68396

Критерий разложимости функции в ряд Тейлора

Лекция

Математика и математический анализ

Возникает вопрос, справедливо ли обратное утверждение? Пусть функция бесконечно дифференцируема на интервале. Мы можем формально построить для нее ряд Тейлора. Но пока мы не знаем, будет ли наша функция суммой этого ряда, т.е. будет ли построенный ряд Тейлора сходиться к нашей функции на интервале...

Русский

2014-09-21

450 KB

4 чел.

PAGE  7

Пример 1. Разложить многочлен  по степеням .

Имеем: а=1. Напишем формулу Тейлора для :

.

Найдем производные в точке  а=1.

        ;

;     ;

;      ;

;       ;

.

Четвертая производная равна нулю, поэтому остаточного члена не будет. Подставляем в многочлен Тейлора:

.

Пример 2. Написать формулу Маклорена для функции   ().

Эта функция имеет производные любого порядка на (, +). При этом:

,

  число.

.

§2.9. Критерий разложимости функции в ряд Тейлора

Вернемся к рядам. В §2.7 мы установили, что если функцию  можно разложить в сходящийся к ней степенной ряд, то он является для этой функции рядом Тейлора.

Возникает вопрос, справедливо ли обратное утверждение? Пусть функция  бесконечно дифференцируема на интервале . Мы можем формально построить для нее ряд Тейлора. Но пока мы не знаем, будет ли наша функция суммой этого ряда, т.е. будет ли построенный ряд Тейлора сходиться к нашей функции на интервале , вместо знака равенства поставим знак соответствия:

Выясним, при каких условиях этот знак можно заменить на знак равенства. Напишем формулу Тейлора для функции :

,      (2.9.1)

где   остаточный член, а

.        (2.9.2)

– многочлен Тейлора n-ой степени, который можно рассматривать как частичную сумму ряда Тейлора. Таким образом,

.         (2.9.3)

Остаточный член формулы Тейлора для функции можно определить как разность между функцией  и частичной суммой ряда Тейлора:

.         (2.9.4)

При увеличении номера п число слагаемых в частичной сумме, т.е. в многочлене Тейлора, увеличивается, а остаточный член изменяется. Можно рассмотреть последовательность остаточных членов . Это последовательность функций, определенных в той же окрестности точки а, в которой имеет место бесконечная дифференцируемость функции . Остаточный член показывает погрешность, получающуюся при замене функции частичной суммой ряда Тейлора. Ясно, что для получения хорошего приближения   последовательность остаточных членов  должна стремиться к нулю. Вместо сочетания «последовательность остаточных членов» часто говорят просто «остаточный член».

Теорема 1 О необходимом и достаточном условии сходимости ряда Тейлора к функции .

Для того чтобы функцию  можно было разложить в ряд Тейлора

        (2.9.5)

на интервале , необходимо и достаточно, чтобы  имела на этом интервале производные любого порядка и чтобы остаточный член  в данной формуле Тейлора (2.9.1) стремился к нулю при всех , когда  n.

Замечание.  Если функция  имеет на интервале  производные любого порядка, то эти производные непрерывны на этом интервале, потому что, если  имеет производную  на , то производная  должна быть непрерывна на этом интервале.

Доказательство. Необходимость.  Дано:   сумма ряда (2.9.5), т.е. ряд сходится. Требуется доказать, что . Воспользуемся равенством (2.9.3):

.

n-я частичная сумма ряда (2.9.4):

совпадает с многочленом Тейлора n-ой степени (2.9.2).

         (2.9.6)

Т.к. по условию ряд сходится,

.

Достаточность. Дано: . Требуется доказать, что   сумма ряда (2.9.5). .

Теорема доказана.

Лемма.           (2.9.7)

для любого вещественного х.

В примере 3 на сходимость степенных рядов было установлено, что ряд  сходится абсолютно при   его радиус сходимости . Отсюда следует, что общий член ряда  при  (необходимое условие сходимости всякого ряда). Лемма доказана. Её можно применять и в виде  .

Теорема 2 О достаточном условии сходимости остаточного члена формулы Тейлора к нулю.

Если функция  в -окрестности точки а имеет производные любого порядка, ограниченные одним и тем же числом  то остаточный член ее формулы Тейлора в этой окрестности стремится к нулю при :

.          (2.9.8)

Доказательство.  Воспользовавшись формулой остаточного члена (2.7.2):

,

получим:

,      (2.9.9)

т.к.   в -окрестности точки а.

Перейдем к пределу: .

