6814
Обработка результатов многократных равноточных наблюдений при прямых измерениях
Лабораторная работа
Физика
Обработка результатов многократных равноточных наблюдений при прямых измерениях. Цель работы: изучить порядок обработки результатов многократных наблюдений при прямых измерениях приобрести навыки стандартной обработки результатов наблюдений, оценки...
Русский
2013-01-08
318.5 KB
73 чел.
Обработка результатов многократных равноточных наблюдений при прямых измерениях.
Цель работы: изучить порядок обработки результатов многократных наблюдений при прямых измерениях; приобрести навыки стандартной обработки результатов наблюдений, оценки погрешностей и предоставления результатов измерений.
1. Теоретические сведения
В измерительной практике для уменьшения влияния случайных погрешностей на результат измерения проводят измерения с многоразовыми наблюдениями, а затем статистически обрабатывают полученные результаты. При этом могут быть использованы различные процедуры обработки.
Равноточными называются измерения, которые проводятся средствами измерений одинаковой точности по одной и той же методике при неизменных внешних условиях.
Результат измерения содержит погрешность, представляющую сумму систематической составляющей С и случайной составляющей :
.
Эти две составляющие погрешности резко отличаются по своим свойствам.
Их анализ, способы оценки и уменьшение совершенно различны.
Систематическая погрешность С остается постоянной или изменяется по определенному закону при повторных измерениях одной и той же физической величины. Она является математическим ожиданием погрешности измерения
.
Обнаружение систематической погрешности трудоемкая операция и может быть выполнена несколькими способами:
является абсолютной систематической погрешностью прибора.
Тогда в показания рабочего прибора вводится поправка П, равная
При этом за результат измерения необходимо принимать величину
.
; ,
тогда .
Переменные систематические погрешности разделяют на прогрессирующие и периодические. Для устранения этих составляющих необходимо найти функциональную связь погрешности и влияющего фактора и вводить поправку на основании полученных зависимостей и таблиц.
Сложную задачу по выявлению и исключению систематической погрешности не всегда удается довести до конца и поэтому остается неисключенная часть систематической погрешности.
Нетрудно убедиться, что результат измерения случайная величина.
Для этого достаточно измерить несколько раз одну и ту же физическую величину с помощью прибора, обладающего достаточно высокой чувствительностью. Результаты измерений будут в общем случае отличаться друг от друга. Это объясняется влиянием многих дестабилизирующих факторов, к которым можно отнести: тепловой шум, шум электронных приборов, случайные воздействия на результат измерения коммутационных процессов в цепях, случайное изменение электромагнитных полей, температуры окружающей среды, влажности, вибрации, напряжения питания измерительного прибора и т.д. Полное совпадение результатов измерений всегда указывает на то, что чувствительность средств измерений недостаточна для того, чтобы обнаружить это явление.
Таким образом, случайная погрешность изменяется нерегулярно, непредсказуемо при повторных измерениях. Она вызывается большим количеством причин, характер и размер влияния которых на измеряемую величину при единичном измерении не может быть определен. Однако путем выполнения многократных наблюдений и путем обработки результатов наблюдений статистическими методами можно дать оценку этим погрешностям. Вклад в случайную погрешность вносит случайная составляющая погрешности средства измерений.
Одной из важнейших характеристик случайной погрешности является закон распределения плотности вероятности плотность распределения вероятностей или функция распределения вероятностей.
Законы распределения могут быть дискретными (для дискретных случайных величин) и непрерывными (для непрерывных величин).
Дискретный закон распределения представляет совокупность значений случайной величины и соответствующих им вероятностей , причем (условие нормировки закона распределения вероятностей дискретной случайной величины).
Для непрерывных случайных величин с известным законом распределения вероятность того, что данная случайная величина (рис. 4.1) примет значение в интервале от до , определяется площадью, ограниченной этой кривой и осью абсцисс, т.е.
.
Рис. 4.1. Нормальный закон распределения.
Следует помнить, что является условием нормировки для непрерывной случайной величины.
