67595

Понятие алгебры. Фундаментальные алгебры

Лекция

Математика и математический анализ

Алгеброй называется совокупность MS множества M с заданными в нем операциями где множество M носитель S сигнатура алгебры. Алгебра называется полем действительных чисел. Алгебра вида называется группоидом индекс 2 здесь означает местность операции.

Русский

2014-09-12

113 KB

8 чел.

Понятие алгебры. Фундаментальные алгебры.

Литература : см. тему "Множества" и дополнительно:

1. Бронштейн Е.М. Математические этюды. Учебное пособие. Уфа: УРЭК. 1997. 64 с.

2. Горбатов В.А. Основы дискретной математики. Учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа. 1986. 311 с.

Определение. Алгеброй A называется совокупность <M,S> множества M с заданными в нем операциями

,

где множество M - носитель, S - сигнатура алгебры.

Обозначение .

Примеры. 

1. Алгебра  называется полем действительных чисел.

На множестве целых чисел определены операции сложения и умножения по модулю n (остатки от деления на n).

M - множество подмножеств универсума U (множество-степень или булеан). К основным операциям, определенным на нем, отнесем объединение и дополнение (пересечение определяется с помощью этих двух операций ).

Определение. Алгебра вида  называется группоидом (индекс 2 здесь означает местность операции.

Если f2 операция типа умножения (), то группоид называют мультипликативным, если f2 операция типа сложения (+), то аддитивным.

Обозначим f2 как . Тогда элемент eM называется правым нейтральным элементом группоида A, если mM  . Элемент eM группоида  называется левым нейтральным элементом, если mM  . Если элемент является одновременно левым и правым нейтральным элементом, то его называют двусторонним нейтральным элементом или просто нейтральным элементом.

Утверждение. Группоид не может иметь более одного нейтрального элемента.

Действительно, если

mM    и  ,

то ,      .

Если группоид мультипликативный, то нейтральный элемент называется единицей (1), если аддитивный, то нейтральный элемент называется нулем (0).

Группоид , сигнатура которого удовлетворяет закону коммутативности

(x,yM   xy=yx),

называется коммутативным или абелевым.

Группоид, в котором выполняется закон ассоциативности

(x,y,zM   x(yz)=(xy)z,

называется ассоциативным или полугруппой.

Полугруппа с единицей называется моноидом.

Полугруппа , в которой выполнимы обратные операции:

(a,bM каждое из уравнений ax=b, ya=b обладает единственным решением), называется группой.

Группа, в которой операция коммутативна, называется абелевой.

Группа, все элементы которой являются степенями одного элемента a (для аддитивной группы - произведением ka), называется циклической. Циклическая группа всегда абелева.

Примеры.

1. Множество рациональных чисел, не содержащее нуля, с операцией умножения является абелевой группой.

2. Множество целых чисел с операцией сложения является абелевой циклической группой. Роль единицы играет 0, обратным к a является элемент -a.

3. Множество невырожденных квадратных матриц порядка n с операцией умножения является некоммутативной группой.

Определение. Алгебра , которая по умножению является мультипликативным группоидом, по сложению - абелевой группой, причем умножение связано со сложением законами дистрибутивности

,

,

называется кольцом. Кольцо, в котором все отличные от нуля элементы составляют группу по умножению, называется телом. Тело, у которого мультипликативная группа абелева (коммутативна), называется полем.

Изоморфизм групп

В любом разделе математики одним из важнейших является вопрос, какие из рассматриваемых объектов считаются равными.

Определение. Две группы  и  называются изоморфными, если между множествами M и M' можно установить взаимно однозначное соответствие  такое, что , где a и b - произвольные элементы множества M.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

4255. Аппарат для получения стали из расплавленного чугуна 1.52 MB
  Конвертер Конвертер (англ. converter, от лат. converto — изменяю, превращаю), аппарат для получения стали из расплавленного чугуна продувкой его воздухом или кислородом, а также для получения черновой меди или файнштейна продувкой воздуха через...
4256. Сборник заданий по программированию. Учебное пособие 748.5 KB
  Введение Предлагаемые в сборнике задачи сгруппированы по следующим темам: программирование линейных, разветвляющихся, циклических алгоритмов программирование алгоритмов, вычисляющих сумму, количество значений функции вычисление минимального,...
4257. Краткие сведения о программировании процедур работы с устройствами ввода-вывода 37.5 KB
  Краткие сведения о программировании процедур работы с устройствами ввода-вывода Процедуры ввода-вывода в ПК выполняются, как правило, по прерываниям. Состав и использование основных видов прерываний и служебных функций DOS прерывания 21Н Программиро...
4258. Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплинам Алгоритмические языки и программирование 580.5 KB
  Введение Вычислительная техника в настоящее время широко применяется во всех областях человеческой деятельности. Существует устойчивая тенденция расширения круга решаемых ею проблем. В связи с этим возникает острая необходимость в подготовке специал...
4260. Программирование на языке ассемблера. Методические указания по выполнению лабораторных работ 472.5 KB
  Введение Современный специалист в области создания программного обеспечения для вычислительной техники и автоматизированных систем должен обладать достаточными знаниями по использованию средств вычислительной техники в организации и управлении проце...
4261. Изучение системных средств языка ассемблер 15.42 KB
  Изучение системных средств языка ассемблер Цель работы: научиться работать в среде программирования Ассемблера Выполнение работы: 1. Для вызова редактора нажать клавиши SHIFT + F4. В редакторе набрать текст программы и затем сохранить с расширением ...
4262. Парадигмы программирования 37.57 KB
  Парадигмы программирования Парадигма программирования — это система идей и понятий, определяющих стиль написания компьютерных программ, а также образ мышления программиста. Развитие парадигм программирования Знакомое нам из курса философии слов...
4263. Разница между CPU и GPU в параллельных расчётах 68.36 KB
  Разница между CPU и GPU в параллельных расчётах Рост частот универсальных процессоров упёрся в физические ограничения и высокое энергопотребление, и увеличение их производительности всё чаще происходит за счёт размещения нескольких ядер в одном чипе...