67593

Отношения и функции/ Произведение множеств

Лекция

Математика и математический анализ

Две пары считаются равными тогда и только тогда, когда x=u и y=v. Определение. Бинарным или двуместным отношением называют множество упорядоченных пар. Элементы x и y называют координатами или компонентами отношения.

Русский

2014-09-23

116.5 KB

1 чел.

Лекция №2  

Отношения и функции

Определение. Упорядоченной парой <x,y> называется совокупность, состоящая из двух элементов x и y, расположенных в определенном порядке.

Определение. Две пары <x, y> <u, v> считаются равными тогда и только тогда, когда x=u и y=v.

Определение. Бинарным или двуместным отношением  называют множество упорядоченных пар. Элементы x и y называют координатами или компонентами отношения .

Записи <x, y> и  xy  означают, что пара <x, y> принадлежит бинарному отношению .

Определение. Областью определения бинарного отношения  называют множество D={x | существует такое y, что  x  y}. Областью значений  называют множество R={y | существует такое  x, что x  y}.||

Примеры.

1. Множество {<1,2>,<2,4><3,3>,<2,1>} – бинарное отношение.

D={1,2,3}, R={2,4,3,1}={1,2,3,4}.

2. {<x, y> | x, y – действительные числа и x=y} - отношение равенства на множестве R действительных чисел (специальное обозначение «=»). D={x | xR}, R={y | yR}.

3. {<x, y> | для целых чисел x и y найдется положительное число z такое, что x+z=y} – отношение «меньше чем» на множестве целых чисел (специальное обозначение «<»). D и R - множества целых чисел.

Определение. Упорядоченным набором длины n или n-кой элементов называется последовательность, состоящая из n элементов x1, x2, x3,…, xn, расположенных в определенном порядке и обозначается <x1, x2, x3,…, xn>.

Определение. n-нарным отношением называют множество упорядоченных наборов длины n.

Произведение множеств

Определение. Пусть даны n множеств A1, A2,…, An. Множество всех наборов <x1, x2,…, xn> таких, что x1A1,…, xnAn называют прямым произведением A1, A2,…, An и обозначают A1A2An или .

Произведение одинаковых множеств обозначается An.

При n=2   XY={<x, y> | xX, yY}.

Каждое бинарное отношение есть подмножество прямого произведения, так что DX и RY. Если X=Y то говорят, что есть отношение на множестве X.

Примеры

1. Пусть X={0,1}, Y={x,y}. Тогда

XY={<0,x>, <0,y>, <1,x>, <1,y>};

YX={<x,0 >, <x,1>, <y,0>, <y,1>}.

2. X={1,2,3}, Y={0,1}.

XY={<1,0>,<1,1>,<2,0>,<2,1>,<3,0>,<3,1>};

YX={<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,1>,<1,2>,<1,3>}.

(Отметим, что XY  YX.)

К отношению «=» принадлежит одна пара <1,1>.

К отношению «<» в множестве YX принадлежат все пары, кроме <1,1>. В множестве XY таких пар нет.

3. RR - плоскость.

4. X = {x | x  [0,1]}

Y = {y | y  [1,2]}

XY = {<x, y> | x  [0,1], y  [1,2]} – множество точек квадрата:

           

Определение. Обратным отношением для ={<x,y> | <x,y>} называют отношение -1={<y,x> | <x,y>}.

Определение. Композицией отношений 1 и 2 называют отношение 21={<x,y> |  z такое, что <x, z>1 и <z, y>2}.

Свойства бинарных отношений

  1.  ;

2) .

Доказательство п. 2)

<y,x>    <x,y>21;

 z : <x,z>1 и <z,y>2

 z : <z,x>1-1 и <y,z>2-1 

 z : <y,z>2-1 и <z,x>1-1 

<y,x>.

Сравнивая с исходным соотношением убеждаемся в справедливости равенства 2).