Если дестабилизирующих факторов, обуславливающих случайную погрешность много (3 и более), то закон распределения плотности вероятности будет стремиться к гауссовой кривой нормальному закону распределения (рис. 4.2, а)
,
если считать, что исключена систематическая погрешность и М[] = 0, т.е. .
а) б)
Рис. 4.2. Кривые Гаусса а) для разных значений среднеквадратического отклонения , б) для разных значений систематической составляющей погрешности.
Если в составе погрешности есть систематическая погрешность, то закон распределения плотности вероятности будет смещен на величину .
Характер закона распределения изменяется в зависимости от параметров и 2 (рис. 4.2, а). Дисперсия характеризует рассеяние случайной величины относительно среднего значения. Среднеквадратическое значения отклонения (СКО) . Дисперсия и СКО характеризуют точность измерений. Чем больше 2 и , тем меньше точность, т.е. больше погрешность.
При нормальном законе распределения вероятность появления случайной погрешности в интервале от гр до +гр определяется выражением
.
При введении нормированной случайной переменной выражение P() преобразуется к виду:
,
где Ф(z) интеграл вероятности.
Доверительная вероятность Pдов при заданных граничных значениях погрешности это вероятность нахождения случайной величины внутри доверительного интервала дов (доверительных границ). Доверительная вероятность определяется площадью под кривой (на рис. 4.3 заштрихованная область).
Рис. 4.3.
Функция Ф(z) табулирована или определяется по графику (рис. 4.4).
Рис. 4.4. Функция Лапласа для разных значений zгр.
Если задана Pдов, то по графику или таблице находят zгр, затем определяют гр = zгр. Доверительный интервал дов = гр … +гр, он с заданной вероятностью накрывает истинное значение , Рдов = …
В зависимости от целей измерений доверительную вероятность на практике устанавливают Рдов = 0,95 … 0,99.
За максимальное значение погрешности max принимают max = 3, что соответствует вероятности появления погрешности в этом интервале Рдов = 0,9973. Вероятность того, что погрешность превысит максимальное значение определяется выражением . Это означает, что погрешность в 369 случаях из 370 попадает в интервал 3 и лишь в одном случае выходит за эти пределы.
Информационная концентрация измерений
С точки зрения измерительной информации суть измерений состоит в сужении интервала неопределенности измеряемой величины от значения, известного до проведения измерения, до проведения измерения, до некоторой величины d, которая стала известной после проведения измерений.
Мерой неопределенности знаний о значении измеряемой величины является энтропия:
Энтропия является единственной числовой характеристикой закона распределения величины x.
Разность энтропий до и после измерения физической величины есть количество информации:
,
где Н(x) априорная энтропия (до измерения);
Н(x/xN) апостериорная энтропия (после измерения).
Энтропия погрешности или дезинформирующее
действие погрешности
Основное преимущество информационного подхода к описанию измерений состоит в том, что размер энтропийного интервала неопределенности d можно найти строго математически для любого закона распределения. Это исключает недоразумение при произвольном выборе различных значений доверительной вероятности.
Найдем энтропию погрешностей основных законов распределения.
Максимальное значение погрешности равномерного закона распределения принимают за энтропийное значение m = Э. Соотношение между энтропийным Э и среднеквадратическим значениями погрешности характеризуют энтропийным коэффициентом: Тогда
а поскольку для равномерного закона то
Энтропийный интервал погрешностей
Энтропийный коэффициент равен а энтропийный интервал
Энтропийное значение погрешности,
представленное гистограммой распределения
Если на основе ограниченного числа измерений была построена ступенчатая гистограмма, то, найдя ее энтропию, можно затем заменить гистограмму законом распределения выбранной формы (равномерным, нормальным) и определить энтропийный интервал погрешности.
Пусть гистограмма состоит из m столбов.
Высота столбца: , где j = 1, 2, …, m количество интервалов; n число всех измерений; ni число измерений, попавших в j-й интервал. |
Энтропия погрешности определяется суммой энтропийных значений каждого j-го интервала:
2. Порядок выполнения работы
При большом числе измерений сумма случайных погрешностей стремится к нулю . Этот вывод основывается на аксиоме случайности теории случайных погрешностей, что при очень большом числе измерений и при отсутствии систематических С погрешностей, положительные и отрицательные погрешности встречаются одинаково часто.
