67599

Матрицы смежности и инцидентности

Лекция

Математика и математический анализ

Пусть утверждение верно для цикла длиной k-1. Допустим, в цикле имеются совпадающие вершины: vi=vj, (если их нет, то цикл - простой). Тогда удалим из цикла часть, заключенную между viи vj (вместе с vj). Получившийся цикл имеет меньшую длину и в силу индуктивного предположения из него можно выделить простой цикл.

Русский

2014-09-12

128 KB

9 чел.

Лекция 8

Матрицы смежности и инцидентности

Пусть D=(V,X) орграф, V={v1,...,vn}, X={x1,...,xm}.

Матрицей смежности орграфа D называется квадратная матрица

A(D)=[aij] порядка n, где

Матрицей инцидентности называется матрица B(D)=[bij] порядка nm, где

Для неориентированных графов G=(V,X)

Матрицей смежности графа G называется квадратная симметричная матрица A(G)=[aij] порядка n, где

Матрицей инцидентности графа G называется матрица B(G)=[bij] порядка nm, где

Примеры.

1. Для орграфа, изображенного на рис.

   

2. Для графа, изображенного на рис.

,  

Ориентированный псевдограф

       

С помощью этих матриц графы задаются на ЭВМ.

Свойства матриц смежности и инцидентности.

Для ориентированного мультиграфа D=(V,X), V={v1,...,vn}, X={x1,...,xm}

- сумма строк матрицы B(D) является нулевой строкой (дуга один раз входит и один раз выходит);

- любая строка матрицы B(D) является линейной комбинацией остальных строк (вследствие предыдущего);

- ранг матрицы B(D) не превосходит n(D)-1 (также вследствие предыдущего);

- для любого контура в D сумма столбцов матрицы B(D), соответствующих дугам, входящим в этот контур, равна нулевому столбцу.

Для неориентированного мультиграфа G=(V,X), V={v1,...,vn}, X={x1,...,xm}

- сумма строк матрицы B(G) по модулю 2 является нулевой строкой (дуга один раз входит и один раз выходит, а вместе четно);

- любая строка матрицы B(G) является суммой по модулю 2 остальных строк (вследствие предыдущего);

- для любого цикла в G сумма по модулю 2 столбцов матрицы B(G), соответствующих ребрам, входящим в этот цикл, равна нулевому столбцу.

Определение. Матрица C=[cij], у которой cij {0,1} наз. булевой.

Если G – псевдограф без кратных ребер, матрица смежности – булева.

Маршруты и пути

опр || Последовательность

v1x1v2x2v3...xkvk+1, (где k1, viV, i=1,...,k+1, xjX, j=1,...,k)

в которой чередуются вершины и ребра (дуги) и для каждого j=1,...,k ребро (дуга) xj имеет вид {vj,vj+1} (для орграфа (vj,vj+1)), называется маршрутом, соединяющим вершины v1 и vk+1 (путем из v1 в vk+1).

Пример

v1x1v2x2v3x4v4x3v2 - маршрут,

x1x2x4x3 - маршрут можно восстановить и по этой записи,

v1v2v3v4v2 - если кратности ребер (дуг) равны 1, то можно и так.

v2x2v3x4v4 - подмаршрут.

Число ребер в маршруте (дуг в пути) называется длиной маршрута (пути).

Маршрут (путь) называется замкнутым, если начальная вершина совпадает с конечной v1=vk+1.

Незамкнутый маршрут (путь), в котором все ребра (дуги) попарно различны называется цепью.

Цепь, в которой все вершины попарно различны называется простой цепью.

Замкнутый маршрут (путь), в котором все ребра (дуги) попарно различны, называется циклом (контуром).

Цикл (контур), в котором все вершины попарно различны называется простым.

Теорема. В псевдографе G (в ориентированном псевдографе D) из всякого цикла (контура) можно выделить простой цикл (простой контур).

Доказательство (индукцией).

Пусть k – количество ребер, k+1 – количество вершин в цикле (или контуре).

При k=1 (петля) цикл всегда является простым.

Пусть утверждение верно для цикла длиной k-1. Допустим, в цикле имеются совпадающие вершины: vi=vj, (если их нет, то цикл - простой). Тогда удалим из цикла часть, заключенную между viи vj (вместе с vj). Получившийся цикл имеет меньшую длину и в силу индуктивного предположения из него можно выделить простой цикл.

Теорема ||

Из всякого незамкнутого маршрута (пути) можно выделить простую цепь с теми же начальной и конечной вершинами.

Доказательство || аналогично предыдущему.

Определение. Композицией путей (маршрутов)

1=v1x1v2...xk-1vk, 2=vkxkvk+1...xL-1vL называется путь (маршрут) 12=v1x1v2...xk-1vkxkvk+1xk+1...xL-1vL.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

64571. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДОРОЖНОГО ДВИЖЕНИЯ. ТРАНСПОРТНЫЙ ПОТОК 36.01 KB
  При формировании информации о состоянии дорожного движения в первую очередь необходимы данные характеризующие транспортный поток. По мере совершенствования методов и аппаратуры для исследования транспортных потоков номенклатура показателей используемых в организации...
64573. Основные направления европейской политики XVIII столетия. Проблема баланса сил 15.45 KB
  Причиной войны стал династический спор французских Бурбонов и австрийских Габсбургов за право наследования испанского престола после смерти в ноябре 1700 Карла II (1665–1700), последнего представителя испанских Габсбургов.
64574. Реабилитация русской истории. Народы Поволжья в составе РФ. 16 – начало 20 веков 29 KB
  В Москву прибыли посланцы чувашей и горных марийцев которые просили великого князя Ивана IV о том чтобы государь пожаловал послал рать на Казань. Постепенно Расширение территории обитания чувашей. начинается переселение чувашей в Западную Сибирь.
64575. Фазы национального движения и национальный вопрос в программах и деятельности политических партий Закавказья на рубеже 19-20 веков 18.6 KB
  Существует три фазы национального движения. Первая фаза: энергия активистов национального движения была прежде всего направлена на тщательное исследование языковых, культурных, социальных и иногда исторических черт не доминирующей группы и на закрепление этих фактов в сознании соотечественников.
64576. Правоотношения. Понятия, структура и виды 28.5 KB
  Одна из ближайших целей органа издающего правовые нормы состоит в наделении участников общественных отношений правами и обязанностями установлении между ними определенных связей. Правовые отношения это особая юридическая связь между участниками социального общения...
64577. Стиль одежды 93.5 KB
  Стиль одежды является одним из основных элементов имиджа человека см. Основные стили 20 века Классический стиль Наиболее нейтральный стиль классический. Но это не значит что одеваться классически может любой стиль диктует свои правила и им нужно следовать.
64578. ЛИТЕРАТУРНЫЙ ЯЗЫК 33 KB
  Литературный язык ЛЯ это исторически сложившаяся высшая образцовая обработанная форма национального языка обладающая богатым лексическим фондом упорядоченной грамматической структурой и развитой системой стилей. Литературному языку присущи особые свойства...
64579. Советский союз в период правления Ю.В.Андропова и К.У.Черненко 112 KB
  Какие изменения произошли в советском союзе за период правления Ю.В.Андропова. Перемены в советском союзе в период правления К.У.Черненко. Рассмотреть итоги социализма...