67717

Метод Эйлера первого порядка точности и Рунге – Кутта четвёртого порядка точности. Визуализация численных методов

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

Цель и задача данной курсовой работы заключается в том чтобы рассчитать и научиться пользоваться несколькими способами решение дифференциального уравнения, добиться вывода графических изображений в программах используемых для этой работы.

Русский

2016-09-14

222 KB

7 чел.

УРАЛЬСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ СВЯЗИ И ИНФОРМАТИКИ

ФАКУЛЬТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ

КАФЕДРА ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ И ТЕХНОЛОГИЙ

По курсу: “Информатика”.

По теме: “Визуализация численных методов”.

                                                                Выполнил:

                                                                    Сафронов Н.В.

                                                               группа  ИТЕ-13б

                                                      Проверила:

Бикбулатова Н.Г.

Екатеринбург 2012

Содержание

[1] Содержание

[2] Введение

[3] Цель и задачи

[4]
1. Постановка задачи

[4.0.0.1] y`=f(x,y) – тангенс угла наклона касательной к графику решения в точке (x,y) к оси OX (угловой коэффициент (в общей формуле прямой, y=k*x+b, обозначается как “k”)(рис 1).

[4.0.0.2] Рисунок 1. Геометрический смысл задачи Коши

[5]
1.1. Метод Эйлера

[6]
1.2. Метод Рунге – Кутта

[7]
2. Блок-схемы

[8] 2.1 Блок-схема программы

[9]

[10] 2.2 Блок-схема алгоритма функции

[11] 2.3 Блок-схема метода Эйлера

[12] 2.4 Блок-схема общего решения и поиска

[13] максимальных значений

[14]
2.5 Блок-схема метода Рунге-Кутта 4 порядка

[15] 3.Виды, формы

[16] 3.1. Начальная форма

[17] 4. Программа для решения дифференциального уравнения в Visual Basic

[18] 5. Решение задачи в MathCadе

Введение

Уравнения, связывающие независимую переменную, искомую функцию и её производные называют дифференциальным уравнением. Решение дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Если искомая (неизвестная) функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обычным; в противном случае – уравнение в частных производных, содержащие несколько независимых переменных и производные по ним, которые называются частными. В данной работе будут рассматриваться методы решения обычных дифференциальных уравнений (ОДУ).

Чтобы решить ОДУ, необходимо знать значение зависимой переменной и (или) её производные при некоторых значениях независимой переменной. Если эти дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной, то такая задача называется задачей с начальными условиями, или задачей Коши.

Числовое решение задачи Коши широко применяется в различных областях науки и техники, и число разработанных для него методов достаточно велико. Эти методы могут быть разделены на следующие группы.

  •  Одношаговые методы, в которых для нахождения следующей точки на кривой y=f(x) требуется информация лишь об одном предыдущем шаге. Одношаговыми являются метод Эйлера и методы Рунге – Кутта.
  •  Методы прогноза и коррекции (многошаговые), в которых для отыскивания следующей точки кривой y=f(x) требуется информация более чем об одной из предыдущих точек. Чтобы получить достаточно точное численное значение, часто прибегают к итерации. К числу таких методов относятся методы Милны, Адамса – Башфорта и Хемминга.
  •  Явные методы, в которых функция Ф в выражении (1) не зависит от yn+1.
  •  Неявные методы, в которых функция Ф зависит от yn+1.

В данной курсовой работе будут рассматриваться два одношаговых метода: метод Эйлера первого порядка точности и Рунге – Кутта четвёртого порядка точности.

Цель и задачи

          Цель и задача данной курсовой работы заключается в том чтобы рассчитать и научиться пользоваться несколькими способами решение дифференциального уравнения, добиться вывода графических изображений в программах используемых для этой работы.

1 Убедиться в том, что данные методы решений совпадаю и сделать вывод о сходимости.

2 Проанализировать результаты, которые получатся в обоих методах

3 Так же в соответствующих программах создать данные формы объекта


1. Постановка задачи

  В данной курсовой работе необходимо решить ОДУ вида y` = (y^2*ln(x)-y)/x  с заданными начальными значениями x0=1, xk=1.6, y0=4, h=0.1. Для проверки точности результатов дано общее решение данного уравнения      y=(1+ln(x)+c*x)^-1.

   Требуется решить уравнение двумя методами: Эйлера и Рунге – Кутта четвёртого порядка, сравнить результаты и сделать вывод какой метод эффективнее использовать, построить графики.

Численное решение задачи Коши сводится к табулированию искомой функции.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Геометрический смысл задачи:

 y`=f(x,y) – тангенс угла наклона касательной к графику решения в точке (x,y) к оси OX (угловой коэффициент (в общей формуле прямой, y=k*x+b, обозначается как “k”)(рис 1). 