Таблица 4.1
№ |
Измеренное значение Ri, Ом, кОм, МОм |
Абсолютная погреш-ность измерения |
Квадрат абсолютной погрешности |
1 |
|||
2 |
|||
3 |
|||
… |
… |
… |
… |
n |
|||
Среднее арифметическое значение сопротивлений |
Сумма абсолютных погрешностей |
Сумма квадратов абсолют-ных погрешностей |
Сумма квадратов случайных погрешностей должна быть минимальной . Такой вывод основывается на аксиоме распределения, что при большом количестве измерений малые погрешности встречаются чаще, чем большие; очень большие погрешности практически не встречаются.
При Рдов = 0,997 zгр = 3 и .
При любой другой доверительной вероятности Рдов можно воспользоваться табличным (или из графика) значением интервала вероятности Ф(z) = Рдов, по его значению можно найти zгр и далее, так как , можно определить гр и записать результат
,
где класс точности прибора, %.
Для прибора Щ 4313 относительная погрешность определяется по формуле:
,
где a и b коэффициенты, зависящие от конечного значения шкалы Rк.
При Rк = 500 Ом, a = b = 1,5. При Rк = 5 кОм и более, a = b = 0,5.
Абсолютная погрешность: .
В случае, если , то неисключенной систематической погрешностью пренебрегают и принимают = гр; если , то пренебрегают случайной погрешностью и считают, что = С. В случае равенства вычисляют , , и тогда , а результат представляют в виде:
Числовое значение результата измерения должно заканчиваться цифрой того же порядка, что и значение погрешности . При этом число значащих цифр при определении не должно превышать двух.
Для идентификации закона распределения необходимо построить гистограмму (рис. 4.4). Для этого весь диапазон i разбивают на m одинаковых интервалов. Значение m должно быть нечетным (m = 9 … 13).
Рис. 4.4. Гистограмма.
Ширину интервала определяют по соотношению:
,
где max, min соответственно наибольшее и наименьшее значение погрешности i; m количество интервалов.
Затем подсчитывают вероятность нахождения случайной погрешности в j интервале
,
где j 1, 2, …, m; nj число погрешностей, которые попадают в j-ый интервал;
n число всех измерений.
Если погрешность попадает на границу интервала j, то ее можно отнести либо к j-му интервалу, либо к (j+1)-му интервалу, т.е. она учитывается только один раз.
По оси результатов наблюдений откладывают интервалы j в порядке нарастания номеров и на каждом интервале строится прямоугольник высотой (средняя плотность в интервале j = d).
В этом случае площадь под гистограммой будет равна единице. Полученную гистограмму аппроксимируют кривой и делают выводы о законе распределения.
Как способ оценки близости распределения выборки экспериментальных данных к принятой аналитической модели закона распределения используется критерий согласия. Наибольшее распространение в практике получил критерий Пирсона.
Нгист() = Нравн() = ln(2Э).
|
С учетом полученного значения Э результат измерения сопротивления R запишем в виде:
Вычислим :
Энтропийный интервал:
Используя рассчитанное значение , можно построить график () нормального закона распределения по известной формуле .
|
Площадь под кривой () и площадь всех столбцов гистограммы должны быть одинаковыми. Для наглядности сравнения кривую () нормального закона распределения необходимо совместить с рисунком гистограммы (см. рис. ).
