67594

Специальные бинарные отношения

Лекция

Математика и математический анализ

Примеры. «=» на множестве целых (действительных) чисел – отношение эквивалентности. Отношение геометрического подобия на множестве треугольников – отношение эквивалентности. Сравнимость по модулю 2 (или n) отношение эквивалентности на множестве целых чисел. Отношение принадлежности к одной группе...

Русский

2014-09-12

115 KB

6 чел.

Лекция №3

Специальные бинарные отношения

В данном разделе рассматриваются отношения элементов одного и того же множества X.

Определение. Отношение на множестве X называется рефлексивным, если для любого  выполняется . (=,≤,≥,)

Определение. Отношение на множестве X называется антирефлексивным, если  не выполняется ни для какого . (≠,<,>,)

Определение. Отношение на множестве X называется симметричным, если  для любых . (=,≠)

Определение. Отношение на множестве X называется антисимметричным, если для любых x,yX из xy и yx  x=y. (≤,≥,)

Определение. Отношение на множестве X называется строго антисимметричным, если для любых x,yX из <x,y>  <y,x>. (<,>,)

Определение. Отношение на множестве X называется транзитивным, если для любых .  (=,≤,≥,,<,>,), не транз. ()

Определение. Рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение на множестве X называется отношением эквивалентности на множестве X.

Примеры. ||

1. «=» на множестве целых (действительных) чисел – отношение эквивалентности.

2. Отношение геометрического подобия на множестве треугольников – отношение эквивалентности.

3. Сравнимость по модулю 2 (или n) отношение эквивалентности на множестве целых чисел.

4. Отношение принадлежности к одной группе студентов – отношение эквивалентности на множестве всех студентов.

5. Отношение «<» не рефлексивно, не симметрично, но транзитивно.

Определение. Классом эквивалентности, порожденным элементом xX, называется подмножество множества X, состоящее из таких элементов yX, для которых xy. Обозначение: [x]. Т.е. [x]={yX | xy}.

Примеры.

1. Отношение равенства: xZ  [x]={x}, т.е. каждый класс эквивалентности состоит из одного элемента – числа x.

2. Отношение сравнимости по модулю n: [x]={x+kn, kZ}.

3. Отношение принадлежности к одной группе студентов: класс эквивалентности – группа.

Определение. Разбиением множества X называется совокупность попарно не пересекающихся подмножеств X, таких, что каждый элемент множества X  одному и только одному из этих подмножеств.

Примеры. 

1. . Разбиение:.

2. Разбиением множества студентов института может быть совокупность групп.

Утверждение. Всякое разбиение множества X определяет на X следующее отношение эквивалентности :

xy тогда и только тогда, когда x и y принадлежат одному подмножеству разбиения.

Утверждение. Всякое отношение эквивалентности  определяет разбиение множества X на классы эквивалентности.

Справедливость утверждений очевидна.

Определение. Совокупность классов эквивалентности элементов любого множества X по отношению эквивалентности  называется фактор-множеством множества X по отношению  и обозначается  X/.

Пример. Множество студенческих групп данного вуза является фактор-множеством множества студентов вуза по отношению принадлежности к одной группе.

Определение. Рефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение называется отношением нестрогого частичного порядка на множестве X 

Обозначение  (предшествовать).

Примеры  

Отношения x  y, A  B, подчиненность должностей – отношения частичного порядка на соответствующих множествах.

Определение. Антирефлексивное, строго антисимметричное и транзитивное отношение называется отношением строгого частичного порядка на множестве X 

Обозначение  (строго предшествовать, т.е. одновременно  и ).

Примеры.  

Отношения x < y, A  B – отношения строгого частичного порядка на соответствующих множествах.

Определение. Отношение частичного порядка на множестве X, для которого два элемента сравнимы (т.е. x, y  X   xy либо yx) называется отношением линейного порядка (строгого или нестрогого).

Пример  

1. Отношение x  y – отношение линейного порядка на множестве действительных чисел.

2. A  B таковым не является.

3. Как можно задать отношение частичного порядка на множестве XX? Определим отношение Парето

,

которое есть отношение частичного порядка.

В качестве примера рассмотрим подмножество целых чисел и в качестве - отношение . К множеству Парето принадлежат те пары <x1,x2>, для которых справедливы не существует таких пар <x3,x4>, что x1x3 и x2x4.

Определение. Говорят, что элемент y покрывает элемент x, если xy и не существует такого элемента u, что xuy.

Любое частично упорядоченное множество можно представить в виде диаграммы Хассе. Если y покрывает x, то две точки, соответствующие этим элементам, соединяют отрезком, причем x располагают ниже y.

xy                

Пример.  Отношение «быть подмножеством». Пусть  A{1,2,3}

B(A) = {, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3},{1,2,3}}

2. X = {1,2,3,5,6,10,15,30}

Отношение:  y делится на x

       

3. X = {1,2,3,4,5,6,7,8}

Отношение линейного порядка: x<y.

Определение. Два частично упорядоченных множества X и Y называются изоморфными, если существует биективная функция сохраняющая отношение частичного порядка. ||

Т.е

Задания.

1. Привести примеры отношений:

– не рефлексивного, но симметричного и транзитивного (позвонить по телефону, быть родственником);

– не симметричного, но рефлексивного и транзитивного (делимость нацело одного числа на другое, );

– не транзитивного, но рефлексивного и симметричного (принадлежать одному множеству или обществу, AB);

– не симметричного, не транзитивного, но рефлексивного (знать (узнавать) кого-то);

– не рефлексивного, не симметричного, но транзитивного (<,>);

– не рефлексивного, не транзитивного, но симметричного ();

2. Рассмотрим отношения (на множестве прямых на плоскости):

– параллельности прямых;

– перпендикулярности прямых.

