ID: 6850

Название работы: Обчислювальна фізика. Методичні вказівки до практичних та лабораторних занять

Категория: Книга

Предметная область: Физика

Описание: Етапи розв'язування задач моделювання. Постановка задачі. Створення математичної моделі. Математичне моделювання. Організація наближених обчислень. Джерела і види похибок. Запис наближених чисел. Правило округлення. Похибки результату при діях із наближеними числами. Поширення похибок округлення при обчисленнях...

Язык: Украинкский

Дата добавления: 2013-01-08

Размер файла: 468.5 KB

Работу скачали: 17 чел.

Методичні вказівки до практичних та лабораторних занять Обчислювальна фізика

Зміст

1. Етапи розв'язування задач моделювання. Постановка задачі. Створення математичної моделі. Математичне моделювання.

2. Організація наближених обчислень.  Джерела і види похибок. Запис наближених чисел. Правило округлення. Похибки результату при діях із наближеними числами. Поширення похибок округлення при обчисленнях.

3. Класифікація комп‘ютерних моделей. Детерміновані  та стохастичні моделі і підходи до моделювання.

4. Модель випадкових блукань. Алгоритм. Параболічний закон дифузії. Генератори випадкових чисел, властивості і ГВЧ .

5. Випадкові блукання та розподіл ймовірностей. Постановка задачі. Алгоритм випадкових блукань вакансії в металі.

6. Метод молекулярної динаміки. Стани та ансамблі. Усереднення по часу та по ансамблю частинок. Задача про гармонічний осцилятор. Числовий алгоритм метода молекулярної динаміки. Методи розв‘язання диференційних рівнянь руху.

7. Одновимірна модель ідеального газу. Числовий алгоритм.

8. Модель твердих сфер. Алгоритм. Побудова розподілу Максвела.

9. Метод Монте-Карло. Перевірка закону Ома на моделі одновимірних блукань електронів в електричному полі. Опис моделі, алгоритм. Перевірка закону Джоуля-Ленца.

10. Динаміка електронного газу. Ефект Хола. Модель та алгоритм реалізації розрахунків.

11. Елементи динаміки кристалічної гратки. Поняття про нормальні коливання. Модель одноатомного ланцюжка. Алгоритм числової реалізації на ЕОМ.

12. Магнітні властивості тіл. Парамагнетики. Двовимірна модель парамагнетика. Дослідження моделі процесу намагнічування парамагнетика. Модифікація моделі для перевірки Закону Кюрі.

13. Модель феромагнетика. Дослідження моделі процесу намагнічування феромагнетика. Алгоритм моделі для комп‘ютерного експерименту.

14. Розв‘язання рівняння дифузії методом молекулярної динаміки. Алгоритм числової реалізації.

15. Контрольні питання

16. Список використаної та рекомендованої літератури

1. Етапи розв'язування задач моделювання

1.1. Моделювання

Моделювання є основою пізнання людиною навколишнього світу. Проводячи експерименти, теоретичні дослідження, навіть обговорювання власних дій, намірів, висновків,  ми практично займаємось моделюванням. Цілі, задачі, засоби й методи моделювання у цих випадках значно відрізняються один від одного, але загальна спрямованість залишається єдиною - одержання нового знання  шляхом  випробування  (дослідження)  деякого   замінника   реального об'єкта дослідження - моделі. У випадку експериментальних  досліджень моделлю є реальний об'єкт, який має ту саму фізичну природу, що і досліджуваний об'єкт. При теоретичних дослідженнях модель має знакову форму - математичних формул, співвідношень, рівнянь, а задачею моделювання є встановлення нових знань про об'єкти, що описуються цими співвідношеннями. Обговорення встановлює слушність тих припущень і висновків, які були зроблені, шляхом моделювання, відношення  до них досвідчених співрозмовників.

Взагалі, спрощено, моделювання можна розглядати як певний експеримент, об'єктом якого у першому випадку є матеріальний аналог досліджуваного об'єкта, у другому випадку об'єктом іспитів є знакова (математична) модель, у третьому - відношення до моделі, яка обмірковується, з боку громади.

Результатом розв'язування інженерних (прикладних) задач будь-якого рівня є, як правило, чисельні оцінки (параметрів пристроїв,  процесів, технічних і економічних характеристик, тощо), які є наслідком розрахунків, що здійснюються з наближеними первісними даними. Більшість прикладних задач зводяться до математичних задач, які розв'язуються різноманітними обчислювальними методами.

Послідовність розв'язуванні таких задач можна подати у виді наступних етапів:

1.  постановка задачі;
2.  створення математичної моделі (формулювання задачі); перевірка моделі на адекватність;
3.  побудова розрахункової (обчислювальної) моделі, яка відповідає прийнятій математичній моделі;
4.  проведення розрахунків за обраною обчислювальною моделлю при заданих (відомих) значеннях первісних даних;
5.  аналіз одержаних результатів.

У цілому процес розв'язування інженерної задачі може бути поданий у вигляді схеми, наведеної на рис. 1.1.

Розглянемо докладніше кожний з цих етапів.

        

            

          

                                       

                                                         

                

      

Рис. 1.1. Схема розв'язування інженерної задачі

1.2. Постановка задачі

Постановка задачі має передумовою словесне, змістовне формулювання  задачі, умов, за яких вона ставиться, та вимог до її розв'язування. Слова "змістовне формулювання" слід розуміти так, що задача має бути сформульована у термінах опису реального об'єкта (технічного пристрою або процесу), поводження якого підлягає вивченню.

Як приклади розглянемо такі найпростіші інженерні задачі.

Задача 1. Визначити характеристики власного руху фізичного маятника за умови, його  коливання малі.

Задача 2. Визначити змінення швидкості тіла  при його падінні, враховуючи опір оточуючого середовища.

Задача 3. Знайти момент інерції ротора гіроскопа.

Задача 4. Визначити характеристики власного руху гіроскопа у кардановому підвісі, а також характеристики його вимушеного руху під дією моментів зовнішніх сил, що діють по осях карданового підвісу і змінюються з часом за гармонічним законом.

1.3. Створення математичної моделі

Математична модель - це математичний опис співвідношень постановки задачі. Такий опис можливий лише на основі попередньо одержаних знань про поводження об'єкта, що вивчається, і про способи правильного й ефективного опису цього поводження у математичних термінах. В одних випадках утворення математичної моделі не викликає труднощів (наприклад, модель є відомою  за результатами раніше проведених досліджень), а в інших  потрібно неодноразове уточнення постановки задачі, виділення головних визначальних чинників, відкидання чинників, які незначно впливають на результат і т.д..

Так, для задачі 1 математична модель може бути створена, якщо врахувати наступні теоретичні відомості.

1.  До характеристик власного руху коливальної частинки, якою є фізичний маятник, відносять:
2.  частоту власних коливань;
3.  коефіцієнт загасання цих коливань.
4.  При малих відхиленнях від вертикалі рух маятника з достатньою точністю описується лінійним диференційним рівнянням другого порядку зі сталими коефіцієнтами:

,         (1.1)

де   - кут відхилення маятника від вертикалі;  - момент інерції маятника відносно осі його обертання; - коефіцієнт демпфірування;  - маса маятника;   - прискорення вільного падіння;  - зміщення центра мас маятника відносно осі його обертання;  - кутова швидкість повороту маятника навколо його осі обертання;  - кутове прискорення маятника.

1.  Власний рух маятника описується співвідношенням

,         (1.2)

де  - початкове значення амплітуди власних коливань і   - початкова фаза власних коливань визначаються початковими умовами руху маятника,                   а - частота власних коливань та  - коефіцієнт загасання власних коливань - це параметри, які визначаються лише параметрами самого маятника і не залежать від інших чинників. Фактично  і  є шуканими величинами.

1.  Величини   і  є  відповідно уявною і дійсною частинами пари комплексно спряжених коренів характеристичного рівняння

,         (1.3)

яке випливає з диференційного рівняння (1), тобто корінь рівняння (3) має вигляд:

.          (1.4)

У підсумку математично розв'язування задачі 1 зводиться до пошуку комплексних коренів квадратного рівняння (3) і виділенню їхніх дійсної та уявної частин за заданими початковими даними - значеннями параметрів ,  та .

У задачі 2 треба припустити, що тіло є матеріальною точкою маси , з'ясувати під дією яких сил відбувається падіння тіла, визначити чинники, що впливають на силу опору, встановити залежність сили опору від цих факторів. Якщо вважати, що на тіло діють сила тяжіння  та сила опору, що є пропорційною до швидкості  падіння, тобто , то, на основі законів механіки одержимо рівняння , або

.           (1.5)

Це диференційне рівняння із врахуванням початкової умови  і є математичною моделлю задачі.

У задачі 3 насамперед слід з'ясувати форму ротора, його розміри, розподіл мас, потім виділити у тілі ротора ряд частин, знаходження моментів інерції яких робиться досить просто (циліндри, кільця, конуси тощо). Тоді задача зводиться до обчислень моментів інерції окремих елементарних тіл і їхньому сумуванню. Формули обчислення моментів інерції окремих частин ротора і їх додавання і складуть математичну модель цієї задачі.

Постановка задачі 4 має містити  опис власних параметрів системи "гіроскоп у кардановому підвісі", опис параметрів зовнішніх моментів сил, опис рівнянь руху. Наприклад, рівняння руху гіроскопа для цієї задачі можуть бути взяті у наступному вигляді:

.      (1.6)

де  і  - кути повороту гіроскопа навколо осей підвісу;  та  - його моменти інерції,  - власний кінетичний момент гіроскопа,  - початкове значення кута ; ; ;; ; ,  - амплітуди змінювання моментів зовнішніх сил;  - частота цього змінювання; ,  - початкові фази коливань цих моментів.

