туризма туристский бизнес. Настоящий бум развития туризма в нашей стране был в 30е и 60е годы прошлого века. В настоящее время отсутствует комплексный подход к развитию туризма в стране в 90е годы руководство туризмом было разведено по 14 ведомствам и частному капиталу.
26677. Наследование при моно- и дигибридном скрещивании 14.38 KB
  Закон доминирования первый закон Менделя − это закон единообразия гибридов первого поколения. Это соотношение выражает второй закон Менделя или закон расщепления признаков у гибридов второго поколения в соотношении 3:1 по фенотипу. Закон чистоты гамет гамета содержит 1 и только 1 аллель от каждого гена. 3й закон Менделя: закон независимого наследования.
26678. Полиплоидия. Автополиплоидия, её фенотипические эффекты и генетика. Амфидиплоидия как механизм получения плодовитых аллополиплоидов. Значение полиплоидии в эволюции и селекции растений 13.47 KB
  Геномные мутации это мутации затрагивающие число хромосом изменяющие геномгаплоидный набор хромосом с локализми в них генами. Полиплоидия это изменение числа хромосом кратное гаплоидному. Умножение одного и того же гаплоидного числа хромосом генома назся автополиплоидией. Различают полиплоидию сбалансую с чётным числом наборов хромосом и несбалансую с нечётным.