67803
ПІДСТАНОВКИ І ЛІНІЙНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ
Лабораторная работа
Математика и математический анализ
Мета роботи – вивчити основні властивості лінійних перетворень і підстановочних матриць, необхідні для математичного опису регістрів зсуву з лінійним зворотним зв’язком. Короткі теоретичні відомості. Векторні простори. Нехай – непорожня множина елементів будь-якої природи, які позначатимемо і нехай – деяке поле...
Украинкский
2014-09-15
554 KB
1 чел.
PAGE \* MERGEFORMAT 7
Лабораторна робота № 2
ТЕМА: ПІДСТАНОВКИ І ЛІНІЙНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ
Мета роботи – вивчити основні властивості лінійних перетворень і підстановочних матриць, необхідні для математичного опису регістрів зсуву з лінійним зворотним зв'язком.
Короткі теоретичні відомості.
Векторні простори.
Нехай – непорожня множина елементів будь-якої природи, які позначатимемо і нехай – деяке поле, елементи якого позначатимемо . Визначимо в множині операцію додавання елементів: і операцію множення елементу на число з поля : .
Множина називається векторним (лінійним) простором, якщо в визначені алгебраїчна операція додавання і операція множення на числа з поля , причому виконані наступні умови (аксіоми векторного простору):
1. – асоціативність додавання;
2. – комутативність додавання;
3. : – існування нульового елементу;
4. : – існування протилежного елементу;
5. – асоціативність множення на число;
6. .
7. – дистрибутивність відносно додавання чисел ;
8. – дистрибутивність відносно додавання елементів;
Елементи векторного простору називаються векторами, елемент називається нульовим вектором..
Лінійною комбінацією векторів векторного простору з коефіцієнтами з поля називається вектор .
Система векторів векторного простору називається лінійно незалежною, якщо рівність можлива в тому і лише тому випадку, коли .
Впорядкована система векторів векторного простору називається базисом векторного простору, якщо
1) вона лінійно незалежна;
2) кожен вектор простору лінійно виражається через вектори цієї системи, тобто .
Отже, базис – це максимальна система лінійно незалежних векторів.
Векторний простір називається скінченновимірним, якщо в ньому існує базис, який складається з скінченного числа векторів.
Розглянемо множину, елементами якої є впорядковані послідовності елементів поля . Відносно покомпонентного додавання і покомпонентного множення на елемент поля , побудована множина є векторним простором над і позначається . Очевидно, система , де , а одиниця знаходиться на -му місці, є базисом. Можна показати, що всі належні базиси складаються з одного і того ж числа елементів.
Будь-який скінченновимірний лінійний простір над полем ізоморфний при деякому .
Число векторів в базисі називається розмірністю векторного простору . Розмірність простору позначається . Якщо , то векторний простір називається -вимірним.
Лінійні перетворення і матриці над полем
Нехай – поле.
Означення. Матрицею розмірності над полем називається множина елементів з , пронумерована впорядкованими парами чисел , де, . Записують , , .
Якщо матриця називається квадратною порядку .
Множина всіх квадратних матриць порядку з дійсними елементами і з відмінними від нуля детерминантами утворює відносно множення матриць групу, яку позначають і називають повною лінійною групою.
Множина квадратних матриць є некомутативним кільцем.
Нулем є матриця, що складається зі всіх нулів. Одиницею – одинична матриця, в якої всі елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, а інші елементи - нулю.
Лінійним оператором (лінійним перетворенням) у векторному просторі називається відображення векторного простору в себе таке, що виконані наступні умови (умови лінійності):
1) ;
1) .
При фіксованому базисі кожному лінійному оператору простору відповідає певна матриця -го порядку – матриця цього лінійного оператора. Справедливе і обернене: кожна матриця = -го порядку є матрицею певного лінійного оператора простору в базисі .
У координатному вигляді дія лінійного оператора на вектор зводиться до множення матриці лінійного оператора на координатний стовпець вектора :
.
Нехай – оборотна матриця. Матрицею зворотною до називається матриця, для якої виконуються умови .
Підстановочні матриці. Визначник матриці над .
Нехай – скінченна множина з елементів.
Підстановкою порядку на множині з елементів називається взаємно однозначне відображення множини на себе.