За математичну модель у цьому випадку можна брати сукупність розв'язків рівнянь (6), наведена нижче:

   

  (1.7)

де  і  - початкові значення кутів визначаються  і ;  - частота власних (нутаційних) коливань гіроскопа; , , , , ,  визначаються сукупністю співвідношень:

 

; ; ; ;  

; ; ; ;

- відносна частота коливань моментів сил;  і  - початкові значення кутових швидкостей   і .

Рух гіроскопа за цими співвідношеннями може бути визначений у довільний момент часу. Але як математичну модель можна також розглядати і первісну систему диференційних рівнянь (6) за вказаних початкових умов.

Складання математичної моделі у прикладній задачі є найбільш складним і відповідальним етапом розв'язування і потребує, окрім істотних знань у спеціальній області, також і математичних і теоретичних знань.

Вже на цьому етапі розв'язування прикладної задачі доводиться нехтувати багатьма реальними процесами, як такими, що незначно впливають на процеси, які вивчаються, абстрагуватися від впливу багатьох чинників. Інакше кажучи, навіть коректно утворена математична модель завжди неповно, лише наближено, відображає реальні процеси. Але при цьому вона набуває риси більшої ясності, прозорості, більш доступна вичерпному дослідженню (з того боку, що підлягає вивченню).

1.4. Математичне моделювання

Модель створюється для подальшого її дослідження з метою одержання нових знань про відповідний реальний об'єкт. Таке дослідження вже готової моделі називають моделюванням. Дослідження математичної моделі називатимемо математичним моделюванням.

Математична задача є абстрагованою від конкретної сутності задачі. Для її розв'язування створюються спеціальні обчислювальні методи, причому до тої самої математичної моделі можуть зводитися зовсім різні прикладні задачі.

Так, задача 1 звелася до розв'язування квадратного рівняння, яке може відображати характеристичне рівняння не тільки фізичного, але й математичного маятника, маси, яка з'єднана пружиною з корпусом (лінійного акселерометра), гіроскопічного тахометру і т. і.

Диференційне рівняння (5) у задачі 2 може бути моделлю і для багатьох інших задач (вивчення змінювання швидкості тіла у в'язкому середовищі, змінювання електричного струму у найпростішому електричному ланцюзі, змінювання швидкості репродукції бактерій тощо).

Для розв'язування задачі 3 потрібно обчислити низку визначених інтегралів. До обчислення визначених інтегралів приходять і при пошуку  площ складних фігур, об'єму тіла або дуги плоскої кривої, розрахунках роботи змінної сили і у багатьох інших фізичних задачах.

Математична модель (7) задачі 4 може описувати не тільки поводження гіроскопу, але й будь-якої іншої системи, якщо диференційні рівняння руху  останньої збігаються з рівняннями (6).

1.4.1. Побудова обчислювальної моделі

Побудова обчислювальної моделі може здійснюватися різними методами, які можна поділити на точні й наближені. Точні методи - це такі, які після скінченої кількості дій  (обчислень) приводять до точного результату за умови, що обчислення здійснюються без похибок. Наближеними називають такі  методи, які за тих же умов дозволяють одержати результат лише з деякою похибкою.

При використанні точних методів етап досліджування математичної моделі поділяється на такі підетапи:

1.  пошук точного розв'язку математичної моделі;
2.  підставляння вихідних даних у знайдений точний розв'язок і реалізація передбачених ним обчислень.

Наприклад, для розв'язування задачі 1 краще використати точний метод, тобто формулу

      (1.8)

(припускається, що ), але можна застосовувати й наближені способи пошуку коренів квадратного рівняння.

Диференційне рівняння (5) задачі 2 краще розв'язувати, розділяючи змінні, тобто приводячи його до вигляду

.           (1.9)

Однак, його можна розглядати і як лінійне диференційне рівняння зі сталими коефіцієнтами, або розв'язувати (інтегрувати) наближеними чисельними методами.

При розв'язуванні задачі 3 слід використовувати методи наближеного обчислення визначених інтегралів.

Задачу 4 також можна розв'язувати двома шляхами. Розглядаючи систему диференційних рівнянь (6) як вихідну математичну модель, можна, з одного боку, знайти точний її розв'язок (7), а потім здійснити підставляння значень вихідних даних і досягти явних залежностей  і , а отже, й . З іншого боку, до системи (6) можна безпосередньо застосувати методи чисельного інтегрування диференційних рівнянь (наближені методи).

Дослідження математичної моделі наближеними методами поділяється на такі етапи:

1.  обрання обчислювального методу (зазвичай наближених чисельних методів буває декілька);
2.  вивчення або складання алгоритму метода;
3.  реалізація алгоритму за допомогою обчислювальних засобів.

При виборі чисельного методу суттєвими  є обсяг обчислень, швидкість збіжності обчислень (як швидко здобувається результат) та інші чинники. Зокрема, обрання методу залежить і від вхідних даних.

Крім того, на вибір метода впливають засоби його реалізації (ручний розрахунок, наявність обчислювальної машини, наявність готової програми тощо). Так, якщо буде використані швидкодіюча ЕОМ і готова програма, то обсяг обчислень не повинен засмучувати виконавця і бути визначальним фактором при обранні метода. При ручному ж розрахункові слід віддати перевагу методу, який, можливо, потребує деяких певних попередніх досліджень і перетворень математичної моделі, але завдяки цьому потребує й значно меншу кількість обчислень.

1.4.2. Алгоритм методу

Алгоритмом метода називається система правил, яка задає точно визначену послідовність операцій, яка приводить до шуканого результату (точного або наближеного).

Алгоритм - одне із ґрунтовних понять математики. Хід розв'язування обчислювальної (і взагалі будь-якої) задачі має бути поданий через алгоритм.

Алгоритм можна записати словесно-формульно або у вигляді схеми. Так, словесно-формульний опис алгоритму розв'язування задачі 1 за формулою (8) має наступний вигляд:

1.  Обчислити  .
2.  Обчислити .
3.  Якщо , перейти до п.  7.
4.  Обчислити   і  .
5.  Подати на пристрій виведення інформацію: "Рівняння має два дійсні корені:" і роздрукувати значення шуканих коренів  і .
6.  Перейти до п. 8.
7.  Вивести на пристрій виведення інформацію:

"Коефіцієнт загасання дорівнює " і вивести значення

                   "Частота власних коливань дорівнює" і роздрукувати значення .

1.  Кінець обчислень.

При виконанні алгоритму перехід від однієї дії до іншої здійснюється строго у порядку їхнього запису. Якщо ж потрібно перервати природний хід дій за деякої умови, слід указувати на це (див. п. 3 наведеного алгоритму).

Структурною схемою алгоритму називають графічне зображення послідовності дій обчислювального процесу.

У схемі кожна дія розміщується у певному геометричному символі (фігурі). Послідовність дій вказується на схемі напрямком стрілок на лініях, якими з'єднують ці символи. Зазвичай прийнято початок і кінець обчислень зображувати овалами, введення даних і виведення результатів - у вигляді паралелограма. Обчислювальні операції  розміщуються у прямокутниках, а операція перевірки деякої умови зображується у вигляді ромбу. Усередині кожної фігури розміщується стислий формульний опис відповідної операції. Символи операцій перевірки умови мають два виходи: "так" і "ні". Стрілка на лінії, що виходить із виходу "так" вказує на операцію, до виконання якої потрібно перейти, якщо умову, яка перевіряється, виконано. Стрілка з написом "ні" вказує на операцію, до виконання якої слід перейти у випадку, коли умову не виконано. На рис. 1.2. подані зображуючи елементи блок-схеми алгоритму обчислень. Фігури з'єднуються лініями зі стрілками, які вказують на операцію, до виконання якої слід перейти. Для прикладу на рис 1.3 зображено схему алгоритму пошуку коренів квадратного рівняння.

              

 

             

   

        

    

  

Рис. 1.2. Елементи блок-схеми алгоритму

                           

                 

 

Рис. 1.3. Схема алгоритму відшукання коренів квадратного рівняння

1.4.3. Реалізація методу обчислень

Обчислення за алгоритмами відбувається за допомогою різних обчислювальних засобів. При ручних (безпосередніх) розрахунках зазвичай використовуються найпростіші обчислювальні засоби: логарифмічна лінійка, таблиці, механічні, електричні, електронні клавішні обчислювальні машини. Проміжні результати дій алгоритму треба записувати у спеціальний розрахунковий бланк. Наявність програмувальних мікрокалькуляторів дозволяє реалізовувати обчислення автоматично, під керуванням програми.

Суттєвим є контроль обчислень, який проводять за так званим контрольним прикладом (тестом). Результат контрольного прикладу має бути заздалегідь відомим, тобто він або є очевидним, або його відшукують яким-небудь іншим способом. При ручному розрахунку контроль рекомендується проводити поетапно. При розрахунках на ЕОМ за складеною програмою контрольний приклад заздалегідь прораховують вручну, а потім звіряють поетапно результати розрахунків із здійснюваними машиною.

1.5. Контрольні запитання

1.  Що таке "модель"?, "моделювання"?
2.  Які об'єктивні й суб'єктивні чинники можуть впливати на створювану модель?
3.  Які види моделей трапляються в інженерній практиці?
4.  Що таке "математична модель",  "обчислювальна модель"?
5.  Як можна охарактеризувати постановку інженерної задачі?
6.  Які етапи проходить у загальному випадку розв'язування інженерної задачі?
7.  Що таке "алгоритм"? На які види поділяються алгоритми?
8.  Що таке "блок-схема алгоритму"? Які позначення прийняті при побудові блок-схеми алгоритму?
9.  Які є загальні правила побудови блок-схеми алгоритму?

