67595

Понятие алгебры. Фундаментальные алгебры

Лекция

Математика и математический анализ

Алгеброй называется совокупность MS множества M с заданными в нем операциями где множество M носитель S сигнатура алгебры. Алгебра называется полем действительных чисел. Алгебра вида называется группоидом индекс 2 здесь означает местность операции.

Русский

2014-09-12

113 KB

7 чел.

Понятие алгебры. Фундаментальные алгебры.

Литература : см. тему "Множества" и дополнительно:

1. Бронштейн Е.М. Математические этюды. Учебное пособие. Уфа: УРЭК. 1997. 64 с.

2. Горбатов В.А. Основы дискретной математики. Учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа. 1986. 311 с.

Определение. Алгеброй A называется совокупность <M,S> множества M с заданными в нем операциями

,

где множество M - носитель, S - сигнатура алгебры.

Обозначение .

Примеры. 

1. Алгебра  называется полем действительных чисел.

На множестве целых чисел определены операции сложения и умножения по модулю n (остатки от деления на n).

M - множество подмножеств универсума U (множество-степень или булеан). К основным операциям, определенным на нем, отнесем объединение и дополнение (пересечение определяется с помощью этих двух операций ).

Определение. Алгебра вида  называется группоидом (индекс 2 здесь означает местность операции.

Если f2 операция типа умножения (), то группоид называют мультипликативным, если f2 операция типа сложения (+), то аддитивным.

Обозначим f2 как . Тогда элемент eM называется правым нейтральным элементом группоида A, если mM  . Элемент eM группоида  называется левым нейтральным элементом, если mM  . Если элемент является одновременно левым и правым нейтральным элементом, то его называют двусторонним нейтральным элементом или просто нейтральным элементом.

Утверждение. Группоид не может иметь более одного нейтрального элемента.

Действительно, если

mM    и  ,

то ,      .

Если группоид мультипликативный, то нейтральный элемент называется единицей (1), если аддитивный, то нейтральный элемент называется нулем (0).

Группоид , сигнатура которого удовлетворяет закону коммутативности

(x,yM   xy=yx),

называется коммутативным или абелевым.

Группоид, в котором выполняется закон ассоциативности

(x,y,zM   x(yz)=(xy)z,

называется ассоциативным или полугруппой.

Полугруппа с единицей называется моноидом.

Полугруппа , в которой выполнимы обратные операции:

(a,bM каждое из уравнений ax=b, ya=b обладает единственным решением), называется группой.

Группа, в которой операция коммутативна, называется абелевой.

Группа, все элементы которой являются степенями одного элемента a (для аддитивной группы - произведением ka), называется циклической. Циклическая группа всегда абелева.

Примеры.

1. Множество рациональных чисел, не содержащее нуля, с операцией умножения является абелевой группой.

2. Множество целых чисел с операцией сложения является абелевой циклической группой. Роль единицы играет 0, обратным к a является элемент -a.

3. Множество невырожденных квадратных матриц порядка n с операцией умножения является некоммутативной группой.

Определение. Алгебра , которая по умножению является мультипликативным группоидом, по сложению - абелевой группой, причем умножение связано со сложением законами дистрибутивности

,

,

называется кольцом. Кольцо, в котором все отличные от нуля элементы составляют группу по умножению, называется телом. Тело, у которого мультипликативная группа абелева (коммутативна), называется полем.

Изоморфизм групп

В любом разделе математики одним из важнейших является вопрос, какие из рассматриваемых объектов считаются равными.

Определение. Две группы  и  называются изоморфными, если между множествами M и M' можно установить взаимно однозначное соответствие  такое, что , где a и b - произвольные элементы множества M.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

51718. Защита населения от аварийных химически опасных веществ 2.73 MB
  Сокращения в тексте: АХОВ – аварийные химическиопасные вещества. Основные способы защиты населения от АХОВ – это: Оповещение населения; Использование средств индивидуальной защиты; Использование защитных сооружений убежищ; Временное укрытие населения в загерметизированных жилых и производственных зданиях помещениях; Заблаговременная эвакуация населения из зон возможного химического заражения АХОВ. Оповещение населения осуществляется путем включения на территории города населенного пункта электросирен и далее – передачи...
51719. Рассмотрим движение тела брошенного под углом к горизонту 121.5 KB
  Запишем уравнения зависимости скорости от времени в проекции на оси ox и oy: В верхней точке траектории тогда время полёта тела до верхней точки. В связи с тем что падение тела продолжается в течение того же времени что и подъём то полное время полёта определяется формулой: Запишем уравнения зависимости координат тела от времени для данного движения: Подставив в уравнение время полета найдём дальность полёта тела. Подставив в уравнение время полёта тела до верхней точки найдём максимальную высоту подъёма тела.
51721. Психолого-педагогические методики диагностики, проектирования, изучения и накопления передового опыта 78 KB
  Психологопедагогические методики диагностики проектирования изучения и накопления передового опыта. Понятие педагогического опыта его разновидности : ошибочный отстающий передовой массовый. Критерии передового педагогического опыта. Методы изучения передового педагогического опыта.
51724. Виступ на педраді вчителя початкових класів 26 KB
  Зважаючи на те що соціальний розвиток починається в дитинстві можна припустити що початкова школа забезпечує становлення особистості її інтелектуальний фізичний і соціальний розвиток. Сучасний етап розвитку освіти вимагає інноваційних процесів нових ідей та творчих пошуків забезпечення всебічного розвитку людини як особистості й найвищої цінності суспільства розвиток її талантів розумових і фізичних здібностей виховання високих моральних якостей. Реалізація акмеологічного підходу до розвитку особистості здійснюється ще в молодшому...
51726. Компьютерная грамотность как исходная цель введения курса ОИВТ в школу 33 KB
  План Организационный момент Постановка цели занятия и проверка домашнего задания Создание схемы к теории Подведение итогов занятия и задание на дом Тип занятия: комбинированный. Продолжительность занятия: 1 часа. 2004 Организационный момент приветствие учащихся проверка посещаемости Постановка цели занятия. Проверка домашнего задания желающие выходят к доске и рассказывают конспект несколько человек отвечают письменно Создание схемы Подведение итогов занятия и задание на дом повторить пройденные темы и быть...