67811

АРИФМЕТИКА МНОГОЧЛЕНІВ

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Множина всіх многочленів від однієї змінної над полем утворює комутативне кільце з одиницею. Будь-який ненульовий елемент поля можна розглядати як многочлен нульового степеня нуль поля також належить до многочленів його називають нульовим многочленом.

Украинкский

2014-09-15

456.5 KB

9 чел.

PAGE   \* MERGEFORMAT 5

Лабораторна робота № 4

Тема: АРИФМЕТИКА МНОГОЧЛЕНІВ

Мета роботи – вивчити основні поняття, необхідні для обґрунтування модульної арифметики і операцій в розширеннях скінченних полів.

Короткі теоретичні відомості.

1. Многочлени над полем.

Многочлен над полем  – це функція вигляду , де , . Ціле число  називається степенем многочлена і позначається . Числа  називаються коефіцієнтами,  – вільним членом. Областю зміни аргументу  є . Множення і додавання є операціями в полі. Константи (елементи поля ) розглядаються як многочлени нульового степеня.

Множина  всіх многочленів від однієї змінної над полем  утворює комутативне кільце з одиницею. Над многочленами можна проводити операції додавання і множення, причому ці дії мають всі властивості операцій в комутативному кільці (асоціативність, комутативність, дистрибутивність, існування нульового елементу, і т. д.). Будь-який ненульовий елемент поля можна розглядати як многочлен нульового степеня, нуль поля також належить до многочленів, його називають нульовим многочленом. Роль одиниці кільця  відіграє одиничний елемент 1 поля , який розглядається як многочлен нульового степеня.

Якщо , по многочлен називається зведеним (нормованим, унітарним). Будь-який многочлен над полем можна привести до нормованого, помноживши його на , але в кільці це не так, оскільки не для всіх елементів існують обернені.

В кільці многочленів  має місце алгоритм ділення з остачею, аналогічний тому, який має місце для цілих чисел.

Означення. Якщо для многочленів  і  в кільці  існують такі многочлени  і , що многочлен  можна представити у вигляді 

де степінь многочлена  не більше степеня многочлена  (), то говорять, що многочлен  ділиться на многочлен  з остачею.

2. Подільність многочленів

При діленні многочленів з остачею застосовують ту ж термінологію, що і для цілих чисел: многочлен  називається діленим, многочлен  – дільником, многочлен  – неповною часткою, а многочлен  – остачею.

На практиці ділення з остачею для двох заданих многочленів виконується аналогічно діленню багатозначних чисел – "кутом".

В окремому випадку, коли дільник  є зведеним лінійним двочленом, тобто , застосовується схема Горнера.

Покладемо

.

Прирівнявши коефіцієнти в обох частинах останньої рівності, отримаємо:

Звичайно процес ділення на лінійний двочлен оформляють у вигляді таблиці:

3. Алгоритм Евкліда для многочленів

Многочлен  називається спільним дільником многочленів  і , якщо він є дільником кожного з них.

Спільний дільник многочленів  і , який ділиться на будь-який спільний дільник цих многочленів, називається найбільшим спільним дільником (НСД) многочленів  і . Позначається символом  або .

Звичайно за   вибирається нормований многочлен.

Два многочлени   і  називаються взаємно простими, якщо кожен їх спільний дільник є многочленом нульового степеня (константою, що відрізняється від нуля).

Для визначення НСД двох многочленів використовується аналог класичного алгоритму Евкліда для чисел.

Нехай задані два многочлена  і , причому вважатимемо, що степінь  більше степеня . Виконаємо послідовно низку операцій ділення з остачею, які описуються наступною системою рівностей:

;

;

;

....................................................

;

.

Остання відмінна від нуля остача  і буде найбільшим спільним дільником многочленів  і .

Теорема (про лінійне представлення НСД двох многочленів). Для будь-яких двох многочленів  і  з  існує найбільший спільний дільник , який можна представити у вигляді:

,

де .

Два многочлени  і  є взаємно простими тоді і тільки тоді, коли існують многочлени  такі, що

.

Для визначення лінійного представлення НСД двох многочленів використовується аналог розширеного алгоритму Евкліда для чисел.

4. Многочлени над полем .

Додавання і множення в полі  визначається наступними таблицями

+

0

1

х

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

1

Якщо многочлен  незвідний, то остачі від ділення всіх многочленів з  на  утворюють поле  відносно операцій множення і складання многочленів з коефіцієнтами з . Поле  є розширенням. Кількість його елементів дорівнює . Рівність в полі  є конгруенцією вигляду . Елемент, обернений  обчислюється як многочлен  з рівняння , оскільки всі многочлени степеня менше  взаємно прості з .

Якщо многочлену ,  поставити у відповідність вектор , то операції в полі  можна інтерпретувати як операції над векторами – розширеними числами, праві крайні координати яких належать .

5. Незвідність многочленів

Многочлен ненульового степеня називається незвідним, якщо він ділиться лише на константи і сам на себе.

