67699

Вторая квадратичная форма. Тип точки на поверхности

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

Цель данной работы: изучить понятие второй квадратичной формы, кривизны на поверхности, соприкасающегося параболоида поверхности, научиться определять типы точек на поверхности. Дифференциальная геометрия изучает свойства кривых и поверхностей методами математического анализа.

Русский

2014-09-13

1.04 MB

61 чел.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ

БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт математики и компьютерных наук

Кафедра математики и информатики

КУРСОВАЯ РАБОТА

Вторая квадратичная форма. Тип точки на поверхности

Выполнила:
студентка гр. 303
Кошкарова Е.В.

Научный руководитель:
к. ф.-м. н., доцент

кафедры МиИ

Шармина Т. Н.

Тюмень 2013

Оглавление

Введение  3

Глава 1. Внешняя геометрия поверхностей 4

§1.1. Вторая квадратичная форма 4

§1.2. Кривизна кривой на поверхности. 5

§1.3. Соприкасающийся параболоид поверхности 6

§1.4. Главные направления и главные нормальные кривизны. Тип точки на поверхности. 7

Глава 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ, связанных с понятием второй квадратичной формы  11

§2.1. Вторая квадратичная форма 11

§2.1. Главные направления и главные нормальные кривизны. тип точки на поверхности 19

Заключение 25

Список литературы 26


Введение

Вторая квадратичная форма -  квадратичная форма от дифференциалов координат на поверхности, которая характеризует локальную структуру поверхности в окрестности обыкновенной точки.

Цель данной работы: изучить понятие второй квадратичной формы, кривизны на поверхности, соприкасающегося параболоида поверхности, научиться определять типы точек на поверхности.

Дифференциальная геометрия изучает свойства кривых и поверхностей методами математического анализа. Таким образом, в данной работе нужно использовать понятия из аналитической геометрии (вектор, кривая, поверхность), алгебры (определитель матрицы; скалярное, векторное, смешанное произведения) и математического анализа (: производная параметрической и явной функции, интеграл).

Данная работа состоит из двух глав. В первой главе рассматриваются вопросы теории поверхностей, связанные со второй квадратичной формой: кривизна кривой на поверхности, тип точки на поверхности. В заключительной главе приведены разного рода задачи:

  1.  задачи на нахождение второй квадратичной формы;
  2.  задачи на нахождение главных кривизн;
  3.  задачи на определение типа точки на поверхности.


Глава 1. Внешняя геометрия поверхностей

§1.1. Вторая квадратичная форма

Рассмотрим понятие второй квадратичной формы, которое изложено в [3].

Пусть  – гладкая поверхность и - некоторая ее -гладкая параметризация. Второй квадратичной формой поверхности называется скалярное произведение

,

Где  – нормаль к поверхности, а  – второй дифференциал вектор-функции . Так как

,

То

.

Введем для коэффициентов  следующие обозначения:

  (1)

Тогда

.  (2)

Поскольку , то имеют место следующие формулы:

 (3)

Если поверхность  является графиком функции  класса , то вектор-функция, задающая , имеет вид:

  (4)

И подсчет по формулам (3) дает следующие выражения для коэффициентов L, M, N:

 (5)

§1.2. Кривизна кривой на поверхности.

Возьмем на поверхности , рассмотренной в §1.1, некоторую -гладкую кривую , внутренние уравнения которой , где  – натуральный параметр на . Кривая  задается вектор-функцией  класса  На  возьмем произвольную точку . По первой формуле Френе

,    (6)

Где  - кривизна кривой  в точке , а  – главная нормаль кривой в точке  (считаем, что ).

Умножив скалярно равенство (6) на нормаль  к поверхности  в точке , получим:

  (7)

Рисунок 1

Где угол между векторами  (рис.1). С другой стороны:

откуда

Так как вдоль кривой  верно равенство , то получаем учитывая (7):

  (8)

Правая часть равенства (8) зависит только от направления кривой в точке , так как в точке  коэффициенты  - некоторые фиксированные числа. Более того, для всех кривых на поверхности , проходящих через точку  и имеющих одно и то же направление в этой точке (или то же самое, одну и ту же касательную), отношение  постоянно. Ясно, что  в каждой фиксированной точке поверхности зависит лишь от направления на поверхности в этой точке и является некоторой характеристикой поверхности. Это отношение называют нормальной кривизной поверхности в данной точке в данном направлении и обозначают . Равенство (8) принимает вид:

   (9)

Равенство (9) часто называют теоремой Менье.

