67603

Эйлеровы циклы и цепи

Лекция

Математика и математический анализ

Если в псевдографе G имеется хотя бы одно ребро и отсутствуют висячие вершины то G содержит хотя бы один простой цикл. Для того чтобы связный псевдограф G обладал эйлеровым циклом необходимо и достаточно чтобы степени всех его вершин были четными. Для того чтобы связный псевдограф G обладал эйлеровой цепью...

Русский

2014-09-12

62 KB

1 чел.

Лекция №12

Эйлеровы циклы и цепи

Нужно пройти по всем мостам по одному разу и вернуться обратно..

Утв. Если в псевдографе G имеется хотя бы одно ребро и отсутствуют висячие вершины, то G содержит хотя бы один простой цикл.

Доказательство ||

Если в G имеется петля, то это уже цикл, если в G есть кратные ребра, то это тоже цикл. Допустим, что петель и кратных ребер нет.

Пусть v1 и v2 – произвольные смежные вершины. Будем строить последовательность v1, v2, v3… такую, что для любого i>2 вершины vi, vi-1 смежны и vivi-1 (т.к. в G нет висячих вершин, то эту последовательность можно продолжать неограниченно). Но рано или поздно какая-то из вершин повторится. Это и будет искомый цикл.

Утв. Для того чтобы связный псевдограф G обладал эйлеровым циклом необходимо и достаточно чтобы степени всех его вершин были четными.

См. алгоритм.

Утв. Для того чтобы связный псевдограф G обладал эйлеровой цепью необходимо и достаточно, чтобы он имел ровно 2 вершины нечетной степени.

(Нужно соединить начало и конец. Тогда задача сводится к предыдущей).

Алгоритм выделения эйлерова цикла в связном мультиграфе с четными степенями вершин

1) Выделим из G цикл 1. (т.к. степени верш. четны, то висячие верш. отсутств.). Положим l=1, G’=G.

2) Удаляем из G’ ребра, принадлежащие выделенному циклу. Полученный псевдограф снова обозначаем G’. Если в G’ отсутствуют ребра, то переходим к шагу 4.

3) Выделяем из G’ цикл. Присваиваем l:=l+1 и переходим к шагу 2.

4) По построению выделенные циклы содержат все ребра по одному разу. Если l:=1, то искомый эйлеров цикл найден (конец работы алгоритма). В противном случае находим циклы, содержащие хотя бы по одной общей вершине (в силу связности графа это всегда можно сделать). Склеиваем эти циклы. Повторяем эти операции, пока не останется один цикл. Он и является искомым.

Пример. Задача о Кенигсбергских мостах не имеет решения, т.к. есть вершины с нечетными степенями.

Гамильтоновы циклы и цепи

Опр || Пусть G псевдограф. Цепь и цикл в G называются гамильтоновыми если они проходят через каждую вершину ровно один раз.

Задача коммивояжера: в нагруженном графе G определить гамильтонов цикл минимальной длины.

Решение этой задачи проводится с помощью метода ветвей и границ.

Гамильтоновы цепи и циклы относятся к числу специальных маршрутов в графах. Очевидно, что свойство маршрутов: проходить через каждую вершину не более одного раза является латинским, а следовательно, все гамильтоновы циклы и цепи можно получить применяя метод латинской композиции.

В этом случае все гамильтоновы цепи будут перечислены в непустых элементах матрицы Ln-1(G), за исключением элементов главной диагонали, а все гамильтоновы циклы – в каждом диагональном элементе матрицы Ln(G).


Деревья и циклы

Опр. Граф G называется деревом если он является связным и не имеет циклов.

Опр. Граф G называется лесом если все его компоненты связности - деревья.

Свойства деревьев:

Следующие утверждения эквивалентны

1) Граф G есть дерево.

2) Граф G является связным и не имеет простых циклов.

3) Граф G является связным и число его ребер ровно на 1 меньше числа вершин.

4)   две различные вершины графа G можно соединить единственной (и при этом простой) цепью.

5) Граф G не содержит циклов, но, добавляя к нему любое новое ребро, получаем ровно один и притом простой цикл

Утв. Если у дерева G имеется, по крайней мере, 1 ребро, то у него найдется висячая вершина.

Предположим, что в графе G нет висячей вершины, тогда найдется цикл (в начале лекции это было доказано), тогда граф - не дерево.

Утв.  Пусть G связный граф, а  висячая вершина в G, граф  получается из G в результате удаления вершины  и инцидентного ей ребра. Тогда  тоже является связным.

Д-во: иллюстрация.

Утв. Пусть G - дерево с n-вершинами и m-ребрами. Тогда m(G)=n(G)-1.

Если m<n-1 то граф не связный.

