67749

АРИФМЕТИКА МНОГОЧЛЕНОВ

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Множество всех многочленов от одной переменной над полем образует коммутативное кольцо с единицей. В кольце многочленов имеет место алгоритм деления с остатком аналогичный тому который имеет место для целых чисел. Если для многочленов и в кольце существуют такие многочлены и что многочлен можно представить...

Русский

2014-09-14

461 KB

5 чел.

PAGE   \* MERGEFORMAT 5

Лабораторная работа № 4

Тема: АРИФМЕТИКА МНОГОЧЛЕНОВ

Цель работы – изучить основные понятия, необходимые для обоснования модульной арифметики и операций в расширениях конечных полей.

Краткие теоретические сведения.

1. Многочлены над полем.

Многочлен над полем  – это функция вида , где , . Целое число  называется степенью многочлена и обозначается . Числа  называются коэффициентами,  – свободным членом. Областью изменения аргумента  является поле . Умножение и сложение являются операциями в поле. Константы (элементы поля ) рассматриваются как многочлены нулевой степени.

Множество  всех многочленов от одной переменной над полем  образует коммутативное кольцо с единицей. Над многочленами можно производить операции сложения и умножения, причем эти действия имеют все свойства операций в коммутативном кольце (ассоциативность, коммутативность, дистрибутивность, существование нулевого элемента, и т. д.). Любой ненулевой элемент поля   можно рассматривать как многочлен нулевой степени, нуль поля  также принадлежит к многочленам, его называют нулевым многочленом. Роль единицы кольца  играет единичный элемент 1 поля , который рассматривается как многочлен нулевой степени.

Если , по многочлен называется приведённым (нормированным, унитарным). Любой многочлен над полем можно привести к нормированному, умножив его на , но в кольце это не так, поскольку не для всех элементов существуют обратные.

В кольце многочленов  имеет место алгоритм деления с остатком, аналогичный тому, который имеет место для целых чисел.

Определение. Если для многочленов  и  в кольце  существуют такие многочлены  и , что многочлен  можно представить в виде

где степень многочлена  не больше степени многочлена  (), то говорят, что многочлен  делится на многочлен  с остатком.

2. Делимость многочленов

При делении многочленов с остатком применяют ту же терминологию, что и для целых чисел: многочлен  называется делимым, многочлен  – делителем, многочлен  – неполным частным, а многочлен  – остатком.

На практике деление с остатком для двух заданных многочленов выполняется аналогично делению многозначных чисел – "углом".

В частном случае, когда делитель  является приведённым линейным двучленом, т.е. , применяется схема Горнера.

Положим

.

Приравняв коэффициенты в обеих частях последнего равенства, получим:

Обычно процесс деления на линейный двучлен оформляют в виде таблицы:

3. Алгоритм Евклида для многочленов

Многочлен  называется общим делителем многочленов  и , если он является делителем каждого из них.

Общий делитель многочленов  и , который делится на любой общий делитель этих многочленов, называется наибольшим общим делителем (НОД) многочленов  и . Обозначается символом  или .

Обычно в качестве  выбирается нормированный многочлен.

Два многочлена  и  называются взаимно простыми, если каждый их общий делитель является многочленом нулевой степени (отличающейся от нуля константой).

Для определения НОД двух многочленов используется аналог классического алгоритма Евклида для чисел.

Пусть заданы два многочленов  и , причем будем считать, что степень  больше степени . Выполним последовательно ряд операций деления с остатком, который описывается следующей системой равенств:

;

;

;

....................................................

;

.

Последний отличающийся от нуля остаток и будет наибольшим общим делителем многочленов  и .

Теорема (о линейном представлении НОД двух многочленов). Для любых двух многочленов и  из  существует наибольший общий делитель , который можно представить в виде:

,

где .

Два многочлена  и  являются взаимно простыми тогда и только тогда, когда существуют многочлены  такие, что 

.

