67602

Минимальные пути, (маршруты) в нагруженных орграфах (графах)

Лекция

Математика и математический анализ

Примеры латинских свойств. Не проходить через данную вершину (или через множество вершин). Не проходить через данную дугу (или через множество дуг). Быть простой цепью (или простым контуром). Быть цепью или контуром. Не проходить через каждую вершину более k раз.

Русский

2014-09-12

223.5 KB

2 чел.

Лекция №11

Минимальные пути, (маршруты) в нагруженных орграфах (графах)

опр || назовем орграф D=(V,X) нагруженным, если на множестве дуг X определена некоторая функция , которую называют весовой функцией

Числа – вес дуги, (цена дуги).

Для любого пути П нагруженного орграфа D обозначим через l(П) сумму длин дуг, входящих в путь П. (Каждая дуга считается столько раз, сколько она входит в путь П).

Величина l называется длиной пути. Если выбрать веса равными 1, то придем к ненагруженному графу.

Опр. Путь в нагр. орграфе из вершины v в верш. w, где vw, называется минимальным, если он имеет наименьшую длину.

Аналогично определяется минимальный маршрут в нагр. графе.

Задачи на min П имеет смысл ставить тогда, когда нет отрицательных замкнутых путей (иначе можно повторять цикл многократно, уменьшая «длину»).

Свойства min путей в нагруженном орграфе

1) Если для дуги  , то  min путь (маршрут) является простой цепью;

2) если  min путь (маршрут) то для  i,j :  путь (маршрут)  тоже является min

Доказывается аналогично св-вам ненагруж. графа.

3) если  min путь (маршрут) среди путей (марш.) из v в w, содержащих не более k+1 дуг (ребер), то  min путь (маршрут) из v в u среди путей (марш.), содержащих не более k дуг (ребер).

Поиск  min пути.

Пусть D=(V,X) – нагр. орграф, V={v1,… vn}, n>1. Введем величины , где i=1,…,n, k=1,2,…,n-1.

Для каждого фиксированного i и k величина  равна длине min пути среди путей из v1 в vi содержащих не более k дуг. Если путей нет, то .

Положим также .

Введем матрицу длин дуг C(D)=[cij] порядка n, причем

Утверждение. При i=2,…,n, k0 выполняется равенство

(Принцип динамического программирования. Использовать его позволяют свойства 2,3 min путей).

Алгоритм Форда-Беллмана нахождения min пути в нагруженном орграфе D из v1 в vi.(i1).

( записываем в виде матрицы, i- строка, k-столбец).

1) Составляем табл. , i=1,…,n, k=0,…,n-1. Если , то пути из v1 в vi нет. Конец алгоритма.

2) Если  то это число выражает длину любого min пути из v1 в vi. Найдем min k11, при котором . По определению  получим, что k1- min число дуг в пути среди всех min путей из v1 в vi.

3) Затем определяем номера i2,…,  такие, что

,

,

. . . . . . . . . . . . .

,

Пример. v1v6 

v1

v2

v3

v4

v5

v6

v1

5

5

2

12

0

0

0

0

0

0

v2

2

7

5

5

5

v3

2

5

3

3

3

3

v4

2

5

4

4

4

4

v5

1

2

2

2

2

2

2

v6

12

12

9

7

7

Путь v1v6

7=5+2 (2-ая стр.)

5=3+2 (3-я стр.)

3=1+2 (5-я стр.)

2=0+2 (1-я стр.)

Путь v1v5v3v2v6

Примеры

Специальные пути в орграфах (маршруты в графах).

Рассмотрим орграфы.

Определение. Свойство называется латинским, если из того, что путь =12, где 1, 2  (множество всех путей в орграфе) обладает свойством , следует, что пути 1, 2 также обладают свойством .

Примеры латинских свойств.

  1.  Не проходить через данную вершину (или через множество вершин).
  2.  Не проходить через данную дугу (или через множество дуг).
  3.  Быть простой цепью (или простым контуром).
  4.  Быть цепью или контуром.
  5.  Не проходить через каждую вершину более k раз.

Определение. Матричный способ перечисления путей в орграфе, обладающих заданным латинским свойством , называют методом латинской комбинации.

Введем бинарную операцию . Пусть 1=v1v2vk (мн-во путей, обладающих свойством ), 2=w1w2wL. Положим

Положим ==.

Введем латинскую матрицу  размерности nn такую, что  - множество путей длины k из vi в vj, обладающих свойством , (, если таких путей нет).

Под результатом комбинации  будем понимать квадратную матрицу C=[cij] порядка n с элементами

(аналогично произведению матриц: строка на столбец).

