67803

ПІДСТАНОВКИ І ЛІНІЙНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Мета роботи – вивчити основні властивості лінійних перетворень і підстановочних матриць, необхідні для математичного опису регістрів зсуву з лінійним зворотним зв’язком. Короткі теоретичні відомості. Векторні простори. Нехай – непорожня множина елементів будь-якої природи, які позначатимемо і нехай – деяке поле...

Украинкский

2014-09-15

554 KB

1 чел.

PAGE   \* MERGEFORMAT 7

Лабораторна робота № 2

ТЕМА: ПІДСТАНОВКИ І ЛІНІЙНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ

Мета роботи – вивчити основні властивості лінійних перетворень і підстановочних матриць, необхідні для математичного опису регістрів зсуву з лінійним зворотним зв'язком.

Короткі теоретичні відомості.

Векторні простори.

Нехай  – непорожня множина елементів будь-якої природи, які позначатимемо  і нехай  – деяке поле, елементи якого позначатимемо  . Визначимо в множині  операцію додавання елементів:  і операцію множення елементу на число з поля :   .

Множина  називається векторним (лінійним) простором, якщо в  визначені алгебраїчна операція додавання і операція множення на числа з поля , причому виконані наступні умови (аксіоми векторного простору):

1.   – асоціативність додавання;

2.   – комутативність додавання;

3.  :  – існування нульового елементу;

4.  : – існування протилежного елементу;

5.    – асоціативність множення на число;

6. .

7.    – дистрибутивність відносно додавання чисел ;

8.    – дистрибутивність відносно додавання елементів;

Елементи векторного простору називаються векторами, елемент  називається нульовим вектором..

Лінійною комбінацією векторів  векторного простору   з коефіцієнтами  з поля   називається вектор  .

Система векторів  векторного простору  називається лінійно незалежною, якщо рівність  можлива в тому і лише тому випадку, коли .

Впорядкована система векторів  векторного простору  називається базисом векторного простору, якщо

1) вона лінійно незалежна;

2) кожен вектор  простору  лінійно виражається через вектори цієї системи, тобто  . 

Отже, базис – це максимальна система лінійно незалежних векторів.

Векторний простір називається скінченновимірним, якщо в ньому існує базис, який складається з скінченного числа векторів.

Розглянемо множину, елементами якої є впорядковані послідовності  елементів поля  . Відносно покомпонентного додавання і покомпонентного множення на елемент поля , побудована множина  є векторним простором над  і позначається . Очевидно, система , де , а одиниця знаходиться на -му місці, є базисом. Можна показати, що всі належні  базиси складаються з одного і того ж числа елементів.

Будь-який скінченновимірний лінійний простір  над полем  ізоморфний   при деякому .

Число  векторів в базисі називається розмірністю векторного простору  . Розмірність простору  позначається . Якщо , то векторний простір називається  -вимірним.

Лінійні перетворення і матриці над полем

Нехай   – поле.

Означення. Матрицею розмірності  над полем  називається множина  елементів з , пронумерована впорядкованими парами чисел , де,  . Записують , , .

Якщо  матриця  називається квадратною порядку .

Множина всіх квадратних матриць порядку  з дійсними елементами і з відмінними від нуля детерминантами утворює відносно множення матриць групу, яку позначають  і називають повною лінійною групою.

Множина квадратних матриць є некомутативним кільцем.

Нулем є матриця, що складається зі всіх нулів. Одиницею – одинична матриця, в якої всі елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, а інші елементи - нулю.

Лінійним оператором (лінійним перетворенням) у векторному просторі  називається відображення векторного простору  в себе таке, що виконані наступні умови (умови лінійності):

1)  ;

1)  .

При фіксованому базисі  кожному лінійному оператору  простору  відповідає певна матриця  -го порядку – матриця цього лінійного оператора. Справедливе і обернене: кожна матриця = -го порядку є матрицею певного лінійного оператора простору  в базисі .

У координатному вигляді дія лінійного оператора   на вектор   зводиться до множення матриці лінійного оператора на координатний стовпець вектора   :

.

Нехай  – оборотна матриця. Матрицею зворотною до   називається матриця, для якої виконуються умови .

Підстановочні матриці. Визначник матриці над  .

