67803
ПІДСТАНОВКИ І ЛІНІЙНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ
Лабораторная работа
Математика и математический анализ
Мета роботи – вивчити основні властивості лінійних перетворень і підстановочних матриць, необхідні для математичного опису регістрів зсуву з лінійним зворотним зв’язком. Короткі теоретичні відомості. Векторні простори. Нехай – непорожня множина елементів будь-якої природи, які позначатимемо і нехай – деяке поле...
Украинкский
2014-09-15
554 KB
1 чел.
PAGE \* MERGEFORMAT 7
Лабораторна робота № 2
ТЕМА: ПІДСТАНОВКИ І ЛІНІЙНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ
Мета роботи вивчити основні властивості лінійних перетворень і підстановочних матриць, необхідні для математичного опису регістрів зсуву з лінійним зворотним зв'язком.
Короткі теоретичні відомості.
Векторні простори.
Нехай непорожня множина елементів будь-якої природи, які позначатимемо і нехай деяке поле, елементи якого позначатимемо . Визначимо в множині операцію додавання елементів: і операцію множення елементу на число з поля : .
Множина називається векторним (лінійним) простором, якщо в визначені алгебраїчна операція додавання і операція множення на числа з поля , причому виконані наступні умови (аксіоми векторного простору):
1. асоціативність додавання;
2. комутативність додавання;
3. : існування нульового елементу;
4. : існування протилежного елементу;
5. асоціативність множення на число;
6. .
7. дистрибутивність відносно додавання чисел ;
8. дистрибутивність відносно додавання елементів;
Елементи векторного простору називаються векторами, елемент називається нульовим вектором..
Лінійною комбінацією векторів векторного простору з коефіцієнтами з поля називається вектор .
Система векторів векторного простору називається лінійно незалежною, якщо рівність можлива в тому і лише тому випадку, коли .
Впорядкована система векторів векторного простору називається базисом векторного простору, якщо
1) вона лінійно незалежна;
2) кожен вектор простору лінійно виражається через вектори цієї системи, тобто .
Отже, базис це максимальна система лінійно незалежних векторів.
Векторний простір називається скінченновимірним, якщо в ньому існує базис, який складається з скінченного числа векторів.
Розглянемо множину, елементами якої є впорядковані послідовності елементів поля . Відносно покомпонентного додавання і покомпонентного множення на елемент поля , побудована множина є векторним простором над і позначається . Очевидно, система , де , а одиниця знаходиться на -му місці, є базисом. Можна показати, що всі належні базиси складаються з одного і того ж числа елементів.
Будь-який скінченновимірний лінійний простір над полем ізоморфний при деякому .
Число векторів в базисі називається розмірністю векторного простору . Розмірність простору позначається . Якщо , то векторний простір називається -вимірним.
Лінійні перетворення і матриці над полем
Нехай поле.
Означення. Матрицею розмірності над полем називається множина елементів з , пронумерована впорядкованими парами чисел , де, . Записують , , .
Якщо матриця називається квадратною порядку .
Множина всіх квадратних матриць порядку з дійсними елементами і з відмінними від нуля детерминантами утворює відносно множення матриць групу, яку позначають і називають повною лінійною групою.
Множина квадратних матриць є некомутативним кільцем.
Нулем є матриця, що складається зі всіх нулів. Одиницею одинична матриця, в якої всі елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, а інші елементи - нулю.
Лінійним оператором (лінійним перетворенням) у векторному просторі називається відображення векторного простору в себе таке, що виконані наступні умови (умови лінійності):
1) ;
1) .
При фіксованому базисі кожному лінійному оператору простору відповідає певна матриця -го порядку матриця цього лінійного оператора. Справедливе і обернене: кожна матриця = -го порядку є матрицею певного лінійного оператора простору в базисі .
У координатному вигляді дія лінійного оператора на вектор зводиться до множення матриці лінійного оператора на координатний стовпець вектора :
.
Нехай оборотна матриця. Матрицею зворотною до називається матриця, для якої виконуються умови .
Підстановочні матриці. Визначник матриці над .
Нехай скінченна множина з елементів.
Підстановкою порядку на множині з елементів називається взаємно однозначне відображення множини на себе.
Нехай впорядкована, тоді їй відповідає послідовність номерів . Після застосування підстановки порядок елементів зміниться і прийме вигляд .
Підстановку можна представити у вигляді дворядного запису: . Очевидно, обернене перетворення має вигляд .
Підстановки утворюють групу відносно операції композиції, яка позначається Порядок групи підстановок дорівнює .
