67811

АРИФМЕТИКА МНОГОЧЛЕНІВ

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Множина всіх многочленів від однієї змінної над полем утворює комутативне кільце з одиницею. Будь-який ненульовий елемент поля можна розглядати як многочлен нульового степеня нуль поля також належить до многочленів його називають нульовим многочленом.

Украинкский

2014-09-15

456.5 KB

5 чел.

PAGE   \* MERGEFORMAT 5

Лабораторна робота № 4

Тема: АРИФМЕТИКА МНОГОЧЛЕНІВ

Мета роботи – вивчити основні поняття, необхідні для обґрунтування модульної арифметики і операцій в розширеннях скінченних полів.

Короткі теоретичні відомості.

1. Многочлени над полем.

Многочлен над полем  – це функція вигляду , де , . Ціле число  називається степенем многочлена і позначається . Числа  називаються коефіцієнтами,  – вільним членом. Областю зміни аргументу  є . Множення і додавання є операціями в полі. Константи (елементи поля ) розглядаються як многочлени нульового степеня.

Множина  всіх многочленів від однієї змінної над полем  утворює комутативне кільце з одиницею. Над многочленами можна проводити операції додавання і множення, причому ці дії мають всі властивості операцій в комутативному кільці (асоціативність, комутативність, дистрибутивність, існування нульового елементу, і т. д.). Будь-який ненульовий елемент поля можна розглядати як многочлен нульового степеня, нуль поля також належить до многочленів, його називають нульовим многочленом. Роль одиниці кільця  відіграє одиничний елемент 1 поля , який розглядається як многочлен нульового степеня.

Якщо , по многочлен називається зведеним (нормованим, унітарним). Будь-який многочлен над полем можна привести до нормованого, помноживши його на , але в кільці це не так, оскільки не для всіх елементів існують обернені.

В кільці многочленів  має місце алгоритм ділення з остачею, аналогічний тому, який має місце для цілих чисел.

Означення. Якщо для многочленів  і  в кільці  існують такі многочлени  і , що многочлен  можна представити у вигляді 

де степінь многочлена  не більше степеня многочлена  (), то говорять, що многочлен  ділиться на многочлен  з остачею.

2. Подільність многочленів

При діленні многочленів з остачею застосовують ту ж термінологію, що і для цілих чисел: многочлен  називається діленим, многочлен  – дільником, многочлен  – неповною часткою, а многочлен  – остачею.

На практиці ділення з остачею для двох заданих многочленів виконується аналогічно діленню багатозначних чисел – "кутом".

В окремому випадку, коли дільник  є зведеним лінійним двочленом, тобто , застосовується схема Горнера.

Покладемо

.

Прирівнявши коефіцієнти в обох частинах останньої рівності, отримаємо:

Звичайно процес ділення на лінійний двочлен оформляють у вигляді таблиці:

3. Алгоритм Евкліда для многочленів

Многочлен  називається спільним дільником многочленів  і , якщо він є дільником кожного з них.

Спільний дільник многочленів  і , який ділиться на будь-який спільний дільник цих многочленів, називається найбільшим спільним дільником (НСД) многочленів  і . Позначається символом  або .

Звичайно за   вибирається нормований многочлен.

Два многочлени   і  називаються взаємно простими, якщо кожен їх спільний дільник є многочленом нульового степеня (константою, що відрізняється від нуля).

Для визначення НСД двох многочленів використовується аналог класичного алгоритму Евкліда для чисел.

Нехай задані два многочлена  і , причому вважатимемо, що степінь  більше степеня . Виконаємо послідовно низку операцій ділення з остачею, які описуються наступною системою рівностей:

;

;

;

....................................................

;

.

Остання відмінна від нуля остача  і буде найбільшим спільним дільником многочленів  і .

Теорема (про лінійне представлення НСД двох многочленів). Для будь-яких двох многочленів  і  з  існує найбільший спільний дільник , який можна представити у вигляді:

,

де .

Два многочлени  і  є взаємно простими тоді і тільки тоді, коли існують многочлени  такі, що

.

Для визначення лінійного представлення НСД двох многочленів використовується аналог розширеного алгоритму Евкліда для чисел.

