67602

Минимальные пути, (маршруты) в нагруженных орграфах (графах)

Лекция

Математика и математический анализ

Примеры латинских свойств. Не проходить через данную вершину (или через множество вершин). Не проходить через данную дугу (или через множество дуг). Быть простой цепью (или простым контуром). Быть цепью или контуром. Не проходить через каждую вершину более k раз.

Русский

2014-09-12

223.5 KB

2 чел.

Лекция №11

Минимальные пути, (маршруты) в нагруженных орграфах (графах)

опр || назовем орграф D=(V,X) нагруженным, если на множестве дуг X определена некоторая функция , которую называют весовой функцией

Числа – вес дуги, (цена дуги).

Для любого пути П нагруженного орграфа D обозначим через l(П) сумму длин дуг, входящих в путь П. (Каждая дуга считается столько раз, сколько она входит в путь П).

Величина l называется длиной пути. Если выбрать веса равными 1, то придем к ненагруженному графу.

Опр. Путь в нагр. орграфе из вершины v в верш. w, где vw, называется минимальным, если он имеет наименьшую длину.

Аналогично определяется минимальный маршрут в нагр. графе.

Задачи на min П имеет смысл ставить тогда, когда нет отрицательных замкнутых путей (иначе можно повторять цикл многократно, уменьшая «длину»).

Свойства min путей в нагруженном орграфе

1) Если для дуги  , то  min путь (маршрут) является простой цепью;

2) если  min путь (маршрут) то для  i,j :  путь (маршрут)  тоже является min

Доказывается аналогично св-вам ненагруж. графа.

3) если  min путь (маршрут) среди путей (марш.) из v в w, содержащих не более k+1 дуг (ребер), то  min путь (маршрут) из v в u среди путей (марш.), содержащих не более k дуг (ребер).

Поиск  min пути.

Пусть D=(V,X) – нагр. орграф, V={v1,… vn}, n>1. Введем величины , где i=1,…,n, k=1,2,…,n-1.

Для каждого фиксированного i и k величина  равна длине min пути среди путей из v1 в vi содержащих не более k дуг. Если путей нет, то .

Положим также .

Введем матрицу длин дуг C(D)=[cij] порядка n, причем

Утверждение. При i=2,…,n, k0 выполняется равенство

(Принцип динамического программирования. Использовать его позволяют свойства 2,3 min путей).

Алгоритм Форда-Беллмана нахождения min пути в нагруженном орграфе D из v1 в vi.(i1).

( записываем в виде матрицы, i- строка, k-столбец).

1) Составляем табл. , i=1,…,n, k=0,…,n-1. Если , то пути из v1 в vi нет. Конец алгоритма.

2) Если  то это число выражает длину любого min пути из v1 в vi. Найдем min k11, при котором . По определению  получим, что k1- min число дуг в пути среди всех min путей из v1 в vi.

3) Затем определяем номера i2,…,  такие, что

,

,

. . . . . . . . . . . . .

,

Пример. v1v6 

v1

v2

v3

v4

v5

v6

v1

5

5

2

12

0

0

0

0

0

0

v2

2

7

5

5

5

v3

2

5

3

3

3

3

v4

2

5

4

4

4

4

v5

1

2

2

2

2

2

2

v6

12

12

9

7

7

Путь v1v6

7=5+2 (2-ая стр.)

5=3+2 (3-я стр.)

3=1+2 (5-я стр.)

2=0+2 (1-я стр.)

Путь v1v5v3v2v6

Примеры

Специальные пути в орграфах (маршруты в графах).

Рассмотрим орграфы.

Определение. Свойство называется латинским, если из того, что путь =12, где 1, 2  (множество всех путей в орграфе) обладает свойством , следует, что пути 1, 2 также обладают свойством .

Примеры латинских свойств.

  1.  Не проходить через данную вершину (или через множество вершин).
  2.  Не проходить через данную дугу (или через множество дуг).
  3.  Быть простой цепью (или простым контуром).
  4.  Быть цепью или контуром.
  5.  Не проходить через каждую вершину более k раз.

Определение. Матричный способ перечисления путей в орграфе, обладающих заданным латинским свойством , называют методом латинской комбинации.

Введем бинарную операцию . Пусть 1=v1v2vk (мн-во путей, обладающих свойством ), 2=w1w2wL. Положим

Положим ==.

Введем латинскую матрицу  размерности nn такую, что  - множество путей длины k из vi в vj, обладающих свойством , (, если таких путей нет).

