67775

Преобразования Фурье

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

ДПФ определяет спектр дискретной периодичной функции x(t). ДПФ – обратимая операция отображения временных рядов в область частот. Свойства ДПФ аналогичны свойствам интегрального преобразования Фурье. ДПФ определяет линейчатый спектр периодичной дискретизации функции времени, а обратное дискретное...

Русский

2014-09-14

101.5 KB

11 чел.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МАРИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра ИВС

Лабораторная работа

по дисциплине: ТДЛС

«Преобразования Фурье»

    Выполнили: студенты группы ВМ-41

Лобанов С.М.

Полушкина О.В

    Проверила: Малашкевич И.А.

Йошкар-Ола

2003


Содержание

[0.1] Лабораторная работа

[1] Дискретное преобразование Фурье.

[2] Обратное ДПФ,

[3] Быстрое преобразование Фурье (БПФ).

[4] Вычисление БПФ посредством децимации по времени.


Преобразование Фурье (обобщение рядов Фурье).

Преобразование Фурье позволяет получать спектральные характеристики не периодических сигналов.

Пусть есть абсолютно интегральный сигнал S(t), удовлетворяющий условию:

    (1)

тогда прямое преобразование Фурье оценивается через спектральную плотность сигнала:

 (2)

Обратное преобразование Фурье оценивается по спектральной плотности, можно найти сигнал во временной области.

Сравним спектральную плотность одиночного импульса, сосредоточеннного

на интервале от 0 до Т:

    (3)

и спектр периодической функции, которая образуется из смещенных на время iT и смещенных на iT импульсов:

   (4)

Сравнивая (3) и (4) и полагая, что w1=2/T, получим:

  (5)

где Cn - коэффициенты ряда Фурье периодической последовательности импульсов, не накладывающихся друг на друга, равны спектральной плотности одного из этих импульсов, деленной на период Т. Это свойство используется при нахождении спектра периодического сигнала. Сначала определяется спектральная плотность одиночного импульса, а потом по (5) коэффициенты ряда Фурье.

Спектральная плотность одиночного импульса:

рис.а.

Спектр последовательности импульсов:

рис.б.

При увеличении периода Т спектральные линии (рис. б) сближаются, а коэффициенты       уменьшаются, но таким образом соотношение Cn/f1 остается постоянным. При Т-> получим одиночный импульс.

Дискретное преобразование Фурье.

ДПФ определяет спектр дискретной периодичной функции x(t).

ДПФ – обратимая операция отображения временных рядов в область частот.

Свойства ДПФ аналогичны свойствам интегрального преобразования Фурье.

ДПФ определяет линейчатый спектр периодичной дискретизации функции времени, а обратное дискретное преобразование Фурье позволяет восстановить функцию времени по ее спектру.

Периодичная непрерывная функция времени x0(t) с периодом Р и частотой  f0= 1/Р определяется рядом Фурье:

     (1)

где коэффициенты x(n) (комплексные отчеты спектра) определяются следующим образом:

=  (2)

Непрерывная периодичная функция и ее спектр:

Линейчатость спектра x(n) является следствием периодичности функции x0(t).

Выполним дискретизацию функции x0(t). Для этого необходимо выполнение условий, выражающих требования теоремы Котельникова:

x(n)=0, |n| n, PД> 2n1f0

f1=n1f0

T=

В результате дискретизации получим дискретную функцию с периодом дискретизации Т:

x(  

Преобразование (2) в нормализованном времени имеет следующий вид:

x(n)=  (3)

Подставляя изображение нормализованной функции в формулу (3):

x(n)=

Используя фильтрующие свойства  -функции, определим:

 

и, полагая t= kТ, x(k)=x0(k), перепишем изображение спектра через x(k):

x(n)=   (4)

(4) – дискретное преобразование Фурье.

Спектр находится по временной дискретной функции.

Обратное ДПФ,

x(k)=  (5)

x(k)=F-1

k – дискретное время,

n – дискретная частота (номер гармоники).

ДПФ и ОДПФ оперируют с конечными массивами чисел, причем массив x(k) и x(n) одинаковы.

ДПФ устанавливает связь между массивами отчета и массивами сигнала.

Быстрое преобразование Фурье (БПФ).

БПФ вычисляется по двум направлениям:

  1.  децимация по времени
  2.  децимация по частоте.

Вычисление БПФ посредством децимации по времени.

