67606
Разложение булевых функций по переменным
Лекция
Математика и математический анализ
Это представление называется разложением функции по m переменным x1xm. Разложение по одной переменной 1 Разложение по всем n переменным 2 При Опр. Это разложение называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой представления функции fx1xn.
Русский
2014-09-12
174.5 KB
9 чел.
Лекция №15
Разложение булевых функций по переменным.
Возникают вопросы:
1) всякая ли функция может быть записана с помощью формулы?
2) как это сделать?
Совершенная дизъюнктивная нормальная форма.
Обозначим, где равен либо 0, либо 1. Тогда
.
Поскольку
,
то x=1 x=.
Теорема о разложении функции по переменным || Каждую функцию Булевой алгебры при любом можно представить в следующей форме:
,
где дизъюнкция берется по всем наборам значений переменных . ||
опр || Это представление называется разложением функции по m переменным x1,…xm.||
Доказательство.
- Рассмотрим произвольный набор значений . Левая часть равенства имеет вид . Правая часть
(в сумме только одно произведение отлично от нуля: то в котором )
.
Теорема доказана.
Разложение по одной переменной
1)
Разложение по всем n переменным
2)
При
Опр. Это разложение называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой представления функции f(x1,…,xn).
Теорема || Каждая функция алгебры логики может быть выражена в виде формулы, содержащей только отрицание, конъюнкцию и дизъюнкцию. ||
Доказательство ||
1) Если , то
2) Если , то
Примеры
1)
|
x1 |
x2 |
f |
|
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
(это СДНФ; теперь преобразуем)
2) Следующий пример. Дана таблица
|
x1 |
x2 |
x3 |
f |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
3)
|
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
f |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
4) Аналитический способ
5)
Пусть . Согласно теореме двойственности
Это разложение называется совершенной конъюнктивной нормальной формой.
Примеры
1)
2)
|
x1 |
x2 |
f |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
3)
|
x1 |
x2 |
x3 |
f |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
4)
|
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
5)
А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать | |||
| 28564. | Система RSA. Использование алгоритма Евклида для расчета секретного ключа d | 23.69 KB | |
| Подобный блок может быть интерпретирован как число из диапазона 0; 2i1;; для каждого такого числа назовем его mi вычисляется выражение ci=mie mod n 3.По теорема Эйлера если число n представимо в виде двух простых чисел p и q то для любого x имеет место равенство Xp1q1 mod n =1 Для дешифрования RSAсообщений воспользуемся этой формулой. Возведем обе ее части в степень y: Xyp1q1 mod n = 1 y=1 Теперь умножим обе ее части на x : xyp1q11 mod n =... | |||
| 28565. | Алгоритма цифровой подписи Эль Гамаля, преимущества по сравнению с методом RSA, недостатки | 13.41 KB | |
| Алгоритма цифровой подписи Эль Гамаля преимущества по сравнению с методом RSA недостатки. В отличие от RSA метод ЭльГамаля основан на проблеме дискретного логарифма. По сравнению с методом RSA данный метод имеет целый ряд преимуществ: 1. Кроме того данный алгоритм подписи не допускает его использования в качестве алгоритма шифрования в отличии от RSA в котором шифрование и подпись суть одно и то же а следовательно не подпадает ни под какие экспортные ограничения из США. | |||
| 28566. | Проблема дискретного логарифмирования, аутентификация | 86.42 KB | |
| Система строится из криптографических примитивов низкого уровня:групповой операции симметричного шифра функции хэширования и алгоритма вычисления кода аутентификации сообщенияимитовставки MAC. Код аутентификации сообщения позволяет пользователям обладающим общим секретным ключом выработать битовую строку для аутентификации и проверки целостности данных Пусть Msg = {01} пространство сообщений mKey = {01}mLen пространство ключей для вычисления MAC для некоторого mLen N Tag = {01}tLen включающее множество всех возможных... | |||
| 28567. | Система открытого шифрования RSA, атаки на RSA | 15.87 KB | |
| В настоящее время наиболее развитым методом криптографической защиты информации с известным ключом является RSA названный так по начальным буквам фамилий ее изобретателей Rivest Shamir и Adleman и представляющую собой криптосистему стойкость которой основана на сложности решения задачи разложения числа на простые сомножители. Чтобы использовать алгоритм RSA надо сначала сгенерировать открытый и секретный ключи выполнив следующие шаги: выберем два очень больших простых числа p и q; определим n как результат умножения p на q n = p Ч... | |||
| 28568. | Система электронной подписи Эль Гамаля (EGSA - ElGamal Signature Algorithm) | 16.07 KB | |
| Затем выбирается секретное число х и вычисляется открытый ключ для проверки подписи y=gxmod p Далее для подписи сообщения М вычисляется его хэшфункция т = hM. Выбирается случайное целое k:1 k p1 взаимно простое с р1 и вычисляется r=gkmod p. После этого с помощью расширенного алгоритма Евклида решается относительно s уравнение m=xrksmodp1. Получатель подписанного сообщения вычисляет хэшфункцию сообщения m=hM и проверяет выполнение равенства yrrs=gxrgks=gxrks=gmmod p. | |||
| 28569. | Система открытого шифрования Эль Гамаля | 58 KB | |
| Для шифрования сообщения M проводится следующая процедура: Выбирается случайное число k kP1=1 Вычисляется G=AK mod P Вычисляется H=yK M mod P Пара G H является шифрованным сообщением M При расшифровании вычисляется: H GX mod P = yK M AXK mod P = M mod P Преимуществами системы ЭЦП и ОШ Эль Гамаля является простота генерации открытых и секретных ключей а так же то что параметры P и A могут быть общими для всех участников сети связи. | |||
| 28570. | Общая схема электронной подписи на основе дискретной экспоненты | 14.29 KB | |
| Пусть DATA пеpедаваемое Александpом Боpису сообщение. Александp подписывает DATA для Боpиса пpи пеpедаче: Eebnb{Edana{DATA}}. Боpис может читать это подписанное сообщение сначала пpи помощи закpытого ключа Eebnb Боpиса с целью получения Edana{DATA}= Edbnb{ Eebnb{ Edana {DATA}}} и затем откpытого ключа EeAnA Александpа для получения DATA= Eeana{ Edana {DATA}}. Таким обpазом у Боpиса появляется сообщение DATA посланное ему Александpом. | |||
| 28571. | Однонаправленные хеш-функции Понятие хеш-функции | 13.67 KB | |
| Изменения в тексте сообщения приводят к изменению значения хешфункции. На бесключевые хешфункции накладываются определенные условия. однонаправленность устойчивость к коллизиям устойчивость к нахождению второго прообраза Применение ключевых хэшфункций Ключевые хешфункции применяются в случаях когда стороны имеют общий секретный ключ доверяют друг другу. | |||
| 28572. | Примеры хеш-функций | 14.18 KB | |
| Расширение исходного сообщения Собственно хеширование . Расширение исходного битового сообщения M длины L происходит следующим образом. Алгоритм хеширования работает циклами за один цикл обрабатывается блок исходного сообщения длины 512 бит. Цикл состоит из четырех раундов каждый из которых вычисляет новые значения переменных A B C D на основании их предыдущего значения и значения 64битного отрезка хешируемого 512битного блока исходного сообщения. | |||
