67600

Связность. Компоненты связности

Лекция

Математика и математический анализ

Компоненты связности Определения. Компонентой связности графа G сильной связности орграфа D наз. Матрицы достижимости и связности Пусть D матрица смежности ориентированного псевдографа D=VX или псевдографа G=VX где V={v1 vn}. Тогда отношение эквивалентности...

Русский

2014-09-12

135 KB

11 чел.

Лекция 9

Связность. Компоненты связности  

Определения.

Подграфом графа G  называется граф, все вершины и ребра которого содержатся среди вершин и ребер графа G. (Для орграфа то же).

Подграф наз. собственным, если он отличен от самого графа.

Говорят, что вершина w орграфа D (графа G) достижима из верш. v, если либо w=v, либо существует путь (маршрут) из v в w.

Граф (орграф) наз связным (сильно связным), если для любых двух его вершин v, w существует маршрут (путь), соединяющий v и w.

Орграф наз односторонне связным, если для любых двух его вершин по крайней мере одна достижима из другой.

Псевдографом, ассоциированным с ориентированным псевдографом D=(V,X) наз. псевдограф G=(V,X0), в котором X0 получается из X заменой всех упорядоченных пар (v,w) на неупорядоченные {v,w}.

Орграф наз слабо связным, если связным является ассоциированный с ним псевдограф.

Если граф (орграф) не является связным (слабо связным), то он наз. несвязным.

Компонентой связности графа G (сильной связности орграфа D) наз. его связный (сильно связный) подграф, не являющийся собственным подграфом никакого другого связного (сильно связного) подграфа графа G (орграфа D).

Примеры.

Матрицы достижимости и связности

Пусть A(D) – матрица смежности ориентированного псевдографа D=(V,X) (или псевдографа G=(V,X)), где V={v1,…, vn}. Обозначим через Ak=[a(k)ij] k-ю степень матрицы смежности A(D).

Утверждение. Элемент a(k)ij матрицы Ak ориентированного псевдографа D=(V,X) (псевдографа G=(V,X)) равен числу всех путей (маршрутов) длины k из vi в vj.

Д-во

Для k=1 очевидно в силу построения матрицы A(D).

Пусть это справедливо для n=k-1. Т.е. в матрице Ak-1 в i-той строке на l-том месте стоит число, означающее кол-во маршрутов из vi в vl длины k1. Столбец под номером j матрицы A содержит числа, означающие кол-во дуг (ребер) из vl в vj (l-номер строки). Тогда скалярное произведение i-той строки матрицы Ak-1 на j-тый столбец матрицы A равен сумме произведений. Каждое произведение означает кол-во путей из vi в vj, проходящих через vl на предпоследнем шаге. В сумме получается общее кол-во.

Утверждение. Для того, чтобы n-вершинный орграф D с матрицей смежности A=A(D) имел хотя бы один контур, чтобы матрица K=A2+A3+… An имела ненулевые диагональные элементы (следствие предыдущего).

Пусть -отношение достижимости на множестве V всех вершин (неориентированного) графа G. (либо v=w, либо маршрут, соединяющий v и w).

Тогда

  1.  -отношение эквивалентности;
  2.  vw  вершины v,w принадлежат одной компоненте связности;
  3.  для класса эквивалентности V1 псевдограф G1, порожденный множеством V1, является компонентой связности псевдографа G.

Для орграфа.

Пусть 1-отношение достижимости на множестве V всех вершин ориентированного псевдографа D. Пусть 2-отношение двусторонней достижимости на множестве V. (2=11-1). Тогда

  1.  1 - рефлексивно, транзитивно;
  2.  2 – эквивалентность на V;
  3.  v2w  когда вершины v,w  одной компоненте сильной связности;
  4.  для класса эквивалентности V1 ориент. псевдограф D1, порожденный множеством V1, является компонентой связности ор. псевдографа G.

Число компонент сильной связности орграфа D обозначается P(D). (для неор. - P(G).

Определение. Под операцией удаления вершины из графа (орграфа) будем понимать операцию, заключающуюся в удалении некоторой вершины вместе с с инцидентными ей ребрами (дугами).

Определение. Вершина графа, удаление которой увеличивает число компонент связности, называется точкой сочленения.

Пример.

Утверждение. Если D' – орграф, полученный в результате удаления нескольких вершин из орграфа D, то матрица смежности A(D') получается из матрицы смежности A(D) в результате удаления строк и столбцов, соответствующих удаленным вершинам. (Для неор. графа то же самое).