Нехай  – скінченна множина з  елементів.

Підстановкою порядку  на множині з  елементів називається взаємно однозначне відображення множини  на себе.

Нехай  впорядкована, тоді їй відповідає послідовність номерів . Після застосування підстановки порядок елементів зміниться і прийме вигляд  .

Підстановку можна представити у вигляді дворядного запису: . Очевидно, обернене перетворення має вигляд  .

Підстановки утворюють групу відносно операції композиції, яка позначається   Порядок групи підстановок  дорівнює  .

Кожну підстановку  можна представити у вигляді добутку  деяких спеціальних підстановок, як називаються циклами, причому цикли  попарно незалежні. Останнє означає, що підстановки  і , при, діють на підмножинах підстановки, що не перерізаються, якщо не брати до уваги елементи, що залишаються нерухомими.

Нехай и - підстановка степеня , причому I . Підстановка  називається к-членним циклом, якщо вона не переміщає  елементів, а її дію на ті елементи, що залишилися,  можна представити у вигляді циклічної діаграми переходів: . У цій діаграмі допускається лише один перехід від елементу з більшим індексом до елементу з меншим індексом, а саме: .

Наприклад, в тричленному циклі п'ятого степеня  елементи 4 і 5 нерухомі, а елементи 1,2,3 утворюють цикл, причому, , .

Циклічна діаграма переходів може бути виписана, починаючи з будь-якого свого елементу. Цикл записують у вигляді, аналогічному діаграмі переходів: . Одиничну підстановку розглядають як добуток одночленних циклів вигляду .

Для запису підстановки у вигляді добутку незалежних циклів достатньо виписати всі різні діаграми переходів. Наприклад, підстановка  може бути представлена як . Одночленні цикли при записі часто опускаються.

Запис підстановки у вигляді добутку незалежних циклів називається цикловим записом.

Найбільш простим циклом, очевидно, є підстановка, яка переставляє місцями лише два елементи. Такий цикл довжини 2 називається транспозицією. Транспозиції не обов'язково є незалежними циклами.

Підстановка називається регулярною, якщо її циклічний запис складається з циклів рівної довжини.

Підстановка називається повноцикловою, якщо її цикловий запис складається з одного циклу.

У загальному випадку визначник матриці  порядку  над полем  виражається як знакозмінна сума всіх членів визначника, відповідних підстановкам групи : .

Нехай  – підстановка з ,  – будь-який її розклад в добуток транспозицій. Тоді число , яке називається знаком (або сигнатурою, або парністю ) повністю визначається підстановкою  і не залежить від способу розкладу  в добуток транспозицій.

Існує ізоморфне відображення , таке, що матриця ,  має детермінант .

Матриця вигляду , , називається матрицею підстановки, або підстановочною матрицею.

В підстановочної матриці  порядку , елементи з індексами  дорівнюють одиниці, а інші елементи дорівнюють нулю. Наприклад, для підстановки , отримаємо .

Очевидно, , тобто матриця реалізує задану підстановку. Виходячи з означення підстановки, підстановочні матриці оборотні. Якщо матриця  - підстановочна, то  .

Критерій оборотності матриці формулюється за допомогою поняття визначника (детермінанта). Детермінант матриці  над полем  є елементом поля . Він є функцією всіх елементів матриці і позначається через  або .

Матриця  є оборотною тоді і лише тоді, коли .

Розглянемо випадок, коли матриця  порядку  визначена над полем .

Розглянемо все  підстановочних матриць порядку . Уявимо собі, що кожна з них записана у вигляді таблиці на окремому аркуші паперу в клітку. Виріжемо в кожній таблиці віконця в тих клітках, де елементи відповідної матриці дорівнюють одиниці. Отримаємо, таким чином, сукупність підстановок у вигляді трафаретів. Накладемо кожен трафарет  на матрицю  і перемножимо всі елементи матриці , що з'явилися у віконцях. Результат  назвемо членом визначника матриці, відповідним підстановці . Знайдемо суму над полем  всіх  членів визначника. Результат назвемо визначником матриці над полем .

Анулюючий і мінімальний многочлен матриці над полем

Многочленом  від матриці  над полем  називається результат послідовності операцій, записаної у формі многочлена  з коефіцієнтами з поля , при .