Кожну підстановку можна представити у вигляді добутку деяких спеціальних підстановок, як називаються циклами, причому цикли попарно незалежні. Останнє означає, що підстановки і , при, діють на підмножинах підстановки, що не перерізаються, якщо не брати до уваги елементи, що залишаються нерухомими.
Нехай и - підстановка степеня , причому I . Підстановка називається к-членним циклом, якщо вона не переміщає елементів, а її дію на ті елементи, що залишилися, можна представити у вигляді циклічної діаграми переходів: . У цій діаграмі допускається лише один перехід від елементу з більшим індексом до елементу з меншим індексом, а саме: .
Наприклад, в тричленному циклі п'ятого степеня елементи 4 і 5 нерухомі, а елементи 1,2,3 утворюють цикл, причому, , .
Циклічна діаграма переходів може бути виписана, починаючи з будь-якого свого елементу. Цикл записують у вигляді, аналогічному діаграмі переходів: . Одиничну підстановку розглядають як добуток одночленних циклів вигляду .
Для запису підстановки у вигляді добутку незалежних циклів достатньо виписати всі різні діаграми переходів. Наприклад, підстановка може бути представлена як . Одночленні цикли при записі часто опускаються.
Запис підстановки у вигляді добутку незалежних циклів називається цикловим записом.
Найбільш простим циклом, очевидно, є підстановка, яка переставляє місцями лише два елементи. Такий цикл довжини 2 називається транспозицією. Транспозиції не обов'язково є незалежними циклами.
Підстановка називається регулярною, якщо її циклічний запис складається з циклів рівної довжини.
Підстановка називається повноцикловою, якщо її цикловий запис складається з одного циклу.
У загальному випадку визначник матриці порядку над полем виражається як знакозмінна сума всіх членів визначника, відповідних підстановкам групи : .
Нехай підстановка з , будь-який її розклад в добуток транспозицій. Тоді число , яке називається знаком (або сигнатурою, або парністю ) повністю визначається підстановкою і не залежить від способу розкладу в добуток транспозицій.
Існує ізоморфне відображення , таке, що матриця , має детермінант .
Матриця вигляду , , називається матрицею підстановки, або підстановочною матрицею.
В підстановочної матриці порядку , елементи з індексами дорівнюють одиниці, а інші елементи дорівнюють нулю. Наприклад, для підстановки , отримаємо .
Очевидно, , тобто матриця реалізує задану підстановку. Виходячи з означення підстановки, підстановочні матриці оборотні. Якщо матриця - підстановочна, то .
Критерій оборотності матриці формулюється за допомогою поняття визначника (детермінанта). Детермінант матриці над полем є елементом поля . Він є функцією всіх елементів матриці і позначається через або .
Матриця є оборотною тоді і лише тоді, коли .
Розглянемо випадок, коли матриця порядку визначена над полем .
Розглянемо все підстановочних матриць порядку . Уявимо собі, що кожна з них записана у вигляді таблиці на окремому аркуші паперу в клітку. Виріжемо в кожній таблиці віконця в тих клітках, де елементи відповідної матриці дорівнюють одиниці. Отримаємо, таким чином, сукупність підстановок у вигляді трафаретів. Накладемо кожен трафарет на матрицю і перемножимо всі елементи матриці , що з'явилися у віконцях. Результат назвемо членом визначника матриці, відповідним підстановці . Знайдемо суму над полем всіх членів визначника. Результат назвемо визначником матриці над полем .
Анулюючий і мінімальний многочлен матриці над полем
Многочленом від матриці над полем називається результат послідовності операцій, записаної у формі многочлена з коефіцієнтами з поля , при .
Анулюючим многочленом матриці називається многочлен, такий, що .
Мінімальним многочленом матриці над полем називається нормований многочлен найменшого степеня, для якого .
Мінімальний многочлен матриці ділить будь-який анулюючий многочлен тієї ж матриці.
Степінь мінімального многочлена матриці не перевершує її порядку.
Розглянемо послідовність ,,, -вимірних векторів.
На кожному кроці перевірятимемо (наприклад, за допомогою схеми Гаусса розвязування систем лінійних рівнянь) чи є система отриманих векторів залежною, або ні. На деякому кроці , вектори вперше виявляться лінійно залежними, тобто при відповідних коефіцієнтах виконається співвідношення .
Многочлен називається мінімальним многочленом вектора відносно матриці . Мінімальний многочлен єдиний.
