67595

Понятие алгебры. Фундаментальные алгебры

Лекция

Математика и математический анализ

Алгеброй называется совокупность MS множества M с заданными в нем операциями где множество M носитель S сигнатура алгебры. Алгебра называется полем действительных чисел. Алгебра вида называется группоидом индекс 2 здесь означает местность операции.

Русский

2014-09-12

113 KB

11 чел.

Понятие алгебры. Фундаментальные алгебры.

Литература : см. тему "Множества" и дополнительно:

1. Бронштейн Е.М. Математические этюды. Учебное пособие. Уфа: УРЭК. 1997. 64 с.

2. Горбатов В.А. Основы дискретной математики. Учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа. 1986. 311 с.

Определение. Алгеброй A называется совокупность <M,S> множества M с заданными в нем операциями

,

где множество M - носитель, S - сигнатура алгебры.

Обозначение .

Примеры. 

1. Алгебра  называется полем действительных чисел.

На множестве целых чисел определены операции сложения и умножения по модулю n (остатки от деления на n).

M - множество подмножеств универсума U (множество-степень или булеан). К основным операциям, определенным на нем, отнесем объединение и дополнение (пересечение определяется с помощью этих двух операций ).

Определение. Алгебра вида  называется группоидом (индекс 2 здесь означает местность операции.

Если f2 операция типа умножения (), то группоид называют мультипликативным, если f2 операция типа сложения (+), то аддитивным.

Обозначим f2 как . Тогда элемент eM называется правым нейтральным элементом группоида A, если mM  . Элемент eM группоида  называется левым нейтральным элементом, если mM  . Если элемент является одновременно левым и правым нейтральным элементом, то его называют двусторонним нейтральным элементом или просто нейтральным элементом.

Утверждение. Группоид не может иметь более одного нейтрального элемента.

Действительно, если

mM    и  ,

то ,      .

Если группоид мультипликативный, то нейтральный элемент называется единицей (1), если аддитивный, то нейтральный элемент называется нулем (0).

Группоид , сигнатура которого удовлетворяет закону коммутативности

(x,yM   xy=yx),

называется коммутативным или абелевым.

Группоид, в котором выполняется закон ассоциативности

(x,y,zM   x(yz)=(xy)z,

называется ассоциативным или полугруппой.

Полугруппа с единицей называется моноидом.

Полугруппа , в которой выполнимы обратные операции:

(a,bM каждое из уравнений ax=b, ya=b обладает единственным решением), называется группой.

Группа, в которой операция коммутативна, называется абелевой.

Группа, все элементы которой являются степенями одного элемента a (для аддитивной группы - произведением ka), называется циклической. Циклическая группа всегда абелева.

Примеры.

1. Множество рациональных чисел, не содержащее нуля, с операцией умножения является абелевой группой.

2. Множество целых чисел с операцией сложения является абелевой циклической группой. Роль единицы играет 0, обратным к a является элемент -a.

3. Множество невырожденных квадратных матриц порядка n с операцией умножения является некоммутативной группой.

Определение. Алгебра , которая по умножению является мультипликативным группоидом, по сложению - абелевой группой, причем умножение связано со сложением законами дистрибутивности

,

,

называется кольцом. Кольцо, в котором все отличные от нуля элементы составляют группу по умножению, называется телом. Тело, у которого мультипликативная группа абелева (коммутативна), называется полем.

Изоморфизм групп

В любом разделе математики одним из важнейших является вопрос, какие из рассматриваемых объектов считаются равными.

Определение. Две группы  и  называются изоморфными, если между множествами M и M' можно установить взаимно однозначное соответствие  такое, что , где a и b - произвольные элементы множества M.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

55798. Розвиток особистісного потенціалу учнів на уроках з фізики 256 KB
  Як вчитель допомагаю учням на уроках та в неурочний час оволодіти технологіями життєтворчості прагну створити умови для розкриття внутрішнього потенціалу самооцінки самореалізації самоконтролю учнів...
55799. Розвиток пізнавальної активності в процесі рішення творчих задач 87 KB
  Дуже часто навчання зводиться до розуміння й відтворення прийомів дій типових способів вирішення завдань. Дуже часто при такому аналізі на перший погляд абсурдна ідея перевтілюється й відкриває шлях до вирішення проблеми.
55800. Може, маленька дитина повторює те, що було вже зроблено, створено іншими людьми, але якщо це діяння – плід її власних зусиль, – вона творець; її розумова діяльність – творчість 49 KB
  Щоб сформулювати творчі здібності дитині необхідно якнайбільше вражень про навколишній світ під час виконання різних видів діяльності який їй подобається найбільше а потім в усіх притаманних учням видах діяльності гра малювання конструювання...
55801. РОЗВИТОК КРЕАТИВНОГО МИСЛЕННЯ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ ТА НАВЧАННЯ ГРАМОТИ 116 KB
  Бо стає важливим не стільки обсяг знань якими володіє людина скільки вміння застосовувати їх у конкретній ситуації. Скільки вовків було у норі Ізза пенька показалось 6 заячих вух. Скільки вух тепер видно Скільки вушок у зайців Скільки крил у горобців
55802. Розвиток творчого мислення молодших школярів як засіб формування життєвої компетентності 107 KB
  Научання предмету грань розумового розвитку учнів Розвиток одночасно із засвоєнням знань Читання джерело думки Значення предметів естетичного циклу та фізкультури для розвитку творчого мислення...
55803. Розвиток пізнавального інтересу на уроках математики як засіб підвищення якості знань учнів 241.5 KB
  Де вчитель там і школаМатематика служниця вчителяМатематика завжди незважаючи на всілякі вдосконалення в методі викладання залишиться для учнів важкою роботою. Вихідною умовою становлення досвіду роботи стали результати діагностики які свідчать про зниження інтересу учнів до уроків математики що спричиняє погіршення результатів навчання і якості знань з математики. Визначальною умовою становлення досвіду є створення умов що сприяють удосконаленню якості знань учнів з математики посилення їх мотивації...
55804. Розвиток мовленнєвої компетентності дітей під час нетрадиційної роботи за казками В. Сухомлинського 47 KB
  Хід заняття: Дітки давайте привітаємось з нашими гостями. Давайте ми зараз розкажемо про осінь яка вона. Подивіться на нашу берізку що на ній не вистачає Давайте прикрасимо її золотими стрічками. Давайте я почну а ви продовжите діти переказують казку за картинками.
55805. Зображення людини в русі. Різні художні техніки як засіб передачі руху людської фігури 610 KB
  Тема уроку з образотворчого мистецтва: Зображення людини в русі. Обладнання уроку: музичні записи навчальні роботи з методичного фонду магнітна дошка з рухомими моделями людських фігур таблиця пропорцій тіла людини репродукції зображень мистецьких творів...
55806. РУХ КРОВІ ПО СУДИНАХ 61.5 KB
  Мета уроку: обговорити з учнями можливі причини руху крові по судинах і зміни тиску крові; навчити вимірювати частоту пульсу і артеріальний тиск в стані спокою і після фізичного навантаження.