67749

АРИФМЕТИКА МНОГОЧЛЕНОВ

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Множество всех многочленов от одной переменной над полем образует коммутативное кольцо с единицей. В кольце многочленов имеет место алгоритм деления с остатком аналогичный тому который имеет место для целых чисел. Если для многочленов и в кольце существуют такие многочлены и что многочлен можно представить...

Русский

2014-09-14

461 KB

5 чел.

PAGE   \* MERGEFORMAT 5

Лабораторная работа № 4

Тема: АРИФМЕТИКА МНОГОЧЛЕНОВ

Цель работы – изучить основные понятия, необходимые для обоснования модульной арифметики и операций в расширениях конечных полей.

Краткие теоретические сведения.

1. Многочлены над полем.

Многочлен над полем  – это функция вида , где , . Целое число  называется степенью многочлена и обозначается . Числа  называются коэффициентами,  – свободным членом. Областью изменения аргумента  является поле . Умножение и сложение являются операциями в поле. Константы (элементы поля ) рассматриваются как многочлены нулевой степени.

Множество  всех многочленов от одной переменной над полем  образует коммутативное кольцо с единицей. Над многочленами можно производить операции сложения и умножения, причем эти действия имеют все свойства операций в коммутативном кольце (ассоциативность, коммутативность, дистрибутивность, существование нулевого элемента, и т. д.). Любой ненулевой элемент поля   можно рассматривать как многочлен нулевой степени, нуль поля  также принадлежит к многочленам, его называют нулевым многочленом. Роль единицы кольца  играет единичный элемент 1 поля , который рассматривается как многочлен нулевой степени.

Если , по многочлен называется приведённым (нормированным, унитарным). Любой многочлен над полем можно привести к нормированному, умножив его на , но в кольце это не так, поскольку не для всех элементов существуют обратные.

В кольце многочленов  имеет место алгоритм деления с остатком, аналогичный тому, который имеет место для целых чисел.

Определение. Если для многочленов  и  в кольце  существуют такие многочлены  и , что многочлен  можно представить в виде

где степень многочлена  не больше степени многочлена  (), то говорят, что многочлен  делится на многочлен  с остатком.

2. Делимость многочленов

При делении многочленов с остатком применяют ту же терминологию, что и для целых чисел: многочлен  называется делимым, многочлен  – делителем, многочлен  – неполным частным, а многочлен  – остатком.

На практике деление с остатком для двух заданных многочленов выполняется аналогично делению многозначных чисел – "углом".

В частном случае, когда делитель  является приведённым линейным двучленом, т.е. , применяется схема Горнера.

Положим

.

Приравняв коэффициенты в обеих частях последнего равенства, получим:

Обычно процесс деления на линейный двучлен оформляют в виде таблицы:

3. Алгоритм Евклида для многочленов

Многочлен  называется общим делителем многочленов  и , если он является делителем каждого из них.

Общий делитель многочленов  и , который делится на любой общий делитель этих многочленов, называется наибольшим общим делителем (НОД) многочленов  и . Обозначается символом  или .

Обычно в качестве  выбирается нормированный многочлен.

Два многочлена  и  называются взаимно простыми, если каждый их общий делитель является многочленом нулевой степени (отличающейся от нуля константой).

Для определения НОД двух многочленов используется аналог классического алгоритма Евклида для чисел.

Пусть заданы два многочленов  и , причем будем считать, что степень  больше степени . Выполним последовательно ряд операций деления с остатком, который описывается следующей системой равенств:

;

;

;

....................................................

;

.

Последний отличающийся от нуля остаток и будет наибольшим общим делителем многочленов  и .

Теорема (о линейном представлении НОД двух многочленов). Для любых двух многочленов и  из  существует наибольший общий делитель , который можно представить в виде:

,

где .

Два многочлена  и  являются взаимно простыми тогда и только тогда, когда существуют многочлены  такие, что 

.

Для определения линейного представления НОД двух многочленов используется аналог расширенного алгоритма Евклида для чисел.

