67603

Эйлеровы циклы и цепи

Лекция

Математика и математический анализ

Если в псевдографе G имеется хотя бы одно ребро и отсутствуют висячие вершины то G содержит хотя бы один простой цикл. Для того чтобы связный псевдограф G обладал эйлеровым циклом необходимо и достаточно чтобы степени всех его вершин были четными. Для того чтобы связный псевдограф G обладал эйлеровой цепью...

Русский

2014-09-12

62 KB

1 чел.

Лекция №12

Эйлеровы циклы и цепи

Нужно пройти по всем мостам по одному разу и вернуться обратно..

Утв. Если в псевдографе G имеется хотя бы одно ребро и отсутствуют висячие вершины, то G содержит хотя бы один простой цикл.

Доказательство ||

Если в G имеется петля, то это уже цикл, если в G есть кратные ребра, то это тоже цикл. Допустим, что петель и кратных ребер нет.

Пусть v1 и v2 – произвольные смежные вершины. Будем строить последовательность v1, v2, v3… такую, что для любого i>2 вершины vi, vi-1 смежны и vivi-1 (т.к. в G нет висячих вершин, то эту последовательность можно продолжать неограниченно). Но рано или поздно какая-то из вершин повторится. Это и будет искомый цикл.

Утв. Для того чтобы связный псевдограф G обладал эйлеровым циклом необходимо и достаточно чтобы степени всех его вершин были четными.

См. алгоритм.

Утв. Для того чтобы связный псевдограф G обладал эйлеровой цепью необходимо и достаточно, чтобы он имел ровно 2 вершины нечетной степени.

(Нужно соединить начало и конец. Тогда задача сводится к предыдущей).

Алгоритм выделения эйлерова цикла в связном мультиграфе с четными степенями вершин

1) Выделим из G цикл 1. (т.к. степени верш. четны, то висячие верш. отсутств.). Положим l=1, G’=G.

2) Удаляем из G’ ребра, принадлежащие выделенному циклу. Полученный псевдограф снова обозначаем G’. Если в G’ отсутствуют ребра, то переходим к шагу 4.

3) Выделяем из G’ цикл. Присваиваем l:=l+1 и переходим к шагу 2.

4) По построению выделенные циклы содержат все ребра по одному разу. Если l:=1, то искомый эйлеров цикл найден (конец работы алгоритма). В противном случае находим циклы, содержащие хотя бы по одной общей вершине (в силу связности графа это всегда можно сделать). Склеиваем эти циклы. Повторяем эти операции, пока не останется один цикл. Он и является искомым.

Пример. Задача о Кенигсбергских мостах не имеет решения, т.к. есть вершины с нечетными степенями.

Гамильтоновы циклы и цепи

Опр || Пусть G псевдограф. Цепь и цикл в G называются гамильтоновыми если они проходят через каждую вершину ровно один раз.

Задача коммивояжера: в нагруженном графе G определить гамильтонов цикл минимальной длины.

Решение этой задачи проводится с помощью метода ветвей и границ.

Гамильтоновы цепи и циклы относятся к числу специальных маршрутов в графах. Очевидно, что свойство маршрутов: проходить через каждую вершину не более одного раза является латинским, а следовательно, все гамильтоновы циклы и цепи можно получить применяя метод латинской композиции.

В этом случае все гамильтоновы цепи будут перечислены в непустых элементах матрицы Ln-1(G), за исключением элементов главной диагонали, а все гамильтоновы циклы – в каждом диагональном элементе матрицы Ln(G).


Деревья и циклы

Опр. Граф G называется деревом если он является связным и не имеет циклов.

Опр. Граф G называется лесом если все его компоненты связности - деревья.

Свойства деревьев:

Следующие утверждения эквивалентны

1) Граф G есть дерево.

2) Граф G является связным и не имеет простых циклов.

3) Граф G является связным и число его ребер ровно на 1 меньше числа вершин.

4)   две различные вершины графа G можно соединить единственной (и при этом простой) цепью.

5) Граф G не содержит циклов, но, добавляя к нему любое новое ребро, получаем ровно один и притом простой цикл

Утв. Если у дерева G имеется, по крайней мере, 1 ребро, то у него найдется висячая вершина.

Предположим, что в графе G нет висячей вершины, тогда найдется цикл (в начале лекции это было доказано), тогда граф - не дерево.

Утв.  Пусть G связный граф, а  висячая вершина в G, граф  получается из G в результате удаления вершины  и инцидентного ей ребра. Тогда  тоже является связным.

Д-во: иллюстрация.

Утв. Пусть G - дерево с n-вершинами и m-ребрами. Тогда m(G)=n(G)-1.

Если m<n-1 то граф не связный.

Если m>n-1, и висячих вершин в графе нет, то можно выделить цикл, а следовательно, это – не дерево. В противном случае удалим висячую вершину вместе с инцидентным ей ребром. Повторяя эту операцию n-2 раза, придем к графу с двумя вершинами и более чем одним ребром это не дерево.

Утв. Пусть G – дерево. Тогда любая цепь в G будет простой.

Если цепь – не простая, то в G есть циклы  G – не дерево.

Цепь единственна по той же причине.

