67596

Сравнение множеств

Лекция

Математика и математический анализ

Множества и B называются равномощными если между и B существует взаимно однозначное соответствие т. Доказательство Если количество элементов одинаково то перенумеруем их и установим взаимно однозначное соответствие Следовательно множества равномощны.

Русский

2014-09-12

136 KB

2 чел.

Лекция №5

Сравнение множеств

Литература:

1. Бронштейн Е.М. Множества и функции. Методические указания. Уфа: УГАТУ. 1988.

Определение. Множества A и B называются равномощными, если между A и B существует взаимно однозначное соответствие (т.е. биективное отображение ).

Утверждение. Отношение равномощности множеств является отношением эквивалентности.

Доказательство.

1) Рефлексивность можно установить, отображая множество само на себя с помощью функции f(x)=x. То есть |A|=|A|.

2) Симметричность. Если  взаимно однозначное соответствие, то и  - также взаимно однозначное соответствие.

3) Транзитивность . Т. е. |A|=|B|, |B|=|C| |A|=|C|.

Рассмотрим разные случаи.

Случай 1. A и B конечны.

Утверждение. В случае, когда A и B конечны (содержат конечное число элементов) A и B равномощны тогда и только тогда, когда количество элементов A = количеству элементов B.

Доказательство ||

a) Если количество элементов одинаково, то перенумеруем их и установим взаимно однозначное соответствие

     

Следовательно, множества равномощны.

б) Пусть множества A и B равномощны. Тогда существует взаимно однозначное соответствие между элементами A и B . Следовательно, их количество должно быть одинаковым.

Поэтому для конечных множеств A можно принять, что мощность |A|=количеству элементов A.

Случай 2. Бесконечные множества

Мощность целого может равняться мощности части. Рассмотрим множества

Можно установить () соответствие: . Следовательно, множества равномощны.

Определение. Говорят, что мощность множества A не превосходит мощности множества B (пишут ), если  множество .

В частности, если AB, то B1=A.

Определение. Говорят что A меньше B (  ), если:

1)

2)

Теорема. Отношение  на совокупности множеств есть отношение частичного порядка для мощностей множеств.

1) Рефлексивность .

2) Транзитивность .

Существуют подмножества B1B и C1C и отображения такие, что f:A B1, g:BC1. Тогда gf - соответствие между A и каким-то подмножеством C.

3) Антисимметричность  (без док-ва).

Теорема.   - отношения линейного порядка (без док-ва).

Теорема Кантора. Пусть N – множество натуральных чисел, A=[0,1] – отрезок действительной оси. Тогда N<A.

Доказательство.

1) Во-первых,, поскольку подмножество множества A  очевидно, равномощно N.

2) Неравенство  докажем от противного.

Допустим, N=A. Тогда   .

Любое число из A можно представить в виде бесконечной десятичной дроби

f(1)=a1=0,a11a12

f(2)=a2=0,a21a22

f(3)=a3=0,a31a32a33

………………..

f(n)=an=0,an1an2an3…ann

………………..

Построим число b=0,b1b2b3… следующим образом:

  b[0,1] и ban, поскольку b отличается от an в n-ном знаке.

Приходим к противоречию. Теорема доказана.

Счетные множества

Определение. Множество, равномощное множеству натуральных чисел  называется счетным.

Примеры.

{0, 1, 2, 3,…}

N = 1, 2, 3, 4, 5   A = 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3

Теоремы о счетных множествах

Теорема 1.  множество содержит счетное подмножество.

Док-во.

Выберем элемент a1A (A не пусто, так как оно бесконечно);

выберем элемент a2A\{a1} (A\{a1} не пусто, так как A бесконечно);

и т.д. В результате получим множество, каждому элементу которого сопоставлено натуральное число n.

Теорема 2.    подмножество B счетного множества A счетно.

Д-во.  Согласно Т1 из множества B можно выделить счетное C.

Тогда CBA. В силу определения мощности |C||B||A|. Так как A и C – счетные, то |A|=|C|. Т. е. |A||B||A|. Отсюда следует, что |B|=|A|.

Тем самым, счетное множество равномощно своей части.

Т-ма 3. Объединение конечного или счетного семейства счетных множеств – есть счетное множество.

Доказательство. Пусть  

A1={a11,a12,…},

A2={a21,a22,…},

A3={a31,a32,a33,…},

………………..

An={an1,an2,an3,…,ann,…},

………………..

Расположим элементы A в следующем порядке

a11,a12,a21,a31,a22, a13,a14,a23,a32,a41,…

Тем самым, получили взаимно однозначное отображение N на A.

Если в множествах A1, A2, A3,… есть общие элементы, то их объединение A есть подмножество рассмотренной выше последовательности. Но согласно теореме 2 оно счетно.

