68396

Критерий разложимости функции в ряд Тейлора

Лекция

Математика и математический анализ

Возникает вопрос, справедливо ли обратное утверждение? Пусть функция бесконечно дифференцируема на интервале. Мы можем формально построить для нее ряд Тейлора. Но пока мы не знаем, будет ли наша функция суммой этого ряда, т.е. будет ли построенный ряд Тейлора сходиться к нашей функции на интервале...

Русский

2014-09-21

450 KB

7 чел.

PAGE  7

Пример 1. Разложить многочлен  по степеням .

Имеем: а=1. Напишем формулу Тейлора для :

.

Найдем производные в точке  а=1.

        ;

;     ;

;      ;

;       ;

.

Четвертая производная равна нулю, поэтому остаточного члена не будет. Подставляем в многочлен Тейлора:

.

Пример 2. Написать формулу Маклорена для функции   ().

Эта функция имеет производные любого порядка на (, +). При этом:

,

  число.

.

§2.9. Критерий разложимости функции в ряд Тейлора

Вернемся к рядам. В §2.7 мы установили, что если функцию  можно разложить в сходящийся к ней степенной ряд, то он является для этой функции рядом Тейлора.

Возникает вопрос, справедливо ли обратное утверждение? Пусть функция  бесконечно дифференцируема на интервале . Мы можем формально построить для нее ряд Тейлора. Но пока мы не знаем, будет ли наша функция суммой этого ряда, т.е. будет ли построенный ряд Тейлора сходиться к нашей функции на интервале , вместо знака равенства поставим знак соответствия:

Выясним, при каких условиях этот знак можно заменить на знак равенства. Напишем формулу Тейлора для функции :

,      (2.9.1)

где   остаточный член, а

.        (2.9.2)

– многочлен Тейлора n-ой степени, который можно рассматривать как частичную сумму ряда Тейлора. Таким образом,

.         (2.9.3)

Остаточный член формулы Тейлора для функции можно определить как разность между функцией  и частичной суммой ряда Тейлора:

.         (2.9.4)

При увеличении номера п число слагаемых в частичной сумме, т.е. в многочлене Тейлора, увеличивается, а остаточный член изменяется. Можно рассмотреть последовательность остаточных членов . Это последовательность функций, определенных в той же окрестности точки а, в которой имеет место бесконечная дифференцируемость функции . Остаточный член показывает погрешность, получающуюся при замене функции частичной суммой ряда Тейлора. Ясно, что для получения хорошего приближения   последовательность остаточных членов  должна стремиться к нулю. Вместо сочетания «последовательность остаточных членов» часто говорят просто «остаточный член».

Теорема 1 О необходимом и достаточном условии сходимости ряда Тейлора к функции .

Для того чтобы функцию  можно было разложить в ряд Тейлора

        (2.9.5)

на интервале , необходимо и достаточно, чтобы  имела на этом интервале производные любого порядка и чтобы остаточный член  в данной формуле Тейлора (2.9.1) стремился к нулю при всех , когда  n.

Замечание.  Если функция  имеет на интервале  производные любого порядка, то эти производные непрерывны на этом интервале, потому что, если  имеет производную  на , то производная  должна быть непрерывна на этом интервале.

Доказательство. Необходимость.  Дано:   сумма ряда (2.9.5), т.е. ряд сходится. Требуется доказать, что . Воспользуемся равенством (2.9.3):

.

n-я частичная сумма ряда (2.9.4):

совпадает с многочленом Тейлора n-ой степени (2.9.2).

         (2.9.6)

Т.к. по условию ряд сходится,

.

Достаточность. Дано: . Требуется доказать, что   сумма ряда (2.9.5). .

Теорема доказана.

Лемма.           (2.9.7)

для любого вещественного х.

В примере 3 на сходимость степенных рядов было установлено, что ряд  сходится абсолютно при   его радиус сходимости . Отсюда следует, что общий член ряда  при  (необходимое условие сходимости всякого ряда). Лемма доказана. Её можно применять и в виде  .

Теорема 2 О достаточном условии сходимости остаточного члена формулы Тейлора к нулю.

Если функция  в -окрестности точки а имеет производные любого порядка, ограниченные одним и тем же числом  то остаточный член ее формулы Тейлора в этой окрестности стремится к нулю при :

.          (2.9.8)

Доказательство.  Воспользовавшись формулой остаточного члена (2.7.2):

,

получим:

,      (2.9.9)

т.к.   в -окрестности точки а.

Перейдем к пределу: .

По лемме  при х, в том числе при    . Теорема доказана.

§2.10. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена

  1.  .

