67595

Понятие алгебры. Фундаментальные алгебры

Лекция

Математика и математический анализ

Алгеброй называется совокупность MS множества M с заданными в нем операциями где множество M носитель S сигнатура алгебры. Алгебра называется полем действительных чисел. Алгебра вида называется группоидом индекс 2 здесь означает местность операции.

Русский

2014-09-12

113 KB

11 чел.

Понятие алгебры. Фундаментальные алгебры.

Литература : см. тему "Множества" и дополнительно:

1. Бронштейн Е.М. Математические этюды. Учебное пособие. Уфа: УРЭК. 1997. 64 с.

2. Горбатов В.А. Основы дискретной математики. Учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа. 1986. 311 с.

Определение. Алгеброй A называется совокупность <M,S> множества M с заданными в нем операциями

,

где множество M - носитель, S - сигнатура алгебры.

Обозначение .

Примеры. 

1. Алгебра  называется полем действительных чисел.

На множестве целых чисел определены операции сложения и умножения по модулю n (остатки от деления на n).

M - множество подмножеств универсума U (множество-степень или булеан). К основным операциям, определенным на нем, отнесем объединение и дополнение (пересечение определяется с помощью этих двух операций ).

Определение. Алгебра вида  называется группоидом (индекс 2 здесь означает местность операции.

Если f2 операция типа умножения (), то группоид называют мультипликативным, если f2 операция типа сложения (+), то аддитивным.

Обозначим f2 как . Тогда элемент eM называется правым нейтральным элементом группоида A, если mM  . Элемент eM группоида  называется левым нейтральным элементом, если mM  . Если элемент является одновременно левым и правым нейтральным элементом, то его называют двусторонним нейтральным элементом или просто нейтральным элементом.

Утверждение. Группоид не может иметь более одного нейтрального элемента.

Действительно, если

mM    и  ,

то ,      .

Если группоид мультипликативный, то нейтральный элемент называется единицей (1), если аддитивный, то нейтральный элемент называется нулем (0).

Группоид , сигнатура которого удовлетворяет закону коммутативности

(x,yM   xy=yx),

называется коммутативным или абелевым.

Группоид, в котором выполняется закон ассоциативности

(x,y,zM   x(yz)=(xy)z,

называется ассоциативным или полугруппой.

Полугруппа с единицей называется моноидом.

Полугруппа , в которой выполнимы обратные операции:

(a,bM каждое из уравнений ax=b, ya=b обладает единственным решением), называется группой.

Группа, в которой операция коммутативна, называется абелевой.

Группа, все элементы которой являются степенями одного элемента a (для аддитивной группы - произведением ka), называется циклической. Циклическая группа всегда абелева.

Примеры.

1. Множество рациональных чисел, не содержащее нуля, с операцией умножения является абелевой группой.

2. Множество целых чисел с операцией сложения является абелевой циклической группой. Роль единицы играет 0, обратным к a является элемент -a.

3. Множество невырожденных квадратных матриц порядка n с операцией умножения является некоммутативной группой.

Определение. Алгебра , которая по умножению является мультипликативным группоидом, по сложению - абелевой группой, причем умножение связано со сложением законами дистрибутивности

,

,

называется кольцом. Кольцо, в котором все отличные от нуля элементы составляют группу по умножению, называется телом. Тело, у которого мультипликативная группа абелева (коммутативна), называется полем.

Изоморфизм групп

В любом разделе математики одним из важнейших является вопрос, какие из рассматриваемых объектов считаются равными.

