68606

Вимірювання фізичних величин і обробка експериментальных даних

Лабораторная работа

Физика

Фізичний практикум передбачає засвоєння курсантами методів фізичного дослідження вміння користуватися основними вимірювальним приладами знання основних прийомів і способів вимірювань обробки і інтерпретації експериментально отриманих даних. Види вимірювань Основним способом отримання...

Украинкский

2014-09-24

344.5 KB

2 чел.

PAGE  16

Лабораторна робота 1

Вимірювання фізичних величин

і ОБРОБКА ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНИХ ДАНИХ

Вступ

Практичні заняття в лабораторії фізики навчають курсантів  самостійно відтворювати і аналізувати фізичні явища, закріплює теоретичні знання. Фізичний практикум передбачає засвоєння курсантами методів фізичного дослідження, вміння користуватися основними вимірювальним приладами, знання основних прийомів і способів вимірювань, обробки і інтерпретації експериментально отриманих даних. В цьому випадку курсант може виробити необхідні досліднику навики: розуміння ролі моделювання, уміння абстрагуватися від другорядних ефектів, уміння робити якісні оцінки, робити висновки і представляти отримані результати.

Теоретична частина

I.Види вимірювань

Основним способом отримання об'єктивної інформації про предмет або явище є вимірювання тієї або іншої величини. В процесі вимірювань застосовують різноманітні вимірювальні прилади.

Вимірювання – це знаходження значення невідомої величини експериментальним шляхом, в результаті якого ми встановлюємо, у скільки разів невідома величина відрізняється від еталонної. Іноді говорять, що це процес порівняння невідомої величини з відомою (еталоном).

Виділяють два основних види вимірювань: прямі та непрямі.

Прямі вимірювання – невідома величина вимірюється безпосередньо приладом, призначеним для цього. Так, силу струму в колі можна виміряти амперметром, довжину шляху – метром або рулеткою, час – секундоміром, температуру – термометром та таке інше.

Якщо прямі вимірювання неможливі, використовують непрямі вимірювання. В цьому разі, невідома величина визначається на підставі прямих вимірювань декількох допоміжних величин, після чого вона обчислюється на підставі відомих співвідношень. Наприклад, вимірювання середньої густини тіла по його масі і геометричним розмірам.

II.Типи і походження похибок вимірювань

Якість вимірювань визначається їх точністю. Точність вимірювань характеризується їх похибками, тобто різницею між отриманим значенням та істинним значенням шуканої фізичної величини.

В результаті будь-якого вимірювання ми набуваємо деяке числове значення величини. Цей результат, безперечне, відрізняється від істинного. В задачу вимірювань входить визначення величини, що виміряються, і встановлення похибок, з якими проводилися вимірювання.

Похибки вимірювань прийнято розрізняти на грубі, випадкові і систематичні похибки.

Грубі похибки або промахи. З самої назви витікає, що джерелом таких похибок є неуважність експериментатора. На грубу похибку окремого вимірювання вказує різка відмінність його результату від попередніх або подальших результатів. Метод виявлення та виключення грубих похибок буде наведено у розділі IV.

Систематичні похибки виникають внаслідок постійно діючих чинників, таких як невірного вибору методики вимірювань, неправильної установки приладу (невірна шкала, нерівні плечі терезів, нерівномірний шаг мікрометричного вінта та ін.), не дотримання умов вимірювань і т.п. Такі похибки мають однакову величину і знак на протязі усієї серії  вимірювань.

Приклад. Припустимо на одній чаші терезів знаходяться: якесь тіло вагою Рт,, а на другій чаші – кілька шальок з вагою Рш, яка нам відома ( рис.1). Плечі терезів довжиною l не дорівнюють один одному . Аби терези були врівноважені, має виконуватись рівність для моменту сил:

.

Плече , тоді , звідки отримаємо:

,

Величина  це систематична похибка при вимірюваннях ваги невідомого тіла. Чим менша величина , тим точніші наші вимірювання.

Як правило, в технічних паспортах приладів вказані їх систематичні похибки.

Випадкові похибки зумовлені дією випадкових чинників, які мають в кожному вимірюванні різні знак і величину. Такі похибки залежать від індивідуальних якостей експериментатора.