4. Многочлени над полем .

Додавання і множення в полі  визначається наступними таблицями

+

0

1

х

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

1

Якщо многочлен  незвідний, то остачі від ділення всіх многочленів з  на  утворюють поле  відносно операцій множення і складання многочленів з коефіцієнтами з . Поле  є розширенням. Кількість його елементів дорівнює . Рівність в полі  є конгруенцією вигляду . Елемент, обернений  обчислюється як многочлен  з рівняння , оскільки всі многочлени степеня менше  взаємно прості з .

Якщо многочлену ,  поставити у відповідність вектор , то операції в полі  можна інтерпретувати як операції над векторами – розширеними числами, праві крайні координати яких належать .

5. Незвідність многочленів

Многочлен ненульового степеня називається незвідним, якщо він ділиться лише на константи і сам на себе.

Незвідні многочлени  грають важливу роль в побудові кільця , оскільки кожен многочлен з  може бути представлений, причому єдиним чином, у вигляді добутку незвідних многочленів. Ці незвідні многочлени є аналогами простих чисел, через добуток яких можна виразити будь-яке ціле число.

Як простих чисел в, так і незвідних  многочленів над довільним полем  існує нескінченна множина.

Над будь-яким скінченним полем існують незвідні многочлени скільки завгодно високого степеня.

Порядок виконання роботи.

1. Вивчити короткі теоретичні відомості про властивості многочленів.

2. Користуючись схемою Горнера, обчислити :

  1.  ,   ;
    1.  ,   ;
    2.  ,   ;
    3.  ,  ;
    4.  ,   ;
    5.  ,  ;
    6.  , ;
    7.  , ;
    8.  ,   ;
    9.  ,  ;
  2.  ,   ;
  3.  ,  ;
  4.  ,  ;
  5.  ,  ;
  6.  ,  ;
  7.  ,   ;
  8.  ,  ;
  9.  ,   ;
  10.  ,   ;
  11.  ,  ;
  12.  ,   ;
  13.  ,   ;
  14.  ,  ;
  15.  ,  ;
  16.  , .

2. За допомогою розширеного алгоритму Евкліда знайти лінійне представлення найбільшого спільного дільника многочленів  і :

  1.  ,
  2.  ,
  3.  ,
  4.  ;
  5.  ,
  6.  ,
  7.  ,
  8.  ,
  9.  ,
  10.  ,
  11.  
  12.  
  13.  
  14.  
  15.  
  16.  
  17.  
  18.  
  19.  
  20.  
  21.  
  22.  ;
  23.  ;
  24.  ;
  25.  .

3. За допомогою розширеного алгоритму Евкліда знайти лінійне представлення найбільшого спільного дільника многочленів  і  над полем .

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

4

5

8

6

5

6

5

7

4

6

6

7

7

3

4

4

1

3

5

1

3

2

3

4

2

4

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

6

8

6

7

8

9

8

7

9

8

5

8

2

5

5

6

3

5

2

5

4

1

2

5

4. Скласти звіт, приєднавши отримані результати.

Вимоги до звіту.

У звіті мають бути приведені:

1. Короткі відомості про вивчені властивості многочленів.

2. Розв'язання свого варіанту з необхідними поясненнями.

3. Відповіді на контрольні питання.

Контрольні питання.

  1.  Що таке многочлен?
    1.  Що таке многочлен над полем?
      1.  Як знайти НСД двох многочленів?
      2.  Як знайти лінійне представлення НСД двох многочленів?
      3.  Чому лишки за модулем незвідного над  многочлена не утворюють поле?
      4.  Чому операції додавання і віднімання в розширенні поля  збігаються?


