68202

ЗАДАЧІ З РУХОМИМИ МЕЖАМИ ДЛЯ ГІПЕРБОЛІЧНИХ СИСТЕМ КВАЗІЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ

Автореферат

Математика и математический анализ

Багато математичних моделей природознавства містять задачі з нелокальними нерозділеними або інтегральними крайовими умовами. Крайові задачі з нелокальними умовами для систем гіперболічних рівнянь досліджували...

Украинкский

2014-09-19

1.29 MB

0 чел.

  

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ,

МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ЛЬВІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ІВАНА ФРАНКА

 

БУРДЕЙНА  

Наталія Олександрівна

 

УДК 517.956

 

 ЗАДАЧІ З РУХОМИМИ МЕЖАМИ

ДЛЯ ГІПЕРБОЛІЧНИХ СИСТЕМ

КВАЗІЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ

 

01.01.02 – диференціальні рівняння

 

 АВТОРЕФЕРАТ

 

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

 

Львів – 2011


Дисертацією є рукопис
.

Робота виконана на кафедрі математичної економіки та економетрії  Львівського національного університету імені Івана Франка

Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук,

                                   доцент Кирилич Володимир Михайлович

Львівський національний університет

імені Івана Франка,

завідувач кафедри математичної економіки та економетрії

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Притула Микола Миколайович,

Львівський національний університет

імені Івана Франка,

завідувач кафедри дискретного аналізу та

інтелектуальних систем;

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Буряченко Катерина Олександрівна,

Донецький національний університет,

доцент кафедри  диференціальних рівнянь.

Захист відбудеться 15 вересня 2011 року о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 35.051.07 у Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою: 79000, м. Львів, вул. Університетська, 1, ауд. 377.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка (м. Львів, вул. Драгоманова, 5).

Автореферат розісланий 12 серпня 2011 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради,

доцент                                                                                                                             Б. А. Остудін


ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Гіперболічні системи квазілінійних рівнянь описують багато процесів газової динаміки та механіки рідин. Зокрема, до них належать нестаціонарні рівняння газової динаміки, стаціонарні рівняння Ейлера, рівняння теорії мілкої води, рівняння ідеальної магнітної гідродинаміки, рівняння теорії пружності тощо.

Для гіперболічних рівнянь і систем найбільш дослідженою є задача Коші, достатні умови неперервної розв'язності якої встановлено А. Д. Мишкісом, О. А. Олєйнік, Б. Л. Рождественським, А. М. Філімоновим.

Коректною розв'язністю мішаних задач для систем квазілінійних гіперболічних рівнянь займались А. К. Аббасов, С. Я. Алієв, Р. В. Андрусяк, В. П. Бурський, В. Н. Гольдберг, М. М. Гусейнов, Ф. А. Джалілов, П. К. Зерагія, В. М. Кирилич, І. Я. Кміть, Ф. Г. Максудов, А. Д. Мишкіс, А. Д. Полянін, М. М. Притула, А. М. Філімонов, Т. Члапінський (T. Czlapinski), З. Камонт (Z. Kamont), Ґу Чао-хао (Gu Chao-hao), Лі Да-тцін(Lee Da-tsin), Вен-тцу Ю (Wen-tsu Y), Я. Туро (J. Turo). Для таких задач з різноманітними крайовими умовами одержано теореми про локальну та глобальну узагальнену неперервну розв'язність, а також умови існування та єдиності класичного розв'язку.

Під областями з рухомими межами розуміють два типи областей, а саме: області з наперед заданими рухомими межами та області з межами, закон руху яких визначають певним співвідношенням. Перший тип областей називають областями з відомими рухомими межами, а другий - з невідомими (вільними) межами.

Особливим випадком областей з рухомими межами на площині є області, в яких лінія задання початкових умов вироджується в точку, тобто криволінійний сектор. Такі області виникають: у гіперболічних задачах з розривними коефіцієнтами, якщо лінії розриву вихідних даних мають спільні точки; у задачах газової динаміки (задача про поршень) тощо.

Узагальнену неперервну розв'язність гіперболічних задач з вільними межами у криволінійному секторі для певних видів крайових умов досліджено у працях Р. В. Андрусяка, Г. І. Берегової, В. М. Кирилича, З. О. Мельника.

Задачі про спряження уздовж невідомої лінії поділу фаз розв'язків рівнянь гіперболічного типу для лінійних чи нелінійних систем і рівнянь з двома незалежними змінними досліджувало чимало авторів, зокрема: Л. К. Астаф'єва, Р. А. Бостанов, А. С. Вольмір, Т. Д. Джураєв, К. Ю. Казаков, С. Ф. Морозов, З. О. Мельник, Т. О. Мельник, А. Д. Мишкіс, А. М. Філімонов, П. Бассаніні (P. Bassanini), С. Чоу (C. Chow) і Х. Вен (X. Wen), Б. Д'Акунто (B. D'Acunto), С. Д. Хілл (C. D. Hill), І. Страшкраба (I. Strakraba), Я. Туро (J. Turo) та ін.