Под результатом комбинации  будем понимать квадратную матрицу C=[cij] порядка n с элементами

(аналогично произведению матриц: строка на столбец).

Утверждение. При любом k1 выполняется

Пример. Найти все простые цепи длины 3 в орграфе D:

     

v1v2

v1v3

v1v2v3

v1v2v4

v1v3v4

v2v3

v2v4

v2v4v1

v2v3v4

v3v4

v3v4v1

v3v4v2

v4v1

v4v2

v4v1v2

v4v1v3

v4v2v3

v1v3v4v2

v1v2v3v4

v2v3v4v1

v2v4v1v3

v3v4v1v2

v4v1v2v3

Дополнение. Найти простые контура длины 4 в том же орграфе (свойство ).

Для этого используем матрицу , полученную при решении предыдущей задачи

v1v2

v1v3

v2v3

v2v4

v3v4

v4v1

v4v2

v1v3v4v2

v1v2v3v4

v2v3v4v1

v2v4v1v3

=

v3v4v1v2

v4v1v2v3

v1v2v3v4v1

v2v3v4v1v2

v3v4v1v2v3

v4v1v2v3v4

Пример 2.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53044. Фрактали – це наука чи краса 6.62 MB
  Обговорення та складання плану роботи кожною групою проекту. «Історики» отримали завдання зібрати відомості про дослідження та виникнення поняття «фрактал», а також про вчених, які зробили внесок у розвиток цієї теми
53045. Сучасний образ Франції 2.06 MB
  Обладнання: політична карта світу карта Франції стенди Будинки мод і косметика Франції Французькі актори Архітектурні скарбниці Географи науковці Франції Вчені французи . Дорогі друзі сьогодні ми спробуємо уявити що тиждень тому ви повернулись із Франції де кожен із вас місяць працював за фахом. Ви вивчали причини успіхів і проблеми сучасної Франції порівнювали їх з українськими думали й аналізували.
53047. Співтворчість: Учитель – Учень 1.1 MB
  Це поривання душі й серця що колись були наче весняні зелені листочки†які пахли радістю щастям молодим сильним коханням. Завірюха загасила кохання та мрії і листочки зів’яли скрутились розвіялись за вітром. Збірка складається з трьох циклів – трьох жмутків†по 20 віршів у кожному: це немов три акти драми а Франко назвав жанр збірки ліричною драмою†в яких розвивається історія кохання від його зародження зміцнення через надії на щастя до розчарування безнадії відчаю трагедії. Кожен Жмуток†– це шматок душі...
53049. Господарство Франції 93 KB
  Фронтальна бесіда: Яка площа території Великобританії Скільки у країні проживає чоловік Яка офіційна назва країни Який адміністративнотериторіальний поділ Великобританії Який державний лад має Великобританія Що таке геополітичне положення країни 2. Офіціальною головою держави Великобританії є: А королева Б король В шейх 3. Рівень урбанізації в Великобританії складає: А 70 Б 80 В 76 Г 90 Д 45 5. Тваринництво Великобританії має переважно напрямок: А молочном’ясний Б молочний В м’ясний 7.
53050. Семья моего друга 47.5 KB
  Je vondrais te presenter ma copine Helene. Elle est ma meilleure amie. Helene est ukrainienne. Elle est en 5eme. Sa famille n`est pas grande. Ils sont quatre: sa mere, son pere, son frere et Helene. Elle a deux grands-meres et deuxgrands-peres. Mon amie Helene a une tante. Olga et un oncle Michel. Elle a aussi deux cousines: Anna et Panline. On s`amuse beaucoup. Helene adore sa famille.
53051. Інтерактивні методи на уроках французької мови 46 KB
  Схильність учня до активної творчої діяльності формується на уроках різних типів на яких учителі використовують досягнення передових педагогічних технологій інновації сучасні методи та прийоми навчання. Сучасне навчання – це навчання мета якого – розвиток гнучкого мислення учнів а знання є умовою реалізації цієї мети. Обов'язковими умовами такого навчання є висока активність учнів у навчальному процесі опора на їхній суб'єктний досвід створення на уроках проблемних ситуацій. Це й є інтерактивним навчанням.
53052. Різдво у Франції (La Fête de Noël, en France) 75.5 KB
  Мета: Ознайомити з традиціями та культурою країни, мова якої вивчається. Виховання добротою: перенести учнів у казковий світ зимової казки та чудових перетворень.