67837

Додаткові розділи числових методів. Конспект лекцій

Конспект

Математика и математический анализ

Стійкість методів розвязування задачі Коші. Розглянемо кілька аспектів проблеми в розумінні числового розвязання звичайних диференціальних рівнянь. Після побудови методу перед його програмуванням на ЕОМ доцільно визначити як сітковий розрахунок передає основні властивості точного розвязку деяких модельних задач.

Украинкский

2014-09-15

1.19 MB

6 чел.

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

Рівненський державний гуманітарний університет

кафедра інформатики та прикладної математики

Конспект лекцій

Додаткові розділи числових методів

(Методичні матеріали на допомогу студентам

спеціальності 6.040301 “прикладна математика ”)

Автор: кандидат технічних наук, доцент КАШТАН С.С.

Рівне 2011

Розділ 5. Методи розв’язування задач Коші для ЗДР вищих порядків та систем ЗДР.

§1. Стійкість методів розв’язування задачі Коші.

Проблема стійкості – одне із центральних питань наукового програмування. Цей термін використовується досить часто  і в залежності від контексту може мати різні значення. Розглянемо кілька аспектів проблеми в розумінні числового розв’язання звичайних диференціальних рівнянь.

Після побудови методу перед його програмуванням на ЕОМ доцільно визначити, як сітковий розрахунок передає основні властивості точного розв’язку деяких модельних задач. Якщо для таких задач на реальних сітках, тобто при розумних  кроках сітки τ, метод дає незадовільний результат, то від його застосування  доцільно відмовитися. Такий підхід частіше на практиці, ніж  детальний загальний теоретичний аналіз, бо бо дає великий виграш у витратах часу.

Наприклад, для розв’язку модельної задачі:

                                                                          (1.1)

Має місце нерівність:

                                                                                                                  (1.2)

Тому потрібно, щоб наближений розв’язок    задачі Коші (1.1), який знайдено за допомогою деякого числового методу, задовольняв умову

                                                                     (1.3)

Такий числовий метод для якого має  місце (1.3) називається асимтотично стійким. Якщо умова (1.3) виконується при додаткових умовах на кроках сітки τ, то числовий метод називається  умовно стійким, в іншому випадку він  називається  безумовно стійким.

Приклад 1.   Дослідимо на асимптотичну стійкість явну схему Ейлера

 при відомому .

Запишемо схему Ейлера для модельного рівняння задачі (1.1):

,

або    .

Звідси випливає, що  умова стійкості (1.3) виконується при тобто 0.

Отже, схема Ейлера умовно стійка при  τ≤ ,  λ>0.

Приклад 2.    Дослідимо на асимптотичну стійкість схему Рунге-Кутта IV порядку

,

де

 

 

Запишемо схему Рунге –Кутта IV порядку для модельного рівняння задачі (1.1), для цього підставимо

В результаті отримаємо:

++

+,

або    = ).

Умова стійкості  (1.3) буде виконуватись, коли означає, що крок сітки τ має задовольняти умові τ, λ.

Аналогічно досліджується асимптотична стійкість і для інших однокрокових схем. Наведені приклади показують, що явні однокрокові  схеми умовно стійкі. Якщо λ-велике. То крок сітки потрібно для таких методів вибирати достатньо малим, а це ускладнює практичну реалізацію методу. Багатокрокові  схеми розв’язання задачі Коші є також умовно стійкими (дослідження проводиться аналогічно).

Але є і безумовно стійкі схеми числового розв’язання задачі Коші – це неявні схеми. Зокрема, ще неявний метод Ейлера:

=, де n=0,1,…,   задано,

а також інтерполяційний метод Адамса.

§2. Жорсткі задачі Коші.

Значні труднощі виникають при числовому розв’язанні так званих жорстких задач Коші. Такі задачі досить різноманітні за причинами. Які породжують жорсткість, і тому дати строге математичне означення цього явища досить не просто. Суть жорсткості полягає у тому, що треба обчислити поволі змінний розв’язок  на  який накладаються швидкозмінні збурення. Виявляється, що багато числових методів нездатні подавляти вплив цих збурень, і тому необхідно розробляти спеціальні методи.