Багато математичних моделей природознавства містять задачі з нелокальними (нерозділеними або інтегральними) крайовими умовами. Вони трапляються в оптимальному керуванні, біології, механіці, демографії, нелінійній оптиці тощо. Крайові задачі з нелокальними умовами для систем гіперболічних рівнянь досліджували В. І. Жегалов, В. С. Ільків, Т. Ш. Кальменов, Х. Н. Касімов, І. Я. Кміть, Б. Й. Пташник, В. К. Романко, Н. А. Садибеков, Р. Р. Шабакаєв. Гіперболічні задачі Стефана з нелокальними умовами розглянуто у працях Р. В. Андрусяка, Г. І. Берегової, Т. Д. Джураєва, В. М. Кирилича, у яких для лінійних моделей отримано розв'язок для довільної часової змінної, а в нелінійних - для малих значень часу.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації пов'язана з науковими дослідженнями кафедри диференціальних рівнянь Львівського національного університету імені Івана Франка в рамках науково-дослідних державних тем, зокрема, "Дослідження коректної розв'язності класичних та некласичних задач для рівнянь у частинних похідних" ; номер держреєстрації 0108U004134 (2010-2011).

Мета і завдання дослідження. Дослідити умови коректної локальної та глобальної розв'язності задач з рухомими (відомими та невідомими) межами для гіперболічних систем квазілінійних рівнянь першого порядку.

Завдання дослідження полягають у:

- встановленні умов класичної локальної та глобальної розв'язності гіперболічної задачі для системи квазілінійних рівнянь першого порядку в секторі з рухомими межами;

- вивченні умов існування та єдиності локального узагальненого розв'язку двофазної задачі для гіперболічної системи квазілінійних рівнянь першого порядку в секторі з рухомими межами та невідомою контактною межею;

- з'ясуванні достатніх умов коректної розв'язності крайових задач з невідомими межами та нелінійними нелокальними умовами для гіперболічних систем квазілінійних рівнянь;

- доведенні теорем існування та єдиності локального і глобального класичних розв'язків мішаної задачі з нерозділеними крайовими умовами для гіперболічних квазілінійних систем в області з рухомими межами.

Об'єктом дослідження є крайові задачі для гіперболічних одновимірних систем квазілінійних рівнянь з частинними похідними першого порядку в областях з рухомими (відомими і невідомими) межами.

Предмет досліджень - достатні умови коректної розв'язності нелінійних задач з рухомими межами для гіперболічних систем квазілінійних рівнянь першого порядку з двома незалежними змінними.

Методи досліджень. У дисертації використано результати та методи теорії звичайних диференціальних рівнянь, рівнянь з частинними похідними, функціонального аналізу, теорії інтегро-функціональних рівнянь Вольтерра другого роду, принцип стискуючих відображень.

Наукова новизна одержаних результатів полягає у тому, що вперше отримано:

- глобальну гладку розв'язність задачі з рухомими межами для гіперболічної системи квазілінійних рівнянь першого порядку в криволінійному секторі з нелінійними крайовими умовами;

- локальну та глобальну класичну розв'язність задачі з рухомими межами та нелінійними крайовими умовами для квазілінійної гіперболічної системи в криволінійній трапеції;

- локальну розв'язність задачі про спряження уздовж невідомої лінії розв'язків крайової задачі для гіперболічної системи квазілінійних рівнянь першого порядку в секторі та чотирикутнику з рухомими межами;

-- узагальнену локальну розв'язність мішаної задачі з невідомими межами для гіперболічної системи квазілінійних рівнянь першого порядку з нелінійними нерозділеними та інтегральними крайовими умовами у криволінійній трапеції;

- гладку локальну та глобальну розв'язність задачі з рухомими межами та нерозділеними крайовими умовами і нелінійним інтегральним доданком для системи квазілінійних гіперболічних рівнянь першого порядку.

Практичне значення отриманих результатів. Результати дисертації мають теоретичний характер. Їх можна використати в теорії крайових задач для рівнянь з частинними похідними і в математичній фізиці, а також при дослідженні практичних проблем, які моделюють нелінійними задачами для гіперболічних рівнянь.

Особистий внесок здобувача. Дисертаційне дослідження є результатом самостійної роботи автора. У спільних працях В. М. Кириличу належить формулювання задачі та аналіз отриманих результатів, а Р. В. Андрусяку належить обговорення результатів та доведення деяких тверджень, які не увійшли до дисертації.

