67594
Специальные бинарные отношения
Лекция
Математика и математический анализ
Примеры. «=» на множестве целых (действительных) чисел – отношение эквивалентности. Отношение геометрического подобия на множестве треугольников – отношение эквивалентности. Сравнимость по модулю 2 (или n) отношение эквивалентности на множестве целых чисел. Отношение принадлежности к одной группе...
Русский
2014-09-12
115 KB
6 чел.
Лекция №3
Специальные бинарные отношения
В данном разделе рассматриваются отношения элементов одного и того же множества X.
Определение. Отношение на множестве X называется рефлексивным, если для любого выполняется . (=,≤,≥,)
Определение. Отношение на множестве X называется антирефлексивным, если не выполняется ни для какого . (≠,<,>,)
Определение. Отношение на множестве X называется симметричным, если для любых . (=,≠)
Определение. Отношение на множестве X называется антисимметричным, если для любых x,yX из xy и yx x=y. (≤,≥,)
Определение. Отношение на множестве X называется строго антисимметричным, если для любых x,yX из <x,y> <y,x>. (<,>,)
Определение. Отношение на множестве X называется транзитивным, если для любых . (=,≤,≥,,<,>,), не транз. (≠)
Определение. Рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение на множестве X называется отношением эквивалентности на множестве X.
Примеры. ||
1. «=» на множестве целых (действительных) чисел отношение эквивалентности.
2. Отношение геометрического подобия на множестве треугольников отношение эквивалентности.
3. Сравнимость по модулю 2 (или n) отношение эквивалентности на множестве целых чисел.
4. Отношение принадлежности к одной группе студентов отношение эквивалентности на множестве всех студентов.
5. Отношение «<» не рефлексивно, не симметрично, но транзитивно.
Определение. Классом эквивалентности, порожденным элементом xX, называется подмножество множества X, состоящее из таких элементов yX, для которых xy. Обозначение: [x]. Т.е. [x]={yX | xy}.
Примеры.
1. Отношение равенства: xZ [x]={x}, т.е. каждый класс эквивалентности состоит из одного элемента числа x.
2. Отношение сравнимости по модулю n: [x]={x+kn, kZ}.
3. Отношение принадлежности к одной группе студентов: класс эквивалентности группа.
Определение. Разбиением множества X называется совокупность попарно не пересекающихся подмножеств X, таких, что каждый элемент множества X одному и только одному из этих подмножеств.
Примеры.
1. . Разбиение:.
2. Разбиением множества студентов института может быть совокупность групп.
Утверждение. Всякое разбиение множества X определяет на X следующее отношение эквивалентности :
xy тогда и только тогда, когда x и y принадлежат одному подмножеству разбиения.
Утверждение. Всякое отношение эквивалентности определяет разбиение множества X на классы эквивалентности.
Справедливость утверждений очевидна.
Определение. Совокупность классов эквивалентности элементов любого множества X по отношению эквивалентности называется фактор-множеством множества X по отношению и обозначается X/.
Пример. Множество студенческих групп данного вуза является фактор-множеством множества студентов вуза по отношению принадлежности к одной группе.
Определение. Рефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение называется отношением нестрогого частичного порядка на множестве X
Обозначение (предшествовать).
Примеры
Отношения x y, A B, подчиненность должностей отношения частичного порядка на соответствующих множествах.
Определение. Антирефлексивное, строго антисимметричное и транзитивное отношение называется отношением строгого частичного порядка на множестве X
Обозначение (строго предшествовать, т.е. одновременно и ).
Примеры.
Отношения x < y, A B отношения строгого частичного порядка на соответствующих множествах.
Определение. Отношение частичного порядка на множестве X, для которого два элемента сравнимы (т.е. x, y X xy либо yx) называется отношением линейного порядка (строгого или нестрогого).
Пример
1. Отношение x y отношение линейного порядка на множестве действительных чисел.
2. A B таковым не является.
3. Как можно задать отношение частичного порядка на множестве XX? Определим отношение Парето
,
которое есть отношение частичного порядка.
В качестве примера рассмотрим подмножество целых чисел и в качестве - отношение . К множеству Парето принадлежат те пары <x1,x2>, для которых справедливы не существует таких пар <x3,x4>, что x1x3 и x2x4.
Определение. Говорят, что элемент y покрывает элемент x, если xy и не существует такого элемента u, что xuy.
