67595

Понятие алгебры. Фундаментальные алгебры

Лекция

Математика и математический анализ

Алгеброй называется совокупность MS множества M с заданными в нем операциями где множество M носитель S сигнатура алгебры. Алгебра называется полем действительных чисел. Алгебра вида называется группоидом индекс 2 здесь означает местность операции.

Русский

2014-09-12

113 KB

7 чел.

Понятие алгебры. Фундаментальные алгебры.

Литература : см. тему "Множества" и дополнительно:

1. Бронштейн Е.М. Математические этюды. Учебное пособие. Уфа: УРЭК. 1997. 64 с.

2. Горбатов В.А. Основы дискретной математики. Учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа. 1986. 311 с.

Определение. Алгеброй A называется совокупность <M,S> множества M с заданными в нем операциями

,

где множество M - носитель, S - сигнатура алгебры.

Обозначение .

Примеры. 

1. Алгебра  называется полем действительных чисел.

На множестве целых чисел определены операции сложения и умножения по модулю n (остатки от деления на n).

M - множество подмножеств универсума U (множество-степень или булеан). К основным операциям, определенным на нем, отнесем объединение и дополнение (пересечение определяется с помощью этих двух операций ).

Определение. Алгебра вида  называется группоидом (индекс 2 здесь означает местность операции.

Если f2 операция типа умножения (), то группоид называют мультипликативным, если f2 операция типа сложения (+), то аддитивным.

Обозначим f2 как . Тогда элемент eM называется правым нейтральным элементом группоида A, если mM  . Элемент eM группоида  называется левым нейтральным элементом, если mM  . Если элемент является одновременно левым и правым нейтральным элементом, то его называют двусторонним нейтральным элементом или просто нейтральным элементом.

Утверждение. Группоид не может иметь более одного нейтрального элемента.

Действительно, если

mM    и  ,

то ,      .

Если группоид мультипликативный, то нейтральный элемент называется единицей (1), если аддитивный, то нейтральный элемент называется нулем (0).

Группоид , сигнатура которого удовлетворяет закону коммутативности

(x,yM   xy=yx),

называется коммутативным или абелевым.

Группоид, в котором выполняется закон ассоциативности

(x,y,zM   x(yz)=(xy)z,

называется ассоциативным или полугруппой.

Полугруппа с единицей называется моноидом.

Полугруппа , в которой выполнимы обратные операции:

(a,bM каждое из уравнений ax=b, ya=b обладает единственным решением), называется группой.

Группа, в которой операция коммутативна, называется абелевой.

Группа, все элементы которой являются степенями одного элемента a (для аддитивной группы - произведением ka), называется циклической. Циклическая группа всегда абелева.

Примеры.

1. Множество рациональных чисел, не содержащее нуля, с операцией умножения является абелевой группой.

2. Множество целых чисел с операцией сложения является абелевой циклической группой. Роль единицы играет 0, обратным к a является элемент -a.

3. Множество невырожденных квадратных матриц порядка n с операцией умножения является некоммутативной группой.

Определение. Алгебра , которая по умножению является мультипликативным группоидом, по сложению - абелевой группой, причем умножение связано со сложением законами дистрибутивности

,

,

называется кольцом. Кольцо, в котором все отличные от нуля элементы составляют группу по умножению, называется телом. Тело, у которого мультипликативная группа абелева (коммутативна), называется полем.

Изоморфизм групп

В любом разделе математики одним из важнейших является вопрос, какие из рассматриваемых объектов считаются равными.

Определение. Две группы  и  называются изоморфными, если между множествами M и M' можно установить взаимно однозначное соответствие  такое, что , где a и b - произвольные элементы множества M.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

33948. Статистические ряды распределения. Определение, элементы и виды ряда распределения 13.31 KB
  Статистические ряды распределения. Определение элементы и виды ряда распределения. Ряд распределения упорядоченное распределение ед. Если за основу группировки взят качественный признак то такой ряд распределения называют атрибутивным распределение по видам труда по полу по профессии по религиозному признаку национальной принадлежности и т.
33949. Алгоритм группировки с равными интервалами 11.61 KB
  2 Определяется величина интервала: I = xmx – xmin n где xmx – максимальное значение признака исслед.совокупности; xmin – минимальное значение признака в стат. 3 Определяются границы каждого интервала: для первого интервала: от xmin до xmini для второго интервала: от xmini до xmin2i для nго интервала: от xminin1 до xmx 4 Подсчитывают число единиц попавших в интервал.
33950. Сущность статистического показателя, его атрибуты. Классификация статистических показателей 13.1 KB
  По качественной стороне выделяют: Показатели свойств конкретных объектов – их особенность состоит в том что их качественное содержание определяется предметной наукой. Показатели статистических свойств могут быть определены для любых массовых процессов и явлений. К таким показателям относят: средние величины показатели вариаций показатели связей. В этом отношении все показатели подразделяются на: абсолютные отражают физические размеры изучаемых статистических явлений или процессов а именно:их массу площадь объем протяженность ит.
33951. Абсолютные показатели 11.52 KB
  Абсолютные показатели могут быть только именованными числами где единица измерения выражается в конкретных цифрах. В зависимости от сущности исследуемого явления и поставленных задач единицы измерения могут быть натуральными условнонатуральными стоимостными и трудовыми. Натуральные единицы измерения соответствуют потребительским или природным свойствам товара или предмета и оцениваются в физических мерах массы длины объема килограмм тонна метр и т. Стоимостные единицы измерения оценивают социальноэкономические процессы и явления в...
33952. Относительные показатели 12.11 KB
  Относительные величины используемые в статистической практике: относительная величина структуры; относительная величина координации; относительная величина планового задания; относительная величина выполнения плана; относительная величина динамики; относительная величина сравнения; относительная величина интенсивности.
33953. Определение и формы выражения относительных показателей 11.17 KB
  Определение и формы выражения относительных показателей Относительные показатели представляют собой результат деления одного абсолютного показателя на другой и выражают соотношение между количественными характеристиками соц. Поэтому по отношению к абсолютным показателям относительные показатели являются производными вторичными. составляют относительные величины интенсивности.
33954. ДИВЕРТИКУЛ МЕККЕЛЯ 22 KB
  его стенка содержит все слои кишки. Клиническая картина В 95 случаев протекает бессимптомно Клиническая картина возникает при присоединении осложнений У детей возникает пептическое изъязвление близлежащей слизистой оболочки подвздошной кишки что нередко является причиной массивного кишечного кровотечения У взрослых Острый дивертикулит. Если в ходе операции обнаружен интактный червеобразный отросток необходима ревизия подвздошной кишки примерно на протяжении 100 см от илеоцекального угла Непроходимость кишечника вследствие...
33956. Механическая кишечная непроходимость. Классификация. Этиология. Патогенез. Клиника. Дифдиагноз и лечение. Причины смерти при механической непроходимости 46.5 KB
  Причины смерти при механической непроходимости. К сочетанной механической непроходимости кишечника относят инвагинацию внедрение одной кишки в другую. При этом подчеркивается только этиологический момент возникновения непроходимости наличие спаек в брюшной полости которые могут быть результатом хирургических вмешательств или воспалительных заболеваний органов брюшной полости. При острой обтурационной непроходимости в кишках выше места препятствия начинают скапливаться...