67596

Сравнение множеств

Лекция

Математика и математический анализ

Множества и B называются равномощными если между и B существует взаимно однозначное соответствие т. Доказательство Если количество элементов одинаково то перенумеруем их и установим взаимно однозначное соответствие Следовательно множества равномощны.

Русский

2014-09-12

136 KB

2 чел.

Лекция №5

Сравнение множеств

Литература:

1. Бронштейн Е.М. Множества и функции. Методические указания. Уфа: УГАТУ. 1988.

Определение. Множества A и B называются равномощными, если между A и B существует взаимно однозначное соответствие (т.е. биективное отображение ).

Утверждение. Отношение равномощности множеств является отношением эквивалентности.

Доказательство.

1) Рефлексивность можно установить, отображая множество само на себя с помощью функции f(x)=x. То есть |A|=|A|.

2) Симметричность. Если  взаимно однозначное соответствие, то и  - также взаимно однозначное соответствие.

3) Транзитивность . Т. е. |A|=|B|, |B|=|C| |A|=|C|.

Рассмотрим разные случаи.

Случай 1. A и B конечны.

Утверждение. В случае, когда A и B конечны (содержат конечное число элементов) A и B равномощны тогда и только тогда, когда количество элементов A = количеству элементов B.

Доказательство ||

a) Если количество элементов одинаково, то перенумеруем их и установим взаимно однозначное соответствие

     

Следовательно, множества равномощны.

б) Пусть множества A и B равномощны. Тогда существует взаимно однозначное соответствие между элементами A и B . Следовательно, их количество должно быть одинаковым.

Поэтому для конечных множеств A можно принять, что мощность |A|=количеству элементов A.

Случай 2. Бесконечные множества

Мощность целого может равняться мощности части. Рассмотрим множества

Можно установить () соответствие: . Следовательно, множества равномощны.

Определение. Говорят, что мощность множества A не превосходит мощности множества B (пишут ), если  множество .

В частности, если AB, то B1=A.

Определение. Говорят что A меньше B (  ), если:

1)

2)

Теорема. Отношение  на совокупности множеств есть отношение частичного порядка для мощностей множеств.

1) Рефлексивность .

2) Транзитивность .

Существуют подмножества B1B и C1C и отображения такие, что f:A B1, g:BC1. Тогда gf - соответствие между A и каким-то подмножеством C.

3) Антисимметричность  (без док-ва).

Теорема.   - отношения линейного порядка (без док-ва).

Теорема Кантора. Пусть N – множество натуральных чисел, A=[0,1] – отрезок действительной оси. Тогда N<A.

Доказательство.

1) Во-первых,, поскольку подмножество множества A  очевидно, равномощно N.

2) Неравенство  докажем от противного.

Допустим, N=A. Тогда   .

Любое число из A можно представить в виде бесконечной десятичной дроби

f(1)=a1=0,a11a12

f(2)=a2=0,a21a22

f(3)=a3=0,a31a32a33

………………..

f(n)=an=0,an1an2an3…ann

………………..

Построим число b=0,b1b2b3… следующим образом:

  b[0,1] и ban, поскольку b отличается от an в n-ном знаке.

Приходим к противоречию. Теорема доказана.

Счетные множества

Определение. Множество, равномощное множеству натуральных чисел  называется счетным.

Примеры.

{0, 1, 2, 3,…}

N = 1, 2, 3, 4, 5   A = 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3

Теоремы о счетных множествах

Теорема 1.  множество содержит счетное подмножество.

Док-во.

Выберем элемент a1A (A не пусто, так как оно бесконечно);

выберем элемент a2A\{a1} (A\{a1} не пусто, так как A бесконечно);

и т.д. В результате получим множество, каждому элементу которого сопоставлено натуральное число n.

Теорема 2.    подмножество B счетного множества A счетно.

Д-во.  Согласно Т1 из множества B можно выделить счетное C.

Тогда CBA. В силу определения мощности |C||B||A|. Так как A и C – счетные, то |A|=|C|. Т. е. |A||B||A|. Отсюда следует, что |B|=|A|.

Тем самым, счетное множество равномощно своей части.

Т-ма 3. Объединение конечного или счетного семейства счетных множеств – есть счетное множество.

Доказательство. Пусть  

A1={a11,a12,…},

A2={a21,a22,…},

A3={a31,a32,a33,…},

………………..

An={an1,an2,an3,…,ann,…},

………………..

Расположим элементы A в следующем порядке

a11,a12,a21,a31,a22, a13,a14,a23,a32,a41,…

Тем самым, получили взаимно однозначное отображение N на A.

Если в множествах A1, A2, A3,… есть общие элементы, то их объединение A есть подмножество рассмотренной выше последовательности. Но согласно теореме 2 оно счетно.

Следствие 1. Если A и B счетные, то A x B – счетное.

Следствие 2. множество рациональных чисел – счетное

1

2

3

4

1

1/1

1/2

1/3

1/4

2

2/1

2/2

2/3

2/4

3

3/1

3/2

3/3

3/4

4

4/1

….

