67602

Минимальные пути, (маршруты) в нагруженных орграфах (графах)

Лекция

Математика и математический анализ

Примеры латинских свойств. Не проходить через данную вершину (или через множество вершин). Не проходить через данную дугу (или через множество дуг). Быть простой цепью (или простым контуром). Быть цепью или контуром. Не проходить через каждую вершину более k раз.

Русский

2014-09-12

223.5 KB

3 чел.

Лекция №11

Минимальные пути, (маршруты) в нагруженных орграфах (графах)

опр || назовем орграф D=(V,X) нагруженным, если на множестве дуг X определена некоторая функция , которую называют весовой функцией

Числа – вес дуги, (цена дуги).

Для любого пути П нагруженного орграфа D обозначим через l(П) сумму длин дуг, входящих в путь П. (Каждая дуга считается столько раз, сколько она входит в путь П).

Величина l называется длиной пути. Если выбрать веса равными 1, то придем к ненагруженному графу.

Опр. Путь в нагр. орграфе из вершины v в верш. w, где vw, называется минимальным, если он имеет наименьшую длину.

Аналогично определяется минимальный маршрут в нагр. графе.

Задачи на min П имеет смысл ставить тогда, когда нет отрицательных замкнутых путей (иначе можно повторять цикл многократно, уменьшая «длину»).

Свойства min путей в нагруженном орграфе

1) Если для дуги  , то  min путь (маршрут) является простой цепью;

2) если  min путь (маршрут) то для  i,j :  путь (маршрут)  тоже является min

Доказывается аналогично св-вам ненагруж. графа.

3) если  min путь (маршрут) среди путей (марш.) из v в w, содержащих не более k+1 дуг (ребер), то  min путь (маршрут) из v в u среди путей (марш.), содержащих не более k дуг (ребер).

Поиск  min пути.

Пусть D=(V,X) – нагр. орграф, V={v1,… vn}, n>1. Введем величины , где i=1,…,n, k=1,2,…,n-1.

Для каждого фиксированного i и k величина  равна длине min пути среди путей из v1 в vi содержащих не более k дуг. Если путей нет, то .

Положим также .

Введем матрицу длин дуг C(D)=[cij] порядка n, причем

Утверждение. При i=2,…,n, k0 выполняется равенство

(Принцип динамического программирования. Использовать его позволяют свойства 2,3 min путей).

Алгоритм Форда-Беллмана нахождения min пути в нагруженном орграфе D из v1 в vi.(i1).

( записываем в виде матрицы, i- строка, k-столбец).

1) Составляем табл. , i=1,…,n, k=0,…,n-1. Если , то пути из v1 в vi нет. Конец алгоритма.

2) Если  то это число выражает длину любого min пути из v1 в vi. Найдем min k11, при котором . По определению  получим, что k1- min число дуг в пути среди всех min путей из v1 в vi.

3) Затем определяем номера i2,…,  такие, что

,

,

. . . . . . . . . . . . .

,

Пример. v1v6 

v1

v2

v3

v4

v5

v6

v1

5

5

2

12

0

0

0

0

0

0

v2

2

7

5

5

5

v3

2

5

3

3

3

3

v4

2

5

4

4

4

4

v5

1

2

2

2

2

2

2

v6

12

12

9

7

7

Путь v1v6

7=5+2 (2-ая стр.)

5=3+2 (3-я стр.)

3=1+2 (5-я стр.)

2=0+2 (1-я стр.)

Путь v1v5v3v2v6

Примеры

Специальные пути в орграфах (маршруты в графах).

Рассмотрим орграфы.

Определение. Свойство называется латинским, если из того, что путь =12, где 1, 2  (множество всех путей в орграфе) обладает свойством , следует, что пути 1, 2 также обладают свойством .

Примеры латинских свойств.

  1.  Не проходить через данную вершину (или через множество вершин).
  2.  Не проходить через данную дугу (или через множество дуг).
  3.  Быть простой цепью (или простым контуром).
  4.  Быть цепью или контуром.
  5.  Не проходить через каждую вершину более k раз.

Определение. Матричный способ перечисления путей в орграфе, обладающих заданным латинским свойством , называют методом латинской комбинации.

Введем бинарную операцию . Пусть 1=v1v2vk (мн-во путей, обладающих свойством ), 2=w1w2wL. Положим

Положим ==.

Введем латинскую матрицу  размерности nn такую, что  - множество путей длины k из vi в vj, обладающих свойством , (, если таких путей нет).