Розглянемо явище жорсткості на такому прикладі задачі Коші:

                                                (2.1)

Точним розв’язком задачі Коші (2.1) є функція

.                                                 (2.2)

Зауважимо , що тут  – це функція яка поволі змінюється. Тобто має малу похідну. Оскільки  , то зрозуміло, що вже після досить невеликого проміжку часу швидко змінна (перехідна) частина розв’язку (2.2) – жорстка компонента  майже не впливає на точний розв’язок   тобто  на досить великому проміжку  цей розв’язок  (2.2) повністю визначається поволі змінною (неперехідною) компонентою. Застосовується до задачі (2.1) явний метод Ейлера:

,

або                      (2.3)

Застосовуємо до задачі (2.1)  неявний метод Ейлера:

,

або                      (2.4)

Неявний метод Ейлера  (2.4) досить задовільно відбиває поведінку точного розв’язку (2.2) і «зменшує» різницю  ,яку можна розглядати як збурення, що завжди присутнє в реальних обчисленнях внаслідок заокруглення.

В явному методі Ейлера (2.3) різниця«зменшується» лише при 0(див. §1). Ця умова числової стійкості накладає серйозне обмеження на крок сітки τ, навіть коли величина  дуже мала. Така ситуація є типовою при застосуванні явних методів до жорстких задач.

§3. Методи типу Рунге-Кутта розв’язування системи ЗДР

Нехай потрібно знайти розв’язок системи ЗДР:

 (3.1)

який задовільняє початкові умови:

  (3.2)

Розв’язок задачі Коші (3.1), (3.2) може бути знайдений за допомогою таких же методів, як і для одного ЗДР.

Покажемо, як застосовувати у цьому випадку метод Рунге-Кутта  IV порядку (аналогічно і інші застосовуються).

За методом Рунге-Кутта послідовні значення шуканих функцій на сітці з кроком  обчислюємо за формулами:

(3.3)

де,

 

§4. Екстраполяційний метод Адамса розв’язування систем ЗДР

Нехай методом Рунге-Кутта за формулою (3.3) знайдемо по три попередніх значення  шуканих функцій. Для  одержання наступних значень  можна застосувати  екстраполяційний метод Адамса, а саме його трикрокову формулу, який дозволяє отримати  результат високої точності при невеликому об’ємі обчислень.

Послідовні значення шуканих функцій задачі (3.1), (3.2) обчислюємо за такими явними формулами:

    (4.1)

Формула (4.1) є трикроковою екстраполяційною формулою Адамса для розв’язування задачі Коші для систем ЗДР.

§5. Інтерполяційний метод Адамса розв’язування системи ЗДР

Задачу (3.1), (3.2) можна розв’язати інтерполяційним методом Адамса. Нехай відомі попередні три значення шуканих функцій. Тоді трикрокова інтерполяційна формула Адамса має вигляд:

(5.1)

Формула (5.1) є системою двох нелінійних рівнянь з двома невідомими  та . Її розв’язують методом Ньютона, або методом простої ітерації, де за нульове наближення беруть відповідні значення знайденні за екстраполяційним методом Адамса.

§6. Числові методи розв’язування ЗДР вищих порядків

Покажемо один підхід до числового розв’язання ЗДР вищих порядків на прикладі задачі Коші для ЗДР другого порядку:

(6.1)

А саме, зведемо задачу (6.1) до системи ЗДР першого порядку:

(6.2)

 (6.3)

Задачу (6.2), (6.3) розв’язуємо такими ж методами як і задачу (3.1), (3.2).

В результаті знайденого значення , , , . . . ,,  - які приймаємо за числовий розв’язок задачі Коші (6.1) у відповідних вузлах  , , , . . . ,, .

§7. Методи Штьормера для ЗДР другого порядку

Розглянемо задачу Коші

 (7.1)

Найбільш поширеними є методи Штьормера для розв’язання задачі (7.1), які мають вигляд:

 (7.2)

де  

а початкові значення визначаються з рівності

 (7.3)

Якщо , то схема (7.2) називається явною схемою Штьормера, оскільки до правої частини будуть входити лише відомі значення

Якщо , то схема (7.2) є неявною схемою Штьормера: для визначення  потрібно розв’язати нелінійне рівняння вигляду:

В загальному випадку схема (7.2) є m-кроковою схемою Штьормера. Для відшукання її коефіцієнтів можна застосувати метод невизначених коефіцієнтів або поступити так, як ми це робили у методах Адамса (екстраполяційному та інтерполяційному).

Найпростішими є такі формули методу Штьормера:

  (7.4)

 (7.5)

Формула (7.4) є екстраполяційною формулою Штьормера (аналог явного методу Ейлера).