Апробація результатів роботи. Результати досліджень викладено у доповідях та обговорено на: ІІ Міжнародній науковій конференції "Сучасні проблеми механіки та математики"  (Львів, 2008); IV Всеукраїнській науковій конференції "Нелінійні проблеми аналізу"  (Івано-Франківськ, 2008); ІІ Міжнародній конференції молодих вчених з диференціальних рівнянь та їх застосувань, присвяченій Я. Б. Лопатинському (Донецьк, 2008); Конференції молодих вчених із сучасних проблем механіки і математики (Львів, 2009); Міжнародній науковій конференції до 100-річчя М. М. Боголюбова та 70-річчя М. І. Нагнибіди (Чернівці, 2009); Українському математичному конгресі до 100-річчя від дня народження М. М. Боголюбова (Київ, 2009); XVI Всеукраїнській науковій конференції "Сучасні проблеми прикладної математики"  (Львів, 2009); Тринадцятій Міжнародній конференції імені академіка М. Кравчука (Київ, 2010); Конференції молодих вчених "Підстригачівські читання - 2010"  (Львів, 2010); ІІІ Міжнародній конференції молодих вчених з диференціальних рівнянь та їх застосувань, присвяченій Ярославу Лопатинському (Львів, 2010); Internationals Scientific Conference of Students and Young Scientists "Theoretical and Applied Aspects of Cybernetics"  (Київ, 2011); Міжнародній науковій конференції "Сучасні проблеми математики і її застосування в природничих науках та інформаційних технологіях"  (Харків, 2011); IV конференції молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я. С. Підстригача (Львів, 2011); семінарах кафедри диференціальних рівнянь Львівського університету упродовж 2009-2011 рр. (керівники: М. І. Іванчов, М. М. Бокало, Ю. Д. Головатий); Львівському міському семінарі з диференціальних рівнянь (керівники: Б. Й. Пташник, П. І. Каленюк, М. І. Іванчов; Львів, 2011).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 6-ти наукових працях у фахових періодичних виданнях з переліку ВАК України та додатково висвітлено у 12-ти тезах матеріалів наукових конференцій.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, а також списку літератури, що налічує 114 найменувань. Загальний обсяг роботи становить 161 с.

 ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ 

У вступі обґрунтовано актуальність теми, сформульовано мету і завдання досліджень, наукову новизну, апробацію одержаних результатів та їхнє практичне значення.

У першому розділі проаналізовано праці, які стосуються задач з рухомими межами для гіперболічних систем квазілінійних рівнянь з двома незалежними змінними.

Позначимо  -- простір функцій, неперервно диференційовних на множині , перші похідні за просторовою змінною задовольняють умову Ліпшиця за всіма аргументами на множині .

У другому розділі розглянуто нелінійні задачі з рухомими межами для системи квазілінійних рівнянь гіперболічного типу з двома незалежними змінними. Побудовано локальні та глобальні за часовою змінною класичні розв'язки для зазначених задач у криволінійному секторі та криволінійному чотирикутнику.

На площині  розглянемо криволінійний сектор   де  - відомі неперервно-диференційовні функції, причому,  і систему квазілінійних рівнянь з частинними похідними першого порядку

                                                ()

де  а функції  є відомими.

Зафіксуємо вектор  і припустимо, що виконуються умови

                                                             ()

                                                       (3)

а решта чисел  задовольняють нерівність

                                                 (4)

для деяких

Зазначимо, що коли для деякого  жодне з чисел  не збігається з  чи  тобто

                              (5)

то ці числа можна перенумерувати так, щоб виконувались умови (2)-(4).

Позначимо через  - множину номерів тих характеристик квазілінійної системи, які за малих  містяться ліворуч від сектора ;  -- множина номерів характеристик, які лежать праворуч від  множина  відповідатиме номерам характеристик, які розташовані в секторі

Нехай  - вектор-функція, всі компоненти якої задані в замкнутому секторі  і позначимо:  

Нелокальні умови для перших  компонент вектор-функції  задамо на :  де  - відомі функції аргументів  та  

Для другої групи координат  умови задаватимемо на :  де функції  - відомі. І, нарешті, для останніх  компонент розв'язку  ставитемо умови на всій межі сектора   для  з відомими функціями  

Отже, у цьому підрозділі для системи (1) вивчатимемо задачу з умовами:

                                                                               (6)

                 (7)

Припустимо, що вихідні дані задачі (1),(6),(7) задовольняють умови гладкості та умови погодження нульового і першого порядків:

 

;

 

Означення 2.1. Класичним розв'язком задачі (1),(6),(7) на часовому проміжку  називатимемо вектор-функцію  що задовольняє систему рівнянь (1), початкову умову (6) та крайові умови (7).

Для кожної функції  класу  введемо вектор-функцію  Припустимо, що існують скінченні сталі  де . Нехай  - спільна стала Ліпшиця для функцій   на   а для функцій  на  такою сталою є  

Вважатимемо, що вихідні дані задачі задовольняють нерівності

                                          (8)

де , а сталу  визначають через крайові умови і характеристики системи (1) та функції, що задають межі області й праві частини системи.

Теорема 2. 1. Нехай початковий вектор  такий, що виконується умова (5). Вихідні дані задачі (1),(6),(7) задовольняють умови гладкості та погодження --, а також нерівності (8). Тоді для деякого  існує єдиний класичний розв'язок задачі (1),(6),(7), визначений на відрізку .

У підрозділі 2.2 в криволінійній трапеції  , де  - відомі неперервно-диференційовні функції, причому,  розглянуто систему квазілінійних рівнянь (1) з початковою умовою

                                                      (9)

Припустимо, що виконуються умови

                                           (10)

                                        (11)

для деяких

Зазначимо, що коли справедливі співвідношення

             (2)

то числа  завжди можна перенумерувати так, щоб виконувались умови (10)-(11).