Рисунок 1. Геометрический смысл задачи Коши

Существующие решения:

Если правая часть f(x,y) непрерывная в некоторой области R, определяемой неравенствами |xx0| < a; |yy0| > b, то существует, по меньшей мере, одно решение y=y(x), определённое в окрестности |xx0| < h, где h > 0.

При использовании численных методов выполняется замена отрезка [x0,X] – области непрерывного изменения аргумента x множеством wh, состоящего из конечного числа точек x0<x1<...<xn=X – сеткой.

При этом xi  называют узлами решётки.

Задача Коши, определённая ранее на непрерывном отрезке [x0,X], заменяется её дискретным аналогом – системой уравнений, решая которую можно последовательно найти значения y1,y2,...,yn – приближённые значения функции в узлах сетки.

                                


1.1. Метод Эйлера

Данный метод, как сказано выше, является одношаговым. Табулирование функции происходит поочередно в каждой точке. Для расчёта значения функции в очередном узле необходимо использовать значение функции в одном предыдущем узле.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

                               y`=f(x,y)

с начальным условием

                               y(x0)=y0.

Выберем шаг h и введём обозначения:

xi=x0+i*h и yi=y(xi), где i=0,1,2,...,

                                                  xi- узлы сетки,

                                                  yi- значение интегральной функции в узлах.

Иллюстрации к решению приведены на рисунке 2.

Проведём прямую АВ через точку (xi,yi) под углом  α. При этом

                              tgα=f(xi,yi)      (1)

В соответствии с геометрическим смыслом задачи, прямая АВ является касательной к интегральной функции. Произведём замену точки интегральной функции точкой, лежащей на касательной АВ.

Тогда y i+1=yi+Δy (2).

Из прямоугольного треугольника АВС tgα= Δy/h (3).

Приравниваем правые части (1) и (3). Получим Δy/h= f(xi,yi).

Отсюда Δy= f(xi,yi)*h.

Подставим в это выражение формулу (2), а затем преобразуем его. В результате получаем формулу расчёта очередной точки интегральной функции:

y i+1=yi+ h*f (xi,yi)            (4).

Из формулы (4) видно, что для расчёта каждой следующей точки интегральной функции необходимо знать значение только одной предыдущей точки. Таким образом, зная начальные условия, можно построить интегральную кривую на заданном промежутке.

                          

     Рисунок 2. Метод Эйлера

Метод Эйлера – один из простейших методов численного решения ОДУ. Но существенным его недостатком является большая погрешность вычислений. На рисунке 2 погрешность вычислений дляi-го шага обозначена ε. С каждым шагом погрешность вычислений увеличивается.

График решения дифференциального уравнения

Решение дифференциального уравнения.

1 Находим точку А по координатам (x0,y0) = (1,4)

2 Вычисляем угол 

tgα=f(xi,yi)

f(xi,yi)= y^2*ln(x)-y)/x

f(xi,yi)= -4

α=arctg( f(xi,yi))= -76’

3 Проводим касательную от точки А под углом α            

4 Находим точку В на прямой с координатами (x1,y1) где x1 = x0 + h , рассчитываем координату  y1 по формуле y i+1 = yi + h * f ( xi , y i).  y1 = 3,6

5 Вычисляем угол  в точке В(1,1;3,6)

tgα=f(xi,yi)

f(xi,yi)= y^2*ln(x)-y)/x

f(xi,yi)= -2,15

α=arctg( f(xi,yi))= -65’

6 Проводим касательную от точки В под углом α1             


1.2. Метод РунгеКутта 

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

                               y`=f(x,y)

с начальным условием

                               y(x0)=y0.

Выберем шаг h и введём обозначения:

xi=x0+i*h и yi=y(xi), где i=0,1,2,...,

xi- узлы сетки,

yi- значение интегральной функции в узлах.

Проведём решение в несколько этапов.

  1.  Обозначим точки: A(xi,yi), B(xi+1,yi+1), C, D, E.
  2.  Через точку А проведём прямую под углом α, где tg α = f(xi,yi).
  3.  На прямой найдём точку В. Через точку В проведём прямую под углом α = -73, где tg α1 = f(xi+h/4, yi+h/4*f(xi,yi).
  4.  Найдём точку С на прямой В и через неё проведём прямую под углом α = -71, где

tg α = f(xi+h/2, yi+h/2*f(xi,yi)).

И так же находим остальные точки D c α = -68  и E c  α = -65

  1.  По примеру, описанному выше, построим прямую, которая пересечётся с прямой x = xi+1. Эта точка и будет решением дифференциального уравнения при x = xi+1.  