Формула (7.5) є інтерполяційною формулою Штьормера (аналог неявного методу Ейлера) може бути записана у вигляді:

  (7.6)

Значення   за нею знаходиться як розв’язок нелінійного рівняння (7.6).

Розділ 6. Методи розв‘язування крайових задач.

 

§ 1. Постановка крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь

Як відомо з теорії диференціальних рівнянь, загальний розв‘язок системи диференціальних рівнянь першого порядку ,

де ,        (1)

залежить від n довільних сталих. Отже, щоб виділити якийсь один розв‘язок, треба задати n додаткових умов. У задачі Коші ці n умов були задані в деякій одній точці. Крайова задача – це задпча відшукання єдиногорозв‘язку системи (1) відрізку , в якій додаткові умови накладаються на значення функцій  більш ніж в одній точці цього відрізка. Крайова задача називається двоточковою, якщо крайові (додаткові) умови задаються у двох точках відрізка. В загальному двоточкові крайові задачі мають такий вигляд:

,         (2)

,         (3)

де  - n – вимірні вектори,  - матриці розмірності n x n.

Крайову задачу (2), (3) можна звести до однорідної лінійної системи диференціальних рівнянь з неоднорідними крайовими умовами:

,          (4)

,         (5)

де  ,  - n+1 – вимірні вектори,

, - матриці розмірності n+1 x n+1.

 

§2. Метод стрільби для розв‘язування лінійних систем.

Найпростіше цей метод реалізується для лінійної крайової задачі вигляду (4), (5). У цьому разі розв‘язок задачі Коші для рівняння (4) з деяким початковим значенням  можна подати у вигляді

,          (6)

де  – матриця фундаментальних розв‘язківсистеми (4). Підставляючи (6) у крайову умову (5), дістанемо таку систему лінійних алгебраїчних рівнянь відносно  :

.         (7)

Якщо  - розв‘язок системи (7), то вектор-функція (1) задовільнятиме систему (4) і крайові умови (5). У цьому і полягає ідея методу Стрільби.

Обчислювальна схема цього методу складається з таких етапів:

  1.  будуємо матрицю , чисельним інтегруванням розв‘язуючи для  задачі Коші

, - символ Кронекера, тоді

 

  1.  розв‘язуємо систему (7) та знаходимо ;
  2.  за і  знаходимо  за формулою (6).

Метод стрільби спрощується, якщо крайові умови в (5) розділені. Розглянемо таку крайову задачу з розділеними крайовими умовами:

,                      (8)

,        (9)

,        (10)

де ,  - задані прямокутні матриці ;    – задана n-вектор-функція;  - задані вектори розмірності k та n-k відповідно;  – задана квадратна матриця n x n.

Тоді алгоритм методу стрільби набирає такого вигляду:

  1.  знаходимо лінійно незалежні розв‘язки однорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

.        (11)

Нехай це будуть вектори  .

Звідси знаходимо частинний розв‘язок системи

 ,        (12)

який позначимо через  ;

  1.  За допомогою чисельного інтегрування розв‘язуємо n-k задач Коші для неоднорідного рівняння (8)

,

,       (13)

та задачу Коші для неоднорідного рівняння (8)

 

.

За допомогою ,  будь-який розв‘язок системи (8), що задовільняє крайову умову (9) можна подати у вигляді

.     (14)

Підставляючи (14) в крайові умови (10), дістанемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь для визначення :

,        (15)

де , , ,

.

  1.  Розв‘язуємо систему (15) відносно  і за формулою (14) знаходимо розв‘язок крайової задачі (8)-(10).

Зауваження. Задача (8)-(10) має єдиний розв‘язок, якщо визначник системи (15) відмінний від нуля.

§ 3. Метод ортогоналізації для розв‘язування лінійних систем.

 У деяких випадках розглянутий алгоритм методу стрільби не придатний для практичного використання, або у ньому може дуже швидко зростати обчислювальна похибка. Таке трапляється, якщо серед розв‘язків системи  є такі, що швидко змінююються із зростанням х. Тому виникає ідея: по мірі просування до точки b періодично переходити до іншого базису. На цій ідеї грунтується побудова методу ортогоналізації.

Розглянемо два набори базисних векторів:

 = та ,  (отриманий шляхом ортогоналізації . Ці набори утворюють прямокутні матриці та . Перетворення, яке переводить  в  позначимо через U, тобто =U ().

Розіб‘ємо відрізок  на частини точками  і введемо перетворення  для деякої матриці  розмірності n x (n-k+1), де через   позначено розв‘язок системи  за початкових умов , а через  - розв‘язок системи  за початкових умов , .

