67598

Теория графов

Лекция

Математика и математический анализ

Понятия смежности инцидентности степени опр Если x={vw} ребро то v и w концы ребра x. опр Если x=vw дуга орграфа то v начало w конец дуги. опр Если вершина v является концом ребра x неориентированного графа началом или концом дуги x орграфа то v и x называются инцидентными.

Русский

2014-09-12

107.5 KB

2 чел.

Лекция №7

Теория графов

Рассмотрим чертеж вида

Обозначения и определения

V – множество точек – вершины;

X – множество линий – ребра;

Графом называется совокупность множеств вершин и ребер.

v - номер вершины;

{v,w} – обозначение ребра;

{v,v} – петли;

Одинаковые пары - параллельные или кратные ребра;

Кратностью ребер называют количество одинаковых пар.

Пример:             кратность = 3.

Если в графе есть петли и/или кратные ребра, то такой граф называют псевдографом.

Псевдограф без петель называется мультиграфом.

Мультиграф в котором ни одна пара не встречается более одного раза называется графом.

Если пары (v,w) являются упорядоченными, граф называется ориентированным (орграфом).

Ребра ориентированного графа называются дугами.

В неориентированном графе ребра обозначаются неупорядоченной парой - {v,w}.

В ориентированном графе дуги обозначаются упорядоченной парой - (v,w).

G, G0 - неориентированный граф, D, D0 – ориентированный.

Обозначают v,w  - вершины, x,y,z – дуги и ребра.

Пример

1) V={v1, v2, v3, v4},

X={x1=(v1,v2), x2=(v1,v2), x3=(v2,v2), x4=(v2,v3)}.

           

2) V={v1, v2, v3, v4, v5},

X={x1={v1,v2}, x2={v2,v3}, x3={v2,v4}, x4={v3,v4}}.

Понятия смежности, инцидентности, степени

опр || Если x={v,w} - ребро, то v и w - концы ребра x.

опр || Если x=(v,w) - дуга орграфа, то v - начало, w – конец дуги.

опр || Если вершина v является концом ребра x неориентированного графа (началом или концом дуги x орграфа), то v и x называются инцидентными.

опр || Вершины v, w называются смежными, если {v,w}X.

опр || Степенью вершины v графа G называется число (v) ребер графа G, инцидентных вершине v.

опр || Вершина графа, имеющая степень 0 называется изолированной, а степень 1 – висячей

замеч || В неориентированном псевдографе вклад каждой петли инцидентной вершине v в степень вершины v равен 2.

опр || Полустепенью исхода (захода) вершины v орграфа D называется число +(v) ((v)) дуг орграфа D, исходящих из v (заходящих в v).

Замечание || в случае ориентированного псевдографа вклад каждой петли инцидентной вершине v равен 1 как в +(v), так и в (v).

Обозначение: n(G), n(D) количество вершин графа, m(G) - количество ребер, m(D) - количество дуг.

Утверждение. Для каждого псевдографа G выполняется равенство

.

Для каждого ориентированного псевдографа

Изоморфизм, гомеоморфизм.

опр || Графы G1=(V1,X1), G2=(V2,X2) называются изоморфными, если  биективное (взаимно однозначное) отображение : V1V2, сохраняющее смежность, т.е.

{v,w}X1  {(v), (w)}X2 .

опр || Орграфы D1=(V1,X1) и D2=(V2,X2) называются изоморфными, если  биективное отображение : V1V2, такое, что

(v,w)X1  ((v), (w))X2 .

Замечание || Изоморфные графы и орграфы отличаются лишь обозначением вершин.

Свойства изоморфных графов:

1) Если  изоморфны и : V1V2 биективное отображение, сохраняющее смежность то:

а) vV1 (v)=((v)),

б)  - количество вершин,

- количество дуг.

Аналогично, если  изоморфны и : V1V2 биективное отображение, сохраняющее смежность то выполняется

а) vV1 +(v)=+((v)), (v)=((v))

б)

Замечание ||

Для псевдографов и мультиграфов нужно сохранять кратность ребер или дуг

Примеры

         

Два графа изоморфны

  не изоморфный первым двум, так как нет ребра между крайними вершинами.

