67603

Эйлеровы циклы и цепи

Лекция

Математика и математический анализ

Если в псевдографе G имеется хотя бы одно ребро и отсутствуют висячие вершины то G содержит хотя бы один простой цикл. Для того чтобы связный псевдограф G обладал эйлеровым циклом необходимо и достаточно чтобы степени всех его вершин были четными. Для того чтобы связный псевдограф G обладал эйлеровой цепью...

Русский

2014-09-12

62 KB

1 чел.

Лекция №12

Эйлеровы циклы и цепи

Нужно пройти по всем мостам по одному разу и вернуться обратно..

Утв. Если в псевдографе G имеется хотя бы одно ребро и отсутствуют висячие вершины, то G содержит хотя бы один простой цикл.

Доказательство ||

Если в G имеется петля, то это уже цикл, если в G есть кратные ребра, то это тоже цикл. Допустим, что петель и кратных ребер нет.

Пусть v1 и v2 – произвольные смежные вершины. Будем строить последовательность v1, v2, v3… такую, что для любого i>2 вершины vi, vi-1 смежны и vivi-1 (т.к. в G нет висячих вершин, то эту последовательность можно продолжать неограниченно). Но рано или поздно какая-то из вершин повторится. Это и будет искомый цикл.

Утв. Для того чтобы связный псевдограф G обладал эйлеровым циклом необходимо и достаточно чтобы степени всех его вершин были четными.

См. алгоритм.

Утв. Для того чтобы связный псевдограф G обладал эйлеровой цепью необходимо и достаточно, чтобы он имел ровно 2 вершины нечетной степени.

(Нужно соединить начало и конец. Тогда задача сводится к предыдущей).

Алгоритм выделения эйлерова цикла в связном мультиграфе с четными степенями вершин

1) Выделим из G цикл 1. (т.к. степени верш. четны, то висячие верш. отсутств.). Положим l=1, G’=G.

2) Удаляем из G’ ребра, принадлежащие выделенному циклу. Полученный псевдограф снова обозначаем G’. Если в G’ отсутствуют ребра, то переходим к шагу 4.

3) Выделяем из G’ цикл. Присваиваем l:=l+1 и переходим к шагу 2.

4) По построению выделенные циклы содержат все ребра по одному разу. Если l:=1, то искомый эйлеров цикл найден (конец работы алгоритма). В противном случае находим циклы, содержащие хотя бы по одной общей вершине (в силу связности графа это всегда можно сделать). Склеиваем эти циклы. Повторяем эти операции, пока не останется один цикл. Он и является искомым.

Пример. Задача о Кенигсбергских мостах не имеет решения, т.к. есть вершины с нечетными степенями.

Гамильтоновы циклы и цепи

Опр || Пусть G псевдограф. Цепь и цикл в G называются гамильтоновыми если они проходят через каждую вершину ровно один раз.

Задача коммивояжера: в нагруженном графе G определить гамильтонов цикл минимальной длины.

Решение этой задачи проводится с помощью метода ветвей и границ.

Гамильтоновы цепи и циклы относятся к числу специальных маршрутов в графах. Очевидно, что свойство маршрутов: проходить через каждую вершину не более одного раза является латинским, а следовательно, все гамильтоновы циклы и цепи можно получить применяя метод латинской композиции.

В этом случае все гамильтоновы цепи будут перечислены в непустых элементах матрицы Ln-1(G), за исключением элементов главной диагонали, а все гамильтоновы циклы – в каждом диагональном элементе матрицы Ln(G).


Деревья и циклы

Опр. Граф G называется деревом если он является связным и не имеет циклов.

Опр. Граф G называется лесом если все его компоненты связности - деревья.

Свойства деревьев:

Следующие утверждения эквивалентны

1) Граф G есть дерево.

2) Граф G является связным и не имеет простых циклов.

3) Граф G является связным и число его ребер ровно на 1 меньше числа вершин.

4)   две различные вершины графа G можно соединить единственной (и при этом простой) цепью.

5) Граф G не содержит циклов, но, добавляя к нему любое новое ребро, получаем ровно один и притом простой цикл

Утв. Если у дерева G имеется, по крайней мере, 1 ребро, то у него найдется висячая вершина.

Предположим, что в графе G нет висячей вершины, тогда найдется цикл (в начале лекции это было доказано), тогда граф - не дерево.

Утв.  Пусть G связный граф, а  висячая вершина в G, граф  получается из G в результате удаления вершины  и инцидентного ей ребра. Тогда  тоже является связным.

Д-во: иллюстрация.

Утв. Пусть G - дерево с n-вершинами и m-ребрами. Тогда m(G)=n(G)-1.

Если m<n-1 то граф не связный.

Если m>n-1, и висячих вершин в графе нет, то можно выделить цикл, а следовательно, это – не дерево. В противном случае удалим висячую вершину вместе с инцидентным ей ребром. Повторяя эту операцию n-2 раза, придем к графу с двумя вершинами и более чем одним ребром это не дерево.

