67598

Теория графов

Лекция

Математика и математический анализ

Понятия смежности инцидентности степени опр Если x={vw} ребро то v и w концы ребра x. опр Если x=vw дуга орграфа то v начало w конец дуги. опр Если вершина v является концом ребра x неориентированного графа началом или концом дуги x орграфа то v и x называются инцидентными.

Русский

2014-09-12

107.5 KB

2 чел.

Лекция №7

Теория графов

Рассмотрим чертеж вида

Обозначения и определения

V – множество точек – вершины;

X – множество линий – ребра;

Графом называется совокупность множеств вершин и ребер.

v - номер вершины;

{v,w} – обозначение ребра;

{v,v} – петли;

Одинаковые пары - параллельные или кратные ребра;

Кратностью ребер называют количество одинаковых пар.

Пример:             кратность = 3.

Если в графе есть петли и/или кратные ребра, то такой граф называют псевдографом.

Псевдограф без петель называется мультиграфом.

Мультиграф в котором ни одна пара не встречается более одного раза называется графом.

Если пары (v,w) являются упорядоченными, граф называется ориентированным (орграфом).

Ребра ориентированного графа называются дугами.

В неориентированном графе ребра обозначаются неупорядоченной парой - {v,w}.

В ориентированном графе дуги обозначаются упорядоченной парой - (v,w).

G, G0 - неориентированный граф, D, D0 – ориентированный.

Обозначают v,w  - вершины, x,y,z – дуги и ребра.

Пример

1) V={v1, v2, v3, v4},

X={x1=(v1,v2), x2=(v1,v2), x3=(v2,v2), x4=(v2,v3)}.

           

2) V={v1, v2, v3, v4, v5},

X={x1={v1,v2}, x2={v2,v3}, x3={v2,v4}, x4={v3,v4}}.

Понятия смежности, инцидентности, степени

опр || Если x={v,w} - ребро, то v и w - концы ребра x.

опр || Если x=(v,w) - дуга орграфа, то v - начало, w – конец дуги.

опр || Если вершина v является концом ребра x неориентированного графа (началом или концом дуги x орграфа), то v и x называются инцидентными.

опр || Вершины v, w называются смежными, если {v,w}X.

опр || Степенью вершины v графа G называется число (v) ребер графа G, инцидентных вершине v.

опр || Вершина графа, имеющая степень 0 называется изолированной, а степень 1 – висячей

замеч || В неориентированном псевдографе вклад каждой петли инцидентной вершине v в степень вершины v равен 2.

опр || Полустепенью исхода (захода) вершины v орграфа D называется число +(v) ((v)) дуг орграфа D, исходящих из v (заходящих в v).

Замечание || в случае ориентированного псевдографа вклад каждой петли инцидентной вершине v равен 1 как в +(v), так и в (v).

Обозначение: n(G), n(D) количество вершин графа, m(G) - количество ребер, m(D) - количество дуг.

Утверждение. Для каждого псевдографа G выполняется равенство

.

Для каждого ориентированного псевдографа

Изоморфизм, гомеоморфизм.

опр || Графы G1=(V1,X1), G2=(V2,X2) называются изоморфными, если  биективное (взаимно однозначное) отображение : V1V2, сохраняющее смежность, т.е.

{v,w}X1  {(v), (w)}X2 .

опр || Орграфы D1=(V1,X1) и D2=(V2,X2) называются изоморфными, если  биективное отображение : V1V2, такое, что

(v,w)X1  ((v), (w))X2 .

Замечание || Изоморфные графы и орграфы отличаются лишь обозначением вершин.

Свойства изоморфных графов:

1) Если  изоморфны и : V1V2 биективное отображение, сохраняющее смежность то:

а) vV1 (v)=((v)),

б)  - количество вершин,

- количество дуг.

Аналогично, если  изоморфны и : V1V2 биективное отображение, сохраняющее смежность то выполняется

а) vV1 +(v)=+((v)), (v)=((v))

б)

Замечание ||

Для псевдографов и мультиграфов нужно сохранять кратность ребер или дуг

Примеры

         

Два графа изоморфны

  не изоморфный первым двум, так как нет ребра между крайними вершинами.

Утверждение. Изоморфизм графов (орграфов) является отношением эквивалентности на множестве графов (орграфов).

опр || Операцией подразбиения дуги (u,v) в орграфе D=(V,X) называется операция, которая состоит в удалении из X дуги (u,v), добавлении к V новой вершины w и добавлении к X\{(u,v)}, двух дуг (u,w) и (w,v).

Аналогично для ребер графа.

опр || Орграф D2 называется подразбиением орграфа D1 если D2 получается из D1 путем последовательного применения операции подразбиения дуг.

Пример.

            

опр || Орграфы  (графы ) называются гомеоморфными, если  их подразбиения, которые являются изоморфными.

Определение. Если степени всех вершин графа = k, то граф наз. регулярным степени k.  (см. рис. выше).

Граф, состоящий из 1 вершины, называется тривиальным.

