67699

Вторая квадратичная форма. Тип точки на поверхности

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

Цель данной работы: изучить понятие второй квадратичной формы, кривизны на поверхности, соприкасающегося параболоида поверхности, научиться определять типы точек на поверхности. Дифференциальная геометрия изучает свойства кривых и поверхностей методами математического анализа.

Русский

2014-09-13

1.04 MB

62 чел.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ

БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт математики и компьютерных наук

Кафедра математики и информатики

КУРСОВАЯ РАБОТА

Вторая квадратичная форма. Тип точки на поверхности

Выполнила:
студентка гр. 303
Кошкарова Е.В.

Научный руководитель:
к. ф.-м. н., доцент

кафедры МиИ

Шармина Т. Н.

Тюмень 2013

Оглавление

Введение  3

Глава 1. Внешняя геометрия поверхностей 4

§1.1. Вторая квадратичная форма 4

§1.2. Кривизна кривой на поверхности. 5

§1.3. Соприкасающийся параболоид поверхности 6

§1.4. Главные направления и главные нормальные кривизны. Тип точки на поверхности. 7

Глава 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ, связанных с понятием второй квадратичной формы  11

§2.1. Вторая квадратичная форма 11

§2.1. Главные направления и главные нормальные кривизны. тип точки на поверхности 19

Заключение 25

Список литературы 26


Введение

Вторая квадратичная форма -  квадратичная форма от дифференциалов координат на поверхности, которая характеризует локальную структуру поверхности в окрестности обыкновенной точки.

Цель данной работы: изучить понятие второй квадратичной формы, кривизны на поверхности, соприкасающегося параболоида поверхности, научиться определять типы точек на поверхности.

Дифференциальная геометрия изучает свойства кривых и поверхностей методами математического анализа. Таким образом, в данной работе нужно использовать понятия из аналитической геометрии (вектор, кривая, поверхность), алгебры (определитель матрицы; скалярное, векторное, смешанное произведения) и математического анализа (: производная параметрической и явной функции, интеграл).

Данная работа состоит из двух глав. В первой главе рассматриваются вопросы теории поверхностей, связанные со второй квадратичной формой: кривизна кривой на поверхности, тип точки на поверхности. В заключительной главе приведены разного рода задачи:

  1.  задачи на нахождение второй квадратичной формы;
  2.  задачи на нахождение главных кривизн;
  3.  задачи на определение типа точки на поверхности.


Глава 1. Внешняя геометрия поверхностей

§1.1. Вторая квадратичная форма

Рассмотрим понятие второй квадратичной формы, которое изложено в [3].

Пусть  – гладкая поверхность и - некоторая ее -гладкая параметризация. Второй квадратичной формой поверхности называется скалярное произведение

,

Где  – нормаль к поверхности, а  – второй дифференциал вектор-функции . Так как

,

То

.

Введем для коэффициентов  следующие обозначения:

  (1)

Тогда

.  (2)

Поскольку , то имеют место следующие формулы:

 (3)

Если поверхность  является графиком функции  класса , то вектор-функция, задающая , имеет вид:

  (4)

И подсчет по формулам (3) дает следующие выражения для коэффициентов L, M, N:

 (5)

§1.2. Кривизна кривой на поверхности.

Возьмем на поверхности , рассмотренной в §1.1, некоторую -гладкую кривую , внутренние уравнения которой , где  – натуральный параметр на . Кривая  задается вектор-функцией  класса  На  возьмем произвольную точку . По первой формуле Френе

,    (6)

Где  - кривизна кривой  в точке , а  – главная нормаль кривой в точке  (считаем, что ).

Умножив скалярно равенство (6) на нормаль  к поверхности  в точке , получим:

  (7)

Рисунок 1

Где угол между векторами  (рис.1). С другой стороны:

откуда

Так как вдоль кривой  верно равенство , то получаем учитывая (7):

  (8)

Правая часть равенства (8) зависит только от направления кривой в точке , так как в точке  коэффициенты  - некоторые фиксированные числа. Более того, для всех кривых на поверхности , проходящих через точку  и имеющих одно и то же направление в этой точке (или то же самое, одну и ту же касательную), отношение  постоянно. Ясно, что  в каждой фиксированной точке поверхности зависит лишь от направления на поверхности в этой точке и является некоторой характеристикой поверхности. Это отношение называют нормальной кривизной поверхности в данной точке в данном направлении и обозначают . Равенство (8) принимает вид:

   (9)

Равенство (9) часто называют теоремой Менье.

