67600

Связность. Компоненты связности

Лекция

Математика и математический анализ

Компоненты связности Определения. Компонентой связности графа G сильной связности орграфа D наз. Матрицы достижимости и связности Пусть D матрица смежности ориентированного псевдографа D=VX или псевдографа G=VX где V={v1 vn}. Тогда отношение эквивалентности...

Русский

2014-09-12

135 KB

11 чел.

Лекция 9

Связность. Компоненты связности  

Определения.

Подграфом графа G  называется граф, все вершины и ребра которого содержатся среди вершин и ребер графа G. (Для орграфа то же).

Подграф наз. собственным, если он отличен от самого графа.

Говорят, что вершина w орграфа D (графа G) достижима из верш. v, если либо w=v, либо существует путь (маршрут) из v в w.

Граф (орграф) наз связным (сильно связным), если для любых двух его вершин v, w существует маршрут (путь), соединяющий v и w.

Орграф наз односторонне связным, если для любых двух его вершин по крайней мере одна достижима из другой.

Псевдографом, ассоциированным с ориентированным псевдографом D=(V,X) наз. псевдограф G=(V,X0), в котором X0 получается из X заменой всех упорядоченных пар (v,w) на неупорядоченные {v,w}.

Орграф наз слабо связным, если связным является ассоциированный с ним псевдограф.

Если граф (орграф) не является связным (слабо связным), то он наз. несвязным.

Компонентой связности графа G (сильной связности орграфа D) наз. его связный (сильно связный) подграф, не являющийся собственным подграфом никакого другого связного (сильно связного) подграфа графа G (орграфа D).

Примеры.

Матрицы достижимости и связности

Пусть A(D) – матрица смежности ориентированного псевдографа D=(V,X) (или псевдографа G=(V,X)), где V={v1,…, vn}. Обозначим через Ak=[a(k)ij] k-ю степень матрицы смежности A(D).

Утверждение. Элемент a(k)ij матрицы Ak ориентированного псевдографа D=(V,X) (псевдографа G=(V,X)) равен числу всех путей (маршрутов) длины k из vi в vj.

Д-во

Для k=1 очевидно в силу построения матрицы A(D).

Пусть это справедливо для n=k-1. Т.е. в матрице Ak-1 в i-той строке на l-том месте стоит число, означающее кол-во маршрутов из vi в vl длины k1. Столбец под номером j матрицы A содержит числа, означающие кол-во дуг (ребер) из vl в vj (l-номер строки). Тогда скалярное произведение i-той строки матрицы Ak-1 на j-тый столбец матрицы A равен сумме произведений. Каждое произведение означает кол-во путей из vi в vj, проходящих через vl на предпоследнем шаге. В сумме получается общее кол-во.

Утверждение. Для того, чтобы n-вершинный орграф D с матрицей смежности A=A(D) имел хотя бы один контур, чтобы матрица K=A2+A3+… An имела ненулевые диагональные элементы (следствие предыдущего).

Пусть -отношение достижимости на множестве V всех вершин (неориентированного) графа G. (либо v=w, либо маршрут, соединяющий v и w).

Тогда

  1.  -отношение эквивалентности;
  2.  vw  вершины v,w принадлежат одной компоненте связности;
  3.  для класса эквивалентности V1 псевдограф G1, порожденный множеством V1, является компонентой связности псевдографа G.

Для орграфа.

Пусть 1-отношение достижимости на множестве V всех вершин ориентированного псевдографа D. Пусть 2-отношение двусторонней достижимости на множестве V. (2=11-1). Тогда

  1.  1 - рефлексивно, транзитивно;
  2.  2 – эквивалентность на V;
  3.  v2w  когда вершины v,w  одной компоненте сильной связности;
  4.  для класса эквивалентности V1 ориент. псевдограф D1, порожденный множеством V1, является компонентой связности ор. псевдографа G.

Число компонент сильной связности орграфа D обозначается P(D). (для неор. - P(G).

Определение. Под операцией удаления вершины из графа (орграфа) будем понимать операцию, заключающуюся в удалении некоторой вершины вместе с с инцидентными ей ребрами (дугами).

Определение. Вершина графа, удаление которой увеличивает число компонент связности, называется точкой сочленения.

Пример.

Утверждение. Если D' – орграф, полученный в результате удаления нескольких вершин из орграфа D, то матрица смежности A(D') получается из матрицы смежности A(D) в результате удаления строк и столбцов, соответствующих удаленным вершинам. (Для неор. графа то же самое).

