67607

Полнота и замкнутость

Лекция

Математика и математический анализ

Система функций из P2 (множества всех булевых функций) называется функционально полной, если любая булева функция может быть записана в виде формулы через функции этой системы

Русский

2014-09-12

131.5 KB

1 чел.

Лекция № 16  (11.04.00)

Полнота и замкнутость

Опр || система функций  из P2 (множества всех булевых функций) называется функционально полной, если любая булева функция может быть записана в виде формулы через функции этой системы.

Пример: 1) Само множество ;

2);

3) - не полна.

Теорема || Пусть даны две системы функций из

, (I)

. (II)

Известно, что система I полная и каждая функция системы I выражается через функции системы II. Тогда система II является полной.

Доказательство || Пусть . В силу полноты сист. I функцию h можно выразить в виде формулы . По условию теоремы

Поэтому

ч. и т.д.

Примеры ||

1)  - полная.

2)  - тоже полная, так как .

3)  - тоже полная.

4)  - тоже полная, так как

,

,

. ((2) – I)

5)  - неполная. Докажем это от противного.

Предположим, что .

Но . Противоречие.

6)  - неполная (сохраняет константу 0 – см. след лекц.).

7)  - неполная (сохраняет константу 1 – см. след лекц.).

6)  -  полная

8)  

тогда взяв в качестве сист. I сист. 2) можно заключить, сист. функций 8) – полная. Тем самым, справедлива

Теорема Жегалкина || Каждая функция из  может быть выражена при помощи полинома по модулю 2 – (полинома Жегалкина):

.

Имеем: число разных сочетаний  равно числу подмн-в мн-ва из n элементов. Каждое aik может принимать одно из 2-х значений {0,1}. Тогда число разных пол. Жег. равно , т.е. равно числу различных булевых функций.

Т. о. получаем единственность представления функций через пол. Жег.

Примеры

Следовательно,

Пока опустим

2 способ T-преобразов. вектора функции

X1

x2

x3

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

3 способ – алгебраических преобразований

Опр. Пусть M – некоторое подмножество функций из P2. Замыканием M называется мн-во всех булевых функций, представимых в виде формул через функции мн-ва M. Обозначается [M].

Замечание. Замыкание инвариантно относ. операций введения и удаления фиктивных перем.

Примеры.

1) M=P2, [M]=P2.

2) M={1,x1x2}, [M] – мн-во L всех линейных ф-й вида

,   (ci{0,1}).

Свойства замыкания:

  1.  [M]=M;
  2.  [[M]]=[M];
  3.  M1M2  [M1][M2];
  4.  [M1M2][M1][M1].

Опр. Класс (мн-во) M называется (функционально) замкнутым, если [M]=M.

Примеры.

  1.  Класс M=P2 функционально замкнут;
  2.  Класс {1,x1x2} не замкнут;
  3.  Класс L замкнут (линейное выражение, составленное из линейных выражений линейно).

Новое определение полноты. M – полная система, если [M]=P2.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

62589. Конспект урока по гимнастике 16.8 KB
  Группав одну Шеренгу становись Равняйсь Смирно Отделениями в колонну по 3 левые правые плечи вперед шагом марш. Группа стой Кругом Отделениями в одну шеренгу правые левые плечи вперед шагом марш Группа Стой В обход на лево марш Руки на пояс ставь...
62591. О корректном понимании дихотомии логика / этика 96.88 KB
  О корректном понимании дихотомии логика этика. Разобраны типичные ошибки в понимании дихотомии логика этика. Ключевые слова: Соционика дихотомия логика этика. Цикл статей на эту тему мы решили начать с дихотомии логика этика.
62597. Особенности построения уроков в технологиях развивающего и традиционного обучения 6.88 MB
  Текстовые задачи являются тем богатейшим материалом на котором решается важнейшая задача преподавания математики развитие математического мышления и творческой активности учащихся. В четвертых усиливает желание детей учиться то есть само отношение учащихся к учебному предмету...