67594

Специальные бинарные отношения

Лекция

Математика и математический анализ

Примеры. «=» на множестве целых (действительных) чисел – отношение эквивалентности. Отношение геометрического подобия на множестве треугольников – отношение эквивалентности. Сравнимость по модулю 2 (или n) отношение эквивалентности на множестве целых чисел. Отношение принадлежности к одной группе...

Русский

2014-09-12

115 KB

6 чел.

Лекция №3

Специальные бинарные отношения

В данном разделе рассматриваются отношения элементов одного и того же множества X.

Определение. Отношение на множестве X называется рефлексивным, если для любого  выполняется . (=,≤,≥,)

Определение. Отношение на множестве X называется антирефлексивным, если  не выполняется ни для какого . (≠,<,>,)

Определение. Отношение на множестве X называется симметричным, если  для любых . (=,≠)

Определение. Отношение на множестве X называется антисимметричным, если для любых x,yX из xy и yx  x=y. (≤,≥,)

Определение. Отношение на множестве X называется строго антисимметричным, если для любых x,yX из <x,y>  <y,x>. (<,>,)

Определение. Отношение на множестве X называется транзитивным, если для любых .  (=,≤,≥,,<,>,), не транз. ()

Определение. Рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение на множестве X называется отношением эквивалентности на множестве X.

Примеры. ||

1. «=» на множестве целых (действительных) чисел – отношение эквивалентности.

2. Отношение геометрического подобия на множестве треугольников – отношение эквивалентности.

3. Сравнимость по модулю 2 (или n) отношение эквивалентности на множестве целых чисел.

4. Отношение принадлежности к одной группе студентов – отношение эквивалентности на множестве всех студентов.

5. Отношение «<» не рефлексивно, не симметрично, но транзитивно.

Определение. Классом эквивалентности, порожденным элементом xX, называется подмножество множества X, состоящее из таких элементов yX, для которых xy. Обозначение: [x]. Т.е. [x]={yX | xy}.

Примеры.

1. Отношение равенства: xZ  [x]={x}, т.е. каждый класс эквивалентности состоит из одного элемента – числа x.

2. Отношение сравнимости по модулю n: [x]={x+kn, kZ}.

3. Отношение принадлежности к одной группе студентов: класс эквивалентности – группа.

Определение. Разбиением множества X называется совокупность попарно не пересекающихся подмножеств X, таких, что каждый элемент множества X  одному и только одному из этих подмножеств.

Примеры. 

1. . Разбиение:.

2. Разбиением множества студентов института может быть совокупность групп.

Утверждение. Всякое разбиение множества X определяет на X следующее отношение эквивалентности :

xy тогда и только тогда, когда x и y принадлежат одному подмножеству разбиения.

Утверждение. Всякое отношение эквивалентности  определяет разбиение множества X на классы эквивалентности.

Справедливость утверждений очевидна.

Определение. Совокупность классов эквивалентности элементов любого множества X по отношению эквивалентности  называется фактор-множеством множества X по отношению  и обозначается  X/.

Пример. Множество студенческих групп данного вуза является фактор-множеством множества студентов вуза по отношению принадлежности к одной группе.

Определение. Рефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение называется отношением нестрогого частичного порядка на множестве X 

Обозначение  (предшествовать).

Примеры  

Отношения x  y, A  B, подчиненность должностей – отношения частичного порядка на соответствующих множествах.

Определение. Антирефлексивное, строго антисимметричное и транзитивное отношение называется отношением строгого частичного порядка на множестве X 

Обозначение  (строго предшествовать, т.е. одновременно  и ).

Примеры.  

Отношения x < y, A  B – отношения строгого частичного порядка на соответствующих множествах.

Определение. Отношение частичного порядка на множестве X, для которого два элемента сравнимы (т.е. x, y  X   xy либо yx) называется отношением линейного порядка (строгого или нестрогого).

Пример  

1. Отношение x  y – отношение линейного порядка на множестве действительных чисел.

2. A  B таковым не является.

3. Как можно задать отношение частичного порядка на множестве XX? Определим отношение Парето

,

которое есть отношение частичного порядка.

В качестве примера рассмотрим подмножество целых чисел и в качестве - отношение . К множеству Парето принадлежат те пары <x1,x2>, для которых справедливы не существует таких пар <x3,x4>, что x1x3 и x2x4.

Определение. Говорят, что элемент y покрывает элемент x, если xy и не существует такого элемента u, что xuy.

Любое частично упорядоченное множество можно представить в виде диаграммы Хассе. Если y покрывает x, то две точки, соответствующие этим элементам, соединяют отрезком, причем x располагают ниже y.

xy                

Пример.  Отношение «быть подмножеством». Пусть  A{1,2,3}

B(A) = {, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3},{1,2,3}}

2. X = {1,2,3,5,6,10,15,30}

Отношение:  y делится на x

       

3. X = {1,2,3,4,5,6,7,8}

Отношение линейного порядка: x<y.

Определение. Два частично упорядоченных множества X и Y называются изоморфными, если существует биективная функция сохраняющая отношение частичного порядка. ||

Т.е

Задания.

