67601

Задача поиска маршрутов в графе (путей в орграфе)

Задача

Математика и математический анализ

Исходя из некоторой вершины всегда следовать по тому ребру которое не было пройдено или было пройдено в противоположном направлении. 3 Для всякой вершины отмечать ребро по которому в вершину попали в первый раз 4 Исходя из некоторой вершины идти по первому заходящему в ребру лишь тогда когда нет других...

Русский

2014-09-12

362.5 KB

9 чел.

Лекция №10

Задача поиска маршрутов в графе (путей в орграфе)

Алгоритм Тэрри поиска маршрута в связном графе, соединяющего вершины  и  .

Правила.

1) Идя по произвольному ребру всегда отмечать направление его прохождения.

2) Исходя из некоторой вершины  всегда следовать по тому ребру, которое не было пройдено или было пройдено в противоположном направлении.

3) Для всякой вершины  отмечать ребро по которому в вершину попали в первый раз

4) Исходя из некоторой вершины  идти по первому заходящему в  ребру лишь тогда, когда нет других возможностей.

Замечание: из полученного пути можно выделить простую цепь.

Поиск оптимального пути (маршрута) (т.е пути с наименьшим числом дуг или ребер)

Утверждения:

1) каждый минимальный путь (маршрут) является простой цепью

Доказательство.

Пусть  минимальный путь в орграфе D, не являющийся простой цепью. Тогда  i и j такие, что  и vi=vj. Рассмотрим путь . Его длина меньше, чем , что противоречит предположению.

2) (о минимальности подпути минимального пути). Пусть  - минимальный путь (маршрут) в орграфе D (в графе G). Тогда для  i и j таких, что  путь (маршрут)  тоже является минимальным.

Доказательство. Предположим, что  не является оптимальным, тогда  т.ч. он короче чем . Тогда заменив  на  в  можно найти более короткий, чем  путь  не является минимальным. Пришли к противоречию.

Пусть  орграф - некоторая вершина .

Обозначим - образ вершины ;

- прообраз вершины ;

- образ множества вершин V1 ;

прообраз множества вершин V1.

Для неориентированного графа образ и прообраз совпадают.

Пусть  граф .

Обозначим - образ вершины ;

- образ множества вершин V1.

Пусть  орграф с n2 вершинами и v,w (vw) – заданные вершины из V 

Алгоритм поиска минимального пути из  в  в орграфе D

(алгоритм фронта волны).

1) Помечаем вершину  индексом 0, затем помечаем вершины образу вершины  индексом 1. Обозначаем их FW1 (v). Полагаем k=1.

2) Если  или k=n-1, и одновременно то вершина  не достижима из . Работа алгоритма заканчивается.

В противном случае продолжаем:

3) Если , то переходим к шагу 4.

В противном случае мы нашли минимальный путь из  в  и его длина =k. Последовательность вершин

есть этот минимальный путь. Работа завершается.

4) Помечаем индексом k+1 все непомеченные вершины, которые принадлежат образу множества вершин c индексом k. Множество вершин с индексом k+1 обозначаем . Присваиваем k:=k+1 и переходим к 2).

Замечания

Множество  называется фронтом волны kго уровня.

Вершины  могут быть выделены неоднозначно, что соответствует случаю, если  несколько min путей из  в .

Пример 1. Дана матрица смежности. Найти минимальный путь из v1 в v6.

Исх\вход

0

0

0

1

1

0

1

0

0

1

1

1

1

1

0

1

1

1

0

1

1

0

1

0

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

1

0

0

2

2

1

1

3

,  

Пример 2. Дан орграф.

Задание. Найти минимальный путь из v1 в v6.

Матрица смежности

Исх\вход

0

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

1

1

1

0

1

1

1

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

1

1

3

Расстояния в графе

Пусть - граф (или псевдограф).

Расстоянием между вершинами  наз. min длина пути между ними. .

Расстояние в графе удовл. аксиомам метрики

1) ,

2)  (не орграф)

3)

4)  в связном графе ( в орграфе, если не  пути).