Рисунок 2

Из (9) вытекает наглядный смысл нормальной кривизны. Если пересечь поверхность  плоскостью, проходящей через ее нормаль в точке  (рис. 2), то в малой окрестности этой точки пересечение будет  -гладкой кривой, которую называют нормальным сечением поверхности. Нормальное сечение  в данной точке определяется исключительно направлением ().

Пусть  – вектор главной нормали кривой  в точке . Ясно, что , поэтому . Но тогда  из равенства (9) следует, что нормальная кривизна поверхности  в точке  в данном направлении (с точностью до знака) равна кривизне нормального сечения поверхности в точке  , проведенного в том же направлении.

§1.3. Соприкасающийся параболоид поверхности

Продолжим изучение  - гладкой поверхности  в окрестности некоторой ее точки . Введем прямоугольные координаты , выбрав точку  за начало координат, касательную плоскость  к  в точке  за координатную плоскость , а ось  направив по нормали к поверхности  (рис. 3). В некоторой окрестности точки  поверхность  задается уравнением , а поскольку начало координат – точка  - лежит на поверхности , то . Далее, так как плоскость , является касательной плоскостью к  в точке , то из уравнения (10) следует, что .

Тогда, разложив функцию  по формуле Тейлора в точке  и учтя эти равенства, получим, что

(10)

где .

Обозначим главную часть разложения (10) через :

Рисунок 3

 (11)

График функции  в общем случае представляет собой параболоид. Поэтому поверхность, заданная уравнением  называется соприкасающимся параболоидом поверхности в точке

Легко убедиться в том, что все первые и вторые производные функций  и  в точке  совпадают. Поскольку коэффициенты первой и второй квадратичных форм выражаются только через первые и вторые производные функций, задающих поверхность, то в точке  у поверхности  и ее соприкасающегося параболоида  совпадают первая и вторая квадратичные формы, а значит, и все те геометрические характеристики, которые через них выражаются. В частности, у поверхности  и ее соприкасающегося параболоида  в точке  одни и те же нормальные кривизны по одинаковым направлениям.

§1.4. Главные направления и главные нормальные кривизны. Тип точки на поверхности.

Соответствующим поворотом осей координат в плоскости xy можно уравнение соприкасающегося параболоида (11) привести к каноническому виду:

  (12)

Направления в точке  координатных осей  и системы координат, в которой уравнение соприкасающегося параболоида имеет канонический вид (12), называются главными направлениями поверхности  в точке .

Нормальные кривизны поверхности  в точке , вычисленные в главных направлениях, называются главными нормальными кривизнами поверхности  в точке .

Выясним геометрический смысл коэффициентов  и  в уравнении (12). Для этого вычислим нормальные кривизны соприкасающегося параболоида в точке  в направлении осей  и . Впредь, чтобы не загромождать обозначений, опустим «волну» в обозначении новых осей и координат. Имеем:

 

 

 

Таким образом в точке  первая и вторая квадратные формы соприкасающегося параболоида  ( а значит, и самой поверхности ) имеют соответственно вид:

   (13)

И

 (14)

Нормальная кривизна соприкасающегося параболоида и поверхности в точке  направлении  равна:

  (15)

Отсюда нормальная кривизна в направлении оси  т.е в направлении  равна  а в направлении оси  т.е. в направлении  равна .

Таким образом, коэффициенты  и  в уравнении (12) соприкасающегося параболоида есть главные нормальные кривизны поверхности  в точке . Величины  и  называются соответственно средней и гауссовой кривизнами поверхности  в точке .

В зависимости от знака гауссовой кривизны точки поверхности делятся на несколько типов. Перечислим их.

