67595

Понятие алгебры. Фундаментальные алгебры

Лекция

Математика и математический анализ

Алгеброй называется совокупность MS множества M с заданными в нем операциями где множество M носитель S сигнатура алгебры. Алгебра называется полем действительных чисел. Алгебра вида называется группоидом индекс 2 здесь означает местность операции.

Русский

2014-09-12

113 KB

12 чел.

Понятие алгебры. Фундаментальные алгебры.

Литература : см. тему "Множества" и дополнительно:

1. Бронштейн Е.М. Математические этюды. Учебное пособие. Уфа: УРЭК. 1997. 64 с.

2. Горбатов В.А. Основы дискретной математики. Учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа. 1986. 311 с.

Определение. Алгеброй A называется совокупность <M,S> множества M с заданными в нем операциями

,

где множество M - носитель, S - сигнатура алгебры.

Обозначение .

Примеры. 

1. Алгебра  называется полем действительных чисел.

На множестве целых чисел определены операции сложения и умножения по модулю n (остатки от деления на n).

M - множество подмножеств универсума U (множество-степень или булеан). К основным операциям, определенным на нем, отнесем объединение и дополнение (пересечение определяется с помощью этих двух операций ).

Определение. Алгебра вида  называется группоидом (индекс 2 здесь означает местность операции.

Если f2 операция типа умножения (), то группоид называют мультипликативным, если f2 операция типа сложения (+), то аддитивным.

Обозначим f2 как . Тогда элемент eM называется правым нейтральным элементом группоида A, если mM  . Элемент eM группоида  называется левым нейтральным элементом, если mM  . Если элемент является одновременно левым и правым нейтральным элементом, то его называют двусторонним нейтральным элементом или просто нейтральным элементом.

Утверждение. Группоид не может иметь более одного нейтрального элемента.

Действительно, если

mM    и  ,

то ,      .

Если группоид мультипликативный, то нейтральный элемент называется единицей (1), если аддитивный, то нейтральный элемент называется нулем (0).

Группоид , сигнатура которого удовлетворяет закону коммутативности

(x,yM   xy=yx),

называется коммутативным или абелевым.

Группоид, в котором выполняется закон ассоциативности

(x,y,zM   x(yz)=(xy)z,

называется ассоциативным или полугруппой.

Полугруппа с единицей называется моноидом.

Полугруппа , в которой выполнимы обратные операции:

(a,bM каждое из уравнений ax=b, ya=b обладает единственным решением), называется группой.

Группа, в которой операция коммутативна, называется абелевой.

Группа, все элементы которой являются степенями одного элемента a (для аддитивной группы - произведением ka), называется циклической. Циклическая группа всегда абелева.

Примеры.

1. Множество рациональных чисел, не содержащее нуля, с операцией умножения является абелевой группой.

2. Множество целых чисел с операцией сложения является абелевой циклической группой. Роль единицы играет 0, обратным к a является элемент -a.

3. Множество невырожденных квадратных матриц порядка n с операцией умножения является некоммутативной группой.

Определение. Алгебра , которая по умножению является мультипликативным группоидом, по сложению - абелевой группой, причем умножение связано со сложением законами дистрибутивности

,

,

называется кольцом. Кольцо, в котором все отличные от нуля элементы составляют группу по умножению, называется телом. Тело, у которого мультипликативная группа абелева (коммутативна), называется полем.

Изоморфизм групп

В любом разделе математики одним из важнейших является вопрос, какие из рассматриваемых объектов считаются равными.

Определение. Две группы  и  называются изоморфными, если между множествами M и M' можно установить взаимно однозначное соответствие  такое, что , где a и b - произвольные элементы множества M.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

35345. Иннервация мягкого неба и надгортанника, их функциональное значение 15.04 KB
  Блуждающий, языкоглоточный нервы имеют в составе и чувствительные волокна, ядра этих нервов располагаются в продолговатом мозге. А чувствительные ганглии в узлах этих нервов у выхода из полости черепа
35346. Керування папками, файлами та ярликами 39 KB
  Індивідуальне завдання Відкрити вікно диска D: і створити в ній папку NEW літери латинські. Перейменувати папку NEW у папку НОВА літери кирилиці. Чтобы переименовать папку нужно нажать провую клавишу мыши и выбрать команду переименовать. З папки диска D: скопіювати в папку НОВА будь який файл або папку.
35347. Удаленное управление ресурсами ПЭВМ через локальную сеть средствами стека протоколов TCP/IP 4.21 MB
  Техническое задание: Разработка программного обеспечения, позволяющего устанавливать соединение между двумя ПЭВМ средствами стека протоколов TCP/IP для последующего управления ресурсами одного из ПЭВМ (клавиатура, курсор мышки, дисплей).
35348. Тема: Сортування і групування даних Мета: навчитися розділяти одержані дані на групи так щоб їх легко бул 53 KB
  EMP_ID LST NM FIRST NM DDRESS CITY STTE ZIP PHONE 311549902 442346889 213764555 313782439 220984332 443679012 STEPHENS PLEW GLSS GLSS WLLCE SPURGEON TIN LIND BRNDON JCOB MRIH TIFFNY D RR 3 BOX 17 С 3301 BECON S 1710 MIN ST 3789 RIVER BLVD 7789 KEYSTONE 5 GEORGE COURT GREENWOOD INDINPOLIS WHITELND INDINPOLIS INDINPOLIS INDINPOLIS IN IN IN IN IN IN 47890 46224 47885 45734 46741 46234 3178784465 3172978990 3178984321 3175457676 3173325986 3175679007 Запишіть оператора SQL що повертає табельний номер службовця EMP_ID ім'я службовця...
35350. Организация видеосвязи. Видеоконференцсвязь 1.56 MB
  Видеоконференцсвязь применяется для личного и делового общения, проведения совещаний, конференций и других важных мероприятий, в которых важно присутствие тех субъектов общения, которые по тем или иным причинам не могут находиться в месте проведения мероприятия лично.
35351. Организация аудио связи по локальной сети между рабочими станциями в дуплексном режиме 584.5 KB
  Аудиоконференцсвязь — область информационной технологии, обеспечивающая одновременно двустороннюю передачу, обработку, преобразование и представление аудиоинформации на расстояние в режиме реального времени с помощью аппаратно-программных средств вычислительной техники.
35352. Манипуляционные роботы 778 KB
  История механики богата примерами, которые свидетельствуют о постоянном стремлении человека создать механизмы и устройства, подобные живым существам. Это стремление обусловлено многими причинами...
35353. Создание серверной и клиентской частей системы проведения аудиоконференций с возможностью работы в локальной или глобальной сети 890.5 KB
  Серверная часть должна обеспечивать эффективную работу с клиентами в условиях одновременного подключения нескольких пользователей, а так же обладать дружественным интерфейсом и отвечать следующим основным требованиям...