67749

АРИФМЕТИКА МНОГОЧЛЕНОВ

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Множество всех многочленов от одной переменной над полем образует коммутативное кольцо с единицей. В кольце многочленов имеет место алгоритм деления с остатком аналогичный тому который имеет место для целых чисел. Если для многочленов и в кольце существуют такие многочлены и что многочлен можно представить...

Русский

2014-09-14

461 KB

6 чел.

PAGE   \* MERGEFORMAT 5

Лабораторная работа № 4

Тема: АРИФМЕТИКА МНОГОЧЛЕНОВ

Цель работы – изучить основные понятия, необходимые для обоснования модульной арифметики и операций в расширениях конечных полей.

Краткие теоретические сведения.

1. Многочлены над полем.

Многочлен над полем  – это функция вида , где , . Целое число  называется степенью многочлена и обозначается . Числа  называются коэффициентами,  – свободным членом. Областью изменения аргумента  является поле . Умножение и сложение являются операциями в поле. Константы (элементы поля ) рассматриваются как многочлены нулевой степени.

Множество  всех многочленов от одной переменной над полем  образует коммутативное кольцо с единицей. Над многочленами можно производить операции сложения и умножения, причем эти действия имеют все свойства операций в коммутативном кольце (ассоциативность, коммутативность, дистрибутивность, существование нулевого элемента, и т. д.). Любой ненулевой элемент поля   можно рассматривать как многочлен нулевой степени, нуль поля  также принадлежит к многочленам, его называют нулевым многочленом. Роль единицы кольца  играет единичный элемент 1 поля , который рассматривается как многочлен нулевой степени.

Если , по многочлен называется приведённым (нормированным, унитарным). Любой многочлен над полем можно привести к нормированному, умножив его на , но в кольце это не так, поскольку не для всех элементов существуют обратные.

В кольце многочленов  имеет место алгоритм деления с остатком, аналогичный тому, который имеет место для целых чисел.

Определение. Если для многочленов  и  в кольце  существуют такие многочлены  и , что многочлен  можно представить в виде

где степень многочлена  не больше степени многочлена  (), то говорят, что многочлен  делится на многочлен  с остатком.

2. Делимость многочленов

При делении многочленов с остатком применяют ту же терминологию, что и для целых чисел: многочлен  называется делимым, многочлен  – делителем, многочлен  – неполным частным, а многочлен  – остатком.

На практике деление с остатком для двух заданных многочленов выполняется аналогично делению многозначных чисел – "углом".

В частном случае, когда делитель  является приведённым линейным двучленом, т.е. , применяется схема Горнера.

Положим

.

Приравняв коэффициенты в обеих частях последнего равенства, получим:

Обычно процесс деления на линейный двучлен оформляют в виде таблицы:

3. Алгоритм Евклида для многочленов

Многочлен  называется общим делителем многочленов  и , если он является делителем каждого из них.

Общий делитель многочленов  и , который делится на любой общий делитель этих многочленов, называется наибольшим общим делителем (НОД) многочленов  и . Обозначается символом  или .

Обычно в качестве  выбирается нормированный многочлен.

Два многочлена  и  называются взаимно простыми, если каждый их общий делитель является многочленом нулевой степени (отличающейся от нуля константой).

Для определения НОД двух многочленов используется аналог классического алгоритма Евклида для чисел.

Пусть заданы два многочленов  и , причем будем считать, что степень  больше степени . Выполним последовательно ряд операций деления с остатком, который описывается следующей системой равенств:

;

;

;

....................................................

;

.

Последний отличающийся от нуля остаток и будет наибольшим общим делителем многочленов  и .

Теорема (о линейном представлении НОД двух многочленов). Для любых двух многочленов и  из  существует наибольший общий делитель , который можно представить в виде:

,

где .

Два многочлена  и  являются взаимно простыми тогда и только тогда, когда существуют многочлены  такие, что 

.

Для определения линейного представления НОД двух многочленов используется аналог расширенного алгоритма Евклида для чисел.

4. Многочлены над полем .

Сложение и умножение в поле  определяется следующими таблицами

+

0

1

х

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

1

Если многочлен  неприводим, то остатки от деления всех многочленов из  на  образуют поле  относительно операций умножения и сложения многочленов с коэффициентами из . Поле  является расширением . Количество его элементов равно . Равенство в поле  является сравнением вида . Элемент, обратный  вычисляется как многочлен  из уравнения , поскольку все многочлены степени меньшей  взаимно просты с .

Если многочлену , , поставить в соответствие вектор , то операции в поле  можно интерпретировать как операции над векторами – расширенными числами, правые крайние координаты которых принадлежат .

5. Неприводимость многочленов

Многочлен ненулевой степени называется неприводимым, если он делится только на константы и сам на себя.

Неприводимые многочлены играют важную роль в устройстве кольца , т.к. каждый многочлен из  может быть представлен, причём единственным образом, в виде произведения неприводимых многочленов. Эти неприводимые многочлены являются аналогами простых чисел, через произведение которых можно выразить любое целое число.

Как простых чисел в , так и неприводимых многочленов над произвольным полем  существует бесконечное множество.

Над любым конечным полем существуют неприводимые многочлены сколько угодно высокой степени.