  1.  Пусть в точке  гауссова кривизна . Тогда в этой точке главные нормальные кривизны  и  или обе положительны, или обе отрицательны. В обоих случаях соприкасающийся параболоид :

   –

эллиптический (см.рис. 3). В первом случае он, касаясь плоскости  в своей вершине , лежит над плоскостью , а во втором, касаясь той же плоскости в , лежит под ней. Достаточно малая окрестность точки  на поверхности  устроена в пространстве так же, как соприкасающийся параболоид, поскольку функции  и  отличаются в окрестности точки  на бесконечно малые величины, выше второго порядка малости по отношению к . Точки поверхности  в которых гауссова кривизна , называется эллиптическими.

  1.  

Рисунок 4

Пусть в точке  гауссова кривизна . Тогда в этой точке главные нормальные кривизны  и  отличны от нуля и имеют разные знаки. В этом случае соприкасающийся параболоид гиперболический и касательная плоскость пересекает его по паре прямых, пересекающихся под ненулевым углом. Окрестность точки  на гиперболическом параболоиде, как известно, имеет вид седла. Так же устроена и малая окрестность точки  на поверхности . Касательная плоскость в точке  пересекает эту окрестность по паре кривых, пересекающихся в точке под ненулевым углом (рис. 4). Эта окрестность расположена по обе стороны от касательной плоскости в точке . Точки поверхности , в которых  , называются гиперболическими.

  1.  

Рисунок 5

Пусть в точке  гауссова кривизна . Точки поверхности , в которых , называются параболическими. В параболической точке обращаются нуль или одна главная нормальная кривизна , или обе .В первом случае малая окрестность точки  на поверхности  имеет вид, аналогичный виду его соприкасающегося  параболоид, который в данном случае является параболическим цилиндром  (рис. 5 случай, когда ) Во втором случае , соприкасающийся параболоид вырождается в касательную плоскость , а точка  называется точкой уплощения. В малой окрестности точки уплощения поверхность может быть весьма сложное строение. Его исследование связано с рассмотрением производных функции  третьего и более высоких порядков. 


Глава 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ, связанных с понятием второй квадратичной формы

§2.1. Вторая квадратичная форма

Задача 1.[7, №717]

Найдите вторую квадратичную форму следующих поверхностей вращения: , ,  – сфера.

Решение:

Пусть , ,  – уравнения сферы, тогда радиус-вектор имеет следующие координаты:

Находим первые и вторые производные радиус-вектора по аргументам :

Для того, чтобы найти значения коэффициентов в (1), нам необходимо знать значение нормали поверхности. Находим ее по определению, рассчитав векторное произведение первых производных радиус-вектора

Также нам необходимо знать длину полученного векторного произведения поверхности:

Нормаль проверхности примет вид:

Подставляем полученные значения в формулу (1) и получаем значения коэффициентов , далее подставим в (2) и получим вторую квадратичную форму:

Задача 2.[7, № 718]

Найдите вторую квадратичную форму следующих поверхностей вращения:

, ,  – эллипсоид вращения.

Решение:

Пусть , ,  – уравнения эллипсоида вращения, тогда радиус-вектор имеет следующие координаты:

Находим первые и вторые производные радиус-вектора по аргументам :

Для того, чтобы найти значения коэффициентов в (1), нам необходимо знать значение нормали поверхности. Находим ее по определению, рассчитав векторное произведение первых производных радиус-вектора

Также нам необходимо найти значение длины полученного векторного произведения поверхности:

Нормаль проверхности будет иметь вид:

Подставляем полученные значения в формулу (1) и получаем значения коэффициентов , далее подставим в (2) и получим вторую квадратичную форму:

Задача 3.[7, №719]

Найдите вторую квадратичную форму следующих поверхностей вращения:

-однополостной гиперболоид вращения.

