67607

Полнота и замкнутость

Лекция

Математика и математический анализ

Система функций из P2 (множества всех булевых функций) называется функционально полной, если любая булева функция может быть записана в виде формулы через функции этой системы

Русский

2014-09-12

131.5 KB

1 чел.

Лекция № 16  (11.04.00)

Полнота и замкнутость

Опр || система функций  из P2 (множества всех булевых функций) называется функционально полной, если любая булева функция может быть записана в виде формулы через функции этой системы.

Пример: 1) Само множество ;

2);

3) - не полна.

Теорема || Пусть даны две системы функций из

, (I)

. (II)

Известно, что система I полная и каждая функция системы I выражается через функции системы II. Тогда система II является полной.

Доказательство || Пусть . В силу полноты сист. I функцию h можно выразить в виде формулы . По условию теоремы

Поэтому

ч. и т.д.

Примеры ||

1)  - полная.

2)  - тоже полная, так как .

3)  - тоже полная.

4)  - тоже полная, так как

,

,

. ((2) – I)

5)  - неполная. Докажем это от противного.

Предположим, что .

Но . Противоречие.

6)  - неполная (сохраняет константу 0 – см. след лекц.).

7)  - неполная (сохраняет константу 1 – см. след лекц.).

6)  -  полная

8)  

тогда взяв в качестве сист. I сист. 2) можно заключить, сист. функций 8) – полная. Тем самым, справедлива

Теорема Жегалкина || Каждая функция из  может быть выражена при помощи полинома по модулю 2 – (полинома Жегалкина):

.

Имеем: число разных сочетаний  равно числу подмн-в мн-ва из n элементов. Каждое aik может принимать одно из 2-х значений {0,1}. Тогда число разных пол. Жег. равно , т.е. равно числу различных булевых функций.

Т. о. получаем единственность представления функций через пол. Жег.

Примеры

Следовательно,

Пока опустим

2 способ T-преобразов. вектора функции

X1

x2

x3

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

3 способ – алгебраических преобразований

Опр. Пусть M – некоторое подмножество функций из P2. Замыканием M называется мн-во всех булевых функций, представимых в виде формул через функции мн-ва M. Обозначается [M].

Замечание. Замыкание инвариантно относ. операций введения и удаления фиктивных перем.

Примеры.

1) M=P2, [M]=P2.

2) M={1,x1x2}, [M] – мн-во L всех линейных ф-й вида

,   (ci{0,1}).

Свойства замыкания:

  1.  [M]=M;
  2.  [[M]]=[M];
  3.  M1M2  [M1][M2];
  4.  [M1M2][M1][M1].

Опр. Класс (мн-во) M называется (функционально) замкнутым, если [M]=M.

Примеры.

  1.  Класс M=P2 функционально замкнут;
  2.  Класс {1,x1x2} не замкнут;
  3.  Класс L замкнут (линейное выражение, составленное из линейных выражений линейно).

Новое определение полноты. M – полная система, если [M]=P2.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

26985. Закон-понятие, виды 5.65 KB
  Общеизвестностькачественный признак форм правасвязанный с информированием о правилах поведенияпределах их действия. По объему и характеру действия: 1общего действияохватывают всю совокупность отношений определенного вида на данной территорииТрудовой кодекс 2ограниченного действияраспространяются на часть территории или строго определенный контингент лицнаходящийся на данной территориизакон о полиции 3исключительногочрезвычайного действияреализуются только в случае наступления исключительных обстоятельств. По времени действия: 1.
26988. Субъект правотворчества.Участие граждан,общественных организаций и народа в процессе правотворчества. Право законодательной инициативы 9.08 KB
  Правотворчество деятельностьнаправленная на подготовкуизданиесовершенствование НПА. Требования к правотворчеству соблюдение принципов: 1 законности принятие НПА только теми субъектами которые наделены соответствующими полномочиями 2 демократизма возможность принятия наиболее важных НПА в порядке референдума 3 научности планирование приоритетности принимаемых актов 4 профессионализма требует особых навыков умений и таланта 5 системности вновь принимаемые акты не должны противоречить действующим актам 6 гласности все...
26989. Порядок опубликования и вступления в силу нормативно-правовых актов 7.57 KB
  Порядок опубликования и вступления в силу нормативноправовых актов.Неопубликованные НПА не применяютсяне влекут правовых последствийкак не вступившие в силу. ФКЗФЗ подлежат официальному опубликованию в течение 7 дней после дня их подписания Президентома вступают в силу по истечении 10 днейпосле их официального опубликованияесли самими законами не установлен другой порядок вступления их в силу. ИСТОЧНИКИ:Парламентская газетаРоссийская газетаСобрание законодательства РФОфициальный интернетпортал правовой информации Кроме общего...
26992. Действие НПА во времени,пространстве и по кругу лиц 5.22 KB
  Действие НПА во временипространстве и по кругу лиц. НПАакт правотворчествапринятый в особом порядке строго определенными субъектами и содержащий норму права. Признаки: а содержание норм права; б особый порядок принятияназываемый правотворческий процессгосударственное правотворчествонепосредственное правотворчествопринятие или не принятие НПАпредлагаемых госм; в иерархическая подчиненность; г оформление в письменном виде как официальный гос.В разных странах разные правила вступления в силу НПА: с момента принятия...
26993. Понятие системы права. Основные структурные элементы 6.31 KB
  Понятие системы права. СИСИТЕМА ПРАВАисторически сложившаяся ВНУТРЕННЯЯ ОРГАНИЗАЦИЯ ПРАВАкоторая выражается в единстве и разделении права на относительно самостоятельные части. ПРИЗНАКИ: ОБЪЕКТИВНОСТЬвнутренняя структура права обусловлена реально складывающимися общественными отношениямине создается по усмотрению правовых субъектов; ЕДИНСТВО и взаимосвязь составляющих ее ПРАВОВЫХ ПРЕДПИСАНИЙкоторые согласованны; УРОВНЕВАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЦИЯ ЭЛЕМЕНТОВ структуры праваотражающая их функциональное назначение различного порядка. ОСНОВНЫЕ...