Порядок выполнения работы.

1. Изучить краткие теоретические сведения о свойствах многочленов.

2. Пользуясь схемой Горнера, вычислить :

  1.  ,   ;
    1.  ,   ;
    2.  ,   ;
    3.  ,  ;
    4.  ,   ;
    5.  ,  ;
    6.  , ;
    7.  , ;
    8.  ,   ;
    9.  ,  ;
  2.  ,  ;
  3.  ,  ;
  4.  ,  ;
  5.  ,  ;
  6.  ,  ;
  7.  ,  ;
  8.  ,  ;
  9.  ,   ;
  10.  ,  ;
  11.  ,  ;
  12.  ,  ;
  13.  ,   ;
  14.  ,  ;
  15.  ,  ;
  16.  , .

3. С помощью расширенного алгоритма Евклида найти линейное представление наибольшего общего делителя многочленов  и :

  1.  ,
  2.  ,
  3.  ,
  4.  ;
  5.  ,
  6.  ,
  7.  ,
  8.  ,
  9.  ,
  10.  ,
  11.  
  12.  
  13.  
  14.  
  15.  
  16.  
  17.  
  18.  
  19.  
  20.  
  21.  
  22.  ;
  23.  ;
  24.  ;
  25.  .

4. С помощью расширенного алгоритма Евклида найти линейное представление наибольшего общего делителя многочленов  и  над полем .

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

4

5

8

6

5

6

5

7

4

6

6

7

7

3

4

4

1

3

5

1

3

2

3

4

2

4

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

6

8

6

7

8

9

8

7

9

8

5

8

2

5

5

6

3

5

2

5

4

1

2

5

4. Составить отчет, приобщив туда полученные результаты.

Требования к отчету.

В отчете должны быть приведены:

1. Краткие сведения об изученных свойствах многочленов.

2. Решения своего варианта с необходимыми пояснениями.

3. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы.

  1.  Что такое многочлен?
    1.  Что такое многочлен над полем?
      1.  Как найти НОД двух многочленов?
      2.  Как найти линейное представление НОД двух многочленов?
      3.  Почему вычеты по модулю приводимого над  многочлена не образуют поле?
      4.  Почему операции сложения и вычитания в расширении поля  совпадают?


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

71858. Один вариант усложненного и два варианта нормального типа балочной клетки 1.26 MB
  Сбор нагрузок Определение расчетных усилий в сечениях балки Назначение высоты сечения балки. Назначение размеров сечения стенки Определение размеров сечения поясов Изменение сечения полки Расчет поясных швов Проверка местной устойчивости элементов балки...
71859. Творчество Т. Гейнсборо 16.01 KB
  В первую очередь Гейнсборо интересовали пейзажи. Гейнсборо всегда считал себя пейзажистом но пейзажи не приносили дохода так как не были популярны. Около 1749 года Гейнсборо создаёт произведение в котором он впервые соединяет портрет и пейзаж портрет четы Эндрюс.
71860. Творчество У. Хогарта 14.43 KB
  Многие свои произведения художник испытавший на себе влияние идей философов Просвещения подчинил задаче воспитания с помощью художественного творчества нравственного начала в человеке и искоренения пороков. В 1764 году художник выпустил свою последнюю гравюру Конец или Бездна.
71861. Творчество Ж.-Б. Грёза 14.49 KB
  В жанре семейного быта с его драмами у Грёза совсем немного соперников во французской живописи. Картины Грёза были гравированы лучшими мастерами среди которых Леба Флипар и Массаротец. В 1868 году на родине Грёза в Тюрню ему воздвигнут памятник.
71862. Творчество Ж.О. Фрагонара 13.76 KB
  В больших исторических картинах Фрагонара мало оригинальности; в его пейзажах природа является слишком переиначенной и приукрашенной; зато жанровые его картины хотя и не чуждые манерности пленяют зрителя умно изобретённой композицией грациозностью рисунка изящностью...
71863. Творчество Ф. Буше 17.31 KB
  Творчество Буше живописца исключительно многогранно он обращался каллегорическим и мифологическим сюжетам изображал деревенские ярмарки и фешенебельную парижскую жизнь писал жанровые сцены пасторали пейзажи портреты.
71864. Творчество Рембрандта 14.96 KB
  Работы Рембрандта чрезвычайно разнообразные по жанровой принадлежности открывают зрителю вневременной духовный мир человеческих переживаний и чувств. Однако именно искусство Рембрандта заключает итог общих поисков и по существу представляет собой завершение всего развития...
71865. Творчество Ф. Сурбарана 15.05 KB
  В 1628-1630 годах Сурбаран пишет цикл картин о святом Педро Ноласко и цикл картин о жизни св. В самом начале своей деятельности поставив себе за правило писать не иначе как с натуры Сурбаран не отступал от этого правила в течение всей своей жизни.
71866. Творчество Мурильо 14.47 KB
  Известность приходит к Мурильо В 1645 г. Уже в произведениях несмотря на тяжеловатость и резкость их тонов ярко выказываются колористическая наклонность и национальный специально севильский характер Мурильо берущего натурщиков и натурщиц для своих фигур из народа. Всех произведений Мурильо насчитывается свыше 450.