Определение. Матрицей достижимости орграфа D называется квадратная матрица T(D)=[tij] порядка n, элементы которой равны

Определение. Матрицей сильной связности орграфа D называется квадратная матрица S(D)=[sij] порядка n, элементы которой равны

Определение. Матрицей связности графа G называется квадратная матрица S(G)=[sij] порядка n, элементы которой равны

Утверждение. Пусть G=(V,X) – граф, V={v1,…, vn}, A(G) – его матрица смежности. Тогда

S(G)=sign[E+A+A2+A3+… An-1] (E- единичная матрица порядка n).

(Следует из предыдущего).

Утверждение. Пусть D=(V,X) – орграф, V={v1,…, vn}, A(D) – его матрица смежности. Тогда

  1.  T(D)=sign[E+A+A2+A3+… An-1],
  2.  S(D)=T(D)TT(D)  (TT-транспонированная матрица, - поэлементное умножение).

Алгоритм выделения компонент сильной связности.

1. Присваиваем p=1, S1=S(D).

2. Включаем в множество вершин Vp компоненты сильной связности Dp=(Vp,Xp) вершины, соответствующие единицам первой строки матрицы Sp. В качестве матрицы A(Dp) возьмем подматрицу матрицы A(D), состоящую из элементов матрицы A, находящихся на пересечении строк и столбцов, соответствующих вершинам из Vp.

3. Вычеркиваем из Sp строки и столбцы, соответствующие вершинам из Vp. Если не остается ни одной строки (и столбца), то p- кол-во компонент сильной связности. В противном случае обозначим оставшуюся после вычеркивания срок и столбцов матрицу Sp+1, присваиваем p:=p+1 и переходим к п. 2.

Пример.

,

,

,

,

T(D)=sign[E+A+A2+A3+A4]=,

S(D)=TTT=.

Выделение компонент (сильной) связности.

1. p=1,

2. V1={v1, v3, v5},   

D1

3. ,

2'. V2={v2 },   

D2

3'. ,

2''. V3={v4 },

D3


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

18760. Методы исследования ППИ молодёжи 26.08 KB
  Методы исследования ППИ молодёжи. Сущность метода экспертной оценки. Метод попарного сравнения. Метод опроса наблюдения контент анализ. Фокус группа. Модерация. Сущность экспертной оценки. Метод экспертных оценок одна из форма получения и оценки маркетингово
18761. Социальная безопасность молодежи 24.21 KB
  Социальная безопасность молодежи. Сущность и структура безопасности личности и общества. Жизнь людей во все времена была небезопасна. С момента рождения человека подстерегают многочисленные опасности его существованию и благополучию: голод болезни хищные животные...
18762. Молодежь в информационном обществе 22.57 KB
  Молодежь в информационном обществе. Теории и концепции развития информационного общества. Функции и свойства информации. Роль информации в аграрном индустриальном и постиндустриальном обществе. Роль молодежи в информационном обществе. Информационное общество со
18763. Малые и большие группы: особенности работы 28.97 KB
  Малые и большие группы: особенности работы. Малая группа: особенности виды структура. Под малой группой понимается немногочисленная по составу группа члены которой объединены общей социальной деятельностью и находится в непосредственном личном общении что является...
18764. Характеристика молодежных СМИ в современной России 25.01 KB
  Характеристика молодежных СМИ в современной России. Функции и типология СМИ. 21 век справедливо называют веком информации. Ее развитие стремительно и далеко не однозначно. Современное общество все более зависит от информационных потоков. В новых исторических условиях...
18765. Место общения в системе общественных и межличностных отношений 24.07 KB
  Место общения в системе общественных и межличностных отношений. Общение и деятельность. Структура общения. Общение как обмен информацией. Особенности вербального и невербального общения. Роль общения для молодёжи в общественных и межличностных отношениях. Общение и ...
18766. Коммуникационный процесс в молодежной среде 27.6 KB
  Коммуникационный процесс в молодежной среде. Коммуникация и коммуникативность. Коммуникативность это процесс взаимодействия между людьми в ходе которого возникают проявляются и формируются межличностные отношения. Коммуникативность предполагает обмен мыслям чу
18767. Сущность и содержание паблик рилейшинз 29.44 KB
  Сущность и содержание паблик рилейшинз. Паблик рилейшинз и реклама. Существует более 500 определений пиар. Рэкс Харлоу предложил определение в котором попытался обобщить все 500 определений: PR это особая функция управления призванная устанавливать и поддерживать взаи...
18768. Избирательная компания как способ вовлечения молодого человека в политическую жизнь общества 25.07 KB
  Избирательная компания как способ вовлечения молодого человека в политическую жизнь общества. Избирательная компания как способ вовлечения в политическую жизнь общества. Избирательная компания это система агитационных мероприятий которые проводят политические...