67803

ПІДСТАНОВКИ І ЛІНІЙНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Мета роботи – вивчити основні властивості лінійних перетворень і підстановочних матриць, необхідні для математичного опису регістрів зсуву з лінійним зворотним зв’язком. Короткі теоретичні відомості. Векторні простори. Нехай – непорожня множина елементів будь-якої природи, які позначатимемо і нехай – деяке поле...

Украинкский

2014-09-15

554 KB

1 чел.

PAGE   \* MERGEFORMAT 7

Лабораторна робота № 2

ТЕМА: ПІДСТАНОВКИ І ЛІНІЙНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ

Мета роботи – вивчити основні властивості лінійних перетворень і підстановочних матриць, необхідні для математичного опису регістрів зсуву з лінійним зворотним зв'язком.

Короткі теоретичні відомості.

Векторні простори.

Нехай  – непорожня множина елементів будь-якої природи, які позначатимемо  і нехай  – деяке поле, елементи якого позначатимемо  . Визначимо в множині  операцію додавання елементів:  і операцію множення елементу на число з поля :   .

Множина  називається векторним (лінійним) простором, якщо в  визначені алгебраїчна операція додавання і операція множення на числа з поля , причому виконані наступні умови (аксіоми векторного простору):

1.   – асоціативність додавання;

2.   – комутативність додавання;

3.  :  – існування нульового елементу;

4.  : – існування протилежного елементу;

5.    – асоціативність множення на число;

6. .

7.    – дистрибутивність відносно додавання чисел ;

8.    – дистрибутивність відносно додавання елементів;

Елементи векторного простору називаються векторами, елемент  називається нульовим вектором..

Лінійною комбінацією векторів  векторного простору   з коефіцієнтами  з поля   називається вектор  .

Система векторів  векторного простору  називається лінійно незалежною, якщо рівність  можлива в тому і лише тому випадку, коли .

Впорядкована система векторів  векторного простору  називається базисом векторного простору, якщо

1) вона лінійно незалежна;

2) кожен вектор  простору  лінійно виражається через вектори цієї системи, тобто  . 

Отже, базис – це максимальна система лінійно незалежних векторів.

Векторний простір називається скінченновимірним, якщо в ньому існує базис, який складається з скінченного числа векторів.

Розглянемо множину, елементами якої є впорядковані послідовності  елементів поля  . Відносно покомпонентного додавання і покомпонентного множення на елемент поля , побудована множина  є векторним простором над  і позначається . Очевидно, система , де , а одиниця знаходиться на -му місці, є базисом. Можна показати, що всі належні  базиси складаються з одного і того ж числа елементів.

Будь-який скінченновимірний лінійний простір  над полем  ізоморфний   при деякому .

Число  векторів в базисі називається розмірністю векторного простору  . Розмірність простору  позначається . Якщо , то векторний простір називається  -вимірним.

Лінійні перетворення і матриці над полем

Нехай   – поле.

Означення. Матрицею розмірності  над полем  називається множина  елементів з , пронумерована впорядкованими парами чисел , де,  . Записують , , .

Якщо  матриця  називається квадратною порядку .

Множина всіх квадратних матриць порядку  з дійсними елементами і з відмінними від нуля детерминантами утворює відносно множення матриць групу, яку позначають  і називають повною лінійною групою.

Множина квадратних матриць є некомутативним кільцем.

Нулем є матриця, що складається зі всіх нулів. Одиницею – одинична матриця, в якої всі елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, а інші елементи - нулю.

Лінійним оператором (лінійним перетворенням) у векторному просторі  називається відображення векторного простору  в себе таке, що виконані наступні умови (умови лінійності):

1)  ;

1)  .

При фіксованому базисі  кожному лінійному оператору  простору  відповідає певна матриця  -го порядку – матриця цього лінійного оператора. Справедливе і обернене: кожна матриця = -го порядку є матрицею певного лінійного оператора простору  в базисі .

У координатному вигляді дія лінійного оператора   на вектор   зводиться до множення матриці лінійного оператора на координатний стовпець вектора   :

.