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79088. Институты публичного права и изменения полномочий императора, сената и магистратуры в период принципата. Провинциальное управление 19.62 KB
  Этот титул впервые получил от сената основатель империи Октавиан Август поставленный первым в списке сенаторов и получивший право первым выступать в сенате что позволяло предопределять решения последнего; 2 доминат III V вв. Как консул он мог воспользовавшись правом интерцессии отменить решение любого магистрата как цензор формировать сенат из своих сторонников как трибун наложить вето на постановление сената или решение магистрата. Юридически он получал власть по решению сената и римского народа но он мог указать своего преемника...
79089. Институты публичного права Рима в период республики 24.41 KB
  Особую часть римского права составляло государственное публичное право регулирующее положение Рима как общины и столицы сначала Италии а затем и мировой державы. Эпоха римской республики это время наивысшего расцвета государственного права путем прямой законодательной деятельности народа. сохраняла свои права римская civits.
79090. Исполнение обязательства и ответственность за неисполнение обязательства 25.12 KB
  В случае неисполнения или ненадлежащего исполнения должником своего обязательства он нес ответственность перед кредитором. В более отдаленные эпохи ответственность имела личный характер: в случаях неисполнения должником лежащей на нем обязанности к нему применялись притом самим кредитором меры воздействия направленные непосредственно на его личность заключение в тюрьму продажа в рабство даже лишение жизни.Указания на такую личную ответственность содержатся еще в постановлениях XII таблиц.
79091. Историческое значение римского права. Значение римского права для современной юриспруденции 16.88 KB
  Значение римского права для современной юриспруденции. Значение римского права определяется его огромным влиянием не только на последующее развитие права но и на развитие культуры в целом.1Эти особенности римского права способствовали тому что когда развивающаяся промышленность и торговля средневековой Европы потребовали более совершенной правовой надстройки когда феодальные нормы обычного права перестали удовлетворять требованиям жизни произошел интереснейший процесс рецепция римского права.
79092. Кодификация Юстиниана; причины и процесс кодификации. Конституции, их содержание и система. Дигесты. Их состав и содержание. Кодекс Юстиниана. Новеллы 24 KB
  Предпосылки всеобщей кодификации права. Уже на относительно раннем этапе своего исторического развития юридическая техника и в целом культура римского права обнаружили потребность и стремление к обобщению и унификации источников права и вытекающих из них правовых норм. В ходе централизаторских политических и правовых реформ проводимых при активном личном участии императора была реализована и всеобъемлющая кодификация права причем на новых принципах отражавших высокий уровень юриспруденции и юридической науки Византии в рамках римской...
79093. Консенсуальные договоры. Купля-продажа Права и обязанности сторон. Эвикция 24.48 KB
  Передача вещи рассматривалось уже как исполнение консенсуального контракта. Предметом договора куплипродажи могли быть как вещи телесные например дом зерно так и нематериальные например право требования. Предметом договора могли быть как вещи уже существующие в натуре так и те которые появятся или поступят в собственность продавца только в будущем. Предмет договора куплипродажи должен был быть определенным образом индивидуализирован и поэтому вещи определенные родовыми признаками не могли отчуждаться по договору куплипродажи.
79094. Легаты и фидеикомиссы. Виды легатов. Ограничения легатов. Универсальный фидеикомисс 23.62 KB
  Виды легатов. Ограничения легатов. Различалось несколько видов легатов. Наиболее существенным было различие легатов pervindictionem и легатов perdmntionem.
79095. Литтеральные договоры и реальные договоры. Заем и ссуда. Различие между этими договорами. Договор хранения его виды. Характер обязательств по договорам ссуды и хранения. Закладной договор 44.38 KB
  обязательство в этом случае устанавливается не только простым соглашением consensus но и передачей вещи res; нельзя требовать возврата от того кто ничего не получал. деньги зерно вино и тому подобные вещи определенные родовыми признаками. получающий юридическую силу лишь с того момента когда на основании соглашения сторон последовала передача res вещи;б предмет договора денежная сумма или известное количество других вещей определенных родовыми признаками весом числом мерой;в эти вещи передаются заимодавцем в собственность...
79096. Наследование по завещанию. Порядок составления. Условия действительности. Содержание завещания. Обязательная доля. Назначение наследника 23.27 KB
  Завещание по римскому праву это не просто всякое распоряжение лица своим имуществом на случай смерти а лишь такое которое содержало назначение наследника. Назначение наследника должно было быть в самом начале завещания и без него завещание не имело юридической силы. Завещание это односторонняя сделка выражающая волю лишь одного лица завещателя. На практике это позволяло завещателю в любой момент и без какихлибо ограничений отменить или изменить составленное им ранее завещание.