Определение. Матрицей достижимости орграфа D называется квадратная матрица T(D)=[tij] порядка n, элементы которой равны

Определение. Матрицей сильной связности орграфа D называется квадратная матрица S(D)=[sij] порядка n, элементы которой равны

Определение. Матрицей связности графа G называется квадратная матрица S(G)=[sij] порядка n, элементы которой равны

Утверждение. Пусть G=(V,X) – граф, V={v1,…, vn}, A(G) – его матрица смежности. Тогда

S(G)=sign[E+A+A2+A3+… An-1] (E- единичная матрица порядка n).

(Следует из предыдущего).

Утверждение. Пусть D=(V,X) – орграф, V={v1,…, vn}, A(D) – его матрица смежности. Тогда

  1.  T(D)=sign[E+A+A2+A3+… An-1],
  2.  S(D)=T(D)TT(D)  (TT-транспонированная матрица, - поэлементное умножение).

Алгоритм выделения компонент сильной связности.

1. Присваиваем p=1, S1=S(D).

2. Включаем в множество вершин Vp компоненты сильной связности Dp=(Vp,Xp) вершины, соответствующие единицам первой строки матрицы Sp. В качестве матрицы A(Dp) возьмем подматрицу матрицы A(D), состоящую из элементов матрицы A, находящихся на пересечении строк и столбцов, соответствующих вершинам из Vp.

3. Вычеркиваем из Sp строки и столбцы, соответствующие вершинам из Vp. Если не остается ни одной строки (и столбца), то p- кол-во компонент сильной связности. В противном случае обозначим оставшуюся после вычеркивания срок и столбцов матрицу Sp+1, присваиваем p:=p+1 и переходим к п. 2.

Пример.

,

,

,

,

T(D)=sign[E+A+A2+A3+A4]=,

S(D)=TTT=.

Выделение компонент (сильной) связности.

1. p=1,

2. V1={v1, v3, v5},   

D1

3. ,

2'. V2={v2 },   

D2

3'. ,

2''. V3={v4 },

D3


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

15543. Законодательство Российской Федерации о рекламе 37 KB
  Законодательство Российской Федерации о рекламе Законодательство Российской Федерации о рекламе состоит из настоящего Федерального закона. Отношения возникающие в процессе производства размещения и распространения рекламы могут регулироваться также принятыми в с
15544. Общие требования к рекламе 138.5 KB
  5. Общие требования к рекламе1. Реклама должна быть добросовестной и достоверной. Недобросовестная реклама и недостоверная реклама не допускаются.2. Недобросовестной признается реклама которая:1 содержит некорректные сравнения рекламируемого товара с находящимися в обо...
15545. Защита несовершеннолетних в рекламе 25.5 KB
  6. Защита несовершеннолетних в рекламеВ целях защиты несовершеннолетних от злоупотреблений их доверием и недостатком опыта в рекламе не допускаются:1 дискредитация родителей и воспитателей подрыв доверия к ним у несовершеннолетних;2 побуждение несовершеннолетних к то
15546. Товары, реклама которых не допускается 84 KB
  7. Товары реклама которых не допускаетсяНе допускается реклама:1 товаров производство и или реализация которых запрещены законодательством Российской Федерации;2 наркотических средств психотропных веществ и их прекурсоров;3 взрывчатых веществ и материалов за исклю
15547. Реклама товаров при дистанционном способе их продажи 18.5 KB
  8. Реклама товаров при дистанционном способе их продажиВ рекламе товаров при дистанционном способе их продажи должны быть указаны сведения о продавце таких товаров: наименование место нахождения и государственный регистрационный номер записи о создании юридического ли...
15548. Реклама о проведении стимулирующих мероприятий 14.5 KB
  9. Реклама о проведении стимулирующих мероприятийВ рекламе сообщающей о проведении стимулирующей лотереи конкурса игры или иного подобного мероприятия условием участия в которых является приобретение определенного товара далее стимулирующее мероприятие должны б...
15549. Социальная реклама 43.5 KB
  10. Социальная реклама1. Рекламодателями социальной рекламы могут выступать физические лица юридические лица органы государственной власти иные государственные органы и органы местного самоуправления а также муниципальные органы которые не входят в структуру органо
15550. Срок действия рекламы, признаваемой офертой 19.5 KB
  11. Срок действия рекламы признаваемой офертойЕсли в соответствии с Гражданским кодексом Российской Федерации реклама признается офертой такая оферта действует в течение двух месяцев со дня распространения рекламы при условии что в ней не указан иной срок.Комментируем...
15551. Сроки хранения рекламных материалов 24 KB
  12. Сроки хранения рекламных материаловРекламные материалы или их копии в том числе все вносимые в них изменения а также договоры на производство размещение и распространение рекламы должны храниться в течение года со дня последнего распространения рекламы или со дня о