Анулюючим многочленом матриці  називається многочлен, такий, що .

Мінімальним многочленом матриці  над полем  називається нормований многочлен  найменшого степеня, для якого .

Мінімальний многочлен матриці ділить будь-який анулюючий многочлен тієї ж матриці.

Степінь мінімального многочлена матриці не перевершує її порядку.

Розглянемо послідовність ,,, -вимірних векторів.

На кожному кроці  перевірятимемо (наприклад, за допомогою схеми Гаусса розв’язування систем лінійних рівнянь) чи є система отриманих векторів залежною, або ні. На деякому кроці , вектори вперше виявляться лінійно залежними, тобто при відповідних коефіцієнтах виконається співвідношення .

Многочлен  називається мінімальним многочленом вектора  відносно матриці . Мінімальний многочлен єдиний.

Мінімальний многочлен суми векторів є найменшим спільним кратним мінімальних многочленів векторів-доданків.

Мінімальний многочлен вектора  відносно матриці  ділить мінімальний многочлен матриці .

Нехай  – квадратна матриця над скінченним полем  і . Послідовність ,,, є періодичною. Довжина періоду залежить від властивостей мінімального многочлена вектора  відносно матриці .

Очевидно, найменше спільне кратне мінімальних многочленів базисних векторів відносно матриці  є мінімальним многочленом цієї матриці.

Можна розглядати матриці, елементами яких є функції, скажімо, від змінної . В цьому випадку визначник матриці також є функцією від  .

Многочлен  називається характеристичним многочленом матриці .

Теорема Гамильтона-Кели. Кожна матриця є коренем свого характеристичного многочлена.

Наслідок. Характеристичний многочлен матриці ділиться на її мінімальний многочлен.

Порядок виконання роботи

1. Вивчіть короткі теоретичні відомості про лінійні перетворення і підстановки.

2. Знайдіть добуток матриць вигляду  над полями Q, , , , .

a

b

c

d

e

a

b

c

d

e

a

b

c

d

e

1

1

5

3

2

0

6

3

4

0

5

2

11

1

4

3

4

3

2

3

5

4

7

2

7

2

0

5

3

5

12

2

3

5

3

1

3

2

3

1

5

4

8

3

6

0

1

2

13

4

2

1

6

4

4

1

4

6

0

2

9

3

5

4

3

0

14

3

6

1

1

3

5

6

3

9

8

2

10

7

1

1

4

2

15

5

1

8

2

5

a

b

c

d

e

a

b

c

d

e

16

3

0

6

3

2

21

1

6

2

0

5

17

2

1

3

5

2

22

3

2

5

1

4

18

3

2

7

4

3

23

4

7

0

2

1

19

3

1

5

1

3

24

5

0

3

1

2

20

0

2

7

3

1

25

1

8

3

2

0

3. Для підстановки

а) Знайдіть розклад в добуток циклів.

б) Запишіть відповідну матрицю.

a

b

c

d

e

f

g

a

b

c

d

e

f

g

a

b

c

d

e

f

g

1

2

1

6

5

7

3

4

6

2

5

1

6

4

7

3

11

7

3

4

5

2

6

1

2

5

7

4

2

3

1

6

7

1

7

6

2

5

4

3

12

1

6

7

4

3

2

5

3

1

6

7

3

4

5

2

8

1

4

3

7

5

6

2

13

2

5

6

7

1

4

3

4

5

2

1

6

7

3

4

9

4

1

7

2

6

5

3

14

5

2

7

3

4

1

6

5

6

5

7

4

2

3

1

10

5

7

4

1

2

6

3

15

3

2

1

7

5

6

4

a

b

c

d

e

f

g

a

b

c

d

e

f

g

16

2

1

3

7

5

6

4

21

7

1

5

4

2

3

6

17

7

6

5

4

3

2

1

22

5

2

4

7

6

1

3

18

1

2

6

4

3

7

5

23

3

5

1

6

4

7

2

19

3

5

4

1

2

6

7

24

1

5

3

2

7

6

4

20

5

7

3

2

1

6

4

25

2

4

7

1

3

6

5

4. Обчисліть характеристичний многочлен для матриці  над полями Q, , . (a,b,c,d,e,f  – з п. 2)

5. Побудуйте мінімальний многочлен вектора  відносно матриці  над полем .

