67595

Понятие алгебры. Фундаментальные алгебры

Лекция

Математика и математический анализ

Алгеброй называется совокупность MS множества M с заданными в нем операциями где множество M носитель S сигнатура алгебры. Алгебра называется полем действительных чисел. Алгебра вида называется группоидом индекс 2 здесь означает местность операции.

Русский

2014-09-12

113 KB

9 чел.

Понятие алгебры. Фундаментальные алгебры.

Литература : см. тему "Множества" и дополнительно:

1. Бронштейн Е.М. Математические этюды. Учебное пособие. Уфа: УРЭК. 1997. 64 с.

2. Горбатов В.А. Основы дискретной математики. Учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа. 1986. 311 с.

Определение. Алгеброй A называется совокупность <M,S> множества M с заданными в нем операциями

,

где множество M - носитель, S - сигнатура алгебры.

Обозначение .

Примеры. 

1. Алгебра  называется полем действительных чисел.

На множестве целых чисел определены операции сложения и умножения по модулю n (остатки от деления на n).

M - множество подмножеств универсума U (множество-степень или булеан). К основным операциям, определенным на нем, отнесем объединение и дополнение (пересечение определяется с помощью этих двух операций ).

Определение. Алгебра вида  называется группоидом (индекс 2 здесь означает местность операции.

Если f2 операция типа умножения (), то группоид называют мультипликативным, если f2 операция типа сложения (+), то аддитивным.

Обозначим f2 как . Тогда элемент eM называется правым нейтральным элементом группоида A, если mM  . Элемент eM группоида  называется левым нейтральным элементом, если mM  . Если элемент является одновременно левым и правым нейтральным элементом, то его называют двусторонним нейтральным элементом или просто нейтральным элементом.

Утверждение. Группоид не может иметь более одного нейтрального элемента.

Действительно, если

mM    и  ,

то ,      .

Если группоид мультипликативный, то нейтральный элемент называется единицей (1), если аддитивный, то нейтральный элемент называется нулем (0).

Группоид , сигнатура которого удовлетворяет закону коммутативности

(x,yM   xy=yx),

называется коммутативным или абелевым.

Группоид, в котором выполняется закон ассоциативности

(x,y,zM   x(yz)=(xy)z,

называется ассоциативным или полугруппой.

Полугруппа с единицей называется моноидом.

Полугруппа , в которой выполнимы обратные операции:

(a,bM каждое из уравнений ax=b, ya=b обладает единственным решением), называется группой.

Группа, в которой операция коммутативна, называется абелевой.

Группа, все элементы которой являются степенями одного элемента a (для аддитивной группы - произведением ka), называется циклической. Циклическая группа всегда абелева.

Примеры.

1. Множество рациональных чисел, не содержащее нуля, с операцией умножения является абелевой группой.

2. Множество целых чисел с операцией сложения является абелевой циклической группой. Роль единицы играет 0, обратным к a является элемент -a.

3. Множество невырожденных квадратных матриц порядка n с операцией умножения является некоммутативной группой.

Определение. Алгебра , которая по умножению является мультипликативным группоидом, по сложению - абелевой группой, причем умножение связано со сложением законами дистрибутивности

,

,

называется кольцом. Кольцо, в котором все отличные от нуля элементы составляют группу по умножению, называется телом. Тело, у которого мультипликативная группа абелева (коммутативна), называется полем.

Изоморфизм групп

В любом разделе математики одним из важнейших является вопрос, какие из рассматриваемых объектов считаются равными.

Определение. Две группы  и  называются изоморфными, если между множествами M и M' можно установить взаимно однозначное соответствие  такое, что , где a и b - произвольные элементы множества M.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

66426. СТАНОВЛЕННЯ ТА РОЗВИТОК БДЖІЛЬНИЦТВА В УКРАЇНІ 372.5 KB
  Сучасна наука акцентує увагу до проблеми власного самопізнання, розглядаючи її як своєрідний ключ для розв’язання багатьох актуальних дослідницьких проблем. Реалізація потенціалу сільськогосподарської науки, її завдань та цілей, місця в загальній системі знань про закономірності...
66427. ЕФЕКТИВНІСТЬ ВИКОРИСТАННЯ ВИРОБНИЧОГО ПОТЕНЦІАЛУ ПІДПРИЄМСТВ ПЕРЕРОБНОЇ ПРОМИСЛОВОСТІ СИСТЕМИ АПК 269 KB
  Ефективність діяльності переробних підприємств в умовах ринкової конкуренції залежить в основному від якості формування та рівня використання виробничого потенціалу. Розвиток економіки регіону на довгострокову перспективу повязаний саме з цими...
66428. ОСОБЛИВОСТІ ПРАВОВОГО РЕГУЛЮВАННЯ ПРАЦІ СУДДІВ В УКРАЇНІ 159.5 KB
  Правове регулювання відносин найманої праці здійснюється зазвичай загальними нормами трудового законодавства України. Проте трудова діяльність окремих категорій працівників має суттєві особливості, що зумовлює наявність спеціальних норм щодо її регламентації.
66429. УПРАВЛІННЯ КОНКУРЕНТОСПРОМОЖНІСТЮ ПРОМИСЛОВОЇ ПРОДУКЦІЇ З УРАХУВАННЯМ ЕКОЛОГІЧНОЇ СКЛАДОВОЇ 474.5 KB
  Формування відкритої економіки, членство України в СОТ супроводжується не тільки позитивними, але і негативними явищами, серед яких слід відзначати жорсткі конкурентні умови, особливо для країн із застарілою технологією та виробництвом екологічно неякісної продукції.
66430. Внутрішні перенапруги в електричних мережах з ізольованою нейтраллю, їх обмеження та основи моделювання 4.68 MB
  Головним призначенням систем пересилання, розподілу та споживання електроенергії є ефективне забезпечення потреб національного господарства в енергії відповідної якості за мінімальних витрат і достатньому рівні надійності. Принципи побудови, розвитку сучасних і перспективних систем енергопостачання...
66431. Особенности корректировки таможенной стоимости товаров 203.5 KB
  Необходимо проанализировать изменения, связанные с образованием Таможенного союза; Выявить принципиально новые особенности Таможенного кодекса Таможенного союза; Рассмотреть что такое таможенная стоимость товаров, как она контролируется и в связи, с чем может корректироваться.
66432. Некоторые вопросы практики вексельного обращения 116.82 KB
  Наименование вексель включенное в самый текст документа и выраженное на том языке на котором этот документ составлен; простое и ничем не обусловленное предложение уплатить определенную сумму; 3 наименование того кто должен платить плательщика; указание срока платежа; указание места в котором должен быть совершен платеж; наименование того кому или приказу кого платеж должен быть совершен; указание...
66434. Акцизний збір в системі платежів в державний бюджет України 331 KB
  Необхідність збільшення податків і в той же час справедливого їх розподілу ставить державу перед складною дилемою: економічна ефективність чи справедливість? Оптимальне поєднання й урахування цих аспектів - неодмінна умова гармонійності податкової політики.