Рисунок 2

Из (9) вытекает наглядный смысл нормальной кривизны. Если пересечь поверхность  плоскостью, проходящей через ее нормаль в точке  (рис. 2), то в малой окрестности этой точки пересечение будет  -гладкой кривой, которую называют нормальным сечением поверхности. Нормальное сечение  в данной точке определяется исключительно направлением ().

Пусть  – вектор главной нормали кривой  в точке . Ясно, что , поэтому . Но тогда  из равенства (9) следует, что нормальная кривизна поверхности  в точке  в данном направлении (с точностью до знака) равна кривизне нормального сечения поверхности в точке  , проведенного в том же направлении.

§1.3. Соприкасающийся параболоид поверхности

Продолжим изучение  - гладкой поверхности  в окрестности некоторой ее точки . Введем прямоугольные координаты , выбрав точку  за начало координат, касательную плоскость  к  в точке  за координатную плоскость , а ось  направив по нормали к поверхности  (рис. 3). В некоторой окрестности точки  поверхность  задается уравнением , а поскольку начало координат – точка  - лежит на поверхности , то . Далее, так как плоскость , является касательной плоскостью к  в точке , то из уравнения (10) следует, что .

Тогда, разложив функцию  по формуле Тейлора в точке  и учтя эти равенства, получим, что

(10)

где .

Обозначим главную часть разложения (10) через :

Рисунок 3

 (11)

График функции  в общем случае представляет собой параболоид. Поэтому поверхность, заданная уравнением  называется соприкасающимся параболоидом поверхности в точке

Легко убедиться в том, что все первые и вторые производные функций  и  в точке  совпадают. Поскольку коэффициенты первой и второй квадратичных форм выражаются только через первые и вторые производные функций, задающих поверхность, то в точке  у поверхности  и ее соприкасающегося параболоида  совпадают первая и вторая квадратичные формы, а значит, и все те геометрические характеристики, которые через них выражаются. В частности, у поверхности  и ее соприкасающегося параболоида  в точке  одни и те же нормальные кривизны по одинаковым направлениям.

§1.4. Главные направления и главные нормальные кривизны. Тип точки на поверхности.

Соответствующим поворотом осей координат в плоскости xy можно уравнение соприкасающегося параболоида (11) привести к каноническому виду:

  (12)

Направления в точке  координатных осей  и системы координат, в которой уравнение соприкасающегося параболоида имеет канонический вид (12), называются главными направлениями поверхности  в точке .

Нормальные кривизны поверхности  в точке , вычисленные в главных направлениях, называются главными нормальными кривизнами поверхности  в точке .

Выясним геометрический смысл коэффициентов  и  в уравнении (12). Для этого вычислим нормальные кривизны соприкасающегося параболоида в точке  в направлении осей  и . Впредь, чтобы не загромождать обозначений, опустим «волну» в обозначении новых осей и координат. Имеем:

 

 

 

Таким образом в точке  первая и вторая квадратные формы соприкасающегося параболоида  ( а значит, и самой поверхности ) имеют соответственно вид:

   (13)

И

 (14)

Нормальная кривизна соприкасающегося параболоида и поверхности в точке  направлении  равна:

  (15)

Отсюда нормальная кривизна в направлении оси  т.е в направлении  равна  а в направлении оси  т.е. в направлении  равна .

Таким образом, коэффициенты  и  в уравнении (12) соприкасающегося параболоида есть главные нормальные кривизны поверхности  в точке . Величины  и  называются соответственно средней и гауссовой кривизнами поверхности  в точке .

В зависимости от знака гауссовой кривизны точки поверхности делятся на несколько типов. Перечислим их.

  1.  Пусть в точке  гауссова кривизна . Тогда в этой точке главные нормальные кривизны  и  или обе положительны, или обе отрицательны. В обоих случаях соприкасающийся параболоид :

   –

эллиптический (см.рис. 3). В первом случае он, касаясь плоскости  в своей вершине , лежит над плоскостью , а во втором, касаясь той же плоскости в , лежит под ней. Достаточно малая окрестность точки  на поверхности  устроена в пространстве так же, как соприкасающийся параболоид, поскольку функции  и  отличаются в окрестности точки  на бесконечно малые величины, выше второго порядка малости по отношению к . Точки поверхности  в которых гауссова кривизна , называется эллиптическими.

  1.  

