67602

Минимальные пути, (маршруты) в нагруженных орграфах (графах)

Лекция

Математика и математический анализ

Примеры латинских свойств. Не проходить через данную вершину (или через множество вершин). Не проходить через данную дугу (или через множество дуг). Быть простой цепью (или простым контуром). Быть цепью или контуром. Не проходить через каждую вершину более k раз.

Русский

2014-09-12

223.5 KB

2 чел.

Лекция №11

Минимальные пути, (маршруты) в нагруженных орграфах (графах)

опр || назовем орграф D=(V,X) нагруженным, если на множестве дуг X определена некоторая функция , которую называют весовой функцией

Числа – вес дуги, (цена дуги).

Для любого пути П нагруженного орграфа D обозначим через l(П) сумму длин дуг, входящих в путь П. (Каждая дуга считается столько раз, сколько она входит в путь П).

Величина l называется длиной пути. Если выбрать веса равными 1, то придем к ненагруженному графу.

Опр. Путь в нагр. орграфе из вершины v в верш. w, где vw, называется минимальным, если он имеет наименьшую длину.

Аналогично определяется минимальный маршрут в нагр. графе.

Задачи на min П имеет смысл ставить тогда, когда нет отрицательных замкнутых путей (иначе можно повторять цикл многократно, уменьшая «длину»).

Свойства min путей в нагруженном орграфе

1) Если для дуги  , то  min путь (маршрут) является простой цепью;

2) если  min путь (маршрут) то для  i,j :  путь (маршрут)  тоже является min

Доказывается аналогично св-вам ненагруж. графа.

3) если  min путь (маршрут) среди путей (марш.) из v в w, содержащих не более k+1 дуг (ребер), то  min путь (маршрут) из v в u среди путей (марш.), содержащих не более k дуг (ребер).

Поиск  min пути.

Пусть D=(V,X) – нагр. орграф, V={v1,… vn}, n>1. Введем величины , где i=1,…,n, k=1,2,…,n-1.

Для каждого фиксированного i и k величина  равна длине min пути среди путей из v1 в vi содержащих не более k дуг. Если путей нет, то .

Положим также .

Введем матрицу длин дуг C(D)=[cij] порядка n, причем

Утверждение. При i=2,…,n, k0 выполняется равенство

(Принцип динамического программирования. Использовать его позволяют свойства 2,3 min путей).

Алгоритм Форда-Беллмана нахождения min пути в нагруженном орграфе D из v1 в vi.(i1).

( записываем в виде матрицы, i- строка, k-столбец).

1) Составляем табл. , i=1,…,n, k=0,…,n-1. Если , то пути из v1 в vi нет. Конец алгоритма.

2) Если  то это число выражает длину любого min пути из v1 в vi. Найдем min k11, при котором . По определению  получим, что k1- min число дуг в пути среди всех min путей из v1 в vi.

3) Затем определяем номера i2,…,  такие, что

,

,

. . . . . . . . . . . . .

,

Пример. v1v6 

v1

v2

v3

v4

v5

v6

v1

5

5

2

12

0

0

0

0

0

0

v2

2

7

5

5

5

v3

2

5

3

3

3

3

v4

2

5

4

4

4

4

v5

1

2

2

2

2

2

2

v6

12

12

9

7

7

Путь v1v6

7=5+2 (2-ая стр.)

5=3+2 (3-я стр.)

3=1+2 (5-я стр.)

2=0+2 (1-я стр.)

Путь v1v5v3v2v6

Примеры

Специальные пути в орграфах (маршруты в графах).

Рассмотрим орграфы.

Определение. Свойство называется латинским, если из того, что путь =12, где 1, 2  (множество всех путей в орграфе) обладает свойством , следует, что пути 1, 2 также обладают свойством .

Примеры латинских свойств.

  1.  Не проходить через данную вершину (или через множество вершин).
  2.  Не проходить через данную дугу (или через множество дуг).
  3.  Быть простой цепью (или простым контуром).
  4.  Быть цепью или контуром.
  5.  Не проходить через каждую вершину более k раз.

Определение. Матричный способ перечисления путей в орграфе, обладающих заданным латинским свойством , называют методом латинской комбинации.

Введем бинарную операцию . Пусть 1=v1v2vk (мн-во путей, обладающих свойством ), 2=w1w2wL. Положим

Положим ==.

Введем латинскую матрицу  размерности nn такую, что  - множество путей длины k из vi в vj, обладающих свойством , (, если таких путей нет).