Приклад.  В момент пеленгування маяку за допомогою звичайного пеленгатора магнітного компасу, зазвичай виникають випадкові похибки:

  •  при знятті відліку з приладу виникають похибки округлення;
  •  атмосферні процеси обумовлюють зміну оптичної густини повітряних мас, крізь які проходить промінь візування, що призводить до його викривлення;
  •  змінна магнітного поля Землі зумовлює непередбачені зміни схилення в районі судна;
  •  та таке інше.

Випадкові похибки виявляються як відмінність результатів декількох вимірювань однієї і тієї ж величини (об'єкту), що проводяться одним і тим же приладом в одних і тих же умовах.

Практика вимірювань підтверджує, що випадкові помилки за величиною частіше перевищують систематичні, тому надалі ми будемо проводити оцінку тільки випадкових похибок.

III.Абсолютні похибки вимірювань. розподіл Гауса

Щоб врахувати вплив випадкових похибок при визначенні деякого параметра величини, що виміряється, вводять поняття про абсолютну і відносну похибки вимірювань.

Припустимо, що нам потрібно виконати пряме вимірювання якоїсь фізичної величини а, для якої істинне значення . Унаслідок  n послідовних вимірювань ми отримали ряд значень. Середнє арифметичне цих значень

                                       (1)

Знаючи істинне значення величини, що виміряється, можна визначити похибки кожного вимірювання:

,                   

                                                  (2)

…….……………

,

Підсумувавши ліві і праві частини рівності (2), отримаємо

                                     (3)

Зробивши прості математичні перетворення, отримаємо

                                         (4)

З рівності (4) випливає, що при  тобто при кінцевому, але достатньо великому, значенні n, отримаємо

                                                      (5)

Таким чином, шукане за допомогою співвідношення (4), істинне значення величини, що виміряється, дорівнює середньоарифметичному  при нескінченно великому числі вимірювань. А величину  можна визначити як відхилення даної величини від середньоарифметичного з результатів вимірювання і характеризує точність вимірювань.

Похибкою окремого вимірювання називається різниця між значенням, отриманим в даному вимірюванні і середнім арифметичним:

.                                                   (6)

Середнє арифметичне з абсолютних значень похибкок окремих вимірювань називається абсолютною похибкою вимірювання: 

                                              (7)

Абсолютна похибка має ту ж розмірність, що і величина, що виміряється. При великому числі вимірювань випадкові похибки рівноймовірні, як у бік перевищення істинного значення величини, так і у бік зменшення.

Проте, середньоарифметична похибка не може повністю визначати точність вимірювань, оскільки в  цій сумі є  члени різних знаків. Для більш адекватної оцінки точності вимірювань вводять величину, названу середньоквадратичною похибкою:

     (9)

Рівність (9) відноситься до визначеної кількості вимірів. При великої кількості вимірів n водять іншу величину, названу середньоквадратичною похибкою ряду вимірювань:

                                               (10)

Значення величини  не є постійними. Це випадкові величини, які залежать від кількості вимірювань і набору  всіх можливих значень, які приймає величина а, тому вони повинні підкорятися теорії ймовірності.

Cередньоквадратична похибка ряду вимірювань  вказує на відхилення середнього арифметичного значення  від істинного значення  шуканої величини.

При достатньо великій кількості вимірювань випадкові похибки підкоряються закону нормального розподілу або розподілу Гауса

 (11)

σ2 – дисперсія даного розподілу

Дисперсія – це межа, до якої прагне середньоквадратична похибка середнього арифметичного при нескінченно великій кількості вимірів:

   (12)

і дозволяє приблизно оцінити точність методики вимірювань.

При кінцевому числі вимірювань розподіл дискретний. Ламана лінія на рис.2 відповідає цьому закону. В цьому випадку говорять про ймовірність появи похибки даної величини, що лежить в межах інтервалу.

Закон нормального розподілу показує, що найбільш вірогідні похибки, близькі до нуля, а великі по величині похибка зустрічаються достатньо рідко. Похибки, рівні по величині, але протилежні за знаком, рівноймовірні.

Чим точніше прилад, яким проводяться вимірювання, тим вище максимум кривої і тим вужча дана крива, причому повна площа під кривою дорівнює одиниці, згідно умовам нормування.

