67594

Специальные бинарные отношения

Лекция

Математика и математический анализ

Примеры. «=» на множестве целых (действительных) чисел – отношение эквивалентности. Отношение геометрического подобия на множестве треугольников – отношение эквивалентности. Сравнимость по модулю 2 (или n) отношение эквивалентности на множестве целых чисел. Отношение принадлежности к одной группе...

Русский

2014-09-12

115 KB

6 чел.

Лекция №3

Специальные бинарные отношения

В данном разделе рассматриваются отношения элементов одного и того же множества X.

Определение. Отношение на множестве X называется рефлексивным, если для любого  выполняется . (=,≤,≥,)

Определение. Отношение на множестве X называется антирефлексивным, если  не выполняется ни для какого . (≠,<,>,)

Определение. Отношение на множестве X называется симметричным, если  для любых . (=,≠)

Определение. Отношение на множестве X называется антисимметричным, если для любых x,yX из xy и yx  x=y. (≤,≥,)

Определение. Отношение на множестве X называется строго антисимметричным, если для любых x,yX из <x,y>  <y,x>. (<,>,)

Определение. Отношение на множестве X называется транзитивным, если для любых .  (=,≤,≥,,<,>,), не транз. ()

Определение. Рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение на множестве X называется отношением эквивалентности на множестве X.

Примеры. ||

1. «=» на множестве целых (действительных) чисел – отношение эквивалентности.

2. Отношение геометрического подобия на множестве треугольников – отношение эквивалентности.

3. Сравнимость по модулю 2 (или n) отношение эквивалентности на множестве целых чисел.

4. Отношение принадлежности к одной группе студентов – отношение эквивалентности на множестве всех студентов.

5. Отношение «<» не рефлексивно, не симметрично, но транзитивно.

Определение. Классом эквивалентности, порожденным элементом xX, называется подмножество множества X, состоящее из таких элементов yX, для которых xy. Обозначение: [x]. Т.е. [x]={yX | xy}.

Примеры.

1. Отношение равенства: xZ  [x]={x}, т.е. каждый класс эквивалентности состоит из одного элемента – числа x.

2. Отношение сравнимости по модулю n: [x]={x+kn, kZ}.

3. Отношение принадлежности к одной группе студентов: класс эквивалентности – группа.

Определение. Разбиением множества X называется совокупность попарно не пересекающихся подмножеств X, таких, что каждый элемент множества X  одному и только одному из этих подмножеств.

Примеры. 

1. . Разбиение:.

2. Разбиением множества студентов института может быть совокупность групп.

Утверждение. Всякое разбиение множества X определяет на X следующее отношение эквивалентности :

xy тогда и только тогда, когда x и y принадлежат одному подмножеству разбиения.

Утверждение. Всякое отношение эквивалентности  определяет разбиение множества X на классы эквивалентности.

Справедливость утверждений очевидна.

Определение. Совокупность классов эквивалентности элементов любого множества X по отношению эквивалентности  называется фактор-множеством множества X по отношению  и обозначается  X/.

Пример. Множество студенческих групп данного вуза является фактор-множеством множества студентов вуза по отношению принадлежности к одной группе.

Определение. Рефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение называется отношением нестрогого частичного порядка на множестве X 

Обозначение  (предшествовать).

Примеры  

Отношения x  y, A  B, подчиненность должностей – отношения частичного порядка на соответствующих множествах.

Определение. Антирефлексивное, строго антисимметричное и транзитивное отношение называется отношением строгого частичного порядка на множестве X 

Обозначение  (строго предшествовать, т.е. одновременно  и ).

Примеры.  

Отношения x < y, A  B – отношения строгого частичного порядка на соответствующих множествах.

Определение. Отношение частичного порядка на множестве X, для которого два элемента сравнимы (т.е. x, y  X   xy либо yx) называется отношением линейного порядка (строгого или нестрогого).

Пример  

1. Отношение x  y – отношение линейного порядка на множестве действительных чисел.

2. A  B таковым не является.

3. Как можно задать отношение частичного порядка на множестве XX? Определим отношение Парето

,

которое есть отношение частичного порядка.