Опр. Остовным деревом связного графа G называется любой его подграф, содержащий все вершины графа G и являющийся деревом.

Пусть G – связный граф. Тогда остовное дерево графа G должно содержать n(G)-1 ребер. Значит, для получения остовного дерева из графа G нужно удалить  ребер. Число  называется цикломатическим числом графа G.

Алгоритм выделения остовного дерева

1) Выберем в G произвольную вершину , которая образует подграф, являющийся деревом. Положим i=1.

2) Если i=n(G), то задача решена и Gi – искомое остовное дерево графа G. Иначе переходим к п. 3.

3) Пусть уже построено дерево  являющееся подграфом графа G, в которое входят вершины , где . Строим граф , добавляя к графу Gi новую вершину , смежную с некоторой вершиной  графа  и  новое ребро . Во-первых, это можно всегда сделать, поскольку граф связен. Во-вторых,  - дерево, т.к. если в  не было циклов, то и в  их не могло появиться.

Присваиваем i:=i+1 и переходим к шагу 2).

Замечание. Остовное дерево может быть выделено, вообще говоря, не единственным способом.

Если граф – нагруженный, то можно выделить остовное дерево с минимальной суммой длин содержащихся в нем ребер.

Алгоритм выделения минимального остовного дерева нагруженного графа

1) Выберем в графе G ребро минимальной длины. Вместе с инцидентными ему двумя вершинами оно образует подграф G2 графа G. Положим i=2.

2) Если i=n(G), то задача решена и Gi – искомое минимальное ост. дерево графа G. Иначе переходим к шагу 3).

3) Строим граф Gi+1, добавляя к графу Gi новое ребро минимальной длины из оставшихся, которое инцидентно какой-нибудь верш. графа Gi и одновременно вершине, не содержащейся в Gi. Вместе с этим ребром включаем в Gi+1 и эту инцидентную ему верш. Присваиваем i:=i+1 и переходим к шагу 2).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

15527. МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ З ВИЯВЛЕННЯ, ВИВЧЕННЯ, УЗАГАЛЬНЕННЯ ТА ПОШИРЕННЯ ПЕРЕДОВОГО ПЕДАГОГІЧНОГО ДОСВІДУ 388.5 KB
  МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ З ВИЯВЛЕННЯ ВИВЧЕННЯ УЗАГАЛЬНЕННЯ ТА ПОШИРЕННЯ ПЕРЕДОВОГО ПЕДАГОГІЧНОГО ДОСВІДУ У посібнику закомульовано матеріал який стосується виявлення вивчення і поширення передового педагогічного досвіду педагогічних працівників навчальних за
15528. Чисельність і соціальна структура українського населення Російської імперії у 19 ст 16.71 KB
  Чисельність і соціальна структура українського населення Російської імперії у 19 ст. 850 тис. кв.кмзаг.площа. 910 Росія до 1863р.134 млн. 18631890 24. Формування української еліти – дворянства мало свої регіональні та соціоетнічні особливості. Поперше провідна верства украї...
15529. Церква 14-17 століття 12.23 KB
  Становище церкви. Надзвичайно тяжким було становище української православної церкви як одного з чинників культурного процесу. Проти неї вів уперту непримиренну боротьбу войовничий католицизм який офіційно підтримувала польська королівська адміністрація. Ще однією тр...
15530. ПЕРВЫЕ ВЕКА РУССКОЙ ИСТОРИИ 348 KB
  Б. А. РЫБАКОВ ПЕРВЫЕ ВЕКА РУССКОЙ ИСТОРИИ Откуду есть пошла земля Русская Первые свидетельства о государстве Руси Русь на подъеме Князь Игорь Старый и древляне Святослав и его походы Былинное время Руси Христианство и язычество Культура древней Руси ...
15531. Русская литература XX века 1.46 MB
  Новый этап в развитии русской литературы XX в. ознаменовался окончанием мирового периода в жизни народов Европы: началась Вторая мировая война, длившаяся шесть лет. В 1945 г. она завершилась поражением гитлеровской Германии. Но мирный период продолжался недолго
15532. Додаткові освітні послуги — одне з джерел фінансування навчальних закладів 116 KB
  Додаткові освітні послуги одне з джерел фінансування навчальних закладів Практика доводить: якщо керівник навчального закладу вдало обрав види позабюджетної діяльності та правильно організував надання додаткових освітніх послуг то це може стати надійним джерелом...
15533. Історія трудової книжки 151 KB
  Історія трудової книжки Першими були французи Головне джерело інформації про трудову діяльність людини трудова книжка має давню історію що бере початок в європейському законодавстві. Уперше вона зявилася в Англії і Франції як форма контролю за робітниками. У ...
15534. Особова справа 27.5 KB
  Особова справа Особова справа це сукупність документів які містять найповніші відомості про працівника і характеризують його біографічні ділові особисті якості. Вона посідає основне місце у системі персонального обліку працівників. На підставі документів що групу...
15535. Практичні питання складання номенклатури справ, формування та зберігання справ 45.5 KB
  Практичні питання складання номенклатури справ формування та зберігання справ Документальне забезпечення управління персоналом кадрами це не лише створення а й систематизація і зберігання відповідних кадрових документів. Для визначення їх переліку найменуван