67595

Понятие алгебры. Фундаментальные алгебры

Лекция

Математика и математический анализ

Алгеброй называется совокупность MS множества M с заданными в нем операциями где множество M носитель S сигнатура алгебры. Алгебра называется полем действительных чисел. Алгебра вида называется группоидом индекс 2 здесь означает местность операции.

Русский

2014-09-12

113 KB

8 чел.

Понятие алгебры. Фундаментальные алгебры.

Литература : см. тему "Множества" и дополнительно:

1. Бронштейн Е.М. Математические этюды. Учебное пособие. Уфа: УРЭК. 1997. 64 с.

2. Горбатов В.А. Основы дискретной математики. Учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа. 1986. 311 с.

Определение. Алгеброй A называется совокупность <M,S> множества M с заданными в нем операциями

,

где множество M - носитель, S - сигнатура алгебры.

Обозначение .

Примеры. 

1. Алгебра  называется полем действительных чисел.

На множестве целых чисел определены операции сложения и умножения по модулю n (остатки от деления на n).

M - множество подмножеств универсума U (множество-степень или булеан). К основным операциям, определенным на нем, отнесем объединение и дополнение (пересечение определяется с помощью этих двух операций ).

Определение. Алгебра вида  называется группоидом (индекс 2 здесь означает местность операции.

Если f2 операция типа умножения (), то группоид называют мультипликативным, если f2 операция типа сложения (+), то аддитивным.

Обозначим f2 как . Тогда элемент eM называется правым нейтральным элементом группоида A, если mM  . Элемент eM группоида  называется левым нейтральным элементом, если mM  . Если элемент является одновременно левым и правым нейтральным элементом, то его называют двусторонним нейтральным элементом или просто нейтральным элементом.

Утверждение. Группоид не может иметь более одного нейтрального элемента.

Действительно, если

mM    и  ,

то ,      .

Если группоид мультипликативный, то нейтральный элемент называется единицей (1), если аддитивный, то нейтральный элемент называется нулем (0).

Группоид , сигнатура которого удовлетворяет закону коммутативности

(x,yM   xy=yx),

называется коммутативным или абелевым.

Группоид, в котором выполняется закон ассоциативности

(x,y,zM   x(yz)=(xy)z,

называется ассоциативным или полугруппой.

Полугруппа с единицей называется моноидом.

Полугруппа , в которой выполнимы обратные операции:

(a,bM каждое из уравнений ax=b, ya=b обладает единственным решением), называется группой.

Группа, в которой операция коммутативна, называется абелевой.

Группа, все элементы которой являются степенями одного элемента a (для аддитивной группы - произведением ka), называется циклической. Циклическая группа всегда абелева.

Примеры.

1. Множество рациональных чисел, не содержащее нуля, с операцией умножения является абелевой группой.

2. Множество целых чисел с операцией сложения является абелевой циклической группой. Роль единицы играет 0, обратным к a является элемент -a.

3. Множество невырожденных квадратных матриц порядка n с операцией умножения является некоммутативной группой.

Определение. Алгебра , которая по умножению является мультипликативным группоидом, по сложению - абелевой группой, причем умножение связано со сложением законами дистрибутивности

,

,

называется кольцом. Кольцо, в котором все отличные от нуля элементы составляют группу по умножению, называется телом. Тело, у которого мультипликативная группа абелева (коммутативна), называется полем.

Изоморфизм групп

В любом разделе математики одним из важнейших является вопрос, какие из рассматриваемых объектов считаются равными.