Тоді , або

, .

У методі стрільби ми визначали за  визачали , за  визначали , і т.д. поки не дістанемо. То у термінах перетворення  цей процес можна записати так:

, , … ,

, де  і .

Тобто, послідовно визначаємо базисні вектори . Якщо ж у цьому процесі замінити матриці  ортогоналізованими матрицями , то процес обчислення формально можна подати так:

, ,

, ,

…,

.

Тут матриця  визначає деякий ортогональний базис.

На кожному з відрізків  розв‘язок задачі (8)- (10) можна записати у вигляді

,

де  - елементи матриці ,

, або у матричній формі

       (16)

Вектор  буде рекурентно визначатися із рівності

,        (17) де матриця  має вигляд:

,

а процес ортогоналізації Шмідта з нормуванням здійснюється формулами:

,

 , ,

 

( тут вектор  не нормується).

Тут  ,

  ,

Тоді , i = j,

Далі значення  знаходять із системи лінійних алгебраїчних рівнянь, яка утворюється підстановкою (16) при  (після ортогоналізації ) в праву граничну умову

.

Далі за знайденим  за (17) послідовно визначаємо .

§ 4. Метод лінеаризації для розв‘язування нелінійних крайових задач.

Розглянемо двоточкову крайову задачу

,                  (1)

.                (2)

Розв‘язок подається у вигляді

 ,

де  деяке відоме наближення до шуканого розв‘язку, а  - невідома поправка. Припускаючи достатню гладкість функцій  та  та використовуючи формулу приростів Лагранжа, дістанемо:

,

де  - матриця Якобі вектор функції .

 ,

М атриці Якобі вектор функції , причому

,

,

, k=0,1,….

Якщо припустити, що , ,  малі, то останні нерівності означають близкість невідомих векторів , ,  до , , .

Тому, замінивши в якобіанах у (3) невідомі вектори відомими і дістанемо лінійну крайову задачу для визначення вектора , який буде наближати вектор :

  (4)

.       (5)

Розв‘язок задачі (4), (5) можна знайти, наприклад, методом стрільби чи ортогоналізації. Після цього можна знайти наступне наближення до розв‘язку задачі (1), (2) за формулою  , потім з (4), (5) замінивши  на  знаходимо . Процес продовжуємо доти, доки не отримаємо розв‘язок задачі з потрібною точністю.

§ 5. Метод продовження розв‘язку нелінійної крайової задачі за параметром.

Цей метод дозволяє звести розв‘язаннянелінійної крайової задачі (1), (2) до розв‘язування послідовності лінійних задач Коші. Спочатку вибирають довільний вектор  і розв‘язують задачу Коші для рівняння (1) з початковим значенням . Позначимо її розв‘язок через

. За цим розв‘язком знаходимо . Якщо для кожного  існує розв‘язок задачі

          (6)

      (7)

Який неперервно залежить від , то , де  - розв‘язок задачі (1), (2), а = (х). Таким чином, вихідна задача (1), (2) зводиться до визначення . Диференціюючи (6), (7) по , отримаємо

         (8)

    (9)

Задача (8), (9) є лінійною крайовою задачею для .

Тоді для визначення  маємо таку задачу Коші:

,

 (х).       (10)

Задачу (10) апроксимують методом Ейлера

,

(х).       (11)

Розрахунки виконують таким чином:

1) за  з (8), (9) визначають ;

2) за  та  з явних формул (11) знаходять ;

3) за  з (8), (9) визначаємо , далі на n 2 і т.д. до тих пір покии не знаходять  - розв‘язок задачі (1), (2).

Всі розглянуті методи приводить до багаторазового розв‘язування задач Коші, тому їхня точність визначається точністю розв‘язування задач Коші. Кількість обчислювальної роботи при застосуванні цих методів досить значна, тому на практиці часто використовують сіткові методи, які зводять лінійну чи нелінійну крайову задачу до розв‘язування відповідної системи лінійних чи нелінійних алгебраїчних рівнянь.

§ 6. Різницеві схеми розв‘язування крайових задач

Розглянемо методи побудови сіткових схем, які найчастіше застосовуються на практиці і апроксимують крайові задачі. Ці схеми часто виражаються через різниці шуканих функцій і їх називають різницевими схемами. Розглянемо сітку , ,

 , .

