67603

Эйлеровы циклы и цепи

Лекция

Математика и математический анализ

Если в псевдографе G имеется хотя бы одно ребро и отсутствуют висячие вершины то G содержит хотя бы один простой цикл. Для того чтобы связный псевдограф G обладал эйлеровым циклом необходимо и достаточно чтобы степени всех его вершин были четными. Для того чтобы связный псевдограф G обладал эйлеровой цепью...

Русский

2014-09-12

62 KB

1 чел.

Лекция №12

Эйлеровы циклы и цепи

Нужно пройти по всем мостам по одному разу и вернуться обратно..

Утв. Если в псевдографе G имеется хотя бы одно ребро и отсутствуют висячие вершины, то G содержит хотя бы один простой цикл.

Доказательство ||

Если в G имеется петля, то это уже цикл, если в G есть кратные ребра, то это тоже цикл. Допустим, что петель и кратных ребер нет.

Пусть v1 и v2 – произвольные смежные вершины. Будем строить последовательность v1, v2, v3… такую, что для любого i>2 вершины vi, vi-1 смежны и vivi-1 (т.к. в G нет висячих вершин, то эту последовательность можно продолжать неограниченно). Но рано или поздно какая-то из вершин повторится. Это и будет искомый цикл.

Утв. Для того чтобы связный псевдограф G обладал эйлеровым циклом необходимо и достаточно чтобы степени всех его вершин были четными.

См. алгоритм.

Утв. Для того чтобы связный псевдограф G обладал эйлеровой цепью необходимо и достаточно, чтобы он имел ровно 2 вершины нечетной степени.

(Нужно соединить начало и конец. Тогда задача сводится к предыдущей).

Алгоритм выделения эйлерова цикла в связном мультиграфе с четными степенями вершин

1) Выделим из G цикл 1. (т.к. степени верш. четны, то висячие верш. отсутств.). Положим l=1, G’=G.

2) Удаляем из G’ ребра, принадлежащие выделенному циклу. Полученный псевдограф снова обозначаем G’. Если в G’ отсутствуют ребра, то переходим к шагу 4.

3) Выделяем из G’ цикл. Присваиваем l:=l+1 и переходим к шагу 2.

4) По построению выделенные циклы содержат все ребра по одному разу. Если l:=1, то искомый эйлеров цикл найден (конец работы алгоритма). В противном случае находим циклы, содержащие хотя бы по одной общей вершине (в силу связности графа это всегда можно сделать). Склеиваем эти циклы. Повторяем эти операции, пока не останется один цикл. Он и является искомым.

Пример. Задача о Кенигсбергских мостах не имеет решения, т.к. есть вершины с нечетными степенями.

Гамильтоновы циклы и цепи

Опр || Пусть G псевдограф. Цепь и цикл в G называются гамильтоновыми если они проходят через каждую вершину ровно один раз.

Задача коммивояжера: в нагруженном графе G определить гамильтонов цикл минимальной длины.

Решение этой задачи проводится с помощью метода ветвей и границ.

Гамильтоновы цепи и циклы относятся к числу специальных маршрутов в графах. Очевидно, что свойство маршрутов: проходить через каждую вершину не более одного раза является латинским, а следовательно, все гамильтоновы циклы и цепи можно получить применяя метод латинской композиции.

В этом случае все гамильтоновы цепи будут перечислены в непустых элементах матрицы Ln-1(G), за исключением элементов главной диагонали, а все гамильтоновы циклы – в каждом диагональном элементе матрицы Ln(G).


Деревья и циклы

Опр. Граф G называется деревом если он является связным и не имеет циклов.

Опр. Граф G называется лесом если все его компоненты связности - деревья.

Свойства деревьев:

Следующие утверждения эквивалентны

1) Граф G есть дерево.

2) Граф G является связным и не имеет простых циклов.

3) Граф G является связным и число его ребер ровно на 1 меньше числа вершин.

4)   две различные вершины графа G можно соединить единственной (и при этом простой) цепью.

5) Граф G не содержит циклов, но, добавляя к нему любое новое ребро, получаем ровно один и притом простой цикл

Утв. Если у дерева G имеется, по крайней мере, 1 ребро, то у него найдется висячая вершина.

Предположим, что в графе G нет висячей вершины, тогда найдется цикл (в начале лекции это было доказано), тогда граф - не дерево.

Утв.  Пусть G связный граф, а  висячая вершина в G, граф  получается из G в результате удаления вершины  и инцидентного ей ребра. Тогда  тоже является связным.

Д-во: иллюстрация.

Утв. Пусть G - дерево с n-вершинами и m-ребрами. Тогда m(G)=n(G)-1.

Если m<n-1 то граф не связный.

Если m>n-1, и висячих вершин в графе нет, то можно выделить цикл, а следовательно, это – не дерево. В противном случае удалим висячую вершину вместе с инцидентным ей ребром. Повторяя эту операцию n-2 раза, придем к графу с двумя вершинами и более чем одним ребром это не дерево.

Утв. Пусть G – дерево. Тогда любая цепь в G будет простой.

Если цепь – не простая, то в G есть циклы  G – не дерево.

Цепь единственна по той же причине.

Опр. Остовным деревом связного графа G называется любой его подграф, содержащий все вершины графа G и являющийся деревом.

Пусть G – связный граф. Тогда остовное дерево графа G должно содержать n(G)-1 ребер. Значит, для получения остовного дерева из графа G нужно удалить  ребер. Число  называется цикломатическим числом графа G.

Алгоритм выделения остовного дерева

1) Выберем в G произвольную вершину , которая образует подграф, являющийся деревом. Положим i=1.