Мінімальний многочлен суми векторів є найменшим спільним кратним мінімальних многочленів векторів-доданків.
Мінімальний многочлен вектора відносно матриці ділить мінімальний многочлен матриці .
Нехай квадратна матриця над скінченним полем і . Послідовність ,,, є періодичною. Довжина періоду залежить від властивостей мінімального многочлена вектора відносно матриці .
Очевидно, найменше спільне кратне мінімальних многочленів базисних векторів відносно матриці є мінімальним многочленом цієї матриці.
Можна розглядати матриці, елементами яких є функції, скажімо, від змінної . В цьому випадку визначник матриці також є функцією від .
Многочлен називається характеристичним многочленом матриці .
Теорема Гамильтона-Кели. Кожна матриця є коренем свого характеристичного многочлена.
Наслідок. Характеристичний многочлен матриці ділиться на її мінімальний многочлен.
1. Вивчіть короткі теоретичні відомості про лінійні перетворення і підстановки.
2. Знайдіть добуток матриць вигляду над полями Q, , , , .
№ |
a |
b |
c |
d |
e |
№ |
a |
b |
c |
d |
e |
№ |
a |
b |
c |
d |
e |
1 |
1 |
5 |
3 |
2 |
0 |
6 |
3 |
4 |
0 |
5 |
2 |
11 |
1 |
4 |
3 |
4 |
3 |
2 |
3 |
5 |
4 |
7 |
2 |
7 |
2 |
0 |
5 |
3 |
5 |
12 |
2 |
3 |
5 |
3 |
1 |
3 |
2 |
3 |
1 |
5 |
4 |
8 |
3 |
6 |
0 |
1 |
2 |
13 |
4 |
2 |
1 |
6 |
4 |
4 |
1 |
4 |
6 |
0 |
2 |
9 |
3 |
5 |
4 |
3 |
0 |
14 |
3 |
6 |
1 |
1 |
3 |
5 |
6 |
3 |
9 |
8 |
2 |
10 |
7 |
1 |
1 |
4 |
2 |
15 |
5 |
1 |
8 |
2 |
5 |
№ |
a |
b |
c |
d |
e |
№ |
a |
b |
c |
d |
e |
16 |
3 |
0 |
6 |
3 |
2 |
21 |
1 |
6 |
2 |
0 |
5 |
17 |
2 |
1 |
3 |
5 |
2 |
22 |
3 |
2 |
5 |
1 |
4 |
18 |
3 |
2 |
7 |
4 |
3 |
23 |
4 |
7 |
0 |
2 |
1 |
19 |
3 |
1 |
5 |
1 |
3 |
24 |
5 |
0 |
3 |
1 |
2 |
20 |
0 |
2 |
7 |
3 |
1 |
25 |
1 |
8 |
3 |
2 |
0 |
3. Для підстановки
а) Знайдіть розклад в добуток циклів.
б) Запишіть відповідну матрицю.
№ |
a |
b |
c |
d |
e |
f |
g |
№ |
a |
b |
c |
d |
e |
f |
g |
№ |
a |
b |
c |
d |
e |
f |
g |
1 |
2 |
1 |
6 |
5 |
7 |
3 |
4 |
6 |
2 |
5 |
1 |
6 |
4 |
7 |
3 |
11 |
7 |
3 |
4 |
5 |
2 |
6 |
1 |
2 |
5 |
7 |
4 |
2 |
3 |
1 |
6 |
7 |
1 |
7 |
6 |
2 |
5 |
4 |
3 |
12 |
1 |
6 |
7 |
4 |
3 |
2 |
5 |
3 |
1 |
6 |
7 |
3 |
4 |
5 |
2 |
8 |
1 |
4 |
3 |
7 |
5 |
6 |
2 |
13 |
2 |
5 |
6 |
7 |
1 |
4 |
3 |
4 |
5 |
2 |
1 |
6 |
7 |
3 |
4 |
9 |
4 |
1 |
7 |
2 |
6 |
5 |
3 |
14 |
5 |
2 |
7 |
3 |
4 |
1 |
6 |
5 |
6 |
5 |
7 |
4 |
2 |
3 |
1 |
10 |
5 |
7 |
4 |
1 |
2 |
6 |
3 |
15 |
3 |
2 |
1 |
7 |
5 |
6 |
4 |
№ |
a |
b |
c |
d |
e |
f |
g |
№ |
a |
b |
c |
d |
e |
f |
g |
16 |
2 |
1 |
3 |
7 |
5 |
6 |
4 |
21 |
7 |
1 |
5 |
4 |
2 |
3 |
6 |
17 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
22 |
5 |
2 |
4 |
7 |
6 |
1 |
3 |
18 |
1 |
2 |
6 |
4 |
3 |
7 |
5 |
23 |
3 |
5 |
1 |
6 |
4 |
7 |
2 |
19 |
3 |
5 |
4 |
1 |
2 |
6 |
7 |
24 |
1 |
5 |
3 |
2 |
7 |
6 |
4 |
20 |
5 |
7 |
3 |
2 |
1 |
6 |
4 |
25 |
2 |
4 |
7 |
1 |
3 |
6 |
5 |
4. Обчисліть характеристичний многочлен для матриці над полями Q, , . (a,b,c,d,e,f з п. 2)
5. Побудуйте мінімальний многочлен вектора відносно матриці над полем .
