67775

Преобразования Фурье

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

ДПФ определяет спектр дискретной периодичной функции x(t). ДПФ – обратимая операция отображения временных рядов в область частот. Свойства ДПФ аналогичны свойствам интегрального преобразования Фурье. ДПФ определяет линейчатый спектр периодичной дискретизации функции времени, а обратное дискретное...

Русский

2014-09-14

101.5 KB

11 чел.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МАРИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра ИВС

Лабораторная работа

по дисциплине: ТДЛС

«Преобразования Фурье»

    Выполнили: студенты группы ВМ-41

Лобанов С.М.

Полушкина О.В

    Проверила: Малашкевич И.А.

Йошкар-Ола

2003


Содержание

[0.1] Лабораторная работа

[1] Дискретное преобразование Фурье.

[2] Обратное ДПФ,

[3] Быстрое преобразование Фурье (БПФ).

[4] Вычисление БПФ посредством децимации по времени.


Преобразование Фурье (обобщение рядов Фурье).

Преобразование Фурье позволяет получать спектральные характеристики не периодических сигналов.

Пусть есть абсолютно интегральный сигнал S(t), удовлетворяющий условию:

    (1)

тогда прямое преобразование Фурье оценивается через спектральную плотность сигнала:

 (2)

Обратное преобразование Фурье оценивается по спектральной плотности, можно найти сигнал во временной области.

Сравним спектральную плотность одиночного импульса, сосредоточеннного

на интервале от 0 до Т:

    (3)

и спектр периодической функции, которая образуется из смещенных на время iT и смещенных на iT импульсов:

   (4)

Сравнивая (3) и (4) и полагая, что w1=2/T, получим:

  (5)

где Cn - коэффициенты ряда Фурье периодической последовательности импульсов, не накладывающихся друг на друга, равны спектральной плотности одного из этих импульсов, деленной на период Т. Это свойство используется при нахождении спектра периодического сигнала. Сначала определяется спектральная плотность одиночного импульса, а потом по (5) коэффициенты ряда Фурье.

Спектральная плотность одиночного импульса:

рис.а.

Спектр последовательности импульсов:

рис.б.

При увеличении периода Т спектральные линии (рис. б) сближаются, а коэффициенты       уменьшаются, но таким образом соотношение Cn/f1 остается постоянным. При Т-> получим одиночный импульс.

Дискретное преобразование Фурье.

ДПФ определяет спектр дискретной периодичной функции x(t).

ДПФ – обратимая операция отображения временных рядов в область частот.

Свойства ДПФ аналогичны свойствам интегрального преобразования Фурье.

ДПФ определяет линейчатый спектр периодичной дискретизации функции времени, а обратное дискретное преобразование Фурье позволяет восстановить функцию времени по ее спектру.

Периодичная непрерывная функция времени x0(t) с периодом Р и частотой  f0= 1/Р определяется рядом Фурье:

     (1)

где коэффициенты x(n) (комплексные отчеты спектра) определяются следующим образом:

=  (2)

Непрерывная периодичная функция и ее спектр:

Линейчатость спектра x(n) является следствием периодичности функции x0(t).

Выполним дискретизацию функции x0(t). Для этого необходимо выполнение условий, выражающих требования теоремы Котельникова:

x(n)=0, |n| n, PД> 2n1f0

f1=n1f0

T=

В результате дискретизации получим дискретную функцию с периодом дискретизации Т:

x(  

Преобразование (2) в нормализованном времени имеет следующий вид:

x(n)=  (3)

Подставляя изображение нормализованной функции в формулу (3):

x(n)=

Используя фильтрующие свойства  -функции, определим:

 

и, полагая t= kТ, x(k)=x0(k), перепишем изображение спектра через x(k):

x(n)=   (4)

(4) – дискретное преобразование Фурье.

Спектр находится по временной дискретной функции.

Обратное ДПФ,

x(k)=  (5)

x(k)=F-1

k – дискретное время,

n – дискретная частота (номер гармоники).

ДПФ и ОДПФ оперируют с конечными массивами чисел, причем массив x(k) и x(n) одинаковы.

ДПФ устанавливает связь между массивами отчета и массивами сигнала.

Быстрое преобразование Фурье (БПФ).

БПФ вычисляется по двум направлениям:

  1.  децимация по времени
  2.  децимация по частоте.

Вычисление БПФ посредством децимации по времени.

