67602

Минимальные пути, (маршруты) в нагруженных орграфах (графах)

Лекция

Математика и математический анализ

Примеры латинских свойств. Не проходить через данную вершину (или через множество вершин). Не проходить через данную дугу (или через множество дуг). Быть простой цепью (или простым контуром). Быть цепью или контуром. Не проходить через каждую вершину более k раз.

Русский

2014-09-12

223.5 KB

2 чел.

Лекция №11

Минимальные пути, (маршруты) в нагруженных орграфах (графах)

опр || назовем орграф D=(V,X) нагруженным, если на множестве дуг X определена некоторая функция , которую называют весовой функцией

Числа – вес дуги, (цена дуги).

Для любого пути П нагруженного орграфа D обозначим через l(П) сумму длин дуг, входящих в путь П. (Каждая дуга считается столько раз, сколько она входит в путь П).

Величина l называется длиной пути. Если выбрать веса равными 1, то придем к ненагруженному графу.

Опр. Путь в нагр. орграфе из вершины v в верш. w, где vw, называется минимальным, если он имеет наименьшую длину.

Аналогично определяется минимальный маршрут в нагр. графе.

Задачи на min П имеет смысл ставить тогда, когда нет отрицательных замкнутых путей (иначе можно повторять цикл многократно, уменьшая «длину»).

Свойства min путей в нагруженном орграфе

1) Если для дуги  , то  min путь (маршрут) является простой цепью;

2) если  min путь (маршрут) то для  i,j :  путь (маршрут)  тоже является min

Доказывается аналогично св-вам ненагруж. графа.

3) если  min путь (маршрут) среди путей (марш.) из v в w, содержащих не более k+1 дуг (ребер), то  min путь (маршрут) из v в u среди путей (марш.), содержащих не более k дуг (ребер).

Поиск  min пути.

Пусть D=(V,X) – нагр. орграф, V={v1,… vn}, n>1. Введем величины , где i=1,…,n, k=1,2,…,n-1.

Для каждого фиксированного i и k величина  равна длине min пути среди путей из v1 в vi содержащих не более k дуг. Если путей нет, то .

Положим также .

Введем матрицу длин дуг C(D)=[cij] порядка n, причем

Утверждение. При i=2,…,n, k0 выполняется равенство

(Принцип динамического программирования. Использовать его позволяют свойства 2,3 min путей).

Алгоритм Форда-Беллмана нахождения min пути в нагруженном орграфе D из v1 в vi.(i1).

( записываем в виде матрицы, i- строка, k-столбец).

1) Составляем табл. , i=1,…,n, k=0,…,n-1. Если , то пути из v1 в vi нет. Конец алгоритма.

2) Если  то это число выражает длину любого min пути из v1 в vi. Найдем min k11, при котором . По определению  получим, что k1- min число дуг в пути среди всех min путей из v1 в vi.

3) Затем определяем номера i2,…,  такие, что

,

,

. . . . . . . . . . . . .

,

Пример. v1v6 

v1

v2

v3

v4

v5

v6

v1

5

5

2

12

0

0

0

0

0

0

v2

2

7

5

5

5

v3

2

5

3

3

3

3

v4

2

5

4

4

4

4

v5

1

2

2

2

2

2

2

v6

12

12

9

7

7

Путь v1v6

7=5+2 (2-ая стр.)

5=3+2 (3-я стр.)

3=1+2 (5-я стр.)

2=0+2 (1-я стр.)

Путь v1v5v3v2v6

Примеры

Специальные пути в орграфах (маршруты в графах).

Рассмотрим орграфы.

Определение. Свойство называется латинским, если из того, что путь =12, где 1, 2  (множество всех путей в орграфе) обладает свойством , следует, что пути 1, 2 также обладают свойством .

Примеры латинских свойств.

  1.  Не проходить через данную вершину (или через множество вершин).
  2.  Не проходить через данную дугу (или через множество дуг).
  3.  Быть простой цепью (или простым контуром).
  4.  Быть цепью или контуром.
  5.  Не проходить через каждую вершину более k раз.

Определение. Матричный способ перечисления путей в орграфе, обладающих заданным латинским свойством , называют методом латинской комбинации.

Введем бинарную операцию . Пусть 1=v1v2vk (мн-во путей, обладающих свойством ), 2=w1w2wL. Положим

Положим ==.

Введем латинскую матрицу  размерности nn такую, что  - множество путей длины k из vi в vj, обладающих свойством , (, если таких путей нет).

Под результатом комбинации  будем понимать квадратную матрицу C=[cij] порядка n с элементами

(аналогично произведению матриц: строка на столбец).

Утверждение. При любом k1 выполняется

Пример. Найти все простые цепи длины 3 в орграфе D:

     

v1v2

v1v3

v1v2v3

v1v2v4

v1v3v4

v2v3

v2v4

v2v4v1

v2v3v4

v3v4

v3v4v1

v3v4v2

v4v1

v4v2

v4v1v2

v4v1v3

v4v2v3

v1v3v4v2

v1v2v3v4

v2v3v4v1

v2v4v1v3

v3v4v1v2

v4v1v2v3

Дополнение. Найти простые контура длины 4 в том же орграфе (свойство ).

Для этого используем матрицу , полученную при решении предыдущей задачи

v1v2

v1v3

v2v3

v2v4

v3v4

v4v1

v4v2

v1v3v4v2

v1v2v3v4

v2v3v4v1

v2v4v1v3

=

v3v4v1v2

v4v1v2v3

v1v2v3v4v1

v2v3v4v1v2

v3v4v1v2v3

v4v1v2v3v4

Пример 2.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

58360. Строение тела человека 60.5 KB
  Цель урока: Дать первоначальные сведения о работе внутренних органов человека. Задачи урока: обучающие: ввести понятие «внешнее» и «внутреннее» строение тела человека; познакомить с частями и внутренними органами человека...
58361. Урок Памяти, посвященный празднованию 65-летней годовщине Великой Победы 52.5 KB
  О Великой Отечественной войне; нарисовать рисунок на военную тематику; поинтересоваться у родителей бабушек дедушек об участии родственников в войне а по возможности найти и принести на урок фотографии того времени. Выставку подборку книг о войне так же можно составить с помощью детей.
58363. Урок письма 79.5 KB
  С этим трудно спорить но скажите вы любите получать письма от родных и близких Вам нравится их читать А чего не хватает коротким электронным сообщениям или мобильным звонкам Им не хватает теплоты душевности ведь когда читаешь письмо словно разговариваешь с близким тебе человеком.
58365. Свойства равнобедренного треугольника 1.51 MB
  Организационный момент Учитель: Здравствуйте ребята Сегодня на уроке мы совершим путешествие в Страну Треугольников. Остров высказываний Учитель: Мы только начали изучать великую страну Геометрия ее законы и обычаи. Учитель раздает карточки учащимся.
58366. Природа и люди Древней Индии 100.5 KB
  Учащиеся должны знать: географическое положение природные условия занятия религиозные верования жителей Индии. Стадия вызова: На доске иллюстрации по Индии и звучит музыка. Ребята как вы думаете что объединяет эту музыку и иллюстрации которые вы увидели...
58367. Отечественная война 1812 года 47 KB
  Цели урока: Обучающие цели: создать условия для формирования представления о войне 1812 года; показать общую картину Отечественной войны кто начал когда между какими государствами происходила итоги войны.