Утверждение. Изоморфизм графов (орграфов) является отношением эквивалентности на множестве графов (орграфов).

опр || Операцией подразбиения дуги (u,v) в орграфе D=(V,X) называется операция, которая состоит в удалении из X дуги (u,v), добавлении к V новой вершины w и добавлении к X\{(u,v)}, двух дуг (u,w) и (w,v).

Аналогично для ребер графа.

опр || Орграф D2 называется подразбиением орграфа D1 если D2 получается из D1 путем последовательного применения операции подразбиения дуг.

Пример.

            

опр || Орграфы  (графы ) называются гомеоморфными, если  их подразбиения, которые являются изоморфными.

Определение. Если степени всех вершин графа = k, то граф наз. регулярным степени k.  (см. рис. выше).

Граф, состоящий из 1 вершины, называется тривиальным.

Двудольным называется граф G(V,X), такой, что множество вершин V разбито на 2 подмножества V1 и V2 (V1V2=V, V1V2=), причем каждое ребро инцидентно вершине из V1 и V2.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

10733. Инженерная геодезия. Геодезические разбивочные работы, исполнительные съемки и наблюдения за деформациями сооружений 3.44 MB
  Инженерная геодезия. Геодезические разбивочные работы исполнительные съемки и наблюдения за деформациями сооружений Учебное пособие Санкт-Петербург Издательство Политехнического университета 2007 Пособие соответствует государст...
10734. Административная ответственность кредитных организаций за нарушение законодательства о банках и банковской деятельности 2.26 MB
  Демьянец М.В. Административная ответственность кредитных организаций за нарушение законодательства о банках и банковской деятельности: Монография. М.: ЮРКОМПАНИ 2011. 208 с. Монография посвящена проблемам юридической ответственности кредитных организаций за наруше...
10735. СТАТИСТИКА Учебно-методическое пособие 1.01 MB
  Л. Г. Чичкан Г. Я. Житкевич СТАТИСТИКА Учебнометодическое пособие ВВЕДЕНИЕ В современном обществе статистика стала одним из важнейших инструментов управления народным хозяйством. Она собирает информацию характеризующую развитие экономики стран...
10736. Резиденты и не резиденты. Виды налоговых вычетов 63.72 KB
  1. Резиденты и не резиденты. Резидентами признаются: Согласно ст.207 НК РФ: п.2. Налоговыми резидентами признаются физические лица фактически находящиеся в Российской Федерации не менее 183 календарных дней в течение 12 следующих подряд месяцев. Период нахождения физич
10737. Структура политической системы российского общества 152.33 KB
  Реферат по дисциплине Основы политологии на тему: Структура политической системы российского общества Определение политической системы Всякое классовое общество политически обозначено имеет механизм власти обеспечивающий его нормальное функциониров...
10738. Проектирование промышленно-отопительной котельной для жилого района 3.17 MB
  Проектирование промышленно-отопительной котельной для жилого района Пояснительная записка к курсовой работе по курсу Источники и системы теплоснабжения промышленных предприятий Аннотация Сиражеев Р.Р. Проектирование промышленно-отопительной котельной дл...
10739. Расчет бегунковой мельницы 1.81 MB
  red0;Содержание Введение 1. Общие сведения и классификация бегунов 2. Конструкция принцип действия и описание процессов происходящих в машине 3. Расчёт основных параметров Заключение Список используемой литературы ldquo;Исследование процесса измельчения в
10740. Актуальные проблемы организации воспитательной работы в учреждениях начального профессионального образования 257.28 KB
  Контрольная работа по Общей и профессиональной педагогике на тему: Актуальные проблемы организации воспитательной работы в учреждениях начального профессионального образования....
10741. Нобелевская премия и ее лауреаты 1.67 MB
  Нобелевская премия и ее лауреаты Введение В нашей работе будет рассмотрена самая престижная премия в мире премия Альфреда Нобеля история ее создания особенности церемонии награждения а также лауреаты которые когдалибо награждались начиная с момента ее вру