В примере 2 была выведена формула Маклорена для этой функции. Нужно лишь доказать, что остаточный член стремится к нулю при .

 

 

(рис. 2.10.1, 2.10.2), .

По лемме   при любых х      .

Согласно теореме о необходимом и достаточном условии сходимости ряда Тейлора к функции  полученный ряд сходится к функции  и можно написать равенство:

.      (1*)

Найдем интервал сходимости этого ряда. По общему признаку Д’Аламбера

  

ряд Маклорена сходится на всей числовой оси, т.е. для всех .

Заменим х на (-х):

 

2.  

    (2*)

(нечетные степени с факториалами, все с плюсами)

3.  (3*)

(четные степени с факториалами, все с плюсами). Разложение (3*) можно также получить с помощью почленного дифференцирования ряда (2*).

  1.  Найдём сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем ,  :

.

Переписав это равенство справа налево, получим разложение в ряд функции :

      (4*)

5.  В разложении (4*) выполним замену х на (х). Тогда  :

    (5*)

6.  Проинтегрируем ряд (5*) почленно от 0 до переменного предела х:

.

Получили разложение натурального логарифма:

   (6*)

(без факториалов). Интервал сходимости по теореме об интегрировании степенных рядов остался прежним. Исследуем сходимость ряда на концах интервала. При  получим знакопеременный гармонический ряд 7, сходящийся по теореме Лейбница:

.

При  получаем  и расходящийся гармонический ряд. Таким образом, интервал сходимости ряда (6*) .

7.  В разложении (5*) заменим х на (х2):

 

Проинтегрируем почленно этот ряд:

 

.    (7*)

(нечетные степени без факториалов). При  получим сходящийся по Лейбницу ряд (8):

.

При    тот же ряд, но с противоположными знаками:

.

Таким образом, интервал сходимости ряда (7*) .

  1.  ,     ,                                      

,   ,

,  ,

,  ,

,  ,

……………………………………………………….                                    

,   .

Взятие производной – это поворот на 90 (нрис.2.10.3). Производные любого порядка ограничены: на : .  Поэтому по теореме 2   ,  и функция   разлагается в сходящийся к ней на  ряд Маклорена по степеням x:

  (8*)

Покажем, что полученный ряд сходится на всей числовой оси. По общему признаку Д’Аламбера:

 сходится при всех х.

Ряд (8*) отличается от разложения гиперболического синуса (2*) знакопеременностью.

9.  .

Почленным дифференцированием ряда (8*) получаем разложение косинуса в ряд Маклорена:

    Таким образом,

   (9*)

Т.к. ряд (9*) получен путем дифференцирования ряда (8*), то по теореме о дифференцировании степенных рядов ряд (9*) имеет тот же интервал сходимости, что и ряд (8*).

Ряд (9*) отличается от разложения гиперболического косинуса (3*) знакопеременностью.


0         
            х

а

х

а-

Рис.2.9.1

а+

Рис.2.10.3

sin(x+2/2)=-sinx

sin(x+/2)=cosx

Рис.2.10.2

Рис.2.10.1

х                      0

sinx

sin(x+3/2)=-cosx


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

44676. Имя существительное как часть речи 57 KB
  Создать благоприятные условия для ознакомления учащихся с обобщённым лексическим значением имени существительного как части речи
44677. Одушевленные и неодушевленные имена существительные 90.5 KB
  Одушевленные и неодушевленные имена существительные. Цель: познакомить с понятиями одушевленные и неодушевленные имена существительные. Задачи: Образовательная: закрепить умения находить в тексте имена существительные Сформировать понятие об одушевленных и неодушевленных именах существительных учить различать одушевленные и неодушевленные имена существительные; закрепить умение находить в предложениях подлежащее и сказуемое связь слов в предложении; учить приемам анализа и синтеза. Подвести к выводу: одушевленные имена...
44678. Слова,которые отвечают на вопросы кто? что? 37.5 KB
  Дети читают слова написанные на доске ставят к ним вопросы:швеязонтикмалинашумпопугайпесоксердцевосток Ирина метро. Назовите слова обозначающие изображенные предметы.Поставьте к словам вопросы.Учащиеся записывают слова классифицируя их по группам: люди животные растения.
44679. Обезмасливание гача (петролатума) кристаллизацией из растворов 20.6 KB
  Процесс обезмасливания проводится с целью выделения из гача (петролатума) жидких масляных углеводородов и низкоплавких твердых углеводородов и является головным в производстве товарных парафинов и церезинов. Процесс осуществляется кристаллизацией из раствора гача (петролатума) в растворителе