А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать | |||
76963. | Правовые акты государственного управления: понятие, признаки и юридическое значение. Классификация правовых актов управления | 30.17 KB | |
Правовые акты государственного управления: понятие признаки и юридическое значение. Классификация правовых актов управления. Правовой акт управления вид юридического акта основанное на законе одностороннее юридическивластное волеизъявление органов государственного управления и их должностных лиц принятое в установленном процессуальном порядке и направленное на установление либо возникновение изменение и прекращение административноправовых отношений. Основные черты правового акта управления: 1. | |||
76964. | Требования, предъявляемые к правовым актам государственного управления, последствия их несоблюдения | 28.36 KB | |
Требования предъявляемые к правовым актам государственного управления последствия их несоблюдения. Акт государственного управления это управленческий документ содержащий властное волеизъявление уполномоченного субъекта государственного управления в виде нормативного или индивидуального предписания осуществленное в рамках его компетенции и для целей решения задач управленческой деятельности принятие которого влечет определенные юридические последствия. Являясь подзаконным актом акт государственного управления должен отвечать определенным... | |||
76965. | Порядок подготовки, принятия и вступления в действие актов государственного управления | 27.03 KB | |
Порядок подготовки принятия и вступления в действие актов государственного управления. Порядок подготовки вступления в силу и опубликования правовых актов управления устанавливается различными нормативными правовыми актами в зависимости от вида акта и издающих принимающих их органов федеральной и региональной исполнительной власти а также органов местного самоуправления. Наличие нормативной установленной процедуры издания или принятия актов управления. Подготовка проекта правового акта управления. | |||
76966. | Понятие и виды методов публичного управления | 29.12 KB | |
Понятие и виды методов публичного управления. Методы государственного управления способы приемы воздействия субъекта управления на объект управления в рамках управленческих отношений которые используются для достижения целей и задач управления реализации функций управления. Основные черты методов государственного управления: 1.выражают управленческое воздействие субъекта государственного управления на объект управления; 4. | |||
76967. | Убеждение и поощрение как методы государственного управления: понятие, сущность, виды, значение в выполнении задач и функций государственного управления | 30.13 KB | |
Убеждение и поощрение как методы государственного управления: понятие сущность виды значение в выполнении задач и функций государственного управления. Убеждение процесс целенаправленного воздействия субъекта управления на управляемый объект в результате которого идеи ценности установки субъекта становятся внутренними идеями личными установками объекта управления. Существуют следующие средства способы убеждения: обучение процесс целенаправленного формирования знаний умений навыков; агитация распространение идей в целях... | |||
76968. | Понятие и сущность административно-правовых режимов, их виды и правовые основания введения и использования | 28.07 KB | |
Понятие и сущность административно-правовых режимов их виды и правовые основания введения и использования. Административно-правовые режимы ставят перед собой цель создание на пути правонарушителей надежных правовых барьеров которые бы затрудняли или же полностью исключали достижение противоправных целей. Ласточкин рассматривает его как совокупность правовых установок и необходимых организационных управленческих мер которые обеспечивали бы порядок реализации отдельными гражданами своих соответствующих прав и обязанностей а также порядок... | |||
76969. | Режим чрезвычайного положения | 27.67 KB | |
Режим чрезвычайного положения. Режим чрезвычайного положения это вводимый в соответствии с Конституцией и ФКЗ О чрезвычайном положении на всей территории Российской Федерации или в ее отдельных местностях особый правовой режим деятельности органов государственной власти органов местного самоуправления организаций независимо от организационно правовых форм и форм собственности их должностных лиц общественных объединений допускающий установленные данным ФКЗ отдельные ограничения прав и свобод граждан Российской Федерации иностранных... | |||
76970. | Режим военного положения | 27.09 KB | |
Режим военного положения. Целью введения военного положения является создание условий для отражения или предотвращения агрессии против России. Основания введения военного положения агрессия против РФ или ее непосредственная угроза а цель создание условий для ее отражения или предотвращения. Режим военного положения включает в себя комплекс экономических политических административных военных и иных мер направленных на создание условий для отражения или предотвращения агрессии против РФ. | |||
76971. | Режим противодействия терроризму | 26.86 KB | |
Нормы административного права определяют их правовой статус полномочия механизм взаимодействия с другими субъектами права. В отличие от других отраслей права оно реализует весь арсенал названных способов воздействия на поведение физических и юридических лиц. Для решения задач противодействия терроризму недостаточно мощности дозволительного способа правового регулирования который предполагает определенную автономность поведения субъекта права. На первый план выступают разрешительный и запретительный способы воздействия на поведение... | |||