67594

Специальные бинарные отношения

Лекция

Математика и математический анализ

Примеры. «=» на множестве целых (действительных) чисел – отношение эквивалентности. Отношение геометрического подобия на множестве треугольников – отношение эквивалентности. Сравнимость по модулю 2 (или n) отношение эквивалентности на множестве целых чисел. Отношение принадлежности к одной группе...

Русский

2014-09-12

115 KB

6 чел.

Лекция №3

Специальные бинарные отношения

В данном разделе рассматриваются отношения элементов одного и того же множества X.

Определение. Отношение на множестве X называется рефлексивным, если для любого  выполняется . (=,≤,≥,)

Определение. Отношение на множестве X называется антирефлексивным, если  не выполняется ни для какого . (≠,<,>,)

Определение. Отношение на множестве X называется симметричным, если  для любых . (=,≠)

Определение. Отношение на множестве X называется антисимметричным, если для любых x,yX из xy и yx  x=y. (≤,≥,)

Определение. Отношение на множестве X называется строго антисимметричным, если для любых x,yX из <x,y>  <y,x>. (<,>,)

Определение. Отношение на множестве X называется транзитивным, если для любых .  (=,≤,≥,,<,>,), не транз. ()

Определение. Рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение на множестве X называется отношением эквивалентности на множестве X.

Примеры. ||

1. «=» на множестве целых (действительных) чисел – отношение эквивалентности.

2. Отношение геометрического подобия на множестве треугольников – отношение эквивалентности.

3. Сравнимость по модулю 2 (или n) отношение эквивалентности на множестве целых чисел.

4. Отношение принадлежности к одной группе студентов – отношение эквивалентности на множестве всех студентов.

5. Отношение «<» не рефлексивно, не симметрично, но транзитивно.

Определение. Классом эквивалентности, порожденным элементом xX, называется подмножество множества X, состоящее из таких элементов yX, для которых xy. Обозначение: [x]. Т.е. [x]={yX | xy}.

Примеры.

1. Отношение равенства: xZ  [x]={x}, т.е. каждый класс эквивалентности состоит из одного элемента – числа x.

2. Отношение сравнимости по модулю n: [x]={x+kn, kZ}.

3. Отношение принадлежности к одной группе студентов: класс эквивалентности – группа.

Определение. Разбиением множества X называется совокупность попарно не пересекающихся подмножеств X, таких, что каждый элемент множества X  одному и только одному из этих подмножеств.

Примеры. 

1. . Разбиение:.

2. Разбиением множества студентов института может быть совокупность групп.

Утверждение. Всякое разбиение множества X определяет на X следующее отношение эквивалентности :

xy тогда и только тогда, когда x и y принадлежат одному подмножеству разбиения.

Утверждение. Всякое отношение эквивалентности  определяет разбиение множества X на классы эквивалентности.

Справедливость утверждений очевидна.

Определение. Совокупность классов эквивалентности элементов любого множества X по отношению эквивалентности  называется фактор-множеством множества X по отношению  и обозначается  X/.

Пример. Множество студенческих групп данного вуза является фактор-множеством множества студентов вуза по отношению принадлежности к одной группе.

Определение. Рефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение называется отношением нестрогого частичного порядка на множестве X 

Обозначение  (предшествовать).

Примеры  

Отношения x  y, A  B, подчиненность должностей – отношения частичного порядка на соответствующих множествах.

Определение. Антирефлексивное, строго антисимметричное и транзитивное отношение называется отношением строгого частичного порядка на множестве X 

Обозначение  (строго предшествовать, т.е. одновременно  и ).

Примеры.  

Отношения x < y, A  B – отношения строгого частичного порядка на соответствующих множествах.

Определение. Отношение частичного порядка на множестве X, для которого два элемента сравнимы (т.е. x, y  X   xy либо yx) называется отношением линейного порядка (строгого или нестрогого).

