67775

Преобразования Фурье

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

ДПФ определяет спектр дискретной периодичной функции x(t). ДПФ – обратимая операция отображения временных рядов в область частот. Свойства ДПФ аналогичны свойствам интегрального преобразования Фурье. ДПФ определяет линейчатый спектр периодичной дискретизации функции времени, а обратное дискретное...

Русский

2014-09-14

101.5 KB

9 чел.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МАРИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра ИВС

Лабораторная работа

по дисциплине: ТДЛС

«Преобразования Фурье»

    Выполнили: студенты группы ВМ-41

Лобанов С.М.

Полушкина О.В

    Проверила: Малашкевич И.А.

Йошкар-Ола

2003


Содержание

[0.1] Лабораторная работа

[1] Дискретное преобразование Фурье.

[2] Обратное ДПФ,

[3] Быстрое преобразование Фурье (БПФ).

[4] Вычисление БПФ посредством децимации по времени.


Преобразование Фурье (обобщение рядов Фурье).

Преобразование Фурье позволяет получать спектральные характеристики не периодических сигналов.

Пусть есть абсолютно интегральный сигнал S(t), удовлетворяющий условию:

    (1)

тогда прямое преобразование Фурье оценивается через спектральную плотность сигнала:

 (2)

Обратное преобразование Фурье оценивается по спектральной плотности, можно найти сигнал во временной области.

Сравним спектральную плотность одиночного импульса, сосредоточеннного

на интервале от 0 до Т:

    (3)

и спектр периодической функции, которая образуется из смещенных на время iT и смещенных на iT импульсов:

   (4)

Сравнивая (3) и (4) и полагая, что w1=2/T, получим:

  (5)

где Cn - коэффициенты ряда Фурье периодической последовательности импульсов, не накладывающихся друг на друга, равны спектральной плотности одного из этих импульсов, деленной на период Т. Это свойство используется при нахождении спектра периодического сигнала. Сначала определяется спектральная плотность одиночного импульса, а потом по (5) коэффициенты ряда Фурье.

Спектральная плотность одиночного импульса:

рис.а.

Спектр последовательности импульсов:

рис.б.

При увеличении периода Т спектральные линии (рис. б) сближаются, а коэффициенты       уменьшаются, но таким образом соотношение Cn/f1 остается постоянным. При Т-> получим одиночный импульс.

Дискретное преобразование Фурье.

ДПФ определяет спектр дискретной периодичной функции x(t).

ДПФ – обратимая операция отображения временных рядов в область частот.

Свойства ДПФ аналогичны свойствам интегрального преобразования Фурье.

ДПФ определяет линейчатый спектр периодичной дискретизации функции времени, а обратное дискретное преобразование Фурье позволяет восстановить функцию времени по ее спектру.

Периодичная непрерывная функция времени x0(t) с периодом Р и частотой  f0= 1/Р определяется рядом Фурье:

     (1)

где коэффициенты x(n) (комплексные отчеты спектра) определяются следующим образом:

=  (2)

Непрерывная периодичная функция и ее спектр:

Линейчатость спектра x(n) является следствием периодичности функции x0(t).

Выполним дискретизацию функции x0(t). Для этого необходимо выполнение условий, выражающих требования теоремы Котельникова:

x(n)=0, |n| n, PД> 2n1f0

f1=n1f0

T=

В результате дискретизации получим дискретную функцию с периодом дискретизации Т:

x(  

Преобразование (2) в нормализованном времени имеет следующий вид:

x(n)=  (3)

Подставляя изображение нормализованной функции в формулу (3):

x(n)=

Используя фильтрующие свойства  -функции, определим:

 

и, полагая t= kТ, x(k)=x0(k), перепишем изображение спектра через x(k):

x(n)=   (4)

(4) – дискретное преобразование Фурье.

Спектр находится по временной дискретной функции.

Обратное ДПФ,

x(k)=  (5)

x(k)=F-1

k – дискретное время,

n – дискретная частота (номер гармоники).

ДПФ и ОДПФ оперируют с конечными массивами чисел, причем массив x(k) и x(n) одинаковы.

ДПФ устанавливает связь между массивами отчета и массивами сигнала.

Быстрое преобразование Фурье (БПФ).

БПФ вычисляется по двум направлениям:

  1.  децимация по времени
  2.  децимация по частоте.

Вычисление БПФ посредством децимации по времени.

