67601

Задача поиска маршрутов в графе (путей в орграфе)

Задача

Математика и математический анализ

Исходя из некоторой вершины всегда следовать по тому ребру которое не было пройдено или было пройдено в противоположном направлении. 3 Для всякой вершины отмечать ребро по которому в вершину попали в первый раз 4 Исходя из некоторой вершины идти по первому заходящему в ребру лишь тогда когда нет других...

Русский

2014-09-12

362.5 KB

10 чел.

Лекция №10

Задача поиска маршрутов в графе (путей в орграфе)

Алгоритм Тэрри поиска маршрута в связном графе, соединяющего вершины  и  .

Правила.

1) Идя по произвольному ребру всегда отмечать направление его прохождения.

2) Исходя из некоторой вершины  всегда следовать по тому ребру, которое не было пройдено или было пройдено в противоположном направлении.

3) Для всякой вершины  отмечать ребро по которому в вершину попали в первый раз

4) Исходя из некоторой вершины  идти по первому заходящему в  ребру лишь тогда, когда нет других возможностей.

Замечание: из полученного пути можно выделить простую цепь.

Поиск оптимального пути (маршрута) (т.е пути с наименьшим числом дуг или ребер)

Утверждения:

1) каждый минимальный путь (маршрут) является простой цепью

Доказательство.

Пусть  минимальный путь в орграфе D, не являющийся простой цепью. Тогда  i и j такие, что  и vi=vj. Рассмотрим путь . Его длина меньше, чем , что противоречит предположению.

2) (о минимальности подпути минимального пути). Пусть  - минимальный путь (маршрут) в орграфе D (в графе G). Тогда для  i и j таких, что  путь (маршрут)  тоже является минимальным.

Доказательство. Предположим, что  не является оптимальным, тогда  т.ч. он короче чем . Тогда заменив  на  в  можно найти более короткий, чем  путь  не является минимальным. Пришли к противоречию.

Пусть  орграф - некоторая вершина .

Обозначим - образ вершины ;

- прообраз вершины ;

- образ множества вершин V1 ;

прообраз множества вершин V1.

Для неориентированного графа образ и прообраз совпадают.

Пусть  граф .

Обозначим - образ вершины ;

- образ множества вершин V1.

Пусть  орграф с n2 вершинами и v,w (vw) – заданные вершины из V 

Алгоритм поиска минимального пути из  в  в орграфе D

(алгоритм фронта волны).

1) Помечаем вершину  индексом 0, затем помечаем вершины образу вершины  индексом 1. Обозначаем их FW1 (v). Полагаем k=1.

2) Если  или k=n-1, и одновременно то вершина  не достижима из . Работа алгоритма заканчивается.

В противном случае продолжаем:

3) Если , то переходим к шагу 4.

В противном случае мы нашли минимальный путь из  в  и его длина =k. Последовательность вершин

есть этот минимальный путь. Работа завершается.

4) Помечаем индексом k+1 все непомеченные вершины, которые принадлежат образу множества вершин c индексом k. Множество вершин с индексом k+1 обозначаем . Присваиваем k:=k+1 и переходим к 2).

Замечания

Множество  называется фронтом волны kго уровня.

Вершины  могут быть выделены неоднозначно, что соответствует случаю, если  несколько min путей из  в .

Пример 1. Дана матрица смежности. Найти минимальный путь из v1 в v6.

Исх\вход

0

0

0

1

1

0

1

0

0

1

1

1

1

1

0

1

1

1

0

1

1

0

1

0

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

1

0

0

2

2

1

1

3

,  

Пример 2. Дан орграф.

Задание. Найти минимальный путь из v1 в v6.

Матрица смежности

Исх\вход

0

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

1

1

1

0

1

1

1

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

1

1

3

Расстояния в графе

Пусть - граф (или псевдограф).

Расстоянием между вершинами  наз. min длина пути между ними. .

Расстояние в графе удовл. аксиомам метрики

1) ,

2)  (не орграф)

3)

4)  в связном графе ( в орграфе, если не  пути).

