67775

Преобразования Фурье

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

ДПФ определяет спектр дискретной периодичной функции x(t). ДПФ – обратимая операция отображения временных рядов в область частот. Свойства ДПФ аналогичны свойствам интегрального преобразования Фурье. ДПФ определяет линейчатый спектр периодичной дискретизации функции времени, а обратное дискретное...

Русский

2014-09-14

101.5 KB

9 чел.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МАРИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра ИВС

Лабораторная работа

по дисциплине: ТДЛС

«Преобразования Фурье»

    Выполнили: студенты группы ВМ-41

Лобанов С.М.

Полушкина О.В

    Проверила: Малашкевич И.А.

Йошкар-Ола

2003


Содержание

[0.1] Лабораторная работа

[1] Дискретное преобразование Фурье.

[2] Обратное ДПФ,

[3] Быстрое преобразование Фурье (БПФ).

[4] Вычисление БПФ посредством децимации по времени.


Преобразование Фурье (обобщение рядов Фурье).

Преобразование Фурье позволяет получать спектральные характеристики не периодических сигналов.

Пусть есть абсолютно интегральный сигнал S(t), удовлетворяющий условию:

    (1)

тогда прямое преобразование Фурье оценивается через спектральную плотность сигнала:

 (2)

Обратное преобразование Фурье оценивается по спектральной плотности, можно найти сигнал во временной области.

Сравним спектральную плотность одиночного импульса, сосредоточеннного

на интервале от 0 до Т:

    (3)

и спектр периодической функции, которая образуется из смещенных на время iT и смещенных на iT импульсов:

   (4)

Сравнивая (3) и (4) и полагая, что w1=2/T, получим:

  (5)

где Cn - коэффициенты ряда Фурье периодической последовательности импульсов, не накладывающихся друг на друга, равны спектральной плотности одного из этих импульсов, деленной на период Т. Это свойство используется при нахождении спектра периодического сигнала. Сначала определяется спектральная плотность одиночного импульса, а потом по (5) коэффициенты ряда Фурье.

Спектральная плотность одиночного импульса:

рис.а.

Спектр последовательности импульсов:

рис.б.

При увеличении периода Т спектральные линии (рис. б) сближаются, а коэффициенты       уменьшаются, но таким образом соотношение Cn/f1 остается постоянным. При Т-> получим одиночный импульс.

Дискретное преобразование Фурье.

ДПФ определяет спектр дискретной периодичной функции x(t).

ДПФ – обратимая операция отображения временных рядов в область частот.

Свойства ДПФ аналогичны свойствам интегрального преобразования Фурье.

ДПФ определяет линейчатый спектр периодичной дискретизации функции времени, а обратное дискретное преобразование Фурье позволяет восстановить функцию времени по ее спектру.

Периодичная непрерывная функция времени x0(t) с периодом Р и частотой  f0= 1/Р определяется рядом Фурье:

     (1)

где коэффициенты x(n) (комплексные отчеты спектра) определяются следующим образом:

=  (2)

Непрерывная периодичная функция и ее спектр:

Линейчатость спектра x(n) является следствием периодичности функции x0(t).

Выполним дискретизацию функции x0(t). Для этого необходимо выполнение условий, выражающих требования теоремы Котельникова:

x(n)=0, |n| n, PД> 2n1f0

f1=n1f0

T=

В результате дискретизации получим дискретную функцию с периодом дискретизации Т:

x(  

Преобразование (2) в нормализованном времени имеет следующий вид:

x(n)=  (3)

Подставляя изображение нормализованной функции в формулу (3):

x(n)=

Используя фильтрующие свойства  -функции, определим:

 

и, полагая t= kТ, x(k)=x0(k), перепишем изображение спектра через x(k):

x(n)=   (4)

(4) – дискретное преобразование Фурье.

Спектр находится по временной дискретной функции.

Обратное ДПФ,

x(k)=  (5)

x(k)=F-1

k – дискретное время,

n – дискретная частота (номер гармоники).

ДПФ и ОДПФ оперируют с конечными массивами чисел, причем массив x(k) и x(n) одинаковы.

ДПФ устанавливает связь между массивами отчета и массивами сигнала.