1) , . 2) , .
№ |
a |
b |
c |
d |
e |
f |
g |
h |
i |
№ |
a |
b |
c |
d |
e |
f |
g |
h |
i |
1 |
1 |
1 |
3 |
2 |
0 |
3 |
4 |
0 |
3 |
6 |
1 |
4 |
3 |
4 |
3 |
3 |
0 |
6 |
3 |
2 |
3 |
5 |
4 |
7 |
2 |
2 |
2 |
5 |
0 |
7 |
2 |
3 |
3 |
3 |
2 |
2 |
1 |
3 |
5 |
3 |
3 |
2 |
1 |
5 |
3 |
4 |
1 |
0 |
0 |
8 |
4 |
2 |
1 |
6 |
4 |
3 |
1 |
7 |
4 |
4 |
1 |
1 |
2 |
7 |
0 |
4 |
5 |
3 |
3 |
9 |
3 |
6 |
1 |
1 |
3 |
3 |
1 |
2 |
1 |
5 |
6 |
3 |
9 |
8 |
2 |
1 |
0 |
1 |
0 |
10 |
5 |
1 |
8 |
2 |
5 |
0 |
2 |
2 |
0 |
№ |
a |
b |
c |
d |
e |
f |
g |
h |
i |
№ |
a |
b |
c |
d |
e |
f |
g |
h |
i |
11 |
3 |
1 |
1 |
1 |
9 |
8 |
2 |
9 |
2 |
16 |
7 |
2 |
0 |
1 |
3 |
0 |
1 |
1 |
5 |
12 |
3 |
0 |
0 |
1 |
2 |
3 |
1 |
5 |
4 |
17 |
1 |
6 |
4 |
3 |
7 |
2 |
2 |
2 |
5 |
13 |
0 |
4 |
1 |
1 |
3 |
5 |
6 |
0 |
1 |
18 |
2 |
1 |
1 |
0 |
3 |
3 |
4 |
4 |
0 |
14 |
3 |
3 |
3 |
2 |
2 |
1 |
1 |
0 |
4 |
19 |
1 |
3 |
4 |
1 |
2 |
0 |
0 |
4 |
1 |
15 |
1 |
0 |
1 |
5 |
3 |
4 |
2 |
2 |
1 |
20 |
3 |
5 |
1 |
8 |
9 |
1 |
1 |
0 |
2 |
№ |
a |
b |
c |
d |
e |
f |
g |
h |
i |
21 |
1 |
2 |
2 |
1 |
6 |
3 |
1 |
5 |
4 |
22 |
2 |
5 |
0 |
3 |
2 |
2 |
4 |
7 |
1 |
23 |
6 |
4 |
3 |
1 |
7 |
5 |
0 |
3 |
1 |
24 |
1 |
2 |
7 |
3 |
0 |
1 |
2 |
8 |
0 |
25 |
1 |
5 |
4 |
0 |
3 |
2 |
4 |
1 |
2 |
6. Складіть звіт, приєднавши отримані результати.
Вимоги до звіту.
У звіті мають бути приведені:
Контрольні питання
1. Що називається векторним простором?
2. Яка система векторів називається лінійно незалежною?
3. У якому випадку система векторів утворює базис простору?
4. Що називається лінійним перетворенням простору?
5. Що є дією лінійного оператора на вектор?
6. Що таке підстановка?
7. Яка матриця називається підстановочною?
8. Який многочлен називається характеристичним многочленом матриці ; мінімальним многочленом матриці ; мінімальним многочленом вектора відносно матриці ?