Пример: система линейных алгебраических уравнений AB, где A и B - матрицы. Операция умножения матрицы на вектор устанавливает соответствие каждому вектору-операнду  результата операции . Это соответствие есть отношение .

С одной стороны

.

С другой стороны

; .

Тем самым, .

Функции

Определение. Бинарное отношение f называется функцией, если из <x,y>f и <x,z>f следует, что y=z. (Функция является однозначной).

Две функции равны, если они состоят из одних и тех же элементов. Область определения: Df, область значений: Rf.

Если Df =X и Rf Y, то говорят, что f осуществляет отображение множества X на множество Y. Обозначения:

f:XY или .

<x,y>f    y=f(x);  y – образ, x – прообраз элемента y.

Примеры

{<1,2>, <2,3>,< >} – функция;

{<1,2>,<1,3>,<2,4>} - не функция (1 отображается сразу на два элемента);

{<x, x2+2x+1> | x R} - функция y=x2+2x+1

Определение. n-местной функцией называют отношение f, если f:XnY. Обозначение y=f(x1,…,xn).

Определение. Функция f:XY называется инъективной, если

x1, x2, y : y=f(x1), y=f(x2) x1=x2.  (То есть, одинаковые значения y могут соответствовать только одинаковым x).

Определение. Функция f:XY называется сюръективной, если

yY xX : y=f(x). (То есть, каждому значению y соответствует некоторое x).

Определение. Функция f называется биективной, если f одновременно сюрьективна и инъективна.

Говорят, что биективная функция f осуществляет взаимно однозначное отображение множества X на множество Y.

Примеры

f(x)=ex - инъективна, но не сюръективна при x  R;

f(x)=x3-x - сюръективна, но не инъективна;

f(x)=2x+1, f(x)=x3+x – биективна.

Утверждение. Композиция двух функций есть функция.

Доказательство. Допустим, композиции gf принадлежат две пары:

.

Поскольку f – функция, то u=v. Поскольку g – функция и u=v, то y=z, т.е. gof – функция.

Утверждение. Композиция двух биективных функций есть биективная функция. Следует из взаимной однозначности отображений, осуществляемых биективными функциями.

Определение. Тождественным отображением множества X в себя называется отображение 

ex: XX такое, что xX ex(x)=x. Тогда fex=f, eyf=f.

Утверждение. Отображение f:XY имеет обратное отображение f1:YX тогда и только тогда, когда f – биекция.

Доказательство.

Пусть f – биекция. Поскольку f – сюръективна, то отношение f-1 определено на множестве Y (каждому y соответствует определенное x).

В связи с инъективностью функции f обратное отношение f-1 является функцией (так как функция – однозначна, а инъективность означает невозможность соответствия различных x одному y). Прямое утверждение доказано.

Пусть теперь отображение f имеет обратное – f-1, определенное на множестве Y со значениями во множестве X. Тогда f сюръективно.

Но f также инъективно, так как f-1 – функция.

Утверждение доказано.

Замечание. Для того, чтобы обратное отношение f-1 было функцией на множестве значений Rf функции f, достаточно, чтобы функция f была инъективной. Тогда для инъективных функций выполняются следующие свойства бинарных отношений

1) (f)=f;                   2) (gf) =fg.

Свойства биективных функций

3) ff=ex;                  4) ff=ey.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