Для определения линейного представления НОД двух многочленов используется аналог расширенного алгоритма Евклида для чисел.

4. Многочлены над полем .

Сложение и умножение в поле  определяется следующими таблицами

+

0

1

х

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

1

Если многочлен  неприводим, то остатки от деления всех многочленов из  на  образуют поле  относительно операций умножения и сложения многочленов с коэффициентами из . Поле  является расширением . Количество его элементов равно . Равенство в поле  является сравнением вида . Элемент, обратный  вычисляется как многочлен  из уравнения , поскольку все многочлены степени меньшей  взаимно просты с .

Если многочлену , , поставить в соответствие вектор , то операции в поле  можно интерпретировать как операции над векторами – расширенными числами, правые крайние координаты которых принадлежат .

5. Неприводимость многочленов

Многочлен ненулевой степени называется неприводимым, если он делится только на константы и сам на себя.

Неприводимые многочлены играют важную роль в устройстве кольца , т.к. каждый многочлен из  может быть представлен, причём единственным образом, в виде произведения неприводимых многочленов. Эти неприводимые многочлены являются аналогами простых чисел, через произведение которых можно выразить любое целое число.

Как простых чисел в , так и неприводимых многочленов над произвольным полем  существует бесконечное множество.

Над любым конечным полем существуют неприводимые многочлены сколько угодно высокой степени.

Порядок выполнения работы.

1. Изучить краткие теоретические сведения о свойствах многочленов.

2. Пользуясь схемой Горнера, вычислить :

  1.  ,   ;
    1.  ,   ;
    2.  ,   ;
    3.  ,  ;
    4.  ,   ;
    5.  ,  ;
    6.  , ;
    7.  , ;
    8.  ,   ;
    9.  ,  ;
  2.  ,  ;
  3.  ,  ;
  4.  ,  ;
  5.  ,  ;
  6.  ,  ;
  7.  ,  ;
  8.  ,  ;
  9.  ,   ;
  10.  ,  ;
  11.  ,  ;
  12.  ,  ;
  13.  ,   ;
  14.  ,  ;
  15.  ,  ;
  16.  , .

3. С помощью расширенного алгоритма Евклида найти линейное представление наибольшего общего делителя многочленов  и :

  1.  ,
  2.  ,
  3.  ,
  4.  ;
  5.  ,
  6.  ,
  7.  ,
  8.  ,
  9.  ,
  10.  ,
  11.  
  12.  
  13.  
  14.  
  15.  
  16.  
  17.  
  18.  
  19.  
  20.  
  21.  
  22.  ;
  23.  ;
  24.  ;
  25.  .

4. С помощью расширенного алгоритма Евклида найти линейное представление наибольшего общего делителя многочленов  и  над полем .

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

4

5

8

6

5

6

5

7

4

6

6

7

7

3

4

4

1

3

5

1

3

2

3

4

2

4

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

6

8

6

7

8

9

8

7

9

8

5

8

2

5

5

6

3

5

2

5

4

1

2

5

4. Составить отчет, приобщив туда полученные результаты.

Требования к отчету.

В отчете должны быть приведены:

1. Краткие сведения об изученных свойствах многочленов.

2. Решения своего варианта с необходимыми пояснениями.

3. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы.

  1.  Что такое многочлен?
    1.  Что такое многочлен над полем?
      1.  Как найти НОД двух многочленов?
      2.  Как найти линейное представление НОД двух многочленов?
      3.  Почему вычеты по модулю приводимого над  многочлена не образуют поле?
      4.  Почему операции сложения и вычитания в расширении поля  совпадают?


