67775

Преобразования Фурье

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

ДПФ определяет спектр дискретной периодичной функции x(t). ДПФ – обратимая операция отображения временных рядов в область частот. Свойства ДПФ аналогичны свойствам интегрального преобразования Фурье. ДПФ определяет линейчатый спектр периодичной дискретизации функции времени, а обратное дискретное...

Русский

2014-09-14

101.5 KB

10 чел.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МАРИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра ИВС

Лабораторная работа

по дисциплине: ТДЛС

«Преобразования Фурье»

    Выполнили: студенты группы ВМ-41

Лобанов С.М.

Полушкина О.В

    Проверила: Малашкевич И.А.

Йошкар-Ола

2003


Содержание

[0.1] Лабораторная работа

[1] Дискретное преобразование Фурье.

[2] Обратное ДПФ,

[3] Быстрое преобразование Фурье (БПФ).

[4] Вычисление БПФ посредством децимации по времени.


Преобразование Фурье (обобщение рядов Фурье).

Преобразование Фурье позволяет получать спектральные характеристики не периодических сигналов.

Пусть есть абсолютно интегральный сигнал S(t), удовлетворяющий условию:

    (1)

тогда прямое преобразование Фурье оценивается через спектральную плотность сигнала:

 (2)

Обратное преобразование Фурье оценивается по спектральной плотности, можно найти сигнал во временной области.

Сравним спектральную плотность одиночного импульса, сосредоточеннного

на интервале от 0 до Т:

    (3)

и спектр периодической функции, которая образуется из смещенных на время iT и смещенных на iT импульсов:

   (4)

Сравнивая (3) и (4) и полагая, что w1=2/T, получим:

  (5)

где Cn - коэффициенты ряда Фурье периодической последовательности импульсов, не накладывающихся друг на друга, равны спектральной плотности одного из этих импульсов, деленной на период Т. Это свойство используется при нахождении спектра периодического сигнала. Сначала определяется спектральная плотность одиночного импульса, а потом по (5) коэффициенты ряда Фурье.

Спектральная плотность одиночного импульса:

рис.а.

Спектр последовательности импульсов:

рис.б.

При увеличении периода Т спектральные линии (рис. б) сближаются, а коэффициенты       уменьшаются, но таким образом соотношение Cn/f1 остается постоянным. При Т-> получим одиночный импульс.

Дискретное преобразование Фурье.

ДПФ определяет спектр дискретной периодичной функции x(t).

ДПФ – обратимая операция отображения временных рядов в область частот.

Свойства ДПФ аналогичны свойствам интегрального преобразования Фурье.

ДПФ определяет линейчатый спектр периодичной дискретизации функции времени, а обратное дискретное преобразование Фурье позволяет восстановить функцию времени по ее спектру.

Периодичная непрерывная функция времени x0(t) с периодом Р и частотой  f0= 1/Р определяется рядом Фурье:

     (1)

где коэффициенты x(n) (комплексные отчеты спектра) определяются следующим образом:

=  (2)

Непрерывная периодичная функция и ее спектр:

Линейчатость спектра x(n) является следствием периодичности функции x0(t).

Выполним дискретизацию функции x0(t). Для этого необходимо выполнение условий, выражающих требования теоремы Котельникова:

x(n)=0, |n| n, PД> 2n1f0

f1=n1f0

T=

В результате дискретизации получим дискретную функцию с периодом дискретизации Т:

x(  

Преобразование (2) в нормализованном времени имеет следующий вид:

x(n)=  (3)

Подставляя изображение нормализованной функции в формулу (3):

x(n)=

Используя фильтрующие свойства  -функции, определим:

 

и, полагая t= kТ, x(k)=x0(k), перепишем изображение спектра через x(k):

x(n)=   (4)

(4) – дискретное преобразование Фурье.

Спектр находится по временной дискретной функции.

Обратное ДПФ,

x(k)=  (5)

x(k)=F-1

k – дискретное время,

n – дискретная частота (номер гармоники).

ДПФ и ОДПФ оперируют с конечными массивами чисел, причем массив x(k) и x(n) одинаковы.

ДПФ устанавливает связь между массивами отчета и массивами сигнала.

Быстрое преобразование Фурье (БПФ).

БПФ вычисляется по двум направлениям:

  1.  децимация по времени
  2.  децимация по частоте.

Вычисление БПФ посредством децимации по времени.

Исходную последовательность X(k), состоящую из N отчетов, разделим на две последовательности с четными номерами (У(к)) и нечетными (Z(к)):

У(к)=Х(2к)

Z(к)=Х(2к+1)


w1|S(w)|/2

w1  2w1

-2w1  -w1

X0(t)

p

p=1/f0

x(n)

ДПФ         ОДПФ

NT=P


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

33870. Взаимоотношения с развивающимися странами 62 KB
  СССР заботясь об укреплении своих позиций в освободившихся странах оказывал им активную материальную и военную помощь. Было подписано соглашение о прекращении состояния войны между СССР и Японией 1956 г. представителями СССР и Югославии декларация намечала сотрудничество сторон в области экономики науки и культуры. К концу 50х годов СССР был связан торговыми договорами более чем с 70 мировыми державами.
33872. Политическая жизнь страны во второй половине 60-х - первой половине 80-х гг 26 KB
  Снова установлено коллективное руководство 1й секретарь Брежнев председатель СМ Косыгин. Отставка Хрущева сопровождалась кадровыми переменами Договорщики: Подгорный секретарь ЦК Шелест член Президиума КЦ Шелепин член Президиума секретарь ЦК председатель комитета партийного контроля Суслов секретарь ЦК по идеологии.
33873. Общественная жизнь страны во второй половине 60-х – первой половине 80-х гг. Диссидентское движение 38 KB
  Национальное сознание развивалось в очень неблагоприятных условиях в условиях идеалогического диктата причем монодиктата в условиях политического диктата. 60ники : романтики в условиях Хрущеавской оттепели высшее достижение общественной жизни было: 1. 70ники : формировались в других условиях приспособленцы карьеристы циники космополиты. В условиях застоя был неизбежен рост различных форм протеста среди населения.
33874. Экономи́ческая рефо́рма 1965 г. в СССР 103 KB
  в СССР в СССР известна как Косыгинская реформа на Западе как реформа Либермана реформа управления народным хозяйством и планирования осуществлённая в 1965 1971 гг. Связывается с именем председателя Совета Министров СССР А. Традиционно проведение реформы связывали с усложнением экономических связей что снижало эффективность директивного планирования в 1966 промышленность СССР включала более трёхсот отраслей 47 тыс. Струмилин эксперты Госплана СССР руководители предприятий и др.