68396

Критерий разложимости функции в ряд Тейлора

Лекция

Математика и математический анализ

Возникает вопрос, справедливо ли обратное утверждение? Пусть функция бесконечно дифференцируема на интервале. Мы можем формально построить для нее ряд Тейлора. Но пока мы не знаем, будет ли наша функция суммой этого ряда, т.е. будет ли построенный ряд Тейлора сходиться к нашей функции на интервале...

Русский

2014-09-21

450 KB

7 чел.

PAGE  7

Пример 1. Разложить многочлен  по степеням .

Имеем: а=1. Напишем формулу Тейлора для :

.

Найдем производные в точке  а=1.

        ;

;     ;

;      ;

;       ;

.

Четвертая производная равна нулю, поэтому остаточного члена не будет. Подставляем в многочлен Тейлора:

.

Пример 2. Написать формулу Маклорена для функции   ().

Эта функция имеет производные любого порядка на (, +). При этом:

,

  число.

.

§2.9. Критерий разложимости функции в ряд Тейлора

Вернемся к рядам. В §2.7 мы установили, что если функцию  можно разложить в сходящийся к ней степенной ряд, то он является для этой функции рядом Тейлора.

Возникает вопрос, справедливо ли обратное утверждение? Пусть функция  бесконечно дифференцируема на интервале . Мы можем формально построить для нее ряд Тейлора. Но пока мы не знаем, будет ли наша функция суммой этого ряда, т.е. будет ли построенный ряд Тейлора сходиться к нашей функции на интервале , вместо знака равенства поставим знак соответствия:

Выясним, при каких условиях этот знак можно заменить на знак равенства. Напишем формулу Тейлора для функции :

,      (2.9.1)

где   остаточный член, а

.        (2.9.2)

– многочлен Тейлора n-ой степени, который можно рассматривать как частичную сумму ряда Тейлора. Таким образом,

.         (2.9.3)

Остаточный член формулы Тейлора для функции можно определить как разность между функцией  и частичной суммой ряда Тейлора:

.         (2.9.4)

При увеличении номера п число слагаемых в частичной сумме, т.е. в многочлене Тейлора, увеличивается, а остаточный член изменяется. Можно рассмотреть последовательность остаточных членов . Это последовательность функций, определенных в той же окрестности точки а, в которой имеет место бесконечная дифференцируемость функции . Остаточный член показывает погрешность, получающуюся при замене функции частичной суммой ряда Тейлора. Ясно, что для получения хорошего приближения   последовательность остаточных членов  должна стремиться к нулю. Вместо сочетания «последовательность остаточных членов» часто говорят просто «остаточный член».

Теорема 1 О необходимом и достаточном условии сходимости ряда Тейлора к функции .

Для того чтобы функцию  можно было разложить в ряд Тейлора

        (2.9.5)

на интервале , необходимо и достаточно, чтобы  имела на этом интервале производные любого порядка и чтобы остаточный член  в данной формуле Тейлора (2.9.1) стремился к нулю при всех , когда  n.

Замечание.  Если функция  имеет на интервале  производные любого порядка, то эти производные непрерывны на этом интервале, потому что, если  имеет производную  на , то производная  должна быть непрерывна на этом интервале.

Доказательство. Необходимость.  Дано:   сумма ряда (2.9.5), т.е. ряд сходится. Требуется доказать, что . Воспользуемся равенством (2.9.3):

.

n-я частичная сумма ряда (2.9.4):

совпадает с многочленом Тейлора n-ой степени (2.9.2).

         (2.9.6)

Т.к. по условию ряд сходится,

.

Достаточность. Дано: . Требуется доказать, что   сумма ряда (2.9.5). .

Теорема доказана.

Лемма.           (2.9.7)

для любого вещественного х.

В примере 3 на сходимость степенных рядов было установлено, что ряд  сходится абсолютно при   его радиус сходимости . Отсюда следует, что общий член ряда  при  (необходимое условие сходимости всякого ряда). Лемма доказана. Её можно применять и в виде  .

Теорема 2 О достаточном условии сходимости остаточного члена формулы Тейлора к нулю.

Если функция  в -окрестности точки а имеет производные любого порядка, ограниченные одним и тем же числом  то остаточный член ее формулы Тейлора в этой окрестности стремится к нулю при :

.          (2.9.8)

Доказательство.  Воспользовавшись формулой остаточного члена (2.7.2):

,

получим:

,      (2.9.9)

т.к.   в -окрестности точки а.