Определение. Две группы  и  называются изоморфными, если между множествами M и M' можно установить взаимно однозначное соответствие  такое, что , где a и b - произвольные элементы множества M.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

25680. Ткань 34 KB
  Эпителиальная ткань образует кожные покровы и выстилает изнутри полые внутренние органы выполняя защитную функцию функцию обмена веществ между организмом и внешней средой. Соединительная ткань состоит из клеток и неклеточного вещества с преобладанием последнего. В эту группу входят: собственно соединительная ткань костная жировая а также хрящ сухожилия связки кровь и лимфа. Хрящ состоит из разнообразных плотных волокон и клеток вместе с костной тканью придает прочность позвоночнику и другим частям скелета.
25681. Толстая кишка 38.5 KB
  Одной из функций толстой кишки является выделительная. Через слизистую оболочку этой кишки выделяется ряд веществ например кальций магний фосфаты соли тяжелых металлов и т. Эпителий ободочной кишки и тазовой части прямой кишки развивается из энтодермы. В кожной и промежуточной зонах анальной части прямой кишки эпителий имеет эктодермальное происхождение.
25682. Тонкая кишка 57.5 KB
  Клетки кишечного эпителия у 4недельного эмбриона не дифференцированы и характеризуются высокой пролиферативной активностью. В это время среди эндокриноцитов преобладают переходные клетки с недифференцированными гранулами выявляются ЕСклетки Gклетки и Sклетки. В плодном периоде преобладают ЕСклетки большинство из которых не сообщается с просветом крипт закрытый тип; в более позднем плодном периоде появляется открытый тип клеток. Крипты содержат камбиальные элементы эпителия и дифференцирующиеся из них клетки.
25683. солевом обмене веществ. 44.5 KB
  Кроме того эти ткани принимают участие в водносолевом обмене веществ. Хрящевые ткани входят в состав органов дыхательной системы суставов межпозвоночных дисков и др. В свежей хрящевой ткани содержится около 7080 воды 1015 органических веществ и 47 солей.
25684. Эмбриогенез 239.5 KB
  Вместе с тем появляются особенности отличающие развитие человека от развития других представителей позвоночных. Процесс внутриутробного развития зародыша человека продолжается в среднем 280сут 10 лунных месяцев. Эмбриональное развитие человека принято делить на 3 периода: начальный 1я неделя зародышевый 2 8я неделя плодный с 9й недели развития до рождения ребенка.
25685. Эпителиальные ткани. Поверхностные эпителии 36 KB
  Питание эпителиоцитов осуществляется диффузно через базальную мембрану со стороны подлежащей соединительной ткани с которой эпителий находится в тесном взаимодействии. В соответствии с формой клеток составляющих однослойный эпителий последние подразделяются на плоские сквамозные кубические и призматические столбчатые. 1Однослойный эпителий может быть однорядным и многорядным. Такой эпителий называют еще изоморфным.
25686. Яички 60 KB
  В постнатальном периоде в семенных канальцах гоноциты размножаются а эпителий половых шнуров сохраняется в качестве поддерживающих клеток. Базальный слой внутренний волокнистый слой расположенный между двумя базальными мембранами сперматогенного эпителия и миоидных клеток состоит из сети коллагеновых волокон. Непосредственно к миоидному слою примыкает неклеточный слой образованный базальной мембраной миоидных клеток и коллагеновыми волокнами. За ними расположен слой состоящий из фибробластоподобных клеток прилежащий к базальной...
25687. Яичники 58.5 KB
  Около половины овогоний с 3го месяца развития начинает дифференцироваться в овоцит первого порядка период малого роста находящийся в профазе мейоза. К моменту рождения число овогоний прогрессивно уменьшается и составляет около 45 большая часть клеток подвергается атрезии основные клетки представляют собой вступившие в период роста овоциты 1го порядка. 2 стадия период роста протекает в функционирующем яичнике и состоит в превращении овоцита 1го порядка первичного фолликула в овоцит 1го порядка в зрелом фолликуле. 3 стадия ...
25688. Мужские половые клетки 40 KB
  Скорость их движения у человека 3050мкм с Целенаправленному движению способствуют хемотаксис движение к химическому раздражителю или от него и реотаксис движение против тока жидкости. Мужские половые клетки человека сперматозоиды или спермии длиной 70мкм имеют головку и хвост. В ядре сперматозоида человека содержится 23 хромосомы одна из которых является половой X или У остальные аутосомами.