67595

Понятие алгебры. Фундаментальные алгебры

Лекция

Математика и математический анализ

Алгеброй называется совокупность MS множества M с заданными в нем операциями где множество M носитель S сигнатура алгебры. Алгебра называется полем действительных чисел. Алгебра вида называется группоидом индекс 2 здесь означает местность операции.

Русский

2014-09-12

113 KB

7 чел.

Понятие алгебры. Фундаментальные алгебры.

Литература : см. тему "Множества" и дополнительно:

1. Бронштейн Е.М. Математические этюды. Учебное пособие. Уфа: УРЭК. 1997. 64 с.

2. Горбатов В.А. Основы дискретной математики. Учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа. 1986. 311 с.

Определение. Алгеброй A называется совокупность <M,S> множества M с заданными в нем операциями

,

где множество M - носитель, S - сигнатура алгебры.

Обозначение .

Примеры. 

1. Алгебра  называется полем действительных чисел.

На множестве целых чисел определены операции сложения и умножения по модулю n (остатки от деления на n).

M - множество подмножеств универсума U (множество-степень или булеан). К основным операциям, определенным на нем, отнесем объединение и дополнение (пересечение определяется с помощью этих двух операций ).

Определение. Алгебра вида  называется группоидом (индекс 2 здесь означает местность операции.

Если f2 операция типа умножения (), то группоид называют мультипликативным, если f2 операция типа сложения (+), то аддитивным.

Обозначим f2 как . Тогда элемент eM называется правым нейтральным элементом группоида A, если mM  . Элемент eM группоида  называется левым нейтральным элементом, если mM  . Если элемент является одновременно левым и правым нейтральным элементом, то его называют двусторонним нейтральным элементом или просто нейтральным элементом.

Утверждение. Группоид не может иметь более одного нейтрального элемента.

Действительно, если

mM    и  ,

то ,      .

Если группоид мультипликативный, то нейтральный элемент называется единицей (1), если аддитивный, то нейтральный элемент называется нулем (0).

Группоид , сигнатура которого удовлетворяет закону коммутативности

(x,yM   xy=yx),

называется коммутативным или абелевым.

Группоид, в котором выполняется закон ассоциативности

(x,y,zM   x(yz)=(xy)z,

называется ассоциативным или полугруппой.

Полугруппа с единицей называется моноидом.

Полугруппа , в которой выполнимы обратные операции:

(a,bM каждое из уравнений ax=b, ya=b обладает единственным решением), называется группой.

Группа, в которой операция коммутативна, называется абелевой.

Группа, все элементы которой являются степенями одного элемента a (для аддитивной группы - произведением ka), называется циклической. Циклическая группа всегда абелева.

Примеры.

1. Множество рациональных чисел, не содержащее нуля, с операцией умножения является абелевой группой.

2. Множество целых чисел с операцией сложения является абелевой циклической группой. Роль единицы играет 0, обратным к a является элемент -a.

3. Множество невырожденных квадратных матриц порядка n с операцией умножения является некоммутативной группой.

Определение. Алгебра , которая по умножению является мультипликативным группоидом, по сложению - абелевой группой, причем умножение связано со сложением законами дистрибутивности

,

,

называется кольцом. Кольцо, в котором все отличные от нуля элементы составляют группу по умножению, называется телом. Тело, у которого мультипликативная группа абелева (коммутативна), называется полем.

Изоморфизм групп

В любом разделе математики одним из важнейших является вопрос, какие из рассматриваемых объектов считаются равными.