Першу похідну можна апроксимувати так:

  1.  права різницева похідна

,  .    (1)

  1.  ліва різницева похідна

, .   (2)

  1.  центральна різницева похідна

, .   (3)

  1.  комбінація правої та лівої різницевих похідних:

,    (4)

  1.  можливі й інші формули апроксимацій першої похідної, наприклад:

,      (5)

,      (6)

і т.д.

Другу похідну можна апроксимувати теж:

  1.  центральна друга похідна

,      (7)

  1.  права друга різницева похідна

,      (8)

  1.  ліва друга різницева похідна

,      (9)

Можливі її інші формули апроксимації другої похідної.

§ 7. Метод сіток розв‘язування крайових задач

Розглянемо таку крайову задачу

,

,       (10)

,

, , , .

Використовуючи формулу (7) для другої похідної та формули (5) і (1) для першої похідної в граничній умові у точці a та формули (6) і (2) – для першої похідної в граничній умов у точці b на рівномірній сітці  дістанемо таку схему для розв‘язання задачі (10):

 ,

 ,     (11)

.

Таким чином, ми отримали систему лінійних алгебраїчних рівнянь порядку n+1 з невідомими  , .

Тут , .

Отже, за допомогою заміни похідних різницевими схемами ми звели крайову задачу (10) до розв‘язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь (11).

§8 Інтегро-інтерполяційний метод

При побудові сіткових схем інтегро-інтерполяційним методом застосовують інтерполяцію підінтегральних виразів. Тому, змінюючи вигляд інтерполяційних многочленів, можна зіставити різні схеми.   Сіткові схеми, які на сітці відображають закони збереження, називають консервативними схемами.      Побудуємо консервативну різницеву схему інтегро-інтерполяційним методом для такої задачі теплопровідності       (1)

                     (2)

Задамо рівномірну сітку

Wn =  

Тут використаємо закон збереження теплоти.

Запишимо рівняння теплоти на відрізку

, де  . Якщо - коефіцієнт теплопровідності, а  - температура, то через точку  на даний відрізок надходить потік теплоти ,

а через точку  виділяється кількість теплоти . Якщо даний відрізок містить джерела теплоти, розподілити з щільністю , то за їх рахунок виділиться кількість теплоти  Тепловіддача характеризується величиною  Тоді, рівняння балансу теплоти на відрізку залишиться так:

       (3)

На основі інтегрального рівняння (3) будуємо різницеву схему. Знайдемо значення  , для цього проінтегруємо рівність  на інтервалі  та замінимо  найпростішою інтерполяційною формулою многочленом нульового степеня. Тоді

,     (4)

.

Замінимо  .      (5)

З формул (4) визначаємо  та підставляємо їх та (5) у формулу (3).

Отримаємо таку різницеву схему:

,   (6)

, .

де  ,  , .    (7)

Щоб уникнути обчислення інтегралів при визначенні коефіцієнтів різницевої схеми (6) за формулами (7), можна знову застосовувати найпростішу інформацію

 ,

Тоді схема (6) набуде такого вигляду

,

 , .

Таким чином ми звели розв‘язування задачі (1), (2) до розв‘язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь (8).

§ 9. Збіжність і оцінки похибки методу сіток.

Збіжність і оцінку похибки сіткових схем проводитимо за таким порядком:

  1.  записуємо задачу для похибки;
  2.  знаходимо апріорну оцінку;
  3.  оцінюємо похибку апроксимації.

Задачу для похибки записують аналогічно до вихідної задачі, шляхом заміни у ній шуканої функції  функцією похибки  , де  - наближення шуканої функції.

У розглянутих нами задачах оцінка похибки різницевих схем має вигляд  , де  - найбільше із всіх сталих, що не залежить від  та .

Слід зауважити, що при дослідженні сіткових схем враховувати індивідуальні особливості задачі можна отримати ефективніші схеми відповідно їх оцінки.

