67749

АРИФМЕТИКА МНОГОЧЛЕНОВ

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Множество всех многочленов от одной переменной над полем образует коммутативное кольцо с единицей. В кольце многочленов имеет место алгоритм деления с остатком аналогичный тому который имеет место для целых чисел. Если для многочленов и в кольце существуют такие многочлены и что многочлен можно представить...

Русский

2014-09-14

461 KB

5 чел.

PAGE   \* MERGEFORMAT 5

Лабораторная работа № 4

Тема: АРИФМЕТИКА МНОГОЧЛЕНОВ

Цель работы – изучить основные понятия, необходимые для обоснования модульной арифметики и операций в расширениях конечных полей.

Краткие теоретические сведения.

1. Многочлены над полем.

Многочлен над полем  – это функция вида , где , . Целое число  называется степенью многочлена и обозначается . Числа  называются коэффициентами,  – свободным членом. Областью изменения аргумента  является поле . Умножение и сложение являются операциями в поле. Константы (элементы поля ) рассматриваются как многочлены нулевой степени.

Множество  всех многочленов от одной переменной над полем  образует коммутативное кольцо с единицей. Над многочленами можно производить операции сложения и умножения, причем эти действия имеют все свойства операций в коммутативном кольце (ассоциативность, коммутативность, дистрибутивность, существование нулевого элемента, и т. д.). Любой ненулевой элемент поля   можно рассматривать как многочлен нулевой степени, нуль поля  также принадлежит к многочленам, его называют нулевым многочленом. Роль единицы кольца  играет единичный элемент 1 поля , который рассматривается как многочлен нулевой степени.

Если , по многочлен называется приведённым (нормированным, унитарным). Любой многочлен над полем можно привести к нормированному, умножив его на , но в кольце это не так, поскольку не для всех элементов существуют обратные.

В кольце многочленов  имеет место алгоритм деления с остатком, аналогичный тому, который имеет место для целых чисел.

Определение. Если для многочленов  и  в кольце  существуют такие многочлены  и , что многочлен  можно представить в виде

где степень многочлена  не больше степени многочлена  (), то говорят, что многочлен  делится на многочлен  с остатком.

2. Делимость многочленов

При делении многочленов с остатком применяют ту же терминологию, что и для целых чисел: многочлен  называется делимым, многочлен  – делителем, многочлен  – неполным частным, а многочлен  – остатком.

На практике деление с остатком для двух заданных многочленов выполняется аналогично делению многозначных чисел – "углом".

В частном случае, когда делитель  является приведённым линейным двучленом, т.е. , применяется схема Горнера.

Положим

.

Приравняв коэффициенты в обеих частях последнего равенства, получим:

Обычно процесс деления на линейный двучлен оформляют в виде таблицы:

3. Алгоритм Евклида для многочленов

Многочлен  называется общим делителем многочленов  и , если он является делителем каждого из них.

Общий делитель многочленов  и , который делится на любой общий делитель этих многочленов, называется наибольшим общим делителем (НОД) многочленов  и . Обозначается символом  или .

Обычно в качестве  выбирается нормированный многочлен.

Два многочлена  и  называются взаимно простыми, если каждый их общий делитель является многочленом нулевой степени (отличающейся от нуля константой).

Для определения НОД двух многочленов используется аналог классического алгоритма Евклида для чисел.

Пусть заданы два многочленов  и , причем будем считать, что степень  больше степени . Выполним последовательно ряд операций деления с остатком, который описывается следующей системой равенств:

;

;

;

....................................................

;

.

Последний отличающийся от нуля остаток и будет наибольшим общим делителем многочленов  и .

Теорема (о линейном представлении НОД двух многочленов). Для любых двух многочленов и  из  существует наибольший общий делитель , который можно представить в виде:

,

где .

Два многочлена  и  являются взаимно простыми тогда и только тогда, когда существуют многочлены  такие, что 

.

Для определения линейного представления НОД двух многочленов используется аналог расширенного алгоритма Евклида для чисел.

