67811

АРИФМЕТИКА МНОГОЧЛЕНІВ

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Множина всіх многочленів від однієї змінної над полем утворює комутативне кільце з одиницею. Будь-який ненульовий елемент поля можна розглядати як многочлен нульового степеня нуль поля також належить до многочленів його називають нульовим многочленом.

Украинкский

2014-09-15

456.5 KB

9 чел.

PAGE   \* MERGEFORMAT 5

Лабораторна робота № 4

Тема: АРИФМЕТИКА МНОГОЧЛЕНІВ

Мета роботи – вивчити основні поняття, необхідні для обґрунтування модульної арифметики і операцій в розширеннях скінченних полів.

Короткі теоретичні відомості.

1. Многочлени над полем.

Многочлен над полем  – це функція вигляду , де , . Ціле число  називається степенем многочлена і позначається . Числа  називаються коефіцієнтами,  – вільним членом. Областю зміни аргументу  є . Множення і додавання є операціями в полі. Константи (елементи поля ) розглядаються як многочлени нульового степеня.

Множина  всіх многочленів від однієї змінної над полем  утворює комутативне кільце з одиницею. Над многочленами можна проводити операції додавання і множення, причому ці дії мають всі властивості операцій в комутативному кільці (асоціативність, комутативність, дистрибутивність, існування нульового елементу, і т. д.). Будь-який ненульовий елемент поля можна розглядати як многочлен нульового степеня, нуль поля також належить до многочленів, його називають нульовим многочленом. Роль одиниці кільця  відіграє одиничний елемент 1 поля , який розглядається як многочлен нульового степеня.

Якщо , по многочлен називається зведеним (нормованим, унітарним). Будь-який многочлен над полем можна привести до нормованого, помноживши його на , але в кільці це не так, оскільки не для всіх елементів існують обернені.

В кільці многочленів  має місце алгоритм ділення з остачею, аналогічний тому, який має місце для цілих чисел.

Означення. Якщо для многочленів  і  в кільці  існують такі многочлени  і , що многочлен  можна представити у вигляді 

де степінь многочлена  не більше степеня многочлена  (), то говорять, що многочлен  ділиться на многочлен  з остачею.

2. Подільність многочленів

При діленні многочленів з остачею застосовують ту ж термінологію, що і для цілих чисел: многочлен  називається діленим, многочлен  – дільником, многочлен  – неповною часткою, а многочлен  – остачею.

На практиці ділення з остачею для двох заданих многочленів виконується аналогічно діленню багатозначних чисел – "кутом".

В окремому випадку, коли дільник  є зведеним лінійним двочленом, тобто , застосовується схема Горнера.

Покладемо

.

Прирівнявши коефіцієнти в обох частинах останньої рівності, отримаємо:

Звичайно процес ділення на лінійний двочлен оформляють у вигляді таблиці:

3. Алгоритм Евкліда для многочленів

Многочлен  називається спільним дільником многочленів  і , якщо він є дільником кожного з них.

Спільний дільник многочленів  і , який ділиться на будь-який спільний дільник цих многочленів, називається найбільшим спільним дільником (НСД) многочленів  і . Позначається символом  або .

Звичайно за   вибирається нормований многочлен.

Два многочлени   і  називаються взаємно простими, якщо кожен їх спільний дільник є многочленом нульового степеня (константою, що відрізняється від нуля).

Для визначення НСД двох многочленів використовується аналог класичного алгоритму Евкліда для чисел.

Нехай задані два многочлена  і , причому вважатимемо, що степінь  більше степеня . Виконаємо послідовно низку операцій ділення з остачею, які описуються наступною системою рівностей:

;

;

;

....................................................

;

.

Остання відмінна від нуля остача  і буде найбільшим спільним дільником многочленів  і .

Теорема (про лінійне представлення НСД двох многочленів). Для будь-яких двох многочленів  і  з  існує найбільший спільний дільник , який можна представити у вигляді:

,

де .

Два многочлени  і  є взаємно простими тоді і тільки тоді, коли існують многочлени  такі, що

.

Для визначення лінійного представлення НСД двох многочленів використовується аналог розширеного алгоритму Евкліда для чисел.

4. Многочлени над полем .

Додавання і множення в полі  визначається наступними таблицями

+

0

1

х

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

1

Якщо многочлен  незвідний, то остачі від ділення всіх многочленів з  на  утворюють поле  відносно операцій множення і складання многочленів з коефіцієнтами з . Поле  є розширенням. Кількість його елементів дорівнює . Рівність в полі  є конгруенцією вигляду . Елемент, обернений  обчислюється як многочлен  з рівняння , оскільки всі многочлени степеня менше  взаємно прості з .

Якщо многочлену ,  поставити у відповідність вектор , то операції в полі  можна інтерпретувати як операції над векторами – розширеними числами, праві крайні координати яких належать .

5. Незвідність многочленів

Многочлен ненульового степеня називається незвідним, якщо він ділиться лише на константи і сам на себе.

Незвідні многочлени  грають важливу роль в побудові кільця , оскільки кожен многочлен з  може бути представлений, причому єдиним чином, у вигляді добутку незвідних многочленів. Ці незвідні многочлени є аналогами простих чисел, через добуток яких можна виразити будь-яке ціле число.

Як простих чисел в, так і незвідних  многочленів над довільним полем  існує нескінченна множина.

Над будь-яким скінченним полем існують незвідні многочлени скільки завгодно високого степеня.

Порядок виконання роботи.

1. Вивчити короткі теоретичні відомості про властивості многочленів.