Если m>n-1, и висячих вершин в графе нет, то можно выделить цикл, а следовательно, это – не дерево. В противном случае удалим висячую вершину вместе с инцидентным ей ребром. Повторяя эту операцию n-2 раза, придем к графу с двумя вершинами и более чем одним ребром это не дерево.

Утв. Пусть G – дерево. Тогда любая цепь в G будет простой.

Если цепь – не простая, то в G есть циклы  G – не дерево.

Цепь единственна по той же причине.

Опр. Остовным деревом связного графа G называется любой его подграф, содержащий все вершины графа G и являющийся деревом.

Пусть G – связный граф. Тогда остовное дерево графа G должно содержать n(G)-1 ребер. Значит, для получения остовного дерева из графа G нужно удалить  ребер. Число  называется цикломатическим числом графа G.

Алгоритм выделения остовного дерева

1) Выберем в G произвольную вершину , которая образует подграф, являющийся деревом. Положим i=1.

2) Если i=n(G), то задача решена и Gi – искомое остовное дерево графа G. Иначе переходим к п. 3.

3) Пусть уже построено дерево  являющееся подграфом графа G, в которое входят вершины , где . Строим граф , добавляя к графу Gi новую вершину , смежную с некоторой вершиной  графа  и  новое ребро . Во-первых, это можно всегда сделать, поскольку граф связен. Во-вторых,  - дерево, т.к. если в  не было циклов, то и в  их не могло появиться.

Присваиваем i:=i+1 и переходим к шагу 2).

Замечание. Остовное дерево может быть выделено, вообще говоря, не единственным способом.

Если граф – нагруженный, то можно выделить остовное дерево с минимальной суммой длин содержащихся в нем ребер.

Алгоритм выделения минимального остовного дерева нагруженного графа

1) Выберем в графе G ребро минимальной длины. Вместе с инцидентными ему двумя вершинами оно образует подграф G2 графа G. Положим i=2.

2) Если i=n(G), то задача решена и Gi – искомое минимальное ост. дерево графа G. Иначе переходим к шагу 3).

3) Строим граф Gi+1, добавляя к графу Gi новое ребро минимальной длины из оставшихся, которое инцидентно какой-нибудь верш. графа Gi и одновременно вершине, не содержащейся в Gi. Вместе с этим ребром включаем в Gi+1 и эту инцидентную ему верш. Присваиваем i:=i+1 и переходим к шагу 2).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

63868. Трансформация языка в контексте социокульутрных изменений 48.38 KB
  В обществе непрерывно происходят различные социальные процессы которые могут приводить к возникновению новых элементов и исчезновению ранее существовавших элементов и отношений между ними. Одним из таких элементов относится Язык который подвергся изменениям в результате социокультурного развития.
63870. К вопросу о генезисе творческой стратегии современного акционизма 52.94 KB
  На первый взгляд акция и поэзия понятия антагонистические: акция кратковременна поэзия устремлена в вечность акция направлена вовне – поэзия автореферентна акция ставит конкретные цели поэзия бежит любого рода инструментализации...
63871. Социальная солидарность в эпоху перемен 43 KB
  Социальная солидарность sociаl solidаrity интеграция и ее степень или тип проявляемые обществом либо группой. Французский философ и социолог Эмиль Дюркгейм выделил что социальная солидарность это то что скрепляет и сплачивает индивидов в единое целое.
63872. Проблема толерантности в общеобразовательных учреждениях начального общего образования 59.5 KB
  Проблема толерантности в общеобразовательных учреждениях начального общего образования Развитие толерантности является объективной потребностью современного общества. В педагогических теориях толерантность оценивается как: отсутствие или ослабление реагирования на какой либо неблагоприятный фактор...
63873. Тенденции института семьи в трансформационном аспекте: внебрачная рождаемость 18.73 KB
  Появляются новые тенденции такие как например снижение количества ранних браков; рост числа разводов; увеличение среднего возраста женщины вступления в брак; увеличение среднего возраста матери при рождении первого ребенка; а так же увеличение количества детей которые рождаются вне брака.
63874. Феномен социального отчуждения 43.5 KB
  Доминирующей формой социального отчуждения становится отчуждение техническое обусловленной ростом места техники в жизни современного человека. Отчуждение это процесс в котором от людей отделяются результаты их деятельности сама деятельность а также те силы которые эту деятельность...
63875. Жизненные ориентации горожан 18.56 KB
  Для каждой личности характерен свой уникальный способ жизни способ ее организации оценивания и осмысления. В процессе своей жизни личность выступает в качестве то субъекта общения то субъекта деятельности являясь при этом субъектом своей жизни объединяющим...
63876. Язык заголовка кинотекста 45.5 KB
  Главным инструментом исследователей языка является текст потому что непосредственно текст представляет собой сферу функционирования языковых единиц и в тексте слово получает свое основное значение и осмысление. Гальперин характеризует текст как произведение речетворческого процесса...