67599

Матрицы смежности и инцидентности

Лекция

Математика и математический анализ

Пусть утверждение верно для цикла длиной k-1. Допустим, в цикле имеются совпадающие вершины: vi=vj, (если их нет, то цикл - простой). Тогда удалим из цикла часть, заключенную между viи vj (вместе с vj). Получившийся цикл имеет меньшую длину и в силу индуктивного предположения из него можно выделить простой цикл.

Русский

2014-09-12

128 KB

9 чел.

Лекция 8

Матрицы смежности и инцидентности

Пусть D=(V,X) орграф, V={v1,...,vn}, X={x1,...,xm}.

Матрицей смежности орграфа D называется квадратная матрица

A(D)=[aij] порядка n, где

Матрицей инцидентности называется матрица B(D)=[bij] порядка nm, где

Для неориентированных графов G=(V,X)

Матрицей смежности графа G называется квадратная симметричная матрица A(G)=[aij] порядка n, где

Матрицей инцидентности графа G называется матрица B(G)=[bij] порядка nm, где

Примеры.

1. Для орграфа, изображенного на рис.

   

2. Для графа, изображенного на рис.

,  

Ориентированный псевдограф

       

С помощью этих матриц графы задаются на ЭВМ.

Свойства матриц смежности и инцидентности.

Для ориентированного мультиграфа D=(V,X), V={v1,...,vn}, X={x1,...,xm}

- сумма строк матрицы B(D) является нулевой строкой (дуга один раз входит и один раз выходит);

- любая строка матрицы B(D) является линейной комбинацией остальных строк (вследствие предыдущего);

- ранг матрицы B(D) не превосходит n(D)-1 (также вследствие предыдущего);

- для любого контура в D сумма столбцов матрицы B(D), соответствующих дугам, входящим в этот контур, равна нулевому столбцу.

Для неориентированного мультиграфа G=(V,X), V={v1,...,vn}, X={x1,...,xm}

- сумма строк матрицы B(G) по модулю 2 является нулевой строкой (дуга один раз входит и один раз выходит, а вместе четно);

- любая строка матрицы B(G) является суммой по модулю 2 остальных строк (вследствие предыдущего);

- для любого цикла в G сумма по модулю 2 столбцов матрицы B(G), соответствующих ребрам, входящим в этот цикл, равна нулевому столбцу.

Определение. Матрица C=[cij], у которой cij {0,1} наз. булевой.

Если G – псевдограф без кратных ребер, матрица смежности – булева.

Маршруты и пути

опр || Последовательность

v1x1v2x2v3...xkvk+1, (где k1, viV, i=1,...,k+1, xjX, j=1,...,k)

в которой чередуются вершины и ребра (дуги) и для каждого j=1,...,k ребро (дуга) xj имеет вид {vj,vj+1} (для орграфа (vj,vj+1)), называется маршрутом, соединяющим вершины v1 и vk+1 (путем из v1 в vk+1).

Пример

v1x1v2x2v3x4v4x3v2 - маршрут,

x1x2x4x3 - маршрут можно восстановить и по этой записи,

v1v2v3v4v2 - если кратности ребер (дуг) равны 1, то можно и так.

v2x2v3x4v4 - подмаршрут.

Число ребер в маршруте (дуг в пути) называется длиной маршрута (пути).

Маршрут (путь) называется замкнутым, если начальная вершина совпадает с конечной v1=vk+1.

Незамкнутый маршрут (путь), в котором все ребра (дуги) попарно различны называется цепью.

Цепь, в которой все вершины попарно различны называется простой цепью.

Замкнутый маршрут (путь), в котором все ребра (дуги) попарно различны, называется циклом (контуром).

Цикл (контур), в котором все вершины попарно различны называется простым.

Теорема. В псевдографе G (в ориентированном псевдографе D) из всякого цикла (контура) можно выделить простой цикл (простой контур).

Доказательство (индукцией).

Пусть k – количество ребер, k+1 – количество вершин в цикле (или контуре).

При k=1 (петля) цикл всегда является простым.

Пусть утверждение верно для цикла длиной k-1. Допустим, в цикле имеются совпадающие вершины: vi=vj, (если их нет, то цикл - простой). Тогда удалим из цикла часть, заключенную между viи vj (вместе с vj). Получившийся цикл имеет меньшую длину и в силу индуктивного предположения из него можно выделить простой цикл.

Теорема ||

Из всякого незамкнутого маршрута (пути) можно выделить простую цепь с теми же начальной и конечной вершинами.

Доказательство || аналогично предыдущему.

Определение. Композицией путей (маршрутов)

1=v1x1v2...xk-1vk, 2=vkxkvk+1...xL-1vL называется путь (маршрут) 12=v1x1v2...xk-1vkxkvk+1xk+1...xL-1vL.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

3823. Анализ эффективности работы современного коммерческого банка 394 KB
  Баланс, доходы и расходы банка На основе качественного распределения активов и использования метода сравнения определяются пропорции между счетами, выявляются тенденции в их изменении и оценивается, в какой мере эти динамические изменения и откло...
3824. Исследование относительного движения материальной точки 103 KB
  Кафедра «Теоретической механики» Индивидуальное задание № Вариант № 4 Тема: «Исследование относительного движения материальной точки» Дано: Схема конструкции (рисунок 1) m=0,09 кг Найти уравнение относительного...
3825. Характеристики линий связи в КС 200.5 KB
  Введение В соответствии с объектом и предметом исследования были поставлены следующие задачи: осветить основные исторические этапы становления и развития линий связи перечислить основные виды каналов связи для компьютерных сетей рассмотреть сущест...
3826. Изучение структуры углеродистых сталей в равновесном (отожженном) состоянии 72.5 KB
  Изучение структуры углеродистых сталей в равновесном (отожженном) состоянии Химически чистые металлы обладают низкой прочностью, поэтому в технике их применяют сравнительно редко. Наиболее широко используют сплавы - вещества, полученные сплавлением...
3827. Изучение вращательного движения твердого тела 83.5 KB
  Изучение вращательного движения твердого тела Цель работы: изучение кинематики и динамики вращательного движения, построение абстрактной модели реальной физической системы. Приборы и принадлежности: прибор Обербека, оборудованный миллисекундомером, ...
3828. Колебательные движения физического маятника 110.6 KB
  Физический маятник 1.Параметры колебательного движения Движение, при котором координата точки изменяется по закону косинуса (или синуса) называется гармоническим колебанием. Таким образом, при равномерном движении точки по окружности ее проекция сов...
3829. Определение момента инерции маятника Обербека 109.5 KB
  Определение момента инерции маятника Обербека Цель работы: изучить вопросы динамики поступательного и вращательного движения, определить момент инерции специального тела – маятника Обербека. Оборудование: лабораторная установка в комплект...
3830. Внутренний фотоэффект в полупроводниках 95 KB
  Внутренний фотоэффект в полупроводниках. Цель работы. Определение опытным путем влияния освещенности на проводимость полупроводника и установление закона рекомбинации неосновных носителей заряда. Указания по организации самостоятельной работы....
3831. Определение удельной теплоемкости жидкости с помощью элекnрокалориметра 119.5 KB
  Определение удельной теплоемкости жидкости с помощью электрокалориметра Приборы и принадлежности Два электрокалориметра, два термометра, технические весы с разновесами, исследуемая жидкость, сосуд с водой. Теория работы и описание прибора Удельной т...