По лемме  при х, в том числе при    . Теорема доказана.

§2.10. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена

  1.  .

В примере 2 была выведена формула Маклорена для этой функции. Нужно лишь доказать, что остаточный член стремится к нулю при .

 

 

(рис. 2.10.1, 2.10.2), .

По лемме   при любых х      .

Согласно теореме о необходимом и достаточном условии сходимости ряда Тейлора к функции  полученный ряд сходится к функции  и можно написать равенство:

.      (1*)

Найдем интервал сходимости этого ряда. По общему признаку Д’Аламбера

  

ряд Маклорена сходится на всей числовой оси, т.е. для всех .

Заменим х на (-х):

 

2.  

    (2*)

(нечетные степени с факториалами, все с плюсами)

3.  (3*)

(четные степени с факториалами, все с плюсами). Разложение (3*) можно также получить с помощью почленного дифференцирования ряда (2*).

  1.  Найдём сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем ,  :

.

Переписав это равенство справа налево, получим разложение в ряд функции :

      (4*)

5.  В разложении (4*) выполним замену х на (х). Тогда  :

    (5*)

6.  Проинтегрируем ряд (5*) почленно от 0 до переменного предела х:

.

Получили разложение натурального логарифма:

   (6*)

(без факториалов). Интервал сходимости по теореме об интегрировании степенных рядов остался прежним. Исследуем сходимость ряда на концах интервала. При  получим знакопеременный гармонический ряд 7, сходящийся по теореме Лейбница:

.

При  получаем  и расходящийся гармонический ряд. Таким образом, интервал сходимости ряда (6*) .

7.  В разложении (5*) заменим х на (х2):

 

Проинтегрируем почленно этот ряд:

 

.    (7*)

(нечетные степени без факториалов). При  получим сходящийся по Лейбницу ряд (8):

.

При    тот же ряд, но с противоположными знаками:

.

Таким образом, интервал сходимости ряда (7*) .

  1.  ,     ,                                      

,   ,

,  ,

,  ,

,  ,

……………………………………………………….                                    

,   .

Взятие производной – это поворот на 90 (нрис.2.10.3). Производные любого порядка ограничены: на : .  Поэтому по теореме 2   ,  и функция   разлагается в сходящийся к ней на  ряд Маклорена по степеням x:

  (8*)

Покажем, что полученный ряд сходится на всей числовой оси. По общему признаку Д’Аламбера:

 сходится при всех х.

Ряд (8*) отличается от разложения гиперболического синуса (2*) знакопеременностью.

9.  .

Почленным дифференцированием ряда (8*) получаем разложение косинуса в ряд Маклорена:

    Таким образом,

   (9*)

Т.к. ряд (9*) получен путем дифференцирования ряда (8*), то по теореме о дифференцировании степенных рядов ряд (9*) имеет тот же интервал сходимости, что и ряд (8*).

Ряд (9*) отличается от разложения гиперболического косинуса (3*) знакопеременностью.