Пример

1

2

3

4

5

6

1

1

1

0

0

21

0

2

0

0

1

0

0

0

3

0

0

0

0

0

1

4

1

1

0

0

0

0

5

0

0

1

1

0

0

6

0

1

0

0

0

0

Из 1

0

1

2

2

1

3

Из 2

0

1

2

Из 3

2

0

1

Из 4

1

1

2

0

2

3

Из 5

2

3

1

1

0

2

Из 6

1

2

0

опр || Пусть  связный граф (или псевдограф).

Величина  - называется диаметром графа G.

Пусть .

Величина  - называется максимальным удалением (эксцентриситетом) в графе G от вершины .

Радиусом графа G наз. величина

Любая верш.  такая, что  наз. центром графа G.

                          

Матрица смежности

0

1

0

0

0

1

0

1

1

0

0

1

0

1

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

0

Матрица расстояний

0

1

2

2

3

1

0

1

1

2

2

1

0

1

2

2

1

1

0

1

3

2

2

1

0

Центры в вершинах 2,3,4

Примеры.

Матрица смежности

1

2

3

4

5

6

1

0

1

0

0

1

0

2

1

0

0

1

0

1

3

0

0

0

0

1

1

4

0

1

0

0

1

0

5

1

0

1

1

0

0

6

0

1

1

0

0

0

Матрица расстояний

1

2

3

4

5

6

1

0

1

2

2

1

2

2

1

0

2

1

2

1

3

2

2

0

2

1

1

4

2

1

2

0

1

2

5

1

2

1

1

0

2

6

2

1

1

2

2

0

, центр - все вершины


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

4348. Графический пользовательский интерфейс. Лекционный материал 770 KB
  Введение Итак, мы подошли через построение структуры контента и проектирование интерактивного процесса к последней части архитектуры – интерфейсу. Графическому пользовательскому интерфейсу /3/: графический – в нем применяются как рис...
4349. Интернет технологии: история, возможности, средства 202 KB
  Интернет технологии: история, возможности, средства История Интернет Возможности Интернет Как работает Интернет Web-приложения Инструменты создания web – сайтов и приложений История Интернет В 1969 году в США была создана компьютерная сеть ARPA...
4350. Архитектура интернет-технологий 260 KB
  Как работает Интернет Основные компоненты HTML - протоколы Адресация в сети Интернет Схема поиска IP-адреса по доменному имени Сервисы Интернет (основные службы) Утилиты Как работает Интернет Поддержка функционирования Web-серверов предусматривает с...
4351. Создание WEB – САЙТА 201 KB
  Классификация сайтов Организационно- технические вопросы создания сайта Основные этапы создания Web сайта Рекомендации по созданию сайта Проблемы создания сайта Что нужно, чтобы создать эффективную сеть сайтов Классификация сайтов В настоящее время ...
4352. Раскрутка WEB-Сайтов 256.5 KB
  Термины. Методы раскрутки сайта. Регистрация в поисковых системах и каталогах. Регистрация на поисковых сайтах и директориях. Что такое индекс цитирования Ссылочное ранжирование. Влияние собственных ресурсов поисковых машин. Перспективы развития...
4353. Управление содержанием WEB Сайтов 288 KB
  Управление содержанием WEB Сайтов Основные функции поддержки работоспособности сайта Сбор информационных материалов. Источники информации для Web сайта Обеспечение доступа к Web сайту (техническая поддержка, хостинг). Обновление информации на Web са...
4354. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ КОМПЬЮТЕРА 175.69 KB
  РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ КОМПЬЮТЕРА Решение задач с помощью компьютера включает в себя следующие основные этапы, часть из которых осуществляется без участия компьютера.
4355. Компьютерная схемотехника и архитектура компьютеров 446.5 KB
  Комбинационным цифровым устройством (КЦУ) называется устройство, выходные сигналы которого в некоторый момент времени работы однозначно определяются лишь сигналами, действующими в тот же момент времени на его входах. В КЦУ отсутствуют элементы памят...
4356. Україна в другій половині хх – на початку ххі ст.: Становлення незалежності 306.5 KB
  Вступ Вивчення основних тенденцій суспільно-політичного, економічного і духовного розвитку України на межі ІІ і ІІІ тисячоліть становить актуальне завдання багатьох соціально-гуманітарних дисциплін. У курсі історії України головним є осмислення істо...