Нехай впорядкована, тоді їй відповідає послідовність номерів . Після застосування підстановки порядок елементів зміниться і прийме вигляд .
Підстановку можна представити у вигляді дворядного запису: . Очевидно, обернене перетворення має вигляд .
Підстановки утворюють групу відносно операції композиції, яка позначається Порядок групи підстановок дорівнює .
Кожну підстановку можна представити у вигляді добутку деяких спеціальних підстановок, як називаються циклами, причому цикли попарно незалежні. Останнє означає, що підстановки і , при, діють на підмножинах підстановки, що не перерізаються, якщо не брати до уваги елементи, що залишаються нерухомими.
Нехай и - підстановка степеня , причому I . Підстановка називається к-членним циклом, якщо вона не переміщає елементів, а її дію на ті елементи, що залишилися, можна представити у вигляді циклічної діаграми переходів: . У цій діаграмі допускається лише один перехід від елементу з більшим індексом до елементу з меншим індексом, а саме: .
Наприклад, в тричленному циклі п'ятого степеня елементи 4 і 5 нерухомі, а елементи 1,2,3 утворюють цикл, причому, , .
Циклічна діаграма переходів може бути виписана, починаючи з будь-якого свого елементу. Цикл записують у вигляді, аналогічному діаграмі переходів: . Одиничну підстановку розглядають як добуток одночленних циклів вигляду .
Для запису підстановки у вигляді добутку незалежних циклів достатньо виписати всі різні діаграми переходів. Наприклад, підстановка може бути представлена як . Одночленні цикли при записі часто опускаються.
Запис підстановки у вигляді добутку незалежних циклів називається цикловим записом.
Найбільш простим циклом, очевидно, є підстановка, яка переставляє місцями лише два елементи. Такий цикл довжини 2 називається транспозицією. Транспозиції не обов'язково є незалежними циклами.
Підстановка називається регулярною, якщо її циклічний запис складається з циклів рівної довжини.
Підстановка називається повноцикловою, якщо її цикловий запис складається з одного циклу.
У загальному випадку визначник матриці порядку над полем виражається як знакозмінна сума всіх членів визначника, відповідних підстановкам групи : .
Нехай – підстановка з , – будь-який її розклад в добуток транспозицій. Тоді число , яке називається знаком (або сигнатурою, або парністю ) повністю визначається підстановкою і не залежить від способу розкладу в добуток транспозицій.
Існує ізоморфне відображення , таке, що матриця , має детермінант .
Матриця вигляду , , називається матрицею підстановки, або підстановочною матрицею.
В підстановочної матриці порядку , елементи з індексами дорівнюють одиниці, а інші елементи дорівнюють нулю. Наприклад, для підстановки , отримаємо .
Очевидно, , тобто матриця реалізує задану підстановку. Виходячи з означення підстановки, підстановочні матриці оборотні. Якщо матриця - підстановочна, то .
Критерій оборотності матриці формулюється за допомогою поняття визначника (детермінанта). Детермінант матриці над полем є елементом поля . Він є функцією всіх елементів матриці і позначається через або .
Матриця є оборотною тоді і лише тоді, коли .
Розглянемо випадок, коли матриця порядку визначена над полем .
Розглянемо все підстановочних матриць порядку . Уявимо собі, що кожна з них записана у вигляді таблиці на окремому аркуші паперу в клітку. Виріжемо в кожній таблиці віконця в тих клітках, де елементи відповідної матриці дорівнюють одиниці. Отримаємо, таким чином, сукупність підстановок у вигляді трафаретів. Накладемо кожен трафарет на матрицю і перемножимо всі елементи матриці , що з'явилися у віконцях. Результат назвемо членом визначника матриці, відповідним підстановці . Знайдемо суму над полем всіх членів визначника. Результат назвемо визначником матриці над полем .
Анулюючий і мінімальний многочлен матриці над полем
Многочленом від матриці над полем називається результат послідовності операцій, записаної у формі многочлена з коефіцієнтами з поля , при .
Анулюючим многочленом матриці називається многочлен, такий, що .
Мінімальним многочленом матриці над полем називається нормований многочлен найменшого степеня, для якого .
Мінімальний многочлен матриці ділить будь-який анулюючий многочлен тієї ж матриці.