Уведемо позначення:  - множина номерів тих характеристик, які виходять з кутової точки  і потрапляють в область ;  - множина номерів тих характеристик, які виходять з кутової точки  і потрапляють в .

Нехай  - вектор-функція, усі компоненти якої задано в замкнутій криволінійній трапеції .

Для перших  компонент вектор-функції  задамо на лівому боці   криволінійної трапеції  такі крайові умови:   де  -- відомі функції аргументів  та  

Остаточно крайові умови для системи (1) набудуть вигляду:

                           (3)

Припустимо, що вихідні дані задачі (1), (9), (3) задовольняють умови гладкості та умови погодження нульового і першого порядків:

 

;

 

Означення 2.2. Класичним розв'язком задачі (1), (9), (3) на часовому проміжку  називатимемо вектор-функцію  що задовольняє систему рівнянь (1), початкову умову (9) і крайові умови (13).

Теорема 2. 2. Нехай вихідні дані (1), (9), (3) задовольняють умови гладкості і погодження --, а також співвідношення (12).Тоді для деякого  існує єдиний класичний розв'язок (1), (9), (3), визначений на відрізку .

У підрозділі 2. 3 показано, що розв'язок задачі, отриманий в теоремі 2.2, можна продовжити на всю область . Для цього вимагаємо, щоб для кожного фіксованого  справджувались співвідношення

                    (4)

Припустимо, що вихідні дані, окрім B1-B6, задовольняють обмеження:

існує неперервна неспадна функція  така що

не спадають за змінними  для кожного ;

       не спадають за  для всіх ;

          не зростають за t і не спадають за w для всіх

           не спадають за змінною t і не зростають за w для всіх  

Окрім того, вихідні дані задачі задовольняють нерівності

                                                                        (5)

                                                     (16)

де  , а сталі  виражені вихідними даними задачі (1),(9),(13).

Теорема 2. 3. Нехай вихідні дані задачі (1),(9),(13) задовольняють умови -, -, а також нерівності (14)-(16). Тоді існує єдиний класичний розв'язок задачі (1),(9),(13), визначений на проміжку . 

Використовуючи результати попередніх підрозділів, у підрозділі 2. 4 встановлено глобальну розв'язність задачі (1),(6),(7). Тобто, продовжено локальний розв'язок, визначений у теоремі 2. 1 на весь сектор , додатково припускаючи виконання нерівностей

                                                    (7)

де  - стала Ліпшиця розв'язку задачі (1),(6),(7) на множині . Зазначимо, що сталі , ,  також визначаємо через початкові та крайові умови, коефіцієнти характеристик системи і функції, що задають межі області та праві частини системи.

Теорема 2. 4. Нехай вихідні дані (1),(6),(7) задовольняють умови теореми 2. 1, виконуються також умови - і нерівності (14), (15), (17). Тоді існує єдиний класичний розв'язок (1),(6),(7), визначений на проміжку .

Третій розділ присвячено побудові локального узагальненого розв'язку нелінійної задачі з невідомою внутрішньою контактною лінією та зовнішніми рухомими межами для криволінійного сектора та криволінійної трапеції.

Нехай невідома лінія , така що , розділяє сектор  на дві частини:  

У  розглянемо гіперболічну систему

                                 (8)

а в області  - систему

                               (19)

де    - шукані функції.

Додаткова умова для невідомої функції  визначена задачею Коші

                                                                                     (20)

                                                                                                        (1)

де  а  -- відома функція.

Початкові умови для функцій  мають вигляд

                                                                   (22)

де  - задані вектори.

Нехай  - множина номерів тих характеристик квазілінійної системи, які за малих  лежать праворуч від сектора ;  - номери тих характеристик системи (18), які містяться ліворуч від сектора ; множина номерів  відповідатиме тим характеристикам системи (19), котрі потрапляють в середину області , а множина , відповідно, - тим характеристикам системи (18), котрі потрапляють в середину області . Окрім того, через  позначатимемо доповнення до множин  відповідно.

Нехай виконуються нелінійні крайові умови

                                (23)

а також нелінійні умови спряження на контактній лінії

                                  (4)

де Нехай ,  - визначені функції, а  Додатково припустимо, що функції  задовольняють умову Ліпшиця за змінними . Розглянемо задачу Коші для визначення i-ої характеристики системи (18), тобто

                                                              (25)

Розв'язок цієї задачі позначимо через . Нехай

Результатом інтегрування кожного рівняння системи (18) вздовж відповідних характеристик у межах від  до  буде система інтегро-функціональних рівнянь

                  (6)

Аналогічно одержимо систему інтегро-функціональних рівнянь

       (27)

Означення 3. 1. Локальним узагальненим розв'язком задачі (18)-(24) на часовому проміжку  називатимемо набір функцій   що задовольняє системи (20), (26), (27), а також умови (21) - (24). 

Користуватимемось позначеннями:   і нехай:  - сталі Ліпшиця функцій  за відповідними змінними;  - сталі Ліпшиця функцій , відповідно, за групою аргументів ;  - стала Ліпшиця функції  причому .