….

….

….

….

….

….

Следующая теорема позволяет утверждать, что не существует «самого большого» по мощности множества.

Теорема. Мощность булеана множества всегда больше мощности самого множества, т.е |M|<|B(M)|.

Доказательство.

Так как MB(M), то |M||B(M)|.

Допустим, что |M|=|B(M)|. Значит,   соответствие f:MB(M), т.е. каждому эл-ту xM поставлено в соответствие некоторое множество {xi1, xi2,…}=f(x). Возможны ситуации, когда xf(x) и когда xf(x).

Выделим множество P={x | xf(x)}. Тогда эл-т yM такой, что f(y)=P (поскольку соответствие f:MB(M), между эл-тами x и подмнож-вами , а B(M)- булеан, то каждому подмн-ву в том числе и P поставлен в соответствие некоторый эл-т yM).   

Приведем это заключение к противоречию. Возможны два случая: либо yP, либо yP.  

Пусть yP. Тогда по определению P yP. Противоречие.

Пусть yP. Поскольку в P входят все эл-ты xf(x), то yP. Опять противоречие.

Теорема доказана.

Теорема. Мощность булеана (множества-степени) счетного множества = мощности континуума: |P(N)|=| [0,1] |.

Доказательство.

Пусть 0,010…1… – запись любого числа из A=[0,1] в 2ой системе счисления.

Сопоставим этому числу подмножество N, состоящее из чисел, равных номерам разрядов, в которых записана единица. Этим устанавливается взаимно однозначное соответствие между B(N) и [0,1].

Примеры. 

Установить равномощность или неравномощность множеств

1) A = [0,1], B [1,2]

    x  A          y  B y = x + 1

2) A = [0,1], B = [0,2] y = 2x

3) A = [0,1], B = [a,b] y = a + x ( b – a )

4) A = [0,1), B = [1,  ) y =

5) A = [0,1], B = [0,1)  y=x, x2-(n-1); y=2-(n-1)/2, x=2-(n-1), n=1,2,3,…


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

49655. ЧЕЛОВЕК КАК ЛИЧНОСТЬ 173 KB
  Проблема личности есть основная проблема экзистенциальной философии. Я говорю «я» раньше, чем сознал себя личностью. «Я» первично и недифференцированно, оно не предполагает учения о личности. «Я» есть изначальная данность, личность же есть заданность. Я должен реализовать в себе личность, и эта реализация есть неустанная борьба
49656. В.А.Ющенко як менеджер 124.5 KB
  Проект майбутнього України В. Зміни в організаційних повноваженнях і Соціальний договір як крок до формування стратегії для України. Ющенка як керівникастратега та перспективи України за його переконаннями і внутрішніми принципами.
49658. Діяльність Факультету соціології і права з позиції концепції життєвих циклів 222.58 KB
  Концепція життєвих циклів організації теоретичний аспект Основні положення концепції життєвих циклів організації її етапи та характерні ознаки. Моделі ЖЦ організації та їх порівняльний аналіз Аналіз діяльності ФСП НТУУ КПІ з позицій концепції ЖЦ організації
49659. Аналіз діяльності ФСП НТУУ КПІ з позиції концепції управління за цілями 275.5 KB
  Концепція управління за цілями (MBO – management by objectives) є однією з найбільш широко розповсюджених у реальному застосуванні способів встановлення цілей та оцінки діяльності керівників. В рамках теорії управління за цілями, діяльність по формуванню і встановленню системи цілей і роботи з ними розглядається як головна задача менеджера
49660. РОЗРОБКА АВТОМАТИЧНОГО ПРИСТРОЮ 1.24 MB
  Для розрахунку автоколивального мультивібратора нам необхідні такі значення (для серії К155), які можна знайти в методичних вказівках по компютерній електроніці (Компютерна електроніка - методичні вказівки, контрольні завдання та завдання на курсову роботу для студентів заочного факультету спеціальності7.091501 - Компютерні системи та мережі)...
49661. Определение общей площади территории городского поселения 280 KB
  Человек не расчлененный магистральными улицами и дорогами обеспеченный основными видами учреждений с и предприятий повседневного культурно-бытового обслуживания населения с радиусом не более 500 м; границами микрорайона являются магистральные или жилые улицы проезды пешеходные пути; жилой район структурный элемент селитебной территории площадью от 80 до 250 га в пределах которого размещаются учреждения и предприятия с радиусом обслуживания не более 1500 м а так же часть объектов городского значения; границами жилого района являются...
49662. Основы метрологии 3.47 MB
  В подвижных соединениях применяют только посадки с зазором в неподвижных все три типа посадок. В ЕСДП рекомендуются к применению посадки образованные либо в системе отверстия либо в системе вала. Аналогично образуются посадки в системе вала. Любая посадка определяется следующими числовыми характеристиками: наибольшими и наименьшими предельными величинами зазоров Smx Smin или натягов Nmx Nmin средним зазором Sm или натягом Nm допуском посадки TS или TN доверительным допуском посадки TSP или TNP с доверительной вероятностью...