Под результатом комбинации  будем понимать квадратную матрицу C=[cij] порядка n с элементами

(аналогично произведению матриц: строка на столбец).

Утверждение. При любом k1 выполняется

Пример. Найти все простые цепи длины 3 в орграфе D:

     

v1v2

v1v3

v1v2v3

v1v2v4

v1v3v4

v2v3

v2v4

v2v4v1

v2v3v4

v3v4

v3v4v1

v3v4v2

v4v1

v4v2

v4v1v2

v4v1v3

v4v2v3

v1v3v4v2

v1v2v3v4

v2v3v4v1

v2v4v1v3

v3v4v1v2

v4v1v2v3

Дополнение. Найти простые контура длины 4 в том же орграфе (свойство ).

Для этого используем матрицу , полученную при решении предыдущей задачи

v1v2

v1v3

v2v3

v2v4

v3v4

v4v1

v4v2

v1v3v4v2

v1v2v3v4

v2v3v4v1

v2v4v1v3

=

v3v4v1v2

v4v1v2v3

v1v2v3v4v1

v2v3v4v1v2

v3v4v1v2v3

v4v1v2v3v4

Пример 2.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

73373. We cook dishes 1.07 MB
  The theme of our lesson is “We cook dishes”. Today we’ll speak about food, learn new words, discuss healthy and unhealthy food and your likes and dislikes in your eating habits. Then we’ll revise lexical and grammar material and finally you’ll teach us how to cook your favourite dishes.
73374. Використання сучасних педагогічних технологій контролю навчальних досягнень учнів на уроках української мови та літератури 2.44 MB
  План вступ; основна частина; висновки; список використаної літератури; Вступ Важливою умовою підвищення ефективності навчального процесу є систематичне отримання вчителем обєктивної інформації про хід навчально-пізнавальної діяльності учнів.
73375. Уславлення мудрості, кмітливості людини в казці «Мудра дівчина» 275.1 KB
  Мета: Навчальна: опрацювати ідейно-художній зміст казки Мудра дівчина з’ясувати її тему та ідею проаналізувати казку на прикладі головної героїні зрозуміти що таке мудрість. Сьогодні завдяки казці Мудра дівчина ми дізнаємось якою є мудра людина і як вона може користуватися своєю мудрістю.
73376. Народне уявлення про добро і зло в казці «Ох» 62.07 KB
  Без праці ми б не змогли пересуватися за допомогою літаків пароплавів машин а ходили би пішки та навіть голі бо не могли би пошити собі одягу. Існує багато прислівїв та приказок які розповідають про важливість праці: Без труда нема плода Хочеш їсти калачі не сиди на печі та інші.
73377. Я маю багато іграшок 106.82 KB
  Повторити вивчений лексичний матеріал, формувати вміння ставити запитання What is this?, давати на нього відповідь; практикувати учнів у вживанні структур I have got a ball. And you? – I have got a ball too. Ознайомити з буквами англійського алфавіту Aa, Bb.
73378. Розвиток зв’язного мовлення. «З глибин моря дістають перлини, а з глибин книг — знання». Твір-роздум за прислів’ями 140.47 KB
  Навчальна: закріплювати навички правильно будувати текст-міркування, вчити розкривати абстрактно-загальні поняття. Виховна: виховувати людяність, гуманізм у стосунках, великодушність та самопожертву, скромність, бережливе ставлення до природи.
73379. «Хто розмовляє?», «Хто сестра і брат?», «Хто вона?». Особливості поетичної мови Л. Глібова 135.01 KB
  Навчальна: проаналізувати програмні ліричні твори; визначити художні засоби, образність та особливості поетичної мови. Виховна: формувати шанобливе ставлення до поетичного слова. Розвивальна: розвивати творчу уяву, логічне мислення, виразне декламування віршів.
73380. Література рідного краю. Микола Кирилович Возіянов. «Легенда про Харків» 83.38 KB
  Навчальна: ознайомити учнів із цікавими сторінками біографії автора; опрацювати ідейно-художній зміст твору, визначити його тему й ідею, охарактеризувати головних персонажів. Виховна: прищеплювати інтерес до літератури рідного краю.
73381. Олександр Олесь (Кандиба). «Микита Кожум’яка» 169.8 KB
  Навчальна: опрацювати ідейно-художній зміст твору, визначити його тему й ідею, охарактеризувати головних персонажів та сюжет. Виховна: виховувати пошану до героїв нашого народу. Розвивальна: розвивати творчу уяву, логічне мислення, культуру мовлення, виразне читання.