67775

Преобразования Фурье

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

ДПФ определяет спектр дискретной периодичной функции x(t). ДПФ – обратимая операция отображения временных рядов в область частот. Свойства ДПФ аналогичны свойствам интегрального преобразования Фурье. ДПФ определяет линейчатый спектр периодичной дискретизации функции времени, а обратное дискретное...

Русский

2014-09-14

101.5 KB

10 чел.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МАРИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра ИВС

Лабораторная работа

по дисциплине: ТДЛС

«Преобразования Фурье»

    Выполнили: студенты группы ВМ-41

Лобанов С.М.

Полушкина О.В

    Проверила: Малашкевич И.А.

Йошкар-Ола

2003


Содержание

[0.1] Лабораторная работа

[1] Дискретное преобразование Фурье.

[2] Обратное ДПФ,

[3] Быстрое преобразование Фурье (БПФ).

[4] Вычисление БПФ посредством децимации по времени.


Преобразование Фурье (обобщение рядов Фурье).

Преобразование Фурье позволяет получать спектральные характеристики не периодических сигналов.

Пусть есть абсолютно интегральный сигнал S(t), удовлетворяющий условию:

    (1)

тогда прямое преобразование Фурье оценивается через спектральную плотность сигнала:

 (2)

Обратное преобразование Фурье оценивается по спектральной плотности, можно найти сигнал во временной области.

Сравним спектральную плотность одиночного импульса, сосредоточеннного

на интервале от 0 до Т:

    (3)

и спектр периодической функции, которая образуется из смещенных на время iT и смещенных на iT импульсов:

   (4)

Сравнивая (3) и (4) и полагая, что w1=2/T, получим:

  (5)

где Cn - коэффициенты ряда Фурье периодической последовательности импульсов, не накладывающихся друг на друга, равны спектральной плотности одного из этих импульсов, деленной на период Т. Это свойство используется при нахождении спектра периодического сигнала. Сначала определяется спектральная плотность одиночного импульса, а потом по (5) коэффициенты ряда Фурье.

Спектральная плотность одиночного импульса:

рис.а.

Спектр последовательности импульсов:

рис.б.

При увеличении периода Т спектральные линии (рис. б) сближаются, а коэффициенты       уменьшаются, но таким образом соотношение Cn/f1 остается постоянным. При Т-> получим одиночный импульс.

Дискретное преобразование Фурье.

ДПФ определяет спектр дискретной периодичной функции x(t).

ДПФ – обратимая операция отображения временных рядов в область частот.

Свойства ДПФ аналогичны свойствам интегрального преобразования Фурье.

ДПФ определяет линейчатый спектр периодичной дискретизации функции времени, а обратное дискретное преобразование Фурье позволяет восстановить функцию времени по ее спектру.

Периодичная непрерывная функция времени x0(t) с периодом Р и частотой  f0= 1/Р определяется рядом Фурье:

     (1)

где коэффициенты x(n) (комплексные отчеты спектра) определяются следующим образом:

=  (2)

Непрерывная периодичная функция и ее спектр:

Линейчатость спектра x(n) является следствием периодичности функции x0(t).

Выполним дискретизацию функции x0(t). Для этого необходимо выполнение условий, выражающих требования теоремы Котельникова:

x(n)=0, |n| n, PД> 2n1f0

f1=n1f0

T=

В результате дискретизации получим дискретную функцию с периодом дискретизации Т:

x(  

Преобразование (2) в нормализованном времени имеет следующий вид:

x(n)=  (3)

Подставляя изображение нормализованной функции в формулу (3):

x(n)=

Используя фильтрующие свойства  -функции, определим:

 

и, полагая t= kТ, x(k)=x0(k), перепишем изображение спектра через x(k):

x(n)=   (4)

(4) – дискретное преобразование Фурье.

Спектр находится по временной дискретной функции.

Обратное ДПФ,

x(k)=  (5)

x(k)=F-1

k – дискретное время,

n – дискретная частота (номер гармоники).

ДПФ и ОДПФ оперируют с конечными массивами чисел, причем массив x(k) и x(n) одинаковы.

ДПФ устанавливает связь между массивами отчета и массивами сигнала.

Быстрое преобразование Фурье (БПФ).

БПФ вычисляется по двум направлениям:

  1.  децимация по времени
  2.  децимация по частоте.

Вычисление БПФ посредством децимации по времени.

Исходную последовательность X(k), состоящую из N отчетов, разделим на две последовательности с четными номерами (У(к)) и нечетными (Z(к)):

У(к)=Х(2к)

Z(к)=Х(2к+1)


w1|S(w)|/2

w1  2w1

-2w1  -w1

X0(t)

p

p=1/f0

x(n)

ДПФ         ОДПФ

NT=P


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

62896. Умелые руки не знают скуки 49.38 KB
  Цель: Активизация творческих способностей учащихся, поддержание интереса к предмету; совершенствование умений работать самостоятельно и в коллективе.
62898. Внеклассное мероприятие, посвященное 8 марта «А ну-ка девочки!» 27.72 KB
  Какой конкурс вам понравился больше всего Умницы Спасибо за активное участие Жюри подводят итоги и каждой девочке присваивают номинацию: Мисс Восхитительная; Мисс Привлекательная; Мисс Чарующая...
62899. Внеклассное мероприятие, посвященное дню 8 марта: «Вечернее ТВ» 24 KB
  Цели: Развитие творческой инициативы, активности и самостоятельности учащихся; Формирование чувства ответственности за порученное дело, умения доводить его до конца; Воспитание уважительного отношения к девочкам, развития чувства доброты, желания дарить людям радость.
62900. Внеклассное мероприятие для учащихся 9–11-х классов, посвященное 8 Марта "Все для милой…" 20.44 KB
  Цель: развивать чувство уважения друг к другу, творческие способности учащихся, их индивидуальность, фантазию и изобретательность. Оформление, оборудование, инвентарь: бумага, фломастеры, канцелярские скрепки; предметы для проведения конкурсов...
62902. Внеклассное мероприятие, посвященное 23 февраля: А ну-ка, мальчики! 19.22 KB
  Ребята а вы знаете как делали книги раньше Сначала их писали на глине на коре деревьев на шкурах животных. Писали на бумаге вручную поэтому переписывание одной книги занимало не один год. Книги в то время считались роскошью.