2. Користуючись схемою Горнера, обчислити :

  1.  ,   ;
    1.  ,   ;
    2.  ,   ;
    3.  ,  ;
    4.  ,   ;
    5.  ,  ;
    6.  , ;
    7.  , ;
    8.  ,   ;
    9.  ,  ;
  2.  ,   ;
  3.  ,  ;
  4.  ,  ;
  5.  ,  ;
  6.  ,  ;
  7.  ,   ;
  8.  ,  ;
  9.  ,   ;
  10.  ,   ;
  11.  ,  ;
  12.  ,   ;
  13.  ,   ;
  14.  ,  ;
  15.  ,  ;
  16.  , .

2. За допомогою розширеного алгоритму Евкліда знайти лінійне представлення найбільшого спільного дільника многочленів  і :

  1.  ,
  2.  ,
  3.  ,
  4.  ;
  5.  ,
  6.  ,
  7.  ,
  8.  ,
  9.  ,
  10.  ,
  11.  
  12.  
  13.  
  14.  
  15.  
  16.  
  17.  
  18.  
  19.  
  20.  
  21.  
  22.  ;
  23.  ;
  24.  ;
  25.  .

3. За допомогою розширеного алгоритму Евкліда знайти лінійне представлення найбільшого спільного дільника многочленів  і  над полем .

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

4

5

8

6

5

6

5

7

4

6

6

7

7

3

4

4

1

3

5

1

3

2

3

4

2

4

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

6

8

6

7

8

9

8

7

9

8

5

8

2

5

5

6

3

5

2

5

4

1

2

5

4. Скласти звіт, приєднавши отримані результати.

Вимоги до звіту.

У звіті мають бути приведені:

1. Короткі відомості про вивчені властивості многочленів.

2. Розв'язання свого варіанту з необхідними поясненнями.

3. Відповіді на контрольні питання.

Контрольні питання.

  1.  Що таке многочлен?
    1.  Що таке многочлен над полем?
      1.  Як знайти НСД двох многочленів?
      2.  Як знайти лінійне представлення НСД двох многочленів?
      3.  Чому лишки за модулем незвідного над  многочлена не утворюють поле?
      4.  Чому операції додавання і віднімання в розширенні поля  збігаються?


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

85863. Разработка проекта системы наземного телевизионного вещания на территории посёлка «Дубовое» Белгородской области 5.36 MB
  Основной целью развития телерадиовещания до 2015 года является обеспечение населения многоканальным вещанием с гарантированным предоставлением обязательных общедоступных телевизионных каналов и радиоканалов заданного качества, что позволит государству реализовать функции по обеспечению...
85865. Эффективное решение по ремонту и техническому обслуживанию оборудования с минимальными затратами для предприятия 243.35 KB
  Роль механика на современном деревообрабатывающем предприятии разнообразна и чрезвычайно ответственна требует отличного знания технологического оборудования его возможностей умения квалифицированно разрабатывать систему технического обслуживания и ремонта и своевременно реализовывать ее. Кроме ремонта существующего оборудования механику необходимо выполнять и множество других задач: совершенствовать конструкции машин модернизировать их разрабатывать нестандартное оборудование средства механизации и автоматизации разбираться в...
85866. Пяти этажный, пятнадцати квартирный жилой дом 218 KB
  Хранение плодородного грунта должно осуществляться в соответствии с ГОСТ 17.0285 и ГОСТ 17. Ведомость ссылочных и прилагаемых документов Обозначение Наименование Примечание ГОСТ 1358085 Фундаментные плиты ГОСТ 1357978 Бетонные блоки ГОСТ 94884 Перемычки бетонные ГОСТ 662988 Двери деревянные внутренние для жилых и общественных зданий ГОСТ 2459881 Двери деревянные наружные для жилых и общественных зданий ГОСТ 1628986 Окна и балконные двери с тройным остеклением для жилых и общественных зданий СЕРИЯ 1. Фундаменты ленточные сборные...
85867. Проектирование привод главного движения горизонтально фрезерного станка модели FU315 1.06 MB
  Фторопластовое покрытие направляющих стола и стойки обладает хорошими антифрикционными свойствами и антизадирной способностью что позволяет обеспечивает стабильность точностных параметров в течение длительного времени. Наличие механизма зажима стола при попутной подаче в продольной координате обеспечивает необходимую жесткость и исключает вибрацию. Высокие точностные характеристики фрезерного станка FU315 позволяют производить детали самого высокого качества; например неплоскостность поверхности стола на всей длине не превышает 16 мкм....
85868. Розробка лінії для пакування печива у термозварювальну плівку 2.31 MB
  Лінія складається із двох пристроїв, а саме автомат для фасування печива у термозварювальну плівку і пристрій для укладання пачок з печивом у ящики. При роботі пакувальної машини завантаження пряників (печива) в ячейки подаючого конвеєра виконується вручну із столів, входячих в комплект обладнання.
85869. Проект сварочного цеха 543.5 KB
  Проектируемый объект – сварочный цех. Размеры здания в плане 48000х18000 мм, размеры двухэтажной пристройки в осях Б-Г 48000х8500. Под пристройкой запроектирован подвал глубиной 2,0 метра. Здание каркасное с несущими железобетонными колоннами, стена пристройки по оси Г – несущая из кирпичной кладки...
85870. Тепловой расчёт парогазовой установки 811.9 KB
  Расчет осевого турбокомпрессора (ОК). Расчет потерь давления воздуха в воздухозаборном тракте ОК. Вычисление параметров рабочего тела в начале цикла ГТУ. Вычисление параметров рабочего в конце адиабатного сжатия. Вычисление параметров воздуха, отбираемого из ОК. Расчет удельной работы ОК.