1) , .   2) , .

a

b

c

d

e

f

g

h

i

a

b

c

d

e

f

g

h

i

1

1

1

3

2

0

3

4

0

3

6

1

4

3

4

3

3

0

6

3

2

3

5

4

7

2

2

2

5

0

7

2

3

3

3

2

2

1

3

5

3

3

2

1

5

3

4

1

0

0

8

4

2

1

6

4

3

1

7

4

4

1

1

2

7

0

4

5

3

3

9

3

6

1

1

3

3

1

2

1

5

6

3

9

8

2

1

0

1

0

10

5

1

8

2

5

0

2

2

0

a

b

c

d

e

f

g

h

i

a

b

c

d

e

f

g

h

i

11

3

1

1

1

9

8

2

9

2

16

7

2

0

1

3

0

1

1

5

12

3

0

0

1

2

3

1

5

4

17

1

6

4

3

7

2

2

2

5

13

0

4

1

1

3

5

6

0

1

18

2

1

1

0

3

3

4

4

0

14

3

3

3

2

2

1

1

0

4

19

1

3

4

1

2

0

0

4

1

15

1

0

1

5

3

4

2

2

1

20

3

5

1

8

9

1

1

0

2

a

b

c

d

e

f

g

h

i

21

1

2

2

1

6

3

1

5

4

22

2

5

0

3

2

2

4

7

1

23

6

4

3

1

7

5

0

3

1

24

1

2

7

3

0

1

2

8

0

25

1

5

4

0

3

2

4

1

2

6. Складіть звіт, приєднавши отримані результати.

Вимоги до звіту.

У звіті мають бути приведені:

  1.  Вихідні дані (варіанти завдань);
  2.  Результати і проміжні дані перетворень.
  3.  Відповіді на контрольні питання.

Контрольні питання

1. Що називається векторним простором?

2. Яка система векторів називається лінійно незалежною?

3. У якому випадку система векторів утворює базис простору?

4. Що називається лінійним перетворенням простору?

5. Що є дією лінійного оператора на вектор?

6. Що таке підстановка?

7. Яка матриця називається підстановочною?

8. Який многочлен називається характеристичним многочленом матриці ; мінімальним многочленом матриці ; мінімальним многочленом вектора   відносно матриці ?


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

44319. Автоматизация бизнес-процессов телефонного маркетинга 5.04 MB
  Необходимо понимать разницу между компьютерами и информационными системами. Компьютеры, оснащенные специализированными программными средствами, являются технической базой и инструментом для информационных систем. Информационная система немыслима без определения ее миссии, задач, архитектуры, инфраструктуры, конфигурации, средств телекоммуникаций и персонала, взаимодействующего с компьютерами
44320. Методические рекомендации. Социология 237.5 KB
  Подготовка выпускной квалификационной работы студентами позволяет преподавателям выявить уровень освоения методики проведения экспериментальной работы во время прохождения практик; осуществить контроль за качеством профессиональной подготовки студентов по специализации
44323. Диалоговая оболочка для отладки DVM-программ 1.98 MB
  Модели параллельного программирования Краткий обзор существующих моделей Модель параллелизма DVM Сложности отладки DVMпрограмм. Описание графической оболочки Описание возможностей Отладка эффективности DVMпрограмм Средства DVMсистемы Возможности графической оболочки Демонстрация характеристик производительности DVMпрограммы Иллюстрация топологии решетки процессоров
44326. ПРОЕКТ МОДЕРНИЗАЦИИ КОЛБАСНОГО ЦЕХА ЗАО «НВС» Хохольского района Воронежской области 912.5 KB
  Какая нужна помощь руководству чтобы организовать надлежащий первичный учет поступления сырья ведение рецептурных журналов журналов технологической разделки и термической обработки Вызывает крайнее удивление что практически в каждом хозяйстве действуют свои нормативы на выход мяса при разделке туш на колбасные изделия а также на выход готовой продукции что создает лазейки для злоупотреблений. Об утверждении норм выходов колбасных изделий мясных полуфабрикатов и выходов при разделке мяса. Данный диплом выполнен с целью улучшения...