67775

Преобразования Фурье

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

ДПФ определяет спектр дискретной периодичной функции x(t). ДПФ – обратимая операция отображения временных рядов в область частот. Свойства ДПФ аналогичны свойствам интегрального преобразования Фурье. ДПФ определяет линейчатый спектр периодичной дискретизации функции времени, а обратное дискретное...

Русский

2014-09-14

101.5 KB

11 чел.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МАРИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра ИВС

Лабораторная работа

по дисциплине: ТДЛС

«Преобразования Фурье»

    Выполнили: студенты группы ВМ-41

Лобанов С.М.

Полушкина О.В

    Проверила: Малашкевич И.А.

Йошкар-Ола

2003


Содержание

[0.1] Лабораторная работа

[1] Дискретное преобразование Фурье.

[2] Обратное ДПФ,

[3] Быстрое преобразование Фурье (БПФ).

[4] Вычисление БПФ посредством децимации по времени.


Преобразование Фурье (обобщение рядов Фурье).

Преобразование Фурье позволяет получать спектральные характеристики не периодических сигналов.

Пусть есть абсолютно интегральный сигнал S(t), удовлетворяющий условию:

    (1)

тогда прямое преобразование Фурье оценивается через спектральную плотность сигнала:

 (2)

Обратное преобразование Фурье оценивается по спектральной плотности, можно найти сигнал во временной области.

Сравним спектральную плотность одиночного импульса, сосредоточеннного

на интервале от 0 до Т:

    (3)

и спектр периодической функции, которая образуется из смещенных на время iT и смещенных на iT импульсов:

   (4)

Сравнивая (3) и (4) и полагая, что w1=2/T, получим:

  (5)

где Cn - коэффициенты ряда Фурье периодической последовательности импульсов, не накладывающихся друг на друга, равны спектральной плотности одного из этих импульсов, деленной на период Т. Это свойство используется при нахождении спектра периодического сигнала. Сначала определяется спектральная плотность одиночного импульса, а потом по (5) коэффициенты ряда Фурье.

Спектральная плотность одиночного импульса:

рис.а.

Спектр последовательности импульсов:

рис.б.

При увеличении периода Т спектральные линии (рис. б) сближаются, а коэффициенты       уменьшаются, но таким образом соотношение Cn/f1 остается постоянным. При Т-> получим одиночный импульс.

Дискретное преобразование Фурье.

ДПФ определяет спектр дискретной периодичной функции x(t).

ДПФ – обратимая операция отображения временных рядов в область частот.

Свойства ДПФ аналогичны свойствам интегрального преобразования Фурье.

ДПФ определяет линейчатый спектр периодичной дискретизации функции времени, а обратное дискретное преобразование Фурье позволяет восстановить функцию времени по ее спектру.

Периодичная непрерывная функция времени x0(t) с периодом Р и частотой  f0= 1/Р определяется рядом Фурье:

     (1)

где коэффициенты x(n) (комплексные отчеты спектра) определяются следующим образом:

=  (2)

Непрерывная периодичная функция и ее спектр:

Линейчатость спектра x(n) является следствием периодичности функции x0(t).

Выполним дискретизацию функции x0(t). Для этого необходимо выполнение условий, выражающих требования теоремы Котельникова:

x(n)=0, |n| n, PД> 2n1f0

f1=n1f0

T=

В результате дискретизации получим дискретную функцию с периодом дискретизации Т:

x(  

Преобразование (2) в нормализованном времени имеет следующий вид:

x(n)=  (3)

Подставляя изображение нормализованной функции в формулу (3):

x(n)=

Используя фильтрующие свойства  -функции, определим:

 

и, полагая t= kТ, x(k)=x0(k), перепишем изображение спектра через x(k):

x(n)=   (4)

(4) – дискретное преобразование Фурье.

Спектр находится по временной дискретной функции.

Обратное ДПФ,

x(k)=  (5)

x(k)=F-1

k – дискретное время,

n – дискретная частота (номер гармоники).

ДПФ и ОДПФ оперируют с конечными массивами чисел, причем массив x(k) и x(n) одинаковы.

ДПФ устанавливает связь между массивами отчета и массивами сигнала.

Быстрое преобразование Фурье (БПФ).

БПФ вычисляется по двум направлениям:

  1.  децимация по времени
  2.  децимация по частоте.

Вычисление БПФ посредством децимации по времени.

