67807

АРИФМЕТИКА ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Определение. Если для целых чисел и в кольце целых чисел существует такое число, что , то говорят, что целое число делится на целое число, и пишут. При этом число называется делимым или кратным числа, число – делителем числа, число – частным. Любое целое число всегда можно разделить с остатком на произвольное целое число.

Русский

2014-09-15

399.5 KB

2 чел.

PAGE   \* MERGEFORMAT 3

Лабораторная работа № 3

Тема: АРИФМЕТИКА ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ

Цель работы – изучить основные понятия, необходимые для обоснования модульной арифметики и операций в расширениях конечных полей.

Краткие теоретические сведения.

1. Делимость целых чисел.

Определение. Если для целых чисел  и  в кольце целых чисел  существует такое число , что , то говорят, что целое число  делится на целое число , и пишут . При этом число  называется делимым или кратным числа , число  – делителем числа , число  – частным.

Любое целое число  всегда можно разделить с остатком на произвольное целое число .

Теорема (о делении с остатком). Для любых целых чисел  и , где , всегда существует одна и только одна пара целых чисел и таких, что

, где .

Число  называется неполным частным, а  – остатком от деления  на .

Определение. Число  , делящее одновременно целые числа  и , называется общим делителем этих чисел. Наибольшее число  с таким свойством называется наибольшим общим делителем (сокращенно НОД) чисел  и . Обозначение: .

Целые числа  и  называются взаимно простыми, если  .

Определение. Число  , делящееся одновременно на целые числа  и , называется общим кратным этих чисел. Наименьшее число  с таким свойством называется наименьшим общим кратным (сокращенно НОК) чисел  и . Обозначение: .

Очевидно, .

Наибольший общий делитель двух целых чисел   вычисляется с помощью т.н. алгоритма Евклида. В этом алгоритме основную роль играет операция деления чисел с остатком, т.е. представление вида , где . Алгоритм Евклида задаётся последовательностью равенств

, ;

, ;

, ;

...........................................        (1)

, ;

, .

Теорема. Для любых целых чисел  и , одновременно не равных нулю, наибольший общий делитель всегда существует и равняется последнему не равному нулю остатку алгоритма Евклида.

Теорема (о линейном представлении НОД) Для любых целых чисел  и  уравнение

,

где  – наибольший общий делитель целых чисел  и , всегда имеет решение в целых числах.

Пусть и – решения уравнения . Запись

,       (2)

называется линейным представлением наибольшего общего делителя  целых чисел и .

При  равентсво (2) выражает критерий взаимной простоты чисел  и .

Решение уравнения , где , – целые, можно найти с помощью т.н. расширенного алгоритма Евклида. Очевидно, достаточно решить это уравнение при положительных  и .

Действуя в классической схеме (1) обратным ходом снизу вверх, имеем

(идем по цепочке равенств (1), выражая из каждого следующего равенства

остаток и подставляя его в полученное к этому моменту выражение)

....

Равенство (2) можно записать в векторной форме, то есть представить наибольший общий делитель целых чисел  и  набором коэффициентов разложения по начальными числам:

.

Для нахождения вектора  равенства (1) классического алгоритма применяются к векторам (Арифметические действия с упорядоченными наборами чисел выполняются покомпонентно). Отметим, что сами начальные числа  и  можно представить такими векторами очень просто:

, потому что ,

, потому что .

Протокол работы расширенного алгоритма Евклида удобно записывать в виде таблицы:

Остатки

Частные

1

0

0

1

Получение новых значений компонент  наборов  показано в третьей строке таблицы (клетки выделены): из числа в первой клетке вычитается число во второй клетке, умноженное на число, что стоит справа от него во второй строке, результат записывается в третью клетку. Аналогично выполняется операция для нахождения компонент  в четвёртой строке.

Линейным диофантовым уравнением называется уравнение вида

,             (3)

где  – неизвестные, .

Пусть . Диофантово уравнение (3) имеет решение тогда и только тогда, когда . При этом общее решение определяется формулой:

,   ,       (4)

где  – частное решение уравнения (3), а  – произвольное целое число.

Решения уравнений  и  могут отличаться только знаками.

Алгоритм решения диофантова уравнения следующий:

  1.  По алгоритму Евклида находим НОД . Если , то уравнение (3) имеет решения. Если , то уравнение (3) решений не имеет.
  2.  По расширенному алгоритму Евклида находим линейное представление НОД : . С использованием следствия 2 определяем знаки для линейного представления. Частное решение уравнения (3) имеет вид:

,  .

  1.  Подставляя полученное частное решение в (4), получим общее решение уравнения (3).

Простым числом называется натуральное число, у которого есть в точности два неравных натуральных делителя: 1 и оно само.

Свойства простых чисел:

  1.  Наименьший отличный от единицы делитель натурального числа  является простым.
  2.  Наименьший простой делитель составного числа  не больше .

Из свойства 2 вытекает простое правило проверки натурального числа на простоту: если натуральное число  не делится ни на одно простое число  такое, что , то  – простое; в противном случае – составное.

Основная теорема арифметики: каждое натуральное число единственным, с точностью до порядка сомножителей, образом представляется в виде произведения степеней простых чисел.

Каноническим разложением (канонической формой) составного натурального числа  называется представление его в виде . Если же учитываются нулевые показатели степени то такое расписание называется обобщённым каноническим разложением.

