67808

АРИФМЕТИКА ЦІЛИХ ЧИСЕЛ

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Якщо для цілих чисел і в кільці цілих чисел існує таке число, що, то кажуть, що ціле число ділиться на ціле число, і пишуть. При цьому число називається діленим або кратним числа, число – дільником числа, число – часткою. Будь-яке ціле число завжди можна розділити з остачею на довільне ціле число.

Украинкский

2014-09-15

416.5 KB

6 чел.

PAGE   \* MERGEFORMAT 5

Лабораторна робота № 3

Тема: АРИФМЕТИКА ЦІЛИХ ЧИСЕЛ

Мета роботи – вивчити основні поняття, необхідні для обґрунтування модульної арифметики і операцій в розширеннях скінченних полів.

Короткі теоретичні відомості.

1.Подільність цілих чисел.

Означення. Якщо для цілих чисел  і  в кільці цілих чисел  існує таке число , що , то кажуть, що ціле число  ділиться на ціле число , і пишуть . При цьому число  називається діленим або кратним числа , число  – дільником числа , число  – часткою.

Будь-яке ціле число  завжди можна розділити з остачею на довільне ціле число .

Теорема (про ділення з остачею). Для будь-яких цілих чисел  і , де , завжди існує одна і лише одна пара цілих чисел  і  таких, що

, де .

Число  називається неповною часткою, а  – остачею від ділення  на  .

Означення. Число , що одночасно ділить цілі числа  і , називається спільним дільником цих чисел. Найбільше число  з такою властивістю називається найбільшим спільним дільником (скорочено НСД) чисел  і . Позначення: .

Цілі числа  і  називаються взаємно простими, якщо .

Означення. Число , що одночасно ділиться на цілі числа  і , називається спільним кратним цих чисел. Найменше число  з такою властивістю називається найменшим спільним кратним (скорочено НСК) чисел  і . Позначення: .

Очевидно,  .

Найбільший спільний дільник двох цілих чисел  обчислюється за допомогою т.з. алгоритму Евкліда. У цьому алгоритмі основну роль відіграє операція ділення чисел з остачею, тобто представлення вигляду , де . Алгоритм Евкліда задається послідовністю рівностей

, ;

, ;

, ;

...........................................        (1)

, ;

, .

Теорема. Для будь-яких цілих чисел і , одночасно не рівних нулю, найбільший спільний дільник завжди існує і дорівнює останній відмінній від нуля остачі алгоритму Евкліда.

Теорема (про лінійне представлення НСД) Для будь-яких цілих чисел і рівняння

,

де  – найбільший спільний дільник цілих чисел і , завжди має розв'язок в цілих числах.

Нехай  і  – розв’язки рівняння . Запис

,       (2)

називається лінійним представленням найбільшого спільного дільника цілих чисел і .

При  рівняння (2) виражає критерій взаємної простоти чисел  і .

Розв'язок рівняння , де , – цілі, можна знайти з допомогою т.з. розширеного алгоритму Евкліда. Очевидно, достатньо розв'язати це рівняння, при додатних  і .

Діючи в класичній схемі (1) зворотним ходом від низу до верху, маємо

(йдемо по ланцюжку рівностей (1), виражаючи з кожної наступної рівності

остачу і підставляючи її в отриманий до цього моменту вираз)

....

Рівність (2) можна записати у векторній формі, тобто представити найбільший спільний дільник цілих чисел  і  набором коефіцієнтів розкладу за початковими числами:

.

Для знаходження вектора  рівності (1) класичного алгоритму застосовуються до векторів (Арифметичні дії з впорядкованими наборами чисел виконуються покомпонентно). Відзначимо, що самі початкові числа  і  можна представити такими векторами дуже просто:

, тому що ,

, тому що .

Протокол роботи розширеного алгоритму Евкліда зручно записувати у вигляді таблиці:

Остачі

Частки

1

0

0

1

Отримання нових значень компонентів  наборів  показане в третьому рядку таблиці (клітинки виділені): з числа в першій клітинці віднімається число в другій клітинці, помножене на число, що стоїть праворуч від нього в другому рядку, результат записується в третю клітинку. Аналогічно виконується операція для знаходження компонент  в четвертому рядку.

Лінійним діофантовим рівнянням називається рівняння вигляду 

,             (3)

де  – невідомі,  .

Нехай . Діофантове рівняння (3) має розв'язок тоді і тільки тоді, коли . При цьому загальний розв'язок визначається формулою:

,    ,        (4)

де  – частинний розв'язок рівняння (3), а  – довільне ціле число.