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

27506. Основные подходы к правопониманию 27.5 KB
  Правопонимание это научная категория отражающая процесс и результат целенаправленной мыслительной деятельности человека включающая в себя познание права его восприятие и отношение к нему как к целостному социальному явлению Субъектом правопонимания – всегда выступает конкретный человек например гражданин обладающий минимальным правовым кругозором столкнувшийся с проблемой права Объектом правопонимания – могут быть право конкретного общества отрасль институт права отдельные правовые нормы Содержание правопонимания – составляет...
27507. Относительная самостоятельность государства и права по отношению к обществу 26.5 KB
  Самостоятельность – независимость свобода от внешних влияний принуждений от посторонней поддержки помощи. Относительная самостоятельность государства его органов естественна необходима и социально оправданна. Самостоятельность государства проявляется в свободе выбора при принятии им управленческих и других актов при избрании путей и методов решения встающих перед обществом задач при определении стратегии и тактики государственной политики.
27508. Отрасль права: понятие и характеристика 33 KB
  Отрасль права элемент системы права представляющий собой совокупность норм права регулирующих качественно однородную группу общественных отношений. В свою очередь отрасль права подразделяется на отдельные взаимосвязанные элементы которые называются институтами права. Основаниями для деления права на отрасли считаются: 1 предмет правового регулирования однородная и отделимая от других группа общественных отношений; 2 метод правового регулирования совокупность приемов способов воздействия на общественные отношения.
27509. Охарактеризуйте основные виды государственного принуждения 28.5 KB
  Охарактеризуйте основные виды государственного принуждения. Сфера воздействия на объект определяет вид государственного принуждения. 1 Предмет психологического государственного принуждения имеет сложную структуру. Задача психического принуждения состоит в возбуждении такого мотива поведения который вступая в борьбу с иными мотивами должен преодолеть их и склонить субъекта к требуемому поведению.
27510. Охарактеризуйте основные элементы состава правонарушения 39 KB
  Охарактеризуйте основные элементы состава правонарушения. Состав правонарушения как правовое понятие и раскрывает эту сложную структуру. Состав правонарушения – это совокупность его элементов. Элементами состава правонарушения являются: объект правонарушения объективная сторона правонарушения субъект правонарушения субъективная сторона правонарушения.
27511. Охарактеризуйте соотношение понятий форма и источник права 30 KB
  Охарактеризуйте соотношение понятий форма и источник права. В отечественной правовой теории значительное место занимала дискуссия о правильности терминов обозначающих соответствующие понятия – €œисточник права€ или €œформа права€. Одни ученые признавали более правильным употребление термина €œформа права€ А. Шебалов другие склонялись к термину €œюридический формальный источник права€ С.
27512. Охарактеризуйте федеративные и конфедеративные государства 33.5 KB
  Форма государственного устройства – территориальная организация государственной власти или иными словами внутреннее строение государства деление его на составные части. По форме государственного устройства государства могут быть простыми и сложными. 1 Простые государства унитарные – это форма государственного устройства где территориальные единицы входящие в её состав не обладают элементами суверенитета в независимости от размера общей территории государства Китай Литва.
27513. Перечислите виды правовых статусов субъектов правоотношений 24.5 KB
  Виды: общеправовой грн специальный студент индивидуальный паспорт Правовой статус – это основанная на правосубъектности система взаимосвязанных прав свобод льгот ограничений обязанностей и ответственности субъектов юридически закрепленное положение. Виды правового статуса: 1 в зависимости от принадлежности лица к тому или иному гражданству; 2 различают отраслевые правовые статусы гражданскоправовой административноправовой и др.; 3 различают правовой статус нарушителя и правовой статус гражданина с правомерным поведением;...
27514. Перечислите и охарактеризуйте виды диспозиций правовых норм 29 KB
  Диспозиция юридическое расположение сторон элемент определяющий модель поведения субъектов с помощью установления прав и обязанностей возникающих при наличии указанных в гипотезе юридических фактов; диспозиция выступает основной регулирующей частью нормы ее ядром; 1 В зависимости от того как излагается правило поведения различают следующие виды диспозиции: а простая – диспозиция называющая вариант поведения но не раскрывающая не разъясняющая его например ст. Что представляют собой обособленные водные объекты норма не...