Определить свойства этих отношений. Изменятся ли эти свойства, если рассмотреть прямые в пространстве? Плоскости в пространстве?

ЗАДАЧИ

  1.  В отношении большой-маленький не находятся понятия

  1.  высокий-низкий

глубокий-мелкий

широкий-узкий

долгий-короткий

высокий-мелкий

  1.  В отношении целое-часть не находятся понятия

  1.  год-месяц

квартира-комната

отец-ребенок

страна-губерния

школа-класс

  1.  В отношении общее-частное не находятся понятия

  1.  мебель-стол

время-час

устройство-часы

магазин-товар

человечество-личность

  1.  В отношении процесс-результат не находятся понятия

  1.  строительство-дом

созревание-плод

движение-цель

обучение-квалификация

строительство-стройка

  1.  В отношении объект-модель не находятся понятия

  1.  одежда-выкройка

движение-законы Ньютона

лампа-свет

класс-список учеников

жизнь человека-биография

  1.  В отношении большой-маленький не находятся понятия

  1.  Далекий-близкий
  2.  Взрослый-ребенок
  3.  Полный-худой
  4.  богатый-бедный
  5.  век-миг

  1.  В отношении целое-часть не находятся понятия

  1.  учебник-раздел

ружье-приклад

комната-мебель

кошка-хвост

стадион-трибуна

  1.  В отношении общее-частное не находятся понятия

  1.  самолет-Боинг

лекарство-аспирин

механизм-весы

книжный шкаф-книга

болезнь-ангина

  1.  В отношении процесс-результат не находятся понятия

  1.  разбег-прыжок

питание-энергия

познание-истина

обучение-аттестат

взлет-посадка

  1.  В отношении объект-модель не находятся понятия

  1.  дом-план

микромир-квантовая механика

книга-текст

знания-оценка

предмет-тень


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

50518. Безопасность жизнедеятельности. Лабораторный практикум 244.5 KB
  Оптимальные и допустимые величины показателей микроклимата устанавливаются в зависимости от: 1 периода года; холодный период года характеризуется среднесуточной температурой наружного воздуха 10оС и ниже теплый выше 10оС; 2 категории работ по уровню энергозатрат организма.54896 устанавливает что при температуре воздуха на рабочих местах 25 оС и выше...
50519. Закрытый склад. Расчет деревянной конструкции 373.77 KB
  В курсовом проекте произведен расчет деревянных конструкций гнутоклееной рамы. Определены расчетные и нормативные нагрузки на перекрытие и поперечную раму здания. Подобрано сечение элементов поперечника. Выбраны конструктивные решения. Осуществлены расчеты узлов поперечника.
50520. Исследование процессов во влажном воздухе 138.5 KB
  Изучение процессов изменения состояния влажного воздуха приобретение навыков измерения влажности с помощью аспирационного психрометра и Id диаграммы. Смесь сухого воздуха с водяным паром называется влажным воздухом. Соответственно этому влажный воздух бывает: насыщенным влажным воздухом смесь сухого воздуха с насыщенным водяным паром; ненасыщенным влажным воздухом смесь сухого воздуха с перегретым водяным паром. При дальнейшем охлаждении влажного воздуха происходит конденсация пара.
50521. Определение настроек BIOS персонального компьютера 62 KB
  Раздел Power Параметр CPI PIC support установлен в положение Enbled разрешено. Возможные значения: Enbled Disbled. Следует оставить данный параметр без изменений Enbled поскольку данным процессором используется технология HyperTreding в противном случае можно нарушить нормальное функционирование системы либо снизить ее производительность. Параметр Microcode Updtion установлен в положение Enbled.
50523. ДОСЛІДЖЕННЯ ПРИНЦИПІВ РОБОТИ ВИМІРЮВАЛЬНИХ КАНАЛІВ ТЕМПЕРАТУРИ НА БАЗІ МІКРОПРОЦЕСОРНОГО ВИМІРЮВАЧА-РЕГУЛЯТОРА ТРМ1 869.5 KB
  Ознайомлення з методами вимірювання температури. КОРОТКІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ Методи вимірювання температури і температурні шкали Виміряти температуру якогонебудь тіла безпосередньо тобто так як вимірюють інші фізичні величини наприклад довжину масу обєм або час не представляється можливим тому що в природі не існує еталона або зразка одиниці цієї величини. Тому визначення температури речовини роблять за допомогою спостереження за зміною фізичних властивостей іншої так званої термометричної речовини яка при зіткненні з нагрітим...
50525. Склад сыпучих материалов. Расчет деревянных конструкций поперечника 276.98 KB
  В данном курсовом проекте подобрано наиболее рациональное кон-структивное решение проектируемого здания, сконструированы и рассчитаны основные несущие и ограждающие конструкции, узловые соединения, выбраны мероприятия по защите элементов здания от гниения и возгорания. Все принятые конструктивные решения и расчетные алгоритмы соответствуют требованиям действующих нормативных документов
50526. Исследование системы управления виртуальной памятью Windows с использованием системного монитора 777 KB
  Целью работы является исследование системы управления виртуальной памятью в ОС Windows, а также оценка эффективности работы в режиме страничного обмена программ с известным распределением обращений к памяти (сортировок). Для этого используются стандартные средства администрирования...