В качестве примера рассмотрим подмножество целых чисел и в качестве - отношение . К множеству Парето принадлежат те пары <x1,x2>, для которых справедливы не существует таких пар <x3,x4>, что x1x3 и x2x4.

Определение. Говорят, что элемент y покрывает элемент x, если xy и не существует такого элемента u, что xuy.

Любое частично упорядоченное множество можно представить в виде диаграммы Хассе. Если y покрывает x, то две точки, соответствующие этим элементам, соединяют отрезком, причем x располагают ниже y.

xy                

Пример.  Отношение «быть подмножеством». Пусть  A{1,2,3}

B(A) = {, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3},{1,2,3}}

2. X = {1,2,3,5,6,10,15,30}

Отношение:  y делится на x

       

3. X = {1,2,3,4,5,6,7,8}

Отношение линейного порядка: x<y.

Определение. Два частично упорядоченных множества X и Y называются изоморфными, если существует биективная функция сохраняющая отношение частичного порядка. ||

Т.е

Задания.

1. Привести примеры отношений:

– не рефлексивного, но симметричного и транзитивного (позвонить по телефону, быть родственником);

– не симметричного, но рефлексивного и транзитивного (делимость нацело одного числа на другое, );

– не транзитивного, но рефлексивного и симметричного (принадлежать одному множеству или обществу, AB);

– не симметричного, не транзитивного, но рефлексивного (знать (узнавать) кого-то);

– не рефлексивного, не симметричного, но транзитивного (<,>);

– не рефлексивного, не транзитивного, но симметричного ();

2. Рассмотрим отношения (на множестве прямых на плоскости):

– параллельности прямых;

– перпендикулярности прямых.

Определить свойства этих отношений. Изменятся ли эти свойства, если рассмотреть прямые в пространстве? Плоскости в пространстве?

ЗАДАЧИ

  1.  В отношении большой-маленький не находятся понятия

  1.  высокий-низкий

глубокий-мелкий

широкий-узкий

долгий-короткий

высокий-мелкий

  1.  В отношении целое-часть не находятся понятия

  1.  год-месяц

квартира-комната

отец-ребенок

страна-губерния

школа-класс

  1.  В отношении общее-частное не находятся понятия

  1.  мебель-стол

время-час

устройство-часы

магазин-товар

человечество-личность

  1.  В отношении процесс-результат не находятся понятия

  1.  строительство-дом

созревание-плод

движение-цель

обучение-квалификация

строительство-стройка

  1.  В отношении объект-модель не находятся понятия

  1.  одежда-выкройка

движение-законы Ньютона

лампа-свет

класс-список учеников

жизнь человека-биография

  1.  В отношении большой-маленький не находятся понятия

  1.  Далекий-близкий
  2.  Взрослый-ребенок
  3.  Полный-худой
  4.  богатый-бедный
  5.  век-миг

