67594

Специальные бинарные отношения

Лекция

Математика и математический анализ

Примеры. «=» на множестве целых (действительных) чисел – отношение эквивалентности. Отношение геометрического подобия на множестве треугольников – отношение эквивалентности. Сравнимость по модулю 2 (или n) отношение эквивалентности на множестве целых чисел. Отношение принадлежности к одной группе...

Русский

2014-09-12

115 KB

6 чел.

Лекция №3

Специальные бинарные отношения

В данном разделе рассматриваются отношения элементов одного и того же множества X.

Определение. Отношение на множестве X называется рефлексивным, если для любого  выполняется . (=,≤,≥,)

Определение. Отношение на множестве X называется антирефлексивным, если  не выполняется ни для какого . (≠,<,>,)

Определение. Отношение на множестве X называется симметричным, если  для любых . (=,≠)

Определение. Отношение на множестве X называется антисимметричным, если для любых x,yX из xy и yx  x=y. (≤,≥,)

Определение. Отношение на множестве X называется строго антисимметричным, если для любых x,yX из <x,y>  <y,x>. (<,>,)

Определение. Отношение на множестве X называется транзитивным, если для любых .  (=,≤,≥,,<,>,), не транз. ()

Определение. Рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение на множестве X называется отношением эквивалентности на множестве X.

Примеры. ||

1. «=» на множестве целых (действительных) чисел – отношение эквивалентности.

2. Отношение геометрического подобия на множестве треугольников – отношение эквивалентности.

3. Сравнимость по модулю 2 (или n) отношение эквивалентности на множестве целых чисел.

4. Отношение принадлежности к одной группе студентов – отношение эквивалентности на множестве всех студентов.

5. Отношение «<» не рефлексивно, не симметрично, но транзитивно.

Определение. Классом эквивалентности, порожденным элементом xX, называется подмножество множества X, состоящее из таких элементов yX, для которых xy. Обозначение: [x]. Т.е. [x]={yX | xy}.

Примеры.

1. Отношение равенства: xZ  [x]={x}, т.е. каждый класс эквивалентности состоит из одного элемента – числа x.

2. Отношение сравнимости по модулю n: [x]={x+kn, kZ}.

3. Отношение принадлежности к одной группе студентов: класс эквивалентности – группа.

Определение. Разбиением множества X называется совокупность попарно не пересекающихся подмножеств X, таких, что каждый элемент множества X  одному и только одному из этих подмножеств.

Примеры. 

1. . Разбиение:.

2. Разбиением множества студентов института может быть совокупность групп.

Утверждение. Всякое разбиение множества X определяет на X следующее отношение эквивалентности :

xy тогда и только тогда, когда x и y принадлежат одному подмножеству разбиения.

Утверждение. Всякое отношение эквивалентности  определяет разбиение множества X на классы эквивалентности.

Справедливость утверждений очевидна.

Определение. Совокупность классов эквивалентности элементов любого множества X по отношению эквивалентности  называется фактор-множеством множества X по отношению  и обозначается  X/.

Пример. Множество студенческих групп данного вуза является фактор-множеством множества студентов вуза по отношению принадлежности к одной группе.

Определение. Рефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение называется отношением нестрогого частичного порядка на множестве X 

Обозначение  (предшествовать).

Примеры  

Отношения x  y, A  B, подчиненность должностей – отношения частичного порядка на соответствующих множествах.

Определение. Антирефлексивное, строго антисимметричное и транзитивное отношение называется отношением строгого частичного порядка на множестве X 

Обозначение  (строго предшествовать, т.е. одновременно  и ).

Примеры.  

Отношения x < y, A  B – отношения строгого частичного порядка на соответствующих множествах.

Определение. Отношение частичного порядка на множестве X, для которого два элемента сравнимы (т.е. x, y  X   xy либо yx) называется отношением линейного порядка (строгого или нестрогого).

Пример  

1. Отношение x  y – отношение линейного порядка на множестве действительных чисел.

2. A  B таковым не является.

3. Как можно задать отношение частичного порядка на множестве XX? Определим отношение Парето

,

которое есть отношение частичного порядка.

В качестве примера рассмотрим подмножество целых чисел и в качестве - отношение . К множеству Парето принадлежат те пары <x1,x2>, для которых справедливы не существует таких пар <x3,x4>, что x1x3 и x2x4.

Определение. Говорят, что элемент y покрывает элемент x, если xy и не существует такого элемента u, что xuy.

Любое частично упорядоченное множество можно представить в виде диаграммы Хассе. Если y покрывает x, то две точки, соответствующие этим элементам, соединяют отрезком, причем x располагают ниже y.

xy                

Пример.  Отношение «быть подмножеством». Пусть  A{1,2,3}

B(A) = {, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3},{1,2,3}}

2. X = {1,2,3,5,6,10,15,30}

Отношение:  y делится на x

       

3. X = {1,2,3,4,5,6,7,8}

Отношение линейного порядка: x<y.

Определение. Два частично упорядоченных множества X и Y называются изоморфными, если существует биективная функция сохраняющая отношение частичного порядка. ||

Т.е

Задания.

1. Привести примеры отношений:

– не рефлексивного, но симметричного и транзитивного (позвонить по телефону, быть родственником);

– не симметричного, но рефлексивного и транзитивного (делимость нацело одного числа на другое, );

– не транзитивного, но рефлексивного и симметричного (принадлежать одному множеству или обществу, AB);

– не симметричного, не транзитивного, но рефлексивного (знать (узнавать) кого-то);

– не рефлексивного, не симметричного, но транзитивного (<,>);

– не рефлексивного, не транзитивного, но симметричного ();

2. Рассмотрим отношения (на множестве прямых на плоскости):

– параллельности прямых;

– перпендикулярности прямых.