Перейдем к пределу: .

По лемме  при х, в том числе при    . Теорема доказана.

§2.10. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена

  1.  .

В примере 2 была выведена формула Маклорена для этой функции. Нужно лишь доказать, что остаточный член стремится к нулю при .

 

 

(рис. 2.10.1, 2.10.2), .

По лемме   при любых х      .

Согласно теореме о необходимом и достаточном условии сходимости ряда Тейлора к функции  полученный ряд сходится к функции  и можно написать равенство:

.      (1*)

Найдем интервал сходимости этого ряда. По общему признаку Д’Аламбера

  

ряд Маклорена сходится на всей числовой оси, т.е. для всех .

Заменим х на (-х):

 

2.  

    (2*)

(нечетные степени с факториалами, все с плюсами)

3.  (3*)

(четные степени с факториалами, все с плюсами). Разложение (3*) можно также получить с помощью почленного дифференцирования ряда (2*).

  1.  Найдём сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем ,  :

.

Переписав это равенство справа налево, получим разложение в ряд функции :

      (4*)

5.  В разложении (4*) выполним замену х на (х). Тогда  :

    (5*)

6.  Проинтегрируем ряд (5*) почленно от 0 до переменного предела х:

.

Получили разложение натурального логарифма:

   (6*)

(без факториалов). Интервал сходимости по теореме об интегрировании степенных рядов остался прежним. Исследуем сходимость ряда на концах интервала. При  получим знакопеременный гармонический ряд 7, сходящийся по теореме Лейбница:

.

При  получаем  и расходящийся гармонический ряд. Таким образом, интервал сходимости ряда (6*) .

7.  В разложении (5*) заменим х на (х2):

 

Проинтегрируем почленно этот ряд:

 

.    (7*)

(нечетные степени без факториалов). При  получим сходящийся по Лейбницу ряд (8):

.

При    тот же ряд, но с противоположными знаками:

.

Таким образом, интервал сходимости ряда (7*) .

  1.  ,     ,                                      

,   ,

,  ,

,  ,

,  ,

……………………………………………………….                                    

,   .

Взятие производной – это поворот на 90 (нрис.2.10.3). Производные любого порядка ограничены: на : .  Поэтому по теореме 2   ,  и функция   разлагается в сходящийся к ней на  ряд Маклорена по степеням x:

  (8*)

Покажем, что полученный ряд сходится на всей числовой оси. По общему признаку Д’Аламбера:

 сходится при всех х.

Ряд (8*) отличается от разложения гиперболического синуса (2*) знакопеременностью.

9.  .

Почленным дифференцированием ряда (8*) получаем разложение косинуса в ряд Маклорена:

    Таким образом,

   (9*)

Т.к. ряд (9*) получен путем дифференцирования ряда (8*), то по теореме о дифференцировании степенных рядов ряд (9*) имеет тот же интервал сходимости, что и ряд (8*).

Ряд (9*) отличается от разложения гиперболического косинуса (3*) знакопеременностью.