Незвідні многочлени  грають важливу роль в побудові кільця , оскільки кожен многочлен з  може бути представлений, причому єдиним чином, у вигляді добутку незвідних многочленів. Ці незвідні многочлени є аналогами простих чисел, через добуток яких можна виразити будь-яке ціле число.

Як простих чисел в, так і незвідних  многочленів над довільним полем  існує нескінченна множина.

Над будь-яким скінченним полем існують незвідні многочлени скільки завгодно високого степеня.

Порядок виконання роботи.

1. Вивчити короткі теоретичні відомості про властивості многочленів.

2. Користуючись схемою Горнера, обчислити :

  1.  ,   ;
    1.  ,   ;
    2.  ,   ;
    3.  ,  ;
    4.  ,   ;
    5.  ,  ;
    6.  , ;
    7.  , ;
    8.  ,   ;
    9.  ,  ;
  2.  ,   ;
  3.  ,  ;
  4.  ,  ;
  5.  ,  ;
  6.  ,  ;
  7.  ,   ;
  8.  ,  ;
  9.  ,   ;
  10.  ,   ;
  11.  ,  ;
  12.  ,   ;
  13.  ,   ;
  14.  ,  ;
  15.  ,  ;
  16.  , .

2. За допомогою розширеного алгоритму Евкліда знайти лінійне представлення найбільшого спільного дільника многочленів  і :

  1.  ,
  2.  ,
  3.  ,
  4.  ;
  5.  ,
  6.  ,
  7.  ,
  8.  ,
  9.  ,
  10.  ,
  11.  
  12.  
  13.  
  14.  
  15.  
  16.  
  17.  
  18.  
  19.  
  20.  
  21.  
  22.  ;
  23.  ;
  24.  ;
  25.  .

3. За допомогою розширеного алгоритму Евкліда знайти лінійне представлення найбільшого спільного дільника многочленів  і  над полем .

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

4

5

8

6

5

6

5

7

4

6

6

7

7

3

4

4

1

3

5

1

3

2

3

4

2

4

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

6

8

6

7

8

9

8

7

9

8

5

8

2

5

5

6

3

5

2

5

4

1

2

5

4. Скласти звіт, приєднавши отримані результати.

Вимоги до звіту.

У звіті мають бути приведені:

1. Короткі відомості про вивчені властивості многочленів.

2. Розв'язання свого варіанту з необхідними поясненнями.

3. Відповіді на контрольні питання.

Контрольні питання.

  1.  Що таке многочлен?
    1.  Що таке многочлен над полем?
      1.  Як знайти НСД двох многочленів?
      2.  Як знайти лінійне представлення НСД двох многочленів?
      3.  Чому лишки за модулем незвідного над  многочлена не утворюють поле?
      4.  Чому операції додавання і віднімання в розширенні поля  збігаються?


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

35917. Тепловые эффекты растворения веществ 68.5 KB
  Определение энтальпии растворения соли кислоты или основания. Получить у преподавателя соль энтальпию растворения которой нужно определить при определении энтальпии растворения кислоты или основания необходимо соблюдать технику безопасности. Для определения энтальпии растворения соли используется калориметр схема которого показана на рисунке.
35918. Строение и метаболизм клеток животных. Строение и функции митохондрий. Клеточное дыхание 68 KB
  Ещё особенность внй мембраны очень высе содержание белков до 70 по весу предсх транспми белками ферментами дых цепи а также крупными АТФсинтетазными комплексами. Внуя мембрана в отличие от внешней не имеет спецх отверстий для транспорта мелких молекул и ионов; на ней на стороне обращенной к матриксу распся особые молекулы АТФсинтазы состоящие из головки ножки и основания. При прохождении через них протонов происходит синтез АТФ. Синтез АТФ унивей формы химй энергии в любой живой клетке.
35919. Основы экономики 65.8 KB
  Понятие и формы собственности. Владение возможность определять судьбу объекта собственности продать подарить передать по наследству Распоряжение управление объектом собственности с целью эффективного его использования можно сдать в аренду в пользование Пользование извлечение полезных свойств объекта собственности.лицу Формы собственности различаются в зависимости от того кто является собственником и осуществляет присвоение. В ГК РФ есть 4 формы собственности: 1.
35921. Функциональная стилистика 65.5 KB
  возникает много споров Функциональный стиль разновидность литературного стиля предназначенный для функционирования в определенной сфере человеческой деятельности; общественно осознанная объединенная определена функциональным назначением в общ. Стиль художественной речи 2. Публицистический стиль 3. Научный стиль 5.
35922. Экологический мониторинг 64.5 KB
  МЕТОДЫ ЭКОЛОГИЧЕСКОГО МОНИТОРИНГА: Дистанционные аэрокосмические методы космические пилотируемые орбитальные станции корабли многоразового использования автономные спутниковые съемочные системы и т.; авиационного базирования самолеты вертолеты и микроавиационные радиоуправляемые аппараты и составляют значительную часть дистанционных данных remotely sensed dt как антонима контактных прежде всего наземных видов съемок способов получения данных измерительными системами в условиях физического контакта с объектом съемки; к...