Определить свойства этих отношений. Изменятся ли эти свойства, если рассмотреть прямые в пространстве? Плоскости в пространстве?

ЗАДАЧИ

  1.  В отношении большой-маленький не находятся понятия

  1.  высокий-низкий

глубокий-мелкий

широкий-узкий

долгий-короткий

высокий-мелкий

  1.  В отношении целое-часть не находятся понятия

  1.  год-месяц

квартира-комната

отец-ребенок

страна-губерния

школа-класс

  1.  В отношении общее-частное не находятся понятия

  1.  мебель-стол

время-час

устройство-часы

магазин-товар

человечество-личность

  1.  В отношении процесс-результат не находятся понятия

  1.  строительство-дом

созревание-плод

движение-цель

обучение-квалификация

строительство-стройка

  1.  В отношении объект-модель не находятся понятия

  1.  одежда-выкройка

движение-законы Ньютона

лампа-свет

класс-список учеников

жизнь человека-биография

  1.  В отношении большой-маленький не находятся понятия

  1.  Далекий-близкий
  2.  Взрослый-ребенок
  3.  Полный-худой
  4.  богатый-бедный
  5.  век-миг

  1.  В отношении целое-часть не находятся понятия

  1.  учебник-раздел

ружье-приклад

комната-мебель

кошка-хвост

стадион-трибуна

  1.  В отношении общее-частное не находятся понятия

  1.  самолет-Боинг

лекарство-аспирин

механизм-весы

книжный шкаф-книга

болезнь-ангина

  1.  В отношении процесс-результат не находятся понятия

  1.  разбег-прыжок

питание-энергия

познание-истина

обучение-аттестат

взлет-посадка

  1.  В отношении объект-модель не находятся понятия

  1.  дом-план

микромир-квантовая механика

книга-текст

знания-оценка

предмет-тень


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

976. Міжнародна кримінальна відповідальність фізичних осіб 512 KB
  Створення військових трибуналів ad hoc як етап становлення міжнародної кримінальної відповідальності фізичних осіб. Універсальні механізми регулювання міжнародної кримінальної відповідальності фізичних осіб. Порядок притягнення фізичних осіб до міжнародної кримінальної відповідальності. Міжнародний кримінальний суд як головний орган у сфері міжнародної кримінальної відповідальності.
977. Планирование основных показателей работы предприятия 506 KB
  Содержание внутрифирменного планирования как функции управления промышленным предприятием. Актуальность планирования на современных машиностроительных предприятиях. План производства и реализации продукции. Расчет потребности предприятия в сырье, полуфабрикатах, основных материалах, вспомогательных материалах.
978. Завод дорожных плит производительностью 70 тысяч метров кубических в год 3.25 MB
  Технико-экономическое обоснование местоположения и мощности проектируемого предприятия. Охрана окружающей среды при производстве строительных материалов, изделий и конструкций. Экономическая оценка природоохранных мероприятий проектируемого предприятия. Архитектурно- планировочное и конструктивное решение проектируемого корпуса. Теплотехнический расчет щелевой пропарочной камеры. Хранение и дозировка комплексной добавки СУПЕРПЛАСТ С-3.
979. Транспортно-финансовый план автотранспортного предприятия 1.82 MB
  Расчет опорной производственной программы предприятия, определение финансовых результатов производственной деятельности АТП, разработка организационно-технических мероприятий, направленных на повышение эффективности работы предприятия и достижения поставленных целей, расчет проектируемой производственно программы для предприятия.
980. Аналіз економічного та соціального розвитку в Україні та місті Харкові 1021 KB
  Огляд теоретичних основ, становлення та проблематика місцевого самоврядування в Україні та м. Харкові. Стратегії та технології в системі планування та управління містом. Аналіз програми економічного і соціального розвитку м. Харкова на 2005 рік.
981. Система энергоснабжения подводного аппарата привязного типа 1.01 MB
  Энергоснабжение привязного малогабаритного телеуправляемого подводного аппарата, предназначенного для решения широкого круга задач – от макетирования новых элементов в структуре подводного аппарата до проведения обзорных и поисково-спасательных работ.
982. Расчет параметров защиты трансформаторов 691.5 KB
  Проектирование релейной защиты трансформаторов и автотрансформаторов. Продольная дифференциальная токовая защита с реле типов РНТ-560 и ДЗТ-11. Расчет уставок срабатывания с балансировкой токов плеч на автотрансформаторах тока. Максимальная токовая защита от междуфазных повреждений. Максимальная токовая защита от замыканий на землю.
983. Организация работы ОАО Костромская ГРЭС в условиях реструктуризации в электроэнергетике 386.5 KB
  Основой энергетики сегодняшнего дня являются топливные запасы угля, нефти и газа, которые удовлетворяют примерно девяносто процентов энергетических потребностей человечества. Динамика изменения тарифа на электроэнергию за 1999 - 2001 года.
984. Железобетонные плиты перекрытия и покрытия 427.5 KB
  Тепловая обработка входит в технологический процесс изготовления железобетонных изделий и занимает 70-80 % времени всего цикла изготовления изделий. Проектируемый цех по производству многопустотных плит перекрытий производительностью 19000 м3/год планируется разместить на территории действующего завода ОАО СЖБ-3 в городе Витебске.