67807

АРИФМЕТИКА ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Определение. Если для целых чисел и в кольце целых чисел существует такое число, что , то говорят, что целое число делится на целое число, и пишут. При этом число называется делимым или кратным числа, число – делителем числа, число – частным. Любое целое число всегда можно разделить с остатком на произвольное целое число.

Русский

2014-09-15

399.5 KB

2 чел.

PAGE   \* MERGEFORMAT 3

Лабораторная работа № 3

Тема: АРИФМЕТИКА ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ

Цель работы – изучить основные понятия, необходимые для обоснования модульной арифметики и операций в расширениях конечных полей.

Краткие теоретические сведения.

1. Делимость целых чисел.

Определение. Если для целых чисел  и  в кольце целых чисел  существует такое число , что , то говорят, что целое число  делится на целое число , и пишут . При этом число  называется делимым или кратным числа , число  – делителем числа , число  – частным.

Любое целое число  всегда можно разделить с остатком на произвольное целое число .

Теорема (о делении с остатком). Для любых целых чисел  и , где , всегда существует одна и только одна пара целых чисел и таких, что

, где .

Число  называется неполным частным, а  – остатком от деления  на .

Определение. Число  , делящее одновременно целые числа  и , называется общим делителем этих чисел. Наибольшее число  с таким свойством называется наибольшим общим делителем (сокращенно НОД) чисел  и . Обозначение: .

Целые числа  и  называются взаимно простыми, если  .

Определение. Число  , делящееся одновременно на целые числа  и , называется общим кратным этих чисел. Наименьшее число  с таким свойством называется наименьшим общим кратным (сокращенно НОК) чисел  и . Обозначение: .

Очевидно, .

Наибольший общий делитель двух целых чисел   вычисляется с помощью т.н. алгоритма Евклида. В этом алгоритме основную роль играет операция деления чисел с остатком, т.е. представление вида , где . Алгоритм Евклида задаётся последовательностью равенств

, ;

, ;

, ;

...........................................        (1)

, ;

, .

Теорема. Для любых целых чисел  и , одновременно не равных нулю, наибольший общий делитель всегда существует и равняется последнему не равному нулю остатку алгоритма Евклида.

Теорема (о линейном представлении НОД) Для любых целых чисел  и  уравнение

,

где  – наибольший общий делитель целых чисел  и , всегда имеет решение в целых числах.

Пусть и – решения уравнения . Запись

,       (2)

называется линейным представлением наибольшего общего делителя  целых чисел и .

При  равентсво (2) выражает критерий взаимной простоты чисел  и .

Решение уравнения , где , – целые, можно найти с помощью т.н. расширенного алгоритма Евклида. Очевидно, достаточно решить это уравнение при положительных  и .

Действуя в классической схеме (1) обратным ходом снизу вверх, имеем

(идем по цепочке равенств (1), выражая из каждого следующего равенства

остаток и подставляя его в полученное к этому моменту выражение)

....

Равенство (2) можно записать в векторной форме, то есть представить наибольший общий делитель целых чисел  и  набором коэффициентов разложения по начальными числам:

.

Для нахождения вектора  равенства (1) классического алгоритма применяются к векторам (Арифметические действия с упорядоченными наборами чисел выполняются покомпонентно). Отметим, что сами начальные числа  и  можно представить такими векторами очень просто:

, потому что ,

, потому что .

Протокол работы расширенного алгоритма Евклида удобно записывать в виде таблицы:

Остатки

Частные

1

0

0

1

Получение новых значений компонент  наборов  показано в третьей строке таблицы (клетки выделены): из числа в первой клетке вычитается число во второй клетке, умноженное на число, что стоит справа от него во второй строке, результат записывается в третью клетку. Аналогично выполняется операция для нахождения компонент  в четвёртой строке.

Линейным диофантовым уравнением называется уравнение вида

,             (3)

где  – неизвестные, .

Пусть . Диофантово уравнение (3) имеет решение тогда и только тогда, когда . При этом общее решение определяется формулой:

,   ,       (4)

где  – частное решение уравнения (3), а  – произвольное целое число.

Решения уравнений  и  могут отличаться только знаками.

Алгоритм решения диофантова уравнения следующий:

  1.  По алгоритму Евклида находим НОД . Если , то уравнение (3) имеет решения. Если , то уравнение (3) решений не имеет.
  2.  По расширенному алгоритму Евклида находим линейное представление НОД : . С использованием следствия 2 определяем знаки для линейного представления. Частное решение уравнения (3) имеет вид:

,  .

  1.  Подставляя полученное частное решение в (4), получим общее решение уравнения (3).

Простым числом называется натуральное число, у которого есть в точности два неравных натуральных делителя: 1 и оно само.

Свойства простых чисел:

  1.  Наименьший отличный от единицы делитель натурального числа  является простым.
  2.  Наименьший простой делитель составного числа  не больше .

Из свойства 2 вытекает простое правило проверки натурального числа на простоту: если натуральное число  не делится ни на одно простое число  такое, что , то  – простое; в противном случае – составное.

Основная теорема арифметики: каждое натуральное число единственным, с точностью до порядка сомножителей, образом представляется в виде произведения степеней простых чисел.

Каноническим разложением (канонической формой) составного натурального числа  называется представление его в виде . Если же учитываются нулевые показатели степени то такое расписание называется обобщённым каноническим разложением.

Следствие. Пусть и – произвольные натуральные числа, и пусть

,  

– их обобщённые канонические разложения (,). Тогда наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел и соответственно имеют вид:

, где ;

, где .

Порядок выполнения работы.

  1.  Изучить краткие теоретические сведения об арифметике в кольце целых чисел.