Заняття 2. Організація обчислень

Як вже зазначалось, неминучим етапом розв'язування інженерних задач є проведення розрахунків із наближеними вихідними даними. Тому до основних умінь, необхідних інженеру в його професійної діяльності, слід віднести вміння грамотно (раціонально) організувати обчислення, під чим мається на увазі:

знати можливі джерела похибок;

уміння правильно записувати наближені дані й результати (у тому числі  проміжні);

уміння оцінювати похибку результату за заданими похибками компонент;

уміння обирати найбільш раціональний порядок обчислень;

уміння обирати алгоритм обчислення, найстійкішій до похибок обчислень;

уміння контролювати хід і результати обчислень із метою виключення грубих похибок.

Не маючи достатніх умінь і навичок практичних обчислень можна при розв'язуванні задачі одержати результат, який не матиме нічого спільного з дійсним розв'язком задачі.

2.1. Джерела й види похибок

Практично на кожному етапі розв'язування прикладної задачі виникають свої джерела похибок.

Математична модель - це вже наближене подання реального об'єкта. Вихідні дані, що використовуються у розрахунках і виходять з експерименту, можна визначити лише наближено. Навіть точні числа, такі як , , 6/7 і т.п., при обчисленнях замінюють десятковими дробами, залишаючи лише певну кількість знаків після десяткової коми. Обчислювальні методи у більшості також є наближеними. Навіть при використанні найпростішої формули результат, як правило, одержують наближений.

Основні джерела виникнення похибок наближеного розв'язування прикладних задач такі.

1.  Похибки математичної моделі. Їх пов'язано з використаними  припущеннями, які дозволяють спростити математичну модель задачі. Вони не контролюються у процесі чисельного розв'язування  задачі і можуть бути зменшені лише за рахунок більш точного математичного опису фізичної задачі.
2.  Похибки первісних даних. Значення параметрів, що входять у математичний опис задачі, вимірюються експериментально з деякою похибкою. Похибки математичної моделі і вихідних даних  у цілому утворюють так звані неусувні похибки. Назву обумовлено тим, що ці види похибок не можна усунути шляхом організації обчислень. Зменшення їх лежить лише на шляху перебудови математичної моделі і точнішого виміру вихідних даних.
3.  Похибки наближеного методу, або похибки усікання. При чисельному розв'язуванні задачі точний оператор, в якому кількість чисел або операцій перевищує допустимі межі, замінюється наближеним, який потребує скінченої кількості операцій. Наприклад, замінюють інтеграл сумою, функцію - поліномом (багаточленом) або будують нескінченний процес і обривають його після скінченої кількості операцій.
4.  Обчислювальна похибка, що виникає в результаті вимушеного округлення чисел, наприклад, внаслідок скінченої кількості розрядів у запису числа в оперативній пам'яті ЕОМ.

Якщо розв'язок деякої задачі неперервно залежить від вхідних даних, тобто малому змінюванню вхідних даних відповідає мале змінювання розв'язку, то задача називається стійкою за вхідними даними, або грубою. У стійкому обчислювальному алгоритмі похибки округлення не накопичуються.

Точність наближеного числа характеризується поняттями абсолютної й відносної похибки.

Абсолютною похибкою наближеного числа 'a' називається абсолютне значення різниця між ним і точним його значенням:

,

де  - точне значення,  - наближене значення. Абсолютна похибка має суто теоретичний інтерес, оскільки точне значення  невідоме. Тому на практиці частіше використовують граничну абсолютну похибку   наближеного числа , рівну  по можливості найменшому числу, що є більшим за абсолютну похибку

.

Значення  і   дозволяють вказати інтервал, що містить точне значення :

.

Частіше використовується компактніший запис

.

Очевидно, таке визначення абсолютної похибки не є однозначним. Так, якщо , а як наближене значення взяти , то, враховуючи, що  можна записати:

; ; .

Кожне з чисел 0,002; 0,01; 0,1 буде граничною абсолютною похибкою числа . Але чим ближче між собою числа  і , тим точніше абсолютна похибка оцінює фактичну похибку.

Основною характеристикою точності наближеного числа є його відносна похибка

.

Оскільки число  невідоме, то, як правило, вважають

.

Аналогічно з нерівності  визначають  граничну відносну похибку  числа , вважаючи

.

Величина  характеризує якість наближення. Це безрозмірна  величина, зазвичай її виражають у процентах. Так, відносна похибка числа , прийнятого за наближене значення числа ,  при   дорівнює

, .

2.2. Запис наближених чисел. Правило округлення

Записувати наближене число у вигляді   незручно. Тому в обчислювальній практиці часто вдаються до різних прийомів, що дозволяють тільки за записом наближеного числа  судити про його похибку.

Нехай  наближене число  подане у вигляді скінченого десяткового дробу:

де  - цифри числа  ().

Значущими цифрами числа називають усі цифри у запису числа, починаючи з першої ненульової зліва. Наприклад, у чисел  0,0503, 0, 00630500 значущими цифрами є підкреслені.

Значущу цифру називають вірною, якщо абсолютна похибка числа не перевищує половини одиниці розряду, що відповідає цій цифрі. У зворотному  випадку цифра вважається сумнівною.

Наприклад, число 647, 326 при =0,03  (<) має чотири вірні цифри 6, 4, 7, 3 і дві сумнівні  2, 6.

Згідно правилу, запропонованому А. Н. Криловим, наближене число потрібно записувати так, щоб усі значущі цифри у запису числа були вірними, а перша цифра з відкинутої частини відносилася  до сумнівних. Так, число 0,884, відоме з похибкою 0,004, повинно мати запис 0,88. Раніше згадане число 647,326 при описаних умовах повинно бути записане у вигляді 647,3.

У математичних таблицях значень функцій приводяться тільки вірні цифри. Відносна похибка табличних значень, наприклад, у тризначних таблицях не перевищує , у семизначних - .

Точність наближеного числа залежить не від кількості значущих цифр, а від кількості вірних цифр.

При проведенні розрахунків остаточний наближений результат зазвичай округлюють до його вірних цифр, залишаючи одну сумнівну, а у проміжних результатах зберігають одну, дві, а часом і три сумнівні цифри.

Приклад. Задані числа при вказаних абсолютних похибках округлити до вірних цифр. Визначити абсолютну похибку результату.

1.    2.

4. .

РОЗВ'ЯЗУВАННЯ

1.  Оскільки 0,024<0,05, то число  потрібно округлити до 0,1. Одержимо число =2,6 із двома вірними цифрами. Визначимо абсолютну похибку результату .
2.  Через те що 1,3<, то число  слід округлити до десятків. Одержимо  з однією вірною цифрою. Варто відзначити, що не можна писати ані 50, ані ,  бо у обох випадках у відповідності із прийнятою системою запису це буде означати, що похибка записаного числа менша за 0,5, що суперечить умові. Абсолютна похибка результату дорівнює   .
3.  Оскільки 0,0009<0,005, то округлення числа   здійснюємо до 0,01. Одержимо  із трьома вірними цифрами. Абсолютна похибка результату буде наступною  . У запису 7,00 нулі свідчать про три його вірні знаки, і цей запис відрізняється від 7 або 7,0.
4.  Оскільки 0,04<0,05, то число  округлюємо до 0,1. Одержуємо  з однією вірною цифрою. Абсолютна похибка результату дорівнюватиме , тобто цифра 6 вже є сумнівною. Тому при округленні рекомендується залишати одну-дві сумнівні цифри

 .

Помітимо, що термін "вірні цифри" не слід розуміти буквально. Так, у числі 7,00, яке замінює 6,9971 у попередньому прикладі, жодна з цифр не збігається з цифрами числа, хоча усі  цифри цього числа є "вірними" в описаному вище сенсі |6,9971-7,00|<0,005. Однак вірні знаки наближеного числа часто збігаються з відповідними цифрами точного числа.

Відносна похибка наближеного числа безпосередньо залежить від кількості його вірних знаків. Наприклад, якщо наближене число  має три вірних знаки, то його відносна похибка  перебуває у межах від 0,05 до 0,5% (залежить від першої значущої цифри числа ). При збільшенні кількості вірних знаків на 1 відносна похибка зменшується у 10 разів.

На практиці зазвичай вважають, що число  є наближенням числа  з  вірними десятковими знаками, якщо . При такому визначенні в числі   при  будуть вірними цифри 6, 4, 7, 3  і його слід записувати у вигляді  647,3. Згідно з колишнім визначенням, оскільки 0,095<0,5, то у цьому числі будуть вірними лише три цифри 6, 4 і 7 і його слід записувати як 647.

2.3. Похибки результату при діях із наближеними числами

Дії над наближеними числами приводять до поширення похибок. Для оцінки похибок результатів потрібно знати похибки вихідних чисел і правила обчислення похибки результату. Розглянемо ці правила.

2.3.1. Похибки підсумовування

Неважко впевнитися у слушності наступних тверджень.

Абсолютна похибка суми й різниці дорівнює сумі абсолютних похибок доданків

.          (2.1)

Відносна похибка суми двох величин однакового знаку перебуває в інтервалі між найменшою й найбільшою відносними похибками доданків

.

За умови  матимемо   .

Якщо ж , через що останнім доданком у знаменнику можна знехтувати, то

.

Подамо вираз для відносної похибки у такий спосіб

.

З його розгляду випливає наступне.

Додавання величин протилежного знаку (або віднімання величин однакового знаку) практично завжди приводить до збільшення відносної похибки результату у порівнянні з найбільшою з відносних похибок доданків.

Особливо небезпечним є віднімання дуже близьких величин. У цьому випадку відносна похибка результанта може сягати неприпустимих величин.

Приклад. Треба обчислити площу кругового тонкого кільця із внутрішнім радіусом   і товщиною  за формулою  або  . Відшукати похибки.

