ID: 67594

Название работы: Специальные бинарные отношения

Категория: Лекция

Предметная область: Математика и математический анализ

Описание: Примеры. «=» на множестве целых (действительных) чисел – отношение эквивалентности. Отношение геометрического подобия на множестве треугольников – отношение эквивалентности. Сравнимость по модулю 2 (или n) отношение эквивалентности на множестве целых чисел. Отношение принадлежности к одной группе...

Язык: Русский

Дата добавления: 2014-09-12

Размер файла: 115 KB

Работу скачали: 6 чел.

Лекция №3

Специальные бинарные отношения

В данном разделе рассматриваются отношения элементов одного и того же множества X.

Определение. Отношение  на множестве X называется рефлексивным, если для любого  выполняется . (=,≤,≥,)

Определение. Отношение  на множестве X называется антирефлексивным, если  не выполняется ни для какого . (≠,<,>,)

Определение. Отношение  на множестве X называется симметричным, если  для любых . (=,≠)

Определение. Отношение  на множестве X называется антисимметричным, если для любых x,yX из xy и yx  x=y. (≤,≥,)

Определение. Отношение  на множестве X называется строго антисимметричным, если для любых x,yX из <x,y>  <y,x>. (<,>,)

Определение. Отношение  на множестве X называется транзитивным, если для любых .  (=,≤,≥,,<,>,), не транз. (≠)

Определение. Рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение на множестве X называется отношением эквивалентности на множестве X.

Примеры. ||

1. «=» на множестве целых (действительных) чисел – отношение эквивалентности.

2. Отношение геометрического подобия на множестве треугольников – отношение эквивалентности.

3. Сравнимость по модулю 2 (или n) отношение эквивалентности на множестве целых чисел.

4. Отношение принадлежности к одной группе студентов – отношение эквивалентности на множестве всех студентов.

5. Отношение «<» не рефлексивно, не симметрично, но транзитивно.

Определение. Классом эквивалентности, порожденным элементом xX, называется подмножество множества X, состоящее из таких элементов yX, для которых xy. Обозначение: [x]. Т.е. [x]={yX | xy}.

Примеры.

1. Отношение равенства: xZ  [x]={x}, т.е. каждый класс эквивалентности состоит из одного элемента – числа x.

2. Отношение сравнимости по модулю n: [x]={x+kn, kZ}.

3. Отношение принадлежности к одной группе студентов: класс эквивалентности – группа.

Определение. Разбиением множества X называется совокупность попарно не пересекающихся подмножеств X, таких, что каждый элемент множества X  одному и только одному из этих подмножеств.

Примеры. 

1. . Разбиение:.

2. Разбиением множества студентов института может быть совокупность групп.

Утверждение. Всякое разбиение множества X определяет на X следующее отношение эквивалентности :

xy тогда и только тогда, когда x и y принадлежат одному подмножеству разбиения.

Утверждение. Всякое отношение эквивалентности  определяет разбиение множества X на классы эквивалентности.

Справедливость утверждений очевидна.

Определение. Совокупность классов эквивалентности элементов любого множества X по отношению эквивалентности  называется фактор-множеством множества X по отношению  и обозначается  X/.

Пример. Множество студенческих групп данного вуза является фактор-множеством множества студентов вуза по отношению принадлежности к одной группе.

Определение. Рефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение называется отношением нестрогого частичного порядка на множестве X 

Обозначение  (предшествовать).

Примеры  

Отношения x  y, A  B, подчиненность должностей – отношения частичного порядка на соответствующих множествах.

Определение. Антирефлексивное, строго антисимметричное и транзитивное отношение называется отношением строгого частичного порядка на множестве X 

Обозначение  (строго предшествовать, т.е. одновременно  и ).

Примеры.  

Отношения x < y, A  B – отношения строгого частичного порядка на соответствующих множествах.

Определение. Отношение частичного порядка на множестве X, для которого  два элемента сравнимы (т.е. x, y  X   xy либо yx) называется отношением линейного порядка (строгого или нестрогого).

Пример  

1. Отношение x  y – отношение линейного порядка на множестве действительных чисел.

2. A  B таковым не является.

3. Как можно задать отношение частичного порядка на множестве XX? Определим отношение Парето

,

которое есть отношение частичного порядка.

В качестве примера рассмотрим подмножество целых чисел и в качестве  - отношение . К множеству Парето принадлежат те пары <x1,x2>, для которых справедливы не существует таких пар <x3,x4>, что x1x3 и x2x4.

Определение. Говорят, что элемент y покрывает элемент x, если xy и не существует такого элемента u, что xuy.

Любое частично упорядоченное множество можно представить в виде диаграммы Хассе. Если y покрывает x, то две точки, соответствующие этим элементам, соединяют отрезком, причем x располагают ниже y.

xy                

Пример.  Отношение «быть подмножеством». Пусть  A{1,2,3}

B(A) = {, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3},{1,2,3}}

2. X = {1,2,3,5,6,10,15,30}

Отношение:  y делится на x

       

3. X = {1,2,3,4,5,6,7,8}

Отношение линейного порядка: x<y.

Определение. Два частично упорядоченных множества X и Y называются изоморфными, если существует биективная функция сохраняющая отношение частичного порядка. ||

Т.е

Задания.

1. Привести примеры отношений:

– не рефлексивного, но симметричного и транзитивного (позвонить по телефону, быть родственником);

– не симметричного, но рефлексивного и транзитивного (делимость нацело одного числа на другое, );

– не транзитивного, но рефлексивного и симметричного (принадлежать одному множеству или обществу, AB);

– не симметричного, не транзитивного, но рефлексивного (знать (узнавать) кого-то);

– не рефлексивного, не симметричного, но транзитивного (<,>);

– не рефлексивного, не транзитивного, но симметричного ();

2. Рассмотрим отношения (на множестве прямых на плоскости):

– параллельности прямых;

– перпендикулярности прямых.

Определить свойства этих отношений. Изменятся ли эти свойства, если рассмотреть прямые в пространстве? Плоскости в пространстве?

ЗАДАЧИ

1.  В отношении большой-маленький не находятся понятия

1.  высокий-низкий

глубокий-мелкий

широкий-узкий

долгий-короткий

высокий-мелкий

1.  В отношении целое-часть не находятся понятия

1.  год-месяц

квартира-комната

отец-ребенок

страна-губерния

школа-класс

1.  В отношении общее-частное не находятся понятия

1.  мебель-стол

время-час

устройство-часы

магазин-товар

человечество-личность

1.  В отношении процесс-результат не находятся понятия

1.  строительство-дом

созревание-плод

движение-цель

обучение-квалификация

строительство-стройка

1.  В отношении объект-модель не находятся понятия

1.  одежда-выкройка

движение-законы Ньютона

лампа-свет

класс-список учеников

жизнь человека-биография

1.  В отношении большой-маленький не находятся понятия

1.  Далекий-близкий
2.  Взрослый-ребенок
3.  Полный-худой
4.  богатый-бедный
5.  век-миг

1.  В отношении целое-часть не находятся понятия

1.  учебник-раздел

ружье-приклад

комната-мебель

кошка-хвост

стадион-трибуна

1.  В отношении общее-частное не находятся понятия

1.  самолет-Боинг

лекарство-аспирин

механизм-весы

книжный шкаф-книга

болезнь-ангина

1.  В отношении процесс-результат не находятся понятия

1.  разбег-прыжок

питание-энергия

познание-истина

обучение-аттестат

взлет-посадка

1.  В отношении объект-модель не находятся понятия

1.  дом-план

микромир-квантовая механика

книга-текст

знания-оценка

предмет-тень