Определение. Две группы  и  называются изоморфными, если между множествами M и M' можно установить взаимно однозначное соответствие  такое, что , где a и b - произвольные элементы множества M.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24470. Психические состояния их классификация 45 KB
  Психические состояния их классификация. Психическое состояние это целостная характеристика психической деятельности за определенный период времени показывающая своеобразие протекания психических процессов в зависимости от отражаемых предметов и явлений действительности предшествующего состояния и психических свойств личности. По параметру динамичности лабильности временной протяжённости состояния занимают промежуточное значение между процессами и свойствами. Функции психических состояний: Регулятивная состояния позволяют адаптироваться...
24471. Интеллект и креативность 45 KB
  intellectus понимание познание способность к осуществлению процесса познания и к эффективному решению проблем в частности при овладении новым кругом жизненных задач. Он выделил семь таких потенций: 1 счетную способность т. способность оперировать числами и выполнять арифметические действия; 2 вербальную словесную гибкость т. способность понимать устную и письменную речь; 4 пространственную ориентацию или способность представлять себе различные предметы и формы в пространстве; 5 память; 6 способность к рассуждению; 7...
24472. Темперамент: его свойства и типология 46.5 KB
  Тип темперамента тесно связан с врожденными анатомофизиологическими особенностями высшей нервной деятельности. К свойствам темперамента можно отнести те отличительные индивидуальные признаки человека которые определяют собой динамические аспекты всех его видов деятельности характеризуют особенности протекания психических процессов имеют более или менее устойчивый характер сохраняются в течение длительного времени проявляясь вскоре после рождения. Небылицин выделяет три ведущих свойства темперамента относящихся к сферам общей активности...
24473. Характер: его формирование и детерминанты 53 KB
  Последний представляет собой динамическую сторону характера. В состав характера человека входят следующие свойства личности: Свойства личности которые определяют поступки человека в выборе целей деятельности. Черты которые относятся к действиям направленным на достижение поставленных целей: настойчивость целеустремленность последовательность и другие а также альтернативные им как свидетельство отсутствия характера. Формирование характера и его детерминанты.
24474. Задатки, способности, одаренность 41.5 KB
  Способности индивидуальнопсихологические особенности личности являющиеся условием успешного выполнения той или иной деятельности. Теплова способности это индивидуальнопсихологические особенности отличающие одного человека от другого и имеющие отношение к успешности выполнения деятельности. Теплов считает индивидуальное своеобразие продуктивной деятельности оригинальность и самобытность приемов используемых в деятельности. 2 Способности служат успешному выполнению деятельности.
24475. Потребности и мотивы. Направленность личности 54.5 KB
  Возникновение потребности является механизмом запускающим активность человека на поиск и достижение цели которая может удовлетворить эту потребность. Существуют различные классификации потребностей человека которые чаще всего строятся на основе таких критериев как зависимость организма или личности от какихто объектов а также по нуждам которые он испытывает. Деятельность человека направляется не одним мотивом а их совокупностью т. В основе внутренних мотивов лежат потребности человека его эмоции интересы.
24476. Стратегия и этапы индивидуальной психологической помощи клиентам с проблемами нарко/алко-зависимости 55.5 KB
  Важнейшими мотивами воздержания являются: стремление быть социально полезным способствовать изменениям в обществе самореализация поиск единомышленников из чувства долга за полученную в прошлом помощь интересно провести досуг решить собственные проблемы. Предлагается поэтапное продвижение к открытому рассмотрению проблемы а затем к намерению изменить ситуацию. Потенциальные ресурсы преодоления проблемы. В качестве потенциальных ресурсов преодоления проблемы важно оценить следующие области: 1.
24477. Психология в системе наук о человеке. Предмет и структура психологической науки. Прикладная психология и её задачи 43 KB
  Психология в системе наук о человеке. Прикладная психология и её задачи. В наиболее общем виде психология может быть определена как наука направленная на изучение закономерностей развития и функционирования психики как особой формы жизнедеятельности. Современная психология находится в системе наук занимая промежуточное положение между философскими науками с одной стороны естественными с другой социальными с третьей.
24478. Классификация методов психологического исследования 36.5 KB
  Классификация методов психологического исследования. Метод путь познания опирающийся на некую совокупность ранее полученных знаний принципов. Существуют различные подходы к описанию и классификации методов психологического исследования. Наиболее общепризнанной классификацией методов психологического исследования в отечественной психологии является классификация Б.