Под результатом комбинации  будем понимать квадратную матрицу C=[cij] порядка n с элементами

(аналогично произведению матриц: строка на столбец).

Утверждение. При любом k1 выполняется

Пример. Найти все простые цепи длины 3 в орграфе D:

     

v1v2

v1v3

v1v2v3

v1v2v4

v1v3v4

v2v3

v2v4

v2v4v1

v2v3v4

v3v4

v3v4v1

v3v4v2

v4v1

v4v2

v4v1v2

v4v1v3

v4v2v3

v1v3v4v2

v1v2v3v4

v2v3v4v1

v2v4v1v3

v3v4v1v2

v4v1v2v3

Дополнение. Найти простые контура длины 4 в том же орграфе (свойство ).

Для этого используем матрицу , полученную при решении предыдущей задачи

v1v2

v1v3

v2v3

v2v4

v3v4

v4v1

v4v2

v1v3v4v2

v1v2v3v4

v2v3v4v1

v2v4v1v3

=

v3v4v1v2

v4v1v2v3

v1v2v3v4v1

v2v3v4v1v2

v3v4v1v2v3

v4v1v2v3v4

Пример 2.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

19934. СОЦІАЛІЗАЦІЯ ОСОБИСТОСТІ В СУСПІЛЬСТВІ 110 KB
  Під соціалізацією в сучасній соціології зазвичай розуміють процес засвоєння індивідом зразків поведінки, психологічних механізмів, соціальних норм і цінностей, необхідних для успішного функціонування індивіда в даному суспільстві.
19935. СОЦІОЛОГІЯ ШЛЮБУ І СІМ’Ї 122.5 KB
  ТЕМА 9 СОЦІОЛОГІЯ ШЛЮБУ І СІМЇ ПЛАН 1. Поняття шлюбу та сімї. 2. Соціальні функції сімї. 3. Тенденції проблеми та тенденції розвитку сучасної сімї. 1. Поняття шлюбу та сімї Сім'я являє собою об'єднання людей пов'язаних спільністю побуту та взаємною відповідал...
19936. ПОНЯТТЯ ТА РІЗНОВИДИ СОЦІОЛОГІЧНИХ ДОСЛІДЖЕНЬ 104 KB
  ЛЕКЦІЯ 17 ПОНЯТТЯ ТА РІЗНОВИДИ СОЦІОЛОГІЧНИХ ДОСЛІДЖЕНЬ ПЛАН 1. Сутність та вимоги до соціологічного дослідження. 2. Типологія соціологічних досліджень. 3. Програма та робочий план соціологічного дослідження. 1. Сутність та вимоги до соціологічного дослідження ...
19937. МЕТОДИ ПРОВЕДЕННЯ СОЦІОЛОГІЧНОГО ДОСЛІДЖЕННЯ 142 KB
  Перші згадування про проведення опитувань відносяться до часів Стародавнього світу. Як правило, вони пов'язувалися із встановленням чисельності населення, яке здатне носити зброю і сплачувати податки. Становлення опитування як наукового методу здобуття інформації відноситься до кінця XIX століття. Саме у цей період відбуваються масові переписи населення, ведеться облік врожаїв, худоби, землі, засобів виробництва, збирається інформація з моральної статистики тощо.
19938. Интеллектуальная собственность. Основы Авторского Патентного Права 15.13 KB
  Лекция №1 Тема: Интеллектуальная собственность Предмет: Основы Авторского Патентного Права. Потребность общества в тех или иных предметах потребления движет прогресс намного быстрее чем десятки университетов. Появление живописи в свое время привело к современно
19939. Произведения, не охраняемые авторским правом. Виды авторского права 21.05 KB
  Лекция №2 Тема: Произведения не охраняемые авторским правом. Виды авторского права. Не охраняется авторским правом: сообщения о новостях дня или текущих событиях имеющие характер обычной прессинформации; произведения народного творчества фольклор; изд
19940. Таможенная граница. Регистрация объектов ИС 18.34 KB
  Лекция №3 Тема: таможенная граница. Товары которые содержат объекты интеллектуальной собственности ИС импортируются или экспортируются. Украинскими или иностранными субъектами предпринимательской внешнеэкономической деятельности независимо от форм собственнос...
19942. Право на вознаграждение за создание и использование произведений 18.79 KB
  Тема: Право на вознаграждение за создание и использование произведений Вознаграждение выплачивается автору произведения как при его создании по договору заказа так и созданию произведения по трудовому договору. По договору заказа кроме вознаграждения за создани