67595

Понятие алгебры. Фундаментальные алгебры

Лекция

Математика и математический анализ

Алгеброй называется совокупность MS множества M с заданными в нем операциями где множество M носитель S сигнатура алгебры. Алгебра называется полем действительных чисел. Алгебра вида называется группоидом индекс 2 здесь означает местность операции.

Русский

2014-09-12

113 KB

11 чел.

Понятие алгебры. Фундаментальные алгебры.

Литература : см. тему "Множества" и дополнительно:

1. Бронштейн Е.М. Математические этюды. Учебное пособие. Уфа: УРЭК. 1997. 64 с.

2. Горбатов В.А. Основы дискретной математики. Учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа. 1986. 311 с.

Определение. Алгеброй A называется совокупность <M,S> множества M с заданными в нем операциями

,

где множество M - носитель, S - сигнатура алгебры.

Обозначение .

Примеры. 

1. Алгебра  называется полем действительных чисел.

На множестве целых чисел определены операции сложения и умножения по модулю n (остатки от деления на n).

M - множество подмножеств универсума U (множество-степень или булеан). К основным операциям, определенным на нем, отнесем объединение и дополнение (пересечение определяется с помощью этих двух операций ).

Определение. Алгебра вида  называется группоидом (индекс 2 здесь означает местность операции.

Если f2 операция типа умножения (), то группоид называют мультипликативным, если f2 операция типа сложения (+), то аддитивным.

Обозначим f2 как . Тогда элемент eM называется правым нейтральным элементом группоида A, если mM  . Элемент eM группоида  называется левым нейтральным элементом, если mM  . Если элемент является одновременно левым и правым нейтральным элементом, то его называют двусторонним нейтральным элементом или просто нейтральным элементом.

Утверждение. Группоид не может иметь более одного нейтрального элемента.

Действительно, если

mM    и  ,

то ,      .

Если группоид мультипликативный, то нейтральный элемент называется единицей (1), если аддитивный, то нейтральный элемент называется нулем (0).

Группоид , сигнатура которого удовлетворяет закону коммутативности

(x,yM   xy=yx),

называется коммутативным или абелевым.

Группоид, в котором выполняется закон ассоциативности

(x,y,zM   x(yz)=(xy)z,

называется ассоциативным или полугруппой.

Полугруппа с единицей называется моноидом.

Полугруппа , в которой выполнимы обратные операции:

(a,bM каждое из уравнений ax=b, ya=b обладает единственным решением), называется группой.

Группа, в которой операция коммутативна, называется абелевой.

Группа, все элементы которой являются степенями одного элемента a (для аддитивной группы - произведением ka), называется циклической. Циклическая группа всегда абелева.

Примеры.

1. Множество рациональных чисел, не содержащее нуля, с операцией умножения является абелевой группой.

2. Множество целых чисел с операцией сложения является абелевой циклической группой. Роль единицы играет 0, обратным к a является элемент -a.

3. Множество невырожденных квадратных матриц порядка n с операцией умножения является некоммутативной группой.

Определение. Алгебра , которая по умножению является мультипликативным группоидом, по сложению - абелевой группой, причем умножение связано со сложением законами дистрибутивности

,

,

называется кольцом. Кольцо, в котором все отличные от нуля элементы составляют группу по умножению, называется телом. Тело, у которого мультипликативная группа абелева (коммутативна), называется полем.

Изоморфизм групп

В любом разделе математики одним из важнейших является вопрос, какие из рассматриваемых объектов считаются равными.

Определение. Две группы  и  называются изоморфными, если между множествами M и M' можно установить взаимно однозначное соответствие  такое, что , где a и b - произвольные элементы множества M.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

19832. Модель даних, типи моделей даних 16 KB
  Основою бази даних є модель даних фіксована система понять і правил для представлення даних структури стану і динаміки проблемної області в базі даних. У різний час послідовне застосування одержували ієрархічна мережна і реляційна моделі даних. У наш час усе більшого
19833. Реляційна модель даних 15.18 KB
  Реляційна модель даних У реляційній моделі даних об'єкти і взаємозв'язки між ними представляються за допомогою таблиць. Взаємозв'язки також подаються як об'єкти. Кожна таблиця представляє один об'єкт і складається з рядків і стовпців. Таблиця повинна мати первинний ключ ...
19834. Источники права 14.7 KB
  Источники права Как и у других народов один из главных источников права у славян обычай. Обычаи или устойчивые правила поведения формируются уже на этапе догосударственного развития в условиях родоплеменных отношений. Возникновение Древнерусского государства ес
19835. Русская правда 16.61 KB
  Русская правда Русская Правда сохранилась в большом количестве свыше 110 списков XIIIXVIII вв. Все тексты Правды находятся в составе какихлибо сборников или летописей. По своим особенностям списки Правды могут быть разделены на три основных памятника: 1 Краткую 2 Прост
19836. Уголовное право по Русской правде 17.84 KB
  Уголовное право по Русской правде Уголовное право это основная часть судебника. Преступление Субъектами преступления были все физические лица включая холопов без возрастного ценза при наличии у них ясного сознания. Субъективная сторона преступления включала
19837. Суд и судопроизводство по Русской правде 21.69 KB
  Суд и судопроизводство по Русской правде Самостоятельных судебных органов нет суд производился представителями администрации. Высшей судебной инстанцией был великий князь. Князь поручал правосудие тиунам и своим отрокам. Чиновники которым надлежало решить у...
19838. Причины и предпосылки политической раздробленности 18.34 KB
  Причины и предпосылки политической раздробленности XII XIII вв. После смерти князя Ярослава 1054 вся территория Киевской Руси была разделена между его сыновьями. Постоянный рост членов княжеских династий и дробление земельных наделов между ними сопровождались пост...
19839. Правовое положение населения по Русской правде 20.98 KB
  Правовое положение населения по Русской правде В Киевской Руси можно выделить 3 основных социальных класса. 1. Представители привилегированного слоя: Бояре советники старшие дружинники князя; Княжьи мужи лица исполняющие важнейшие поручения князя близкие к н...
19840. Гражданское право по Русской Правде 19.3 KB
  Гражданское право по Русской Правде Гражданское право это вещное и семейное право. Разделов нет. Упоминается о праве собственности по отношению движимых вещей. Понятие недвижимости ещё нет земля принадлежит общине или всему роду боярскому родовая традиция.