67602

Минимальные пути, (маршруты) в нагруженных орграфах (графах)

Лекция

Математика и математический анализ

Примеры латинских свойств. Не проходить через данную вершину (или через множество вершин). Не проходить через данную дугу (или через множество дуг). Быть простой цепью (или простым контуром). Быть цепью или контуром. Не проходить через каждую вершину более k раз.

Русский

2014-09-12

223.5 KB

2 чел.

Лекция №11

Минимальные пути, (маршруты) в нагруженных орграфах (графах)

опр || назовем орграф D=(V,X) нагруженным, если на множестве дуг X определена некоторая функция , которую называют весовой функцией

Числа – вес дуги, (цена дуги).

Для любого пути П нагруженного орграфа D обозначим через l(П) сумму длин дуг, входящих в путь П. (Каждая дуга считается столько раз, сколько она входит в путь П).

Величина l называется длиной пути. Если выбрать веса равными 1, то придем к ненагруженному графу.

Опр. Путь в нагр. орграфе из вершины v в верш. w, где vw, называется минимальным, если он имеет наименьшую длину.

Аналогично определяется минимальный маршрут в нагр. графе.

Задачи на min П имеет смысл ставить тогда, когда нет отрицательных замкнутых путей (иначе можно повторять цикл многократно, уменьшая «длину»).

Свойства min путей в нагруженном орграфе

1) Если для дуги  , то  min путь (маршрут) является простой цепью;

2) если  min путь (маршрут) то для  i,j :  путь (маршрут)  тоже является min

Доказывается аналогично св-вам ненагруж. графа.

3) если  min путь (маршрут) среди путей (марш.) из v в w, содержащих не более k+1 дуг (ребер), то  min путь (маршрут) из v в u среди путей (марш.), содержащих не более k дуг (ребер).

Поиск  min пути.

Пусть D=(V,X) – нагр. орграф, V={v1,… vn}, n>1. Введем величины , где i=1,…,n, k=1,2,…,n-1.

Для каждого фиксированного i и k величина  равна длине min пути среди путей из v1 в vi содержащих не более k дуг. Если путей нет, то .

Положим также .

Введем матрицу длин дуг C(D)=[cij] порядка n, причем

Утверждение. При i=2,…,n, k0 выполняется равенство

(Принцип динамического программирования. Использовать его позволяют свойства 2,3 min путей).

Алгоритм Форда-Беллмана нахождения min пути в нагруженном орграфе D из v1 в vi.(i1).

( записываем в виде матрицы, i- строка, k-столбец).

1) Составляем табл. , i=1,…,n, k=0,…,n-1. Если , то пути из v1 в vi нет. Конец алгоритма.

2) Если  то это число выражает длину любого min пути из v1 в vi. Найдем min k11, при котором . По определению  получим, что k1- min число дуг в пути среди всех min путей из v1 в vi.

3) Затем определяем номера i2,…,  такие, что

,

,

. . . . . . . . . . . . .

,

Пример. v1v6 

v1

v2

v3

v4

v5

v6

v1

5

5

2

12

0

0

0

0

0

0

v2

2

7

5

5

5

v3

2

5

3

3

3

3

v4

2

5

4

4

4

4

v5

1

2

2

2

2

2

2

v6

12

12

9

7

7

Путь v1v6

7=5+2 (2-ая стр.)

5=3+2 (3-я стр.)

3=1+2 (5-я стр.)

2=0+2 (1-я стр.)

Путь v1v5v3v2v6

Примеры

Специальные пути в орграфах (маршруты в графах).

Рассмотрим орграфы.

Определение. Свойство называется латинским, если из того, что путь =12, где 1, 2  (множество всех путей в орграфе) обладает свойством , следует, что пути 1, 2 также обладают свойством .

Примеры латинских свойств.

  1.  Не проходить через данную вершину (или через множество вершин).
  2.  Не проходить через данную дугу (или через множество дуг).
  3.  Быть простой цепью (или простым контуром).
  4.  Быть цепью или контуром.
  5.  Не проходить через каждую вершину более k раз.

Определение. Матричный способ перечисления путей в орграфе, обладающих заданным латинским свойством , называют методом латинской комбинации.

Введем бинарную операцию . Пусть 1=v1v2vk (мн-во путей, обладающих свойством ), 2=w1w2wL. Положим

Положим ==.

Введем латинскую матрицу  размерности nn такую, что  - множество путей длины k из vi в vj, обладающих свойством , (, если таких путей нет).