Согласно методу Рунге – Кутта четвёртого порядка, последовательные значения yi искомой функции y определяется по формуле:

 y i+1=yi+Δy,

где

Δy=(k1+2*k2+2*k3+k4)/6,  i=0,1,2,...

а числа k1(i),k2(i),k3(i),k4(i) на каждом шаге вычисляются по формулам:

k1=h*f(xi,yi)

k2 =h*f(xi+h/2,yi+k1/2)

k3=h*f(xi+h/2,yi+k2/2)

k4 =h*f(xi+h,yi+k3)

Это явный четырёхэтапный метод четвёртого порядка точности.

                                

Методы Рунге – Кутта легко программируются и обладают значительной точностью и устойчивостью для широкого круга задач.

На рисунке 6 приведена блок-схема процедуры RUNGE(X0, XK, Y0, N, Y) для решения задачи Коши описанным выше методом Рунге – Кутта.

Рисунок 6. Блок-схема процедуры RUNGE

На рисунке 7 приведена блок-схема алгоритма основной программы для решения задачи Коши и получения результатов с фиксированным количеством отрезков разбиения N. В основной программе происходит обращение к процедуре RUNGE(X0, XK, Y0, N, Y), вычисляющей значения искомой функции yj в точках xj методом Рунге – Кутта.

Исходными данными в данной задаче являются:

X0, XK – начальное и конечное значения независимой переменной;

Y0 – значение y0 из начального условия  y(x0) = y0;

N – количество отрезков разбиения.

Результаты работы программы выводятся в виде двух столбцов:

X – массив значений узлов сетки;

Y – массив значений искомого решения в соответствующих узлах сетки.

Рисунок 7. Блок-схема алгоритма основной программы для решения задачи Коши с фиксированным количеством отрезков разбиения N


2. Блок-схемы

2.1 Блок-схема программы



2.2 Блок-схема алгоритма функции

2.3 Блок-схема метода Эйлера

2.4 Блок-схема общего решения и поиска

максимальных значений


2.5 Блок-схема метода Рунге-Кутта 4 порядка

3.Виды, формы

3.1. Начальная форма


3.2. Конечная форма

4. Программа для решения дифференциального уравнения в Visual Basic

Dim x(), e(), em(), o() As Single

Private i, n As Integer

Private x0, xk, y0, h, miny, maxy, minx, maxx As Single

Function f(x, y) As Single

p = Log(x) / Log(2.718282)

f = (y ^ 2 * p - y) / x

End Function

Private Sub Eiler()

ReDim x(n + 1)

ReDim e(n + 1)

e(0) = y0

For i = 0 To n

x(i) = Round(x0 + (i * h), 3)

e(i + 1) = Round(e(i) + h * f(x(i), e(i)), 3)

Next i

End Sub

Private Sub RungeK4()

ReDim x(n + 1)

ReDim em(n + 1)

em(0) = y0

For i = 0 To n

x(i) = Round(x0 + i * h, 3)

 k1 = h * f(x(i), em(i))

 k2 = h * f(x(i) + (h / 2), em(i) + (k1 / 2))

 k3 = h * f(x(i) + (h / 2), em(i) + (k2 / 2))

 k4 = h * f(x(i) + h, em(i) + k3)

 k = (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) / 6

em(i + 1) = Round(em(i) + k, 3)

Next i

End Sub

Private Sub Obhee()

ReDim x(n + 1)

ReDim o(n + 1)

maxy = y0

miny = y0

maxx = x0

minx = x0

p = Log(x0) / Log(2.718282)

  c = (1 / (x0 * y0)) - (1 / x0) - (p / x0)

For i = 0 To n

x(i) = Round(x0 + i * h, 3)

p = Log(x(i)) / Log(2.718282)

o(i) = (1 / (1 + p + c * x(i)))

Next i

End Sub

Private Sub Command1_Click()

x0 = Val(Text1.Text)

y0 = Val(Text2.Text)

xk = Val(Text3.Text)

h = Val(Text4.Text)

n = Round((xk - x0) / h)

MSFlexGrid1.Cols = 4

MSFlexGrid1.Rows = n + 2

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 0) = "x"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 1) = "Общее решение"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 2) = "Эйлер"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 3) = "Рунге-Кутт"

Eiler

RungeKutta

Obhee

For i = 0 To n

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 0) = Str(x(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 1) = Str(o(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 2) = Str(e(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 3) = Str(em(i))

Next i

minx = x(0)

maxx = x(n)

miny = o(0)

maxy = o(n)

If e(n) > o(n) Then maxy = e(n)

If em(n) > o(n) Then maxy = em(n)

If e(n) > em(n) Then maxy = e(n)

Label10.Caption = Str(miny)

Label11.Caption = Str(maxy)

Label8.Caption = Str(minx)

Label12.Caption = Str(maxx)