Нехай виконуються такі нерівності

                                                            (28)

Припустимо, що вихідні дані задачі задовольняють умови гладкості і умови погодження нульового порядку у вершині сектора:

;

Окрім того, справедливі такі нерівності

                           (29)

                                                                                           (30)

Теорема 3. 1. Нехай вихідні дані задачі (18)-(24) задовольняють умови гладкості та погодження --, а також нерівності (28)-(30). Тоді для деякого  існує єдиний узагальнений розв'язок задачі (18)-(24), визначений на відрізку . 

У підрозділі 3. 2 розглянуто системи (18)-(20) у криволінійних трапеціях   де  -- відомі неперервно-диференційовані функції, причому, , а  - невідома лінія.

Доповнимо системи (18)-(20) початковими умовами вигляду

                                                                                                                                  (31)   

                                       (32)        

де,  - заданий набір функцій.

Уведемо множини номерів характеристик:

    

Припустимо, що на бічних межах області  виконуються крайові умови

                   (33)

а на вільній межі  - нелінійні умови спряження

                        (34)

де , , ,   причому  

Означення 3. 2. Узагальненим розв'язком задачі (18)-(20), (31)-(34), визначеним на відрізку  називатимемо набір функцій  що задовольняє системи (20), (26), (27), а також умови (31) - (34). Якщо  то розв'язок є локальним, якщо ж  то розв'язок глобальний.

Позначимо:  

Припустимо, що вихідні дані задачі задовольняють умови:

 

де  .

Уважатимемо, що справедливі такі нерівності:

     (35)

Теорема 3. 2. Нехай вихідні дані задачі (18)-(20), (31)-(34) задовольняють умови --, а також нерівності (). Тоді для деякого  існує єдиний узагальнений розв'язок  задачі (18)-(20), (31)-(34), визначений на відрізку .

У четвертому розділі встановлено коректну розв'язність для малих значень часу гіперболічної задачі Стефана з нелокальними крайовими умовами, а також локальну та глобальну класичні розв'язності задачі з рухомими межами для квазілінійної гіперболічної системи рівнянь першого порядку з нерозділеними крайовими умовами та нелінійним інтегральним доданком.

Розглянемо криволінійну трапецію   де  - невідомі функції, та систему квазілінійних рівнянь (1).

Швидкість руху меж області описує система диференціальних рівнянь

     (36)

де  а  -- відомі функції.

Доповнимо системи (1), (36) початковими умовами вигляду

     (37)   

                                                                                         (38)

де  -- задані значення, а  - заданий набір функцій.

Позначимо  - відомий набір значень;  -- множина номерів тих характеристик, які виходять з точки  і потрапляють в область ;  -- множина номерів тих характеристик, які виходять з точки  і потрапляють в .

Припустимо, що на бічних невідомих межах області  шукані функції задовольняють нелокальні нелінійні крайові умови

     (39)

де , а , , причому ,  -- відомі функції.

Нехай ,  -- визначені функції. В результаті інтегрування системи (1) уздовж характеристик отримаємо систему інтегро-функціональних рівнянь

     (40)

Означення 4. 1. Узагальненим розв'язком задачі (1),(36)-(39) на часовому проміжку  називатимемо набір функцій  що задовольняє системи (36), (40), а також умови (37)-(39). Якщо , то розв'язок є локальним. 

Припустимо, що виконуються умови:

де  набір  сталих вигляду .

Теорема 4. 1. Нехай вихідні дані задачі (1),(36)-(39) задовольняють умови гладкості та погодження -, а також нерівність 

 

 Тоді для деякого  існує єдиний узагальнений розв'язок задачі (1),(36)-(39), визначений на відрізку .

У підрозділі 4. 2 в криволінійній трапеції  де  -- відомі неперервно-диференційовані функції, причому,  розглянуто систему квазілінійних рівнянь (1) з початковими умовами

     (4)

Припустимо, що справедливі співвідношення

     (42)

Нехай:  -- множина номерів тих характеристик, які виходять з кутової точки  області і потрапляють в середину області , а  -- множина номерів тих характеристик, які виходять з кутової точки  області і потрапляють в середину області  для деяких

Тоді крайові умови для системи (1) задаємо у вигляді

     (43)

 

Тут функції      - задані.

Означення 4. 2. Класичним розв'язком задачі (1), (41), (43) називатимемо функцію  що задовольняє систему рівнянь (1), початкові та крайові умови (41), (43). Якщо  то такий розв'язок назвемо локальним, а при  - глобальним.

Припустимо, що вихідні дані задачі задовольняють умови:

 

Позначимо через  квадратну матрицю розміру , елементами якої є функції , і вважатимемо, що виконується співвідношення

     (44)

Теорема 4. 2. Нехай вихідні дані задачі (1), (41), (43) задовольняють умови гладкості і погодження --, а також співвідношення (42), (44). Тоді для деякого  існує єдиний класичний розв'язок задачі (1), (41), (43), визначений на відрізку .

У підрозділі 4. 3 встановлено достатні умови та доведено теорему 4. 3 щодо розв'язності задачі (1), (41), (43) у всій області .

ВИСНОВКИ 

 Дисертаційну роботу присвячено дослідженню задач з рухомими межами для гіперболічних систем квазілінійних рівнянь з частинними похідними першого порядку з двома незалежними змінними, які описують процеси газової динаміки та механіки рідин.