Утв. Пусть G – дерево. Тогда любая цепь в G будет простой.

Если цепь – не простая, то в G есть циклы  G – не дерево.

Цепь единственна по той же причине.

Опр. Остовным деревом связного графа G называется любой его подграф, содержащий все вершины графа G и являющийся деревом.

Пусть G – связный граф. Тогда остовное дерево графа G должно содержать n(G)-1 ребер. Значит, для получения остовного дерева из графа G нужно удалить  ребер. Число  называется цикломатическим числом графа G.

Алгоритм выделения остовного дерева

1) Выберем в G произвольную вершину , которая образует подграф, являющийся деревом. Положим i=1.

2) Если i=n(G), то задача решена и Gi – искомое остовное дерево графа G. Иначе переходим к п. 3.

3) Пусть уже построено дерево  являющееся подграфом графа G, в которое входят вершины , где . Строим граф , добавляя к графу Gi новую вершину , смежную с некоторой вершиной  графа  и  новое ребро . Во-первых, это можно всегда сделать, поскольку граф связен. Во-вторых,  - дерево, т.к. если в  не было циклов, то и в  их не могло появиться.

Присваиваем i:=i+1 и переходим к шагу 2).

Замечание. Остовное дерево может быть выделено, вообще говоря, не единственным способом.

Если граф – нагруженный, то можно выделить остовное дерево с минимальной суммой длин содержащихся в нем ребер.

Алгоритм выделения минимального остовного дерева нагруженного графа

1) Выберем в графе G ребро минимальной длины. Вместе с инцидентными ему двумя вершинами оно образует подграф G2 графа G. Положим i=2.

2) Если i=n(G), то задача решена и Gi – искомое минимальное ост. дерево графа G. Иначе переходим к шагу 3).

3) Строим граф Gi+1, добавляя к графу Gi новое ребро минимальной длины из оставшихся, которое инцидентно какой-нибудь верш. графа Gi и одновременно вершине, не содержащейся в Gi. Вместе с этим ребром включаем в Gi+1 и эту инцидентную ему верш. Присваиваем i:=i+1 и переходим к шагу 2).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79814. Использование проектной деятельности для реализации личностно-ориентированного обучения на уроках английского языка в седьмом классе 353 KB
  Охарактеризовать сущность личностно-ориентированного обучения; Рассмотреть и описать процесс проектной деятельности в обучении иностранному языку; Рассмотреть особенности личностного развития обучающихся седьмых классов; Описать процесс реализации личностно–ориентированного обучения в процессе проектной деятельности в обучении иностранному языку обучающихся седьмых классов...
79815. Источники финансирования учреждений культуры в современных условиях (на примере Муниципального бюджетного учреждения культуры «Березовский районный центр досуга и народного творчества» и Муниципального казенного учреждения «Березовская межпоселенческая це 687 KB
  Выявить тенденции бюджетного финансирования сферы культуры на федеральном уровне и их особенности на региональном в условиях децентрализации бюджетных полномочий и новых методов финансирования; охарактеризовать особенности механизма финансового обеспечения бюджетных и казенных учреждений культуры Ханты-Мансийского автономного округа - Югры (ХМАО - Югры); определить перспективы модернизации системы финансирования сферы культуры...
79816. Психологічні особливості попередження фрустрації у підлітковому віці 756 KB
  Підліткова фрустрація – це негативний психологічний стан у дитини, обумовлений неможливістю розв’язати специфічні завдання вікового розвитку. Причиною може бути неможливість оволодіти бажаним предметом, заборона зі сторони дорослих на виконання певних дій. Наявність таких рис характеру, як агресивність, збудливість, пасивність, суїцидальні думки є наслідком наявності фрустрації у підлітка.
79817. Устройство для наладки, разработки и управления различными устройствами: усилителя мощности звуковой частоты, бегущей строкой, внешней панелью 877 KB
  Современный научно-технический прогресс невозможен без радиоэлектронной аппаратуры (РЭА), которая широко используется как при планировании и управлении производством, так и в автоматизации производственных процессов и в научных исследованиях. Технологии изготовления РЭА постоянно совершенствуются. В развитии радиоэлектронной аппаратуры можно выделить несколько этапов, характеризующих технологии и принципы изготовления РЭА.
79819. Пути совершенствования политики привлечения кредитных ресурсов в ЗАО «Пассаж «ОКТЯБРЬСКОЕ ПОЛЕ» 147.5 KB
  Организация, использующая только собственный капитал, имеет наивысшую финансовую устойчивость, но ограничивает темпы своего развития, поскольку не может обеспечить формирование необходимого дополнительного объема активов в периоды благоприятной конъюнктуры рынка и не использует финансовые возможности прироста прибыли на вложенный капитал. Поэтому организациям очень важно привлекать заемный капитал.