67600

Связность. Компоненты связности

Лекция

Математика и математический анализ

Компоненты связности Определения. Компонентой связности графа G сильной связности орграфа D наз. Матрицы достижимости и связности Пусть D матрица смежности ориентированного псевдографа D=VX или псевдографа G=VX где V={v1 vn}. Тогда отношение эквивалентности...

Русский

2014-09-12

135 KB

11 чел.

Лекция 9

Связность. Компоненты связности  

Определения.

Подграфом графа G  называется граф, все вершины и ребра которого содержатся среди вершин и ребер графа G. (Для орграфа то же).

Подграф наз. собственным, если он отличен от самого графа.

Говорят, что вершина w орграфа D (графа G) достижима из верш. v, если либо w=v, либо существует путь (маршрут) из v в w.

Граф (орграф) наз связным (сильно связным), если для любых двух его вершин v, w существует маршрут (путь), соединяющий v и w.

Орграф наз односторонне связным, если для любых двух его вершин по крайней мере одна достижима из другой.

Псевдографом, ассоциированным с ориентированным псевдографом D=(V,X) наз. псевдограф G=(V,X0), в котором X0 получается из X заменой всех упорядоченных пар (v,w) на неупорядоченные {v,w}.

Орграф наз слабо связным, если связным является ассоциированный с ним псевдограф.

Если граф (орграф) не является связным (слабо связным), то он наз. несвязным.

Компонентой связности графа G (сильной связности орграфа D) наз. его связный (сильно связный) подграф, не являющийся собственным подграфом никакого другого связного (сильно связного) подграфа графа G (орграфа D).

Примеры.

Матрицы достижимости и связности

Пусть A(D) – матрица смежности ориентированного псевдографа D=(V,X) (или псевдографа G=(V,X)), где V={v1,…, vn}. Обозначим через Ak=[a(k)ij] k-ю степень матрицы смежности A(D).

Утверждение. Элемент a(k)ij матрицы Ak ориентированного псевдографа D=(V,X) (псевдографа G=(V,X)) равен числу всех путей (маршрутов) длины k из vi в vj.

Д-во

Для k=1 очевидно в силу построения матрицы A(D).

Пусть это справедливо для n=k-1. Т.е. в матрице Ak-1 в i-той строке на l-том месте стоит число, означающее кол-во маршрутов из vi в vl длины k1. Столбец под номером j матрицы A содержит числа, означающие кол-во дуг (ребер) из vl в vj (l-номер строки). Тогда скалярное произведение i-той строки матрицы Ak-1 на j-тый столбец матрицы A равен сумме произведений. Каждое произведение означает кол-во путей из vi в vj, проходящих через vl на предпоследнем шаге. В сумме получается общее кол-во.

Утверждение. Для того, чтобы n-вершинный орграф D с матрицей смежности A=A(D) имел хотя бы один контур, чтобы матрица K=A2+A3+… An имела ненулевые диагональные элементы (следствие предыдущего).

Пусть -отношение достижимости на множестве V всех вершин (неориентированного) графа G. (либо v=w, либо маршрут, соединяющий v и w).

Тогда

  1.  -отношение эквивалентности;
  2.  vw  вершины v,w принадлежат одной компоненте связности;
  3.  для класса эквивалентности V1 псевдограф G1, порожденный множеством V1, является компонентой связности псевдографа G.

Для орграфа.

Пусть 1-отношение достижимости на множестве V всех вершин ориентированного псевдографа D. Пусть 2-отношение двусторонней достижимости на множестве V. (2=11-1). Тогда

  1.  1 - рефлексивно, транзитивно;
  2.  2 – эквивалентность на V;
  3.  v2w  когда вершины v,w  одной компоненте сильной связности;
  4.  для класса эквивалентности V1 ориент. псевдограф D1, порожденный множеством V1, является компонентой связности ор. псевдографа G.

Число компонент сильной связности орграфа D обозначается P(D). (для неор. - P(G).

Определение. Под операцией удаления вершины из графа (орграфа) будем понимать операцию, заключающуюся в удалении некоторой вершины вместе с с инцидентными ей ребрами (дугами).

Определение. Вершина графа, удаление которой увеличивает число компонент связности, называется точкой сочленения.

Пример.

Утверждение. Если D' – орграф, полученный в результате удаления нескольких вершин из орграфа D, то матрица смежности A(D') получается из матрицы смежности A(D) в результате удаления строк и столбцов, соответствующих удаленным вершинам. (Для неор. графа то же самое).