IV.Відносні похибки вимірювань

Для порівняння різних методик вимірювань вводять поняття відносної похибки. Відношення середньої абсолютної похибки до середнього значення величини, що виміряється ε = Δа / а٭ називають відносною похибкою; це безрозмірна величина. Відносну похибку часто виражають у відсотках, тобто множать на 100%.

Основна проблема будь-яких вимірювань полягає в тому, що ми не знаємо і принципово не можемо знати істинного значення величини, що виміряється . Тому задача будь-яких вимірювань полягає в тому, щоб знайти наближене значення величини (аi), що виміряється, і вказати, наскільки знайдена величина близька до істинної. Зрозуміло, що чим менше відносна похибка, тим вище точність вимірювань.

V.Довірчий інтервал і довірча ймовірність

Ці поняття є чи не основними для процесу обробки результатів будь-яких вимірювань. Поняття довірчий інтервал  і довірча ймовірність можна визначити таким чином: довірчий інтервал є діапазон значень величини, що виміряється, в якому, з певною ймовірністю (довірчою ймовірністю), знаходиться істинне її значення. Збільшення довірчого інтервалу автоматично спричинює збільшення довірчої вірогідності і навпаки.

Звернемося тепер до графічного визначення результатів вимірювань похибок, використовуючи поняття довірчого інтервалу. Як ми вже бачили, площа під кривою розподілу дорвнює одиниці. Виділимо якусь частину цієї області (заштрихована), тоді по кривій розподілу можна визначити ймовірність того, що істинне значення величини, що виміряється, потрапляє у вказану частину інтервалу.

З рис. 3 видно, що площа заштрихованої фігури чисельно дорівнює ймовірності, з яким істинне значення величини потрапило у вибраний інтервал. Коли ширина довірчого інтервалу дорівнює середньоквадратичній похибки ±Sa ряду вимірювань, то ймовірність наявності там істинного значення величини, дорівнює 68%. Коли ширина довірчого інтервалу рівна ±2Sa, то ймовірність виявлення там істинного значення величини, дорівнює  95%. А у разі, коли ширина довірчого інтервалу рівна ±3Sa те ймовірність виявлення там істинного значення величини, дорівнює 99,7%

Отже, чим ширше ми задаємо інтервал значень, в якому знаходиться істинне значення величини, що виміряється, тим більше ймовірність того, що вона дійсно в ньому знаходиться і навпаки. Тому, проводячи вимірювання і обробляючи їх, ми завжди ставимо за мету знайти той інтервал значень величини, що виміряється, якому ми можемо, з певною ймовірністю довіряти з тим, щоб надалі використати отримані результати в нашій практиці.

На практиці ми визначаємо для себе довірчу ймовірність не нижче 95%.  Відповідно до цієї умови, будемо вибирати прилади і методики вимірювань.

VI.Обробка результатів вимірювань

Будь-які визначення невідомої величини починаються з прямих вимірювань. Тому дуже важливо навчитися обробляти результати саме прямих вимірювань.

  1.  Похибки округлення виникають при округленні результатів. Правила округлення відомі з курсу середньої школи. Легко зрозуміти, що якщо якесь число округлено, то максимальна абсолютна похибка округлення не перевищує п'яти одиниць першого відкинутого розряду. Якщо ми пишемо, що а = 10.5, то це значить, що до округлення величина знаходилася в межах від 10.45 до 10.55. Інакше кажучи, а = 10.5 ± 0.05. Сказане вище повністю відповідає до використовування табличних даних.
  2.  Значення фізичної величини, що виміряється, визначається по шкалі приладу з урахуванням ціни поділу. При цьому, похибки відліку виникають тоді, коли стрілка вимірювального приладу вказує в проміжок між поділами. В цьому випадку, записуючи результат, ми навряд чи помилимося більш ніж на половину ціни поділки (ц.п.) приладу (тобто 0.5 ц.п.), у крайньому разі, ми помилимося на всю ціну поділки. Ціна поділу шкали приладу дорівнює верхній межі вимірювання, поділеній на число поділів. Наприклад, для діапазону вимірювання напруги з верхньою межею 30 В і числа поділів 150 ціна поділу дорівнює 0,2 В.
  3.  Оцінка випадкових похибок прямих вимірювань

При n вимірюваннях величини Х вимірюваннях, шукану величину Хіст та випадкові похибки, які виникають при вимірюваннях даної величини, можна врахувати, за такою послідовністю:

  1.  Проведемо кінцеву кількість (n) вимірювань величини Х: Х1, Х2, Х3 ..., Хn.
  2.  Знайдемо середнє значення наших вимірювань:  .
  3.  Отримаємо абсолютні похибки  кожного вимірювання:  
  4.  Зведемо в квадрат , та просумуємо їх:

  1.  Обчислимо середньоквадратичну похибку:   
  2.  Отримаємо середньоквадратичну похибку ряду вимірювань:

.

