67603

Эйлеровы циклы и цепи

Лекция

Математика и математический анализ

Если в псевдографе G имеется хотя бы одно ребро и отсутствуют висячие вершины то G содержит хотя бы один простой цикл. Для того чтобы связный псевдограф G обладал эйлеровым циклом необходимо и достаточно чтобы степени всех его вершин были четными. Для того чтобы связный псевдограф G обладал эйлеровой цепью...

Русский

2014-09-12

62 KB

1 чел.

Лекция №12

Эйлеровы циклы и цепи

Нужно пройти по всем мостам по одному разу и вернуться обратно..

Утв. Если в псевдографе G имеется хотя бы одно ребро и отсутствуют висячие вершины, то G содержит хотя бы один простой цикл.

Доказательство ||

Если в G имеется петля, то это уже цикл, если в G есть кратные ребра, то это тоже цикл. Допустим, что петель и кратных ребер нет.

Пусть v1 и v2 – произвольные смежные вершины. Будем строить последовательность v1, v2, v3… такую, что для любого i>2 вершины vi, vi-1 смежны и vivi-1 (т.к. в G нет висячих вершин, то эту последовательность можно продолжать неограниченно). Но рано или поздно какая-то из вершин повторится. Это и будет искомый цикл.

Утв. Для того чтобы связный псевдограф G обладал эйлеровым циклом необходимо и достаточно чтобы степени всех его вершин были четными.

См. алгоритм.

Утв. Для того чтобы связный псевдограф G обладал эйлеровой цепью необходимо и достаточно, чтобы он имел ровно 2 вершины нечетной степени.

(Нужно соединить начало и конец. Тогда задача сводится к предыдущей).

Алгоритм выделения эйлерова цикла в связном мультиграфе с четными степенями вершин

1) Выделим из G цикл 1. (т.к. степени верш. четны, то висячие верш. отсутств.). Положим l=1, G’=G.

2) Удаляем из G’ ребра, принадлежащие выделенному циклу. Полученный псевдограф снова обозначаем G’. Если в G’ отсутствуют ребра, то переходим к шагу 4.

3) Выделяем из G’ цикл. Присваиваем l:=l+1 и переходим к шагу 2.

4) По построению выделенные циклы содержат все ребра по одному разу. Если l:=1, то искомый эйлеров цикл найден (конец работы алгоритма). В противном случае находим циклы, содержащие хотя бы по одной общей вершине (в силу связности графа это всегда можно сделать). Склеиваем эти циклы. Повторяем эти операции, пока не останется один цикл. Он и является искомым.

Пример. Задача о Кенигсбергских мостах не имеет решения, т.к. есть вершины с нечетными степенями.

Гамильтоновы циклы и цепи

Опр || Пусть G псевдограф. Цепь и цикл в G называются гамильтоновыми если они проходят через каждую вершину ровно один раз.

Задача коммивояжера: в нагруженном графе G определить гамильтонов цикл минимальной длины.

Решение этой задачи проводится с помощью метода ветвей и границ.

Гамильтоновы цепи и циклы относятся к числу специальных маршрутов в графах. Очевидно, что свойство маршрутов: проходить через каждую вершину не более одного раза является латинским, а следовательно, все гамильтоновы циклы и цепи можно получить применяя метод латинской композиции.

В этом случае все гамильтоновы цепи будут перечислены в непустых элементах матрицы Ln-1(G), за исключением элементов главной диагонали, а все гамильтоновы циклы – в каждом диагональном элементе матрицы Ln(G).


Деревья и циклы

Опр. Граф G называется деревом если он является связным и не имеет циклов.

Опр. Граф G называется лесом если все его компоненты связности - деревья.

Свойства деревьев:

Следующие утверждения эквивалентны

1) Граф G есть дерево.

2) Граф G является связным и не имеет простых циклов.

3) Граф G является связным и число его ребер ровно на 1 меньше числа вершин.

4)   две различные вершины графа G можно соединить единственной (и при этом простой) цепью.

5) Граф G не содержит циклов, но, добавляя к нему любое новое ребро, получаем ровно один и притом простой цикл

Утв. Если у дерева G имеется, по крайней мере, 1 ребро, то у него найдется висячая вершина.

Предположим, что в графе G нет висячей вершины, тогда найдется цикл (в начале лекции это было доказано), тогда граф - не дерево.

Утв.  Пусть G связный граф, а  висячая вершина в G, граф  получается из G в результате удаления вершины  и инцидентного ей ребра. Тогда  тоже является связным.

Д-во: иллюстрация.

Утв. Пусть G - дерево с n-вершинами и m-ребрами. Тогда m(G)=n(G)-1.

Если m<n-1 то граф не связный.

Если m>n-1, и висячих вершин в графе нет, то можно выделить цикл, а следовательно, это – не дерево. В противном случае удалим висячую вершину вместе с инцидентным ей ребром. Повторяя эту операцию n-2 раза, придем к графу с двумя вершинами и более чем одним ребром это не дерево.