Определение. Матрицей достижимости орграфа D называется квадратная матрица T(D)=[tij] порядка n, элементы которой равны

Определение. Матрицей сильной связности орграфа D называется квадратная матрица S(D)=[sij] порядка n, элементы которой равны

Определение. Матрицей связности графа G называется квадратная матрица S(G)=[sij] порядка n, элементы которой равны

Утверждение. Пусть G=(V,X) – граф, V={v1,…, vn}, A(G) – его матрица смежности. Тогда

S(G)=sign[E+A+A2+A3+… An-1] (E- единичная матрица порядка n).

(Следует из предыдущего).

Утверждение. Пусть D=(V,X) – орграф, V={v1,…, vn}, A(D) – его матрица смежности. Тогда

  1.  T(D)=sign[E+A+A2+A3+… An-1],
  2.  S(D)=T(D)TT(D)  (TT-транспонированная матрица, - поэлементное умножение).

Алгоритм выделения компонент сильной связности.

1. Присваиваем p=1, S1=S(D).

2. Включаем в множество вершин Vp компоненты сильной связности Dp=(Vp,Xp) вершины, соответствующие единицам первой строки матрицы Sp. В качестве матрицы A(Dp) возьмем подматрицу матрицы A(D), состоящую из элементов матрицы A, находящихся на пересечении строк и столбцов, соответствующих вершинам из Vp.

3. Вычеркиваем из Sp строки и столбцы, соответствующие вершинам из Vp. Если не остается ни одной строки (и столбца), то p- кол-во компонент сильной связности. В противном случае обозначим оставшуюся после вычеркивания срок и столбцов матрицу Sp+1, присваиваем p:=p+1 и переходим к п. 2.

Пример.

,

,

,

,

T(D)=sign[E+A+A2+A3+A4]=,

S(D)=TTT=.

Выделение компонент (сильной) связности.

1. p=1,

2. V1={v1, v3, v5},   

D1

3. ,

2'. V2={v2 },   

D2

3'. ,

2''. V3={v4 },

D3


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

5874. Проблема правонарушений в юридической науке 134 KB
  Выбирая тему курсовой работы, мы, прежде всего, руководствовались тем, насколько она актуальна для нашего времени. На сегодняшний день проблема правонарушений остается в юридической науке столь же сложной и противоречивой, как и ранее. Ее а...
5875. Источники и показатели монопольной власти 141 KB
  Проблемы монополизации хозяйственной жизни, конкуренция на рынке привлекают сегодня не только специалистов, но и широких слоев населения. С начала 1990-х гг. эти проблемы остро стали перед Республикой Беларусь. Без принятия твёрдых и послед...
5876. Обработка сообщений клавиатуры, мыши, таймера 161 KB
  Обработка сообщений клавиатуры, мыши, таймера При создании приложений рекомендуется реализовать все функциональные возможности программы не только с помощью мыши, но и с помощью клавиатуры. Синхронизация событий клавиатуры Приложение узнает о нажати...
5877. Стили классов окон и оконные стили, Различные метрики Windows, Управление окнами Windows 133.5 KB
  Стили классов окон и оконные стили, Различные метрики Windows, Управление окнами Windows Рассмотрим различные типы окон, которые может создать приложение Windows. На базе одного класса окна приложение может создать несколько окон. Все эти окна могут...
5878. Электростатика. Сила электрического взаимодействия 91.5 KB
  Электростатика. Сила электрического взаимодействия. Сила электрического взаимодействия действует на расстоянии. Постулаты (факты, которые нельзя доказать). Существует некое количество, называемое зарядом, которое определяет взаимодействие тел...
5879. Основы безопасности жизнедеятельности в сфере государственно-правовых отношений 452.5 KB
  Брак и семья, основные понятия. Условия и порядок заключения брака. История создания Вооруженных Сил РФ, ее связь с историей и становлением Российского государства. Вопрос 1 Семья - это группа людей, связанных браком, кровным...
5880. Теоретические основы земельного управления 135.5 KB
  Шпора к экзамену по предмету Теоретические основы з/у 1. Каково экономическое значение земли в общественном производстве. Место и роль земли в общественном производстве, бесспорно, огромная, но к различных ее отраслях она выполняет неравнозначную ро...
5881. Международные валютные отношения 113 KB
  Международные валютные отношения Эволюция международной валютной системы. Валютный рынок и валютное регулирование. Основные формы конвертируемости валют и условия их формирования Цель темы - раскрыть сущность международной валютной системы в пр...
5882. Особенности управления оборотными средствами 101 KB
  В данной курсовой работе на основании различных литературных источников я раскрыла понятие и экономическая сущность оборотных средств, их значение для деятельности предприятия, особенности управления оборотными средствами, а также пути пов...