РОЗВ'ЯЗУВАННЯ

Перш за все потрібно зазначити, що, як випливає з угоди про форму запису наближеного числа, абсолютні похибки вихідних даних є такими:

;  ,

а відносні похибки

;  .

Розрахунки згідно першої формули приводять до таких похибок:

;

;

;

;

;

;

;

.

Якщо ж скористатися другою формулою, то одержимо такі похибки:

;

;

;

;

Як бачимо

,

тобто підрахунок за другою формулою дає змогу одержати результат у 21 рази точніший, ніж розрахунок за першою формулою, де відбувається віднімання близьких за значенням величин.

Наведений приклад засвідчує, що похибка результату залежить від порядку проведення обчислень і це потрібно враховувати при розрахунках. Алгебрично наведені формули тотожні, але для проведення обчислень кращою є друга. У першій формулі при відніманні близьких величин  і  різко збільшується відносна похибка.

2.3.2. Похибки добутку, ділення й  обчислення довільної функції

Доведемо, що відносна похибка добутку дорівнює сумі відносних похибок співмножників.

Дійсно:

,

звідки випливає

.

Через те що   і  то  а тому

;           (2.2)

,

що й треба було довести.

Відносна похибка обчислення величини, зворотної до даної, дорівнює відносній похибці вихідної величини.

Щоб довести це, врахуємо,що, якщо  , то

.

З цього випливає , а значить , що й треба було довести.

Враховуючи це, можна дійти висновку, що відносна похибка частки дорівнює сумі відносних похибок діленого та дільника:

. (2.3)

Аналогічно можна встановити, що відносна похибка піднесення до степеня  наближеного числа ( -натуральне ціле) дорівнює добутку відносної похибки основи на абсолютну величину показника степеня

.  (2.4)

Абсолютна похибка обчислення функції дорівнює добутку абсолютної похибки аргументу на абсолютну величину похідної від функції:

.    (2.5)

Приклад 1. Похибка обчислення лінійної функції   .

Маємо   .

Приклад 2. Похибки обчислення синуса .

У цьому випадку , а тому , а .

Приклад 3. Похибки обчислення косинуса .

У цьому випадку , а тому , а .

Аналіз останніх прикладів дозволяє висновувати, що

1.  похибка обчислень суттєво залежить від значення аргументу;
2.  при малих значеннях аргументу обчислення косинуса здійснюється зі значно меншою відносною похибкою, ніж похибка завдання аргументу;
3.  обчислення косинуса при значеннях аргументу, близьких до  приводить до вельми значних обчислювальних похибок; відносна  похибка визначення косинуса у цьому випадку у багато разів перевищує відносну похибку завдання кута;
4.  відносна ж похибка визначення синуса у діапазоні  завжди менша за відносну похибку аргументу.

2.4. Поширення похибок округлення  при обчисленнях

Перед цим ми розглянули приклади розрахунків похибок результатів обчислень, обумовлених впливом похибок вихідних даних. Тепер же зосередимо увагу на похибках результату обчислень за рахунок похибок округлення.

При виконанні арифметичних дій на будь-якому обчислювальному пристрої (логарифмічній лінійці, калькуляторі або ЕОМ) неминуче округлення проміжних результатів до певної кількості розрядів, а арифметичні операції з округленням мають інші властивості, аніж точні операції. Так, точні операції є комутативними, асоціативними і дистрибутивними. Ті ж операції, реалізовані на обчислювальному пристрої (ОП), вже не є такими.

Машинна арифметика має власні характерні особливості. Правильно враховуючи їх, можна досягти високої ефективності у розв'язуванні задач на ЕОМ. Неуважність до цих особливостей нерідко приводить до помилкових результатів.

Нехай обчислення відбуваються на ЕОМ, в якій кожне число подається п'ятьма значущими цифрами. Складемо два числа

9,2654+7,1625 = 16,4279.

Результат містить 6 значущих цифр і не вміщується у розрядну сітку машини. Його буде округлено до 16,428, і  при цьому виникне (крім похибки внаслідок похибок вихідних даних) похибка округлення.

Оскільки ОП працює завжди з фіксованою кількістю розрядів, то округлення виникає весь час при запису проміжних результатів у пам‘ять машини. Округлення полягає у корегуванні останнього (молодшого) розряду. Але й буває, що ніякого корегування не відбувається, а відкидається частина числа, яка не вміщується. Похибка округлення при цьому більша, але значне скорочення машинного часу й довжини робочої програми у цілому є економічно вигідними.

Число у машині подається у такому нормалізованому вигляді

,            (2.6)

де  - основа системи позиційного зчислення;  - порядок числа;  - кількість значущих розрядів (додатне ціле);  - цифри числа у заданій системі зчислення, причому вважається, що  не дорівнює нулеві. Так,  для десяткової системи зчислення , порядок числа - ,  кількість значущих десяткових розрядів - , цифри . Наприклад, для числа  десятковий порядок дорівнює , кількість значущих розрядів , а цифри

.

У нормалізованій формі (6) вираз у дужках подає так звану мантису числа. Мантиса у нормалізованому десятковому поданні завжди менша за одиницю і більша або дорівнює 0,1. У цілому будь-яке число однозначно описується трьома його характеристиками:

1.  знаком числа;
2.  значенням мантиси (вираз у дужках у (6));
3.  цілим числом  - порядком числа.

ЕОМ працюють в основному у двійковій системі зчислення, тому для них . Обсяг оперативній пам'яті ЕОМ, який віддається на запис поодинокого окремого числа, вимірюється у байтах (8 двійкових розряди - бітів) і залежить від мови програмування, на який записано програму, і типу числа, під яким його оголошено у  програмі.

Наприклад, у мові Fortran під запис цілого числа типу INTEGER  відводять 2 байти, тобто 16 двійкових розряди. Один із цих розрядів займає  запис знака числа (додатне число чи від'ємне). У решті розрядів записується абсолютне значення цього числа. Неважко зрозуміти, що у такий обсяг можна записати число, за абсолютним значенням не більше за 32512.

Довільне число типу REAL записується у Фортрані у 4 байти оперативної пам'яті. З 32 бітів цього обсягу один біт займає запис знака числа, 7 розрядів - двійковий запис десяткового порядку числа (із них 1 розряд - запис знака порядку) і 24 розряди займає запис мантиси числа. З цього випливає, що абсолютне значення порядку десяткового числа у цьому випадку не перевищує 32. Тобто тип REAL дозволяє оперувати з числами  за абсолютним значенням від   до . При цьому мантиса числа, маючи для запису 24 розряди, зберігає  десяткових розрядів числа. Тобто розглядуваний тип зберігає сім вірних десяткових цифр у кожному числі.

Розглянемо типи даних, передбачені мовою Паскаль.

Тут для подання цілих чисел існують 5 типів даних:

byte - займає 1 байт пам'яті; за його допомогою можуть зберігатися цілі додатні числа від 0 до 255;

shortint  (коротке ціле) - займає теж 1 байт пам'яті; цей тип зберігає цілі числа від -128 до 127;

integer (ціле) - для даних цього типу відводять 2 байти пам'яті; за його допомогою записуються цілі числа від -32768 до +32767;

word - займає теж 2 байти; ним записуються лише додатні цілі від 0 до 65535;

longint (довге ціле) - обіймає 4 байти пам'яті; зберігає числа від - 2.147.483.648 до + 2.147.483. 647.

Дійсні дані у Паскалі подані наступними типами:

single - на запис числа цього типу відводять 4 байти пам'яті, з них 24 біти займає запис мантиси, а 7 бітів - запис порядку числа; ним можуть бути подані дійсні числа з абсолютним значенням від  до  і з 7 вірними десятковими розрядами;

real - займає 6 байтів (48 бітів); із них 7 бітів - запис порядку, а 40 бітів - мантиса числа; записуються числа з абсолютним значенням від  до  з 12 вірними десятковими розрядами;

double - запис має обсяг у 8 байтів (64 бітів), запис порядку займає 10 бітів, запис мантиси - 54 бітів; ним зберігаються числа з абсолютним значенням від  до  і з 16 вірними десятковими розрядами;

extended - тип, під який відводять 10 байтів оперативної пам'яті (14 бітів - під запис порядку і 65 - під запис мантиси); при цьому забезпечується збереження чисел від  до  з 19 вірними десятковими розрядами.

У середовищі комп'ютерної системи MatLAB усі числові дані мають тип double, який по всіх показниках збігається з відповідним типом мови Паскаль.

Максимальна відносна похибка округлення при записі числа у пам'ять ЕОМ залежить не від його величини, а лише від кількості  десяткових розрядів у запису мантиси у його поданні на ЕОМ:

.

Наприклад, для типу REAL у Фортрані , для того ж типу мови Паскаль . Дані типу double у мові Паскаль і  системі MatLAB мають елементарну похибку округлення

.            (2.7)

Розглянемо процес поширення похибок округлення при обчисленнях і впливу їх на похибку визначення результату обчислення.

Припустимо, потрібно скласти на ЕОМ дві величини

.

Цей процес розкладається на 4 етапи:

1.  запис числа  у пам'ять ЕОМ; при цьому, навіть коли вихідне значення  відоме точно, при його записі  може виникнути похибка округлення  (це може бути, якщо точне значення величини містить більшу кількість десяткових розрядів, ніж  - кількість розрядів для запису числа в ЕОМ):   ;
2.  запис числа  у пам'ять; це приводить до появи аналогічної похибки   ;
3.  підсумовування величин  і ;  при цьому перші дві похибки вплинуть на результат сумування    ;
4.  запис результату у пам'ять; при цьому може виникнути похибка округлення , якуо кількість розрядів в результаті перевищує кількість розрядів у запису числа у пам'ять; у цілому результуюча відносна похибка результату може сягати величини , а абсолютну похибку сумування можна оцінити за формулою .