Решение:

Пусть  – уравнения однополостного гиперболоида вращения, тогда у радиус-вектора будут следующие координаты:

Находим первые и вторые производные радиус-вектора по аргументам :

Далее, чтобы найти значения коэффициентов в (1), нам необходимо знать значение нормали поверхности. Находим ее по определению, рассчитав векторное произведение первых производных радиус-вектора

Также найдем значение длины полученного векторного произведения поверхности:

Нормаль проверхности будет иметь вид:

Подставляем полученные значения в формулу (1) и получаем значения коэффициентов :

далее подставим в (2) и получим вторую квадратичную форму:

Задача 4.[7, № 725]

Найдите вторую квадратичную форму следующих поверхностей вращения:

, ,  – катеноид.

Решение:

Пусть , ,  – уравнения катеноида, тогда радиус-вектор будет со следующими координатами:

Находим первые и вторые производные радиус-вектора по аргументам :

Далее, чтобы найти значения коэффициентов в (1), нам необходимо знать значение нормали поверхности. Находим ее по определению, рассчитав векторное произведение первых производных радиус-вектора

Также найдем значение длины полученного векторного произведения поверхности:

Нормаль проверхности будет иметь вид:

Подставляем полученные значения в формулу (1) и получаем значения коэффициентов :

Задача 5.[7, № 726]

Найдите вторую квадратичную форму поверхности

По условию задачи

Находим первые и вторые производные радиус-вектора по аргументам :

Далее, чтобы найти значения коэффициентов в (1), нам необходимо знать значение нормали поверхности. Находим ее по определению, рассчитав векторное произведение первых производных радиус-вектора

Также найдем значение длины полученного векторного произведения поверхности:

Нормаль проверхности будет иметь вид:

Подставляем полученные значения в формулу (1) и получаем значения коэффициентов :

далее подставим в (2) и получим вторую квадратичную форму:

§2.1. Главные направления и главные нормальные кривизны. тип точки на поверхности

Задача 6.[7, № 733]

Найдите главные кривизны прямого геликоида.

Решение:

По условию задачи

Главные кривизны находятся как корни уравнения

Найдем коэффициенты первой

.

Находим вторые производные радиус-вектора по аргументам :

Далее, чтобы найти значения коэффициентов в (1), нам необходимо знать значение нормали поверхности. Находим ее по определению, рассчитав векторное произведение первых производных радиус-вектора

Также найдем значение длины полученного векторного произведения поверхности:

Нормаль проверхности будет иметь вид:

Подставляем полученные значения в формулу (1) и получаем значения коэффициентов :

Составляем уравнение и решаем его

Тогда главные кривизны равны

Задача 7.[7, № 735]

Вычислите главные кривизны поверхности  в точке .

Решение.

По условию задачи

Главные кривизны находятся как корни уравнения

Найдем коэффициенты первой и второй квадратичных форм

и второй квадратичных форм

Составляем уравнение и решаем его

Тогда главные кривизны равны

Задача 8.[7, № 767]

Исследуйте характер точек на эллипсоиде.

Решение.

По условию задачи

Для того, чтобы определить тип точки на заданной поверхности, нам нужно знать гауссову кривизну. Найдем ее.

Для нахождения гауссовой кривизны вычислим коэффициенты первой и второй квадратичных форм

Коэффициенты второй квадратичной формы были найдены ранее

Тогда гауссова кривизна

Поскольку K>0, значит, все точки на поверхности – эллиптические.

Задача 9.[7, № 768]

Исследуйте характер точек на гиперболоиде.

Решение.

По условию задачи

           

Для того, чтобы определить тип точки на заданной поверхности, нам нужно знать гауссову кривизну. Найдем ее.

Для нахождения гауссовой кривизны вычислим коэффициенты первой и второй квадратичных форм

Коэффициенты второй квадратичной формы были найдены ранее

Тогда гауссова кривизна

Поскольку K<0, значит, все точки на поверхности – гиперболические.


Заключение

Первая квадратичная форма – квадратичная форма от дифференциалов координат на поверхности, которая определяет внутреннюю геометрию поверхности в окрестности данной точки.

Метрика не определяет однозначную форму поверхности. Например, метрика геликоида и катеноида, параметризованных соответствующим образом, совпадает, то есть между их областями существует соответствие, сохраняющее все длины (изометрия). Свойства, сохраняющиеся при изометрических преобразованиях, называются внутренней геометрией поверхности. Внутренняя геометрия не зависит от положения поверхности в пространстве и не меняется при ее изгибании без растяжения и сжатия (например, при изгибании цилиндра в конус).