У роботі одержано такі головні результати:

встановлено умови класичної локальної та глобальної розв'язності задачі для гіперболічної системи квазілінійних рівнянь першого порядку в секторі з рухомими межами;

досліджено умови існування та єдиності локального узагальненого розв'язку двофазної задачі для гіперболічної системи квазілінійних рівнянь першого порядку в секторі з рухомими межами та невідомою контактною межею;

встановлено достатні умови коректної розв'язності задачі з невідомими межами та нелінійними нелокальними умовами для гіперболічної системи квазілінійних рівнянь першого порядку в криволінійному чотирикутнику;

доведено теореми існування та єдиності локального і глобального класичних розв'язків мішаної задачі з нерозділеними крайовими умовами та інтегральним доданком для гіперболічних систем квазілінійних рівнянь.

Для одержання цих результатів використано метод характеристик і теорему Банаха про нерухому точку стискуючого оператора.

Отримані результати є новими для нелінійних задач з рухомими межами для гіперболічних систем квазілінійних рівнянь. Їх можна використати в теорії крайових задач для рівнянь з частинними похідними і в математичній фізиці, а також при дослідженні практичних проблем, які моделюються нелінійними гіперболічними задачами.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ 

1. Андрусяк Р. В.  Класична розв'язність задачі з рухомими межами для гіперболічної системи квазілінійних рівнянь / Р. В. Андрусяк, Н. О. Бурдейна, В. М. Кирилич //Укр. матем. журн. - 2009. -Т. 61. - №7. - С. 867-891.

2. Андрусяк Р.  Гладка розв'язність квазілінійної гіперболічної задачі з вільними межами / Р. Андрусяк, Н. Бурдейна, В. Кирилич //Вісн. Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. - 2009. - Вип. 70. - С. 14-37.

3. Андрусяк Р. В.  Квазілінійна гіперболічна задача Стефана з нелокальними крайовими умовами / Р. В. Андрусяк, Н. О. Бурдейна, В. М. Кирилич // Укр. матем. журн. - 2010. - Т. 62. - № 9. - С. 1173-1199.

4. Бурдейна Н. О.  Гладка глобальна розв'язність гіперболічної задачі з рухомими межами і нерозділеними крайовими умовами / Н. О. Бурдейна // Вісн. Одеськ. ун-ту. Матем. і мех. - 2009. - Т. 14. - Вип. 20. - С. 35-56.

5. Бурдейна Н. О.  Гіперболічна квазілінійна задача з невідомими межами / Н. О. Бурдейна // Вісн. Донецьк. ун-ту. Сер. А: Природн. науки. - 2009. - Вип. 1. - С. 74-82.

6. Бурдейна Н.  Спряження розв'язків гіперболічної задачі для системи квазілінійних рівнянь вздовж невідомої лінії розриву в криволінійному секторі / Наталя Бурдейна // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. - 2010. - Вип. 73. - С. 221-226.

7. Андрусяк Р. В.  Класична розв'язність квазілінійної гіперболічної задачі з рухомими межами / Р. В. Андрусяк, Н. О. Бурдейна, В. М. Кирилич // Нелінійні проблеми аналізу : тези доп. IV Всеукр. наук. конф. 10-12 вересня 2008 р. - Івано-Франківськ, 2008. - С. 2.

8. Андрусяк Р. В.  Гіперболічна квазілінійна задача Стефана з нелокальними крайовими умовами / Р. В. Андрусяк, Н. О. Бурдейна // Конференція молодих вчених із сучасних проблем механіки і математики : тези доп., Львів, 25--27 травня 2009 р. - Львів, 2009. - С. 195-196.

9. Андрусяк Р. В.  Існування та єдиність глобального класичного розв'язку однієї гіперболічної задачі Стефана / Р. В. Андрусяк, Н. О. Бурдейна // Міжнар. конф. до 100-річчя М. М. Боголюбова та 70-річчя М.І.Нагнибіди, 8-13 червня 2009 р.: тези доп.-Чернівці : Книги ХХІ, 2009. - С. 8-9.

10. Андрусяк Р. В.  Класична розв'язність гіперболічної квазілінійної задачі [Електронний ресурс] / Р. В. Андрусяк, Н. О. Бурдейна // Укр. матем. конгрес. 27-29 серпня 2009 р. - К., 2009. - Режим доступу до матеріалів : http://imath.kiev.ua/congress2009/Abstracts/Andrusyak.pdf.

11. Андрусяк Р. В.  Задача з нелокальними умовами в секторі з вільними межами для гіперболічної квазілінійної системи / Р. В. Андрусяк, Н. О. Бурдейна // IV Конференція молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я. С. Підстригача : тези доп., 24-27 травня 2011р. - Львів, 2011. - С. 307.

12. Бурдейна Н. О.  Гладка розв'язність квазілінійної гіперболічної задачі з вільними межами / Н. О. Бурдейна // Second International Conference for Young Mathematics on Differential Equations and Appl. dedicated to Ya. B. Lopatinskii : book of abstracts, 11-14 November, 2008. - Донецьк, 2008. - С. 48-49.