Определение. Две группы  и  называются изоморфными, если между множествами M и M' можно установить взаимно однозначное соответствие  такое, что , где a и b - произвольные элементы множества M.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34579. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЕТРА I. ОФОРМЛЕНИЕ АБСОЛЮТИЗМА 24.13 KB
  Гридунова Петр I вошел в историю России как царьреформатор благодаря кардинальным преобразованиям в различных сферах общественной жизни в том числе государственного управления экономики культуры. началась реформа госаппарата. Создание нового полноценного государственного аппарата было бы невозможно если бы реформа не коснулась низшего звена управления – местного аппарата. РЕФОРМА В АРМИИ.
34580. РОССИЙСКАЯ ИМПЕРИЯ В 1725–1762 гг. 17.79 KB
  Меншиков который сумел подчинить себе и нового императора двенадцатилетнего Петра II даже рассчитывал женить его на своей дочери. О продолжении дела Петра Великого в этот период вспоминали мало даже столица государства была фактически перенесена в Москву. Петра II мало интересовали государственные проблемы. Петр II внезапно умер заболев оспой и верховники пригласили на царствование племянницу Петра I вдову курляндского герцога Анну Иоанновну оговорив ее воцарение рядом условий – кондиций не выходить замуж не назначать...
34581. ПРОСВЕЩЕННЫЙ АБСОЛЮТИЗМ»: ЦЕЛИ, МЕТОДЫ, ПРОТИВОРЕЧИЯ 19.82 KB
  В отличие от откровенно продворянской и прокрепостнической политики самодержавия предшествующего периода политика просвещенного абсолютизма Екатерины II приобрела новые черты: – лавирование; – использование для маскировки своей продворянской прокрепостнической сути политических экономических и философских концепций просветителей с выхолащиванием их антифеодального содержания; – применение социальной демагогии о стремлении к ограничению рабства всеобщему благосостоянию к свободе экономической деятельности и т. Вольным экономическим...
34582. ФОРМИРОВАНИЕ ТЕРРИТОРИИ РОССИЙСКОГО ГОСУДАРСТВА. ОБРАЗОВАНИЕ ИМПЕРИИ (XV – XIX вв.) 19.54 KB
  В процессе формирования территории России можно выделить 3 этапа. Заявление Ивана III что вся территория Киевской Руси его отчина привело к многовековой борьбе России с Польшей за западнорусские земли Киевской Руси. Таким образом вся Волга была включена в состав России. При царе Федоре Иоанновиче Борис Годунов дипломатическим путем возвратил России эту территорию.
34583. РЕФОРМЫ НАЧАЛА XIX в.: ПЛАНЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ. М.М. СПЕРАНСКИЙ 18.68 KB
  Император Павел I был убит заговорщиками в числе которых состоял его сын Александр. Время правления Александра I 1801–1825 гг. С идеями французских просветителей он был знаком благодаря швейцарцу Лагарпу учителю Александра I к которому император обращался за советом. Заручившись поддержкой гвардии Александр отверг предложенные заговорщиками проекты ограничивающие самодержавие конституцией.
34584. ВНУТРЕННЯЯ И ВНЕШНЯЯ ПОЛИТИКА РОССИИ В 1825 –1855 гг 19.62 KB
  ВНУТРЕННЯЯ И ВНЕШНЯЯ ПОЛИТИКА РОССИИ В 1825 –1855 гг. В то время как в большинстве западных государств политический строй принимал новые конституционные формы в России происходило укрепление крайних форм самодержавия. Она противопоставляла самобытную Россию растленному Западу восхваляя существующие в России порядки. армия чиновников в России составляла 100 тыс.
34585. ОТМЕНА КРЕПОСТНОГО ПРАВА РЕФОРМЫ 60–70-х гг. XIX в 19.71 KB
  отчетливо обозначилось отставание социальноэкономического политического технического развития России от европейских государств. Это проявилось в отмене прежних указов наиболее очевидно нарушающих права граждан России уничтожение поселений разрешение свободной выдачи заграничных паспортов ослабление цензуры снятие запретов введенных в университетах после 1848 г. Самой болезненной проблемой страны было крепостное право большинство подданных России находились как бы в неестественном правовом положении. Социальные волнения охватили...
34586. ОТКРЫТИЕ И ОСВОЕНИЕ ДАЛЬНЕГО ВОСТОКА (XVII – XIX вв.) 21.97 KB
  По берегам Амура и Зеи было построено более 20 русских поселений: острожков заимок деревень. и русские ушли с берегов Амура. Но Крузенштерн не нашел фарватеры ведшие в устье Амура и дал заключение о полуостровном положении Сахалина. Поэтому почти каждому командиру русского корабля вменялось по инструкции в обязанность исследовать лиман Амура.
34587. РАЗВИТИЕ КАПИТАЛИЗМА В РОССИИ в XIX– начале XX в. КЛАССОВАЯ СТРУКТУРА ОБЩЕСТВА 21.18 KB
  РАЗВИТИЕ КАПИТАЛИЗМА В РОССИИ в XIX– начале XX в. Сегодня идут споры об уровне зрелости капитализма в России накануне революционных событий 1917 года. Для развития капитализма в России были характерны не только быстрые темпы сжатые сроки но и иная последовательность аграрнокапиталистического и промышленного переворотов. Если в развитых странах Европы железнодорожное строительство явилось результатом промышленного переворота то в России массированное строительство железных дорог явилось мощным стимулом для капиталистической эволюции всего...