Picture1.Cls

kx = (4000 - 700) / (xk - x0)

ky = (5000 - 6000) / (maxy - miny)

For i = 0 To n - 1

z1 = (720 + (x(i) - x0) * kx)

z2 = (1000 - (e(i) - miny) * ky)

z3 = (720 + (x(i + 1) - x0) * kx)

z4 = (1000 - (e(i + 1) - miny) * ky)

Picture1.Line (z1, z2)-(z3, z4), vbBlue

Next i

For i = 0 To n - 1

z1 = (720 + (x(i) - x0) * kx)

z2 = (1000 - (em(i) - miny) * ky)

z3 = (720 + (x(i + 1) - x0) * kx)

z4 = (1000 - (em(i + 1) - miny) * ky)

Picture1.Line (z1, z2)-(z3, z4), vbGreen

Next i

For i = 0 To n - 1

z1 = (720 + (x(i) - x0) * kx)

z2 = (1000 - (o(i) - miny) * ky)

z3 = (720 + (x(i + 1) - x0) * kx)

z4 = (1000 - (o(i + 1) - miny) * ky)

Picture1.Line (z1, z2)-(z3, z4), vbRed

Next i

End Sub

Private Sub Command2_Click()

End

End Sub

5. Решение задачи в MathCadе


Заключение

В данной курсовой работе я рассматривал два метода решения  дифференциального уравнения, а именно Метод Эйлера и Рунге-Кутта 4 порядка. Эти методы были рассчитаны путем вычисления через программу Visual Basic и MathCadе.

         В связи с полученными данными, вычисленными через программы выяснилось, что точки графиков функции не совпадают, то есть имеется погрешность с каждым увеличением шага или с вычислением последующей точки.

С точки зрения вычислений данного дифференциального уравнения, на мой взгляд, проще решается с помощью метода Эйлера, но при этом возникает небольшая погрешность.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

6368. Політичні партії і партійні системи зарубіжних країн 37.93 KB
  Політичні партії і партійні системи зарубіжних країн План 1. Політичні партії: поняття, сутність, функції. 2. Класифікація політичних партій, їх організаційна структура. 3. Інституціоналізація політичних партій. 4. Партійні системи зарубіжних країн....
6369. Політичні ідеї античого світу 95 KB
  Політичні ідеї античого світу 1 Вчення Платона державу Проблема державного ладу була, є і буде однією із самих складних і суперечливих проблем, що стоять перед людством. Безліч людей уже тисячі років намагаються зрозуміти, якою держава повинна бути ...
6370. Загальнотеоретичні аспекти організації роботи органів публічної влади в Україні 159.5 KB
  Загальнотеоретичні аспекти організації роботи органів публічної влади в Україні 1. Поняття, види та ознаки органів публічної влади . 2. Система органів публічної влади в Україні .3. Принципи організації й діяльності органів публічної влади в У...
6371. Економічні потреби суспільства і роль виробництва в їх задоволенні 178.42 KB
  Економічні потреби суспільства і роль виробництва в їх задоволенні. 1.Сутність та структура економічних потреб суспільства. 2.Економічний закон зростання потреб. 3.Економічні інтереси, їхня класифікація та взаємодія. 4.Мотиви та стимули ефективного ...
6372. Фундаменталізація та індивідуалізація підготовки фахівців з вищою освітою 52 KB
  Фундаменталізація та індивідуалізація підготовки фахівців з вищою освітою 1.Індивідуалізація навчання як важлива умова реформування вищої освіти. Індивідуалізація навчання - це надання можливості тому, хто навчається, самостійно обирати рівень...
6373. Поняття про екосистеми 135 KB
  Поняття про екосистеми Поняття виду і популяції. Структура та характеристика популяції. Визначення поняття екосистема. Характеристики біоценозу та біотопу. Динаміка екосистем. Штучні екосистеми - агр...
6374. Організація науково-дослідної роботи в Україні 138 KB
  Організація науково-дослідної роботи в Україні План Організаційна структура науки. Пріоритетні напрями розвитку науки в Україні. Система підготовки наукових і науково-педагогічних кадрів. Науково-дослідна робота студентів. Організацій...
6375. Організація навчального процесу у вищому навчальному закладі 108.5 KB
  Організація навчального процесу у вищому навчальному закладі 1.Європейська кредитно-трансферна та системанакопичення - ECTS У положенні використано терміни, що надані у Законах України Про вищу освіту від 17.01.2002 р. № 298...
6376. Дидактика вищої школи. Зміст освіти у ВНЗ 63.5 KB
  Дидактика вищої школи.Зміст освіти у ВНЗ План Сутність поняття дидактика вищої школи, іі мета, функції та завдання. Зміст освіти у вищій школі. Поняття про зміст освіти вищої школи та його проектування. Характеристика н...