13. Бурдейна Н.  Розв'язність квазілінійних гіперболічних задач з рухомими границями / Наталя Бурдейна, Володимир Кирилич // Сучасні проблеми механіки та математики : матеріали ІІ Міжнар. наук. конф., 25-29 травня 2008. - Львів, 2008. - С. 95-96.

14. Бурдейна Н. О.  Гладка розв'язність квазілінійної гіперболічної задачі в криволінійному секторі / Н. О. Бурдейна // Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики : матеріали XVI Всеукр. наук. конф., 8-9 жовтня 2009 р. - Львів, 2009. - С. 41.

15. Бурдейна Н. О.  Гладка розв'язність нелінійної задачі з невідомими межами для гіперболічної системи квазілінійних рівнянь / Н. О. Бурдейна // Тринадцята міжнародна конференція імені академіка М. Кравчука : матеріали конференції І, 13-15 травня 2010 р. - К., 2010. - С. 72.

16. Бурдейна Н. О.  Гладка розв'язність гіперболічної квазілінійної задачі з нерозділеними крайовими умовами в секторі з рухомими межами [Електронний ресурс] / Н. О. Бурдейна // Конференція молодих вчених "Підстригачівські читання - 2010"  25-26 травня 2010 р. - Львів, 2010. - Режим доступу до матеріалів : http://www. iapmm.lviv.ua/chyt2010/materials/pc2010-02-B-05.pdf.

17. Бурдейна Н. О. Задача з вільними межами для гіперболічної системи квазілінійних рівнянь загального вигляду / Наталя Бурдейна // Third International Conference for Young Mathematics on Differential Equations and Appl. dedicated to Yaroslav Lopatynsky : book of abstracts, 3--6 November, 2010. - Донецьк, 2010. - С. 45.

18. Бурдейна Н. О. Спряження розв'язків гіперболічної задачі для системи квазілінійних рівнянь уздовж невідомої контактної межі в секторі / Н. О. Бурдейна // Theoretical and Applied Aspecrs of Cybernetics : proceedings of the International Scientific Conference of Students and Young Scientists, 21-25 February 2011. - К., 2011. - С. 214-216.

 Анотація 

Бурдейна Н. О. Задачі з рухомими межами для гіперболічних систем квазілінійних рівнянь. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01. 01. 02 - диференціальні рівняння. - Львівський національний університет імені Івана Франка. Львів, 2011.

Дисертацію присвячено дослідженню задач з рухомими межами для гіперболічних систем квазілінійних рівнянь з частинними похідними першого порядку з двома незалежними змінними. Встановлено умови класичної локальної та глобальної розв'язностей задачі для гіперболічної системи квазілінійних рівнянь першого порядку в секторі з рухомими межами. Вивчено умови існування та єдиності локального узагальненого розв'язку двофазної задачі для гіперболічної системи квазілінійних рівнянь першого порядку в секторі з рухомими межами та невідомою контактною межею. З'ясовано достатні умови коректної розв'язності крайових задач з невідомими межами та нелінійними нелокальними умовами для гіперболічних систем квазілінійних рівнянь. Доведено теореми існування та єдиності локального і глобального класичних розв'язків мішаної задачі з нерозділеними крайовими умовами та інтегральним доданком для гіперболічних квазілінійних систем в області з рухомими межами.

Ключові слова: гіперболічна система, квазілінійні рівняння, нелокальні умови, метод характеристик, рухома межа.

 Abstract 

Burdeina N. O. Moving boundary problems for hyperbolic systems of quasi-linear equations. - Manuscript.

The thesis presented for the degree of Candidate of Sciences in Physics and Mathematics in speciality 01. 01. 02 - differential equations. - The Ivan Franko National University of Lviv. Lviv, 2011.

The thesis addresses the investigation of the moving boundary problems for hyperbolic systems of partial first-order quasi-linear equations with two independent values.

The classical solvability of problems for hyperbolic system of partial first-order quasi-linear equations in sector with moving boundaries is examined. The sufficient conditions of existence and uniqueness of local generalized solutions of two-phase problem for hyperbolic system of quasi-linear first-order equations in sector with moving boundary and unknown contact line are investigated. The boundary problems with non-local conditions in the curvilinear sector and curvilinear quadrangle for a quasi-linear hyperbolic system of partial first-order equations are studied. The theorems of existence and uniqueness of local and global classical solutions of mixed problem with unseparated boundary conditions and integral term for hyperbolic quasi-linear system in moving boundary domain were proved.

Key words: hyperbolic system, quasi-linear equation, non-local conditions, method of characteristics, Banach Theorem of the fixed point, free boundary.

 Аннотация 

Бурдейная Н. А. Задачи с подвижными границами для гиперболических систем квазилинейных уравнений. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01. 01. 02 - дифференциальные уравнения. - Львовский национальный университет имени Ивана Франко. Львов, 2011.