4. Многочлены над полем .

Сложение и умножение в поле  определяется следующими таблицами

+

0

1

х

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

1

Если многочлен  неприводим, то остатки от деления всех многочленов из  на  образуют поле  относительно операций умножения и сложения многочленов с коэффициентами из . Поле  является расширением . Количество его элементов равно . Равенство в поле  является сравнением вида . Элемент, обратный  вычисляется как многочлен  из уравнения , поскольку все многочлены степени меньшей  взаимно просты с .

Если многочлену , , поставить в соответствие вектор , то операции в поле  можно интерпретировать как операции над векторами – расширенными числами, правые крайние координаты которых принадлежат .

5. Неприводимость многочленов

Многочлен ненулевой степени называется неприводимым, если он делится только на константы и сам на себя.

Неприводимые многочлены играют важную роль в устройстве кольца , т.к. каждый многочлен из  может быть представлен, причём единственным образом, в виде произведения неприводимых многочленов. Эти неприводимые многочлены являются аналогами простых чисел, через произведение которых можно выразить любое целое число.

Как простых чисел в , так и неприводимых многочленов над произвольным полем  существует бесконечное множество.

Над любым конечным полем существуют неприводимые многочлены сколько угодно высокой степени.

Порядок выполнения работы.

1. Изучить краткие теоретические сведения о свойствах многочленов.

2. Пользуясь схемой Горнера, вычислить :

  1.  ,   ;
    1.  ,   ;
    2.  ,   ;
    3.  ,  ;
    4.  ,   ;
    5.  ,  ;
    6.  , ;
    7.  , ;
    8.  ,   ;
    9.  ,  ;
  2.  ,  ;
  3.  ,  ;
  4.  ,  ;
  5.  ,  ;
  6.  ,  ;
  7.  ,  ;
  8.  ,  ;
  9.  ,   ;
  10.  ,  ;
  11.  ,  ;
  12.  ,  ;
  13.  ,   ;
  14.  ,  ;
  15.  ,  ;
  16.  , .

3. С помощью расширенного алгоритма Евклида найти линейное представление наибольшего общего делителя многочленов  и :

  1.  ,
  2.  ,
  3.  ,
  4.  ;
  5.  ,
  6.  ,
  7.  ,
  8.  ,
  9.  ,
  10.  ,
  11.  
  12.  
  13.  
  14.  
  15.  
  16.  
  17.  
  18.  
  19.  
  20.  
  21.  
  22.  ;
  23.  ;
  24.  ;
  25.  .

4. С помощью расширенного алгоритма Евклида найти линейное представление наибольшего общего делителя многочленов  и  над полем .

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

4

5

8

6

5

6

5

7

4

6

6

7

7

3

4

4

1

3

5

1

3

2

3

4

2

4

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

6

8

6

7

8

9

8

7

9

8

5

8

2

5

5

6

3

5

2

5

4

1

2

5

4. Составить отчет, приобщив туда полученные результаты.

Требования к отчету.

В отчете должны быть приведены:

1. Краткие сведения об изученных свойствах многочленов.

2. Решения своего варианта с необходимыми пояснениями.

3. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы.

  1.  Что такое многочлен?
    1.  Что такое многочлен над полем?
      1.  Как найти НОД двух многочленов?
      2.  Как найти линейное представление НОД двух многочленов?
      3.  Почему вычеты по модулю приводимого над  многочлена не образуют поле?
      4.  Почему операции сложения и вычитания в расширении поля  совпадают?