Утверждение. При любом k1 выполняется

Пример. Найти все простые цепи длины 3 в орграфе D:

     

v1v2

v1v3

v1v2v3

v1v2v4

v1v3v4

v2v3

v2v4

v2v4v1

v2v3v4

v3v4

v3v4v1

v3v4v2

v4v1

v4v2

v4v1v2

v4v1v3

v4v2v3

v1v3v4v2

v1v2v3v4

v2v3v4v1

v2v4v1v3

v3v4v1v2

v4v1v2v3

Дополнение. Найти простые контура длины 4 в том же орграфе (свойство ).

Для этого используем матрицу , полученную при решении предыдущей задачи

v1v2

v1v3

v2v3

v2v4

v3v4

v4v1

v4v2

v1v3v4v2

v1v2v3v4

v2v3v4v1

v2v4v1v3

=

v3v4v1v2

v4v1v2v3

v1v2v3v4v1

v2v3v4v1v2

v3v4v1v2v3

v4v1v2v3v4

Пример 2.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

58428. Персидская держава «царя царей» 47 KB
  Вавилонский царь Хаммурапи некогда владея не только Южным Междуречьем но и Северным Ассирией 17921750 г. Древнее предание рассказывает: Могущественный вавилонский царь Навуходоносор выбрал себе в жены красавицуцаревну из горной страны Мидии. Огорчен был царь. Твоему горю можно помочь отвечал ей царь.
58429. Решение уравнений производства. Закон установления цен на продукты и услуги 72.5 KB
  Произведённое количество счётного товара (А) пока определенно только наугад; но и его следует определить так, чтобы предприниматели не имели ни прибыли, ни убытков. Но для этого, естественно, необходимо, чтобы себестоимость счетного товара была равна его продажной цене.
58430. Учись быть верным другом. Избрание Апостолов 118 KB
  Развивать эстетический вкус творческие способности детей. Приветствие С любовью и с радостью встречайте детей. Молитва Пригласите детей помолиться за свои огорчения и радости поблагодарить Бога за все и попросите благословения на этот урок. Всех детей поблагодарите за участие за старание вместе с ними ещё раз полюбуйтесь совместной работой подведите к выводу что одному было бы сложно выполнить такую работу а команде это под силу.
58431. Декларація прав дитини. Основний Закон держави. Обовязки батьків та дітей 54.5 KB
  Мета. Формувати в учнів уявлення про Декларацію прав дитини, Основний Закон нашої держави. Зясувати обовязки батьків і дітей. Виховувати шанобливе ставлення до батьків.
58432. Национальная экономика 45 KB
  Основные цели национальной экономики Макроэкономика изучает: процессы использования разнообразных ресурсов которыми располагает общество для удовлетворения потребностей людей. Предметом макроэкономики являются закономерности развития и функционирования национальной экономики...
58433. Учись быть благодарным. Десять прокаженных 158 KB
  Показать им что в нашей жизни есть множество поводов благодарить Бога.Молитва Предложите детям совершить молитву и попросить у Бога благословения на этот урок.Мотивация Ребята когда мы говорим Спасибо А что хорошее сделал вам Бог За что же мы должны благодарить Бога За пищу за одежду за здоровье. Бога в небесах.
58434. ПРОБЛЕМЫ ПРАВОВОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ ОТНОШЕНИЙ УЧАСТИЯ В ДОГОВОРЕ ДОЛЕВОГО СТРОИТЕЛЬСТВА ЖИЛЫХ ПОМЕЩЕНИЙ 353.5 KB
  Появление и дальнейшее развитие договора участия в долевом строительстве в российском законодательстве имеют огромное значение для решения жилищной проблемы, поскольку надежное правовое регулирование отношений долевого строительства - гарантия успешного развития данных отношений
58435. Чудесная любовь Иисуса. Пасха 156 KB
  Побудить детей своими поступками не огорчать Иисуса но быть всегда послушными исполнительными дружелюбными. И спросил правитель Иисуса: Ты Царь Иудейский Иисус отвечал: Ты говоришь. В чем же он заключался Бог Отец послал Сына Иисуса на землю сказать людям чтобы они перестали делать злые дела поверили в Бога и исполняли Его заповеди.
58436. Религия 47.5 KB
  Религия как форма мировоззрения; Структура и функции религии; Виды религий; Веротерпимость и свобода совести. Другие определения религии: одна из форм общественного сознания; совокупность духовных представлений основывающихся на вере в сверхъестественные силы и существа богов...