67595

Понятие алгебры. Фундаментальные алгебры

Лекция

Математика и математический анализ

Алгеброй называется совокупность MS множества M с заданными в нем операциями где множество M носитель S сигнатура алгебры. Алгебра называется полем действительных чисел. Алгебра вида называется группоидом индекс 2 здесь означает местность операции.

Русский

2014-09-12

113 KB

7 чел.

Понятие алгебры. Фундаментальные алгебры.

Литература : см. тему "Множества" и дополнительно:

1. Бронштейн Е.М. Математические этюды. Учебное пособие. Уфа: УРЭК. 1997. 64 с.

2. Горбатов В.А. Основы дискретной математики. Учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа. 1986. 311 с.

Определение. Алгеброй A называется совокупность <M,S> множества M с заданными в нем операциями

,

где множество M - носитель, S - сигнатура алгебры.

Обозначение .

Примеры. 

1. Алгебра  называется полем действительных чисел.

На множестве целых чисел определены операции сложения и умножения по модулю n (остатки от деления на n).

M - множество подмножеств универсума U (множество-степень или булеан). К основным операциям, определенным на нем, отнесем объединение и дополнение (пересечение определяется с помощью этих двух операций ).

Определение. Алгебра вида  называется группоидом (индекс 2 здесь означает местность операции.

Если f2 операция типа умножения (), то группоид называют мультипликативным, если f2 операция типа сложения (+), то аддитивным.

Обозначим f2 как . Тогда элемент eM называется правым нейтральным элементом группоида A, если mM  . Элемент eM группоида  называется левым нейтральным элементом, если mM  . Если элемент является одновременно левым и правым нейтральным элементом, то его называют двусторонним нейтральным элементом или просто нейтральным элементом.

Утверждение. Группоид не может иметь более одного нейтрального элемента.

Действительно, если

mM    и  ,

то ,      .

Если группоид мультипликативный, то нейтральный элемент называется единицей (1), если аддитивный, то нейтральный элемент называется нулем (0).

Группоид , сигнатура которого удовлетворяет закону коммутативности

(x,yM   xy=yx),

называется коммутативным или абелевым.

Группоид, в котором выполняется закон ассоциативности

(x,y,zM   x(yz)=(xy)z,

называется ассоциативным или полугруппой.

Полугруппа с единицей называется моноидом.

Полугруппа , в которой выполнимы обратные операции:

(a,bM каждое из уравнений ax=b, ya=b обладает единственным решением), называется группой.

Группа, в которой операция коммутативна, называется абелевой.

Группа, все элементы которой являются степенями одного элемента a (для аддитивной группы - произведением ka), называется циклической. Циклическая группа всегда абелева.

Примеры.

1. Множество рациональных чисел, не содержащее нуля, с операцией умножения является абелевой группой.

2. Множество целых чисел с операцией сложения является абелевой циклической группой. Роль единицы играет 0, обратным к a является элемент -a.

3. Множество невырожденных квадратных матриц порядка n с операцией умножения является некоммутативной группой.

Определение. Алгебра , которая по умножению является мультипликативным группоидом, по сложению - абелевой группой, причем умножение связано со сложением законами дистрибутивности

,

,

называется кольцом. Кольцо, в котором все отличные от нуля элементы составляют группу по умножению, называется телом. Тело, у которого мультипликативная группа абелева (коммутативна), называется полем.

Изоморфизм групп

В любом разделе математики одним из важнейших является вопрос, какие из рассматриваемых объектов считаются равными.

Определение. Две группы  и  называются изоморфными, если между множествами M и M' можно установить взаимно однозначное соответствие  такое, что , где a и b - произвольные элементы множества M.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

40847. Основи кримінального права України. Функції та принципи кримінального права 58 KB
  Поняття злочину його ознаки. Поняття складу злочину. Стадії злочину. Відносини що виникають у зв’язку з вчиненням злочину і застосуванням за це певних покарань становлять предмет кримінального права.
40848. Визначення та предмет екології міських систем 82.5 KB
  Загальні особливості міських систем особливості мікроклімату міста. і природної а також про ноосфер не управління урбоекосистемою Урбоекологія – наука яка вивчає міські екосистеми урбоекосистеми та міста в цілому як угруповання штучно створені людиною як місця її постійного проживання. Суспільна і природнича наука пояснюють найскладніші стосунки які склалися в екосистемах міста зокрема вплив суспільної діяльності на елементи природи окреслюють місце природних комплексів у життєдіяльності живих організмів і насамперед людини. людей...
40849. Транскрипция. Согласные 159.5 KB
  Во французском языке 26 букв обозначают 35 звуков. Одна и та же буква в зависимости от положения в слове может произноситься по-разному. Точным отображением произношения является транскрипция. В ней каждому звуку соответствует условный фонетический знак. Транскрипция заключается в квадратные скобки
40850. Гласные в английском языке.Гласный [œ ] 103.5 KB
  Сочетание «зубрежки» с выполнением устных и письменных упражнений, в которых новые слова повторяются в наиболее типичных сочетаниях, даст самые лучшие результаты. При этом всегда придерживайтесь правила: не выполняйте упражнения механически, проверяйте, помните ли вы все входящие в них слова
40851. Гласные во французском языке. Гласный [u] 105 KB
  Неопределенный артикль единственного числа un une. Перед существительными единственного числа употребляются артикли мужской род un [̃] un frère брат женский род une [yn] une sur – сестра Неопределенный артикль на русский язык обычно не переводится а существительное с этим артиклем имеет...
40852. Имена собственные во французском языке 71 KB
  Трудные для вас слова лучше выписывать на карточки: с одной стороны — французское слово или словосочетание, с другой — перевод. Вынимая карточки наугад, вы сможете проверить, хорошо ли вы знаете слова. По мере запоминания откладывайте карточки в сторону. Добивайтесь, чтобы у вас не осталось ни одной невыученной карточки.
40853. Носовые гласные во французском языке 145 KB
  Местоимение с глаголом произносятся слитно: nous restons [nurestõ] мы остаемся nous [nu] перед согласной: nous prlons [nuprlõ ] мы говорим [nuz] перед гласной и h: nous pportons [nuzportõ] мы приносим 6....
40854. Множественное число существительных и прилагательных 146.5 KB
  Образуется от формы единственного числа при помощи непроизносимого окончания s: ville s = villes [vil] города grnd s = grnds [grã] большие Существительные и прилагательные которые в единственном числе оканчиваются на s x z не изменяются во множественном числе: succès m успех успехи heureux счастливый счастливые nez m нос носы Во французском языке прилагательные согласуются в роде и числе с существительными: une nouvelle intéressnte интересная новость des nouvelles intéressntes интересные новости 4....
40855. Слитные артикли с предлогами à и de во французском языке 101.5 KB
  Следите за слитным произношением: vous êtes nous vons nous llons vous vez vous llez ils ont. Quelles lngues étrngères prlezvous B. Prlezvous nglis B. Vous llez à l’école.