67595

Понятие алгебры. Фундаментальные алгебры

Лекция

Математика и математический анализ

Алгеброй называется совокупность MS множества M с заданными в нем операциями где множество M носитель S сигнатура алгебры. Алгебра называется полем действительных чисел. Алгебра вида называется группоидом индекс 2 здесь означает местность операции.

Русский

2014-09-12

113 KB

12 чел.

Понятие алгебры. Фундаментальные алгебры.

Литература : см. тему "Множества" и дополнительно:

1. Бронштейн Е.М. Математические этюды. Учебное пособие. Уфа: УРЭК. 1997. 64 с.

2. Горбатов В.А. Основы дискретной математики. Учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа. 1986. 311 с.

Определение. Алгеброй A называется совокупность <M,S> множества M с заданными в нем операциями

,

где множество M - носитель, S - сигнатура алгебры.

Обозначение .

Примеры. 

1. Алгебра  называется полем действительных чисел.

На множестве целых чисел определены операции сложения и умножения по модулю n (остатки от деления на n).

M - множество подмножеств универсума U (множество-степень или булеан). К основным операциям, определенным на нем, отнесем объединение и дополнение (пересечение определяется с помощью этих двух операций ).

Определение. Алгебра вида  называется группоидом (индекс 2 здесь означает местность операции.

Если f2 операция типа умножения (), то группоид называют мультипликативным, если f2 операция типа сложения (+), то аддитивным.

Обозначим f2 как . Тогда элемент eM называется правым нейтральным элементом группоида A, если mM  . Элемент eM группоида  называется левым нейтральным элементом, если mM  . Если элемент является одновременно левым и правым нейтральным элементом, то его называют двусторонним нейтральным элементом или просто нейтральным элементом.

Утверждение. Группоид не может иметь более одного нейтрального элемента.

Действительно, если

mM    и  ,

то ,      .

Если группоид мультипликативный, то нейтральный элемент называется единицей (1), если аддитивный, то нейтральный элемент называется нулем (0).

Группоид , сигнатура которого удовлетворяет закону коммутативности

(x,yM   xy=yx),

называется коммутативным или абелевым.

Группоид, в котором выполняется закон ассоциативности

(x,y,zM   x(yz)=(xy)z,

называется ассоциативным или полугруппой.

Полугруппа с единицей называется моноидом.

Полугруппа , в которой выполнимы обратные операции:

(a,bM каждое из уравнений ax=b, ya=b обладает единственным решением), называется группой.

Группа, в которой операция коммутативна, называется абелевой.

Группа, все элементы которой являются степенями одного элемента a (для аддитивной группы - произведением ka), называется циклической. Циклическая группа всегда абелева.

Примеры.

1. Множество рациональных чисел, не содержащее нуля, с операцией умножения является абелевой группой.

2. Множество целых чисел с операцией сложения является абелевой циклической группой. Роль единицы играет 0, обратным к a является элемент -a.

3. Множество невырожденных квадратных матриц порядка n с операцией умножения является некоммутативной группой.

Определение. Алгебра , которая по умножению является мультипликативным группоидом, по сложению - абелевой группой, причем умножение связано со сложением законами дистрибутивности

,

,

называется кольцом. Кольцо, в котором все отличные от нуля элементы составляют группу по умножению, называется телом. Тело, у которого мультипликативная группа абелева (коммутативна), называется полем.

Изоморфизм групп

В любом разделе математики одним из важнейших является вопрос, какие из рассматриваемых объектов считаются равными.

Определение. Две группы  и  называются изоморфными, если между множествами M и M' можно установить взаимно однозначное соответствие  такое, что , где a и b - произвольные элементы множества M.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

72502. ФИНАНСОВЫЕ РЕСУРСЫ ЛОГИСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ И УПРАВЛЕНИЕ ИМИ 594.5 KB
  Собственные финансовые ресурсы организации выступают в виде прибыли амортизационных отчислений накоплений и сбережений физических и юридических лиц. Для стран с развитой рыночной экономикой уровень самофинансирования на фирмах считается достаточно высоким если удельный вес собственных...
72503. УПРАВЛЕНИЕ ЗАТРАТАМИ НА ОСНОВЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-СТОИМОСТНОГО АНАЛИЗА 241.5 KB
  Цель функционально-стоимостного анализа ФСА состоит в поиске возможностей реализации функций в данном случае ЛС при оптимальных затратах и обеспечении высоких требований к качеству безопасности и рыночной привлекательности товаров и услуг.
72504. АНАЛИЗ ЛОГИСТИЧЕСКИХ ИЗДЕРЖЕК И СЕБЕСТОИМОСТИ ТОВАРА 1.01 MB
  Основной задачей анализа логистических затрат является изыскание путей их снижения. Для определения влияния статей затрат на их общее значение нужна группировка затрат. В ходе анализа выявляются конкретные причины изменения затрат, связь с себестоимостью и другими экономическими...
72505. ПУТИ ОПТИМИЗАЦИИ ЛОГИСТИЧЕСКИХ ИЗДЕРЖЕК В ЦЕПОЧКАХ ЦЕННОСТИ 1.57 MB
  В рамках фирмы обычно реализуется только часть этапов в системе формирования ценностей. Цепочка ценностей стоимостей для каждой фирмы уникальна. Организации связанные одной и той же цепочкой ценностей постоянно взаимодействуют между собой.
72506. УЧЕТ ЛОГИСТИЧЕСКИХ ИЗДЕРЖЕК 1.17 MB
  Вопросы учета и анализа логистических издержек с целью их минимизации представляют наибольшую сложность по сравнению с другими видами затрат. Взаимосвязь цен объема продаж и рентабельности Управление затратами служит средством достижения предприятием высоких экономических результатов...
72507. ТРАНСАКЦИОННЫЕ ИЗДЕРЖКИ В ЛС 431 KB
  В ЛС Процесс производства всегда требует определенных затрат но в ЛС где действуют несколько организаций-участников помимо внутренних издержек возникают и трансакционные издержки к которым относятся все затраты на взаимосвязи в цепи поставок помимо собственных издержек производства торговли и сферы услуг.
72508. Логистические затраты 238.5 KB
  Для управления конкретными логистическими процессами в том числе транспортировкой закупкой запасами необходимо знать факторы учитываемые при оптимизации определенных решений. Например: при расчете оптимального объема поставляемой партии необходимо знать: затраты на формирование запасов и или затраты на заказ...
72509. ВИДЫ И ИСТОЧНИКИ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ЛОГИСТИЧЕСКИХ ИЗДЕРЖЕК 99 KB
  Логистические процессы охватывающие как материальные и информационные процессы так и отдельные элементы финансовых процессов приводят к возникновению определенных затрат которые в хозяйственной практике не всегда отождествляются с затратами в строгом понимании этого термина.
72510. СПОСОБЫ МОДИФИКАЦИИ ЦЕН В ЛС 648.5 KB
  Назначение цены на один продукт или услугу может оказать большое влияние на цены и имидж других продуктов или услуг товарного ассортимента фирмы. Это приведет к тому что ценовая спираль начнет раскручиваться вниз и через некоторое время предприятие окажется в ситуации когда соотношение...