1. Привести примеры отношений:

– не рефлексивного, но симметричного и транзитивного (позвонить по телефону, быть родственником);

– не симметричного, но рефлексивного и транзитивного (делимость нацело одного числа на другое, );

– не транзитивного, но рефлексивного и симметричного (принадлежать одному множеству или обществу, AB);

– не симметричного, не транзитивного, но рефлексивного (знать (узнавать) кого-то);

– не рефлексивного, не симметричного, но транзитивного (<,>);

– не рефлексивного, не транзитивного, но симметричного ();

2. Рассмотрим отношения (на множестве прямых на плоскости):

– параллельности прямых;

– перпендикулярности прямых.

Определить свойства этих отношений. Изменятся ли эти свойства, если рассмотреть прямые в пространстве? Плоскости в пространстве?

ЗАДАЧИ

  1.  В отношении большой-маленький не находятся понятия

  1.  высокий-низкий

глубокий-мелкий

широкий-узкий

долгий-короткий

высокий-мелкий

  1.  В отношении целое-часть не находятся понятия

  1.  год-месяц

квартира-комната

отец-ребенок

страна-губерния

школа-класс

  1.  В отношении общее-частное не находятся понятия

  1.  мебель-стол

время-час

устройство-часы

магазин-товар

человечество-личность

  1.  В отношении процесс-результат не находятся понятия

  1.  строительство-дом

созревание-плод

движение-цель

обучение-квалификация

строительство-стройка

  1.  В отношении объект-модель не находятся понятия

  1.  одежда-выкройка

движение-законы Ньютона

лампа-свет

класс-список учеников

жизнь человека-биография

  1.  В отношении большой-маленький не находятся понятия

  1.  Далекий-близкий
  2.  Взрослый-ребенок
  3.  Полный-худой
  4.  богатый-бедный
  5.  век-миг

  1.  В отношении целое-часть не находятся понятия

  1.  учебник-раздел

ружье-приклад

комната-мебель

кошка-хвост

стадион-трибуна

  1.  В отношении общее-частное не находятся понятия

  1.  самолет-Боинг

лекарство-аспирин

механизм-весы

книжный шкаф-книга

болезнь-ангина

  1.  В отношении процесс-результат не находятся понятия

  1.  разбег-прыжок

питание-энергия

познание-истина

обучение-аттестат

взлет-посадка

  1.  В отношении объект-модель не находятся понятия

  1.  дом-план

микромир-квантовая механика

книга-текст

знания-оценка

предмет-тень


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

2463. Відокремлені додатки 59.5 KB
  Мета організації уроку. Сформувати поняття про відокремлений додаток, навчити оформляти відокремлені додатки на письмі та використовувати набуті уміння на практиці.
2464. Степан Васильченко. Свекор 54 KB
  Ознайомити учнів з фактами життя письменника, які вплинули на формування світогляду, специфікою його майстерності та із змістом оповідання Свекор, розвивати навички виразного читання, переказу прозових творів; виховувати почуття любові, злагоди, взаємодопомоги та турботи у сім’ї.
2465. Письмовий твір-роздум на морально-етичну чи суспільну теми публіцистичного стилю 39 KB
  Мета організації уроку. Удосконалювати вміння учнів продукувати письмовий твір-роздум на морально-етичну тему, розвивати усне і писемне мовлення, сформувати в учнів вміння виділяти в тексті всі компоненти роздуму, розуміти їх призначення в організації висловлювання, а потім свідомо відтворювати їх у власному мовленні.
2466. Усний твір, що містить опис тварини. 33.38 KB
  Мета організації уроку. Сформувати в учнів поняття про опис зовнішності тварини; навчити правильно будувати текст-опис зовнішності тварини, через зовнішність описати її характер, знаходити основне, неповторне в образі конкретної тварини і описувати свої спостереження.
2467. Загальновживані (нейтральні) та стилістично забарвлені слова. 33.86 KB
  Мета організації уроку. Сформувати в учнів поняття про загальновживані та стилістично забарвлені слова, навчити розпізнавати і використовувати їх у власному мовленні, виховувати любов до слова.
2468. Розряди займенників за значенням 30.37 KB
  Мета організації уроку. Сформувати загальне поняття про розряди займенників, їх диференційні ознаки, повторити співвідносні з ними частини мови, закріпити поняття про текст і використання займенників як засобів зв’язку в ньому.
2469. Омоніми та їх використання 25.79 KB
  Мета організації уроку: розширити уявлення учнів про омоніми; поглибити отримані на попередньому уроці знань, навчити учнів розрізняти омоніми, свідомо підходити до розуміння значення і використання омонімів у мовленні.
2470. Групи сполучників за будовою. Конспект уроку 23.85 KB
  Мета організації уроку: згадати про службові частини мови, а саме про сполучник, сформувати в учнів поняття про класифікації сполучників, зокрема за будовою.
2471. Неозначені й заперечні займенники, їх утворення. Дефіс у неозначених займенниках 23.9 KB
  Мета організації уроку. Дати відомості про творення та вживання неозначених і заперечних займенників, формувати вміння визначити орфограми Дефіс у неозначених займенниках та обгрунтувати вибір написання відповідними орфографічними правилами, розвивати зорову і слухову увагу,спостережливість, культуру усного і писемного мовлення.