21906. Введение в дистанционное зондирование. Восстановление (коррекция) видеоинформации. Предварительная обработка изображений. Классификация. Преобразование изображений 145.5 KB
  К настоящему времени накоплен огромный фонд более 100 миллионов аэрокосмических снимков полностью покрывающих всю поверхность Земли а для значительной части районов с многократным перекрытием. Геометрическая коррекция или трансформирование снимков предназначено для устранения искажений вызванных кривизной и вращением Земли а также углом наклона орбиты спутника к плоскости экватора. Часто для представления и совместной обработки материалов разных видов типов съемок а также разновременных снимков одной и той же территории используется...
21907. Отраслевые геоинформационные проекты 139.5 KB
  Создание карт распределения геологической продукции и информации: а по административным районам; б по геологическим структурам. Создание двумерных и трехмерных моделей подсчета запасов полезных ископаемых и карт в изолиниях. Персональные компьютеры в руках геолога представляют собой надежный инструмент который дает большие возможности как по созданию геологических отчетов геологических карт научных разработок так и по решению различных модельных задач по теории рудообразования геотектонике стратиграфии металлогении и т.
21908. Некоторые вопросы оценки качества цифровых карт 110 KB
  Для быстрой оценки точности цифровой карты необходимо проверить значения реальных координат объектов карты. Проверить значения координат в углах рамки карты. в зависимости от вида и масштаба карты. Если югозападный угол карты имеет неточную привязку то весьма вероятно что все объекты карты будут иметь координаты со сдвигом.
21909. История развития ГИС 77.5 KB
  Одна из наиболее интересных черт раннего развития ГИС особенно в шестидесятые годы заключается в том что первые инициативные проекты и исследования сами были ГЕОГРАФИЧЕСКИ РАСПРЕДЕЛЕНЫ по многим точкам причем эти работы осуществлялись независимо часто без упоминания и даже с игнорированием себе подобных. Возникновение и бурное развитие ГИС было предопределено богатейшим опытом топографического и особенно тематического картографирования успешными попытками автоматизировать картосоставительский процесс а также революционным достижениями...
21910. Классификация ГИС технологий 96.5 KB
  Множество задач решаемых современными ГИС научных прикладных образовательных наконец бытовых не поддается исчислению складываясь из необозримого числа достойных внимания и описания объектов реальности помноженных на разнообразие мотивов и целей человеческой деятельности. При всем многообразии типов ГИС возможна их классификация по нескольким основаниям: пространственному охвату объекту и предметной области информационного моделирования проблемной ориентации функциональным возможностям уровню управления и некоторым другим...
21911. Ввод данных в ГИС. Базовые структуры данных в ГИС. Представление пространственных данных. Структура геоинформационных систем 73 KB
  Базовые структуры данных в ГИС. Представление пространственных данных. Ввод данных в ГИС.
21912. Определение положения точек на поверхности Земли. Координатные данные. Взаимосвязи между координатными моделями. Определение положения точек на поверхности Земли 71 KB
  Определение положения точек на поверхности Земли Координатные данные составляющие один из основных классов геоинформационных данных используют для указания местоположения на земной поверхности Поверхность Земли имеет сложную форму. Эта информация образует класс координатных данных ГИС являющийся обязательной характеристикой геообъектов. Будучи частью классом общей модели данных в ГИС координатные данные определяют класс координатных моделей Основные типы координатных моделей Класс координатных моделей можно разбить на типы. При этом...
21913. Антенны с круговой диаграммой направленности 224 KB
  Наиболее широкое применение в этой группе получили антенны типа Ground Plane GP рис.1 Конструкция антенны GP Штыревая конструкция антенны удобна для размещения как на крыше здания так и на автомобиле.6 Длина элементов антенны GP Диаметр трубки мм 2 6 20 40 Длина штыря l мм 2690 2670 2650 2620 Для нормальной работы антенны она снабжается тремя противовесами которые можно выполнить из трубки или антенного канатика.
21914. Направленные антенны. Полуволновой вибратор 375.5 KB
  Для обеспечения связи между двумя неподвижными станциями расстояние между которыми превышает дальнобойность антенн типа GP с успехом используют направленные антенны Волновой канал рис. Эти антенны концентрируют максимум излучения в нужном направлении обеспечивая выигрыш как при передаче так и при приеме.1 Антенны Волновой канал Описанные здесь антенны при горизонтальном расположении вибратора имеют горизонтальную поляризацию.