67811

АРИФМЕТИКА МНОГОЧЛЕНІВ

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Множина всіх многочленів від однієї змінної над полем утворює комутативне кільце з одиницею. Будь-який ненульовий елемент поля можна розглядати як многочлен нульового степеня нуль поля також належить до многочленів його називають нульовим многочленом.

Украинкский

2014-09-15

456.5 KB

9 чел.

PAGE   \* MERGEFORMAT 5

Лабораторна робота № 4

Тема: АРИФМЕТИКА МНОГОЧЛЕНІВ

Мета роботи – вивчити основні поняття, необхідні для обґрунтування модульної арифметики і операцій в розширеннях скінченних полів.

Короткі теоретичні відомості.

1. Многочлени над полем.

Многочлен над полем  – це функція вигляду , де , . Ціле число  називається степенем многочлена і позначається . Числа  називаються коефіцієнтами,  – вільним членом. Областю зміни аргументу  є . Множення і додавання є операціями в полі. Константи (елементи поля ) розглядаються як многочлени нульового степеня.

Множина  всіх многочленів від однієї змінної над полем  утворює комутативне кільце з одиницею. Над многочленами можна проводити операції додавання і множення, причому ці дії мають всі властивості операцій в комутативному кільці (асоціативність, комутативність, дистрибутивність, існування нульового елементу, і т. д.). Будь-який ненульовий елемент поля можна розглядати як многочлен нульового степеня, нуль поля також належить до многочленів, його називають нульовим многочленом. Роль одиниці кільця  відіграє одиничний елемент 1 поля , який розглядається як многочлен нульового степеня.

Якщо , по многочлен називається зведеним (нормованим, унітарним). Будь-який многочлен над полем можна привести до нормованого, помноживши його на , але в кільці це не так, оскільки не для всіх елементів існують обернені.

В кільці многочленів  має місце алгоритм ділення з остачею, аналогічний тому, який має місце для цілих чисел.

Означення. Якщо для многочленів  і  в кільці  існують такі многочлени  і , що многочлен  можна представити у вигляді 

де степінь многочлена  не більше степеня многочлена  (), то говорять, що многочлен  ділиться на многочлен  з остачею.

2. Подільність многочленів

При діленні многочленів з остачею застосовують ту ж термінологію, що і для цілих чисел: многочлен  називається діленим, многочлен  – дільником, многочлен  – неповною часткою, а многочлен  – остачею.

На практиці ділення з остачею для двох заданих многочленів виконується аналогічно діленню багатозначних чисел – "кутом".

В окремому випадку, коли дільник  є зведеним лінійним двочленом, тобто , застосовується схема Горнера.

Покладемо

.

Прирівнявши коефіцієнти в обох частинах останньої рівності, отримаємо:

Звичайно процес ділення на лінійний двочлен оформляють у вигляді таблиці:

3. Алгоритм Евкліда для многочленів

Многочлен  називається спільним дільником многочленів  і , якщо він є дільником кожного з них.

Спільний дільник многочленів  і , який ділиться на будь-який спільний дільник цих многочленів, називається найбільшим спільним дільником (НСД) многочленів  і . Позначається символом  або .

Звичайно за   вибирається нормований многочлен.

Два многочлени   і  називаються взаємно простими, якщо кожен їх спільний дільник є многочленом нульового степеня (константою, що відрізняється від нуля).

Для визначення НСД двох многочленів використовується аналог класичного алгоритму Евкліда для чисел.

Нехай задані два многочлена  і , причому вважатимемо, що степінь  більше степеня . Виконаємо послідовно низку операцій ділення з остачею, які описуються наступною системою рівностей:

;

;

;

....................................................

;

.

Остання відмінна від нуля остача  і буде найбільшим спільним дільником многочленів  і .

Теорема (про лінійне представлення НСД двох многочленів). Для будь-яких двох многочленів  і  з  існує найбільший спільний дільник , який можна представити у вигляді:

,

де .

Два многочлени  і  є взаємно простими тоді і тільки тоді, коли існують многочлени  такі, що

.