Нехай  – оборотна матриця. Матрицею зворотною до   називається матриця, для якої виконуються умови .

Підстановочні матриці. Визначник матриці над  .

Нехай  – скінченна множина з  елементів.

Підстановкою порядку  на множині з  елементів називається взаємно однозначне відображення множини  на себе.

Нехай  впорядкована, тоді їй відповідає послідовність номерів . Після застосування підстановки порядок елементів зміниться і прийме вигляд  .

Підстановку можна представити у вигляді дворядного запису: . Очевидно, обернене перетворення має вигляд  .

Підстановки утворюють групу відносно операції композиції, яка позначається   Порядок групи підстановок  дорівнює  .

Кожну підстановку  можна представити у вигляді добутку  деяких спеціальних підстановок, як називаються циклами, причому цикли  попарно незалежні. Останнє означає, що підстановки  і , при, діють на підмножинах підстановки, що не перерізаються, якщо не брати до уваги елементи, що залишаються нерухомими.

Нехай и - підстановка степеня , причому I . Підстановка  називається к-членним циклом, якщо вона не переміщає  елементів, а її дію на ті елементи, що залишилися,  можна представити у вигляді циклічної діаграми переходів: . У цій діаграмі допускається лише один перехід від елементу з більшим індексом до елементу з меншим індексом, а саме: .

Наприклад, в тричленному циклі п'ятого степеня  елементи 4 і 5 нерухомі, а елементи 1,2,3 утворюють цикл, причому, , .

Циклічна діаграма переходів може бути виписана, починаючи з будь-якого свого елементу. Цикл записують у вигляді, аналогічному діаграмі переходів: . Одиничну підстановку розглядають як добуток одночленних циклів вигляду .

Для запису підстановки у вигляді добутку незалежних циклів достатньо виписати всі різні діаграми переходів. Наприклад, підстановка  може бути представлена як . Одночленні цикли при записі часто опускаються.

Запис підстановки у вигляді добутку незалежних циклів називається цикловим записом.

Найбільш простим циклом, очевидно, є підстановка, яка переставляє місцями лише два елементи. Такий цикл довжини 2 називається транспозицією. Транспозиції не обов'язково є незалежними циклами.

Підстановка називається регулярною, якщо її циклічний запис складається з циклів рівної довжини.

Підстановка називається повноцикловою, якщо її цикловий запис складається з одного циклу.

У загальному випадку визначник матриці  порядку  над полем  виражається як знакозмінна сума всіх членів визначника, відповідних підстановкам групи : .

Нехай  – підстановка з ,  – будь-який її розклад в добуток транспозицій. Тоді число , яке називається знаком (або сигнатурою, або парністю ) повністю визначається підстановкою  і не залежить від способу розкладу  в добуток транспозицій.

Існує ізоморфне відображення , таке, що матриця ,  має детермінант .

Матриця вигляду , , називається матрицею підстановки, або підстановочною матрицею.

В підстановочної матриці  порядку , елементи з індексами  дорівнюють одиниці, а інші елементи дорівнюють нулю. Наприклад, для підстановки , отримаємо .

Очевидно, , тобто матриця реалізує задану підстановку. Виходячи з означення підстановки, підстановочні матриці оборотні. Якщо матриця  - підстановочна, то  .

Критерій оборотності матриці формулюється за допомогою поняття визначника (детермінанта). Детермінант матриці  над полем  є елементом поля . Він є функцією всіх елементів матриці і позначається через  або .

Матриця  є оборотною тоді і лише тоді, коли .

Розглянемо випадок, коли матриця  порядку  визначена над полем .

Розглянемо все  підстановочних матриць порядку . Уявимо собі, що кожна з них записана у вигляді таблиці на окремому аркуші паперу в клітку. Виріжемо в кожній таблиці віконця в тих клітках, де елементи відповідної матриці дорівнюють одиниці. Отримаємо, таким чином, сукупність підстановок у вигляді трафаретів. Накладемо кожен трафарет  на матрицю  і перемножимо всі елементи матриці , що з'явилися у віконцях. Результат  назвемо членом визначника матриці, відповідним підстановці . Знайдемо суму над полем  всіх  членів визначника. Результат назвемо визначником матриці над полем .