Диссертация посвящена исследованию задач с подвижными границами для гиперболических систем квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка с двумя независимыми переменными. Работа состоит из введения, четырех глав, выводов и списка использованных источников. Во введении обоснована актуальность темы, указаны цель и задачи исследования, научная новизна, апробация полученных результатов, их практическое значение. В первой главе приведен обзор работ по задачам с подвижными (известными и неизвестными) границами для гиперболических систем квазилинейных уравнений. Во второй главе установлены условия классической локальной и глобальной разрешимостей гиперболической задачи для системы квазилинейных уравнений первого порядка в секторе с подвижными границами. В третьей главе исследованы условия существования и единственности локального обобщенного решения двухфазной задачи для гиперболической системы квазилинейных уравнений первого порядка в секторе с подвижными границами и неизвестной контактной линией. В четвертой главе установлены достаточные условия корректной разрешимости граничных задач с неизвестными границами и нелинейными нелокальными условиями для гиперболических систем квазилинейных уравнений.

При получении этих результатов использованы метод характеристик и теорема Банаха о неподвижной точке сжимающего оператора.

Полученные результаты являются новыми для нелинейных задач с подвижными границами для гиперболических систем квазилинейных уравнений. Они имеют теоретический характер и могут быть применены в теории граничных задач для уравнений в частных производных, математической физике, а также при исследовании практических проблем, которые моделируються нелинейными гиперболическими задачами.

Ключевые слова: гиперболическая система, квазилинейные уравнения, подвижные границы, нелокальные условия, метод характеристик, теорема Банаха о неподвижной точке сжимающего отображения.

Підписано до друку 03.08.2011 р.

Формат 60х84/16. Папір офсетний. Друк на різографі.

Умовн.друк.арк. 1,16. Обл.-вид.арк. 1,21.

Тираж 100 прим. Замовлення №270

Надруковано у видавничому центрі

Львівського національного університету імені Івана Франка

79000, м. Львів, вул. Дорошенка, 41


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

15812. Деловые игры как средство формирования интереса к обучению у студентов ВНЗ 75.5 KB
  Деловые игры как средство формирования интереса к обучению у студентов ВУЗа Баранова А. Н. Значимость образования и его роль в обществе считается приоритетом всестороннего развития современного общества. Образовательные системы в любой стране мира должны способст
15813. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИЧЕСКИХ КОНСТАНТ ПЛЕНОК НА ПОДЛОЖКАХ ИЗ КРЕМНИЯ 1.22 MB
  Среди фундаментальных характеристик вещества одно из основных мест принадлежит оптическим константам ОК показателю преломления n и показателю поглощения. Показатели преломления и поглощения...
15814. ИССЛЕДОВАНИЕ ОПТИЧЕСКИХ ПЛЕНОК ФТОРИДОВ И БИФТОРИДОВ 655.5 KB
  ИССЛЕДОВАНИЕ ОПТИЧЕСКИХ ПЛЕНОК ФТОРИДОВ И БИФТОРИДОВ Со времен своего возникновения технология изготовления многослойных интерференционных покрытий ИП занимающая целую отрасль в оптическом приборостроении претерпела значительные изменения. Современные средства...
15815. МЕТОДЫ АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ ОПТИЧЕСКИХ ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫХ ПОКРЫТИЙ 3.56 MB
  МЕТОДЫ АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ ОПТИЧЕСКИХ ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫХ ПОКРЫТИЙ При решении задач проектирования и изготовления тонкопленочных оптических интерференционных покрытий особое внимание уделяется исследованию воспроизводимости их спектральных характеристик [17]. ...
15816. Microsoft Sql Server 2005. Представления 117 KB
  Microsoft Sql Server 2005. Представления Представления Представления – это именованные запросы на выборку данных инструкции SELECT на языке TSQL хранящиеся в базе данных. В запросах представления можно использовать так же как и таблицы независимо от сложности их инструкций SELECT.
15817. Microsoft SQL Server 2005. Хранимые процедуры 87 KB
  Microsoft SQL Server 2005. Хранимые процедуры Хранимые процедуры Хранимая процедура это наиболее часто используемая в базах данных программная структура представляющая собой оформленный особым образом сценарий вернее пакет который хранится в базе данных а не в отдельном ...
15818. SQL Server 2005. Программирование на T-SQL 78.5 KB
  SQL Server 2005. Программирование на TSQL Программирование на TSQL Синтаксис и соглашения TSQL. Правила формирования идентификаторов Все объекты в SQL Server имеют имена идентификаторы. Примерами объектов являются таблицы представления хранимые процедуры и т.д. Идентификато
15819. Начало работы с Microsoft SQL Server 2005 187 KB
  Начало работы с Microsoft SQL Server 2005 Утилита SQL Server Management Studio Подавляющую массу задач администрирования SQL Server можно выполнить в графической утилите SQL Server Management Studio. В ней можно создавать базы данных и все ассоциированные с ними объекты таблицы представления ...
15820. Основы Transact SQL: Добавление, изменение и удаление данных 63 KB
  Основы Transact SQL: Добавление изменение и удаление данных. Основы Transact SQL: Добавление изменение и удаление данных в таблицах Запросы рассмотренные ранее были направлены на то чтобы получить данные содержащиеся в существующих таблицах базы данных. Главным ключевым сло...