Степінь мінімального многочлена матриці не перевершує її порядку.
Розглянемо послідовність ,,, -вимірних векторів.
На кожному кроці перевірятимемо (наприклад, за допомогою схеми Гаусса розв’язування систем лінійних рівнянь) чи є система отриманих векторів залежною, або ні. На деякому кроці , вектори вперше виявляться лінійно залежними, тобто при відповідних коефіцієнтах виконається співвідношення .
Многочлен називається мінімальним многочленом вектора відносно матриці . Мінімальний многочлен єдиний.
Мінімальний многочлен суми векторів є найменшим спільним кратним мінімальних многочленів векторів-доданків.
Мінімальний многочлен вектора відносно матриці ділить мінімальний многочлен матриці .
Нехай – квадратна матриця над скінченним полем і . Послідовність ,,, є періодичною. Довжина періоду залежить від властивостей мінімального многочлена вектора відносно матриці .
Очевидно, найменше спільне кратне мінімальних многочленів базисних векторів відносно матриці є мінімальним многочленом цієї матриці.
Можна розглядати матриці, елементами яких є функції, скажімо, від змінної . В цьому випадку визначник матриці також є функцією від .
Многочлен називається характеристичним многочленом матриці .
Теорема Гамильтона-Кели. Кожна матриця є коренем свого характеристичного многочлена.
Наслідок. Характеристичний многочлен матриці ділиться на її мінімальний многочлен.
Порядок виконання роботи
1. Вивчіть короткі теоретичні відомості про лінійні перетворення і підстановки.
2. Знайдіть добуток матриць вигляду над полями Q, , , , .
|
№ |
a |
b |
c |
d |
e |
№ |
a |
b |
c |
d |
e |
№ |
a |
b |
c |
d |
e |
|
1 |
1 |
5 |
3 |
2 |
0 |
6 |
3 |
4 |
0 |
5 |
2 |
11 |
1 |
4 |
3 |
4 |
3 |
|
2 |
3 |
5 |
4 |
7 |
2 |
7 |
2 |
0 |
5 |
3 |
5 |
12 |
2 |
3 |
5 |
3 |
1 |
|
3 |
2 |
3 |
1 |
5 |
4 |
8 |
3 |
6 |
0 |
1 |
2 |
13 |
4 |
2 |
1 |
6 |
4 |
|
4 |
1 |
4 |
6 |
0 |
2 |
9 |
3 |
5 |
4 |
3 |
0 |
14 |
3 |
6 |
1 |
1 |
3 |
|
5 |
6 |
3 |
9 |
8 |
2 |
10 |
7 |
1 |
1 |
4 |
2 |
15 |
5 |
1 |
8 |
2 |
5 |
|
№ |
a |
b |
c |
d |
e |
№ |
a |
b |
c |
d |
e |
|
16 |
3 |
0 |
6 |
3 |
2 |
21 |
1 |
6 |
2 |
0 |
5 |
|
17 |
2 |
1 |
3 |
5 |
2 |
22 |
3 |
2 |
5 |
1 |
4 |
|
18 |
3 |
2 |
7 |
4 |
3 |
23 |
4 |
7 |
0 |
2 |
1 |
|
19 |
3 |
1 |
5 |
1 |
3 |
24 |
5 |
0 |
3 |
1 |
2 |
|
20 |
0 |
2 |
7 |
3 |
1 |
25 |
1 |
8 |
3 |
2 |
0 |
3. Для підстановки
а) Знайдіть розклад в добуток циклів.
б) Запишіть відповідну матрицю.