Анулюючий і мінімальний многочлен матриці над полем

Многочленом  від матриці  над полем  називається результат послідовності операцій, записаної у формі многочлена  з коефіцієнтами з поля , при .

Анулюючим многочленом матриці  називається многочлен, такий, що .

Мінімальним многочленом матриці  над полем  називається нормований многочлен  найменшого степеня, для якого .

Мінімальний многочлен матриці ділить будь-який анулюючий многочлен тієї ж матриці.

Степінь мінімального многочлена матриці не перевершує її порядку.

Розглянемо послідовність ,,, -вимірних векторів.

На кожному кроці  перевірятимемо (наприклад, за допомогою схеми Гаусса розв’язування систем лінійних рівнянь) чи є система отриманих векторів залежною, або ні. На деякому кроці , вектори вперше виявляться лінійно залежними, тобто при відповідних коефіцієнтах виконається співвідношення .

Многочлен  називається мінімальним многочленом вектора  відносно матриці . Мінімальний многочлен єдиний.

Мінімальний многочлен суми векторів є найменшим спільним кратним мінімальних многочленів векторів-доданків.

Мінімальний многочлен вектора  відносно матриці  ділить мінімальний многочлен матриці .

Нехай  – квадратна матриця над скінченним полем  і . Послідовність ,,, є періодичною. Довжина періоду залежить від властивостей мінімального многочлена вектора  відносно матриці .

Очевидно, найменше спільне кратне мінімальних многочленів базисних векторів відносно матриці  є мінімальним многочленом цієї матриці.

Можна розглядати матриці, елементами яких є функції, скажімо, від змінної . В цьому випадку визначник матриці також є функцією від  .

Многочлен  називається характеристичним многочленом матриці .

Теорема Гамильтона-Кели. Кожна матриця є коренем свого характеристичного многочлена.

Наслідок. Характеристичний многочлен матриці ділиться на її мінімальний многочлен.

Порядок виконання роботи

1. Вивчіть короткі теоретичні відомості про лінійні перетворення і підстановки.

2. Знайдіть добуток матриць вигляду  над полями Q, , , , .

a

b

c

d

e

a

b

c

d

e

a

b

c

d

e

1

1

5

3

2

0

6

3

4

0

5

2

11

1

4

3

4

3

2

3

5

4

7

2

7

2

0

5

3

5

12

2

3

5

3

1

3

2

3

1

5

4

8

3

6

0

1

2

13

4

2

1

6

4

4

1

4

6

0

2

9

3

5

4

3

0

14

3

6

1

1

3

5

6

3

9

8

2

10

7

1

1

4

2

15

5

1

8

2

5

a

b

c

d

e

a

b

c

d

e

16

3

0

6

3

2

21

1

6

2

0

5

17

2

1

3

5

2

22

3

2

5

1

4

18

3

2

7

4

3

23

4

7

0

2

1

19

3

1

5

1

3

24

5

0

3

1

2

20

0

2

7

3

1

25

1

8

3

2

0

3. Для підстановки

а) Знайдіть розклад в добуток циклів.

б) Запишіть відповідну матрицю.