Быстрое преобразование Фурье (БПФ).

БПФ вычисляется по двум направлениям:

  1.  децимация по времени
  2.  децимация по частоте.

Вычисление БПФ посредством децимации по времени.

Исходную последовательность X(k), состоящую из N отчетов, разделим на две последовательности с четными номерами (У(к)) и нечетными (Z(к)):

У(к)=Х(2к)

Z(к)=Х(2к+1)


w1|S(w)|/2

w1  2w1

-2w1  -w1

X0(t)

p

p=1/f0

x(n)

ДПФ         ОДПФ

NT=P


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75568. Транспорт у Лондоні та в твоєму місті 61.5 KB
  Students should guess from the context wht biggie mens in ech cse bus quick. Wht is the most relible mens of trnsport in your town Do you know the town you live in very well Cn you give some dvice s to getting round your town Wht number bus trolleybus trm shttle minibus do you tke when you go to the centrl squre centrl Prt etc Wht kind of trnsport do you like best Wht is the usul intervl between trins of the underground From wht time in the morning till wht time t night do trms nd buses run How long does it tke you to get to...
75569. Найбільші бібліотеки світу. Бібліотека Британського музею - одне з визначних місць Лондона 59 KB
  Т: Do you sometimes borrow books from librry Wht do you cll person who works in librry Wht kind of books cn you find there Do you know the origin of the word Librry б Т: Listen nd repet. HO1: Librries The word librry comes from the Ltin word liber mening book This is plce where informtion in print books mnuscripts periodicls nd musicl scores nd in other forms is collected nd rrnged to serve people of ll ges nd interests. Perhps the most fmous librry of tht erly...
75570. Наша шкільна бібліотека. Як англійці пишуть листи 60.5 KB
  Обладнання: підручник комплект Jigsw sentences for Wrmup НО1 зразок написання приватного листа Н02 Jumbled prts of the informl letter H03 текст The rt of LetterWriting H04 True or Flse HO5. Т: The topic of our tody\'s lesson is The wy Englishmen write letters nd The rt of LetterWriting . By the end of the lesson you should be ble: to get cquinted with the lyout of informl letter nd some rules tht you should follow if you wnt to write n interesting letter to your friend; to improve your communictive writing skills; to tlk...
75571. Національні традиції Великобританії, План-конспект уроку з англійської мови для учнів 9-х класів 53.5 KB
  Практикувати учнів у читанні тексту з метою отримання загального уявлення (skimming) та максимально повного й точного розуміння всієї інформації, що міститься в ньому (scanning). Підготувати учнів до самостійного висловлювання про національні традиції Великобританії на основі інформації, що міститься в тексті.
75572. Генрі - великий американський письменник. Контроль позакласного читання 74 KB
  Практикувати учнів в аудіюванні з метою максимально повного та точного розуміння всіє інформації, що міститься в тексті. Проконтролювати підготовку позакласного читання.
75574. Сполучені Штати Америки, План-конспект уроку з англійської мови для учнів 9-х класів 68.5 KB
  Обладнання: підручник географічна карта США граматична таблиця Узгодження часів в англійській мові пісня meric the Beutiful НО1 текст Kthrine Lee Btes H02 True or Flse H03 Keyfcts H04. Т: The topic of our todys lesson is The geogrphicl position of the United Sttes of meric...
75575. Географічне положення Сполучених Штатів Америки, План-конспект уроку з англійської мови для учнів 9-х класів 55.5 KB
  Обладнання: підручник географічна карта США граматична таблиця Узгодження граматичних часів в англійській мові Mtch the pirs НО1; таблиця The Sequence of Tenses H02. Т: The topic of our...
75576. Нью-Йорк - найбільше місто США 61.5 KB
  Т: Tody we re going to tlk bout New York the lrgest city in the US. Предявлення тексту для читання New York впр.Т: Wht do you think Why do people like to trvel to different countries nd cities Do you wnt to know more bout the world too Why Comment the quottion of Jmes Bone New York is the city of dredful heightrdquo;.New Yorkthe Hudson RiverMnhttnBrodwyWll StreetStock Exchnge в Do you know wht the following words menВиконання впр.