67775

Преобразования Фурье

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

ДПФ определяет спектр дискретной периодичной функции x(t). ДПФ – обратимая операция отображения временных рядов в область частот. Свойства ДПФ аналогичны свойствам интегрального преобразования Фурье. ДПФ определяет линейчатый спектр периодичной дискретизации функции времени, а обратное дискретное...

Русский

2014-09-14

101.5 KB

10 чел.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МАРИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра ИВС

Лабораторная работа

по дисциплине: ТДЛС

«Преобразования Фурье»

    Выполнили: студенты группы ВМ-41

Лобанов С.М.

Полушкина О.В

    Проверила: Малашкевич И.А.

Йошкар-Ола

2003


Содержание

[0.1] Лабораторная работа

[1] Дискретное преобразование Фурье.

[2] Обратное ДПФ,

[3] Быстрое преобразование Фурье (БПФ).

[4] Вычисление БПФ посредством децимации по времени.


Преобразование Фурье (обобщение рядов Фурье).

Преобразование Фурье позволяет получать спектральные характеристики не периодических сигналов.

Пусть есть абсолютно интегральный сигнал S(t), удовлетворяющий условию:

    (1)

тогда прямое преобразование Фурье оценивается через спектральную плотность сигнала:

 (2)

Обратное преобразование Фурье оценивается по спектральной плотности, можно найти сигнал во временной области.

Сравним спектральную плотность одиночного импульса, сосредоточеннного

на интервале от 0 до Т:

    (3)

и спектр периодической функции, которая образуется из смещенных на время iT и смещенных на iT импульсов:

   (4)

Сравнивая (3) и (4) и полагая, что w1=2/T, получим:

  (5)

где Cn - коэффициенты ряда Фурье периодической последовательности импульсов, не накладывающихся друг на друга, равны спектральной плотности одного из этих импульсов, деленной на период Т. Это свойство используется при нахождении спектра периодического сигнала. Сначала определяется спектральная плотность одиночного импульса, а потом по (5) коэффициенты ряда Фурье.

Спектральная плотность одиночного импульса:

рис.а.

Спектр последовательности импульсов:

рис.б.

При увеличении периода Т спектральные линии (рис. б) сближаются, а коэффициенты       уменьшаются, но таким образом соотношение Cn/f1 остается постоянным. При Т-> получим одиночный импульс.

Дискретное преобразование Фурье.

ДПФ определяет спектр дискретной периодичной функции x(t).

ДПФ – обратимая операция отображения временных рядов в область частот.

Свойства ДПФ аналогичны свойствам интегрального преобразования Фурье.

ДПФ определяет линейчатый спектр периодичной дискретизации функции времени, а обратное дискретное преобразование Фурье позволяет восстановить функцию времени по ее спектру.

Периодичная непрерывная функция времени x0(t) с периодом Р и частотой  f0= 1/Р определяется рядом Фурье:

     (1)

где коэффициенты x(n) (комплексные отчеты спектра) определяются следующим образом:

=  (2)

Непрерывная периодичная функция и ее спектр:

Линейчатость спектра x(n) является следствием периодичности функции x0(t).

Выполним дискретизацию функции x0(t). Для этого необходимо выполнение условий, выражающих требования теоремы Котельникова:

x(n)=0, |n| n, PД> 2n1f0

f1=n1f0

T=

В результате дискретизации получим дискретную функцию с периодом дискретизации Т:

x(  

Преобразование (2) в нормализованном времени имеет следующий вид:

x(n)=  (3)

Подставляя изображение нормализованной функции в формулу (3):

x(n)=

Используя фильтрующие свойства  -функции, определим:

 

и, полагая t= kТ, x(k)=x0(k), перепишем изображение спектра через x(k):

x(n)=   (4)

(4) – дискретное преобразование Фурье.

Спектр находится по временной дискретной функции.

Обратное ДПФ,

x(k)=  (5)

x(k)=F-1

k – дискретное время,

n – дискретная частота (номер гармоники).

ДПФ и ОДПФ оперируют с конечными массивами чисел, причем массив x(k) и x(n) одинаковы.

ДПФ устанавливает связь между массивами отчета и массивами сигнала.

Быстрое преобразование Фурье (БПФ).

БПФ вычисляется по двум направлениям:

  1.  децимация по времени
  2.  децимация по частоте.

Вычисление БПФ посредством децимации по времени.

Исходную последовательность X(k), состоящую из N отчетов, разделим на две последовательности с четными номерами (У(к)) и нечетными (Z(к)):

У(к)=Х(2к)

Z(к)=Х(2к+1)


w1|S(w)|/2

w1  2w1

-2w1  -w1

X0(t)

p

p=1/f0

x(n)

ДПФ         ОДПФ

NT=P


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

2802. Определение коэффициента внутреннего трения жидкостей 28.37 KB
  Определение коэффициента внутреннего трения жидкостей. Цель работы: Определение коэффициентов внутреннего трения моторного масла и глицерина методом Стокса. Краткое теоретическое обоснование: При движении вязкой жидкости между ее слоями, дви...
2803. Основные этапы решения задач на ЭВМ 45.5 KB
  Основные этапы решения задач на ЭВМ 1. Математическая формулировка задачи (формализация условий задачи). Любая задача подразумевает наличие входных данных, которые в процессе её решения преобразуются в выходные данные. На этапе формализации...
2804. Обобщённая структурная схема ЭВМ 37 KB
  Лекция 2 Обобщённая структурная схема ЭВМ Обобщённая структурная схема ЭВМ приведена на рисунке 1. ЦП – центральный процессор, сложная схема, выполняющая операции по преобразованию входных данных, хранящихся в ОЗУ, в выходные, хранящиеся...
2805. Базовые конструкции языка C 58 KB
  Базовые конструкции языка C К базовым конструкциям языка C относятся: алфавит, константы, идентификаторы, ключевые слова, операции, комментарии. Множество представимых символов языка C состоит из алфавита...
2806. Базовые типы данных 77 KB
  Лекция 4 Базовые типы данных   Тип задаётся набором допустимых значений и действий, которые можно производить над данными этого типа. Типы данных языка C схематически представлены на рисунке 1. Базовые типы данных языка C. Тип char –...
2807. Объявление и инициализация переменных 37.5 KB
  Лекция 5 Объявление и инициализация переменных Переменная – это ячейка памяти определённого типа, в которой может храниться значение данного типа. Объявление переменной – это её создание в тексте программы. Форма записи: модификатор тип сп...
2808. Выражения как комбинация операндов и операций 30 KB
  Лекция 6 Выражения Выражение – это комбинация операндов и операций, задающая порядок вычисления некоторого значения и принимающая это значение. Операции – это инструкции, определяющие действия над операндами. В качестве операнда могут выст...
2809. Операции как символ или комбинация символов 136 KB
  Операции Операция – это символ или комбинация символов, которые сообщают компилятору о необходимости произвести определённое арифметическое, логическое или другое действие. Операции в языке C  могут иметь от одного до трех опера...
2810. Операторы как конструкторы языка 62 KB
  Лекция Операторы Оператор – это конструкция языка C, которая определяет для компилятора конечный набор действий. Пустой оператор. Пустой оператор состоит только из точки с запятой. Форма записи, При выполнении этого оператора ничего не п...