67600

Связность. Компоненты связности

Лекция

Математика и математический анализ

Компоненты связности Определения. Компонентой связности графа G сильной связности орграфа D наз. Матрицы достижимости и связности Пусть D матрица смежности ориентированного псевдографа D=VX или псевдографа G=VX где V={v1 vn}. Тогда отношение эквивалентности...

Русский

2014-09-12

135 KB

11 чел.

Лекция 9

Связность. Компоненты связности  

Определения.

Подграфом графа G  называется граф, все вершины и ребра которого содержатся среди вершин и ребер графа G. (Для орграфа то же).

Подграф наз. собственным, если он отличен от самого графа.

Говорят, что вершина w орграфа D (графа G) достижима из верш. v, если либо w=v, либо существует путь (маршрут) из v в w.

Граф (орграф) наз связным (сильно связным), если для любых двух его вершин v, w существует маршрут (путь), соединяющий v и w.

Орграф наз односторонне связным, если для любых двух его вершин по крайней мере одна достижима из другой.

Псевдографом, ассоциированным с ориентированным псевдографом D=(V,X) наз. псевдограф G=(V,X0), в котором X0 получается из X заменой всех упорядоченных пар (v,w) на неупорядоченные {v,w}.

Орграф наз слабо связным, если связным является ассоциированный с ним псевдограф.

Если граф (орграф) не является связным (слабо связным), то он наз. несвязным.

Компонентой связности графа G (сильной связности орграфа D) наз. его связный (сильно связный) подграф, не являющийся собственным подграфом никакого другого связного (сильно связного) подграфа графа G (орграфа D).

Примеры.

Матрицы достижимости и связности

Пусть A(D) – матрица смежности ориентированного псевдографа D=(V,X) (или псевдографа G=(V,X)), где V={v1,…, vn}. Обозначим через Ak=[a(k)ij] k-ю степень матрицы смежности A(D).

Утверждение. Элемент a(k)ij матрицы Ak ориентированного псевдографа D=(V,X) (псевдографа G=(V,X)) равен числу всех путей (маршрутов) длины k из vi в vj.

Д-во

Для k=1 очевидно в силу построения матрицы A(D).

Пусть это справедливо для n=k-1. Т.е. в матрице Ak-1 в i-той строке на l-том месте стоит число, означающее кол-во маршрутов из vi в vl длины k1. Столбец под номером j матрицы A содержит числа, означающие кол-во дуг (ребер) из vl в vj (l-номер строки). Тогда скалярное произведение i-той строки матрицы Ak-1 на j-тый столбец матрицы A равен сумме произведений. Каждое произведение означает кол-во путей из vi в vj, проходящих через vl на предпоследнем шаге. В сумме получается общее кол-во.

Утверждение. Для того, чтобы n-вершинный орграф D с матрицей смежности A=A(D) имел хотя бы один контур, чтобы матрица K=A2+A3+… An имела ненулевые диагональные элементы (следствие предыдущего).

Пусть -отношение достижимости на множестве V всех вершин (неориентированного) графа G. (либо v=w, либо маршрут, соединяющий v и w).

Тогда

  1.  -отношение эквивалентности;
  2.  vw  вершины v,w принадлежат одной компоненте связности;
  3.  для класса эквивалентности V1 псевдограф G1, порожденный множеством V1, является компонентой связности псевдографа G.

Для орграфа.

Пусть 1-отношение достижимости на множестве V всех вершин ориентированного псевдографа D. Пусть 2-отношение двусторонней достижимости на множестве V. (2=11-1). Тогда

  1.  1 - рефлексивно, транзитивно;
  2.  2 – эквивалентность на V;
  3.  v2w  когда вершины v,w  одной компоненте сильной связности;
  4.  для класса эквивалентности V1 ориент. псевдограф D1, порожденный множеством V1, является компонентой связности ор. псевдографа G.

Число компонент сильной связности орграфа D обозначается P(D). (для неор. - P(G).

Определение. Под операцией удаления вершины из графа (орграфа) будем понимать операцию, заключающуюся в удалении некоторой вершины вместе с с инцидентными ей ребрами (дугами).

Определение. Вершина графа, удаление которой увеличивает число компонент связности, называется точкой сочленения.

Пример.