2) Если i=n(G), то задача решена и Gi – искомое остовное дерево графа G. Иначе переходим к п. 3.

3) Пусть уже построено дерево  являющееся подграфом графа G, в которое входят вершины , где . Строим граф , добавляя к графу Gi новую вершину , смежную с некоторой вершиной  графа  и  новое ребро . Во-первых, это можно всегда сделать, поскольку граф связен. Во-вторых,  - дерево, т.к. если в  не было циклов, то и в  их не могло появиться.

Присваиваем i:=i+1 и переходим к шагу 2).

Замечание. Остовное дерево может быть выделено, вообще говоря, не единственным способом.

Если граф – нагруженный, то можно выделить остовное дерево с минимальной суммой длин содержащихся в нем ребер.

Алгоритм выделения минимального остовного дерева нагруженного графа

1) Выберем в графе G ребро минимальной длины. Вместе с инцидентными ему двумя вершинами оно образует подграф G2 графа G. Положим i=2.

2) Если i=n(G), то задача решена и Gi – искомое минимальное ост. дерево графа G. Иначе переходим к шагу 3).

3) Строим граф Gi+1, добавляя к графу Gi новое ребро минимальной длины из оставшихся, которое инцидентно какой-нибудь верш. графа Gi и одновременно вершине, не содержащейся в Gi. Вместе с этим ребром включаем в Gi+1 и эту инцидентную ему верш. Присваиваем i:=i+1 и переходим к шагу 2).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

26414. Многокамерный желудок 23.5 KB
  От отверстия пищевода начинается желоб сетки. Название сетки соответствует рельефу слизистой оболочки на которой находятся складки гребешки сетки cristae reticuli образующие многогранные ячейки cellulae reticuli. В утолщенной правой стенке сетки расположен желоб сетки sulcus reticuli. В желобе сетки различают дно fimdus sulci reticuli и две губы labium dextrum et sinistrum в виде валиков.
26415. Молочая железа (mamma, lactifera). Вымя, множественное вымя 21.5 KB
  Вымя множественное вымя. Все вместе молочные железы вымя uber у КРС и лошади или множественное вымя ubera свинья собака. У крупных животных вымя подвешено на поддерживающей связке которая прикрепляется к белой линии живота. Лошадь: саггитальной бороздой вымя разделено на 2 половины.
26416. Строение конечностей 20 KB
  Конечности становятся длиннее. Животное опирается не на весь автоподий а только на акроподий что уменьшает площадь опоры конечности о почву. Одновременно благодаря этому уменьшается площадь опоры конечности о почву животное опирается лишь на 3ю фалангу пальцев.
26417. ТАЗОВАЯ ПОЛОСТЬ самца и самки 22 KB
  все органы тазовой полости покрыты снаружи адвентицией. Органы тазовой полости расположены послойно. Кровоснабжение тазовой полости осуществляют внутренние подвздошные артерии и вены которые имеют париетальные и висцеральные ветви. Парасимпатическая иннервация гладкой мускулатуры внутренних органов и желёз тазовой полости происходит из крестцового отдела спинного мозга по тазовым нервам через экстра и интрамуральные ганглии.
26418. Твёрдое и мягкое нёбо 24.5 KB
  У лошадей в сплетении 4 5 слоев сосудов что обусловливает предрасположенность лошадей к отекам твердого нёба. У лошадей резцовый сосочек редуцирован. Различают: парные нёбные миндалины tonsilla palatina расположены позади нёбноязычных дужек у КРС лошадей и собак у свиней отсутствуют; непарную миндалину tonsilla veli palatini у лошадей и свиней.У лошадей мягкое нёбо длинное.
26419. Толстая кишка —intestinura crassum 24.5 KB
  Отверстие подвздошной кишки окружено сфинктером. У КРС стенка слепой кишки гладкая нет тений без карманов. У лошади в стенке кишки 4 тении. Между тениями на поверхности кишки расположены полулунные складки со стороны слизистой оболочки карманы.
26420. Тонкая кишка - intestinum tenue 22 KB
  На слизистой оболочке двенадцатиперстной кишки множество циркулярных невысоких складок. В просвет двенадцатиперстной кишки выделяют пишеварительные соки поджелудочная железа печень. Тощая кишка jejunum продолжение двенадцатиперстной кишки. Можно указать на 3 отличительные особенности тощей кишки; подвешена в виде множества петель на обширной брыжейке; при вскрытии трупа животного в ней находят небольшое количество химуса просвет спавшийся.
26421. ЦНС. Серое и белое вещество 20.5 KB
  Отличается высокой концентрацией нервной ткани особенно в головном мозге в котором сформировались БП содержащие кору серое вещество substania grisae скопление тел нейронов обеспечивающее ВНД и ствол мозга с подкоркой. Подкорка выполняет ННД и осуществляет через образованные ею проводящие пути связь головного мозга со спинным. Среди белого вещества substancia alba скопление отростков нейронов расположены нервные клетки в виде ретикулярной формации которая помимо проводниковой роли участвует в генерации энергии которая...
26422. Череп 25.5 KB
  Мозговой отдел: затылочная кость os occipitale клиновидная кость os sphenoidale теменная кость os parietale межтеменная кость os interparietale височная кость os temporale лобная кость os frontale. Особенности: КРС: массивен уплощён роговые отростки нет верхних резцов хоаны узкие и глубокие полная орбита лошадь: менее массивен затылочный гребень полная орбита значительное надглазничное отверстие свинья: хоботковая кость длинные ярёмные отростки неполная орбита собака: лёгкий ярёмные отростки короткие хоаны широкие синусы...