Підвищити точність різницевої схеми, за умови її збіжності, завжди можна шляхом зменшення кроку сітки . Але при цьому збільшується кількість різницевих рівнянь, що збільшує кількість обчислювальної роботи. Тому такий метод підвищення точності не завжди є раціональним. На практиці застосовують і інші методи, наприклад, різницеві схеми на нерівномірних сітках, схеми підвищеного порядку точності, розрахунок на послідовності сіток із застосуванням принципу Рунге.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53833. Косметичні проблеми підлітків 51 KB
  Три групи обговорюють між собою завдання а четвертауважно слухає відповіді та аналізує їх Слово вчителя: Як бачимо в описі кожного портрету звучали словаздорова шкіра здорове волосся. Шкіра людини має складну будову: зовнішній середній і внутрішній шар. Шкіра виконує захисну видільну дихальну терморегуляторну та тактильну функції. Шкіра нормальна.
53834. Тематична композиція «Космічні світи» 43.5 KB
  Мета: ознайомити учнів з космічним живописом, навчити зображувальних прийомів передачі простору, повітряної перспективи; розвивати творчу уяву,фантазію; виховувати космополітичні почуття.
53835. Урок узагальнення та систематизації знань “Освоєння космосу” 5.55 MB
  Розвиток космонавтики; формувати знання про умови руху тіла по навколоземній і навколосонячній орбітах; розвивати логічне мислення учнів: уміння критично оцінювати і використовувати різноманітну інформацію; прагнення до вдосконалення знань; вміння застосовувати знання в нових ситуаціях робити самостійно висновки приймати активну участь в суспільному житті. Теорія космічних знань з космонавтики. Історія розвитку космонавтики. Застосування знань з космонавтики в земних умовах.
53836. Сценарий утренника «Дорога к звездам» 65.5 KB
  1й ученик: Взлетят ракеты к звездам в небеса. 2й ученик: Простой земной наш человек Пройдет Венеру к Марсу путь направит И на Луне сомненья в этом нет Он первым из людей свой след оставит. 3й ученик: Рассвет. 4й ученик: Живем мы на нашей планете В такой замечательный век И первый из первых в ракете...
53837. Сценарій виховного заходу для учнів 3-4 класів „Краса Космосу” 191 KB
  Вони помітили що Сонце світить набагато яскравіше ніж Місяць що зміна дня й ночі має ритмічний характер. Уранці Сонце підіймається в певному місці проходячи при цьому визначений шлях. Запитання для бесіди: Чи розглядали ви колинебудь зоряне небо Чи бачили як падають зорі Чи розглядали як світить місяць на небі Як світить сонце Які почуття вас охоплюють коли ви дивитися у небо Чому на вашу думку люди іноді надовго затримують свій погляд у небі Що вони там бачать Про що мріють І учень. Я пропоную вам доповнитит це...
53838. Космический рейс. Посвящается 50-летию полета в космос Ю.А. Гагарина 1.86 MB
  Почему люди тянутся к звездам Почему в наших песнях герой это сокол Почему все прекрасное что он создал Человек помолчав называет Высоким Ведущий 2 Так кто же такой Юрий Гагарин первый космонавт планеты Земля бесстрашный рацарь космоса. Взгляд материнский устремляя к сини Не сомневаясь в стойкости его Следила благодарная Земля За яркой трассой сына своего. Оно во все врывается края Во все сердца как ласточка влетает И мать-земля дыханье затая Полет героя-сына наблюдает.
53839. Космічна мандрівка. Відкритий урок у початковій школі. Інтегрований урок з природознавства і математики (4 клас) 63.5 KB
  Це найближча до Сонця планета її відстань до Сонця змінюється від 46 до 70 млн. Це найшвидша планета адже за рік вона оббігає навколо Сонця аж 4рази. А дізнатися що ближче до Сонця: Земля чи Меркурій і на скільки ви зможете розвязавши задачу: Відстань від Сонця до Землі в средньому 150 млн.км а від Сонця до Меркурія 58 млн.
53840. Закрепление изученного материала. Сложение и вычитание в пределах 100 43.5 KB
  Оборудование: Интерактивная доска презентация учебник цепочка чисел. 9 7 = 16 о 30 4 = 34 а 60 20 = 80 у 70 1 = 69 б 12 7 = 5 р 28 20 = 8 и 96 1 = 97 т 8 6 = 14 н Чему равна сумма чисел 9 и 7 16 Чему равна сумма чисел 60 и 20 80 Чему равна разность чисел 12 и 7 5 Чему равна сумма чисел 96 и 1 97...
53841. Адресовані людям вірші – найщиріший у світі лист, присвяченої творчості Ліни Костенко 108.5 KB
  Обладнання: мультимедійна апаратура портрет Ліни Костенко виставка книг поетеси плакати з висловами: Не забувайте незабутнє І не знецінюйте коштовне Не загубіться у юрбі. Костенко Не бійся прикрого рядка Прозрінь не бійсябо вони як піки Не бійся правди хоч яка гірка Не бійся смутків хоч вони як ріки. Костенко Творчість Ліни Костенко приклад шляхетного служіння поезії.