Розв'язки рівнянь  і  можуть відрізнятися тільки знаками.

Алгоритм розв'язування діофантового рівняння наступний:

  1.  За алгоритмом Евкліда знаходимо НСД . Якщо , то рівняння (3) має розв’язки. Якщо , то рівняння (3) розв’язків не має. 
  2.  За розширеним алгоритмом Евкліда знаходимо лінійне представлення НСД : . Визначаємо знаки для лінійного представлення.. Частинний розв’язок рівняння (3) має вигляд:

,  

  1.  Підставляючи отриманий частинний розв'язок в (4), отримаємо загальний розв'язок рівняння (3).

Простим числом називається натуральне число, в якого є точно два нерівні натуральні дільники: 1 і воно саме.

Властивості простих чисел:

  1.  Найменший відмінний від одиниці дільник натурального числа  є простим.
  2.  Найменший простий дільник складеного числа  не більший за .

З властивості 2 випливає просте правило перевірки натурального числа на простоту: якщо натуральне число  не ділиться на жодне просте число  таке, що , то  – просте; в іншому випадку – складене.

Основна теорема арифметики: кожне натуральне число єдиним, з точністю до порядку співмножників, чином представляється у вигляді добутку степенів простих чисел.

Канонічним розкладом (канонічною формою) складеного натурального числа  називається представлення його у вигляді . Якщо ж враховуються нульові показники степеня, то такий розклад називається узагальненим канонічним розкладом.

Наслідок. Нехай  і  – довільні натуральні числа, і нехай

,  

– їх узагальнені канонічні розклади (,). Тоді найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне чисел  і  відповідно мають вигляд

де ;

де .

Порядок виконання роботи.

  1.  Вивчити короткі теоретичні відомості про арифметику в кільці цілих чисел.

2. За допомогою класичного алгоритму Евкліда знайти НСД і НСК чисел:

1) 3094 и 1235;    13) 1972 и 2873;

2) 4557 и 1209;    14) 2257 и 5217;

3) 1430 и 4774;    15) 6426 и 1593;

4) 3366 и 1326;    16) 7371 и 1386;

5) 1254 и 1794;    17) 4372 и 1356;

6) 1683 и 1326;    18) 2583 и 3403;

7) 2142 и 3468;    19) 2870 и 1353;

8) 1426 и 3657;    20) 5124 и 1612;

9) 4047 и 1539;    21) 2457 и 4998;

10) 3139 и 3870;   22) 4473 и 2508;

11) 6630 и 5199;   23) 2639 и 1911;

12) 1836 и 2210;   24) 4914 и 1426;

        25) 3315 и 4620.

3. За допомогою розширеного алгоритму Евкліда знайти лінійне представлення НСД чисел з п.2.

4. Знайти розв'язок діофантового рівняння .

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

a

24

52

13

29

29

44

65

18

55

31

b

51

73

61

77

94

93

97

47

201

86

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

a

27

33

47

17

55

18

115

14

38

31

b

43

78

122

76

69

71

41

39

53

87

21

22

23

24

25

a

21

48

37

26

45

b

79

109

98

67

103

5. За допомогою канонічного розкладу знайти НСД і НСК чисел з п.2.

6. Перевірити на простоту число:

1) 2293;     13) 1971;

2) 2373;    14) 2087;

3) 1037;    15) 1813;

4) 1119;    16) 1387;

5) 1289;    17) 1553;

6) 1311;    18) 2573;

7) 1459;    19) 1359;

8) 1291;    20) 1273;

9) 1623;    21) 2281;

10) 2013;    22) 2089;

11) 1281;    23) 1723;

12) 1817;    24) 1449;

      25) 1543.

7. Скласти звіт, приєднавши отримані результати.

Вимоги до звіту.

У звіті мають бути приведені:

  1.  Короткі відомості про вивчені властивості цілих чисел.
  2.  Розв’язання свого варіанту з необхідними поясненнями.
  3.  Відповіді на контрольні питання.

