67749

АРИФМЕТИКА МНОГОЧЛЕНОВ

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Множество всех многочленов от одной переменной над полем образует коммутативное кольцо с единицей. В кольце многочленов имеет место алгоритм деления с остатком аналогичный тому который имеет место для целых чисел. Если для многочленов и в кольце существуют такие многочлены и что многочлен можно представить...

Русский

2014-09-14

461 KB

6 чел.

PAGE   \* MERGEFORMAT 5

Лабораторная работа № 4

Тема: АРИФМЕТИКА МНОГОЧЛЕНОВ

Цель работы – изучить основные понятия, необходимые для обоснования модульной арифметики и операций в расширениях конечных полей.

Краткие теоретические сведения.

1. Многочлены над полем.

Многочлен над полем  – это функция вида , где , . Целое число  называется степенью многочлена и обозначается . Числа  называются коэффициентами,  – свободным членом. Областью изменения аргумента  является поле . Умножение и сложение являются операциями в поле. Константы (элементы поля ) рассматриваются как многочлены нулевой степени.

Множество  всех многочленов от одной переменной над полем  образует коммутативное кольцо с единицей. Над многочленами можно производить операции сложения и умножения, причем эти действия имеют все свойства операций в коммутативном кольце (ассоциативность, коммутативность, дистрибутивность, существование нулевого элемента, и т. д.). Любой ненулевой элемент поля   можно рассматривать как многочлен нулевой степени, нуль поля  также принадлежит к многочленам, его называют нулевым многочленом. Роль единицы кольца  играет единичный элемент 1 поля , который рассматривается как многочлен нулевой степени.

Если , по многочлен называется приведённым (нормированным, унитарным). Любой многочлен над полем можно привести к нормированному, умножив его на , но в кольце это не так, поскольку не для всех элементов существуют обратные.

В кольце многочленов  имеет место алгоритм деления с остатком, аналогичный тому, который имеет место для целых чисел.

Определение. Если для многочленов  и  в кольце  существуют такие многочлены  и , что многочлен  можно представить в виде

где степень многочлена  не больше степени многочлена  (), то говорят, что многочлен  делится на многочлен  с остатком.

2. Делимость многочленов

При делении многочленов с остатком применяют ту же терминологию, что и для целых чисел: многочлен  называется делимым, многочлен  – делителем, многочлен  – неполным частным, а многочлен  – остатком.

На практике деление с остатком для двух заданных многочленов выполняется аналогично делению многозначных чисел – "углом".

В частном случае, когда делитель  является приведённым линейным двучленом, т.е. , применяется схема Горнера.

Положим

.

Приравняв коэффициенты в обеих частях последнего равенства, получим:

Обычно процесс деления на линейный двучлен оформляют в виде таблицы:

3. Алгоритм Евклида для многочленов

Многочлен  называется общим делителем многочленов  и , если он является делителем каждого из них.

Общий делитель многочленов  и , который делится на любой общий делитель этих многочленов, называется наибольшим общим делителем (НОД) многочленов  и . Обозначается символом  или .

Обычно в качестве  выбирается нормированный многочлен.

Два многочлена  и  называются взаимно простыми, если каждый их общий делитель является многочленом нулевой степени (отличающейся от нуля константой).

Для определения НОД двух многочленов используется аналог классического алгоритма Евклида для чисел.

Пусть заданы два многочленов  и , причем будем считать, что степень  больше степени . Выполним последовательно ряд операций деления с остатком, который описывается следующей системой равенств:

;

;

;

....................................................

;

.

Последний отличающийся от нуля остаток и будет наибольшим общим делителем многочленов  и .

Теорема (о линейном представлении НОД двух многочленов). Для любых двух многочленов и  из  существует наибольший общий делитель , который можно представить в виде:

,

где .

Два многочлена  и  являются взаимно простыми тогда и только тогда, когда существуют многочлены  такие, что 

.

Для определения линейного представления НОД двух многочленов используется аналог расширенного алгоритма Евклида для чисел.

