67595

Понятие алгебры. Фундаментальные алгебры

Лекция

Математика и математический анализ

Алгеброй называется совокупность MS множества M с заданными в нем операциями где множество M носитель S сигнатура алгебры. Алгебра называется полем действительных чисел. Алгебра вида называется группоидом индекс 2 здесь означает местность операции.

Русский

2014-09-12

113 KB

10 чел.

Понятие алгебры. Фундаментальные алгебры.

Литература : см. тему "Множества" и дополнительно:

1. Бронштейн Е.М. Математические этюды. Учебное пособие. Уфа: УРЭК. 1997. 64 с.

2. Горбатов В.А. Основы дискретной математики. Учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа. 1986. 311 с.

Определение. Алгеброй A называется совокупность <M,S> множества M с заданными в нем операциями

,

где множество M - носитель, S - сигнатура алгебры.

Обозначение .

Примеры. 

1. Алгебра  называется полем действительных чисел.

На множестве целых чисел определены операции сложения и умножения по модулю n (остатки от деления на n).

M - множество подмножеств универсума U (множество-степень или булеан). К основным операциям, определенным на нем, отнесем объединение и дополнение (пересечение определяется с помощью этих двух операций ).

Определение. Алгебра вида  называется группоидом (индекс 2 здесь означает местность операции.

Если f2 операция типа умножения (), то группоид называют мультипликативным, если f2 операция типа сложения (+), то аддитивным.

Обозначим f2 как . Тогда элемент eM называется правым нейтральным элементом группоида A, если mM  . Элемент eM группоида  называется левым нейтральным элементом, если mM  . Если элемент является одновременно левым и правым нейтральным элементом, то его называют двусторонним нейтральным элементом или просто нейтральным элементом.

Утверждение. Группоид не может иметь более одного нейтрального элемента.

Действительно, если

mM    и  ,

то ,      .

Если группоид мультипликативный, то нейтральный элемент называется единицей (1), если аддитивный, то нейтральный элемент называется нулем (0).

Группоид , сигнатура которого удовлетворяет закону коммутативности

(x,yM   xy=yx),

называется коммутативным или абелевым.

Группоид, в котором выполняется закон ассоциативности

(x,y,zM   x(yz)=(xy)z,

называется ассоциативным или полугруппой.

Полугруппа с единицей называется моноидом.

Полугруппа , в которой выполнимы обратные операции:

(a,bM каждое из уравнений ax=b, ya=b обладает единственным решением), называется группой.

Группа, в которой операция коммутативна, называется абелевой.

Группа, все элементы которой являются степенями одного элемента a (для аддитивной группы - произведением ka), называется циклической. Циклическая группа всегда абелева.

Примеры.

1. Множество рациональных чисел, не содержащее нуля, с операцией умножения является абелевой группой.

2. Множество целых чисел с операцией сложения является абелевой циклической группой. Роль единицы играет 0, обратным к a является элемент -a.

3. Множество невырожденных квадратных матриц порядка n с операцией умножения является некоммутативной группой.

Определение. Алгебра , которая по умножению является мультипликативным группоидом, по сложению - абелевой группой, причем умножение связано со сложением законами дистрибутивности

,

,

называется кольцом. Кольцо, в котором все отличные от нуля элементы составляют группу по умножению, называется телом. Тело, у которого мультипликативная группа абелева (коммутативна), называется полем.

Изоморфизм групп

В любом разделе математики одним из важнейших является вопрос, какие из рассматриваемых объектов считаются равными.

Определение. Две группы  и  называются изоморфными, если между множествами M и M' можно установить взаимно однозначное соответствие  такое, что , где a и b - произвольные элементы множества M.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

48817. Горячее водоснабжение жилого микрорайона 634.5 KB
  Определение температуры воды в подающей трубе теплосети в точке излома повышенного графика. Максимальный секундный расход воды на расчетном участке сети л с при гидравлическом расчете теплопроводов системы горячего водоснабжения определяется по формуле 1 где секундный расход горячей воды водоразборным прибором с наибольшим расходом л с принимаемый в соответствии...
48820. Датчики в курсовом проектировании 349.5 KB
  Подробную информацию о датчиках легко найти в Интернете по их названиям Датчики температуры с выходным сигналом в виде напряжения Марка Диапазон измеряемых температур C Напряжение питания V Чувствительность мВ C Диапазон выходных напряжений В Потр. Схема подключения датчика к усилителю с возможным условным обозначением датчика предлагается ниже. Подключение датчика к внешней цепи Если входное сопротивление усилителя не будет велико десятки килоом то сопротивление R1 необходимо включить в состав входного сопротивления. Возможное...
48821. Двойной Т-образный мост. «Заграждающий фильтр» 319.5 KB
  В данной курсовой работе мы провели исследование временных и частотных характеристик частотного - модулированного напряжения, используя в расчетах и построениях графиков, знания, полученные из курсов математического анализа и информатики, построение графиков выполнено с помощью системы Advanced Grapher...
48822. Расчет быстроходного и тихоходного редуктора 1.12 MB
  Принцип работы привода следующий: крутящий момент с вала двигателя передается на приводной вал рабочей машины через клиноременную передачу и цилиндрический редуктор через муфту. Редуктор состоит из двух валов: быстроходного и тихоходного, установленных в корпус редуктора на шариковых радиальных однорядных подшипниках.
48823. Правове регулювання інвестиційної діяльності в спеціальних (вільних) економічних зонах в Україні 152.5 KB
  Вільні економічні зони Вез міцно увійшли у світову господарську практику та діють у різних державах. Зараз у світі по різним даним від 400 до 2000 Вез але до них не можна віднести ні одну українську оскільки ті утворення які в Україні називаються вільними економічними зонами не задовольняють міжнародні вимоги які виставляються до такого роду зонам. Крім того не звертаючи уваги на неодноразові спроби створення реально функціонуючих Вез в Україні вони остаються у вітчизняній економіці явищем скоріш екзотичним...
48824. Повышение эффективности транспортного обслуживания процессов ремонта магистральных нефтепроводов методом вырезки дефектного участка путем снижения суммарных затрат 27.71 MB
  Данные, полученные на основании контрольных измерений, испытаний и профилактических осмотров, систематизируют и используют в качестве основы для планирования и проведения ремонтных работ, в том числе и ремонтных работ связанных с вырезкой «катушки». На проведении ремонтов методом вырезки дефекта задействована спецтехника и оборудование.