Якщо тепер перейти до сумування (послідовного) трьох величин

,

то, повторюючи попередній аналіз, дістанемо

похибка результату першого  підсумовування  знайдена перед цим  ;

похибка запису числа   ;

похибка сумування (проходження похибок вихідних даних)  ;  ;

похибка запису результату у пам'ять ЕОМ - .

Разом, одержуємо

;

.

Поширення цього результату на підсумовування  чисел

приводить до наступних висновків

;    (2.8)

.

Одержаний результат  є слушним у випадку, коли усі доданки додатні. Якщо вони усі від'ємні, можна користуватися одержаними результатами, розуміючи в них під  їхні абсолютні значення.

Становище різко змінюється при відніманні чисел (підсумовуванні чисел із протилежними знаками).

Отже, нехай  ;  .  Повторюючи попередні  міркування, одержимо

.   (2.9)

Як бачимо, похибка при відніманні чисел більше за похибку при їхньому додаванні у  разів. Якщо віднімаються близькі величини, ця похибка може бути вельми значною.

Приклад 1. Нехай , . Оцінимо  похибку віднімання цих чисел.

Вважаючи, що відносна похибка округлення , із формули (9) одержимо

.

Ця похибка більша за похибку підсумовування тих самих чисел у 17 500 разів.

Приклад 2. Порівняємо похибки одержання того самого результату за двома формулами

;  .

Похибки округлення при розрахунку згідно першої формули:

1.  занесення  у пам'ять: ; ;
2.  занесення  у пам'ять: ; ;
3.  віднімання  і  :

; ;

1.  занесення різниці у пам'ять  ;

занесення  у пам'ять: ;

ділення ;

занесення результату у пам'ять  .

Оцінка похибок розрахунку за другою формулою:

1.   занесення  у пам'ять: ; ;
2.  занесення  у пам'ять: ;
3.  ділення  на : ;
4.  занесення результату у пам'ять ; ;
5.  аналогічно похибка від другого ділення  на :    ; ;

віднімання :   

1.  занесення результату у пам'ять

.

Тепер можна порівняти похибки розрахунків за цими двома формулами, поділивши похибку за другою формулою на похибку за першою:

.

Якщо, наприклад, , то розрахунок за другою формулою приведе до похибки у 3 рази більшій, ніж розрахунок за першою формулою.

Приклад 3. Розглянемо відносну похибку результату обчислень, обумовлену округленням, для двох варіантів обчислення площі тонкого кільця

;   .

Нехай ; . Відносні похибки вихідних даних покладемо рівними нулеві. Елементарну відносну похибку при округленні приймемо рівною  .

РОЗВ'ЯЗУВАННЯ.

Розрахунки похибок за першою формулою:

1.  при додаванні Ошибка! Закладка не определена. і запису результату у пам'ять ;
2.  при піднесенні у квадрат попередня відносна похибка подвоїться, а при запису результату додасться ще : ;  ;
3.  при записі результату множення  у пам'ять виникає похибка округлення
4.  при обчисленні різниці абсолютні похибки додаються   .

Розрахунки похибок за другою формулою:

1.  відносна похибка після занесення результату додавання  у пам'ять ;
2.  відносна похибка після множення результату на  і занесення результату у пам'ять   .

Відношення одержаних похибок дорівнює

.

Отже, похибка результату при обчисленні різниці двох близьких величин у 350 разів більша за похибку за формулою, яка виключає таке віднімання.

Резюмуючи, слід відзначити таку важливу особливість похибок округлення, яка відрізняє її від інших видів похибок: похибки внаслідок округлення проміжних результатів можуть накопичуватися, внаслідок чого підсумкова похибка збільшується із зростанням кількості здійснених операцій. З цього випливає, що основним засобом зменшення підсумкової похибки округлення є зменшення кількості обчислювальних операцій.

ВИСНОВКИ. Задля зменшення похибок результату обчислень внаслідок округлення проміжних результатів слід уживати наступних заходів:

1.  потрібно зводити до мінімуму кількість арифметичних дій;
2.  додавання чисел слід здійснювати у порядку зростання їхніх абсолютних величин;
3.  по можливості потрібно уникати віднімання близьких величин;
4.  якщо при обчисленнях зустрічаються різниці близьких величин, слід спочатку обчислити ці різниці, а лише потім здійснити решту операцій.

2.5. Контрольні запитання

1.  Що вміщує вміння раціонально організувати обчислювальний процес?
2.  Які є джерела виникнення похибок при обчисленнях?
3.  Що таке "неусувні" похибки? З яких саме похибок складаються вони?
4.  Що таке похибки "усікання"? похибки округлення? похибки поширення?
5.  Дайте визначення поняттю абсолютної похибки, граничної абсолютної похибки наближеного числа.
6.  Що таке відносна похибка? Чим визначається відносна похибка при округленні числа?
7.  Перелічіть основні правила, що дозволяють зменшити вплив на похибку результата обчислень похибок вихідних даних.
8.  Перелічіть основні правила, що дозволяють зменшити вплив на похибку результата обчислень похибок округлення.

1. Загальне уявлення про фізичне моделювання. Поняття моделі

В науці під моделлю розуміють об'єкт (явище, система, установка, знакове утворення), що має властивість подібності до модельованого об'єкту.

Під подібністю розуміють взаємно-однозначну відповідність між двома об'єктами.

Наприклад, для механічних явищ макросвіту відомі закони механіки Ньютона є математичною моделлю.

Питання. Навіщо потрібне моделювання?

Побудова будь-яких моделей пов'язане з процесом пізнання.

Модель в загальному розумінні є створюваний з метою отримання і (або) зберігання інформації специфічний об'єкт у формі уявного образу, опис знаковими засобами (формули, графіки і ін.), матеріального предмету, що відображає властивості, характеристики і зв'язки об'єкту, істотні для вирішуваної задачі.

Питання. Скільки моделей може існувати для одного об'єкту?

Безліч різних моделей пов'язаних з різними завданнями. Модель завжди бідніша за оригінал. Важливою властивістю моделі є наявність обмежень і допущень, пов'язаних з вирішуваною задачею і властивостями об'єкту, – оригіналу, ресурсами для вирішення завдання.

Етапи побудови моделі.

Основним методом дослідження фізичних об'єктів в даному курсі буде математичне і чисельне моделювання, тобто опис досліджуваної системи або процесів у вигляді різних математичних співвідношень і підрахунок чисельних значень тих характеристик, які нас цікавлять. При побудові моделі в пункті 3 можна виділити 3 основних шляхи подолання затруднень, що виникають при ідеалізації моделі:

1.  Розділення складної системи на сукупність простих підсистем.
2.  Перехід до іншої ідеалізації (наближенню). Наприклад, від розподілених параметрів до зосереджених.
3.  Скорочення числа змінних, використовуючи основні положення теорії подібності і створюючи безрозмірні комплекси. Додамо ще практичні прийоми: зниження розмірності завдань (3-х мірна переходить в 2- х і т. д.)
4.  Розробка детермінованих моделей замість стохастичних; заміна змінних константами, ідеалізація властивостей середовища (ідеальний газ, рідина); усереднювання властивостей за об'ємом і напряму; використання лінійних залежності замість нелінійних (лінеаризація).

Класифікація математичних моделей.

Модель, яку належить створити, дуже важливо класифікувати. Це полегшує вибір істотних ознак досліджуваного об'єкту, математичного апарату для його опису, методу побудови моделі. Розглянемо один з варіантів класифікації по Нейману Я. Р. (Моделі в науці і техніці. Л. Наука, 1984), де об'єкти моделювання розглядаються відповідно до їх попарно-протилежним властивостям.

Неперервні (континуальні) - вхідні і вихідні параметри неперервні. При математичному описі описуються диференціальними, інтегральними, інтегрально-диференціальним рівняннями. Стаціонарні - по ступені мінливості в часі, постійність основних параметрів в часі.

Дискретні - можуть приймати кінцеве число відомих значень. При описі використовують: математичну логіку, теорію автоматів – розділ теорії систем, що управляють, що вивчає моделі перетворювачів дискретної інформації. Нестаціонарні- зміна параметрів в часі.

Поняття динаміки пов'язують з умовами протікання процесів, при яких виявляються інерційні ефекти, що визначаються швидкістю зміни запасів енергії і речовини, що акумулюються об'єктом в часі. У динамічних системах стан системи в даний момент пов'язаний з діями, що діють на неї і в даний момент, і в попередні моменти (їх наслідки).

Пов'язані з наслідком динамічні ефекти властиві і механічній формі руху, і процесам дифузії, теплопереносу.

Формально наслідок відбивається шляхом завдання краєвих умов у відповідних диференціальних рівняннях.

За характером просторової структури
Моделі із зосередженими параметрами. Використовуються середні значення вхідних характеристик об'єкту, локалізованих в окремих вузлах підсистем. Моделі описуються диференціальними, трансцендентними або звичайними рівняннями алгебри.	Моделі з розподіленими параметрами. Вхідні і вихідні характеристики залежать від координат. У математичній моделі обов'язково присутні просторові координати (диференціальні рівняння в частинних похідних).
За розмірністю
Одновимірні, з одним вхідним параметром.	Багатовимірні - мають N вхідних параметрів. Якщо система має ще і декілька вихідних параметрів, то в загальному випадку кожен вихід залежить від декількох змінних, багатовимірна модель ще і багатозв'язкова.

За ступенем лінійності об'єкту
Лінійні об'єкти Серед коефіцієнтів, що входять в його математичний опис, відсутні величини, залежні від вхідних змінних, їх похідних і інтегралів.	Нелінійні об'єкти  - наявність залежних коефіцієнтів.

Можна сказати, що життя принципово нелінійне, проте при створенні математичних моделей часто вдається ввести наближення, при яких вдається з високою точністю описувати систему за допомогою лінійних рівнянь.