Рисунок 4

Пусть в точке  гауссова кривизна . Тогда в этой точке главные нормальные кривизны  и  отличны от нуля и имеют разные знаки. В этом случае соприкасающийся параболоид гиперболический и касательная плоскость пересекает его по паре прямых, пересекающихся под ненулевым углом. Окрестность точки  на гиперболическом параболоиде, как известно, имеет вид седла. Так же устроена и малая окрестность точки  на поверхности . Касательная плоскость в точке  пересекает эту окрестность по паре кривых, пересекающихся в точке под ненулевым углом (рис. 4). Эта окрестность расположена по обе стороны от касательной плоскости в точке . Точки поверхности , в которых  , называются гиперболическими.

  1.  

Рисунок 5

Пусть в точке  гауссова кривизна . Точки поверхности , в которых , называются параболическими. В параболической точке обращаются нуль или одна главная нормальная кривизна , или обе .В первом случае малая окрестность точки  на поверхности  имеет вид, аналогичный виду его соприкасающегося  параболоид, который в данном случае является параболическим цилиндром  (рис. 5 случай, когда ) Во втором случае , соприкасающийся параболоид вырождается в касательную плоскость , а точка  называется точкой уплощения. В малой окрестности точки уплощения поверхность может быть весьма сложное строение. Его исследование связано с рассмотрением производных функции  третьего и более высоких порядков. 


Глава 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ, связанных с понятием второй квадратичной формы

§2.1. Вторая квадратичная форма

Задача 1.[7, №717]

Найдите вторую квадратичную форму следующих поверхностей вращения: , ,  – сфера.

Решение:

Пусть , ,  – уравнения сферы, тогда радиус-вектор имеет следующие координаты:

Находим первые и вторые производные радиус-вектора по аргументам :

Для того, чтобы найти значения коэффициентов в (1), нам необходимо знать значение нормали поверхности. Находим ее по определению, рассчитав векторное произведение первых производных радиус-вектора

Также нам необходимо знать длину полученного векторного произведения поверхности:

Нормаль проверхности примет вид:

Подставляем полученные значения в формулу (1) и получаем значения коэффициентов , далее подставим в (2) и получим вторую квадратичную форму:

Задача 2.[7, № 718]

Найдите вторую квадратичную форму следующих поверхностей вращения:

, ,  – эллипсоид вращения.

Решение:

Пусть , ,  – уравнения эллипсоида вращения, тогда радиус-вектор имеет следующие координаты:

Находим первые и вторые производные радиус-вектора по аргументам :

Для того, чтобы найти значения коэффициентов в (1), нам необходимо знать значение нормали поверхности. Находим ее по определению, рассчитав векторное произведение первых производных радиус-вектора

Также нам необходимо найти значение длины полученного векторного произведения поверхности:

Нормаль проверхности будет иметь вид:

Подставляем полученные значения в формулу (1) и получаем значения коэффициентов , далее подставим в (2) и получим вторую квадратичную форму:

Задача 3.[7, №719]

Найдите вторую квадратичную форму следующих поверхностей вращения:

-однополостной гиперболоид вращения.

Решение:

Пусть  – уравнения однополостного гиперболоида вращения, тогда у радиус-вектора будут следующие координаты:

Находим первые и вторые производные радиус-вектора по аргументам :

Далее, чтобы найти значения коэффициентов в (1), нам необходимо знать значение нормали поверхности. Находим ее по определению, рассчитав векторное произведение первых производных радиус-вектора

Также найдем значение длины полученного векторного произведения поверхности:

Нормаль проверхности будет иметь вид:

Подставляем полученные значения в формулу (1) и получаем значения коэффициентов :

далее подставим в (2) и получим вторую квадратичную форму:

Задача 4.[7, № 725]

Найдите вторую квадратичную форму следующих поверхностей вращения:

, ,  – катеноид.

Решение:

Пусть , ,  – уравнения катеноида, тогда радиус-вектор будет со следующими координатами:

Находим первые и вторые производные радиус-вектора по аргументам :

Далее, чтобы найти значения коэффициентов в (1), нам необходимо знать значение нормали поверхности. Находим ее по определению, рассчитав векторное произведение первых производных радиус-вектора

Также найдем значение длины полученного векторного произведения поверхности:

Нормаль проверхности будет иметь вид:

Подставляем полученные значения в формулу (1) и получаем значения коэффициентов :

Задача 5.[7, № 726]

Найдите вторую квадратичную форму поверхности

По условию задачи

Находим первые и вторые производные радиус-вектора по аргументам :

Далее, чтобы найти значения коэффициентов в (1), нам необходимо знать значение нормали поверхности. Находим ее по определению, рассчитав векторное произведение первых производных радиус-вектора

Также найдем значение длины полученного векторного произведения поверхности:

Нормаль проверхности будет иметь вид:

Подставляем полученные значения в формулу (1) и получаем значения коэффициентов :

далее подставим в (2) и получим вторую квадратичную форму:

§2.1. Главные направления и главные нормальные кривизны. тип точки на поверхности

Задача 6.[7, № 733]

Найдите главные кривизны прямого геликоида.