Любое частично упорядоченное множество можно представить в виде диаграммы Хассе. Если y покрывает x, то две точки, соответствующие этим элементам, соединяют отрезком, причем x располагают ниже y.
xy
Пример. Отношение «быть подмножеством». Пусть A{1,2,3}
B(A) = {, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3},{1,2,3}}
2. X = {1,2,3,5,6,10,15,30}
Отношение: y делится на x
3. X = {1,2,3,4,5,6,7,8}
Отношение линейного порядка: x<y.
Определение. Два частично упорядоченных множества X и Y называются изоморфными, если существует биективная функция сохраняющая отношение частичного порядка. ||
Т.е
Задания.
1. Привести примеры отношений:
не рефлексивного, но симметричного и транзитивного (позвонить по телефону, быть родственником);
не симметричного, но рефлексивного и транзитивного (делимость нацело одного числа на другое, );
не транзитивного, но рефлексивного и симметричного (принадлежать одному множеству или обществу, AB);
не симметричного, не транзитивного, но рефлексивного (знать (узнавать) кого-то);
не рефлексивного, не симметричного, но транзитивного (<,>);
не рефлексивного, не транзитивного, но симметричного ();
2. Рассмотрим отношения (на множестве прямых на плоскости):
параллельности прямых;
перпендикулярности прямых.
Определить свойства этих отношений. Изменятся ли эти свойства, если рассмотреть прямые в пространстве? Плоскости в пространстве?
глубокий-мелкий
широкий-узкий
долгий-короткий
высокий-мелкий
квартира-комната
отец-ребенок
страна-губерния
школа-класс
время-час
устройство-часы
магазин-товар
человечество-личность
созревание-плод
движение-цель
обучение-квалификация
строительство-стройка
движение-законы Ньютона
лампа-свет
класс-список учеников
жизнь человека-биография
ружье-приклад
комната-мебель
кошка-хвост
стадион-трибуна
лекарство-аспирин
механизм-весы
книжный шкаф-книга
болезнь-ангина
питание-энергия
познание-истина
обучение-аттестат
взлет-посадка
микромир-квантовая механика
книга-текст
знания-оценка
предмет-тень
А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать | |||
51110. | Исследование переходных характеристик типовых динамических звеньев | 96.48 KB | |
Для апериодического звена первого порядка графически определить постоянную времени и коэффициент передачи. Теоретические сведения Пусть имеем дифференциальное уравнение динамики звена второго порядка Его можно записать в общем виде 1 Где оператор Лапласа; постоянные времени; коэффициент усиления передаточное число. При сравнении красного и зеленного графиков можно сделать вывод о том что постоянная времени T1 прямо пропорциональна длительности переходного процесса т. чем больше постоянная времени T1 тем дольше идет... | |||
51112. | Изучение переходных характеристик типовых динамических звеньев | 64.46 KB | |
Цель: Изучение переходных характеристик типовых динамических звеньев. Задача: Ознакомиться с программой снятия переходных характеристик. Произвести снятие переходных характеристик для различных значений параметров. | |||
51113. | Разработка калькулятора с использованием формы и компонентов Button, Label и TextBox | 64.94 KB | |
Разработать калькулятор с использованием формы и компонентов Button, Label и TextBox. Сделать проверку вводимых значений, реализовать 4 действия: сложение, умножение, деление, вычитание. Код программы... | |||
51114. | Изучение переходных частотных типовых динамических звеньев | 63.73 KB | |
Сравнить полученные графики с табличными и сделать выводы. Теоретические сведения Частотными характеристиками называются формулы и графики характеризующие реакции звена или системы на синусоидальное входное воздействие в установившемся режиме вынужденные синусоидальные колебания звена. В данном случае имеет место опережение по фазе так как график лежит в первой четверти. Форсирующее звено 2го порядка 1 3000 V К=15 Т1=7 Т2=5 150000 V | |||
51116. | Метрологическая надежность средств измерений | 427.81 KB | |
Метрологической надежностью называют способность СИ сохранять установленное значение метрологических характеристик в течение заданного времени при определенных режимах и условиях эксплуатации. | |||
51117. | Исследование частотных характеристик типовых динамических звеньев | 24.84 KB | |
Цель работы: исследование амплитудных и фазовых частотных характеристик типовых динамических звеньев. Задачи: Ознакомиться с программой для исследования амплитудной частотной АЧХ и фазовой частотной ФЧХ характеристик типовых динамических звеньев. Произвести снятие частотных характеристик для различных значений параметров. | |||