За математичними методами рішення поставленої задачі
Аналітичні моделі Об'єкт описаний на підставі відомих фізичних законів, дослідження ведеться математичними методами, що дозволяють одержати аналітичне рішення поставленої задачі.	Чисельні математичні моделі Для отримання рішень використовують чисельні методи, якщо завдання важко піддається або зовсім не піддається аналітичному рішенню.

По імовірнісному характеру моделі
Детерміновані (причинно-слідчі)	Стохастичні (імовірнісні)

Детерміновані  і стохастичні моделі.

Будь-якому реальному процесу властиві випадкові коливання, що викликаються фізичною мінливістю якихось чинників  в часі. Крім того, можуть існувати випадкові зовнішні дії на систему. Тому при рівному середньому значенні вхідних параметрів   в різні моменти часу вихідні параметри будуть неоднакові. Отже, якщо випадкові дії на досліджувану систему істотні, необхідно розробляти імовірнісну (стохастичну) модель об'єкту, враховуючи статистичні закони розподілу параметрів системи і вибираючи відповідний математичний апарат.

При побудові детермінованих моделей випадковими чинниками нехтують, враховуючи лише конкретні умови вирішуваної задачі, властивості і внутрішні зв'язки об'єкту (за цим принципом побудовані практично всі розділи класичної фізики)

Ідея детерміністичних методів - у використанні власної динаміки моделі при еволюції системи.

У нашому курсі ці методи представляють: метод молекулярної динаміки, перевагами якого є: точність і визначеність чисельного алгоритму; недоліком - трудомісткість через підрахунок сил взаємодії між частинками (для системи N частинок на кожному кроці потрібно виконати  операцій підрахунку цих сил).

При детерміністичному підході задаються і інтегруються за часом рівняння руху. Ми розглядатимемо системи з багатьох частинок. Положення частинок дають внесок потенційної енергії в повну енергію системи, а їх швидкості визначають внесок кінетичної енергії. Система рухається уздовж траєкторії з постійною енергією у фазовому просторі (далі будуть пояснення). Для детермінованих методів природним є мікроканонічний ансамбль, енергія якого - це інтеграл руху. Крім того, можна досліджувати і системи, для яких інтегралом руху є температура і (або) тиск. В цьому випадку система незамкнута, і її можна представити у контакті з тепловим резервуаром (канонічний ансамбль). Для її моделювання можна використовувати підхід, при якому ми обмежуємо ряд мір свободи системи (наприклад, задаємо умову ).

Як ми вже відзначали, у разі, коли процеси в системі відбуваються непередбачувано, такі події і пов'язані з ними величини називають випадковими, а алгоритми моделювання процесів в системі - імовірнісними (стохастичними). Грецьке stoohastikos означає буквально “той, хто може вгадати”.

Стохастичні методи використовують декілька інший підхід, ніж детерміністичні: потрібно розрахувати лише конфігураційну частину завдання. Рівняння для імпульсу системи завжди можна проінтегрувати. Проблема, яка потім встає, - яким чином вести переходи від однієї конфігурації до іншої, які в детерміністичному підході визначаються імпульсом. Такі переходи в стохастичних методах здійснюються при імовірнісній еволюції в марківському процесі. Марківський процес є імовірнісним аналогом власної динаміки моделі.

Цей підхід має  перевагу в тому, що дозволяє моделювати системи, що не мають власної динаміки.

На відміну від детерміністичних, стохастичні методи на ПК реалізуються простіше, швидше, проте для отримання близьких до істинних величин необхідна хороша статистика, що вимагає моделювання великого ансамблю частинок.

Прикладом повністю стохастичного методу є метод Монте-Карло.

Стохастичні методи використовують важливу концепцію марківського процесу (марківській ланцюг). Марківський процес є імовірнісним аналогом процесу в класичній механіці. Марківський ланцюг характеризується відсутністю пам'яті, тобто статистичні характеристики найближчого майбутнього визначаються тільки сьогоденням, без урахування минулого.

2. Модель випадкового блукання

Приклад (формальний)

Припустимо, що у вузлах двовимірних граток в довільних позиціях розміщені частинки. На кожному часовому кроці частинка “стрибає” в одну з найближчих позицій. Тобто частинка має можливість вибору напряму стрибка в будь-яке з чотирьох найближчих місць. Після стрибка частинка "не пам'ятає", звідки вона стрибнула. Цей випадок відповідає випадковому блуканню і є марківським ланцюгом. Результатом на кожному кроці є новий стан системи частинок. Перехід з одного стану в інший залежить тільки від попереднього стану, тобто вірогідність знаходження системи в стані i залежить тільки від стану i-1.

Які ж фізичні процеси в твердому тілі нагадують подібні до описаної  моделі випадкового блукання?

Звичайно ж, дифузійні, тобто процеси, механізми яких ми розглядали у курсі тепло-масопереносу (3 курс). Як приклад пригадаємо звичайну класичну самодифузію в кристалі, коли, не міняючи своїх видимих властивостей атоми періодично міняють місця часової осідлості і блукають по гратці за допомогою “вакансійного” механізму. Він же - один з найважливіших механізмів дифузії в сплавах. Явище міграції атомів в твердих тілах грають вирішальну роль в багатьох традиційних і нетрадиційних технологіях - металургії, металообробці, створенні напівпровідників і надпровідників, захисних покриттів і тонких плівок.

Його відкрив Роберт Аустен в 1896 році, спостерігаючи дифузію золота і свинцю. Дифузія - процес перерозподілу концентрацій атомів в просторі шляхом хаотичної (теплової) міграції. Причини, з погляду термодинаміки, можуть бути дві: ентропійна (завжди) і енергетична (іноді). Ентропійна причина - це збільшення хаосу при перемішуванні атомів різного сорту. Енергетична - сприяє утворенню сплаву, коли вигідніше бути поряд атомам різного сорту, і сприяє дифузійному розпаду, коли енергетичний виграш, забезпечується розміщенням разом атомів одного сорту.

Найбільш поширеними механізмами дифузії є:

вакансійний

міжвузловий

механізм витіснення

Сформуємо тепер модель випадкового блукання для явища дифузії в кристалі. Процес блукання атома - хаотичний і непередбачуваний. Проте для ансамблю блукаючих атомів повинні виявлятися статистичні закономірності. Ми розглянемо некорельовані стрибки.

Це означає, що якщо і - переміщення атомів при i і j-м стрибках, то після усереднювання по ансамблю блукаючих атомів.

Нехай кожна частинка ансамблю здійснює N елементарних стрибків. Тоді її повне переміщення рівне:

;

а середній квадрат переміщення

Оскільки кореляції немає, то другий доданок =0.

Хай кожен стрибок має однакову довжину h і випадковий напрям, а середнє число стрибків в одиницю часу - v. Тоді

Очевидно, що

Назвемо величину - коефіцієнтом дифузії блукаючих атомів.

Тоді ;

Для тривимірного випадку - .

Ми одержали параболічний закон дифузії - середній квадрат зсуву пропорційний часу блукань.

Саме це завдання нам належить вирішити на наступній лабораторній роботі - моделювання випадкових одновимірних блукань.

Чисельна модель.

Ми задаємо ансамбль з М частинок, кожна з яких здійснює N кроків, незалежно один від одного, вправо або вліво з однаковою вірогідністю. Довжина кроку = h.

Для кожної частинки обчислюємо квадрат зсуву  за N кроків. Потім проводимо усереднювання по ансамблю - .

Алгоритм 1

Тестовий приклад:

M=1000; N=100; h=2.

Завдання:

1.  Виконати алгоритм з урахуванням "вітру" (різна вірогідність кроків вправо,  вліво і перевірити параболічний закон.
2.  Модифікувати алгоритм для двомірного випадку (кроки вправо, вліво, вверх, вниз) і підрахувати середній квадрат зсуву, як x2+y2. Вивести на екран частинку.

Генератори випадкових чисел.

Звернемо увагу на 1 пункт алгоритму.

Для його реалізації необхідні випадкові числа.

Методи рішення задач, які використовують випадкові числа, називають стохастичними методами, або методами Монте-Карло. Простим генератором випадкових чисел є рулетка.

Проте через трудомісткість моделювання випадкових чисел, тільки з появою ЕОМ метод придбав широкого розповсюдження. Вважають, що він з'явився в 1949 році, а його автори - американці Дж. Нейман і С. Улам.

Наскільки хороші методи МК через їх стохастичну природу залежить від якості генератора випадкових чисел. Генератор повинен мати такі властивості:

1.  Хороші стохастичні властивості
2.  Ефективність
3.  Великий період
4.  Відтворюваність

Перший пункт - найбільш важливий. Насправді генерують не випадкові числа, а послідовність псевдовипадкових чисел. Всі генератори створюють такі послідовності за допомогою рекурентних співвідношень, використовуючи функцію залишку. Така послідовність через період повторює себе. Ефективність генератора важлива, оскільки потрібна велика кількість випадкових чисел (1010) + економія пам'яті.

Відтворюваність  потрібна для того, щоб перевірити вплив змін в алгоритмі на результати моделювання випадкових чисел. Прикладом алгоритму отримання псевдовипадкових чисел може служити запропонований Дж. Нейманом метод середини квадратів. Чотиризначне число зводиться в квадрат, чотири внутрішні цифри знову в квадрат, і т.д. Випадковими приймаються чотирьохзначні числа . Цей метод дає непропорційно багато малих значень.

Найбільш популярні зараз лінійні конгруентні генератори.

де

3. Випадкові блукання і розподіл вірогідності.

Ми пам'ятаємо, що мікростан системи великої кількості частинок нестійкий навіть при малих флуктуаціях. Це означає, що передбачати стан макросистеми неможливо в принципі. Мікроподії в макросистемі є істинно випадковими. Головне завдання статистичної фізики - знаходити вірогідність станів і мікроподій.