0         
            х

а

х

а-

Рис.2.9.1

а+

Рис.2.10.3

sin(x+2/2)=-sinx

sin(x+/2)=cosx

Рис.2.10.2

Рис.2.10.1

х                      0

sinx

sin(x+3/2)=-cosx


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

26582. КЛАССИФИКАЦИЯ ПИЩЕВЫХ ЗАБОЛЕВАНИЙ 5.7 KB
  Само название пищевые заболевания пищевые токсикоинфекции пищевые токсикозы указывают что основную роль в их возникновении играют 'пищевые продукты. В зависимости от них все пищевые заболевания людей делят на две большие группы. ПИЩЕВЫЕ ЗАБОЛЕВАНИЯ НЕ БАКТЕРИАЛЬНОЙ ПРИРОДЫ типичные пищевые отравления. Пищевые заболевания не бактериальной природы с недостаточно изученной этиологией.
26583. КОНСЕРВИРОВАНИЕ КОЖЕВЕННОГО СЫРЬЯ 5.55 KB
  Шкуры консервируют посолом врасстил тузлукованием сухосоленым пресносухим и кислотносолевым способами. Шкуры укладывают на стеллажи мездрой вверх посыпая слоем соли до 1 см высотой штабеля 15 2 м. Каждый штабель комплектуют не более 3 суток с момента посола первой шкуры. Тузлукованием консервируют шкуры крупного рогатого скота конские верблюжьи и свиные.
26584. КОНСЕРВИРОВАНИЕ МЯСА ВЫСОКОЙ ТЕМПЕРАТУРОЙ. ВЕТСАНЭКСПЕРТИЗА И ГИГИЕНА ПРИГОТОВЛЕНИЯ БАНОЧНЫХ КОНСЕРВОВ. КОНСЕРВИРОВАНИЕ МЯСА И МЯСНЫХ ПРОДУКТОВ ВЫСОКОЙ ТЕМПЕРАТУРОЙ 16.98 KB
  Технология приготовления консервов сводится к тому что подготовленное мясо или другие продукты закладывают в жестяные или стеклянные герметически закрывающиеся банки которые подвергают стерилизации при температуре выше 100С. Консервный цех или завод имеет два основных отделения: 1 жестянобаночное где изготавливают банки и 2 технологическое в котором проводят все технологические операции при изготовлении консервов. Это необходимо при стерилизации банок когда под действием высокой температуры происходит расширение металла и содержимого...
26585. КОНСЕРВИРОВАНИЕ МЯСА ХОЛОДОМ. ИЗМЕНЕНИЕ В МЫШЕЧНОЙ ТКАНИ ПРИ ЗАМОРАЖИВАНИИ 14.63 KB
  Мясо по термическому состоянию согласно стандартам подразделяют на остывшее охлажденное подмороженное замороженное и оттаявшее. К остывшему относят мясо которое после разделки туши на глубине 8 см имеет температуру не выше 12 С. Остывшее мясо используют на предприятии где его получили вывоз для реализации ограничен исключение представляют продовольственные рынки. К охлажденному относят мясо температура в толще мышц которого не выше 4 С.
26586. ЛАБОРАТОРНЫЕ МЕТОДЫ РАСПОЗНОВАНИЯ МЯСА РАЗНЫХ ВИДОВ ЖИВОТНЫХ 5.55 KB
  ЛАБОРАТОРНЫЕ МЕТОДЫ РАСПОЗНОВАНИЯ МЯСА РАЗНЫХ ВИДОВ ЖИВОТНЫХ.По анатомоморфологическим особенностям туш скелета и внутренних органов убитых животных. Однако у одного и того же вида животных температура плавления жира колеблется в зависимости от пола типа кормления. СУЩНОСТЬ РЕАКЦИИ НА ГЛИКОГЕН ПО НИБЕЛЮ состоит в том что в мясе разных видов животных содержится неодинаковое количество гликогена: в парном мясе лошади более 2 в созревшем около 1 в мясе собаки 23.
26587. МЕРОПРИЯТИЯ ПРИ ОБНАРУЖЕНИИ СИБИРСКОЙ ЯЗВЫ НА СКОТОБАЗЕ МЯСОКОМБИНАТА 2.26 KB
  При обнаружении сиб.язвы после поголовного тщательного осмотра и поголовной термометрии в карантинном отделении неблагополучную партию делят на 2 группы: 1)больных и подозрительных по заболеванию и 2)подозреваемых в заражении
26588. МЕТОДЫ ВЫЯВЛЕНИЯ МЯСА БОЛЬНЫХ ЖИВОТНЫХ 18.96 KB
  МЕТОДЫ ВЫЯВЛЕНИЯ МЯСА БОЛЬНЫХ ЖИВОТНЫХ. У животных убитых в нормальном физиологическом состоянии место зареза неровное и интенсивнее пропитано кровью чем мясо в других местах туш; у животных убитых в агональном состоянии или разделанных после падежа место зареза ровное и пропитано кровью в такой же степени как и остальные мышцы. Удовлетворительное обескровливание наблюдают у старых переутомленных а иногда и больных животных. Плохо обескровлены как правило туши больных животных.
26589. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ МОЛОКА ПРИ МАСТИТАХ КОРОВ 4.51 KB
  МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ МОЛОКА ПРИ МАСТИТАХ КОРОВ. из каждого соска вымени в середине или в конце доения на участки бумаги пропитанныe индикатором наносится капля молока. В луночку молочноконтрольной пластинки к 1 мл сборного молока приливают 1 мл 25 раствора мастоприма. Смесь молока с мастопопримом перемешивают стеклянной палочкой в течение 1020 секунд Результаты реакции оцениваются по консистенции смеси молока с местопримом.
26590. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ МЯСА НА СВЕЖЕСТЬ 4.28 KB
  Состояние мышечной ткани – обращают внимание на корочку подсыхания цвет влажность консистенцию и запах; 2. состояние жира: цвет консистенция запах; 3. определение качества бульона – прозрачность и запах. Запах специфический приятный.