Знание первой квадратичной формы достаточно для вычисления длин дуг, углов между кривыми, площади областей на поверхности.

В данной курсовой работе была изучена первая квадратичная форма, а также способы вычисления длин кривых на поверхности и угол между кривыми. Также были решены различного рода задачи.


Список литературы

  1.  Атанасян Л. С., Базылев В. Т. Геометрия. Часть 2. Учебное пособие— М.: Просвещение, 1987.—352 с.
  2.  Атанасян С. Л., Цаленко М. М. Задачник по геометрии:Учебное пособие для студентов-заочников 2-5 курсов физ. мат. фак. пед. ин-тов – М.: Просвещение, 1994. – 192с.
  3.  Вернер А. Л., Кантор Б. Е., Франгулов С. А. Геометрия. Часть 2. Учебное пособие— С.-Пб.: Специальная литература, 1997.—320 с.
  4.  Погорелов А. В. Дифференциальная геометрия— М.: Наука, 1974.—176 с.
  5.  Сборник задач по геометрии. Часть 2: Учебное пособие /Отв. ред. Л. С. Атанасян. – М.: Просвещение, 1975. – 176 с.
  6.  Сборник задач по геометрии. /Отв. ред. В. Т. Базылев. – М.: Просвещение, 1980. – 240 с.
  7.  Сборник задач по дифференциальной геометрии. /Отв. ред. А. С. Феденко. – М.: Наука, 1979. – 272 с.
  8.  Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. – М.: Гостехиздат, 1956.