Пример  

1. Отношение x  y – отношение линейного порядка на множестве действительных чисел.

2. A  B таковым не является.

3. Как можно задать отношение частичного порядка на множестве XX? Определим отношение Парето

,

которое есть отношение частичного порядка.

В качестве примера рассмотрим подмножество целых чисел и в качестве - отношение . К множеству Парето принадлежат те пары <x1,x2>, для которых справедливы не существует таких пар <x3,x4>, что x1x3 и x2x4.

Определение. Говорят, что элемент y покрывает элемент x, если xy и не существует такого элемента u, что xuy.

Любое частично упорядоченное множество можно представить в виде диаграммы Хассе. Если y покрывает x, то две точки, соответствующие этим элементам, соединяют отрезком, причем x располагают ниже y.

xy                

Пример.  Отношение «быть подмножеством». Пусть  A{1,2,3}

B(A) = {, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3},{1,2,3}}

2. X = {1,2,3,5,6,10,15,30}

Отношение:  y делится на x

       

3. X = {1,2,3,4,5,6,7,8}

Отношение линейного порядка: x<y.

Определение. Два частично упорядоченных множества X и Y называются изоморфными, если существует биективная функция сохраняющая отношение частичного порядка. ||

Т.е

Задания.

1. Привести примеры отношений:

– не рефлексивного, но симметричного и транзитивного (позвонить по телефону, быть родственником);

– не симметричного, но рефлексивного и транзитивного (делимость нацело одного числа на другое, );

– не транзитивного, но рефлексивного и симметричного (принадлежать одному множеству или обществу, AB);

– не симметричного, не транзитивного, но рефлексивного (знать (узнавать) кого-то);

– не рефлексивного, не симметричного, но транзитивного (<,>);

– не рефлексивного, не транзитивного, но симметричного ();

2. Рассмотрим отношения (на множестве прямых на плоскости):

– параллельности прямых;

– перпендикулярности прямых.

Определить свойства этих отношений. Изменятся ли эти свойства, если рассмотреть прямые в пространстве? Плоскости в пространстве?

ЗАДАЧИ

  1.  В отношении большой-маленький не находятся понятия

  1.  высокий-низкий

глубокий-мелкий

широкий-узкий

долгий-короткий

высокий-мелкий

  1.  В отношении целое-часть не находятся понятия

  1.  год-месяц

квартира-комната

отец-ребенок

страна-губерния

школа-класс

  1.  В отношении общее-частное не находятся понятия

  1.  мебель-стол

время-час

устройство-часы

магазин-товар

человечество-личность

  1.  В отношении процесс-результат не находятся понятия

  1.  строительство-дом

созревание-плод

движение-цель

обучение-квалификация

строительство-стройка

  1.  В отношении объект-модель не находятся понятия

  1.  одежда-выкройка

движение-законы Ньютона

лампа-свет

класс-список учеников

жизнь человека-биография

  1.  В отношении большой-маленький не находятся понятия

  1.  Далекий-близкий
  2.  Взрослый-ребенок
  3.  Полный-худой
  4.  богатый-бедный
  5.  век-миг

