67595

Понятие алгебры. Фундаментальные алгебры

Лекция

Математика и математический анализ

Алгеброй называется совокупность MS множества M с заданными в нем операциями где множество M носитель S сигнатура алгебры. Алгебра называется полем действительных чисел. Алгебра вида называется группоидом индекс 2 здесь означает местность операции.

Русский

2014-09-12

113 KB

7 чел.

Понятие алгебры. Фундаментальные алгебры.

Литература : см. тему "Множества" и дополнительно:

1. Бронштейн Е.М. Математические этюды. Учебное пособие. Уфа: УРЭК. 1997. 64 с.

2. Горбатов В.А. Основы дискретной математики. Учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа. 1986. 311 с.

Определение. Алгеброй A называется совокупность <M,S> множества M с заданными в нем операциями

,

где множество M - носитель, S - сигнатура алгебры.

Обозначение .

Примеры. 

1. Алгебра  называется полем действительных чисел.

На множестве целых чисел определены операции сложения и умножения по модулю n (остатки от деления на n).

M - множество подмножеств универсума U (множество-степень или булеан). К основным операциям, определенным на нем, отнесем объединение и дополнение (пересечение определяется с помощью этих двух операций ).

Определение. Алгебра вида  называется группоидом (индекс 2 здесь означает местность операции.

Если f2 операция типа умножения (), то группоид называют мультипликативным, если f2 операция типа сложения (+), то аддитивным.

Обозначим f2 как . Тогда элемент eM называется правым нейтральным элементом группоида A, если mM  . Элемент eM группоида  называется левым нейтральным элементом, если mM  . Если элемент является одновременно левым и правым нейтральным элементом, то его называют двусторонним нейтральным элементом или просто нейтральным элементом.

Утверждение. Группоид не может иметь более одного нейтрального элемента.

Действительно, если

mM    и  ,

то ,      .

Если группоид мультипликативный, то нейтральный элемент называется единицей (1), если аддитивный, то нейтральный элемент называется нулем (0).

Группоид , сигнатура которого удовлетворяет закону коммутативности

(x,yM   xy=yx),

называется коммутативным или абелевым.

Группоид, в котором выполняется закон ассоциативности

(x,y,zM   x(yz)=(xy)z,

называется ассоциативным или полугруппой.

Полугруппа с единицей называется моноидом.

Полугруппа , в которой выполнимы обратные операции:

(a,bM каждое из уравнений ax=b, ya=b обладает единственным решением), называется группой.

Группа, в которой операция коммутативна, называется абелевой.

Группа, все элементы которой являются степенями одного элемента a (для аддитивной группы - произведением ka), называется циклической. Циклическая группа всегда абелева.

Примеры.

1. Множество рациональных чисел, не содержащее нуля, с операцией умножения является абелевой группой.

2. Множество целых чисел с операцией сложения является абелевой циклической группой. Роль единицы играет 0, обратным к a является элемент -a.

3. Множество невырожденных квадратных матриц порядка n с операцией умножения является некоммутативной группой.

Определение. Алгебра , которая по умножению является мультипликативным группоидом, по сложению - абелевой группой, причем умножение связано со сложением законами дистрибутивности

,

,

называется кольцом. Кольцо, в котором все отличные от нуля элементы составляют группу по умножению, называется телом. Тело, у которого мультипликативная группа абелева (коммутативна), называется полем.

Изоморфизм групп

В любом разделе математики одним из важнейших является вопрос, какие из рассматриваемых объектов считаются равными.

Определение. Две группы  и  называются изоморфными, если между множествами M и M' можно установить взаимно однозначное соответствие  такое, что , где a и b - произвольные элементы множества M.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

67106. Напевно диво-казка тут живе 1.03 MB
  Ключові компетентності (загальнопізнавальні цілі): розширити уявлення учнів про казку; вчити учнів слухати, читати, аналізувати зміст казок, глибоко відчувати казку, її добрих героїв, засуджувати жадібність, хитрість, жорстокість, зло, боротися з ними у повсякденному житті; знайомити учнів із казками, створеними однолітками...
67107. Казки про тварин 37.5 KB
  Мета: Ознайомити дітей з різноманіттям казок,в яких зустрічаються тварини. Розвивати у дітей активність, ініціативність, вміння висловлювати оцінювальні судження, адекватні моральні оцінки поведінки героїв казок. Виховувати у дітей шанобливе ставлення до тварин, спостережливість за їх життям.
67108. Народні казки 149 KB
  Мета. Формування ключових компетентностей: вміння вчитися – самоорганізовуватися до навчальної діяльності у взаємодії; загальнокультурної – дотримуватися норм мовленнєвої культури, зв'язно висловлюватися в контексті змісту; соціальної – проектувати стратегії своєї поведінки з урахуванням інтересів та потреб інших...
67109. Київ – столиця України 503.5 KB
  Повідомлення теми і мети уроку Сьогодні ми перевернемо деякі сторінки історії міста Києва познайомимось з історичними версіями назв районів міста його вулиць. Вивчення нового матеріалу Давайте разом перегорнемо сторінки історії утворення Києва столиці нашої країни. Над Подолом районом Києва висяться ще дві гори...
67110. Шкільна кімната Бойової Слави: історична краєзнавча освіта школярів 107.5 KB
  У той час в кожній учнівській групі виникли пошукові загони які розпочали збір експонатів для майбутньої Кімнати. І на зборах школи було прийнято рішення про відкриття кімнати Бойової Слави. Найменша організаційна ланка кімнати Бойової Слави відділ який має свою назву та обєднує дітей за інтересами.
67111. Папір. Види паперу. Загальне уявлення про виробництво паперу 32.5 KB
  Обладнання: таблиці із зображенням послідовності процесу виготовлення паперу дидактичний матеріал із видами паперу картон клей пензлик гофрований папір зразки роботи. Тут усіх вітають майстер Папірчик та його помічники. На уроці ви довідаєтесь яким буває папір та як його виготовляють створите аплікацію.
67112. Гриби – це користь чи отрута? 6.22 MB
  Розповісти учням про позитивні та негативні якості грибів. Навчити учнів правилам техніки безпеки при споживанні та зборі грибів. Засвоїти правила першої допомоги при отруєнні грибами. Розширити вміння учнів працювати в групах, працювати з додатковою літературою.
67113. Гумористично-розважальний захід 44 KB
  Але чи завжди ми прислухаємося до них ІІ ведучий: Сьогодні в нас є чудова нагода поспілкуватися триває тиждень української мови. І ведучий: А я хочу навести цікавий приклад. Може це й правильно ІІ ведучий: Отже нам приємно бачити всіх хто відгукнувся на наше запрошення.