Пример

1

2

3

4

5

6

1

1

1

0

0

21

0

2

0

0

1

0

0

0

3

0

0

0

0

0

1

4

1

1

0

0

0

0

5

0

0

1

1

0

0

6

0

1

0

0

0

0

Из 1

0

1

2

2

1

3

Из 2

0

1

2

Из 3

2

0

1

Из 4

1

1

2

0

2

3

Из 5

2

3

1

1

0

2

Из 6

1

2

0

опр || Пусть  связный граф (или псевдограф).

Величина  - называется диаметром графа G.

Пусть .

Величина  - называется максимальным удалением (эксцентриситетом) в графе G от вершины .

Радиусом графа G наз. величина

Любая верш.  такая, что  наз. центром графа G.

                          

Матрица смежности

0

1

0

0

0

1

0

1

1

0

0

1

0

1

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

0

Матрица расстояний

0

1

2

2

3

1

0

1

1

2

2

1

0

1

2

2

1

1

0

1

3

2

2

1

0

Центры в вершинах 2,3,4

Примеры.

Матрица смежности

1

2

3

4

5

6

1

0

1

0

0

1

0

2

1

0

0

1

0

1

3

0

0

0

0

1

1

4

0

1

0

0

1

0

5

1

0

1

1

0

0

6

0

1

1

0

0

0

Матрица расстояний

1

2

3

4

5

6

1

0

1

2

2

1

2

2

1

0

2

1

2

1

3

2

2

0

2

1

1

4

2

1

2

0

1

2

5

1

2

1

1

0

2

6

2

1

1

2

2

0

, центр - все вершины


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78546. Учимся жить дружно 45.5 KB
  Цель классного часа - формирование добрых отношений между детьми в классе, развитие стремления быть терпимым в обществе людей, воспитания уважения к одноклассникам.
78547. Знай, люби, бережи природу рідного краю 4.85 MB
  Змістові питання Розкрити цінності природи для людини Показати різноманітність кімнатних рослин Скласти правила догляду за кімнатними рослинами Визначити рослини в народній творчості Визначити групи птахів за способом живлення та місцем проживання...
78548. Жива природа 184.5 KB
  Когнітивні рівні Конкретизовані навчальні цілі Перелік завдань –запитань які забезпечують досягнення конкретних цілей Навчальне методичне забезпечення Знання формулює визначення поняття природа; знає що таке жива і нежива природа; називає основні 5 царств живої природи...
78549. Гриби та дроб’янки 2.61 MB
  Формування предметних компетентностей: формувати в учнів поняття: гриби дроб’янки бактерії з’ясувати чому це окремі царства живої природи; знайомити дітей із найпоширенішими видами їстівних та отруйних грибів; прослідкувати вплив корисних та хвороботворних бактерій на довкілля...
78550. Формы земной поверхности Украины 116 KB
  Сегодня нас ждут наверно не зря: Холмы и равнины овраги и горы Чтобы больше о них узнать Надо карту уметь читать Быть внимательным уметь наблюдать. Горы обладают удивительным свойством настраивать человека на особый торжественный лад.
78551. Посвята в першокласники 137.5 KB
  Я всміхаюсь сонечку: Здрастуй золоте Я всміхаюсь квіточці: Хай вона росте Я всміхаюсь дощику: Лийся мов з відра Усміхаюсь людям Зичу їм добра Вчитель: Дітки Першого вересня ви переступили поріг школи. Ви прийшли до школи щоб навчитись читати й писати рахувати а також бути хорошими людьми.
78552. МОЇ ПРИХОВАНІ ПОТЕНЦІАЛИ — МОЯ ІНДИВІДУАЛЬНІСТЬ 204.5 KB
  Якщо ви хочете бути задоволені вашою роботою вам також необхідно зрозуміти що ви за особистість. Можна задатися питанням чи так вже необхідно визначати особові параметри. З свого досвіду ми знаємо що на короткий проміжок часу ми можемо поступати так як нам не властиво.