a

b

c

d

e

f

g

a

b

c

d

e

f

g

a

b

c

d

e

f

g

1

2

1

6

5

7

3

4

6

2

5

1

6

4

7

3

11

7

3

4

5

2

6

1

2

5

7

4

2

3

1

6

7

1

7

6

2

5

4

3

12

1

6

7

4

3

2

5

3

1

6

7

3

4

5

2

8

1

4

3

7

5

6

2

13

2

5

6

7

1

4

3

4

5

2

1

6

7

3

4

9

4

1

7

2

6

5

3

14

5

2

7

3

4

1

6

5

6

5

7

4

2

3

1

10

5

7

4

1

2

6

3

15

3

2

1

7

5

6

4

a

b

c

d

e

f

g

a

b

c

d

e

f

g

16

2

1

3

7

5

6

4

21

7

1

5

4

2

3

6

17

7

6

5

4

3

2

1

22

5

2

4

7

6

1

3

18

1

2

6

4

3

7

5

23

3

5

1

6

4

7

2

19

3

5

4

1

2

6

7

24

1

5

3

2

7

6

4

20

5

7

3

2

1

6

4

25

2

4

7

1

3

6

5

4. Обчисліть характеристичний многочлен для матриці  над полями Q, , . (a,b,c,d,e,f  – з п. 2)

5. Побудуйте мінімальний многочлен вектора  відносно матриці  над полем .

1) , .   2) , .

a

b

c

d

e

f

g

h

i

a

b

c

d

e

f

g

h

i

1

1

1

3

2

0

3

4

0

3

6

1

4

3

4

3

3

0

6

3

2

3

5

4

7

2

2

2

5

0

7

2

3

3

3

2

2

1

3

5

3

3

2

1

5

3

4

1

0

0

8

4

2

1

6

4

3

1

7

4

4

1

1

2

7

0

4

5

3

3

9

3

6

1

1

3

3

1

2

1

5

6

3

9

8

2

1

0

1

0

10

5

1

8

2

5

0

2

2

0

a

b

c

d

e

f

g

h

i

a

b

c

d

e

f

g

h

i

11

3

1

1

1

9

8

2

9

2

16

7

2

0

1

3

0

1

1

5

12

3

0

0

1

2

3

1

5

4

17

1

6

4

3

7

2

2

2

5

13

0

4

1

1

3

5

6

0

1

18

2

1

1

0

3

3

4

4

0

14

3

3

3

2

2

1

1

0

4

19

1

3

4

1

2

0

0

4

1

15

1

0

1

5

3

4

2

2

1

20

3

5

1

8

9

1

1

0

2

a

b

c

d

e

f

g

h

i

21

1

2

2

1

6

3

1

5

4

22

2

5

0

3

2

2

4

7

1

23

6

4

3

1

7

5

0

3

1

24

1

2

7

3

0

1

2

8

0

25

1

5

4

0

3

2

4

1

2

6. Складіть звіт, приєднавши отримані результати.

Вимоги до звіту.

У звіті мають бути приведені:

  1.  Вихідні дані (варіанти завдань);
  2.  Результати і проміжні дані перетворень.
  3.  Відповіді на контрольні питання.

Контрольні питання

1. Що називається векторним простором?

2. Яка система векторів називається лінійно незалежною?

3. У якому випадку система векторів утворює базис простору?

4. Що називається лінійним перетворенням простору?

5. Що є дією лінійного оператора на вектор?

6. Що таке підстановка?

7. Яка матриця називається підстановочною?

8. Який многочлен називається характеристичним многочленом матриці ; мінімальним многочленом матриці ; мінімальним многочленом вектора   відносно матриці ?