0         
            х

а

х

а-

Рис.2.9.1

а+

Рис.2.10.3

sin(x+2/2)=-sinx

sin(x+/2)=cosx

Рис.2.10.2

Рис.2.10.1

х                      0

sinx

sin(x+3/2)=-cosx


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

74201. Imperative programming languages and tools 56.5 KB
  LGOL gretly influenced mny other lnguges its mjor contribution is being the root of the tree tht gve rise to mny other progrmming lnguges including BCPL B Pscl PL I Simul C C nd Jv. Niklus Wirth bsed his own LGOL W on LGOL 60 before developing Pscl. This led to the doption of smller nd more compct lnguges such s Pscl...
74202. Functional programming languages and tools 55 KB
  Functional programming languages (FPL) were originally developed specifically to handle symbolic computation and list-processing applications. In FPLs the programmer is concerned only with functionality, not with memory-related variable storage and assignment sequences.
74203. Сылақ және майлау жұмыстарына арналған машиналар 717.44 KB
  Сылақ станциялары мен агрегаттары және қол ысқылауыштарының атқаратын қызметі негізгі параметрлері және қолданылу облысы. Жылжымалы сылау агрегаттары. Еден асты негіздерін дайындауға және шатыр мен гидроизоляциялауға арналған машиналар құрылымы мен жұмысы Жоспар: Сылақ станциялары мен агрегаттары және қол ысқылауыштарының атқаратын қызметі.
74204. Жер жұмыстарына арналған машиналар туралы жалпы мағлұматтар 147.63 KB
  Жұмысшы органдары мен топырақпен өзара әсерлесуі. Топырақтардың физикамеханикалық сипаттамасы Жоспар: Жер жұмыстарына арналған машиналар туралы жалпы мағлұматтар. Жұмысшы органдары мен топырақпен өзара әсерлесуі. Топырақтардың физикамеханикалық сипаттамасы.
74205. Жер қазу-тасымалдау машиналары. Қызметі, қолданылу облысы. Негізгі техника-экономикалық көрсеткіштері 659.49 KB
  Жер қазутасымалдау машиналары ЖҚТМ деп топырақты массивтен тарту күші арқылы ажыратып оны түсіру орнына өз жүрісімен жеткізетін құрылыс машиналарын атайды. Негізгі атқаратын жұмысшы операциялары: топырақты қабаттап өңдеу оны тасымалдау құрылыс объектісі негізіне төсеу немесе төгу топырақ беттерін жоспарлау. Негізгі қызметі: топырақты жер бетімен сүргіш органы арқылы азғана арақашықтыққа 150м жылжыту арқылы қабаттап өңдеу. Мына жағдайларда қолданылады: құрылыс алаңын дайындау барысында топырақтың беткі құнарлы қабатын алу;...
74206. Экскаваторлар. Жіктелуі, қолданылу облысы. Жұмысшы органының негізгі түрлері, параметрлері және құрылыс экскаваторларының индексациясы 885.5 KB
  Біршөмішті экскаватордың жұмыс циклі рет-ретімен орындалатын топырақ қазу, оны шөмішпен төсеу орнына тасымалдау, топырақты үйме мен көлік құралына аудару арқылы шөмішті босату және келесі циклді бастау үшін шөміштің алғашқы позициясына қайтып оралу операцияларынан тұрады
74207. Бұрғылау машиналары және жабдықтары. Бұрғылау құралы. Шпурлар бұрғылауға арналған машиналар. Бұрғылау-кранды машиналар 1.45 MB
  Бұрғылау – бұл топырақ массивінде қирау заттарын сыртқа шығара отырып, цилиндрлік жазықтықтар түзу арқылы топырақты қирату процесі. Егер диаметрі 75 мм дейін және тереңдігі 9 м болса жазықтықтар шпурлар деп, ал өлшемдері үлкен болса бұрғы деп аталынады.
74208. Тиеп-түсіру машиналары. Тиегіштер түрлері. Жұмыс процесі 455.42 KB
  Жұмысшы жабдық нұсқаларының көптігі және жұмыс органдарының ауыспалылығы құрылыс тиегіштерінің жұмыс жасау облысын кеңейтіп оларды құрылыс тасымалының барлық этаптарында қолданылатын универсалды машинаға айналдырады. БФПТтердің жұмысшы жабдығы жебе коромысло тартқыш гидроцилиндрлер құратын рычагты механизмнен тұрады. Сонымен қатар түсіру биіктігін ондаған сантиметрге жоғарылатытын машинаның универсалдылығын арттыратын жақты шөміштер де қолданылады бірақ олар жұмысшы жабдықтың күрделенуіне қосымша гидравликалық контурлар орнату...
74209. Машиналардың ұсақтау типтері жәнеұсақталатын материал беріктігі мен ұсақталу дәрежесіне қарай оларды таңд. 1.43 MB
  Грохоттардың қолданылуы принциптік схемалары жұмыс процестері негізгі параметрлері мен жұмыс өнімділігі Жоспар: Машиналардың ұсақтау типтері және ұсақталатын материал беріктігі мен ұсақталу дәрежесіне қарай оларды таңдап алу. Тас жыныстарды бұзу мен уатудың механикалық процесі ұсақтау деп аталады және тас ұсақтағыш машиналар тас ұсақтағыштарды қолдана отырып ұсақтау жаншу сындыру және үйкеу көмегімен жүзеге асырылады. Ұсақтау машиналарында ұсақталатын жыныстың қасиеттеріне және ірілігіне қарай әртүрлі әдістер бірге қолданылады.