67595

Понятие алгебры. Фундаментальные алгебры

Лекция

Математика и математический анализ

Алгеброй называется совокупность MS множества M с заданными в нем операциями где множество M носитель S сигнатура алгебры. Алгебра называется полем действительных чисел. Алгебра вида называется группоидом индекс 2 здесь означает местность операции.

Русский

2014-09-12

113 KB

12 чел.

Понятие алгебры. Фундаментальные алгебры.

Литература : см. тему "Множества" и дополнительно:

1. Бронштейн Е.М. Математические этюды. Учебное пособие. Уфа: УРЭК. 1997. 64 с.

2. Горбатов В.А. Основы дискретной математики. Учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа. 1986. 311 с.

Определение. Алгеброй A называется совокупность <M,S> множества M с заданными в нем операциями

,

где множество M - носитель, S - сигнатура алгебры.

Обозначение .

Примеры. 

1. Алгебра  называется полем действительных чисел.

На множестве целых чисел определены операции сложения и умножения по модулю n (остатки от деления на n).

M - множество подмножеств универсума U (множество-степень или булеан). К основным операциям, определенным на нем, отнесем объединение и дополнение (пересечение определяется с помощью этих двух операций ).

Определение. Алгебра вида  называется группоидом (индекс 2 здесь означает местность операции.

Если f2 операция типа умножения (), то группоид называют мультипликативным, если f2 операция типа сложения (+), то аддитивным.

Обозначим f2 как . Тогда элемент eM называется правым нейтральным элементом группоида A, если mM  . Элемент eM группоида  называется левым нейтральным элементом, если mM  . Если элемент является одновременно левым и правым нейтральным элементом, то его называют двусторонним нейтральным элементом или просто нейтральным элементом.

Утверждение. Группоид не может иметь более одного нейтрального элемента.

Действительно, если

mM    и  ,

то ,      .

Если группоид мультипликативный, то нейтральный элемент называется единицей (1), если аддитивный, то нейтральный элемент называется нулем (0).

Группоид , сигнатура которого удовлетворяет закону коммутативности

(x,yM   xy=yx),

называется коммутативным или абелевым.

Группоид, в котором выполняется закон ассоциативности

(x,y,zM   x(yz)=(xy)z,

называется ассоциативным или полугруппой.

Полугруппа с единицей называется моноидом.

Полугруппа , в которой выполнимы обратные операции:

(a,bM каждое из уравнений ax=b, ya=b обладает единственным решением), называется группой.

Группа, в которой операция коммутативна, называется абелевой.

Группа, все элементы которой являются степенями одного элемента a (для аддитивной группы - произведением ka), называется циклической. Циклическая группа всегда абелева.

Примеры.

1. Множество рациональных чисел, не содержащее нуля, с операцией умножения является абелевой группой.

2. Множество целых чисел с операцией сложения является абелевой циклической группой. Роль единицы играет 0, обратным к a является элемент -a.

3. Множество невырожденных квадратных матриц порядка n с операцией умножения является некоммутативной группой.

Определение. Алгебра , которая по умножению является мультипликативным группоидом, по сложению - абелевой группой, причем умножение связано со сложением законами дистрибутивности

,

,

называется кольцом. Кольцо, в котором все отличные от нуля элементы составляют группу по умножению, называется телом. Тело, у которого мультипликативная группа абелева (коммутативна), называется полем.

Изоморфизм групп

В любом разделе математики одним из важнейших является вопрос, какие из рассматриваемых объектов считаются равными.