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

37570. МЕТОДОЛОГИЯ СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ФИНАНСОВО-ПРОМЫШЛЕННЫХ ГРУПП 610.5 KB
  Цель работы состоит в теоретическом обосновании и разработке методологии применения статистических методов в управлении эффективностью функционирования финансово-промышленных групп в условиях переходной экономики.
37571. Управление деятельностью корпораций в россии 1.32 MB
  субъект 2 Управляющая компания Государство орпорация i Команда j Технологическая цепочка j Предприятие k Общекорпоративные подразделения Если у одной корпорации модуль отсутствует используется существующий модуль другой корпорации; Если у обеих корпораций присутствуют аналогичные модули то используется более эффективный а другой сокращается. Корпорация Портфель 1 Элемент Портфель 2 Элемент Портфель N Элемент 1 7 2 6 3 5 4 Анализ возможностей Планирование Организация Диспетчирование Мотивация Контроль Регулирование Определение потребностей...
37572. ЭФФЕКТИВНОСТЬ УПРАВЛЕНИЯ ФАКТОРАМИ ПРОИЗВОДСТВА В КОРПОРАЦИЯХ ОБОРОННОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ РОССИИ 3.27 MB
  Корпорации оборонной промышленности в экономике России [2. Инструментарий формирования факторов производства корпорации оборонной промышленности [3.1] Разработка плана финансирования деятельности корпорации оборонной промышленности [3. Разработка и обоснование методики оценки прогнозирования оптимального состава факторов производства корпорации оборонной промышленности [3.
37573. ОЦЕНКА ГОСУДАРСТВЕННЫМ ПОСРЕДНИКОМ ИНВЕСТИЦИОННОЙ ПРИВЛЕКАТЕЛЬНОСТИ ПРЕДПРИЯТИЙ – ИСПОЛНИТЕЛЕЙ КОНТРАКТОВ В СФЕРЕ ВОЕННО-ТЕХНИЧЕСКОГО СОТРУДНИЧЕСТВА 874 KB
  ПЛЕХАНОВА ИНСТИТУТ ФИНАНСОВ На правах рукописи БЕЛЬЯНИНОВ Андрей Юрьевич ОЦЕНКА ГОСУДАРСТВЕННЫМ ПОСРЕДНИКОМ ИНВЕСТИЦИОННОЙ ПРИВЛЕКАТЕЛЬНОСТИ ПРЕДПРИЯТИЙ ИСПОЛНИТЕЛЕЙ КОНТРАКТОВ В СФЕРЕ ВОЕННОТЕХНИЧЕСКОГО СОТРУДНИЧЕСТВА Специальность 08. Исследование основных инвестиционных аспектов военнотехнического сотрудничества россии [2. Современное состояние системы военнотехнического сотрудничества России [2. Инвестиционный процесс в системе военнотехнического сотрудничества России [2.
37574. ТЕКСТОВЫЕ СТРУКТУРЫ В НЕМЕЦКОЙ ДУХОВНОЙ ПРОЗЕ XIII ВЕКА (трактат «Geistlicher Herzen Bavngart» и его источники) 1.16 MB
  Главы 202 и 203 содержат почти полный текст трактата Давида “Die Sieben Vorregeln der Tugend†а глава 205 так называемые “монастырские проповед膓Sechs Klosterpredigten†Бертольда Регенсбургского. Прямое указание на авторство Давида встречается только один раз для трактата “Die sieben Vorregeln der Tugend†причем в самом Bvngrt гл. Она подтвердила авторство Давида для восьми трактатов: “Die Sieben Vorregeln der Tugend†“Der Spiegel der Tugend†“Von der Offenbrung und Erleuchtung des...
37575. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СТРУКТУРЫ НАСЛЕДСТВЕННОЙ КОМПОНЕНТЫ ПОДВЕРЖЕННОСТИ К БРОНХИАЛЬНОЙ АСТМЕ И ТУБЕРКУЛЕЗУ ПО ГЕНАМ ФЕРМЕНТОВ МЕТАБОЛИЗМА КСЕНОБИОТИКОВ 880.5 KB
  Полиморфизм генов глутатионовых Sтрансфераз GSTT1 GSTM1 GSTP1 и цитохромов Р450 CYP2E1 CYP2C19 у жителей г. Ассоциация полиморфных вариантов генов GSTT1 GSTM1 GSTP1 CYP2E1 и CYP2C19 с атопической бронхиальной астмой 65 3. Связь полиморфизма генов ферментов метаболизма ксенобиотиков с изменчивостью количественных признаков у больных бронхиальной астмой и туберкулезом 85 Заключение 101 Выводы 107 Литература 109 СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ 95 CI 95 доверительный интервал; CYP гены цитохрома Р450;...
37576. МЕТОДИЧЕСКИЕ ИНСТРУМЕНТЫ КОМПЛЕКСНОЙ ОЦЕНКИ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ КОРПОРАТИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ НА ПРОМЫШЛЕННЫХ ПРЕДПРИЯТИЯХ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 1.05 MB
  Борьба за влияние внутри корпорации за контроль финансовых потоков в условиях общих целей и критериев оценки трансформировалась бы в сотрудничество и совместный рост благосостояния корпорации собственников и менеджеров. К наиболее важным результатам характеризующим научную новизну исследования относятся следующие: выявлены исторические тенденции и особенности формирования корпоративных отношений; определены предпосылки и условия для эффективного развития корпоративного управления; оценено влияние национальных особенностей на развитие...
37577. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ КОРПОРАТИВНОГО ПРАВА РФ 528.5 KB
  ДОСТОЕВСКОГО На правах рукописи Волнянский Денис Анатольевич ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ КОРПОРАТИВНОГО ПРАВА РФ Специальность 12.01 теория и история права и государства; история правовых учений Диссертация на соискание ученой степени кандидата юридических наук Научный руководитель: доктор юридических наук профессор Бутаков А. Омск 2006 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ КОРПОРАТИВНОГО ПРАВА РФ План Глава 1. Подходы к пониманию корпоративного права РФ.
37578. Построение систем защиты информации для программных пакетов, используемых в монопольном доступе 1.13 MB
  В качестве объекта для исследования и применения разработанных методов защиты служат системы дистанционного обучения и контроля знаний. Рассмотрены различные методы применяемые для создания разнообразных систем защиты рассмотрена возможность их применения для систем дистанционного обучения. Проанализированы ключевые места требующие защиты и предложены варианты ее осуществления отмечены их преимущества и недостатки.