Для визначення лінійного представлення НСД двох многочленів використовується аналог розширеного алгоритму Евкліда для чисел.

4. Многочлени над полем .

Додавання і множення в полі  визначається наступними таблицями

+

0

1

х

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

1

Якщо многочлен  незвідний, то остачі від ділення всіх многочленів з  на  утворюють поле  відносно операцій множення і складання многочленів з коефіцієнтами з . Поле  є розширенням. Кількість його елементів дорівнює . Рівність в полі  є конгруенцією вигляду . Елемент, обернений  обчислюється як многочлен  з рівняння , оскільки всі многочлени степеня менше  взаємно прості з .

Якщо многочлену ,  поставити у відповідність вектор , то операції в полі  можна інтерпретувати як операції над векторами – розширеними числами, праві крайні координати яких належать .

5. Незвідність многочленів

Многочлен ненульового степеня називається незвідним, якщо він ділиться лише на константи і сам на себе.

Незвідні многочлени  грають важливу роль в побудові кільця , оскільки кожен многочлен з  може бути представлений, причому єдиним чином, у вигляді добутку незвідних многочленів. Ці незвідні многочлени є аналогами простих чисел, через добуток яких можна виразити будь-яке ціле число.

Як простих чисел в, так і незвідних  многочленів над довільним полем  існує нескінченна множина.

Над будь-яким скінченним полем існують незвідні многочлени скільки завгодно високого степеня.

Порядок виконання роботи.

1. Вивчити короткі теоретичні відомості про властивості многочленів.

2. Користуючись схемою Горнера, обчислити :

  1.  ,   ;
    1.  ,   ;
    2.  ,   ;
    3.  ,  ;
    4.  ,   ;
    5.  ,  ;
    6.  , ;
    7.  , ;
    8.  ,   ;
    9.  ,  ;
  2.  ,   ;
  3.  ,  ;
  4.  ,  ;
  5.  ,  ;
  6.  ,  ;
  7.  ,   ;
  8.  ,  ;
  9.  ,   ;
  10.  ,   ;
  11.  ,  ;
  12.  ,   ;
  13.  ,   ;
  14.  ,  ;
  15.  ,  ;
  16.  , .

2. За допомогою розширеного алгоритму Евкліда знайти лінійне представлення найбільшого спільного дільника многочленів  і :

  1.  ,
  2.  ,
  3.  ,
  4.  ;
  5.  ,
  6.  ,
  7.  ,
  8.  ,
  9.  ,
  10.  ,
  11.  
  12.  
  13.  
  14.  
  15.  
  16.  
  17.  
  18.  
  19.  
  20.  
  21.  
  22.  ;
  23.  ;
  24.  ;
  25.  .

3. За допомогою розширеного алгоритму Евкліда знайти лінійне представлення найбільшого спільного дільника многочленів  і  над полем .

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

4

5

8

6

5

6

5

7

4

6

6

7

7

3

4

4

1

3

5

1

3

2

3

4

2

4

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

6

8

6

7

8

9

8

7

9

8

5

8

2

5

5

6

3

5

2

5

4

1

2

5

4. Скласти звіт, приєднавши отримані результати.

Вимоги до звіту.

У звіті мають бути приведені:

1. Короткі відомості про вивчені властивості многочленів.

2. Розв'язання свого варіанту з необхідними поясненнями.

3. Відповіді на контрольні питання.

Контрольні питання.

  1.  Що таке многочлен?
    1.  Що таке многочлен над полем?
      1.  Як знайти НСД двох многочленів?
      2.  Як знайти лінійне представлення НСД двох многочленів?
      3.  Чому лишки за модулем незвідного над  многочлена не утворюють поле?
      4.  Чому операції додавання і віднімання в розширенні поля  збігаються?