Следствие. Пусть и – произвольные натуральные числа, и пусть

,  

– их обобщённые канонические разложения (,). Тогда наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел и соответственно имеют вид:

, где ;

, где .

Порядок выполнения работы.

  1.  Изучить краткие теоретические сведения об арифметике в кольце целых чисел.

2. С помощью классического алгоритма Евклида найти НОД и НОК чисел

1) 3094 и 1235;    13) 1972 и 2873;

2) 4557 и 1209;    14) 2257 и 5217;

3) 1430 и 4774;    15) 6426 и 1593;

4) 3366 и 1326;    16) 7371 и 1386;

5) 1254 и 1794;    17) 4372 и 1356;

6) 1683 и 1326;    18) 2583 и 3403;

7) 2142 и 3468;    19) 2870 и 1353;

8) 1426 и 3657;    20) 5124 и 1612;

9) 4047 и 1539;    21) 2457 и 4998;

10) 3139 и 3870;   22) 4473 и 2508;

11) 6630 и 5199;   23) 2639 и 1911;

12) 1836 и 2210;   24) 4914 и 1426;

        25) 3315 и 4620.

3. С помощью расширенного алгоритма Евклида найти линейное представление НОД чисел из п.2.

4. Найти решение диофантова уравнения .

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

a

24

52

13

29

29

44

65

18

55

31

b

51

73

61

77

94

93

97

47

201

86

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

a

27

33

47

17

55

18

115

14

38

31

b

43

78

122

76

69

71

41

39

53

87

21

22

23

24

25

a

21

48

37

26

45

b

79

109

98

67

103

5. С помощью канонического разложения найти НОД и НОК чисел из п.2.

6. Проверить на простоту число:

1) 2293;     13) 1971;

2) 2373;    14) 2087;

3) 1037;    15) 1813;

4) 1119;    16) 1387;

5) 1289;    17) 1553;

6) 1311;    18) 2573;

7) 1459;    19) 1359;

8) 1291;    20) 1273;

9) 1623;    21) 2281;

10) 2013;    22) 2089;

11) 1281;    23) 1723;

12) 1817;    24) 1449;

      25) 1543.

7. Составить отчет, приобщив полученные результаты.

Требования к отчету.

В отчете должны быть приведены:

1. Краткие сведения об изученных свойствах целых чисел;

2. Решения своего варианта с необходимыми пояснениями.

3. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы:

  1.  Как определяется делимость целых чисел?
  2.  Что означает поделить число на число с остатком?
  3.  Что такое НОД двух целых чисел?
  4.  Что такое НОК двух целых чисел?
  5.  В чём суть классического алгоритма Евклида?
  6.  В чём суть расширенного алгоритма Евклида?
  7.  Что называется диофантовым уравнением? Как его решить?
  8.  Что называется каноническим разложением натурального числа? Обобщённым каноническим разложением?
  9.  Как найти НОД и НОК двух целых чисел с помощью канонического разложения?
  10.  Какие натуральные числа называются простыми? Составными?
  11.  Каккпроверить натуральное число на простоту?


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

69942. История электродинамики 184 KB
  В среду вводится покоящаяся ортогональная система координат в которой определена покоящаяся точка наблюдения. В частности в декартовой системе координат ДСК. В математическом смысле непрерывные функции координат описывают реально существующее физическое поле в каждой точке.
69943. Программное обеспечение ЭВМ и информационные технологии 213.36 KB
  Сообщение это форма представления информации для ее последующей передачи в одном из следующих видов: числовая форма представленная цифрами; текстовая форма представленная текстами составленными из символов того или иного языка; кодовая форма представленная кодами...
69944. Начертательная геометрия 6.38 MB
  Методом начертательной геометрии является метод проекций. Аппарат центрального проецирования состоит из: плоскости проекций центра проекций S проецирующих прямых проходящих через центр проекций S объектов проецирования точек А В С D и т.
69945. СООТВЕТСТВИЯ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. СООТВЕТСТВИЯ МЕЖДУ МНОЖЕСТВАМИ 1.74 MB
  Множества и операции над ними Основными неопределяемыми понятиями математики являются множество элемент множества. Множества представляют собой совокупность каких-либо предметов объектов обладающих общим свойством. Договоримся называть их элементами множества.
69946. Медицина катастроф: понятие, цели, задачи. Виды поражений при катастрофах. Служба медицины катастроф 68 KB
  Катастрофа - крупная авария, повлекшая за собой человеческие жертвы, ущерб здоровью людей либо разрушения, либо уничтожение объектов, материальных ценностей в значительных размерах, а также приведшая к серьезному ущербу окружающей природной среды...
69947. Дошкольники. Формирование монологической речи у дошкольников 51.5 KB
  Чтобы организовать работу с детьми по формированию монологической речи воспитателям необходимо руководствоваться прежде всего данными современной лингвистики текста которая пытается ответить на вопросы: Как сделан текст Как он организован; Что превращает определённую последовательность...
69948. Медицинская генетика как наука 83 KB
  Место генетики в практической медицине Исторические этапы развития генетики Предмет изучения медицинской генетики 4. Основы медицинской генетики 4. Практические достижения генетики Основы цитологии 5. Менделя генетика прошла путь от натурфилософского понимания законов наследственности...
69949. Понятие о первой медицинской помощи. Асептика и антисептика 75 KB
  Первая медицинская помощь – комплекс экстренных медицинских мероприятий, проводимых внезапно заболевшему или пострадавшему на месте происшествия и в период доставки его в медицинское учреждение.