4. Многочлены над полем .

Сложение и умножение в поле  определяется следующими таблицами

+

0

1

х

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

1

Если многочлен  неприводим, то остатки от деления всех многочленов из  на  образуют поле  относительно операций умножения и сложения многочленов с коэффициентами из . Поле  является расширением . Количество его элементов равно . Равенство в поле  является сравнением вида . Элемент, обратный  вычисляется как многочлен  из уравнения , поскольку все многочлены степени меньшей  взаимно просты с .

Если многочлену , , поставить в соответствие вектор , то операции в поле  можно интерпретировать как операции над векторами – расширенными числами, правые крайние координаты которых принадлежат .

5. Неприводимость многочленов

Многочлен ненулевой степени называется неприводимым, если он делится только на константы и сам на себя.

Неприводимые многочлены играют важную роль в устройстве кольца , т.к. каждый многочлен из  может быть представлен, причём единственным образом, в виде произведения неприводимых многочленов. Эти неприводимые многочлены являются аналогами простых чисел, через произведение которых можно выразить любое целое число.

Как простых чисел в , так и неприводимых многочленов над произвольным полем  существует бесконечное множество.

Над любым конечным полем существуют неприводимые многочлены сколько угодно высокой степени.

Порядок выполнения работы.

1. Изучить краткие теоретические сведения о свойствах многочленов.

2. Пользуясь схемой Горнера, вычислить :

  1.  ,   ;
    1.  ,   ;
    2.  ,   ;
    3.  ,  ;
    4.  ,   ;
    5.  ,  ;
    6.  , ;
    7.  , ;
    8.  ,   ;
    9.  ,  ;
  2.  ,  ;
  3.  ,  ;
  4.  ,  ;
  5.  ,  ;
  6.  ,  ;
  7.  ,  ;
  8.  ,  ;
  9.  ,   ;
  10.  ,  ;
  11.  ,  ;
  12.  ,  ;
  13.  ,   ;
  14.  ,  ;
  15.  ,  ;
  16.  , .

3. С помощью расширенного алгоритма Евклида найти линейное представление наибольшего общего делителя многочленов  и :

  1.  ,
  2.  ,
  3.  ,
  4.  ;
  5.  ,
  6.  ,
  7.  ,
  8.  ,
  9.  ,
  10.  ,
  11.  
  12.  
  13.  
  14.  
  15.  
  16.  
  17.  
  18.  
  19.  
  20.  
  21.  
  22.  ;
  23.  ;
  24.  ;
  25.  .

4. С помощью расширенного алгоритма Евклида найти линейное представление наибольшего общего делителя многочленов  и  над полем .

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

4

5

8

6

5

6

5

7

4

6

6

7

7

3

4

4

1

3

5

1

3

2

3

4

2

4

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

6

8

6

7

8

9

8

7

9

8

5

8

2

5

5

6

3

5

2

5

4

1

2

5

4. Составить отчет, приобщив туда полученные результаты.

Требования к отчету.

В отчете должны быть приведены:

1. Краткие сведения об изученных свойствах многочленов.

2. Решения своего варианта с необходимыми пояснениями.

3. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы.

  1.  Что такое многочлен?
    1.  Что такое многочлен над полем?
      1.  Как найти НОД двух многочленов?
      2.  Как найти линейное представление НОД двух многочленов?
      3.  Почему вычеты по модулю приводимого над  многочлена не образуют поле?
      4.  Почему операции сложения и вычитания в расширении поля  совпадают?