На минулому занятті ми розглянули алгоритм, що дозволяє змоделювати випадкові блукання (одновимірний випадок) ансамблю з М частинок (незалежних один від одного), і оцінити, як виконується параболічний закон дифузії (середній квадрат зсуву частинки пропорційний часу випадкових блукань). У цьому завданні ми обчислюємо середній квадрат зсуву, усереднений по ансамблю.

Сьогодні ми розглянемо подібний алгоритм, (і подібну модель), але поставимо завдання одержати на виході програми розподіл вірогідності положення частинок при випадкових одновимірних блуканнях.

Постановка завдання: нехай частинка може рухатися вправо з вірогідністю р, а вліво з вірогідністю q=1-p з однаковим кроком h. Необхідно визначити, з якою вірогідністю PN(x) через N кроків частинка знаходитиметься на відстані N від початкової точки x0=0.

Очевидно, що тут можна було б використовувати комп'ютер як генератор всіх можливих перестановок блукань. Наприклад, якщо розглянути 3 кроки випадкових блукань, то 8 можливих траєкторій виглядають таким чином:

          ;   ;   ;

     ;   ;   ; 

Тобто в нас можливі два варіанти із зсувом на 3 кроки (вправо з вірогідністю р3 або вліво з вірогідністю q3) і 6 варіантів зсуву на 1 крок (3 вправо з вірогідністю p2q або три вліво з вірогідністю pq2). Тоді середній зсув:

Кількість можливих траєкторій блукань в одновимірному випадку 2N (для нашого випадку - 8), тоді для d-мірного простору підрахунок кількості блукань обмежений через громіздкість операцій.

Альтернативним варіантом може бути вибірка, статистичний характер якої дасть нам інформацію про процес в цілому. Якщо розглянути ансамбль частинок, кожна з яких незалежно від інших проходить випадковий шлях довжиної N кроків з початкової точки, то більшість частинок після однакової кількості кроків матимуть однакову координату XN. Тобто, для визначення вірогідності знаходження частинки в точці  X моделюється багато її запусків (М), за якими проводиться усереднювання для визначення середнього зсуву на N кроків і визначається вірогідність появи частинки в заданій точці X як:

  де m- число запусків із зсувом X.

В результаті ми одержали (графічно) розподіл вірогідності у вигляді:

Статистичний характер завдання полягає в тому, що ми розглядаємо або велику кількість випадкових блукань, або велику кількість однакових частинок, які рухаються одночасно.

Завдання: показати, що, продовживши ці розподіли, можна одержати другий закон Фіка (1855) - рівняння дифузії  - що говорить про те, що випадкові блукання частинок приводять до перерозподілу їх концентрації згідно вказаному закону.

Запишемо алгоритм побудови графіка розподілу вірогідності при випадкових одновимірних блуканнях - гістограми PK(m) з шириною стовпця . М - число частинок, положення яких після N кроків відповідає умові:

; (Nh - максимально можливий зсув)

Алгоритм 2

Тестовий приклад: М=1000, N=100, h=2, X=5.

Примітка 1: початок координат 320, 440, масштабний множник 2.

Координати додаткових вузлів стовпця:

(320+k2 xx 440);

(320+k2x+x 440+2pk)

Завдання: Перевірити, що одержаний розподіл - є розподілом Гауса. Використовувати метод найменших квадратів для значень ((kx)2, ln(pk)) для нульових значень масиву P, оскільки для розподілу Гауса:

 .

Щоб завершити нашу "екскурсію в область дифузії", розглянемо алгоритм моделі, яка реалізовує вакансійний механізм дифузії між атомами різного сорту методом МК.

Ми використовуватимемо модель плоских квадратних граток, кожному вузлу яких відповідає елемент масиву а. Осередки масиву (вузли) мають ознаки, по яким визначається сорт атома і вакансій (наприклад, цілі числа, які можна використовувати, як колір виведення осередків на екран). Спочатку приймемо, що права половина гратки зайнята атомами сорту А. (зелені, значення 2), ліва - атомами сорту В (блакитні - 3). Вакансію розмістимо в одному вузлі гратки, для визначеності виберемо верхній лівий кут (значення елементу масиву - 8). Нескінченність гратки nn забезпечимо граничними умовами Борна-Кармана,  на кожному кроці методом МК випадково вибираємо напрям стрибка вакансії завдовжки h в одному з чотирьох можливих напрямів і міняємо місцями вакансію і вибраний атом. Задамося числом стрибків М.

Тестовий приклад: n=30; M=104.

Алгоритм 3

4. Метод молекулярної динаміки.

Основні параметри: стан і ансамблі.

У основі моделювання лежить  певна модель фізичної системи, в розрахунку характеристики якої ми зацікавлені. Ці характеристики одержують як середні по простору станів системи. Позначимо стан системи як x=(x1.xn), де n- число мір свободи. Безліч станів системи складають доступний їй фазовий простір .

Систему можна описати, задаючи її мікроскопічний стан (мікростан). Такий опис дає нам найповнішу, відповідну законам механіки характеристику кожної частинки системи.

У більшому масштабі макроскопічний стан (макростан) системи можна описати за допомогою середніх концентрацій, температури, об'єму і т.д.

На відміну від непередбачуваного мікростану системи, макростан системи через деякий час перестає змінюватися. Такий стан називають рівноважним.

Якщо макростан ізольованої системи характеризується величинами N - число частинок, V - об'ємом і Е - енергією, то на мікроскопічному рівні в загальному випадку існує величезна кількість способів конфігурації, в яких може реалізуватися даний макростан (N, V, E).

Конкретний мікростан (конфігурація) є досяжним, якщо його характеристики відповідають даному макростану. У нас немає причин віддати пріоритет тому або іншому стану; і можна стверджувати, що у будь-який момент система рівномірно знаходитися в одному з своїх досяжних мікростанів (постулат рівної апріорної вірогідності).

Якщо ізольована система має  досяжних рівномірних станів, то вірогідність знайти її в мікростані S складає:

PS=

З погляду усереднювання за часом, фізичний сенс вірогідності PS - відрізок часу, протягом якого одна система знаходиться в мікростані S щодо всього часу спостереження.

Ансамбль, який характеризується величинами N, V, E і описується розподілом рівних апріорних імовірностей називають мікроканонічним.

У реальних (лабораторних) умовах система не замкнута, а знаходиться в тепловому контакті з навколишнім середовищем (формально - з тепловим резервуаром). Оскільки нас цікавлять рівноважні значення фізичних величин, то потрібно знати вірогідність Pl, з якою система знаходиться в стані S з енергією El. Ансамбль, який характеризується постійними величинами N, V, T і описується канонічним розподілом Гіббса:

 

називається канонічним.

Тут z- статистична сума.

 Завдання про гармонійний осцилятор.

Метод молекулярної динаміки (МД) обчислює характеристики системи, використовуючи рівняння руху. На ПК ми чисельно вирішуємо рівняння руху, і для цього апроксимуємо їх відповідною чисельною схемою, зручною для розрахунків на ПК.

Визначення:

Метод МД розраховує у фазовому просторі траєкторії сукупності молекул, кожна з яких підкоряється класичним рівнянням руху.

Елементарний приклад - завдання про коливання тіла, рухомого під дією пружної  сили - одновимірний гармонійний осцилятор.

Ми задаємо  гамільтоніан, який описує рух тіла під дією пружної сили:

;

далі, використовуючи закони класичної механіки і розкладання в ряд Тейлора:

можна вивести рекурсивні формули для положення тіла і його імпульсу.

при цьому безперервна траєкторія руху замінюється ламаною лінією з кроком t.

Ми бачимо, що метод МД - детерміністичний: результат, одержаний на визначеному кроці визначається результатом, одержаним на попередньому кроці.

Чисельний алгоритм методу МД.

Нехай у нас є система з N частинок, і рух кожною описується диференціальними рівняннями:

Нам потрібно згенерувати траєкторію у фазовому просторі, тобто підрахувати значення  кожної частинки (їх сукупність дає нам точку у фазовому просторі) у момент часу:

.

Типовим методом чисельного рішення диференціальних рівнянь є їх перетворення в кінцево-різницеві.

Замінимо похідну   відношенням малого приросту функції до приросту аргументу (переміщення x за час t) ?. Тобто для даної частинки в кожен момент часу tn+1 швидкість Vn+1:

.

Значить, кожне наступне положення визначається через попереднє.

застосувавши ці міркування до диференціального рівняння, одержимо формули Ейлера для знаходження швидкості і координати, як рішення диференціальних рівнянь:

Припущенням цих формул, як ми бачимо, є те, що на відрізку (t n, tn+1) швидкість зміни функції X постійна. Метод Ейлера є асиметричним - він просуває рішення на 1 крок за часом t, використовуючи при цьому інформацію про похідні тільки в початковій точці інтервалу.

Існують точніші методи:

Метод Ейлера - Камера (метод приблизно по останній точці)

Метод середньої точки - використовує для нового значення координати середню на відрізку швидкість

 

Метод напівкроку - використовує допущення, що швидкість на відрізку рівна значенню швидкості в середній точці відрізка

Можна порахувати:

.

Точнішим є метод Верне.

Недолік: необхідність іншого методу для отримання перших точок фазового простору і обчислення швидкості шляхом віднімання близьких за величинами значень. При цьому втрачаються значущі цифри, і росте помилка.

Ці недоліки відсутні в швидкісній формі алгоритму Верне.

Метод Лиману і Шофілда:

Вважається кращим за алгоритм Верне, оскільки краще зберігає енергію.

Метод предіктор - коректор - використовує "передбачення" нового значення координати.