Утверждение. Если D' – орграф, полученный в результате удаления нескольких вершин из орграфа D, то матрица смежности A(D') получается из матрицы смежности A(D) в результате удаления строк и столбцов, соответствующих удаленным вершинам. (Для неор. графа то же самое).

Определение. Матрицей достижимости орграфа D называется квадратная матрица T(D)=[tij] порядка n, элементы которой равны

Определение. Матрицей сильной связности орграфа D называется квадратная матрица S(D)=[sij] порядка n, элементы которой равны

Определение. Матрицей связности графа G называется квадратная матрица S(G)=[sij] порядка n, элементы которой равны

Утверждение. Пусть G=(V,X) – граф, V={v1,…, vn}, A(G) – его матрица смежности. Тогда

S(G)=sign[E+A+A2+A3+… An-1] (E- единичная матрица порядка n).

(Следует из предыдущего).

Утверждение. Пусть D=(V,X) – орграф, V={v1,…, vn}, A(D) – его матрица смежности. Тогда

  1.  T(D)=sign[E+A+A2+A3+… An-1],
  2.  S(D)=T(D)TT(D)  (TT-транспонированная матрица, - поэлементное умножение).

Алгоритм выделения компонент сильной связности.

1. Присваиваем p=1, S1=S(D).

2. Включаем в множество вершин Vp компоненты сильной связности Dp=(Vp,Xp) вершины, соответствующие единицам первой строки матрицы Sp. В качестве матрицы A(Dp) возьмем подматрицу матрицы A(D), состоящую из элементов матрицы A, находящихся на пересечении строк и столбцов, соответствующих вершинам из Vp.

3. Вычеркиваем из Sp строки и столбцы, соответствующие вершинам из Vp. Если не остается ни одной строки (и столбца), то p- кол-во компонент сильной связности. В противном случае обозначим оставшуюся после вычеркивания срок и столбцов матрицу Sp+1, присваиваем p:=p+1 и переходим к п. 2.

Пример.

,

,

,

,

T(D)=sign[E+A+A2+A3+A4]=,

S(D)=TTT=.

Выделение компонент (сильной) связности.

1. p=1,

2. V1={v1, v3, v5},   

D1

3. ,

2'. V2={v2 },   

D2

3'. ,

2''. V3={v4 },

D3


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

62085. Урок по легкой атлетике 17.67 KB
  Стойка ноги врозь правая рука вверх 1-2 наклон туловища влево 3-4 наклон туловища вправо 3 И. стойка ноги врозь 1 наклон вперед 2 И. 3 наклон вперед 4 И. ноги врозь наклоны туловища 1 наклон влево 2 И.
62087. Food and Health 32.19 KB
  Today we are going to speak about food and our health. So we must decide what should we eat in order to be fit and healthy. (слайд)Today we have an unusual lesson, because we have quests “I know you perfectly well, but our quests don’t.
62088. Звуки (р) (р), обозначение их буквой «Р» 67.48 KB
  Задачи урока: образовательные: познакомить с буквой Р р; учить выполнять звукобуквенный анализ слов; плавно читать по слогам с переходом на чтение целыми словами. развивающие: развивать наглядно-образное мышление посредством использования моделей звук слог слово...
62089. Основы конституционного строя Российской Федерации 25.53 KB
  Цели урока: образовательные: организация совместной исследовательской деятельности учащихся для самостоятельного изучения ими основных функций органов государственной власти РФ; формирование представлений учащихся об основных функциях органов государственной власти РФ...
62090. Art/Painting 24.43 KB
  Цели урока: Практические: обобщить и систематизировать знания по теме Аrt Pаinting закрепление умений в говорении по теме Аrt Pаinting развитие умений восприятия и понимания иноязычной речи на слух Развивающие: развитие коммуникативных навыков...
62091. Твои игрушки придумал художник 549.61 KB
  Цель урока: Углубление знаний о работе с пластилином через лепку животного Задачи урока: Образовательные Воспитательные Развивающие формирование навыка работы с пластилином передача пропорций и конструкций тела лепка...
62092. Отрасли экономики. Классификация профессий 212.75 KB
  Цели урока: Воспитательная: Воспитывать толерантность по отношению друг к другу; Воспитывать уважительное отношение к труду людей; Образовательная: Ознакомить учащихся с отраслями экономики и классификаций профессий...