Следствие 1. Если A и B счетные, то A x B – счетное.

Следствие 2. множество рациональных чисел – счетное

1

2

3

4

1

1/1

1/2

1/3

1/4

2

2/1

2/2

2/3

2/4

3

3/1

3/2

3/3

3/4

4

4/1

….

….

….

….

….

….

….

Следующая теорема позволяет утверждать, что не существует «самого большого» по мощности множества.

Теорема. Мощность булеана множества всегда больше мощности самого множества, т.е |M|<|B(M)|.

Доказательство.

Так как MB(M), то |M||B(M)|.

Допустим, что |M|=|B(M)|. Значит,   соответствие f:MB(M), т.е. каждому эл-ту xM поставлено в соответствие некоторое множество {xi1, xi2,…}=f(x). Возможны ситуации, когда xf(x) и когда xf(x).

Выделим множество P={x | xf(x)}. Тогда эл-т yM такой, что f(y)=P (поскольку соответствие f:MB(M), между эл-тами x и подмнож-вами , а B(M)- булеан, то каждому подмн-ву в том числе и P поставлен в соответствие некоторый эл-т yM).   

Приведем это заключение к противоречию. Возможны два случая: либо yP, либо yP.  

Пусть yP. Тогда по определению P yP. Противоречие.

Пусть yP. Поскольку в P входят все эл-ты xf(x), то yP. Опять противоречие.

Теорема доказана.

Теорема. Мощность булеана (множества-степени) счетного множества = мощности континуума: |P(N)|=| [0,1] |.

Доказательство.

Пусть 0,010…1… – запись любого числа из A=[0,1] в 2ой системе счисления.

Сопоставим этому числу подмножество N, состоящее из чисел, равных номерам разрядов, в которых записана единица. Этим устанавливается взаимно однозначное соответствие между B(N) и [0,1].

Примеры. 

Установить равномощность или неравномощность множеств

1) A = [0,1], B [1,2]

    x  A          y  B y = x + 1

2) A = [0,1], B = [0,2] y = 2x

3) A = [0,1], B = [a,b] y = a + x ( b – a )

4) A = [0,1), B = [1,  ) y =

5) A = [0,1], B = [0,1)  y=x, x2-(n-1); y=2-(n-1)/2, x=2-(n-1), n=1,2,3,…


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

1113. Импульсные диоды 38.5 KB
  Процессы в импульсном диоде. Работа импульсного диода. Материалы с высокой подвижностью носителей. Пример применения импульсного диода. Форма напряжения на нагрузочном сопротивлении.
1114. Использование варикапа 49.5 KB
  Основная характеристика варикапа и эквивалентная схема. Структура варикапа. Допустимое обратное напряжение.
1115. Туннельный диод 54 KB
  Энергетическая диаграмма вырожденного p-n перехода. Вольт-амперная характеристика туннельного диода. Генератор на туннельном диоде. Отрицательное динамическое сопротивление на падающем участке. Координаты точки пика и впадины.
1116. Применение варистора 36.5 KB
  Вольт-амперная характеристика варистора. Допустимая рассеиваемая мощность. Нелинейное полупроводниковое сопротивление. Множество хаотически расположенных p-n переходов.
1117. Полевые транзисторы 128.5 KB
  В полевых транзисторах применяется полевой принцип управления, малый уровень шумов, улучшение температурная стабильность параметров, повышение радиационной стойкости. Канал полевого транзистора. Стоковые (выходные) характеристики транзистора. Включение источников к полевому транзистору. Полевой транзистор Шоттки.
1118. Биполярные транзисторы 125.5 KB
  Принцип работы биполярного транзистора. Токи в транзисторе. Вольт–Амперные характеристики транзистора. Входные характеристики транзистора ОЭ. Эффект модуляции ширины базы. Выходные характеристики транзистора. Эквивалентная схема транзистора в h параметрах. Схема замещения транзистора в физических параметрах.
1119. Проблема температурной стабилизации транзисторов 348 KB
  Энергетическая диаграмма n полупроводника. Температурный дрейф выходной характеристики. Эмиттерная стабилизация режима. Коллекторная стабилизация режима. Характеристика терморезистора и его графическое обозначение. Термостабилизация режима терморезистором. Динамический режим работы транзисторов.
1120. Принципы использование тиристоров 108 KB
  Принцип действия тиристора. Полупроводниковые источники света. Светоизлучающие диоды. Механические колебания диодов кристаллической решетки. Характеристики СИД. Полупроводниковый лазер. Система зеркал – оптический резистор.
1121. Понятие микросхем. Основные сведение микроэлектроники 244.5 KB
  Микросхема в корпусе ДИП. Полупроводниковые интегральные микросхемы. Структура интегрального биполярного транзистора. Интегральные полевые транзисторы. Интегральные конденсаторы.