4. Многочлены над полем .

Сложение и умножение в поле  определяется следующими таблицами

+

0

1

х

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

1

Если многочлен  неприводим, то остатки от деления всех многочленов из  на  образуют поле  относительно операций умножения и сложения многочленов с коэффициентами из . Поле  является расширением . Количество его элементов равно . Равенство в поле  является сравнением вида . Элемент, обратный  вычисляется как многочлен  из уравнения , поскольку все многочлены степени меньшей  взаимно просты с .

Если многочлену , , поставить в соответствие вектор , то операции в поле  можно интерпретировать как операции над векторами – расширенными числами, правые крайние координаты которых принадлежат .

5. Неприводимость многочленов

Многочлен ненулевой степени называется неприводимым, если он делится только на константы и сам на себя.

Неприводимые многочлены играют важную роль в устройстве кольца , т.к. каждый многочлен из  может быть представлен, причём единственным образом, в виде произведения неприводимых многочленов. Эти неприводимые многочлены являются аналогами простых чисел, через произведение которых можно выразить любое целое число.

Как простых чисел в , так и неприводимых многочленов над произвольным полем  существует бесконечное множество.

Над любым конечным полем существуют неприводимые многочлены сколько угодно высокой степени.

Порядок выполнения работы.

1. Изучить краткие теоретические сведения о свойствах многочленов.

2. Пользуясь схемой Горнера, вычислить :

  1.  ,   ;
    1.  ,   ;
    2.  ,   ;
    3.  ,  ;
    4.  ,   ;
    5.  ,  ;
    6.  , ;
    7.  , ;
    8.  ,   ;
    9.  ,  ;
  2.  ,  ;
  3.  ,  ;
  4.  ,  ;
  5.  ,  ;
  6.  ,  ;
  7.  ,  ;
  8.  ,  ;
  9.  ,   ;
  10.  ,  ;
  11.  ,  ;
  12.  ,  ;
  13.  ,   ;
  14.  ,  ;
  15.  ,  ;
  16.  , .

3. С помощью расширенного алгоритма Евклида найти линейное представление наибольшего общего делителя многочленов  и :

  1.  ,
  2.  ,
  3.  ,
  4.  ;
  5.  ,
  6.  ,
  7.  ,
  8.  ,
  9.  ,
  10.  ,
  11.  
  12.  
  13.  
  14.  
  15.  
  16.  
  17.  
  18.  
  19.  
  20.  
  21.  
  22.  ;
  23.  ;
  24.  ;
  25.  .

4. С помощью расширенного алгоритма Евклида найти линейное представление наибольшего общего делителя многочленов  и  над полем .

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

4

5

8

6

5

6

5

7

4

6

6

7

7

3

4

4

1

3

5

1

3

2

3

4

2

4

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

6

8

6

7

8

9

8

7

9

8

5

8

2

5

5

6

3

5

2

5

4

1

2

5

4. Составить отчет, приобщив туда полученные результаты.

Требования к отчету.

В отчете должны быть приведены:

1. Краткие сведения об изученных свойствах многочленов.

2. Решения своего варианта с необходимыми пояснениями.

3. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы.

  1.  Что такое многочлен?
    1.  Что такое многочлен над полем?
      1.  Как найти НОД двух многочленов?
      2.  Как найти линейное представление НОД двух многочленов?
      3.  Почему вычеты по модулю приводимого над  многочлена не образуют поле?
      4.  Почему операции сложения и вычитания в расширении поля  совпадают?