Исходную последовательность X(k), состоящую из N отчетов, разделим на две последовательности с четными номерами (У(к)) и нечетными (Z(к)):

У(к)=Х(2к)

Z(к)=Х(2к+1)


w1|S(w)|/2

w1  2w1

-2w1  -w1

X0(t)

p

p=1/f0

x(n)

ДПФ         ОДПФ

NT=P


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

41037. Джерела української культури 62.5 KB
  Протослов'янське населення території давньої України 2. Територія заселена трипільцями пролягала від Словаччини та Румунії до Слобідської України від Чернігова до Чорного моря. Тут жили зокрема пращури слов'ян місцеві землеробські племена. Питання походження східних слов'ян і на сьогодні є недостатньо вивченим.
41038. Культура Київської Русі: християнське підґрунтя української культури 66 KB
  Культура Київської Русі: християнське підґрунтя української культури План: 1. Християнізація Русі як чинник нових культурних зрушень 2. Мистецтво Київської Русі як утілення світогляду релігійної та естетичної свідомості. Культура Київської Русі видатне явище світової середньовічної культури.
41039. Духовна культура українського народу ХІV – першої половини XVІІ століття 62 KB
  Розєднаність українських земель відсутність єдиного політичного центру спустошливі турецькотатарські набіги іноземний гніт спричинили складні процеси в розвитку української культури XIV XVI ст. Довгий час православна церква залишалася для українського населення єдиним осередком національної самобутності духовності й культури. Складна соціальнополітична ситуація що склалася в польськолитовську добу в Україні істотно позначилася на розвитку української культури. Вказані особливості притаманні усім сферам української культури періоду...
41040. Українська культура козацької доби 60 KB
  Українська культура козацької доби Нові процеси у духовному житті Наука і освіта козацької доби Специфіка національного варіанту бароко Еволюція образотворчого мистецтва Барокова архітектура Саме козацькі часи в історії України називають добою Бароко маючи на увазі не лише мистецький стиль а значно ширше духовне поняття: світовідчуття. Українське Бароко виявилося співзвучним історичному часові що переживав народ і тому так повно виразило і його філософію і психологію й естетику. Більш того національний варіант бароко в...
41041. Українське національно-культурне відродження ХІХ – початку ХХ ст 86.5 KB
  У цей час зявляються праці у галузі української історії філософії етнографії літератури. висловив один з представників нової української історіографії І. швидко зростала і які стали носіями української національної ідеї у Західній Україні. Воно стало носієм української національної ідеї у Західній Україні.
41042. УКРАЇНСЬКА КУЛЬТУРА У ХХ СТОЛІТТІ 73 KB
  Неокласики вважали що Україна більш схильна до європейської культури їх зусиллями вперше в українській літературі налагоджуються систематичні переклади світової літератури зокрема античної. Немало однодумців було у них і в інших галузях культури. Міжвоєнний період позначений небаченим до цього злетом української музичної культури. Говорячи про розвиток радянської культури треба звернути увагу на головні принципи її побудови: класовість та партійність.
41043. Компоненти навантаження і методи спортивної підготовки 26.5 KB
  Для получения большой нагрузки спортсмену необходимо выполнить значительный объем работы адекватной уровню его подготовленности в данное время. Внешним критерием большой нагрузки является неспособность спортсмена продолжать выполнение предлагаемой работы. Момент прекращения работы в каждом конкретном случае должен определяться в зависимости от направленности занятия и характера построения его программы а также от уровня подготовленности спортсмена. При этом необходимо соблюдать два требования находящихся в естественном противоречии:...
41044. Основні кроки ніг 38.5 KB
  Продовження вивчення основних кроків ніг 4. ВИПАД може бути виконаний будьяким способом кроком стрибком після маху а також у різних напрямках уперед убік назад. Основним варіантом цього аеробного кроку є положення випаду вперед. КРОК нагадує природну ходьбу але відрізняється більшою чіткістю.
41045. ЦІНА ПРОДУКЦІЇ. МЕТОДИ ЦІНОУТВОРЕННЯ. КРИТИЧНИЙ ОБСЯГ ВИРОБНИЦТВА 706 KB
  6 де Ц ціна за одиницю продукції грн.; Ц ціна одиниці продукції грн; постійні витрати грн; змінні витрати у розрахунку на одиницю продукції грн. Покупна ціна останнього становить 750 грн. Основна заробітна плата в розрахунку на одиницю продукції дорівнює 6 грн.