Определение. Две группы  и  называются изоморфными, если между множествами M и M' можно установить взаимно однозначное соответствие  такое, что , где a и b - произвольные элементы множества M.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20615. Анализ потока 121.5 KB
  Управление распределением памяти и сборка мусора Задачи решаемые компиляторами: выделение памяти инициализация выделенной памяти некоторыми начальными значениями предоставление возможности программисту использования этой памяти при прекращении использования памяти ее освобождение обеспечение повторного использования освобождающей памяти. Проблемы управления памятью: ограниченность памяти ошибки явного управления памятью особенности возникновения ошибок при работе с памятью труднонаходимость проблема освобождения ресурсов...
20616. Фазы трансляции 328 KB
  Группы символов соответствующие элементам языка называются токенами. Контекстносвободная грамматика имеет 4 компоненты: множество токенов терминальных символов множество нетерминальных символов множество продукций где слева всегда нетерминал а справа последовательность терминалов нетерминалов указание одного из нетерминалов в качестве стартового символа грамматики. На вход лексического анализатора поступает цепочка символов. Каждый шаг переключение автомата состоит в том что при нахождении в определенном состоянии при...
20617. Магазинные автоматы 86.5 KB
  I входная строка I текущий символ входной строки M стек M символ в вершине стека pushM операция записи в стек popM операция выталкивания из стека M=0 проверка стека на пустоту I=0 проверка на пустоту входной строки nextI переход к следующему символу в строке {Si} множество состояний конечного автомата Текущее состояние автомата описывается тремя системами: Si M I При переводе автомата в новое состояние получим Si M ISj . Если текущий символ строки совпадает с символом в вершине...
20618. Восходящий синтаксический метод 180.5 KB
  Значения атрибутов вычисляются согласно семантическим правилам которые связаны с продукциями грамматики. В этом обобщении с каждым грамматическим символом связываются множество атрибутов. Синтезируемые атрибуты Наследуемые атрибуты каждому символу грамматики можно поставить ряд атрибутов Синтезируемые атрибуты значение вычисляется по значению атрибутов в дочерних по отношению к данному узлу узлах. Наследуемые атрибуты значение определяется значением атрибутов соседних узлов и родительского узла.
20619. Синтаксическое дерево 93.5 KB
  Синтаксическое дерево. Синтаксическое дерево представляет собой дерево синтаксического разбора сжатом виде и может быть построено на основе синтаксически управляемых определений. Грамматическое правило Семантическое правило Синтаксическое дерево узлы которого могут иметь одного родителя называется направленным ациклическим графом выражений DAG. Для ускорения поиска используется ХЭШ функция по сигнатуре op l r Пример: Построить дерево синтаксического разбора синтаксическое дерево и DAG для выражения.
20620. Семантический анализ 144.5 KB
  Генерация промежуточного кода Основные формы промежуточного кода6 Для примитивных трансляторов используется синтаксическое дерево или DAG Постфиксная запись Трехадресный код: x:=y op z Пример: синтаксическое дерево t1=c t2=bt1 t4=c t5=bt4 t3=t5t2 a=t3 DAG t1=c t2=bt1 t3=t2t2 a=t3 постфиксная запись Трехадресный код представляет собой выражение типа Типы трехадресных конструкций инструкции присвоения где op арифметическая или логическая операция где op унарная операция инструкции копирования инструкции...
20621. Этап генерация кода исполняемой машины 58 KB
  1 a:=bc d:=ac mov R0 b add R0 c → mov a R0 mov R0 b add R0 c mov d R0 2 t:=ab t:=tc t:=t d mov R0 a add R0 b mov R1 c mul R0 R1 mov R1 d div R0 R1 mov t R0 не помещая переменные в регистры Характеристики описывающие целевую машину: набор инструкций вида op destination source способы адресации прямая регистровая абсолютная косвенная Адресация Обозначение Адрес Добавочная стоимость абсолютная регистровая индексированная косвеннорегистровая косвенноиндексированная константа в команде M R CR R CR C M...
20622. Базовые блоки 111.5 KB
  Говорят что трехадресная инструкция вида определяет x и использует y и z. Выход: список базовых блоков такой что каждая трех адресная инструкция принадлежит только одному блоку. Правила: первая инструкция является лидером. любая инструкция являющаяся целевой инструкцией условного или безусловного переходов является лидером.
20623. Многообразие и единство мира 92 KB
  Элементарные частицы фундаментальные частицы и частицы переносчики фундаментальных взаимодействий3. В соответствии с этими представлениями выделяются следующие уровни: Уровни Условные границы Размер м Масса кг Микромир r =108 m = 1010 Макромир r 108 107 m 1010 1020 Мегамир r 107 m 1020 Понятие микромир охватывает фундаментальные и элементарные частицы ядра атомы и молекулы. Элементарные частицы фундаментальные частицы и частицы переносчики фундаментальных взаимодействий Элементарные частицы это частицы входящие в состав...