|
№ |
a |
b |
c |
d |
e |
f |
g |
№ |
a |
b |
c |
d |
e |
f |
g |
№ |
a |
b |
c |
d |
e |
f |
g |
|
1 |
2 |
1 |
6 |
5 |
7 |
3 |
4 |
6 |
2 |
5 |
1 |
6 |
4 |
7 |
3 |
11 |
7 |
3 |
4 |
5 |
2 |
6 |
1 |
|
2 |
5 |
7 |
4 |
2 |
3 |
1 |
6 |
7 |
1 |
7 |
6 |
2 |
5 |
4 |
3 |
12 |
1 |
6 |
7 |
4 |
3 |
2 |
5 |
|
3 |
1 |
6 |
7 |
3 |
4 |
5 |
2 |
8 |
1 |
4 |
3 |
7 |
5 |
6 |
2 |
13 |
2 |
5 |
6 |
7 |
1 |
4 |
3 |
|
4 |
5 |
2 |
1 |
6 |
7 |
3 |
4 |
9 |
4 |
1 |
7 |
2 |
6 |
5 |
3 |
14 |
5 |
2 |
7 |
3 |
4 |
1 |
6 |
|
5 |
6 |
5 |
7 |
4 |
2 |
3 |
1 |
10 |
5 |
7 |
4 |
1 |
2 |
6 |
3 |
15 |
3 |
2 |
1 |
7 |
5 |
6 |
4 |
|
№ |
a |
b |
c |
d |
e |
f |
g |
№ |
a |
b |
c |
d |
e |
f |
g |
|
16 |
2 |
1 |
3 |
7 |
5 |
6 |
4 |
21 |
7 |
1 |
5 |
4 |
2 |
3 |
6 |
|
17 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
22 |
5 |
2 |
4 |
7 |
6 |
1 |
3 |
|
18 |
1 |
2 |
6 |
4 |
3 |
7 |
5 |
23 |
3 |
5 |
1 |
6 |
4 |
7 |
2 |
|
19 |
3 |
5 |
4 |
1 |
2 |
6 |
7 |
24 |
1 |
5 |
3 |
2 |
7 |
6 |
4 |
|
20 |
5 |
7 |
3 |
2 |
1 |
6 |
4 |
25 |
2 |
4 |
7 |
1 |
3 |
6 |
5 |
4. Обчисліть характеристичний многочлен для матриці над полями Q, , . (a,b,c,d,e,f – з п. 2)
5. Побудуйте мінімальний многочлен вектора відносно матриці над полем .
1) , . 2) , .
|
№ |
a |
b |
c |
d |
e |
f |
g |
h |
i |
№ |
a |
b |
c |
d |
e |
f |
g |
h |
i |
|
1 |
1 |
1 |
3 |
2 |
0 |
3 |
4 |
0 |
3 |
6 |
1 |
4 |
3 |
4 |
3 |
3 |
0 |
6 |
3 |
|
2 |
3 |
5 |
4 |
7 |
2 |
2 |
2 |
5 |
0 |
7 |
2 |
3 |
3 |
3 |
2 |
2 |
1 |
3 |
5 |
|
3 |
3 |
2 |
1 |
5 |
3 |
4 |
1 |
0 |
0 |
8 |
4 |
2 |
1 |
6 |
4 |
3 |
1 |
7 |
4 |
|
4 |
1 |
1 |
2 |
7 |
0 |
4 |
5 |
3 |
3 |
9 |
3 |
6 |
1 |
1 |
3 |
3 |
1 |
2 |
1 |
|
5 |
6 |
3 |
9 |
8 |
2 |
1 |
0 |
1 |
0 |
10 |
5 |
1 |
8 |
2 |
5 |
0 |
2 |
2 |
0 |
|
№ |
a |
b |
c |
d |
e |
f |
g |
h |
i |
№ |
a |
b |
c |
d |
e |
f |
g |
h |
i |
|
11 |
3 |
1 |
1 |
1 |
9 |
8 |
2 |
9 |
2 |
16 |
7 |
2 |
0 |
1 |
3 |
0 |
1 |
1 |
5 |
|
12 |
3 |
0 |
0 |
1 |
2 |
3 |
1 |
5 |
4 |
17 |
1 |
6 |
4 |
3 |
7 |
2 |
2 |
2 |
5 |
|
13 |
0 |
4 |
1 |
1 |
3 |
5 |
6 |
0 |
1 |
18 |
2 |
1 |
1 |
0 |
3 |
3 |
4 |
4 |
0 |
|
14 |
3 |
3 |
3 |
2 |
2 |
1 |
1 |
0 |
4 |
19 |
1 |
3 |
4 |
1 |
2 |
0 |
0 |
4 |
1 |
|
15 |
1 |
0 |
1 |
5 |
3 |
4 |
2 |
2 |
1 |
20 |
3 |
5 |
1 |
8 |
9 |
1 |
1 |
0 |
2 |
|
№ |
a |
b |
c |
d |
e |
f |
g |
h |
i |
|
21 |
1 |
2 |
2 |
1 |
6 |
3 |
1 |
5 |
4 |
|
22 |
2 |
5 |
0 |
3 |
2 |
2 |
4 |
7 |
1 |
|
23 |
6 |
4 |
3 |
1 |
7 |
5 |
0 |
3 |
1 |
|
24 |
1 |
2 |
7 |
3 |
0 |
1 |
2 |
8 |
0 |
|
25 |
1 |
5 |
4 |
0 |
3 |
2 |
4 |
1 |
2 |
6. Складіть звіт, приєднавши отримані результати.