Исходную последовательность X(k), состоящую из N отчетов, разделим на две последовательности с четными номерами (У(к)) и нечетными (Z(к)):

У(к)=Х(2к)

Z(к)=Х(2к+1)


w1|S(w)|/2

w1  2w1

-2w1  -w1

X0(t)

p

p=1/f0

x(n)

ДПФ         ОДПФ

NT=P


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

40008. Стратегическое планирование маркетинга и способы его осуществления 699.5 KB
  Построение карты рынка и выбор вариантов стратегического развития с помощью системы Mrketing Expert. Существует широкий спектр маркетинговых решений называемых стратегическими который охватывает с одной стороны направления развития рынка а с другой целенаправленный его выбор. Тактические решения больше полагаются на внутреннюю информацию полученную в результате анализа хозяйственной деятельности или исследований возможностей рынка. Среди них: анализ окружения оценка конкуренции и стратегической ситуации в целом состояние товарного...
40009. Управление комплексом маркетинга (инструментальные стратегии) 902.5 KB
  Управление каналами распределения товаров и услуг. В процессе формирования товарной стратегии предусматривается решение следующих задач: определение позиции предлагаемых товаров специфический товар ассортиментная группа товаров совокупность товаров для обслуживания целевых рынков; установление стратегических целей для предлагаемых выпускаемых товаров; выбор марочной стратегии; разработка и внедрение стратегии для новых и существующих товаров. Товарная стратегия определяет позицию каждого вида товара или комбинации товаров по...
40010. Оценка и анализ потенциала рынков предприятия 156 KB
  Оценка и анализ потенциала рынков предприятия Содержание занятия: 1. Предварительная оценка рынка предприятия. Прогнозирование динамики потребительского спроса на выпускаемую продукцию предприятия. Количественное определение спроса и доли рынка предприятия.
40011. Оценка конкурентного окружения предприятия 319 KB
  Оценка конкурентного окружения предприятия Содержание занятия: 1. Микросреда предприятия это система отношений предприятия с ее непосредственным окружением: поставщиками посредниками конкурентами прессой властными структурами общественными организациями деловыми кругами стратегическими партнерами в первую очередь инвесторами потребителями. Возможности предприятия по выбору поставщиков по работе со средствами массовой информации по формированию связей с властными структурами по взаимодействию с общественными организациями по...
40012. Оценка конкурентных преимуществ предприятия 266 KB
  Оценка конкурентных преимуществ предприятия Содержание занятия: 1. Анализ конкурентных преимуществ предприятия. Все эти преимущества сводятся к тому чтобы убедить покупателя в получении им больших выгод от приобретения продукции предприятия по сравнению с аналогичной продукцией конкурентов. Стратегия дифференциации это стремление предприятия к уникальности в какомлибо аспекте существенном для большинства сегментов рынка или потребителей целевого рынка.
40013. Анализ целей и стратегий предприятия 232.5 KB
  Стратегия существования продукции. Проведение SWOTанализа в промышленном маркетинге связаны с прогнозированием и получением информации касающейся условий совершения покупки и характеристик покупаемой продукции. Маркетинговые исследования потребительских рынков охватывают широкие области особенно для производителей продукции с широким и сложным ассортиментом. Если руководство предприятия оценив текущее положение приходит к выводу о достаточности ресурсов для дальнейшего развития то встает проблема выбора наилучшего способа с большей...
40014. Современные информационные системы менеджмента и маркетинга в Российской Федерации 30.5 KB
  б Примерное содержание разрабатываемого материала: название информационной системы; назначение сфера применения информационной системы; состав и структура информационной системы; год выхода на рынок IPтехнологий Российской Федерации; разработчик информационной системы; решаемые информационной системой задачи; возможности информационной системы; достоинства информационной системы перед аналогами; недостатки информационной системы по сравнению с другими; занимаемый информационной системой сегмент рынка; перспективы...
40015. Оценка текущего состояния предприятия 311.5 KB
  Общие сведения о продукции предприятия. Расчет структуры выпуска продукции предприятия. Анализ выпуска товарной продукции. Факторный анализ выпуска товарной продукции.
40016. Анализ финансовых результатов деятельности предприятия 626 KB
  Выводы по финансовому состоянию ориентируют предприятие на выбор определенной стратегии: рост удержание положения или сворачивание производства.1 Расчет основных показателей и их нормативные значения Показатели Формулы расчета Нормативные значение Показатели ликвидности предприятия Коэффициент покрытия коэффициент текущей ликвидности показывает не обеспеченность обязательств предприятия оборотными средствами стр.290 баланса стр.220 баланса стр.