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30630. «Диалектика души» героев романа Л.Н. Толстого «Война и мир» (на примере одного из персонажей по выбору экзаменуемого) 13.54 KB
  Толстой известен не только как гениальный писатель но и как удивительно глубокий и тонкий психолог. Лев Толстой делает акцент на искренности детской доверчивости доброте и чистоте помыслов своего героя. Толстой замечает: повиновение даже не представлялось ему добродетелью а счастьем. Толстой подчеркивает оптический самообман героя отчужденного от повседневной жизни: в обыденном он не способен рассмотреть великое и бесконечное видит только одно ограниченное мелкое житейское бессмысленное.
30631. Диалог времен и культур в стихотворении О.Э. Мандельштама «За гремучую доблесть грядущих веков…» 14.23 KB
  В своем творчестве поэт опирается на богатые традиции мировой культуры включая в свои произведения идеи и образы художников разных эпох и разных народов события многовековой давности и нетленного искусства. Поэт пишет в первом четверостишии:За гремучую доблесть грядущих вековЗа высокое племя людейЯ лишился и чаши на пире отцовИ веселья и чести своей. Жестокость этого выбора поэт выражает в эпитете векволкодав:Мне на плечи кидается векволкодавНо не волк я по крови своей. Поэтому лирический герой решает уйти от этого общества.
30632. Духовный облик любимых героев Л.Н. Толстого в романе «Война и мир» 14.35 KB
  В романе Война и мир Толстой очень четко разделяет героев на любимых нелюбимых и тех к кому он достаточно равнодушен.Толстой использует весь арсенал художественных средств и приемов позволяющих воссоздать сложную картину внутреннего мира героев диалектику души. Изображая главных героев писатель создает как бы ряд моментальных рентгеновских снимков их души.
30633. Евангельские мотивы в романе М. А. Булгакова «Мастер и Маргарита» 15.42 KB
  Евангельские истории художественно преображены Булгаковым в главах представляющих собою роман в романе произведение мастера о Понтии Пилате и Иешуа ГаНоцри. Многие из них измененные имена Нового и Ветхого Завета: Иешуа Понтий Пилат Иуда Марк Аврелий Кот Бегемот имеет параллель своего имени в Библии Азазелло падший ангел в Ветхом завете.Свобода и несвобода в философском аспекте поставлена в спорах Иешуа и ГаНоцри с могущественным римским прокуратором Понтием Пилатом в душе которого происходит борьба человеческого и...
30634. Какова роль евангельского сюжета о воскрешении Лазаря в понимании идеи романа Ф.М. Достоевского «Преступление и наказание» 12.72 KB
  В центре Преступления и наказания помещен эпизод чтения XI главы Евангелия от Иоанна о воскрешении Лазаря.Образ воскресения Раскольникова действительно связан с евангельским повествованием о воскрешении Лазаря Христом которое читает Раскольникову Соня. Сама же Соня при чтении мысленно сравнивает его с иудеями присутствовавшими при совершении неслыханного чуда воскрешения уже смердящего Лазаря и уверовавшими во Христа.
30635. Женские образы и судьбы в русской классической литературе 16.26 KB
  Только в русской литературе обращается так много внимания на изображение внутреннего мира и сложных переживаний женской души. Ее любовь к русскому народу к патриархальной старине к русской природе проходит через все произведение. Все эти черты воспитала в ней связь с русским народом и русской природой создавшими поистине русскую женщину человека большой душевной красоты.
30636. Земное и вечное в стихотворении А.А. Ахматовой «Приморский сонет» 15.8 KB
  Ахматовой Приморский сонет.Облик героини поэзии Ахматовой предстает в житейской простоте но в нем заключается пафос сильной личности. Ее лирическая героиня не отражает персональной судьбы Ахматовой а отражает проявление женской доли женского голоса. Предметный мир воспринимается уже в ином виде: три ступеньки кажутся вечностью любимый прием Ахматовой оксюморон темный дом свечи горевшие равнодушножелтым огнем.
30637. Изображение народного характера в рассказе А.И. Солженицына «Матренин двор» 12.62 KB
  Солженицына является то что он исследует русский характер. Но главным в образе героини является доброта доброе расположение духа добрая улыбка побеждающая в душе все тяготы и заботы. Неслучайно Солженицын хотел назвать свой рассказ Не стоит село без праведника поскольку именно Матрена является истинным праведником: она тот самый праведник без которого не стоит село. Реалистическая достоверность изображенных событий накладывает особый отпечаток на образ Матрены ее жизнь является не только символом праведности но и ощутимым...
30638. Интерьер как средство характеристики героя 18.61 KB
  Интерьер его домика состоящего из шести крошечных комнат говорит о том что перед нами маленький человек очевидно небогатый который не претендует на значимость любит уют. И действительно толстоногий стол заваленный почерневшими от старинной пыли бумагами говорит о том что Василий Иванович занимается работой но делает это время от времени. О том что Василий Иванович интересуется естественными науками и физическими опытами говорит сломанная электрическая машина но это увлечение осталось в прошлом так как она до сих...