  1.   Знайдемо відносну похибку:  .
  2.  Запишемо остаточний результат:  .

Отриманий  та записаний  у такому вигляді результат, говорить про те, що визначена нами довірча ймовірність не нижче 95%.  

  1.  Виявлення промахів

На прикладі, покажемо, як врахувати та видалити грубу похибку вимірювань. Знайдемо відстань Хіст, яку пропливає човник (байдарка) за 30 секунд. Припустимо, що цю відстань ми можемо безпосередньо виміряти.

  1.  Знайдемо середнє значення наших вимірювань .
  2.  Обчислимо абсолютні похибки  кожного вимірювання:

№  п/п

Хi, м

Хi, м

(Хi)2, м2

1

15,0

0,3

0,09

2

15,1

0,2

0,04

3

15,2

-0,1

0,01

4

16,1

-0,8

0,64

5

14,9

-0,4

0,16

(м)

  1.  Зведемо в квадрат , та просумуємо їх:

(м).

  1.  Обчислимо середньоквадратичну похибку

(м).

  1.  Обчислимо середньоквадратичну похибку ряду вимірювань

.

  1.  Порівняємо тепер абсолютні похибки  кожного вимірювання з потрійною середньоквадратичною похибкою ряду вимірювань . При цьому має виконуватись умова: .

  1.  Значення Хі,, для якого абсолютна похибка  вимірювання перевищує  потрійну середньоквадратичну похибку ряду вимірювань , є грубою помилкою вимірювань. У нашому випадку це є четверте значення Х4=16,1 (м). Це значення необхідно вилучити з наших вимірювань.
  2.   Повторюємо пункт 1-5, без врахування Х4. Отримаємо:

(м)    

.

.

  1.  Знайдемо відносну похибку

  1.  Запишемо остаточний результат:

Хіст=15,05±2·0,065 (м).

  1.  Оцінка випадкових похибок непрямих вимірювань

У більшості випадків шукана величина часто сама залежить від декількох величин. Така величина не вимірюється безпосередньо, а визначається по відповідним математичним робочим формулам. Вимірювання, при яких визначувана величина обчислюється з деякого числа прямих вимірювань, називають непрямими.

  1.  Наведемо схему для отримання помилки шуканої величини, при непрямих вимірюваннях:
    1.  Припустимо, що шукана величина складається з суми двох величин, які ми можемо безпосередньо виміряти .

  1.  Робимо заміну виміряних величин на їх середні значення (X, Y на ).
    1.  Диференціюємо отриману формулу:  .
      1.   За умови, що абсолютна похибка кожного вимірювання Δаі не перевищує потрійне значення середньої квадратичної похибки (тобто ), робимо заміну знаку диференціалу d на .  
        1.  Зводимо кожен доданок в квадрат, та отримаємо:
        2.  Беремо квадратне корінь з отриманого результату:.
  2.  Якщо шукана величина складається з суми двох величин Z=C1a+C2b, де C1,C2 – const, то для середньоквадратичної похибки отримаємо .
  3.  У більш складних випадках, наприклад, коли шукана величина складається з добутку двох величин Z=a·b, спочатку беремо натуральний логарифм з робочої формули: . А далі все робимо згідно наведеної вище схеми:
    1.  Диференціюємо отриману формулу:  .
    2.  Зводимо кожен доданок в квадрат, та отримаємо: .
    3.  Беремо квадратне корінь з отриманого результату та, остаточно, для середньоквадратичної похибки отримаємо  .