Утв. Пусть G – дерево. Тогда любая цепь в G будет простой.

Если цепь – не простая, то в G есть циклы  G – не дерево.

Цепь единственна по той же причине.

Опр. Остовным деревом связного графа G называется любой его подграф, содержащий все вершины графа G и являющийся деревом.

Пусть G – связный граф. Тогда остовное дерево графа G должно содержать n(G)-1 ребер. Значит, для получения остовного дерева из графа G нужно удалить  ребер. Число  называется цикломатическим числом графа G.

Алгоритм выделения остовного дерева

1) Выберем в G произвольную вершину , которая образует подграф, являющийся деревом. Положим i=1.

2) Если i=n(G), то задача решена и Gi – искомое остовное дерево графа G. Иначе переходим к п. 3.

3) Пусть уже построено дерево  являющееся подграфом графа G, в которое входят вершины , где . Строим граф , добавляя к графу Gi новую вершину , смежную с некоторой вершиной  графа  и  новое ребро . Во-первых, это можно всегда сделать, поскольку граф связен. Во-вторых,  - дерево, т.к. если в  не было циклов, то и в  их не могло появиться.

Присваиваем i:=i+1 и переходим к шагу 2).

Замечание. Остовное дерево может быть выделено, вообще говоря, не единственным способом.

Если граф – нагруженный, то можно выделить остовное дерево с минимальной суммой длин содержащихся в нем ребер.

Алгоритм выделения минимального остовного дерева нагруженного графа

1) Выберем в графе G ребро минимальной длины. Вместе с инцидентными ему двумя вершинами оно образует подграф G2 графа G. Положим i=2.

2) Если i=n(G), то задача решена и Gi – искомое минимальное ост. дерево графа G. Иначе переходим к шагу 3).

3) Строим граф Gi+1, добавляя к графу Gi новое ребро минимальной длины из оставшихся, которое инцидентно какой-нибудь верш. графа Gi и одновременно вершине, не содержащейся в Gi. Вместе с этим ребром включаем в Gi+1 и эту инцидентную ему верш. Присваиваем i:=i+1 и переходим к шагу 2).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

585. Теория и практика семейного права. Нормы семейного права и семейное законодательство 94 KB
  Нормы семейного права и семейное законодательство. Цель и принцип семейного законодательства. Права и обязанности родителей и детей. Форма воспитания детей, оставшихся без попечения родителей. Обязанности детей по содержанию родителей и заботе о них.
586. Правосторонняя нижнедолевая пневмония 72 KB
  История настоящего заболевания. Осмотр системы органов дыхания, пищеварения и брюшной полости. Клинический анализ крови. Выявления поражения миокарда, нарушения проводимости, ритма, возбудимости. Подтверждения клинического диагноза, для выявления воспалительных инфильтратов в легких и туберкулезных очагов
587. Роль ТНК и экономической интеграции в современной мировой экономике 188 KB
  Понятие,специфика деятельности и причины возникновения транснациональных коорпараций. Деятельность транснациональных корпораций в условиях глобализации. Развитие транснациональных корпораций на современном этапе в Республике Беларусь. Эволюция транснациональных корпораций в системе современных международных экономических отношениях.
588. Многопролетное одноэтажное здание каркасного типа 72.5 KB
  В проекте разрабатываются архитектурные, конструктивные решения промышленного здания с учетом заданных габаритов, материалов, целевой направленности и основных нормативных требований.
589. Экономико-статистический анализ себестоимости зерна в СПК 82.33 KB
  Краткая природно-экономическая характеристика СПК Соляное. Экономико-статистический анализ себестоимости зерна. Состав, структура и динамика земельных угодий. Аналитическое выравнивание рядов динамики себестоимости зерна.
590. Імітаційне моделювання. Функція генератор випадкових (псевдо) чисел 66.5 KB
  Написати функцію генератор випадкових(псевдо) чисел. Дослідити поведінку ЛК на зміну параметрів. Побудувати графік. Реалізована функція xn+1=(axn+c) mod m. З вхідними параметрами. За допомогою функції і оримали масив 1000 значень. ПСЧ отримались в проміжку від 1 до 29.
591. Модернизация технологического процесса обработки резанием детали ствол к изделию ружье 499.5 KB
  Расчет и проектирование мерительного инструмента. Усовершенствование технологического процесса обработки резанием детали Ствол из условия улучшений ее технологических характеристик. Изучение конструкции и принципа работы макета ружья.
592. Интерпретатор фиксированной XML-структуры в SQL-запросы 130 KB
  XML, в отличие от HTML, дает возможность сохранения данных в обычном текстовом формате, при этом любой человек или программа, имеют возможность читать и обрабатывать XML-документы. С помощью любого текстового редактора на любой платформе можно просмотреть документ и внести в него необходимые изменения.
593. Теория административного права 268 KB
  Понятие управление в административном праве. Исполнительная власть и государственное управление как вид государственной деятельности. Административно-правовые нормы: понятие, виды, особенности. Обязанности и права государственного служащего.