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

33730. Осуществление органами МСУ отдельных государственных полномочий 28 KB
  Порядок наделения органов местного самоуправления отдельными государственными полномочиями: Полномочия органов местного самоуправления установленные федеральными законами и законами субъектов Российской Федерации по вопросам не отнесенным к вопросам местного значения являются отдельными государственными полномочиями передаваемыми для осуществления органам местного самоуправления. Наделение органов местного самоуправления отдельными государственными полномочиями Российской Федерации осуществляется федеральными законами отдельными...
33731. Ответственность органов местного самоуправления и должностных лиц местного самоуправления 36 KB
  Ответственность органов местного самоуправления и должностных лиц местного самоуправления перед государством наступает на основании решения соответствующего суда в случае нарушения ими Конституции Российской Федерации федеральных конституционных законов федеральных законов конституции устава законов субъекта Российской Федерации устава муниципального образования а также в случае ненадлежащего осуществления указанными органами и должностными лицами переданных им отдельных государственных полномочий. В случае если соответствующим судом...
33732. Государственная гражданская служба: понятие, принципы, порядок прохождения 33.5 KB
  Согласно ФЗ N 79 от 27 июля 2004 года О государственной гражданской службе в РФ Государственная гражданская служба Российской Федерации вид государственной службы представляющей собой профессиональную служебную деятельность граждан Российской Федерации на должностях государственной гражданской службы Российской Федерации по обеспечению исполнения полномочий федеральных государственных органов государственных органов субъектов Российской Федерации лиц замещающих государственные должности Российской Федерации и лиц замещающих...
33733. Понятие трудового договора. Сторона трудового договора. Заключение и расторжение трудового договора 22 KB
  Понятие трудового договора. Сторона трудового договора. Заключение и расторжение трудового договора. Трудовому договору посвящена часть третья раздел третий трудового кодекса РФ.
33734. Право собственности: содержание, формы, объекты. Бремы и риск собственника. Основания возникновения и прекращения права собственности. Осуществление права государственной и муниципальной собственности 37.5 KB
  Право собственности: содержание формы объекты. Основания возникновения и прекращения права собственности. Осуществление права государственной и муниципальной собственности. Содержание права собственности Собственнику принадлежат права владения пользования и распоряжения своим имуществом.
33735. Гражданско-правовой договор: понятие, содержание и форма. Виды договоров, порядок заключения, изменения и прекращения гражданско-правовых договоров 91.5 KB
  Граждане и юридические лица свободны в заключении договора. Понуждение к заключению договора не допускается за исключением случаев когда обязанность заключить договор предусмотрена настоящим Кодексом законом или добровольно принятым обязательством. К отношениям сторон по смешанному договору применяются в соответствующих частях правила о договорах элементы которых содержатся в смешанном договоре если иное не вытекает из соглашения сторон или существа смешанного договора. Условия договора определяются по усмотрению сторон.
33736. Понятие и состав административных правонарушений. Административная ответственность и её виды. Производство по делам об административных правонарушениях 48.5 KB
  Понятие и состав административных правонарушений. Производство по делам об административных правонарушениях. Административное правонарушение противоправное виновное действие бездействие физического или юридического лица за которое Кодексом РФ об административных правонарушениях установлена административная ответственность. Предупреждение административный штраф лишение специального права предоставленного физическому лицу административный арест и дисквалификация могут устанавливаться и применяться только в качестве основных...
33737. Территориальные принципы организации местного самоуправления 36 KB
  Территории с низкой плотностью сельского населения; 2 территории всех поселений за исключением территорий городских округов а также возникающие на территориях с низкой плотностью населения межселенные территории входят в состав муниципальных районов; 3 территорию поселения составляют исторически сложившиеся земли населенных пунктов прилегающие к ним земли общего пользования территории традиционного природопользования населения соответствующего поселения рекреационные земли земли для развития поселения; 4 в состав территории поселения...
33738. Типология муниципальных образований в РФ в соответствии с ФЗ № 131 32.5 KB
  Сельское поселение один или несколько объединенных общей территорией сельских населенных пунктов поселков сел станиц деревень хуторов кишлаков аулов и других сельских населенных пунктов в которых местное самоуправление осуществляется населением непосредственно и или через выборные и иные органы местного самоуправления; Городское поселение город или поселок в которых местное самоуправление осуществляется населением непосредственно и или через выборные и иные органы местного самоуправления; Муниципальный район несколько...