  1.  В отношении целое-часть не находятся понятия

  1.  учебник-раздел

ружье-приклад

комната-мебель

кошка-хвост

стадион-трибуна

  1.  В отношении общее-частное не находятся понятия

  1.  самолет-Боинг

лекарство-аспирин

механизм-весы

книжный шкаф-книга

болезнь-ангина

  1.  В отношении процесс-результат не находятся понятия

  1.  разбег-прыжок

питание-энергия

познание-истина

обучение-аттестат

взлет-посадка

  1.  В отношении объект-модель не находятся понятия

  1.  дом-план

микромир-квантовая механика

книга-текст

знания-оценка

предмет-тень


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

74487. Особенности делового общения: деловая беседа, деловые переговоры, деловые совещания, деловые дискуссии 66 KB
  Структура деловой беседы: подготовка к деловой беседе; установление места и времени проведения встречи; начало беседы: вступление в контакт; постановка проблемы и передача информации информирование партнёров; аргументирование выдвигаемых положений; опровержение доводов собеседника; анализ альтернатив поиск оптимального или компромиссного варианта либо конфронтация участников; принятие решения; фиксация договорённостей; завершение беседы; анализ результатов беседы своей тактики общения. является трудным и ответственным делом...
74488. Конфликты. Формы работы с конфликтами и методы их разрешения 217.5 KB
  Конфликты. Конфликты всегда существовали существуют и будут существовать они неотъемлемая часть человеческих взаимоотношений. Возможность возникновения конфликтов существует во всех сферах. Конфликты рождаются на почве ежедневных расхождений во взглядах разногласий и противоборства разных мнений нужд побуждений желаний стилей жизни надежд интересов и личностных особенностей.
74489. Стили и средства общения 479.5 KB
  Конкретный выбор стиля общения определяется многими факторами: личностными особенностями человека его мировоззрением и положением в обществе характеристиками этого общества и многим другим. Все присутствующие знают друг друга лет двадцать собираются вместе 34 раза в год сидят несколько часов и говорят об одном и том же. Когда ваша рука захватывает руку другого человека так что ладонь оказывается поверхностью вниз это свидетельствует о том что вы хотите главенствовать в процессе общения с вашим партнёром рис. Оно бывает необходимо в...
74490. Этика и этикет делового общения 57 KB
  Нравственные эталоны и образцы поведения руководителя: Стремитесь превратить вашу организацию в сплочённый коллектив с высокими моральными нормами общения. etiquette означает установленный порядок поведения гделибо. Деловой этикет важнейшая сторона морали профессионального поведения делового человека. Деловой этикет результат длительного отбора правил и форм наиболее целесообразного поведения которое способствовало успеху в деловых отношениях.
74491. Общая характеристика общения 100.5 KB
  Общение это сложный многоплановый процесс установления и развития контактов между людьми порождаемый потребностями совместной деятельности и включающий в себя обмен информацией выработку единой стратегии взаимодействия восприятия и понимание другого человека. Перцептивная сторона общения Вопрос о том как происходит чтение другого человека что позволяет нам понимать его поведение встают перед каждым из нас. Для того чтобы понимать это необходимо ответить на следующие вопросы: Как формируется первое впечатление Как происходит...
74492. РУКОВОДСТВО И ЛИДЕРСТВО 113 KB
  В первом случае руководитель отождествляя себя с более крупными группами организации нежели с группой подчиненных может считать что эмоциональная привязанность к рабочей группе может стать тормозом на его пути. Однако недостатков больше чем достоинств: высокая вероятность ошибочных решений; подавление инициативы творчества подчиненных замедление нововведений застой пассивность сотрудников; неудовлетворенность людей своей работой своим положением в коллективе; неблагоприятный психологический климат подхалимы козлы отпущения...
74493. ТЕХНИКА И ТАКТИКА АРГУМЕНТИРОВАНИЯ 82 KB
  Правило №1 правило Гомера Очередность приводимых аргументов влияет на их убедительность. Как видно из примера причина неудачи в том что просительница нарушила правило Гомера. Правило №2 правило Сократа Для получения положительного решения по очень важному для вас вопросу поставьте его на третье место предпослав ему два коротких простых для собеседника вопроса на которые он без затруднения скажет вам да. Правило №3 правило Паскаля Не загоняйте собеседника в угол.
74494. СПОР, ДИСКУССИЯ, ПОЛЕМИКА. ПРОИСХОЖДЕНИЕ И ПСИХОРЛОГИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ 100.5 KB
  Знать правила спора надо не только для того чтобы вести его самому. Вникнуть в суть обсуждаемых ими проблем разобраться в доводах за и против поможет знание психологических особенностей спора. Что же такое спор Какова его сущность с какими видами споров нам приходится иметь дело Понятие спора. Вовторых осуществив процесс спора стороны приходят к более глубокому уяснению позиции как своей собственной так и позиции своего оппонента.
74495. Имидж делового человека 422 KB
  Нет ничего приятнее чем видеть как люди становятся красивыми стильными и уверенными в себе как происходят положительные перемены в их личной жизни и карьере. К сожалению часто бывает так: отработан какойто стереотип приобретены и усвоены определённые формы поведения стиль одежды манера общения и человек не задумываясь переносит этот стереотип в другие обстоятельства. Стиль одежды Стили составляют основу знаний о моде. Правда сегодня в чистом виде каждый стиль встречается не так часто.