Исходную последовательность X(k), состоящую из N отчетов, разделим на две последовательности с четными номерами (У(к)) и нечетными (Z(к)):

У(к)=Х(2к)

Z(к)=Х(2к+1)


w1|S(w)|/2

w1  2w1

-2w1  -w1

X0(t)

p

p=1/f0

x(n)

ДПФ         ОДПФ

NT=P


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75479. Отчеты и обработка (1С) 23.5 KB
  Свойства отчета редактируются в палитре свойств Свойства отчета. Фактически объект метаданных типа Отчет или Обработка представляет собой форму модуль которой является алгоритмом построения отчета а таблица служит для выдачи результатов построения отчетов в требуемом виде. Внешним отчетом в системе называется отчет или обработка хранящийся вне конфигурации в отдельном файле внешнего отчета. Отличием внешнего отчета от объектов метаданных типа Отчет и Обработка является то что он представляет собой только форму.
75480. Понятие запроса в MS Access, создание запроса на выборку в однотабличной БД 45.5 KB
  Понятие запроса в MS ccess создание запроса на выборку в однотабличной БД Запрос это обращение к БД для поиска или изменения в базе данных информации соответствующей заданным критериям. Создание запроса Для начала создания запроса следует открыть базу данных и перейдя на вкладку Запросы нажать кнопку Создать. Появится окно Новый запрос для выбора способа построения запроса рис 3.Диалоговое окно Новый запрос Конструктор создает запрос на основе пустого бланка запроса.
75481. Понятие инвестиционного плана и его содержание в ИС Project Expert 28.5 KB
  Понятие инвестиционного плана и его содержание в ИС Project Expert Инвестиций план затраты подготовительного периода затраты на приобретение и создание активов земли оборудования календарный план и сетевой график проекта. Раздел инвестиционный план предназначен для составления календарного графика работ проекта с указанием отдельных этапов необходимых финансовых ресурсов для выполнения этих этапов установления взаимосвязей между этапами формирования активов предприятия проекта описания способов и сроков амортизации созданных...
75483. Операционный план и его основное содержание в ИС Project Expert 35 KB
  Диалог План сбыта состоит из двух основных частей: таблицы содержащей список продуктов и информацию о ценах верхняя часть диалога; диалоговой панели для ввода информации об объемах и условиях сбыта текущего продукта нижняя часть диалога которая изменяется от степени детализации вводимых данных опция Детальное описание...
75484. Формирование запроса в MS Access, создание запроса на выборку в многотабличной БД 28.5 KB
  С помощью Access могут быть созданы следующие типы запросов: запросы на выборку, запросы на изменение, перекрестные запросы, запросы с параметром. Для начала создания запроса следует открыть базу данных, и, перейдя на вкладку Запросы нажать кнопку Создать. Появится окно Новый запрос для выбора способа построения запроса...
75485. Методы оценки финансового состояния предприятия с использованием Project Expert 25.5 KB
  Методы оценки финансового состояния предприятия с использованием Project Expert Финансовая оценка финансовая состоятельность т. Отчет о прибылях и убытках отражает операционную деятельность предприятия здесь и далее под операционной деятельностью понимается процесс производства и сбыта продукции или услуг за определенные периоды времени месяц квартал год. Балансовая ведомость в отличие от Отчета о прибылях и убытках отражает финансовое состояние предприятия определенный момент времени например 31 декабря 2001 года. Балансовая...
75486. Объект планы счетов 33 KB
  Слева от каждой строки находится пиктограмма характеризующая состояние данного счета. Если пиктограмма желтого цвета то это означает что счет является групповым то есть к нему открыты субсчета. Как например счета 01 или 03. Заметим что групповые счета не могут использоваться в проводках в них могут использоваться только его субсчета а сам групповой счет служит для аккумулирования информации по всем субсчетам в целом.
75487. Индексация данных. Индексы в базах данных. Нормализация БД 59.5 KB
  Первичный ключ атрибут или совокупность атрибутов которые уникальным образом однозначно идентифицируют экземпляр объекта запись таблицы. если у таблицы задан первичный ключ то любые записи данной таблицы должны отличаться значениями первичных ключей. Вторичный ключ атрибут или совокупность атрибутов предназначенных для упорядочения таблицы. Нормализация это разбиение таблицы на две или более обладающих лучшими свойствами при включении изменении и удалении данных.