У лабораторні роботі 1-0 (визначення об‘єму циліндра), наведеної нижче, на прикладі наведено знаходження непрямої похибки вимірювання . Як бачимо, формули для обробки результатів різноманітних непрямих вимірювань залежать від виду робочої формули, яка зв‘язує величини, що виміряються прямо з шуканою величиною.

  1.  Графічне зображення результатів вимірювань

Графічне представлення результатів вимірювань одержують за допомогою побудови графіків залежності величин.

  1.  Масштаб на графіках визначається так, щоб якнайменша відстань по графіку була не менше абсолютної похибки вимірювання. Тобто, найменша поділка на графіку має бути не меншою, ніж абсолютна похибка дослідженої величини.
  2.  Нумерація поділок по осях повинна починатися не з нуля, а з найменшого значення аргументу (функції) та закінчуватись найбільшим її значенням. Обраний масштаб по обом осях має бути обраний таким, щоб можна було б швидко визначити координати любої точки графіка. Поділки на осях малюють всередину рисунка.  
  3.  Результати вимірювань наносять у вигляді точок, а потім їх з‘єднують плавною лінією. Лінію проводять так, щоб точки, відповідні окремим вимірюванням, розташовувалися симетрично по обидві її сторони (див. рис.4). Кількість точок по обидві сторони від кривої має бути приблизно однаковою. Це правило стосується також і лінійних залежностей. Пряму проводять через отримані точки так, щоб точки лежали по обидві сторони від прямої.

експериментальна частина

Лабораторна робота 1

Визначення об'єму циліндра

Мета роботи: вимірювання діаметру та висоти циліндра з наступним обчисленням об‘єму циліндра.

Навчитися користуватися штангенциркулем та мікрометром, придбати навички розрахунку похибок прямих та непрямих вимірювань.

Прилади і приладдя: штангенциркуль, мікрометр, циліндри різноманітної висоти та діаметру.

Порядок проведення вимірів

Розглянемо знаходження похибок прямих та не прямих вимірювань на прикладі розрахунку об'єму циліндра:

,          (14)

Послідовність дій:

  1.  Прямі вимірювання діаметра D, і висоти H циліндра
  2.  Розрахунок середніх арифметичних значень  і .
  3.  Розрахунок похибки кожного вимірювання

Результати виконання пунктів 1–3 занести в таблицю 1.

Таблиця1

n

Di, мм

Di, мм

(Di)2, мм2

Hi, мм

Hi, мм

(Hi)2, мм2

1

2

...

5

  1.  Розрахунок середньоквадратичних похибок діаметра і висоти циліндра

  1.  Розрахунок середньоарифметичного об'єму відповідно формулі (14)
  2.  Визначення похибки непрямого вимірювання:
    •  Логарифмуємо формулу об'єму  
    •  Диференціюємо результат     
    •  Робимо заміну  і зводимо в квадрат:

  1.  Розрахунок відносної похибки:

  1.  Остаточний запис отриманого результату

мм.

Остаточна форма запису вказує на те, що Vіст знайдено з надійністю 95%.


Контрольні питання

  1.  Що називають вимірюваннями? Ціль вимірювань?
  2.  Які види похибок Ви знаєте? Як їх можна уникнути?
  3.  Як знайти абсолютну похибку вимірювань?
  4.  Що таке відносна похибка?
  5.  Що називають довірчим інтервалом? 
  6.  Повний приклад розрахунку похибок.

Додатки

1. Префікси і множники.

Назва префікса

Позначення

Множник

Найменування множника

Укр

Англ

екса

Е

E

1000000000000000000 = 1018

квінтилліон

пета

П

P

1000000000000000 = 1015

квадрилліон

тера

Т

Т

1000000000000 = 1012

трильйон

гіга

Г

G

1000000000 = 109

мільярд

мега

М

M

1000000 = 106

мільйон

кіло

k

k

1000 = 103

тисяча

гекто

г

h

100 = 102

сто

дека

да

da

10

десять

деці

д

d

0.1 = 10-1

одна десята

санті

с

с

0.01 = 10-2

одна сота

милі

м

m

0.001 = 10-3

одна тисячна

мікро

мк

м

0.000001 = 10-6

одна мільйонна

нано

н

n

0.000000001 = 10-9

одна мільярдна

піко

п

р

0.000000000001 = 10-12

одна трильйонна

фемто

ф

f

0.000000000000001 = 10-15

одна квадриліона

атто

а

a

0.000000000000000001 = 10-18

одна квінтиліона

Приклади:

100 мВт (100 міліват) = 100·10-3 Вт = 0.1 Вт (одна десята вата – потужність маленького радіоприймача).