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

76902. Межреберные нервы, их ветви и области иннервации 180.98 KB
  Передние ветви грудных спинномозговых нервов образуют 11 пар межреберных нервов и 12ю пару подреберные нервы. Нервы в межреберном промежутке располагаются вместе с задними межреберными сосудами. Межреберные нервы ярко выражают метамерное расположение и сегментарную иннервацию кожи и мышц груди и живота реберной плевры и париетальной брюшины.
76903. Поясничное сплетение - строение, топография, нервы и области иннервации 180.18 KB
  Длинные нервы подвздошноподчревный подвздошнопаховый бедреннополовой запирательный бедренный латеральный кожный нерв бедра участвуют в иннервации кожи и мышц живота таза промежности и бедра. Его латеральная кожная ветвь иннервирует кожу ягодицы и бедра в верхнелатеральных отделах. Кроме того он снабжает кожу мошонки больших половых губ передней и медиальной поверхности бедра. Запирательный нерв для мышц таза и бедра.
76904. Крестцовое сплетение, его нервы и области иннервации 181.06 KB
  Источниками сплетения являются передние ветви IVVго частично поясничных и верхних четырех крестцовых спинномозговых нервов. При объединении с копчиковым сплетением в источники входят передние ветви пятого крестцового и копчикового спинальных нервов. Поясничнокрестцовый ствол возникает из части передней ветви IV поясничного и всей передней ветви V поясничного нервов.
76905. Седалищный нерв, его ветви. Иннервация кожи нижней конечности 182.03 KB
  Иннервация кожи нижней конечности. Седалищный нерв самый крупный и длинный в человеческом теле является смешанным нервом содержащим чувствительные двигательные и вегетативные волокна. Они происходят из передних ветвей IV V поясничных и первых трех крестцовых спинномозговых нервов.
76906. Черепные нервы. I, II пары черепных нервов. Проводящий путь зрительного анализатора 181.6 KB
  Они составляют проводниковую часть обонятельного и зрительного анализаторов. Оба имеют общее происхождение, т.к. развиваются как производные переднего мозгового пузыря, его нижней стенки. Оба несут восходящие (чувствительные) нервные волокна, соединяющие рецепторные поля анализаторов с подкорковыми центрами обоняния и зрения и, таким образом, входят в сенсорную систему.
76907. Глазодвигательный, блоковый, отводящий нервы 181.24 KB
  Глазодвигательный блоковый и отводящий нервы связаны в одну группу по причинам: единого происхождения и развития обусловленного передними головными миотомами из которых возникают мышцы глазного яблока; схожим строением волокон которые имеют нисходящее направление и по функции являются двигательными; общностью иннервации глазных мышц. Корешки нерва выходят на основании головного мозга в межножковой ямке по медиальной поверхности ножек мозга где для них имеется борозда. Ресничный узел лежит на латеральной полуокружности влагалища...
76908. Тройничный нерв. V пара черепных нервов, ее ветви, топография и области иннервации 185.93 KB
  V пара тройничные нервы правый и левый смешанные: чувствительные двигательные вегетативные. Нервы развиваются вместе с производными первой висцеральной дуги челюстями и жевательными мышцами кожей лица слизистой полости носа и рта. Ствол тройничного нерва возникает при объединении чувствительного и двигательного корешков на выходе из мозга.
76909. Лицевой нерв, его топография, ветви и области иннервации 181.44 KB
  VII пара включает два нерва лицевой и промежуточный смешанные нервы двигательные парасимпатические и чувствительные. Промежуточный нерв нередко обозначают как XIII пару и тогда в VII паре остается только лицевой – двигательный нерв. Нерв выходит из мозга в поперечной борозде между мостом и продолговатым мозгом латерально от оливы направляясь по задней черепной яме к внутреннему слуховому проходу куда вступает вместе с VIII парой.
76910. Преддверно-улитковый нерв. VIII пара черепных нервов и топография ее ядер. Проводящие пути органов слуха и равновесия 183.89 KB
  Преддверная и улитковая части VIII пары объединяются во внутреннем слуховом проходе и направляются через заднюю черепную яму к мозговому стволу к его поперечной борозде между мостом и продолговатым мозгом где латеральнее лицевого и промежуточного нервов входят во внутрь моста и заканчиваются синапсами на ядрах вестибулярного поля моста. Вестибулярное поле находится в латеральных углах ромбовидной ямки на него проецируются два улитковых и четыре вестибулярных ядра залегающих в вентролатеральных отделах моста. Улитковые ядра: переднее и...