А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать | |||
34173. | Агропромышленный комплекс: структура и функции | 15.02 KB | |
На основе такого взаимодействия сформировалась особая сфера экономики которая получила название агропромышленного комплекса АПК АПК это функциональная многоотраслевая подсистема выражающая взаимосвязь взаимодействие сельского хозяйства и сопряженных с ним отраслей экономики по производству сельскохозяйственной техники сельскохозяйственной продукции ее переработке и реализации. Формирование АПК связано с переходом сельского хозяйства к машинной стадии производства которая значительно углубила и расширила технологические и... | |||
34174. | Функции и формы торгово-посреднической деятельности | 19.19 KB | |
Торговопосреднические операции могут включать маркетинг проведение переговоров и заключение договоров кредитование оборотного капитала клиента предоставление гарантий и страхование транспортировку выполнение таможенных формальностей послепродажное обслуживание а также некоторые операции связанные с доработкой расфасовкой упаковкой и тому подобные Торговопосреднические операции могут осуществляться за свой счет и за счет клиента от своего или от его имени. Виды торговопосреднических операций В зависимости от характера... | |||
34175. | Товарная биржа. Механизм биржевой торговли | 16.58 KB | |
Механизм биржевой торговли Для понимания механизма биржевой торговли важно различать рыночные заказы на покупку или продажу ценных бумаг и лимитзаказы. Рыночный заказ означает что клиент поручил брокеру взять цену с рынка. Лимитзаказ так называется потому что клиент устанавливает ценовой лимит который брокер обязан соблюдать. Лимитзаказ на покупку содержит максимальную цену сделки а лимитзаказ на продажу минимальную. | |||
34176. | Системы денежного обращения. Денежные агрегаты | 16.42 KB | |
Важнейшими элементами денежной системы являются: денежная единица это установленный в законодательном порядке денежный знак который служит для соизмерения и выражения цен всех товаров; масштаб цен весовое количество денежного металла принятое в стране в качестве денежной единицы и ее составных частей; официальный масштаб цен утратил свой смысл в связи с особенностями экономического развития отдельных стран и прекращением размена кредитных денег на золото; система эмиссии денег учреждения выпускающие деньги и ценные бумаги;... | |||
34177. | Спрос, предложение и равновесие на денежном рынке | 19.95 KB | |
Закон спроса гласит: при прочих равных условиях спрос на товары в количественном выражении изменяется в обратной зависимости от цены. На изменение спроса влияют неценовые факторы: 1 число покупателей; 2 изменение в денежных доходах населения. Эластичность спроса степень чувствительности спроса к изменению цены товара. Например если доходы в экономике возрастут то это приведет к росту спроса на деньги а следовательно к увеличению процентной ставки в этом случае будет увеличиваться альтернативная стоимость хранения денег и снижаться... | |||
34178. | Ссудный капитал и кредит | 18.86 KB | |
Ссудный капитал и кредит. Формой движения ссудного капитала является кредит. Ссуды бывают следующих видов: ü безвозвратная; ü возвратная беспроцентная; ü возвратная процентная кредит. Источником процента является доход полученный от использования кредита. | |||
34179. | Банковская система: функции и структура | 30.8 KB | |
В банковскую систему входят специализированные организации обеспечивающие деятельность банков и кредитных учреждений расчетнокассовые и клиринговые центры фирмы по аудиту банков дилерские фирмы по работе с ценными бумагами банков организаций обеспечивающие банки оборудованием информацией кадрами. Сложившаяся банковская система имеет двухуровневую структуру: 1 верхний уровень Центральный банк ЦБ; 2 нижний уровень коммерческие банки и кредитнофинан совые организации . По функциональному назначению и характеру осуществляемых... | |||
34180. | Денежно-кредитная система и производство | 14.2 KB | |
Денежнокредитная система и производство В современной кредитной системе выделяются три основных звена: центральный банк; коммерческие банки; специализированные кредитнофинансовые институты. Коммерческие банки представляют собой главные нервные центры кредитной системы. Кроме того банки могут заниматься посредническими операциями управление имуществом ценными бумагами. Особое место в современной рыночной экономике занимают специализированные кредитнофинансовые институты такие как пенсионный фонд страховые компании инвестиционные и... | |||
34181. | Рынок ценных бумаг: содержание, структура, участники | 15.25 KB | |
Рынок ценных бумаг: содержание структура участники. Рынок ценных бумаг как и любой другой рынок представляет собой сложную организационноправовую систему с определенной технологией проведения операций. Структуру рынка ценных бумаг представляют собой три основных составляющих: предмет торговли т. ценные бумаги и их производные; профессиональные участники; система регулирования рынка. | |||