100 МВт (100 мегават) = 100·106 Вт = 100000000 Вт (сто мільйонів ватів – потужність доброї електростанції).

2.  Грецький алфавіт.

Буква

Назва

Буква

Назва

Буква

Назва

Α α

альфа

Ι ι

йота

Ρ ρ

ро

Β β

бета

Κ κ

капа

Σ σ

сигма

Γ γ

гамма

Λ λ

ламбда

Τ τ

тау

Δ δ

дельта

Μ μ

мю

Υ υ

іпсилон

Ε ε

епсілон

Ν ν

ню

Φ φ

фі

Ζ ζ

дзета

Ξ ξ

ксі

Χ χ

хі

Η η

ета

Ο ο

омікрон

Ψ ψ

псі

Θ θ

тета

Π π

пі

Ω ω

омега


l1

l2

Рис.1

Рт

Рш

ис.2

f(a)

Δa

0

σ

EMBED Equation.3

аiш

f(аi)

Рис.3

F(x)

Рис.4

8         12        16        20       24       28       32       36       40

         х

30

25

20

15

10

5

0

H

D


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

12739. Создание и обработка векторной графики 416.27 KB
  Лабораторная работа №2Тема: Создание и обработка векторной графики Цель работы: Изучить возможности графического редактора CorelDRAW предназначенного для создания и обработки векторной графики. Научиться создавать изображения на основе примитивов выполнять заливку изо...
12740. Создание и обработка растровой графики 89.03 KB
  Лабораторная работа Тема: Создание и обработка растровой графики Цель работы: Изучить основные возможности графического редактора Adobe Photoshop CS5 предназначенного для создания и обработки растровых изображений. Научиться пользоваться инструментами рисования и слоями д...
12741. Относительные, абсолютные и смешанные ссылки на ячейки в MS Office Excel 2007 63.16 KB
  Относительные абсолютные и смешанные ссылки на ячейки в MS Office Excel 2007 Ссылка – это адрес ячейки или диапазона ячеек. Ссылки бывают трех типов: относительные ссылки; например A1; абсолютные ссылки; например A1; смешанные ссылки; например A1 или A1. Относите
12742. Основы теории конечных полей 53 KB
  Лабораторная работа 2 Основы теории конечных полей Цель работы Закрепить знания полученные на лекциях курса €œОсновы криптографии с открытым ключом€œ по разделу €œОсновы теории конечных полей€. Используемое программное обеспечение Для работы используется пр
12743. Исследование идеальной системы шифрования 26.5 KB
  Лабораторная работа 1 Исследование идеальной системы шифрования Цель работы Изучить идеальный шифр основанный на побитном сложении по модулю 2 сообщения и чисто случайно сгенерированного ключа. Используемое программное обеспечение Для работы используетс
12744. Криптоанализ блочного шифра тотальным перебором ключей 281 KB
  Описание лабораторной работы Криптоанализ блочного шифра тотальным перебором ключей Цель работы Целью данной работы является изучение структуры и основных свойств блочного шифра основанного на подстановочно перестановочной сети SubstitutionPermutation Network или SPN кр
12745. Линейный криптоанализ блочного шифра 217 KB
  Лабораторная работа 4 Линейный криптоанализ блочного шифра Цель работы Целью данной работы является изучение принципа линейного криптоанализа блочных шифров реализованных по схеме SPN. Задание 1. Произвести оценку линейности Sbox учебного шифра постр...
12746. Дифференциальный криптоанализ блочного шифра 203 KB
  Описание лабораторной работы Дифференциальный криптоанализ блочного шифра Цель работы Целью данной работы является изучение принципа дифференциального криптоанализа блочных шифров реализованных по схеме SPN. Задание 1. Произвести вычисления разностны...
12747. Представления и свойства булевых функций 25.5 KB
  Лабораторная работа 5 Представления и свойства булевых функций Цель работы Изучить формы представления булевых функций и способы нахождения их криптографических свойств. Используемое программное обеспечение Для работы используется программа pANF pPUA За...