67608

Замкнутые классы

Лекция

Математика и математический анализ

Замкнутые классы 1 Обозначим через класс всех булевых функций сохраняющих константу 0 т. функций для которых выполняется равенство. Количество таких функций n число переменных т. 2 Обозначим через класс всех булевых функций сохраняющих константу 1 т.

Русский

2014-09-12

212.5 KB

4 чел.

Лекция № 17  (18.04.00)

Замкнутые классы

1) Обозначим через  - класс всех булевых функций , сохраняющих константу 0, т.е. функций, для которых выполняется равенство .

При добавлении несущественной переменной равенство не меняется.

Функции,

.

Количество таких функций  (n – число переменных) т.к. в первой строке всегда содержит 0. (У второй половины 1).

T0 – замкнутый класс, т.к. если

, то

.

2) Обозначим через  - класс всех булевых функций , сохраняющих константу 1, т.е. функций, для которых выполняется равенство .

Класс вместе с любой функцией содержит равную ей функцию.

Функции ,

.

Класс  состоит из функций двойственных классу  (следует из определения).

Поэтому все свойства класса  переносятся на класс .

.

3) S – класс – класс всех самодвойственных функций, т.е. .

Функции ,

, т.к.

Для самодвойственной функции имеет место тождество

.

Тем самым на наборах  и  ф-я принимает противоположные значения (определяется половиной комбинаций xi). Поэтому число самодвойственных функций равно .

Докажем, что класс S замкнут.

Пусть , , т.е. . Тогда

.

4. Обозначим

, , .

опр || Для 2х наборов  и  выполнено отношение предшествования , если .

Пример. 

Очевидно, что если.

Таким образом, множество всех наборов длины n по отношению к операции предшествования  является частично упорядоченным.

Опр. || функция  называется монотонной, если для любых 2х наборов  таких, что  выполняется неравенство

.

Монотонные функции:

,

- не монотонны

Обозначим M – множество всех монотонных функций. Нужно доказать, что этот класс замкнутый.

Пусть , , . 

Будем считать, что все fi зависят от x1, xn.

Пусть  два набора переменных длины n, причем . Тогда,

………………

, следовательно

, тогда и

.

Тем самым .

5) L – класс всех линейных функций

О замкнутости этого класса мы упоминали ранее. Кличество линейных функций .

Эти замкнутые классы не тождественны и они не полны, что следует из таблицы

T0

T1

S

M

L

0

+

-

-

+

+

1

-

+

-

+

+

-

-

+

-

+

Теорема о функциональной полноте.

Для того, чтобы система функций  была полной, необходимо и достаточно, чтобы она целиком не содержалась ни в одном из 5 замкнутых классов T0, T1, S, M, L.

(Без док-ва).

Опр. Класс R из  (множество всех булевых функций) называется предполным или максимальным, если для любой ф-ции f () класс  полный.

В алгебре логики  только 5 предполных классов: .

Пример.

система полна.

С другой стороны, удаление любой из функций приводит к неполной системе

Пример 2.

Система функций B={x1x1}, полна так как  не сохраняет константы, не линейна, не самодвойственна () и не монотонна (последний ноль – после 1).

Теорема || из всякой полной в  системы функций B можно выделить полную подсистему, содержащую не более 4х функций.

(Без док-ва).

Понятия многозначной логики.

Оценка погрешности.

k – знач. логика

k – катур. Число

множество значений, которые может принимать функция

опр ||  называется k-значной логикой, если в  наборе  значения переменных , где  значение

Элемент функции k-значной логики

1) константы: 0,1,…,k-1

2) отрицание Роста:

3) отрицание Лукасевича:

4) Характеристическая функция Iго рода

5) Характеристическая функция 2го рода:

6)

7)

8)  сумма по модулю k

9)  произведение

10) усеченная разность

11)

12) Функция Вебба:

13)

Свойство функций:

выполняются свойства коммутативности и ассоциативности, дистрибутивность, умножение относительно сложения

Дистрибутивность операции max относительно min

x

y

z

I

II

1

2

3

z

z

1

3

2

z

z

2

1

3

z

z

2

3

1

x

x

3

1

2

z

z

3

2

1

y

y

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

1

2

2

2

3

2

1

2

2

Дистрибутивность операции min относительно max


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

59536. Сценарій позакласного виховного заходу (вечору) під рубрикою «Заглянь у природу» 34.5 KB
  Учениця: Природа і Вітчизна невіддільні. Учениця: У ліс завітаю я знову На тиху сердечну розмову І сонцем пропалені лиця Я чую зозулі кування Берізок тремтивих зітхання Тонкі білокурі сестриці Сплели свої вінки в косиці.
59537. «Зупинись – суд іде» з теми «Проблема людства – екологія» 37.5 KB
  Своєю працею людина відкрила природі те що вона має в своїм лоні невідомі її скарби. років як появилася на землі людина. В древні часи коли людина була ще збирачем і мисливцем вона знаходилась більшменш в гармонії з природою і повністю залежала від неї.
59539. Інтерактивні уроки в п’ятому класі 100 KB
  Мета: повторити та поглибити знання учнів про звуки мови та мовлення; формувати вміння розрізняти звуки передавати слова звукописом; використовуючи здобуті знання на практиці; розвивати в них фонематичний слух увагу слухову та зорову память усне та писемне мовлення...
59541. Аудіювання на уроках іноземної мови 53 KB
  Мета: удосконалювати вміння розуміти на слух основний зміст нескладних автентичних текстів вміння здійснювати усне спілкування вміння зафіксувати та передати письмово й усно інформацію збагатити словниковий запас учнів новими словами...
59542. Біблія — пам’ятка світової писемності. Урок-конференція 61 KB
  Довести вічну цінність Біблії для всіх без винятку людей. Перші 39 книг близько три чверті Біблії складають Старий Заповіт визнаються за Святе Письмо іудаїзмом і християнством. Але незважаючи на це у Біблії зберігається головна думка усі книги узгоджуються між собою та доповнюють одна одну.
59543. Біосинтез білка 44 KB
  Під час вивчення цієї теми в учнів часто виникають труднощі повязані з розумінням процесів транскрипції трансляції ролі рибосоми в утворенні молекули білка. Сформувати в учнів поняття генетичний код етапи біосинтезу білка реакції матричного синтезу.
59544. Байдужість не прощається, виховний захід 69 KB
  Переконати що байдужість негативна людська риса. Добрий день усім хто не залишився байдужим до того що діється навколо і прийшов сьогодні до нашого залу щоб засудити одну з найтяжчих вад людини байдужість.