Предіктор:  дозволяє обчислити прискорення, використовуючи яке знаходимо скоректовані значення:

Коректор:

Скоректоване значення  використовується для обчислення значення, що передбачаються, а значить - нових значень, що передбачаються . Ця процедура повторюється до тих пір, доки значення, що передбачаються і скоректовані, не будуть близькі.

Метод  Рунге- Кутта  дозволяє підвищити точність методу Ейлера внаслідок екстраполяції в середній точці відрізка, а потім використовувати центральну похідну на всьому відрізку (див. курс Чисельні методи).

Для різних динамічних систем слід експериментувати з різними алгоритмами розрахунку. Однозначних переваг не має жоден метод.

5. Модель ідеального газу

На минулому занятті ми розглянули основну ідею детерміністичного методу МД, для того, щоб ми могли реалізувати на комп'ютері моделі ідеального і реального газів і досліджувати їх поведінку.

Мета дослідження моделей - перевірка основних газових законів і дослідження флуктуацій ідеального і реального газів.

Методи дослідження для моделі ідеального газу - методи МК і МД, для моделі реального газу - метод МД.

Нагадаємо, що в ідеальному газі можна нехтувати взаємодією між молекулами.

Модель ідеального газу.

У запропонованій моделі рух молекул задається у вигляді одновимірних блукань, при яких через рівні проміжки часу t (середній час між зіткненнями) швидкості змінюються випадково за допомогою генератора випадкових чисел згідно із законом:

.         (1)

Тут середній квадрат випадкової функції

 

рівний одиниці, що забезпечує співвідношення:

відоме з молекулярно-кінетичної теорії.

Співвідношення (1), тобто заміна максвелівського розподілу по Vx рівномірним із збереженням середнього квадрата є основним наближенням моделі.

Подальша процедура адекватна реальній ситуації. Кожне зіткнення із стінкою і переданий нею імпульс підраховується і підсумовується

а молекули, що зіткнулися із стінкою, рухаються по законам пружного зіткнення. Наприклад, якщо координата молекули  виявляється більше координати правої стінки L, то виконується привласнення

 

Тиск газу обчислюється за формулою .

Величина P зазнає флуктуацій, але із збільшенням часу (і числа ударів) стає асимптотою. Фактично можна зупинитися після 6 кроків для всіх молекул, при

Алгоритм

Закони і властивості ідеального газу.

Основним параметром є радіус молекул, які ми вважаємо твердими двомірними кулями (модель твердих сфер).

Метод розрахунку: МД тобто моменти результати зіткнень визначаються самою системою. Для цього підраховується час зіткнення всіх молекул між собою і стінками і вибирається найменше. Стінки можуть рухатися.

Алгоритм

Тестовий приклад:

T=10 K, число молекул N=20, R=1e-10м (радіус молекули), розміри посудини 1е-8м; маса - молекули кисню.

***до пункту 4.

а) i-j;   i-j;  Vx=Vxi-Vxj;  Vy=Vyi-Vyj;

          а: =Vx2+Vy2

          b: =2Vx+Vy

          з: =+-4R2;

          d: =b2-4ac

б) якщо а=0 і b=0 або (а і d те t k:=-1;

в) якщо а=0 і b, то t k:=-cb;

г) якщо а то:

1.  якщо d=0, то tk: =-ba
2.  якщо d>0, то t1: =(-b+)а

                           t2: =(-b-)/(2a),

             2.1) якщо t1t2, то tk: =t1=t2

   

 д) знайти min час серед tk:         tmol: =min(tk).

***до пункту 3

а) якщо Vxi>0, то t1: =(Lx-R-Xi)/Vxi

 б) якщо Vxi<0, то t1: =(x0+R-xi)/(Vxi-Vst)

(x0 і Vst- координата і швидкість лівої стінки)

в) якщо Vyi>0, то t2: =(Ly-R-yi)/Vyi

г) якщо Vyi<0, то t2: =(R-yi)/Vyi

д) якщо t1<t2 те ti: =t1, інакше ti: =t2

е) знайти min серед ti:  tst: =min(ti)

**** до пункту 6.

а) якщо dt=tst,  то:

1.  якщо rVxrdt-R,  то Vnx: =-Vxr+2Vst   інакше  Vnx: =Vxr;
2.  якщо r+Vxrdt+RLx,  то  Vnx: =-Vxr   інакше  Vnx: =Vxr
3.  якщо r+Vxrdt+RLx,  то  Vnx: =-Vxr  інакше  Vnx: =Vxr
4.  якщо r+Vyrdt-R;  або  r+Vyrdt+RLy,  то  Vny: =-Vyr,  інакше  Vny: =Vyr.

б) якщо dt=tmol,  то

nk: =k+Vxkdt;  nk: =k+Vykdt

nl: =l+Vxldt;  nl: =l+Vyldt;

Sx=nl-nk;  Sy: =nl-nk;

S=;

Завдання:

1.  Досліджувати дію міжмолекулярних зіткнень на безповоротність.

Всі реальні процеси необоротні, що пов'язано з нестійкістю  фазових траєкторій  макросистем щодо малих збуджень. Якщо в якийсь  момент змінити швидкості всіх молекул на протилежні, навіть мінімальне збудження не дасть їм рухатися "слід в слід" і опинитися в початковому мікростані. Якщо виконати це для попереднього алгоритму - моделі ідеального газу, то ми побачимо, що зіткнення з гладкими стінками матеріальних точок - молекул ідеального газу не вносить внесок до безповоротності процесу. Ця проблема вирішується в даному алгоритмі - моделі твердих сфер. Перевірити це практично.

1.  Перевірити рівняння адіабати для двомірної моделі реального газу.

При включенні в модель повільного руху стінки можна досліджувати рівняння адіабати (Т(V)).

Температура розраховується через середній квадрат швидкості молекул.

1.  Побудувати розподіл Максвела:

     а) знайти середньоквадратичну швидкість

      

     б) ввести умовну верхню межу швидкості

       

      в) /20;

      г) визначити, в який інтервал потрапляє швидкість кожної молекули і побудувати гістограму.

Це дає можливість простежити за кінетикою встановлення статистичної рівноваги. Якщо задати початкові швидкості однаковими за величиною і напрямом, у міру зіткнень гістограма з прямокутника перетвориться на розподіл Максвела.

Примітка: нагадаємо, що розподіл Максвела є окремий випадок розподілу Максвелла- Больцмана, коли нас, цікавить вірогідність швидкості або імпульсу молекул ідеального газу.

7. Перевірка закону Ома на моделі одновимірних блукань електронів в електричному полі з випадковими зіткненнями (МК - метод).

Фізична постановка завдання

Поведінка металу в електричному, тепловому або магнітному полях достатньо точно описується класичною електронною теорією Друзе-Лоренца (початок 20 століття).

Основні положення електронної теорії:

1.  Метал складається з іонного каркаса і електронного газу: вільні електрони не пов'язані з конкретними іонами. Останні забезпечують нейтральність системи і   не дають електронам розлітатися.
2.  Рух електронів - поступальна хода вільних частинок між зіткненнями. При зіткненні електрон "забуває" передісторію.

      ;   де T- температура в місці зіткнення.

1.  Вірогідність зіткнення електрона впродовж малого часу dt пропорційна цьому  часу і рівна

де

ђ- середній час вільного пробігу (час релаксації системи), а формула (2) справедлива при dt<<ђ (для більшості металів ђ =10-14с).

Знайдемо вірогідність того, що електрон не зазнає зіткнень впродовж часу t. Розіб'ємо весь часовий інтервал на відрізки . Шукана вірогідність рівна добутку вірогідності на кожному відрізку:

 

(згідно математичній формулі ).

Середній час до зіткнення:

;  де

i- вірогідність уникнути зіткнення впродовж t

ii- вірогідність зіткнення на наступному інтервалі dt.

Аналогічно:  (звернемо увагу на множник 2)

1.  Згідно закону Ома, дія постійного електричного поля  на метал діє постійний електричний струм, пропорційний середній швидкості зарядів. Тобто швидкість, а не прискорення пропорційно силі. Цей "парадокс" пояснюється зіткненнями електронів з тепловими і структурними дефектами, що необхідно враховувати в моделі через коефіцієнт електропровідності.

Зауваження*. Закон Ома в диференціальній формі:

Нехай на електрони газу в металі діє поле напруженості Е, тоді на кожен електрон діє зовнішня сила, тобто кожен електрон між зіткненнями повинен рухатися рівноприскорено.

Нехай t - час після останнього зіткнення;

V0- швидкість після останнього зіткнення.

Тоді:              (3)

Середня швидкість:     (4)   тому:

       (5)

Щільність струму:

         (6)

В результаті:

де         (7)

   враховуючи, що  

l - довжина провідника;

S - площа перетину.

Алгоритм

 

Тестовий приклад:

Е=0; Е=100 В/м; =10-14 с.

Заняття 8.

Перевірка закону Джоуля - Ленца (метод МК)

Фізична модель:

Під час зіткнення електрони передають гратці свою енергію, одержану за рахунок їх прискорення зовнішнім полем. Знайдемо енергію, яка виділяється за одиницю часу в одиничному об'ємі. Даний об'єм знаходиться в електричному полі з напруженістю . Для цього знайдемо середню зміну енергії електрона під час зіткнення:

де  (дивись попереднє заняття).

Отже:

;

звідси:

.

Чисельна модель.

У основу моделі покладено використання ГВЧ для часу між зіткненнями електронів з граткою.

Вважаємо, що у момент зіткнення електрон втрачає всю енергію, одержану від електричного поля.

Після усереднювання за великою кількістю зіткнень знаходимо середню енергію, яку електрон віддає кристалічній решітці за одиницю часу. Помноживши її на концентрацію електронів одержимо потужність теплових втрат за одиницю часу.