Решение:

По условию задачи

Главные кривизны находятся как корни уравнения

Найдем коэффициенты первой

.

Находим вторые производные радиус-вектора по аргументам :

Далее, чтобы найти значения коэффициентов в (1), нам необходимо знать значение нормали поверхности. Находим ее по определению, рассчитав векторное произведение первых производных радиус-вектора

Также найдем значение длины полученного векторного произведения поверхности:

Нормаль проверхности будет иметь вид:

Подставляем полученные значения в формулу (1) и получаем значения коэффициентов :

Составляем уравнение и решаем его

Тогда главные кривизны равны

Задача 7.[7, № 735]

Вычислите главные кривизны поверхности  в точке .

Решение.

По условию задачи

Главные кривизны находятся как корни уравнения

Найдем коэффициенты первой и второй квадратичных форм

и второй квадратичных форм

Составляем уравнение и решаем его

Тогда главные кривизны равны

Задача 8.[7, № 767]

Исследуйте характер точек на эллипсоиде.

Решение.

По условию задачи

Для того, чтобы определить тип точки на заданной поверхности, нам нужно знать гауссову кривизну. Найдем ее.

Для нахождения гауссовой кривизны вычислим коэффициенты первой и второй квадратичных форм

Коэффициенты второй квадратичной формы были найдены ранее

Тогда гауссова кривизна

Поскольку K>0, значит, все точки на поверхности – эллиптические.

Задача 9.[7, № 768]

Исследуйте характер точек на гиперболоиде.

Решение.

По условию задачи

           

Для того, чтобы определить тип точки на заданной поверхности, нам нужно знать гауссову кривизну. Найдем ее.

Для нахождения гауссовой кривизны вычислим коэффициенты первой и второй квадратичных форм

Коэффициенты второй квадратичной формы были найдены ранее

Тогда гауссова кривизна

Поскольку K<0, значит, все точки на поверхности – гиперболические.


Заключение

Первая квадратичная форма – квадратичная форма от дифференциалов координат на поверхности, которая определяет внутреннюю геометрию поверхности в окрестности данной точки.

Метрика не определяет однозначную форму поверхности. Например, метрика геликоида и катеноида, параметризованных соответствующим образом, совпадает, то есть между их областями существует соответствие, сохраняющее все длины (изометрия). Свойства, сохраняющиеся при изометрических преобразованиях, называются внутренней геометрией поверхности. Внутренняя геометрия не зависит от положения поверхности в пространстве и не меняется при ее изгибании без растяжения и сжатия (например, при изгибании цилиндра в конус).

Знание первой квадратичной формы достаточно для вычисления длин дуг, углов между кривыми, площади областей на поверхности.

В данной курсовой работе была изучена первая квадратичная форма, а также способы вычисления длин кривых на поверхности и угол между кривыми. Также были решены различного рода задачи.


Список литературы

  1.  Атанасян Л. С., Базылев В. Т. Геометрия. Часть 2. Учебное пособие— М.: Просвещение, 1987.—352 с.
  2.  Атанасян С. Л., Цаленко М. М. Задачник по геометрии:Учебное пособие для студентов-заочников 2-5 курсов физ. мат. фак. пед. ин-тов – М.: Просвещение, 1994. – 192с.
  3.  Вернер А. Л., Кантор Б. Е., Франгулов С. А. Геометрия. Часть 2. Учебное пособие— С.-Пб.: Специальная литература, 1997.—320 с.
  4.  Погорелов А. В. Дифференциальная геометрия— М.: Наука, 1974.—176 с.
  5.  Сборник задач по геометрии. Часть 2: Учебное пособие /Отв. ред. Л. С. Атанасян. – М.: Просвещение, 1975. – 176 с.
  6.  Сборник задач по геометрии. /Отв. ред. В. Т. Базылев. – М.: Просвещение, 1980. – 240 с.
  7.  Сборник задач по дифференциальной геометрии. /Отв. ред. А. С. Феденко. – М.: Наука, 1979. – 272 с.
  8.  Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. – М.: Гостехиздат, 1956.