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80801. Экологические требования при эксплуатации опасных производственных объектов 32.08 KB
  Организация эксплуатирующая опасный производственный объект обязана: соблюдать положения настоящего Федерального закона других федеральных законов и иных нормативных правовых актов Российской Федерации а также нормативных технических документов в области промышленной безопасности; иметь лицензию на осуществление конкретного вида деятельности в области промышленной безопасности подлежащего лицензированию в соответствии с законодательством Российской Федерации; обеспечивать укомплектованность штата работников опасного производственного...
80802. Правовое регулирование генно-инженерной деятельности 32.83 KB
  Внедрение результатов генноинженерной деятельность сопряжено с потенциальными отрицательными последствиями для природы. В связи с этим возникает потребность в правовом регулировании экологических отношений возникающих при осуществлении генноинженерной деятельности. Этим целям служит Федеральный закон О государственном регулировании генноинженерной деятельности .
80803. Меры обеспечения экологической безопасности 31.19 KB
  Экологическая безопасность обеспечивается комплексом правовых организационных финансовых материальных и информационных мер предназначенных для прогнозирования предотвращения ликвидации реальных и потенциальных угроз безопасности смягчения их последствий. Угроза экологической безопасности выражает повышенную вероятность гибели отдельных природных объектов существенного загрязнения отравления или заражения окружающей среды масштабы которых определяются исходя из размеров поражения окружающей среды его устойчивости возможности...
80804. Предупреждение и ликвидация чрезвычайных ситуаций природного и техногенного характера 32.12 KB
  Предупреждение чрезвычайных ситуаций это комплекс мероприятий проводимых заблаговременно и направленных на максимально возможное уменьшение риска возникновения чрезвычайных ситуаций а также на сохранение здоровья людей снижение размеров ущерба окружающей среде и материальных потерь в случае их возникновения. Ликвидация чрезвычайных ситуаций это аварийноспасательные и другие неотложные работы проводимые при...
80805. Правовые меры обеспечения радиационной безопасности 30.43 KB
  Федеральный закон о радиационной безопасности населения закрепляет требования по обеспечению радиационной безопасности при обращении с радиоактивными веществами ядерными материалами. При обращении с источниками ионизирующего излучения организации обязаны: 1соблюдать требования законодательства РФ норм правил и нормативов в области обеспечения радиационной безопасности; 2 планировать и осуществлять мероприятия по обеспечению радиационной безопасности; 3 осуществлять систематический производственный контроль за радиационной обстановкой на...
80806. Правовой режим территорий подвергшихся радиоактивному загрязнению 29.82 KB
  зона эвакуации территория вокруг Чернобыльской АЭС с которой в 1986 г. было эвакуировано население 30километровая зона; 2. зона первоочередного отселения; 3. зона последующего отселения; 4.
80807. Порядок обращения с отходами производства и потребления 31.6 KB
  была принята серия специальных законодательных и иных нормативноправовых актов полностью или частично регламентирующих обращение с отходами в рамках логического правотворчества что послужило прорывом в данной области. определил правовые основы обращения с отходами производства и потребления в целях предотвращения их вредного воздействия на здоровье человека и окружающую среду впервые четко зафиксировал принципы государственной политики в сфере обращения с отходами: охрана здоровья человека поддержание и восстановление благоприятного...
80808. Понятие, система и источники международного экологического права 33.01 KB
  38 Устава Международного суда ООН источниками международного права охраны окружающей среды являются: международные договоры как общие так и специальные; международный обычай как доказательство всеобщей практики признанной в качестве правовой нормы; общие принципы права признанные цивилизованными государствами; вспомогательное право т. Источники международного экологического права разделяются: на общие Устав ООН конвенции общего характера регулирующие наряду с иными вопросами и охрану окружающей среды Конвенция ООН по...
80809. Международные экологические организации. Международные конференции по окружающей среде 32.62 KB
  Большой вклад в решение проблем охраны окружающей среды вносит ООН. В природоохранительной деятельности участвуют все главные органы и специализированные учреждения ООН Генеральная Ассамблея Экономический и Социальный Совет региональные экономические комиссии например Европейская экономическая комиссия Конференция ООН по торговле и развитию ЮНКТАД Организация объединенных наций по промышленному развитию ЮНИДО Международная Организация Труда МОТ Организация Объединенных Наций по вопросам продовольствия и сельского хозяйства...