Двудольным называется граф G(V,X), такой, что множество вершин V разбито на 2 подмножества V1 и V2 (V1V2=V, V1V2=), причем каждое ребро инцидентно вершине из V1 и V2.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36914. Выделение и перемещение фрагментов изображения, кадрирование изображений 158.5 KB
  dobe Photoshop Тема: Выделение и перемещение фрагментов изображения кадрирование изображений Цель: приобрести навыки работы с инструментами выделения фрагментов изображений научиться перемещать и копировать выделенные фрагменты. Краткие теоретические сведения В данном уроке используются следующие инструменты: Инструмент Zoom Масштаб позволяет получать изображение на экране в увеличенном или в уменьшенном виде. Инструмент Crop Рамка позволяет выделить прямоугольный фрагмент изображения и удалить ту его часть которая осталась за...
36915. КОМПЬЮТЕРНАЯ СИСТЕМА PROJECT EXPERT. ФОРМИРОВАНИЕ ФИНАНСОВОЙ МОДЕЛИ ПРОЕКТА 47.5 KB
  ФОРМИРОВАНИЕ ФИНАНСОВОЙ МОДЕЛИ ПРОЕКТА Цель: изучить систему команд Project Expert формирования финансовой модели инвестиционного проекта для предприятия. Построив с помощью Project Expert финансовую модель собственного предприятия или инвестиционного проекта можно получить такие возможности: разработать детальный финансовый план и определить потребность в денежных средствах на перспективу; определить схему финансирования предприятия оценить возможность и эффективность привлечения денежных средств из различных источников; разработать...
36916. Структура управления регионального международного аеропорта (РМА) 55 KB
  Непосредственно генеральному директору аэропорта подчиняются его замы и директора по направлениям а также самостоятельные структурные подразделения и службы. Типовая структура РМА представлена на схеме: Деятельность отдельных подразделений и служб аэропорта Основные функции службы качества: 1. разработка перспективных направлений повышения качества услуг авиакомпаниям и клиентам аэропорта; 2.
36917. Исследование статической и динамической характеристики термопары 188 KB
  Исследование статической и динамической характеристики термопары. Ознакомиться со схемами включения измерительного прибора в цепь термопары. Экспериментально получить статическую и динамическую характеристики термопары. Определить математическую модель термопары.
36918. Знакомство с математическим пакетом Scilab 141.5 KB
  Знакомство с математическим пакетом Scilb Scilb это система компьютерной математики которая предназначена для выполнения инженерных и научных вычислений таких как: решение нелинейных уравнений и систем; решение задач линейной алгебры; решение задач оптимизации; дифференцирование и интегрирование; обработка экспериментальных данных интерполяция и аппроксимация метод наименьших квадратов; решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем. Кроме того Scilb предоставляет широкие возможности по созданию и редактированию...
36919. ОРГАНИЗАЦИЯ РАБОЧЕГО ПРОСТРАНСТВА MS EXCEL. ВВОД И ФОРМАТИРОВАНИЕ ДАННЫХ. СОРТИРОВКА И ФИЛЬТРАЦИЯ ДАННЫХ 730.5 KB
  ВВОД И ФОРМАТИРОВАНИЕ ДАННЫХ. СОРТИРОВКА И ФИЛЬТРАЦИЯ ДАННЫХ Цель работы: изучить рабочее пространство приложения MS Excel научиться применять различные параметры форматирования к данным сортировать данные и проводить их фильтрацию по заданным условиям. Изучить параметры форматирования данных в MS Excel и научиться их настраивать. Научиться создавать последовательности данных.
36920. Установка и настройка сервера DHCP 14.43 KB
  Установка и настройка сервера DHCP Цель Изучить процесс установки авторизации сервера DHCP создания области и настройки параметров области Исходная конфигурация компьютера Компьютеры с операционной системой Windows 2003 Server с созданными контроллерами домена. Результат Сервер с установленной и настроенной службой DHCP Требования к отчету Теореретические сведения: Общие сведения о службе DHCP. Последовательность выполняемых действий Установка службы DHCP Авторизация сервера DHCP в ctive Directory Создание области и...
36921. Word. Основные возможности 122 KB
  Любой текст имеет формат определенного типа. Базовый формат текста зависит от стиля который применен к абзацу содержащему этот текст. Процесс изменения формата называется форматированием а следствием изменения формата является изменение внешнего вида документа. Стиль это набор запомненных команд форматирования символов и или абзацев.
36922. Word: Способы запуска. Создание, открытие, сохранение, закрытие файла (документа) 93 KB
  Панели инструментов и их настройка. Контекстное меню в области панелей инструментов. ДЕЙСТВИЯ С ФАЙЛАМИ И ОКНАМИ ФАЙЛОВ Выполните действия связанные с созданием сохранением и закрытием файла: создайте файл для чего: 1й способ: нажмите кнопку Создать файл по умолчанию на Стандартной панели инструментов; 2й способ: нажмите сочетание клавиш CtrlN; 3й способ: выполните команды меню ФайлðСоздать.; в появившемся окне Сохранение документа в раскрывающемся списке Папка откройте Вашу папку если Вашей папки нет то можно создать ее...