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

43666. Проектирование технологических процессов ремонта деталей вагонов 2.85 MB
  Технологический процесс технологическая операция наплавка электрод флюс коэффициент наплавки фрикционный клин. Цель работы: Разработать технологию ремонта фрикционного клина провести подбор оборудования для ремонта В курсовом проекте произведен выбор действующего типового технологического процесса – способа восстановления изношенной поверхности детали составлен технологический процесс ремонта и произведена разработка технологических операций рассчитаны параметры режима ручной дуговой наплавки и автоматической наплавки под плавленым...
43667. Функции программ MSPowerPoint и MSExcel 2.03 MB
  Например в виде презентации можно сделать более доступной сложную правовую информацию которой социальные работники информируют своих клиентов. Создание презентации на тему Дети это наше будущее Открыть MS Word В книге Excel выделить диаграмму Вызвать контекстное меню Копировать В документе MSWord вызвать контекстное меню Вставить Файл Печать Предварительный просмотр Создание презентации средствами MS Power Point на тему Дети это наше будущее Презентация это целенаправленный информационный процесс...
43668. РАЗРАБОТКА ДИЗАЙНА САЙТА ФИТНЕС-КЛУБА 15.44 MB
  Обратите внимание, как мы структурировали тэги по строкам (с помощью клавиши Enter) и какие сделали отступы (клавишей Tab). В принципе не важно, как вы структурируете ваш HTML-документ. Но, для облегчения чтения кода, настоятельно рекомендуем структурировать ваш HTML с помощью перевода строк и отступов, как в нашем примере.
43669. Изучение особенностей отражения в учете договоров финансовой аренды (лизинга) 1.2 MB
  Лизингодатель представляет собой хозяйствующий субъект (лизинговая компания, банк и т.п.) или индивидуального предпринимателя, осуществляющего лизинговую деятельность, т.е. передачу по договору в лизинг специально приобретенного для этого имущества. Иначе говоря, лизингодатель — это арендодатель данного имущества
43670. Підвищення надійності різання деревини за рахунок удосконалення електричної схеми шляхом впровадження сучасних енергозберігаючих технологій 4.8 MB
  Одним з основних видів різання деревини є пиляння. Це операція ділення деревини на частини багаторізцевими зубчастими інструментами  пилками, які здатні видаляти з колоди або заготовки шар деревини, перетворюючи її в стружку. Існує три основних види пил - рамні, стрічкові і дискові. Стрічкові пили представляють собою сталеву нескінченну (у вигляді кільця) смугу з зубами на одній (рідше двох) кромці.
43671. ОСОБЕННОСТИ ВОЕННО-ПАТРИОТИЧЕСКОГО ВОСПИТАНИЯ С МОЛОДЕЖЬЮ 14-18 ЛЕТ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СРЕДСТВ ФИЗИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ 584.5 KB
  Психология юношеского возраста – один из самых сложных и наименее разработанных разделов возрастной психологии. Еще в 20-е годы Л.С. Выготский отмечал, что в психологии юношеского возраста значительно больше общих теорий, чем достоверно установленных фактов.
43672. Інвентаризація інформаційних активів 82.46 KB
  Оглядова частина Визначення поняття інформації. Термін цінність інформації перш за все визначає саме поняття інформації а вже потім її цінності. Єдиного визначення інформації на даний час немає. Труднощі що виникають при спробах знаходження єдиного та вичерпного визначення інформації цілком зрозумілі: поняття інформація являється одним з первісних філософських понять таких як матерія свідомість час простір та ін.
43673. Разработка программного модуля расчета статистических данных «Statistics» для Web – приложения «Office Planning System» 1.25 MB
  Данный дипломный проект посвящен разработке программного модуля расчета статистических данных Sttistics для Web – приложения Office Plnning System. В данной пояснительной записке к дипломному проекту содержится подробное изложение всех этапов разработки программного модуля: изучение предметной области; постановка задачи включающая в себя анализ требований предъявляемых к программному модулю расчета статистических данных Web – приложения Office Plnning System ознакомление с архитектурой Web – приложения изучение...
43674. Розробка системи автоматизації виробництва соняшникової олії 122.04 KB
  Системи управління, побудовані на основі використання пристроїв програмного і логічного управління з “жорсткою” логікою функціонування консервативні до зміни структури і алгоритмів управління. Необхідність модифікувати систему в процесі експлуатації призводить до значної витрати