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34715. Валовой национальный продукт. Чистый национальный продукт и национальный доход 14.63 KB
  Однако существует еще один показатель валовой национальный продукт ВНП. Выясним что представляет собой ВНП и чем он отличается от ВВП. Когда мы будем исчислять ВНП России то наоборот включим в общую сумму доходы созданные за пределами России. долларов созданы иностранным капиталом на территории нашей страны а значит включаются в ВВП России а в ВНП нет.
34716. Государственный бюджет. Номинальный и реальный валовой внутренний продукт 17.59 KB
  Валовой внутренний продукт ВВП это общая стоимость или сумма рыночных цен всех конечных товаров и услуг произведенных в данной стране в течение года. Показатель номинального ВВП зависит и от количества производимых в стране товаров и услуг и от уровня цен на них. Следовательно если ВВП произведенный в разные годы выражать в ценах того года в который он производился то в одном году его объем будет выражен в одних ценах в другом году в других. Поэтому номинальный ВВП не может служить для оценки роста или сокращения реального...
34717. Теория Маслоу. Виды благ. Факторы производства. Безграничность потребностей и ограниченность ресурсов 32.36 KB
  Он выделял пять групп потребностей: физиологические потребности в пище воде одежде жилье отдыхе воспроизведении рода; потребности в безопасности защита от преступников и внешних врагов защита от нищеты и помощь при болезнях комфорт постоянство условий жизни; социальные потребности в любви дружбе общении с людьми; потребности в уважении со стороны других людей и самоуважении достижение успеха служебный рост; потребности в самореализации реализация своих целей способностей развитие собственной личности. По...
34718. История развития метрологии в России 23.6 KB
  Метрология в древнем мире и в средние векаПотребность в измерениях возникла в незапамятные времена.Многие меры имели антропометрическое происхождение или были связаны с конкретной трудовой деятельностью человека.Древнее происхождение имеют и естественные меры. Первыми из них получившими повсеместное распространение стали меры времени.
34719. Античная система мер и весов 20.09 KB
  Первоначально видимо возникли меры длины. Меры длины палец 185 см 1 12 целого 246 см ладонь 739 см ступня 2962 см локоть 463 см двойной шаг 148 м день пути 28 725 м Меры площади югер 25233 м 10 000 квадратных футов 876 м арура 50 квадратных футов 438 м Меры объёма Котила античная единица измерения ёмкости равная 0275 литра. Хус античная единица измерения ёмкости равная 324 литра Меры объёма сыпучих тел медимн четверик 525 л модий четверик 874 л Меры объёма жидких тел метрет...
34720. Основные особенности развития системы мер в средневековой Западной Европе 19.29 KB
  Характерной чертой ее было понятие целого s базовой единицы измерения. Такой принцип унифицировал способы измерения облегчал установление соответствий между линейными квадратными и кубическими мерами. Для измерения больших земельных массивов применялись такие меры как центурии 200 югеров 50377 га и сальтус 4 центурии или 2015 га. Меры измерения объема жидких и сыпучих тел исчислялись несколько поиному.
34721. Меры веса и объема Древнерусского государства 15.12 KB
  Меры веса были очень разнообразны т. Равнялся 10 пудам1638 кг Пуд был наиболее ходовой мерой и равнялся 1638 кг Гривна употреблялась и как мера веса и как денежная единицаслиток серебра весом 400г Гривна весоваяпримерно 40 г серебра Меры объёма: основная мера объёма жидкостей была ведро= 1 40 бочки=10 кружек. Бочка как мера жидкостей применялась в основном в процессе торговли с иностранцами которым запрещалось вести розничную торговлю вином на малые меры.
34722. Измерение длины, расстояния и площади Древнерусского государства 15.32 KB
  существовало 3 вида сажени: Простаярасстояние по прямой между большими пальцами вытянутых в стороны рук=152см Маховаярасстояние по прямой между средними пальцами вытянутых в стороны рук=176см Косаярасстояние от ступни до конца пальцев противоположной руки вытянутой по диагонали. Следующей мерой длины был локотьрасстояние по прямой от локтевого сгиба до конца вытянутого среднего пальца4751см или одна треть сажени.это расстояние между концами вытянутых пальцев по прямой 1 8 сажени. Пядь малая 1819смрасстояние между большим пальцем и...
34723. Денежная система Древнерусского государства 15.01 KB
  происходит дальнейшее усложнение денежной системы. общерусская денежновесовая система как бы разделилась на две местные системы северную и южную. В основу северной системы была положена норма веса принятая в торговле с Западной Европой. Гривна этой системы равнялась 5119 г серебра и являлась древнейшим элементом возникше.