Под результатом комбинации  будем понимать квадратную матрицу C=[cij] порядка n с элементами

(аналогично произведению матриц: строка на столбец).

Утверждение. При любом k1 выполняется

Пример. Найти все простые цепи длины 3 в орграфе D:

     

v1v2

v1v3

v1v2v3

v1v2v4

v1v3v4

v2v3

v2v4

v2v4v1

v2v3v4

v3v4

v3v4v1

v3v4v2

v4v1

v4v2

v4v1v2

v4v1v3

v4v2v3

v1v3v4v2

v1v2v3v4

v2v3v4v1

v2v4v1v3

v3v4v1v2

v4v1v2v3

Дополнение. Найти простые контура длины 4 в том же орграфе (свойство ).

Для этого используем матрицу , полученную при решении предыдущей задачи

v1v2

v1v3

v2v3

v2v4

v3v4

v4v1

v4v2

v1v3v4v2

v1v2v3v4

v2v3v4v1

v2v4v1v3

=

v3v4v1v2

v4v1v2v3

v1v2v3v4v1

v2v3v4v1v2

v3v4v1v2v3

v4v1v2v3v4

Пример 2.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

67030. Путь к гармонии 100 KB
  Оборудование: мини-проекты толковый словарь правила Шаги к успеху и гармонии эмоциональный термометр индикаторы настроения ступенчатая шкала Этапы пути к гармонии. А чтобы достигнуть всего этого человек прежде всего должен находиться в гармонии с самим собой.
67031. Не руйнуй гармонії земної 107.5 KB
  Глобальною проблемою стали кислотні дощі, які гублять рослинність, знищують життя в прісних водах, це і негативні наслідки науково-технічної революції, неконтрольоване зростання населення Землі, кількість якого вже перевищила критичну межу, дедалі більше забруднення атмосфери, гідросфери.
67032. Що таке гендерна рівність? Всі ми – різні, але всі ми – однакові 4.19 MB
  Мета: ознайомити дітей з поняттями “гендер”, “гендерна рівність” та основами гендерно-правового законодавства України. Формувати в учнів інтерес до навчання з даної теми. Розвивати мислення, пам’ять, увагу та активізувати словниковий запас. Виховувати людяність, гуманність та толерантне ставлення один до одного, бажання приносити користь у суспільстві.
67033. Я люблю географію 100.5 KB
  Організаційний момент Сьогодні між командами змагання Нехай образ не буде серед вас Бо переможцем або переможеним Сьогодні може бути хтось із вас. За кожну правильну відповідь команда отримує 1 бал а за музичний конкурс 2 бали. 1 раунд Географічний лікбез командам прпонується однакове завдання: необхідно на слух правильно написати географічну...
67034. Географічна гра «Щасливий випадок» 69 KB
  Мета гри – дає можливість перевірити рівень засвоєних знань,виявити вміння застосовувати набуті знання, розвивати інтерес і пізнавальну діяльність учнів,сприяє розвитку навичок спілкування між підлітками. В грі приймають участь 2 команди по 5-6 учнів в кожній.
67035. Прямоугольный, остроугольный и тупоугольный треугольники 126 KB
  Цели урока: Обучающие: формировать понятие о прямоугольном, остроугольном, тупоугольном треугольниках; учить анализировать объекты; Развивающие: развивать речь, память, воображение, творческое мышление; Воспитывающие: учить выполнять работу аккуратно, уважать мнение других, жить в коллективе.
67036. Проект «Герб і прапор класу» 236.5 KB
  Мета: Сприяти формуванню особистісних якостей, виховувати особистість, якій притаманні демократична громадянська культура, готовність до компетентної участі у житті суспільства. Розвивати національну свідомість. Вивчення геральдики країни, області, міста, гімназії Виховувати патріотизм, повагу до української державної символіки.
67037. День Рождения. Покупки. Mein Geburtstag. Einkaufen 56 KB
  Цель урока: Развитие навыков говорения по теме. Формирование навыков культуры поведения, соблюдение правил этикета во время праздника. Оборудование: учебник, рабочая тетрадь, схема супермаркета, картинки с рисунками товаров, поздравительные открытки, приглашение на день рождения.
67038. Johann Wolfgang von Goethe – das Gesicht der deutschen Literatur 3.79 MB
  Літературознавчий матеріал розрахований для використання на уроках в старших класах, для проведення позакласних заходів під час шкільних предметних тижнів іноземної мови, для роботи гуртків та факультативів з німецької мови. За допомогою тематичної лексики, тематичних текстів...