  1.  В отношении целое-часть не находятся понятия

  1.  учебник-раздел

ружье-приклад

комната-мебель

кошка-хвост

стадион-трибуна

  1.  В отношении общее-частное не находятся понятия

  1.  самолет-Боинг

лекарство-аспирин

механизм-весы

книжный шкаф-книга

болезнь-ангина

  1.  В отношении процесс-результат не находятся понятия

  1.  разбег-прыжок

питание-энергия

познание-истина

обучение-аттестат

взлет-посадка

  1.  В отношении объект-модель не находятся понятия

  1.  дом-план

микромир-квантовая механика

книга-текст

знания-оценка

предмет-тень


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24538. Виды ресурсов вычислительной системы 14.16 KB
  Ресурсы запрашиваются используются и освобождаются процессами. По форме реализации различают: аппаратные ресурсы Hard; программные ресурсы Soft; информационные ресурсы. По способу выделения ресурса различают: неделимые ресурсы предоставляются процессу в полное распоряжение; делимые ресурсы предоставляются процессу в соответствии с запросом на требуемое количество ресурса. Делимые ресурсы в свою очередь можно разделить на те которые могут использоваться процессами одновременно или попеременно.
24539. Структура и виды программного обеспечения (ПО). Характеристика системного ПО 15.33 KB
  ПО Прикладное Операционные системы Система управления файлами Операционные оболочки Утилиты Системы программирования Базы данных САПР Электронные таблицы Издательские системы ПО для математических расчетов Системное Рис. Cистемное ПО можно разделить на следующие группы: операционные системы ОС; системы управления файлами; операционные оболочки; утилиты; системы программирования. Современные системы программирования представляют собой интегрированную среду разработки IDE объединяющую редактор текста компилятор языка...
24540. Классификация ОС 13.63 KB
  Примером таких ОС является семейство Windows и Linux. Среди ОС специального назначения можно выделить следующие разновидности: ОС для карманных компьютеров сотовых телефонов и другой бытовой техники например PalmOS и Windows CE Consumer Electronics бытовая электроника; ОС для встроенных систем телевизоров СВЧ печей стиральных машин и т. По режиму обработки задач различают однозадачные например MSDOS MSX и многозадачные ОС OC EC OS 2 UNIX Windows. По способу взаимодействия пользователя с системой различают...
24541. Назначение и основные функции операционной системы (ОС) для автономного компьютера 13.74 KB
  Назначение и основные функции операционной системы ОС для автономного компьютера.2 Операционные системы для автономного компьютера Операционная система компьютера представляет собой комплекс взаимосвязанных программ который действует как интерфейс между приложениями и пользователями с одной стороны и аппаратурой компьютера с другой стороны. В соответствии с этим определением ОС выполняет две группы функций: предоставление пользователям и программистам вместо реальной аппаратуры компьютера расширенной виртуальной машины с которой удобней...
24542. Сетевые операционные системы: функциональные компоненты и варианты построения 46.02 KB
  Сетевые операционные системы: функциональные компоненты и варианты построения.3 Сетевые операционные системы. Различают сетевые и распределенные ОС. Распределенная ОС предоставляет пользователю сетевые ресурсы в виде ресурсов единой централизованной виртуальной машины.
24543. Одноранговые и серверные операционные системы 79.16 KB
  В зависимости от того как распределены функции между компьютерами сети они могут выступать в трех разных ролях: выделенный сервер сети компьютер обслуживающий запросы других компьютеров т. В одноранговых сетях рабочих группах на все компьютеры устанавливается такая ОС которая предоставляет всем компьютерам в сети потенциально равные возможности. Схема одноранговой сети При потенциальном равноправии всех компьютеров в одноранговой сети часто возникникает функциональная несимметричность которая обусловлена тем что одни компьютеры...
24544. Принципы построения ОС 15.76 KB
  Принципы построения ОС.1 Принципы построения ОС. Однако в их основу положены общие принципы перечисленные ниже. Принцип модульности.
24545. Виды программных модулей 48.36 KB
  никакие внешние события не могут прервать работу модуля и он непрерывно выполняется от начала до конца. Структура привилегированного модуля приведена на рис. Структура привилегированного модуля Непривилегированные модули это обычные программные модули которые могут быть прерваны во время своей работы.2 приведен пример использования реентерабельного модуля В процессами А и С.
24546. Ядро и вспомогательные модули ОС 95.57 KB
  Ядро и вспомогательные модули ОС.3 Ядро и вспомогательные модули операционной системы. Все модули ОС разделяются на две группы: ядро и вспомогательные модули. Ядро наиболее часто используемые модули ОС выполняющие основные ее функции: управление процессами памятью устройствами ввода вывода и т.