Исходную последовательность X(k), состоящую из N отчетов, разделим на две последовательности с четными номерами (У(к)) и нечетными (Z(к)):

У(к)=Х(2к)

Z(к)=Х(2к+1)


w1|S(w)|/2

w1  2w1

-2w1  -w1

X0(t)

p

p=1/f0

x(n)

ДПФ         ОДПФ

NT=P


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80506. СУТНІСТЬ, МЕТА ТА ФУНКЦІЇ ІНВЕСТИЦІЙНОГО МЕНЕДЖМЕНТУ В УМОВАХ РИНКУ 249 KB
  Економічна сутність інвестицій та інвестиційної діяльності підприємств Поняття інвестиція виступає первинною категорією яка є базою побудови ієрархії решти категорій що відображають відтворення основного та оборотного капіталів. В різних розділах науки і різних галузях практичної діяльності зміст поняття інвестиції має свої особливості а саме: в макроекономіці інвестиції є частиною сукупних витрат що складаються з витрат на нові засоби виробництва інвестицій в житло і приросту товарних запасів. Категорія інвестиції входить...
80507. УПРАВЛІННЯ РЕАЛЬНИМИ ІНВЕСТИЦІЯМИ ПІДПРИЄМСТВА 99 KB
  На більшості підприємств реальне інвестування є основною формою інвестиційної діяльності. Реальне інвестування має ряд особливостей які обумовлені економічною потребою їх здійснення а саме: Процес стратегічного розвитку підприємства є сукупністю реалізованих інвестиційних проектів які пов’язані з успішним проникненням на товарні і регіональні ринки збільшенням операційних активів і зростання ефективності їх використання підвищенням ринкової вартості підприємств; Тісний зв’язок з операційною діяльністю через необхідність забезпечення...
80508. Політика управління портфелем фінансових інвестицій підприємства 106 KB
  Оцінка ефективності інвестування в окремі фінансові інструменти. Оцінка ефективності інвестування в облігації. Оцінка ефективності інвестування в акції. Оцінка ризиків окремих фінансових інструментів інвестування.
80509. Стратегія управління формуванням інвестиційного капіталу підприємства 99.5 KB
  Поняття інвестиційних ресурсів підприємства принципи передумови та порядок розроблення стратегії їх формування. Політика формування інвестиційних ресурсів підприємства. Поняття інвестиційних ресурсів підприємства принципи передумови та порядок розроблення стратегії їх формування. Політика формування інвестиційних ресурсів підприємства.
80510. Автоматизація процесів оцінювання транспортних засобів 483.43 KB
  Шаблони і створені акти можуть редагуватися в Word rtf формат так само можуть створюватися власні і змінюватися наявні в програмі друковані форми: калькуляція страхове відшкодування і т. Програма дозволяє в автоматичному режимі здійснювати: пошук двигуна за маркою транспортного засобу та отримати вичерпну інформацію про модель транспортного засобу на яку він був встановлений його об’єм тип потужність характеристики та період випуску моделі транспортного засобу;  пошук моделі транспортного засобу за кодом...
80511. Автоматизація процесів оцінювання нематеріальних активів 52.73 KB
  Автоматизація процесу оцінки гудвіла. Автоматизація процесу оцінки товарних знаків. Автоматизація процесу оцінки гудвіла До теперішнього часу склалися дві паралельно існуючі традиції перекладу англійського терміну goodwill. В даному випадку тобто в контексті вартісної оцінки нематеріальних активів переважно другий спосіб переведення хоча він і виглядає декілька незграбним.
80512. Автоматизація процесів оцінювання вартості підприємства 157.79 KB
  Для побудови зазначених типів моделей використовуються як власні методи моделювання RIS так і різні відомі методи та мови моделювання зокрема UML. Автори методу EricssonPenker створили свій профіль UML для моделювання бізнеспроцесів EricssonPenker Business Extensions ввівши набір стереотипів які описують основні категорії бізнесмоделі: процеси ресурси правила і цілі діяльності підприємства. Мова UML використовується також в методі який є частиною технології Rtionl Unified Process фірми IBM.
80513. Інформаційні системи і технології, їх роль в управлінні економікою 26.08 KB
  Наприклад під технологією матеріального виробництва розуміють процес який визначається як комплекс засобів і методів обробки виготовлення зміни стану властивостей форми сировини чи матеріалу. Тоді справедливим буде таке означення: Інформаційна технологія це процес або сукупність процесів обробки інформації. Оскільки на вході та виході ІТ є не матерія і не енергія а інформація то: інформаційна технологія це сукупність процесів що використовує засоби та методи накопичення обробки і передачі первинної інформації для отримання...
80514. Особливості та структура економічної інформації 20.02 KB
  Економічна інформація засоби її опису Інформація це сукупність відомостейданих які сприймають з навколишнього середовищавхідна інформація видаються в навколишнє середовищевихідна інформація або зберігаються всередині певної системи. Економічна інформація є інструментом управління і водночас належить до його елементів її потрібно розглядати як один із різновидів управлінської інформації яка забезпечує розвязування задач організаційноекономічного управління народним господарством. Отже...