Контрольні питання:

  1.  Як визначається подільність цілих чисел?
  2.  Що означає поділити число на число з остачею?
  3.  Що таке НСД двох цілих чисел?
  4.  Що таке НСК двох цілих чисел?
  5.  У чому суть класичного алгоритму Евкліда?
  6.  У чому суть розширеного алгоритму Евкліда?
  7.  Що називається діофантовим рівнянням? Як його розв’язати?
  8.  Що називається канонічним розкладом натурального числа? Узагальненим канонічним розкладом?
  9.  Як знайти НСД і НСК двох цілих чисел за допомогою канонічного розкладу?
  10.  Які натуральні числа називаються простими? Складеними?
  11.  Як перевірити натуральногое число на простоту?
  12.  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22267. НАРУШЕНИЯ КРОВООБРАЩЕНИЯ. ПОЛНОКРОВИЕ (ГИПЕРЕМИЯ) 43.5 KB
  Это проявляется асцитом расширением вен передней брюшной стенки голова Медузы расширением вен пищевода что опасно кровотечением. КРОВОТЕЧЕНИЕ ГЕМОРРАГИЯ Определение кровотечение геморрагия это выход крови из просвета сосуда или полости сердца наружу наружное кровотечение или в полости тела внутреннее кровотечение. Наружное кровотечение: кровохарканье кровотечение из носа рвота кровью маточное кровотечение метроррагия мелена кровь с калом.
22268. НАРУШЕНИЯ КРОВООБРАЩЕНИЯ. Тромбоз 42.5 KB
  Неблагоприятный: септический аутолиз тромба рассасывание тромба под действием микробов что опасно сепсисом и кровотечением отрыв тромба тромбоэмболия которая может привести к инфаркту. Значение: тромбоз может привести к нарушению кровоснабжения органа и развитию инфаркта гангрены. ТЭЛА может привести к красному инфаркту легкого или к внезапной смерти. ИНФАРКТ Определение: инфаркт это сосудистый ишемический некроз который возникает вследствие прекращения...
22269. Некроз. Патогенетические формы 33 KB
  Этиологические формы: токсический некроз эта форма встречается при действии на ткани организма токсинов яды биологи ческой природы токсины палочки дифтерии бактерий или химической природы кислоты щелочи. травматический некроз этот некроз возникает при действии сильных физических факторов высокие или низкие температуры электроток. сосудистый некроз связан с острым нарушением кровоснабжения органа или ткани.
22270. Влияние внутренней среды на разработку и реализацию управленческих решений 229.5 KB
  Внутренняя среда организации – эта та часть общей среды, которая находится в пределах организации. Она оказывает постоянное и самое непосредственное воздействие на различные аспекты функционирования организации, в том числе на процесс разработки и реализации управленческих решений
22271. Социально–экономическое положение Шпаковского района Ставропольского края 192 KB
  Цель данного курсового проекта – охарактеризовать социально – экономического положение Шпаковского муниципального района не только с экономической стороны, но и со стороны туристской деятельности, а также предложить проект по реализации туристского потенциала Шпаковского района.
22272. Сушарка розпилювальна дискова для зневоднення бульйону пташиного 1.95 MB
  Вологу з матеріалів можна видалити різними способами: механічним, фізико-хімічним та тепловим. При механічному способі вологу відтискують у пресах або центрифугах. Фізико-хімічний спосіб ґрунтується на застосуванні вологовідбірних засобів і використовується переважно в лабораторній практиці.
22273. ОСТРЫЕ ПНЕВМОНИИ 37.5 KB
  Локализация: Паренхиматозная пневмония воспалительный экссудат в альвеолах Бронхопневмония экссудат в бронхах и альвеолах Межуточная пневмония клеточный инфильтрат в строме легкого. Вид экссудата: Серозная пневмония Серознолейкоцитарная Гнойная Фибринозная крупозная Геморрагическая Серозногеморрагическая. КРУПОЗНАЯ ПНЕВМОНИЯ Определение. Крупозная пневмония острое инфекционноаллергическое заболевание с поражением целой доли легкого долевая пневмония фибринозным экссудатом в альвеолах паренхиматозная...
22274. ПАРЕНХИМАТОЗНЫЕ ДИСТРОФИИ (ПД) 27.5 KB
  Гиалиновокапельная дистрофия Определение: это тяжелая необратимая белковая паренхиматозная дистрофия при которой в цитоплазме появляются крупные капли похожие на гиалин. Гидропическая дистрофия Определение: это тяжелая необратимая белковая паренхиматозная дистрофия характеризующаяся появлением в клетке вакуолей наполненных жидкостью. При резко выраженной дистрофии клетки похожи на баллон это баллонноя дистрофия. Роговая дистрофия Определение: эта дистрофия характеризуется образованием большого количества рогового вещества в ороговевающем...
22275. Самодержавие и реформы в России во второй половине XIX, в начале XX века 284 KB
  Первые шаги к отмене крепостного права в России были сделаны императором Александром I в 1803 году изданием Указа о вольных хлебопашцах, в котором прописан юридический статус отпускаемых на волю крестьян.