2. С помощью классического алгоритма Евклида найти НОД и НОК чисел

1) 3094 и 1235;    13) 1972 и 2873;

2) 4557 и 1209;    14) 2257 и 5217;

3) 1430 и 4774;    15) 6426 и 1593;

4) 3366 и 1326;    16) 7371 и 1386;

5) 1254 и 1794;    17) 4372 и 1356;

6) 1683 и 1326;    18) 2583 и 3403;

7) 2142 и 3468;    19) 2870 и 1353;

8) 1426 и 3657;    20) 5124 и 1612;

9) 4047 и 1539;    21) 2457 и 4998;

10) 3139 и 3870;   22) 4473 и 2508;

11) 6630 и 5199;   23) 2639 и 1911;

12) 1836 и 2210;   24) 4914 и 1426;

        25) 3315 и 4620.

3. С помощью расширенного алгоритма Евклида найти линейное представление НОД чисел из п.2.

4. Найти решение диофантова уравнения .

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

a

24

52

13

29

29

44

65

18

55

31

b

51

73

61

77

94

93

97

47

201

86

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

a

27

33

47

17

55

18

115

14

38

31

b

43

78

122

76

69

71

41

39

53

87

21

22

23

24

25

a

21

48

37

26

45

b

79

109

98

67

103

5. С помощью канонического разложения найти НОД и НОК чисел из п.2.

6. Проверить на простоту число:

1) 2293;     13) 1971;

2) 2373;    14) 2087;

3) 1037;    15) 1813;

4) 1119;    16) 1387;

5) 1289;    17) 1553;

6) 1311;    18) 2573;

7) 1459;    19) 1359;

8) 1291;    20) 1273;

9) 1623;    21) 2281;

10) 2013;    22) 2089;

11) 1281;    23) 1723;

12) 1817;    24) 1449;

      25) 1543.

7. Составить отчет, приобщив полученные результаты.

Требования к отчету.

В отчете должны быть приведены:

1. Краткие сведения об изученных свойствах целых чисел;

2. Решения своего варианта с необходимыми пояснениями.

3. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы:

  1.  Как определяется делимость целых чисел?
  2.  Что означает поделить число на число с остатком?
  3.  Что такое НОД двух целых чисел?
  4.  Что такое НОК двух целых чисел?
  5.  В чём суть классического алгоритма Евклида?
  6.  В чём суть расширенного алгоритма Евклида?
  7.  Что называется диофантовым уравнением? Как его решить?
  8.  Что называется каноническим разложением натурального числа? Обобщённым каноническим разложением?
  9.  Как найти НОД и НОК двух целых чисел с помощью канонического разложения?
  10.  Какие натуральные числа называются простыми? Составными?
  11.  Каккпроверить натуральное число на простоту?


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

7470. Рулевое управление ВАЗ 2121 62 KB
  Рулевое управление ВАЗ 2121 Рис. Рулевое управление. 1. Боковая тяга 2. Сошка 3. Средняя тяга 4. Маятниковый рычаг 5. Регулировочная муфта 6. Нижний шаровой шарнир подвески 7. Поворотный кулак 8. Верхний шаровой шарнир подвески 9. Подшипник ...
7471. Исследование напряженно-деформированного состояния элементов составных балок 9.79 MB
  Исследование напряженно-деформированного состояния элементов составных балок Введение Балки являются одним из самых употребляемых строительных элементов любых зданий и сооружений. По своей статической схеме балки представляют конструкцию, как правил...
7472. Исследование электромеханических свойств двигателя постоянного тока последовательного возбуждения 108.09 KB
  Исследование электромеханических свойств двигателя постоянного тока последовательного возбуждения. Цель работы: Исследовать способы регулирования скорости вращения и реверсирования якоря двигателя, построить рабочие характеристики двигателя. Пояснен...
7473. Снятие кривой нагрева электродвигателя и определение постоянной времени нагрева 63.24 KB
  Снятие кривой нагрева электродвигателя и определение постоянной времени нагрева. Цель работы: Изучить процесс нагрева двигателя, получить опытным путем данные построения кривой нагрева электродвигателя и определить значение постоянной времени нагрев...
7474. Исследование трехфазного асинхронного двигателя 55.54 KB
  Исследование трехфазного асинхронного двигателя Цель работы: Экспериментально снять механическую характеристику трехфазного асинхронного двигателя и осуществить его реверс. Пояснения к работе: Для выполнения данной работы используют трехфазный асинх...
7475. Предпринимательство в России на современном этапе его развития 149 KB
  Введение Рыночная экономика предполагает становление и развитие предприятий различных организационно-правовых форм, основанных на разных видах частной собственности, появление новых собственников - как отдельных граждан, так и трудовых коллекти...
7476. Право граждан на отпуск и гарантия его реализации 260 KB
  Право граждан на отпуск и гарантия его реализации Введение Дипломная работа на тему: Право граждан на отпуск и гарантия его реализации определяет круг лиц, пользующихся ежегодными оплачиваемыми отпусками, обобщает положения законодательства о мини...
7477. Проект саду на даху торгівельного центру Центрум в м. Києві 3.8 MB
  Проект саду на даху торгівельного центру Центрум в м. Києві Вступ Слід зазначити, що на сьогодні Київ втратив незліченну кількість зон рекреації. З кожним роком високоповерхові будинки приходять на зміну міським, в минулому численним, садам і...
7478. Конструкция роликомаятниковой мельницы 1.9 MB
  ВВЕДЕНИЕ Объем производства различных строительных материалов возрастает из года в год. Увеличивается выпуск нерудных материалов, сборных железобетонных изделий и конструкций при значительном повышении их качества. Для производства строительных мате...