Вимоги до звіту.
У звіті мають бути приведені:
- Вихідні дані (варіанти завдань);
- Результати і проміжні дані перетворень.
- Відповіді на контрольні питання.
Контрольні питання
1. Що називається векторним простором?
2. Яка система векторів називається лінійно незалежною?
3. У якому випадку система векторів утворює базис простору?
4. Що називається лінійним перетворенням простору?
5. Що є дією лінійного оператора на вектор?
6. Що таке підстановка?
7. Яка матриця називається підстановочною?
8. Який многочлен називається характеристичним многочленом матриці ; мінімальним многочленом матриці ; мінімальним многочленом вектора відносно матриці ?
А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать | |||
| 3389. | Проектирование редуктора и выбор типа зубчатых колес | 353 KB | |
| Целью курсовой работы является получение навыков самостоятельного применения теоретических знаний для решения практических задач, связанных с техническим моделированием и созданием несложных технических устройств практического назначения. В... | |||
| 3390. | Контрольный тест по дисциплине Социология | 133.5 KB | |
| Контрольный тест по дисциплине «Социология» для студентов дистанционного обучения Предлагаемый тест предназначен для контроля знаний, полученных студентами дистанционной формы обучения в процессе освоения курса общей социологии. Тест разработан в со... | |||
| 3391. | Жилищное строительство жилого здания | 47 KB | |
| Введение Жилищное строительство в настоящее время характеризуется повышением стандарта жилища, переходом на новые улучшенные серии жилых домов с прогрессивными конструкциями. Данный курсовой проект «Жилое здание» выполнен в соответствии с задание на... | |||
| 3392. | Проектированию несложного гражданского малоэтажного здания | 90.5 KB | |
| Введение Цель данной курсовой работы – обучение самостоятельному проектированию несложного гражданского здания с учётом основных факторов, влияющих на проектное решение. Выполнение курсовой работы позволяет систематизировать, закрепить и р... | |||
| 3393. | База данных Аэропорт | 596 KB | |
| Введение Программное обеспечение для работы с базами данных используется на персональных компьютерах уже довольно давно. К сожалению, эти программы либо были элементарными диспетчерами хранения данных и не имели средств разработки прил... | |||
| 3394. | РЕЖИМЫ РАБОТЫ ОСНОВНОГО ОБОРУДОВАНИЯ ЭЛЕКТРОСТАНЦИЙ | 3.69 MB | |
| Настоящее учебное пособие предназначено для студентов, изучающих курсы "Режимы работы основного оборудования" электрический станций и выполняющие дипломные, курсовые и УИР, связанные с вопросами использования оборудования ТЭС в переменных режимах работы... | |||
| 3395. | Особенности русской философии | 46.05 KB | |
| Введение Главная задача философии заключается в том, чтобы разработать теорию о мире как едином целом, которая бы опиралась на все многообразие опыта. Философия порой понимается... | |||
| 3396. | ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА РАЗБОРКИ | 290 KB | |
| ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА РАЗБОРКИ При выполнении лабораторной работы студенты изучают устройство машины или узла. Определяют основные движения в машине и оценивают наиболее изнашиваемые детали. Приобретают навыки составления технологич... | |||
| 3397. | Особенности построения и функционирования финансовой системы государства | 442 KB | |
| Введение Финансовая система государства является одним из составных элементов микросистем, и ее существование объективно обусловлено наличием товарно-денежных отношений. Если рассматривать ее в широком смысле слова, то она включает в себя и денежно-... | |||
